1

Si noti che: 1)  e’ centrale 2) 3) e’ attrattiva 4) soddisfa il principio di sovrapposizione:

La legge universale della gravitazione (dovuta ad Isaac Newton): Per due punti materiali m, m0, separati da distanza r, la forza di attrazione gravitazionale e’: Essendo direzionale, la forza puo’ essere definita in termini vettoriali. Scegliendo l’origine delle coordinate coincidente con m0, allora la forza gravitazionale su m0 dovuta alla presenza di m e’ data da:

m0 m

F

F

−

rrmmF ˆ2

0γ=

dove e’ la costante di gravitazione universale: γ 22111067.6 −−×= kgNmγ

F

21rF ∝

F

m0

m1

m2 m3

1F

2F

3F

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+++=

⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=

323

322

2

212

1

10

323

0322

2

0212

1

01321

ˆˆˆ

ˆˆˆ

rrmr

rmr

rmm

rrmmr

rmmr

rmmFFFF

γ

γγγ

F

( vale dire che i sono vettori )

20

rmmF γ=

r

iF

la forza totale e’ la somma delle forze individuali tra m0 ed ognuna delle masse mi.

!r1!r2

!r3

2

5)  e’ indipendente del tipo di materia 6)  e’ una forza a distanza 7)  e’ la piu’ debole delle forze (~ forza elettromagnetica). ×−3510

Il campo Gravitazionale Un campo: una quantita’ fisica che si puo’ definire simultaneamente in ogni punto dello spazio. Un campo scalare: la quantita’ fisica possiede solo grandezza (es. pressione P(x,y,z,t) ) Un campo vettoriale: “ “ “ grandezza e direzione (es. velocita’ (x,y,z,t) in un fluido in moto ) Un campo e’ detto stazionario se non dipende dal tempo t, es. (x,y,z) per flusso stazionario in un fluido

v

Il campo gravitazionale, dovuto ad un unica massa stazionaria m, viene definito ( in base alla forza gravitazionale che esercita su m0 ):

rrm

mFG ˆ

20

γ==

m

m0

G

( )rF

cioe’, “ la forza gravitazionale per unita’ di massa” . Unita: nel S.I. : N/kg. Risulta dunque essere un campo vettoriale stazionario

v

r

3

E’ chiaro dalla definizione che il principio di sovrapposizione vale anche per il campo gravitazionale. Per un insieme di punti materiali:

( )rrrr

rrdmrG

M ʹ′−

ʹ′−⋅

ʹ′−−= ∫

2)( γ r ʹ′r( )rr ʹ′−

m

m0 G

( )00 /lim0

mFG m

→=

Piu’ rigorosamente, viene definito con riferimento ad una massa “prova” m0 .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++= 32

3

322

2

212

1

132

3

322

2

212

1

1321 ˆˆˆ ˆˆˆ r

rmr

rmr

rmr

rmr

rmr

rmGGGG γ

γγγ

e per una distribuzione continua di massa, il campo all’ origine delle coordinate e’ dato da’ :

NB: noto il campo, la forza su massa prova m0 in campo e’ data da: G

GmF

0=

rrdmG

M

ˆ2 ⋅= ∫γ

Oppure, con riferimento ad un sistema di rif. arbitrario, si calcola al punto G

r

dm

rdm

F

4

Un applicazione importante: per una distribuzione di massa sferica ed uniforme , per si ottiene :

M Vale dire che il campo gravitazonale e’ quello che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata al centro di gravita’ ( il centro geometrico della sfera). Non lo dimostreremo qui’, ma lo studente interessato puo farlo compiendo l’integrale . (Newton dovette inventarsi il calcolo integrale per farlo)

Con questo risultato siamo in condizione di calcolare la forza peso vicino alla superficie terrestre in base alla legge universale della gravitazione. Supponendo la terra sferica, calcoliamo la forza gravitazionale su massa m, a distanza h dalla superficie.

