La Géométrie, contenuti e obiettivi

• Sono ben noti, ma è meglio riassumerli.

• E’ in appendice al Discorso sul Metodo, di cui costituisce l’esempio principe.

• Libro I: Costruzione piana delle Equazioni

• Libro II: La rappresentazione delle curve

• Libro III: Costruzione dei Problemi Solidi

Il metodo di Analisi

• Il primo prescriveva di non accettare mai per vero nessuna cosa che non conoscessi con evidenza esser tale

• Il secondo consisteva nel dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante fosse possibile e necessario per giungere alla migliore soluzione di esse (Analisi)

… e di Sintesi. Le lunghe catene di ragionamenti

• Il terzo nel condurre con ordine i miei pensieri, cominciando dagli oggetti più semplici e più facili da conoscere, per salire a poco a poco, come per gradi, fino alla conoscenza dei più complessi. (Sintesi)

• Erano state quelle lunghe catene di ragionamenti, tutti semplici e facili, di cui di solito si servono i Geometri, che mi avevan dato motivo a pensare che tutte le cose conoscibili dall’uomo si susseguissero allo stesso modo

Moltiplicare

• Introduzione Unità di Misura

• AB = 1; BE = BDxBC; BC = BE/BD

Radice Quadrata

• FG=1; IG=

GH

GH

Simbolismo Algebrico• Così, per aggiungere la linea BD a GH chiamo l’una

a e l’altra b, e scrivo a + b, • a – b, … A questo proposito debbo notare che con a2

o b3 o espressioni simili intendo in genere soltanto linee assolutamente semplici, anche se le chiamo, per servirmi dei termini dell’algebra, quadrati, cubi, ecc.

• Bisogna pure notare che quando per le condizioni del problema l’unità non è determinata, tutte le parti di una stessa e singola linea debbono essere ordinatamente espresse da uno stesso numero di dimensioni … non si tratta però della stessa cosa quando l’unità è determinata perché essa può essere sottintesa là dove vi sono troppe dimensioni o troppo poche.

Analisi• In tal modo, volendo risolvere qualche problema, si

deve fin da principio considerarlo come già risolto, e assegnare una lettera ad ogni linea che si ritiene necessaria per costruirlo, sia a quelle che non sono note, che alle altre. Poi, senza fare nessuna differenza tra quelle note e le incognite, bisogna svolgere il problema seguendo quell’ordine che mostra più naturalmente di ogni altro come le rette dipendano mutuamente le une dalle altre, fino a che non si sia riusciti a trovare il procedimento per esprimere la stessa quantità in due modi, cioè non si sia pervenuti a ciò che si chiama equazione.

Equazioni di secondo grado

• z2 = az+bb ; LM = b, LN = a/2, OM = z.

• OM*MP = LM2; z*(z-a) = b2;

• Analisi; Formula:

42

aabb

aOMNOz

• yy = - ay + bb; y = MP

• Biquadratiche, sol ovvia;

• z2 = az – bb; z = MQ, MR

La sfida degli antichi, il problema di Pappo

• Determinare C in modo tale che il rapporto tra CB*CD e CF2 sia dato.

• Descartes pone A origine AB = x e BC = y

La nascita delle coordinate

• Innanzitutto suppongo il problema come già risolto e per liberarmi dalla confusione di tutte queste linee, considero una delle rette date e una di quelle che bisogna trovare, per esempio AB e CB, come le principali, e a queste cerco così di riferire tutte le altre. Il segmento AB sia chiamato x e BC sia chiamato y.

• Il luogo cercato è una conica

II libro: sulla natura delle linee curve

• Divisione delle curve in piane (retta e cerchio) solide (coniche) geometriche (con equazioni di grado superiore a due) meccaniche (le altre)

• Costruzione delle parabole di ogni grado

• Divisione delle curve in generi

Nascita del grado di una curva

• Tutti i punti di quelle curve che possiamo chiamare geometriche stanno necessariamente con i punti di una retta in una certa relazione che può essere espressa per mezzo di una equazione. Se tale equazione non sale che al rettangolo di due quantità indeterminate o al quadrato di una sola, la curva appartiene al genere primo e più semplice nel quale sono comprese soltanto il cerchio, la parabola, l’iperbole e l’ellisse.

• Quando l’equazione sale invece alla terza o quarta dimensione di due quantità indeterminate la curva appartiene al secondo genere.

• E quando l’equazione sale fino alla quinta o sesta dimensione la curva appartiene al terzo genere e così via all’infinito.

• Soluzione del problema con i nuovi metodi.

• Determinazione di nuove curve: ovali, folium, ….

• Metodo delle tangenti

Costruzione dei problemi solidi e soprassolidi

• Benché tutte le curve che possono essere descritte con qualche movimento regolare debbano essere accolte in geometria non è da dirsi che per questo sia consentito di servirsi della prima che si incontra per la costruzione dei problemi; al contrario bisogna sempre aver cura di sciegliere la più semplice che renda possibile la soluzione del problema

Viète

• Duplicavit cubum per parabola Menechmus, per conchoidas Nicomedes, an igitur duplicatus est geometrice cubus? (...) Id vero nemo pronunciabit Geometra. Reclamaret Euclides, et tota Euclideorum schola

I tre problemi solidi

• i tre problemi “paradigmatici” di tale genere erano: 1) La quadratura del circolo; 2) La trisezione dell’angolo; 3) La duplicazione del cubo. Anche se non ci è pervenuta alcuna dimostrazione (e nemmeno alcun “tentativo” di dimostrazione), si può ben dire che la matematica greca era giunta alla conclusione che nessuno dei tre problemi appartenesse al pimo genere, mentre erano note dimostrazioni della costruibilità del secondo e terzo attraverso le coniche. Il primo problema si sarebbe rivelato più tardi “trascendente”, cioè non costruibile con l’uso di curve algebriche

Duplicazione Cubo e Trisezione

• Descartes li risolve trovando l’equazione e costruendola con la parabola.

