La matematica di "Affari tuoi" Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.it

Nel famoso gioco televisivo "Affari tuoi" la matematica gioca un ruolo molto importante.

Il gioco è, come tutti sanno, abbastanza semplice: ci sono una serie di "pacchi" che

contengono un determinato bene o valore in denaro da un centesimo a 500.000 euro e il

concorrente prescelto tra tutti i concorrenti che rappresentano ognuno una regione

dell'Italia deve scartare uno dopo l'altro i pacchi degli altri finché non ne rimarranno solo

due: il suo e quello dell'ultimo partecipante. Il gioco però si complica quando il "dottore"

fa o una proposta di cambio "pacco" del concorrente prescelto oppure propone una offerta

economica per terminare il gioco.

Indichiamo con kbb ,....1 i pacchi "blu" ovvero quelli che contengono valori di poco

conto (una caramella oppure 10 euro ecc) e qrr ,....1 i pacchi "rossi" ovvero quelli che

invece contengono importi in denaro più interessanti (da 10.000 euro in su) e per

semplicità li supponiamo ordinati per valore ovvero 11; ++ << iiii rrbb . Come fare a

valutare una ipotetica offerta del "dottore" ovvero un ipotetica offerta che viene dalla

regìa ? Un primo metodo (sbagliato) potrebbe essere quello di considerare la media

ponderata sulle probabilità di uscita dei valori economici dei singoli pacchi (in realtà una

semplice media aritmetica dato che tutti i pacchi indipendentemente dal loro valore

nascosto hanno la stessa probabilità di contenere un certo importo) ovvero considerare il

termine

qk

rrbbV qk

++++++

=....... 11 . Allora se l'offerta è superiore a V (O > V) certamente il

concorrente prescelto deve accattarla perché è particolarmente conveniente. Peccato che

offerte così alte non capitano mai. Il metodo proposto risulta errato mentre quello

matematicamente corretto è dato dall'impiego dell'indice statistico detto "mediana" che

divide una serie numerica in due parti della stessa numerosità: una con valori inferiori al

secondo quartile (o mediana) e l'altra superiore. Se i dati sono in numero dispari è

immediato individuare la mediana ordinando i valori, se sono pari allora basterà prendere

la media aritmetica dei due valori centrali. Quindi ),....,,,....,( 11 qk rrbbMEDIANAG = e

se l'offerta del dottore è superiore a questo valore O > G conviene senza dubbio accettare,

no in caso contrario. Ovviamente è sempre G < V. A questo punto ci si potrebbe porre il

problema per il giocatore di decidere se non fare nulla e attendere un altro lancio magari

sperando di beccare un pacco blu (di basso valore) e quindi indurre ad alzare il livello

della mediana e quindi di una seconda offerta molto più interessante economicamente.

Per decidere questo però (o per decidere se si vuole cambiare il proprio pacco con quello

degli altri) occorre calcolare semplicemente la probabilità di estrarre un pacco blu o un

pacco rosso tra quello rimasti facendo la semplice divisione tra il numero di eventi

favorevoli e il numero di eventi possibili, ovvero

qrqk

rRkb

qk

bB =

+==

+= #,

#;#,

#.Questo calcolo ci aiuta a capire se ci conviene fare

un cambio oppure cosa accadrebbe alla mediana (che va ricalcolata ad ogni pacco estratto)

se ipotizziamo di estrarre il pacco blu o o rosso con un certo valore o con un certo range

di valori. E’ possibile anche aiutarsi in queste decisioni con il calcolo del primo (25%) e

del terzi quartile (75%) o con il calcolo dei percentili.