La legge di Snell applicata alle due superfici della lastra: sin 2 = (1/n) sin 1; sin 3 = n sin2 da cui: 3 = 1: la lastra non altera la direzione di propagazione ma provoca uno spostamento laterale d: Ora: sin (1 - 2 ) =

sin 1 cos 2 - cos 1 sin 2 e sin 2 = sin 1 /n si ottiene:

2

21

cos

)sin(h d

122

11

sinn

cos1sinh d

Esempio: Un sottile fascio luminoso monocromatico di 0 = 589 nm incide con angolo i = 30o su una lastra di vetro flint spessa h = 2 cm e con indice di rifrazione n = 1.66 ( a 0): determinare la posizione del fascio di uscita.

Numericamente d = 4.53 mm. Se la luce non è monocromatica avviene il fenomeno della dispersione e lo spostamento d = d(): in uscita si hanno raggi paralleli di diverso colore. Misurando d() è possibile ricavare n().

Misura di n con prisma

Calcolare l’indice di rifrazione n in funzione dell’angolo di deviazione minima m e dell’angolo di apertura del prisma. In condizioni di deviazione minima la luce all’interno del prisma si

propaga parallela alla base. Si ha: = m/2, 1= /2, i= 1+ = ( +m)/2. Da Snell: sin i = n sin 1, sin ( +m)/2 = n sin /2 e:

2sin

2sin

n

m

Misurato m e noto si può calcolare l’indice di rifrazione: nel caso di

liquidi si può utilizzare un prisma cavo di vetro riempito del liquido in esame

L’unica condizione per cui per riflessione si origina un fascio polarizzato rettilineamente è la condizione di Brewster: tg B = 1.5; B = 56.31o; t = (B) = 33.69o.

Per la componente σ con il campo elettrico perpendicolare al piano di incidenza , che trasporta la potenza P/2 la percentuale di potenza riflessa è: R = sin2(56.31 – 33.69) = 0.15 e quindi la potenza del fascio riflesso è: PR = (P/2) R = 0.74 W.

Per la componente π con il campo elettrico parallelo al piano di incidenza non vi è componente riflessa: tutta la potenza P/2 viene trasmessa: La potenza del fascio trasmesso è quindi: PT = P – PR = 9.26 W. Il fascio riflesso ha poca potenza ma è polarizzato rettilineamente: il fascio

Esempio

Un fascio di luce ordinaria di potenza P = 10 W incide con angolo su una lastra piana di vetro con n = 1.5. Il fascio riflesso risulta polarizzato rettilineamente: Calcolare , la potenza del fascio riflesso e del fascio trasmesso. Calcoliamo per una sola superficie di discontinuità!

trasmesso non polarizzato contiene il 93% della potenza incidente.

Se ora consideriamo anche la seconda superficie si può ripetere il ragionamento: anche in

questo caso siamo con incidenza all’angolo di Brewster per cui la componente π con il campo

elettrico parallelo al piano di incidenza non ha componente riflessa e viene trasmessa tutta,

mentre il fascio riflesso è costituito tutto da componente σ

Si avrà quindi: P(π) trasmessa = P/2 = 5 W.

P(σ) riflessa = [0.74 + (5-0.74) R] W = [0.74 + 4.26*0.15] W = [0.74 + 0.64] W = 1.38 W

La potenza totale PT = [5 + (5 – 1.38)] W = 8.62 W

Al fascio trasmesso viene a mancare una porzione della componente σ crescente al crescere del

numero di riflessioni. Il fascio riflesso è costituito da fasci paralleli ma spostati a causa dello

spessore della lastra.

Esempio

Un fascio luminoso di intensità I0 polarizzato rettilineamente incide normalmente su un sistema di due polarizzatori P1 e P2 i cui assi formano un angolo = /4. L’angolo tra il campo elettrico Ei dell’onda incidente e l’asse ottico di P1 è ancora = /4. Determinare la percentuale di energia trasmessa dal sistema P1 P2

Si applica in successione la legge di Malus: da P1 esce un’onda di intensità I1 = I0 cos2 = I0/2 e da P2 un’onda di intensità I2 = I1 cos2 = I0/4, per cui l’energia trasmessa è il 25% di quella incidente; il resto è stato assorbito e/o diffuso in ogni direzione.

Esercizio

Due onde luminose di 0= 0.4 m attraversano due sottili lamine traspa-renti di egual spessore L = 4 m e indici di rifrazione n1 = 1.4 e n2 = 1.6

Calcolare la i; il numero d’onde ki all’interno dei due mezzi; la differenza di tempo di percorrenza t; la differenza di fase introdotta nell’attraversamento delle lamine.

1= 0/n1 = 0.286 m ; 2= 0/n2 = 0.25 m ;

k1= k0n1= (2 / 0)n1 = 1.57 107 n1 = 2.2 107 m-1; k2= k0n2= 2.51 107 m-1

t = (L/c)(n2- n1) = 2.67 10-15 s; = (k2-k1)L = k0L(n2-n1) = 4: le due onde sono in fase.