R

F

m

r̂

!F = !! mM

R+ h( )2r̂ = !! M

R2m

1+ h R( )2 r̂ = !!

MR2

m 1! 2hR+......

"

#$

%

&' r̂

e per h << R

gRMmF =≈ 2/ γ costante

Rr ≥

r

R G

h

!G(r) = !!

dm!r ! !r * 2M

" #!r ! !r *( )!r ! !r *

= !!Mr2r̂

'r

M

!r *

5

Sostituendo:

2

6

24

21311

m/s 81.9:ottiene si1037.61097.5

1067.6

=

×=

×=

×= −−−

g

mRkgM

skgmγ

N.B. conoscendo g, R e si calcola la massa terrestre M γ

Si puo’ anche dimostrare che il campo gravitazonale all’interno di un guscio sferico ed uniforme e’ nullo:

Re

Ri r

rMGRr

GRr

e

i

ˆ per

0 per

2γ−=>

=<

mentre, all’esterno della sfera, il campo si comporta come se tutta la massa vi fosse concentrata al centro

⋅

6

Ιl potenziale gravitazionale E’ facile verificare che e’ conservativa. Si consideri il campo generato da un punto materiale m: Lo stesso vale dunque per qualsiasi insieme di punti materiali od elementi di carica. Segue che si puo’ definire un potenziale “assoluto” tale che:

GmF

0=

∫∫∞∞

⋅−=⋅−=rr

G rdGrdmFV

0

e’ il lavoro compiuto contro per portare massa unitaria dall’infinito a r (indipendentemente dal cammino ) . Si sceglie l’infinito quale punto di riferimento perche ovunque all’infinito.

GV G

Es. Il potenziale gravitazionale corrispondente al campo generato da un punto materiale ( oppure da una massa sferica uniforme) .

rrmG ˆ2γ−=

( )'

1.''' '

2 rm

rm

rdrmrdGrV

rr r

G γγγ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−==−=∞∞ ∞

∫ ∫

m

rG

rd

Ricordiamo che il campo e’ recuperabile dal potenziale*:

GVzk

yj

xiG ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−= ˆˆˆ

0=G

⋅

r

dr rd

m

!F !d!r = F dr"""" = !mm0

drr2!" = #!mm0 r

#1$% &'r0r0= 0

0r⋅

m0

⋅m0

7

L’Energia Potenziale per collocare una massa prova m0 a r e’ data da: GU

)()( 0 rVmrU GG =

Corrisponde al lavoro necessario per portare massa prova m0 dall’infinito ad r. L’energia meccanica totale e’ dunque:

GUKE +=

Es Velocita’ di fuga Nave spaziale parte dalla superficie con velocita’ v0. Al momento di partenza:

M R

RmMmvEm γ−= 2

021

0vQuando si trova a distanza molto grande (quando VG à 0) allora: 2

21 mvEm =

Dalla conservazione dell’energia meccanica:

RmMmvmv γ−= 2

02

21

21

Il caso limite ( v = 0 ) corrisponde dunque alla velocita iniziale ( v0 ) minima necessaria per raggiungere l’infinito:

RMv 2

0 γ= ( la velocita’ di fuga )

E siccome UG e’ negativo, l’energia meccanica totale puo’ essere negativa. In tali casi la massa e’ vincolata.

0≥( )

8

Moto dei pianeti (supposti distribuzioni di massa uniforme ) Abbiamo gia’ visto che una sfera uniforme agisce su una massa esterna come se tutta la propria massa fosse concentrata al centro della sfera, che corrisponde al centro di massa ( cm) della sfera. Segue che due sfere uniformi interagiscono come se la massa di entrambi fosse concentrata al cm di ciascuna.

r

m1 m2

Si consideri ora le forze tra i due centri di massa: 1m 1F

2m2F

( )

