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La livellazione trigonometrica

Università degli studi di BresciaFacoltà di Ingegneria

Corso di Topografia A – Nuovo Ordinamento

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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica

Dislivello tra i punti A e B:•Differenza delle quote corrispondenti (quota del punto avanti meno quota del punto indietro)

•Il dislivello è un segmento orientato

Livellazione:•Operazione di misura del dislivello (la misura diretta delle quote non èpraticata di norma in topografia)

Metodi di misura del dislivello:•Livellazioni che non richiedono la conoscenza della distanza tra i punti

•Livellazioni che richiedono la conoscenza della distanza tra punti

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Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B

•Necessaria (speditiva) per quotare i punti trigonometrici e più in generali punti di reti d’appoggio, quindi per operare su distanze chilometriche

•La distanza viene misurata in genere sulla cartografia o con GPS, la misura con distanziometri risulta poco precisa o impossibile su distanze elevate.

Livellazione con teodolite:•Si effettua misurando gli angoli nel piano verticali, detti “distanze zenitali”

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Ipotesi:•Operazioni e calcoli sulla sfera locale (il campo topografico “altimetrico” ètroppo limitato per gli scopi della livellazione trigonometrica)

•La traiettoria luminosa sui punti si mantiene rettilinea

•E’ nota la distanza topografica ridotta alla superficie di riferimento (SFERA LOCALE)

•E’ nota la distanza topografica ridotta alla superficie di riferimento (SFERA LOCALE)

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Ipotesi:•Il raggio della sfera locale adottato nei calcoli è ottenuto dai valori medi della grannormale e del raggio della sezione meridiana:

NR ⋅= ρ•Si misurino le due distanze zenitali reciproche ZA e ZB

ZA

ZB

•E’ possibile esprimere una relazione tra QA e QB applicando il teorema di Nepero al triangolo AOB

2)(400

)2

(

)()()()(

BAg

AB

AB

AB

ZZtg

ZZtg

RQRQRQRQ

+−

−

=++++−+

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Teorema di Nepero•La somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti sta alla tangente della loro semidifferenza

βα

βα sensen

ba

senb

sena

====>=

Dimostrazione:•Dal teorema dei seni

βαβα

sensensensen

baba

−+

=−+

•Componendo e somponendo si ottiene la forma

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Teorema di Nepero•Applicando le formule di prostaferesi

...

2cos

22

2cos

22

=+−

⋅

−+⋅

=−+

βαβα

βαβα

sen

sen

baba

2

222

... βα

βαβαβα

−

+

=−+

=tg

tgctgtg

2

2βα

βα

−

+

=−+

tg

tg

baba

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ZA

ZBNel caso in esame, fatte le posizioni

a=QB+R; b=QA+R;

;200 ;200 gg

BA ZZ −=−= βα

;2

)(4002

BAg ZZ +−

=+ βα

;22

AB ZZ −=

− βα

E tenendo conto che ;πδβα =++

e quindi

BAg ZZ +=+ δ200

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ZA

ZB

...

2100

2)2(

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=++

−δg

AB

BA

AB

tg

ZZtg

RQQQQ

Si può scrivere:

Considerando che

Rd

=δ

si accetta l’approssimazione

22δδ

=tg

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=22

... δtgZZtg AB

è in genere molto piccolo

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ZA

ZB

2BA

MQQQ +

=

Inoltre, data la quota media dei due punti:

si giunge alla:

22)(2δ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+⋅

− AB

M

AB ZZtgRQ

QQ

e ancora (ricorda: δ=d/R):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

−21

AB

M

AB ZZtgRd

RQR

QQ

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ZA

ZBe in fine alla:

)(211 AB

MAB ZZtg

RQdQQ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=−

Osservazioni:•Le distanze zenitali devono essere “reciproche”, cioè misurate da due soli punti, che fungono da punto di stazione e punto di collimazione allo stesso tempo

•Il metodo è oneroso dal punto di vista logistico: due strumenti, due operatori esperti per l’esecuzione contemporanea di 2 misure

•Il caso più frequente vede l’esecuzione di una sola misura angolare (ZA e ZB sono evidentemente correlate tra loro)

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Lettura dall’estremo A•Poiché ora ZB si esprime come:

la formula per il calcolo del dislivello assume la forma

e con qualche semplice trasformazione…

ZA

AAB ZRdZZ −+=−+=

gg

200200 δ

)2200(211 A

gMAB Z

Rdtg

RQdQQ ⋅−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=−

)2

(1RdZctg

RQdQQ A

MAB +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=−

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Lettura dall’estremo A•Si noti che il valore QM/R è molto piccolo e può in genere essere trascurato

ZA

Osservazione•In realtà l’ipotesi iniziale circa la rettilineitàdel raggio ottico congiungente i due punti non è verificata a causa del fenomeno della

RIFRAZIONE ATMOSFERICA

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La rifrazione atmosferica•La densità dell’aria diminuisce con la quota e con la densitàdiminuisce il coefficiente di rifrazione (K)

•Il raggio ottico si propaga in un mezzo con indice di rifrazione variabile e subisce continue rifrazioni, tanto che la sua traiettoria diviene una linea curva

•L’angolo zenitale misurato, o angolo apparente, non corrisponde a quello reale

RdKK

Z

AAA

AAA

22⋅=⋅=

+=δε

εϕ

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La rifrazione atmosferica•L’espressione generale diventa

espressione valida per d > 2 km

)2

1(1 dRKctg

RQdQQ A

MAB ⋅

−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=− ϕ

In alternativa, ricorrendo agli sviluppi in serie di Taylor per la cotangente e considerando che la distanza zenitale è sempre prossima 100g si giunge alla forma:

2

211 d

RKctg

RQdQQ A

MAB ⋅

−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=− ϕ

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La rifrazione atmosferica

espressione valida per d < 2 km

L’ultimo termine della formula ètrascurabile fino a 0,5 km: e vale 17mm a 500m

2

211 d

RKctg

RQdQQ A

MAB ⋅

−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=− ϕ

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Osservazioni conclusive•Le relazioni ricavate forniscono il dislivello tra il centro del teodolite e il segnale colimato

•Per riportarsi ai punti a terra basta aggiungere il termine(hstr-hpr)

•L’errore di misura dei dislivelli trigonometrici cresce proporzionalmente alla distanza d per distanze modeste.

•L’errore di misura dei dislivelli trigonometrici cresce proporzionalmente al quadrato della distanza d per i percorsi più lunghi

•Possibili fonti di errore: K, f, d, anche se oggi non esiste praticamente più l’errore di misura della distanza…

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Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”

Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B

•Impiegata nella misura di dislivelli per scopo cartografico:

– Rilievi di dettaglio– Vertici di poligonali topografiche

Livellazione con “tacheometro”:•Il tacheometro non è altro che un teodolite di scarsa precisione (1C)

•Distanze massime di qualche centinaio di metri


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Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B•Impiegata nella misura di dislivelli per scopo cartografico:

– Rilievi di dettaglio– Vertici di poligonali topografiche

Livellazione con “tacheometro”:•Il tacheometro non è altro che un teodolite di scarsa precisione (1C)



IN DISUSO, METODO STORICO DA CELERIMENSURA

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Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B•Stadia verticale in B•Si eseguono 3 letture sulla stadia (in corrispondenza ai tratti del reticolo distanziometrico) L,L1 e L2

•Si misura la distanza zenitale f sul cerchio verticale•Si rileva l’altezza strumentale h

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Con semplici considerazioni geometriche, dalla figura:

0000 lctgdhlqLBBBQQ OABAB −⋅+=−+==−=Δ ϕδ

Come si calcola la distanza d?

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La distanza è calcolata con distanziometri EODM disponendo di prisma riflettente posto ad altezza da terraIn realtà viene misurata la distanza inclinata d’ e da questa si risale alla distanza ridotta all’orizzontale

ϕsendd ⋅= '

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La forma finale è la seguente:

0cos' ldhQQ ABAB −⋅+=−=Δ ϕSi ottengono SQM di qualche cm su distanze di 100 metri.L’errore è minimo con visuale orizzontale e supera il decimetro con visuali inclinate.

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Precisione della livellazione trigonometrica

Grandezze in gioco:

ϕσσσ , , Kd Errori (scarti) quadratici medi sulla misura della distanza d, sulla stima del coefficiente di rifrazione K e sulla misura dell’angolo zenitale f

Δσ

NOTE:

INCOGINTA:

Errore (scarto) quadratico medio sul calcolo del dislivello DAB

Si ottiene partendo dall’espressione semplificata (valida per distanze inferiori a 2 km)

2

211 d

RKctg

RQdQQ A

MAB ⋅

−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=− ϕ

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2

211 d

RKctg

RQdQQ A

MABAB ⋅

−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=−=Δ ϕ

Operando le derivate rispetto alle quantità che rappresentano i fattori di incertezza:

22

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−+≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Δ∂ d

RKctg

d AAB ϕ

222

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Δ∂

Rd

KAB

22

2

21 d

sen AA

AB ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Δ∂

ϕϕ

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Considerando che

02

1 2

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

− dRK

E che le visuali sono prossime a 100g (quindi senf 1),si ottiene

...2

22222

222 =⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=Δ ϕσσσϕσ d

Rdctg kdA

.4

... 222

2

2

222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+⋅⋅= ϕσσσϕ k

dA R

dd

ctgd

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La livellazione trigonometrica: il problema dei fari

Si consideri la situazione seguente

•Quanto vale l’angolo zenitale in A e quanto la distanza massima AB=d perché sia possibile la collimazione di B da A?

•Stazione sul colle Maddalena a Brescia

•Quota del punto di stazione 700 metri sulla pianura padana (supposta a quota nulla per semplicità)

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Il problema presenta due incognite, servono pertanto due equazioni

•Dati:R=6378 Km K=0,15

QA= 700 m QB= 0 m

A B

2

211 d

RKctg

RQdQQ A

MABAB ⋅

−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=−=Δ ϕ

B A

2

211 d

RKctg

RQdQQ B

MBABA ⋅

−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=−=Δ ϕ

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Si accetta l’approssimazione fB=100g

e mettendo a sistema le due relazioni precedenti si ha

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=−=

⋅⋅

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=−=−

2

2

6378000285.0

63780003501700

6378000285.0

63780003501700

dctgdQQ

dctgdQQ

BBA

AAB

ϕ

ϕ

Dalla seconda

kmd 494.10285.0

637827.0=

⋅⋅=

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Dalla seconda equazione del sistema:

210249463780002

85.06378000

3501102494700 ⋅⋅

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=− Actgϕ

e quindi

013658638.0−=Actgϕ

Aggg

arcctgϕ==+−

=−

8695.1002001305.99)013658638.0(

Rifrazione atmosferica

gonrad

RdKK

0767.0001205245.063780002

10249415.022

==

=⋅

⋅=⋅=⋅=δε

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