Esercizio

Un fascio di luce inizialmente in acqua (n1 = 1.33) entra in una sostanza trasparente con angolo di incidenza 1 = 37o ed il fascio rifratto esce ad un angolo 2 = 25o . Calcolare la velocità della luce nella sostanza.

n2 = 1.89; v2= c/n2= 1.58 108 m/s1

2

2

1

sin

sin

n

n

Esercizio

Un pesce nuota sott’acqua a h = 30 cm al di sotto della superficie. Nell’ipotesi che venga osservato ad angoli piccoli rispetto alla normale calcolare la profondità h’ apparente.

cmntg

tg6.22

n

hh'

1

sin

'sin'

h

h'

Esercizio

L’indice di rifrazione dell’aria è n = 1.00028. Una stella invia luce secondo una direzione che forma l’angolo 0 = 45o rispetto allo zenit. Calcolare in quale direzione dovrà essere puntato un telescopio per vedere la stella al centro del suo campo.

misurabile!

'1016.0- 44.984 n

sinsin 0

o0 o

Esercizio

In fig. un sottile fascio di luce incide su un sistema di tre lastre piane sovrapposte con indici n1, n2, n3= 1.55 con angolo = 60o. Calcolare 3, 4

sin = n1sin 1= n2sin 2= n3sin 3; sin 3= (sin )/n3; 3=34o; 4= = 60o

Esercizio

Un fascio di luce incide con un angolo 1 molto piccolo su una lastra di vetro trasparente a facce piane e parallele, di spessore h e indice n. Calcolare lo spostamento d del fascio all’uscita dalla lastra.

2

21

cos

)sin(h d

Dalla ; per 1 piccolo: 1/ 2 = n; cos 2 1 per cui

n

1-nhd 1

Esercizio

Un fascio laser incide con un angolo = 50o sulla superficie piana di una fibra ottica di diametro d = 3 mm, lunghezza l = 50 cm ed indice n = 1.45. Calcolare il numero di riflessioni N che subisce il fascio prima di uscire dalla fibra; la lunghezza effettiva Leff del percorso della luce ed il tempo t di percorrenza.

sin 1 = (sin )/n = 0.528; tg 1 = 0.622; h = d/ tg 1 = 4.82 mm; N 1/h 104; Leff = l/(cos 1) 58.9 cm; t = Leff n/c 3 ns.

Esercizio

Un fascio di luce incide con un angolo = 56o su una faccia di un prisma retto; il fascio rifratto incide sull’altra faccia in modo che l’angolo di rifrazione sia di 90o con la normale. Calcolare: l’indice di rifrazione n del prisma; il massimo valore dell’indice nmax per

cui ciò è possibile.

sin 1 = (sin )/n; 1 + 2 = /2; 1/n = sin 2 = sin (/2 - 1) = cos 1 da cui:

Per = /2 nmax = 1.41

Esercizio

Un fascio di luce attraversa normalmente una lastra trasparente a facce piane e parallele di materiale con indice n = 1.5. Trascurando l’assorbimento del materiale calcolare la percentuale di luce trasmessa dalla lastra.

0.04 1n

1-n R

2

:percentuale riflessa dalla prima faccia della lastra; T =

1 – R = 0.96: percentuale trasmessa dalla prima faccia;

dalla seconda faccia viene trasmessa la percentuale = (0.96)2 = 0.92

30.1sin1 2 n

Esercizio

In fig. un sottile fascio di luce incide su una lastra a facce piane e parallele avente indice n2 = 1.5; il fascio rifratto incide su una superficie che delimita due mezzi con indici n2 ed n3: In entrambe le rifrazioni è verificata la condizione di Brewster. Calcolare n3:

tg 1 = n2 = 1.5; 1 = 56.3o; sin 2 = sin 1 /n2 = 0.5547; tg 2 = 0.666 = n3/n2; n3 = 1: aria

Uno specchio sferico concavo ha raggio di curvatura R = - 20 cm. Trovare la posizione dell’immagine per distanze dell’oggetto dal vertice V di: s1 = 25 cm e s2= 5 cm; calcolare l’ingrandimento trasversale M di un piccolo oggetto posto nelle posizioni suddette.

La distanza focale è f = -R/2 = 10 cm

a) Per s1 = 25 cm si ha: 1/25 + 1/q1 = 1/10; q1= 16.67 cm ; M1 = -q1/s1 = -0.67; l’immagine reale si forma dalla stessa parte dello specchio in cui è l’oggetto, è più piccola e capovolta.

b) Per s2 = 5 cm si ha: 1/5 + 1/q2 = 1/10; q2 = -10 cm; M2 = - q2/s2 = 2; l’immagine virtuale si forma dietro lo specchio, è diritta ed ingrandita.

Uno specchio sferico convesso ha raggio di cur-vatura R = 20 cm. Trovare la posizione dell’im-magine di un piccolo oggetto posto a distanza s1= 25 cm dal vertice V dello specchio ed il suo ingrandimento trasversale. Ripetere il calcolo per s2 = 5 cm.