21

12212

2

1

1

22222

11111

ma

cuiper

FF

avvdtd

mF

mF

dtvdmamF

dtvdmamF

−=

=−=−

==

==

segue che si puo’ scrivere:

1221

1211 amm

F =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

!F12 = µ

!a12 dove 21

21

mmmm+

=µ la massa ridotta

Riordinando, si ottiene

1F

2F

Allora, definendo la forza d’interazione

112 FF

=

9

1212 aF µ=

E’ dunque l’equazione di moto per il moto relativo di due pianeti (o due corpi qualsiasi soggetti a forze tra di loro), e e’ la “massa ridotta”

21

21

mmmm+

=µ

Si puo’ dire che lo spostamento relativo dei due corpi evolve come quello di un punto materiale di massa ridotta che si muove intorno ad un punto fisso ed e’ soggetto ad una forza centrale. Conoscendo la forza tra di loro, e disponendo dell’equazione di moto relativo, siamo attrezzati ora per risolvere il problema del moto dei pianeti. Le soluzioni non sono difficili da ottenere, ma richiedono tempo. Ci limitiamo dunque ad elencarne le caratteristiche principali:

Sia E l’energia meccanica totale, allora: Per E<0 le orbite sono elittiche ed il sistema e’ vincolato Per E=0 l’orbita e’ parabolica Per E>0 l’orbita e’ un iperbole

Le principali caratteristiche di queste orbite furono dedotte da Johannes Kepler (1571-1630) analizzando le misure di Ticho Brae (1546-1601). La legge della gravitazione fu’ finalmente formulata da Newton (1642-1727). E’ interessante seguirne l’evoluzione.

10

Le leggi di Kepler: 1.  I pianeti descrivono orbite elittiche di cui il sole occupa uno dei fuochi.

2.  La retta che congiunge il pianeta con il sole descrive aree uguali in tempi uguali.

3.  Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta e’ proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’elisse:

32 ka=τdA

r θd

Da queste osservazioni, si puo’ risalire alla legge univerale della gravitazione:

La seconda legge di Kepler dice che:

tantecos=dtdA

ma dA ! 1

2r2d!

Segue che, nel limite :

ωθ 22

21

21 r

dtdr

dtdA

==

e ricordando che il momento angolare e’:

ωµθ

µ 22 rdtdrl ==

si vede che

µ2l

dtdA

=

a

0→Δt

11

Dalla seconda legge di Kepler, si conclude che l e’ costante , e dunque che la foza e’ centrale

e'

costante costante

centraleF

ldtdA

⇒

⇒

Si supponga ora che l’orbita’ sia circolare. Allora la forza centrale deve assicurare l’accelerazione centripeta.

rrF2

2 2⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==τπ

µµω

e sostituendo dalla terza legge di Kepler: dove la costante k dipende dalle circostanze (non e’ sempre la stessa)

32 kr=τ

( ) 221

21

2

2

2

3

2 444rmm

mmkrkr

krF

+==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πµππµ

cioe’

221

rmmF γ=

dove

( )21

24mmk +

=π

γ

(cioe’ orientata lungo la retta che collega il pianeta al sole)

12

Newton ipotizzo’ che fosse una costante universale (non dipendesse dalle masse o dalla geometria dell’orbita), e la verifica era gia in parte ottenibile perche, per un qualsiasi corpo m vicino la superficie terrestre (M),

2RmMmgF γ=≈

con

2RMg γ=

dove g era gia’ stato verificato indipendente da m (Galileo). Pero’ Newton dovette inventarsi il calcolo integrale per capire che l’azione della massa terrestre si poteva trattare come se tutta la massa fosse concentrata al centro. Newton calcolo’ dal periodo lunare e la distanza terra – luna. Mγ

32

22

2L

LLLL

L

rM

rmrMm

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=

τπ

γ

ωγ

La prima misura diretta di ( e quindi di M ) fu’ fatta da Cavendish (1798) con una“bilancia a torsione”*.

γ

γ