• z3 = 2

• z3 = 3z – q

• NO = 1; NP = q;

• NQ = z

Riconoscere l’impossibilità

• Ora, quando la costruzione di qualche problema ci porta a una equazione in cui la quantità incognita ha tre dimensioni, innanzi tutto, se le quantità note che vi si trovano contengono alcuni numeri fratti, occorre ridurli ad altri interi mediante la moltiplicazione ora spiegata. … Quindi, esaminando ordinatamente tutte le quantità che possono dividere l’ultimo termine senza trasformarlo in una frazione, bisogna vedere se qualcuna di queste, congiunta con il segno + o - all’incognita, possa comporre un binomio che divida tutta l’espressione.

• Se ciò è possibile il problema è piano, cioè può essere costruito con la riga e il compasso. Infatti, o la quantità nota di questo binomio è la radice richiesta, o l’equazione, divisa per questo stesso binomio, si riduce a due dimensioni, in modo che se ne può trovare la radice utilizzando il procedimento spiegato nel primo libro.

Un esempio

• L’equazione è:• (1) y6 + (a2-c2)y4 – (a4-c4)y2 – (a6 + 2a4c2 + 2a2c4) = 0

• Come si vede un’equazione complessa e apparentemente gratuita

• Poiché si trova che (a2 – c2) è un divisore del termine noto che è una radice. Il probleme è quindi costruibile con riga e compasso.

• N. B Qui la parola “divisibile” tratta il termine noto ome polinomio in più variabili e non come numero

Quali problemi sono solidi, quando l’equazione è cubica

• Quando invece non si trova nessun binomio che possa dividere in questo modo tutta la somma dell’equazione proposta, è certo che il problema che ne dipende è solido.

• Descartes cerca soltanto i divisori interi del termine noto, occorre quindi che egli abbia ben chiaro il fatto che la loro assenza basta ad escludere la presenza di radici razionali. In altri termini egli fa uso dell’importante teorema: “Se un polinomio a coefficienti interi su un dato numero (finito) di lettere non si può fattorizzare con polinomi interi non si può nemmeno fattorizzare con polinomi a coefficienti razionali”. Questo teorema è oggi patrimonio della teoria dei campi (Lemma di Gauss), ma nel XVII secolo non esisteva affatto.

La trisezione e la duplicazione

• A questo punto Descartes ha già dimostrato (o crede di aver dimostrato) l’impossibilità di risolvere i problemi classici con metodi piani. Infatti, anche tenendo conto delle riserve sopra riportate, non vi è dubbio che l’equazione della trisezione dell’angolo fosse ben nota a Descartes e verificasse le sue ipotesi

• Certamente, da un punto di vista contemporaneo, non siamo di fronte ad una dimostrazione, ma ad una geniale intuizione (quella di far dipendere interamente da un fatto puramente algebrico, la irriducibilità dell’equazione correlata, la costruibilità di un problema geometrico).

• Descartes affronta il successivo (e più complesso) problema della determinazione della costruibilità o meno di un’equazione di quarto grado. Possiamo ben renderci conto del fatto che Descartes possedesse a pieno la motivazione profonda del teorema da lui enunciato, il fatto cioè che algebricamente “costruibilità piana” dovesse tradursi in “successive estrazioni di radici di polinomi di secondo grado” e che pertanto la condizione di possedere un fattore di secondo grado fosse necessaria (oltre che sufficiente) per la costruibilità del problema. Infatti egli ha ben presente che nel caso di polinomi di quarto grado la condizione di irriducibilità non fosse più sufficiente per garantire la natura “solida” del problema

Il quarto gradoPoi, se abbiamo un’equazione la cui incognita presenti quattro

dimensioni, nello stesso modo bisogna vedere se non si possa trovare, componendolo con una delle quantità, che dividono l’ultimo termine senza che ne risulti una frazione, un qualche binomio che divida tutta la somma. Nel caso se ne trovi uno, allora, o la quantità nota di tale binomio rappresenta la radice cercata o, almeno, dopo la divisione, l’equazione non avrà che tre dimensioni e quindi dovrà essere nuovamente trattata nel modo visto sopra. Quando però non è proprio possibile trovare un tale binomio, bisogna, aumentando o diminuendo il valore della radice, eliminare il secondo termine della somma, nel modo sopra spiegato e, dopo, ridurla ad un’altra che contenga soltanto tre dimensioni.

• Nel caso di quarto grado occorre quindi osservare la risolvente di terzo grado. E’ la sua irriducibilità, non quella dell’equazione di partenza a collegarsi con la costruibilità.

• L’esempio usato è • z4 + (1/2 a2 + c2)z2 – (a3 – ac2)z + 5/16a4 - 1/4a2c2 = 0

• La cui risolvente è esattamente quella di poco fa. Questa equazione, pur essendo irriducibile è quindi costruibile.

Il problema di Eraclito

Qualche frase di Newton

• Sed et problemata innumera sunt quae per algebram juxta methodum usitatum aegerrime perducantur ad aequationem, innumera quae perduci nequeunt, et quorum tamen solutio siquis recte procedat, satis fecile est. ... Et quid faceret analysta cum tantis aequationibus? ... Ad solutionem problematis per solam algebram ubi plura sunt latera, nec Herculi patientia nec anni Mathusalem sufficerent

• Geometria Excogitata fuit ut expedito linearum ductu effugeremus computandi tedium