1/25 + 1/q1 = - 1/10; q1 = - 7.14 cm

M1 = - q1/s1 = 0.29. L’immagine è virtuale, si forma tra il fuoco F ed il vertice V: è diritta e rimpicciolita.

Per s2 = 5 cm, q2 = - 3.33 cm, M2 = 0.67 e valgono le stesse considerazioni.

Una signora alta h = 170 cm si specchia in uno specchio piano verticale. Calcolare l’altezza minima l dello specchio e la sua posizione rispetto a terra cui deve essere posto affinché la signora possa vedersi completamente. Si assuma che gli occhi distino 10 cm dal punto più alto della testa.

Nella figura si sono tracciati i raggi estremi a e b che partendo dalla testa e dalle scarpe raggiungono gli occhi. Si vede che l’altezza dello specchio dal pavimento è h’ = ( h – 10 )/2 = 80 cm per cui lo specchio deve avere altezza minima l = h’ + d/2 = 85 cm.

Un pesciolino nuota all’interno di un vaso sferico di vetro, pieno d’acqua ( n = 1.33). Il raggio del vaso è R = 15 cm e il pesciolino si trova alla profondità p = 10 cm. Calcolare la posizione dell’immagine del pesciolino e il suo ingrandimento trasversale.

Dalla ed. del diottro: n1 /p + n2 /q = (n2 – n1 )/R si ha: 1.33/10 + 1/q = (1 – 1.33)/-15 : q = -9 cm; l’immagine virtuale si forma davanti all’oggetto. Il pesciolino appare più lungo in quanto: I = n1q/n2p = -1.2

Determinare le posizioni dei fuochi per i quattro tipi di diottri possibili:

Convesso: n1 < n2 f1 = n1 R/(n2-n1)

f2 = n2 R /(n2-n1);

R > 0 f1 > 0; f2 >0: reali

Convesso n1 > n2

f1<0; f2 <0 virtuali

Concavo n1 < n2

f1<0; f2 <0 virtuali

Concavo n1 > n2

f1>0; f2 >0 reali

Un pesce nuota a distanza d = 20 cm dal pelo dell’acqua. Calcolare la profondità apparente q.

Dall’equazione del diottro: n1/s0 + n2/si = (n2 – n1)/R.applicata al diottro piano si ha: q = - (n2/n1)d si ha: q = - (1/1.33)d = -15 cm: quindi il pesce appare a 15 cm al di sotto del pelo dell’acqua

Una lente convergente simmetrica: biconvessa con R1 = 0.3 m, R2 = -0,3 m è fatta di vetro con n2 = 1.5. Essa è alternativamente immersa in aria (n1 = 1) o acqua (n2 = 1.33). Calcolare nei due casi la distanza focale della lente.

Dalla formula

Si ricava:

Da cui si vede che il potere convergente è minore (la focale maggiore) quando la differenza tra gli indici di rifrazione della lente e del mezzo circostante diminuisce.

21

11)(

1

RRn

nn

f m

ml

mf

cmmf

17.115.082.73.03.0

3.03.0

33.15.1

33.1

3030.015.023.03.0

3.03.0

15.1

1

2

1

Due lenti convergenti con f1 = 15 cm e f2 = 25 cm sono distanti d = 20 cm ed hanno l’asse in comune. Un piccolo oggetto è posto a distanza p1 = 25 cm davanti alla prima lente. Calcolare la posizione dell’immagine e l’ingrandimento trasversale.Per la prima lente: 1/25 + 1/q1 = 1/15: q1 = 37.5 cm misurato rispetto alla prima lente; il punto di coordinata q1 cade a destra della seconda lente: i raggi uscenti dalla prima lente vengono intercettati dalla seconda lente e convergono a formare un’immagine reale. L’immagine della prima lente èoggetto virtuale per la seconda lente. Si ha: 1/-17.5 + 1/q2 = 1/25: q2 = 10.3 cm. L’immagine finale della seconda lente è a destra della seconda lente ed è reale.

L’ingrandimento di ciascuna lente è: I1 = - q1/p1 = -1.5; I2 = - q2/p2 = 0.59 per cui I = I1I2 = -0.88: l’immagine è reale, capovolta e rimpicciolita.

Calcolare di quanto varia la distanza focale di un occhio normale quando l’occhio è accomodato per focalizzare il punto prossimo ( d = 25 cm), assumendo che quando è accomodato all’infinito sia f = 25 mm

Quando p = 25 cm per avere q = 2.5 cm la focale deve essere:

1/25 + 1/2.5 = 1/f’ : f’ = 2.27 cm = 22.7 mm

Per cui la distanza focale deve diminuire di Δf = -2.3 mm. Siccome vi è proporzionalità diretta tra f ed il raggio di curvatura R del cristallino deve avvenire una corrispondente diminuzione di R: ΔR/R = Δf/f = -0.11 che è effettuata dai muscoli ciliari.