PAGE 53

Iperspazi. Spazi delle fasi. Topologia. Problemi di ottimizzazione. Algoritmo di Karmarkar

INDEX back to homepagegli iperspazi in generaleIl metodo astratto in matematicaLa geometria a pi di tre dimensioni. Lo spazio a pi di tre dimensioni. Punto dello spazio a pi di tre dimensioni.Dimensioni e sottospaziGeneralizzazione del concetto di distanza euclideaGeneralizzazione del concetto di sferaGeneralizzazione del concetto di cuboGeneralizzazione del concetto di pianoiperspazi non euclideiSpazi euclidei e spazi non euclideiLo spazio delle fasi di una biciclettaGli spazi astratti della matematica modernaSpazi di HilbertLo spazio delle posizioni di unasta rigida su un pianoLo spazio che rappresenta il moto di un puntoLo spazio delle posizioni di una zolletta di zucchero su un tavoloLo spazio delle fasi del pendoloIl cronotopo di MinkowskiLo spazio delle variabili di un sistema economicoLe coordinate lagrangianeipersuperfici e variet (manifolds)Generalizzazione del concetto di superficieLe variet (manifolds)Le variet differenziabiliLe variet e i tensorila topologiaLe variet e la topologiaGiochi topologiciUsi degli iperspazi: il problema di re Oscar di Sveziagli spazi curviLa distanza nei manifold e negli iperspaziPropriet di forma, metriche, topologiche di una superficieGli spazi curvi bidimensionaliGli spazi curvi tridimensionaliLo spazio incurvato dalla gravit: la relativit generale di EinsteinI cambiamenti di coordinate e la formula di distanzala programmazione lineare e i politopiPoligoni, poliedri, politopiPolitopi e programmazione linearegli iperspazi in generaleIl metodo astratto in matematica

back to indexI matematici utilizzano sovente quello che viene chiamato metodo astratto, per definire degli oggetti matematici che hanno alcune caratteristiche degli oggetti della nostra esperienza, ma per il resto se ne discostano. Come stato detto, un simile atteggiamento pu essere riassunto nel motto: loggetto matematico quel che fa.

Questo particolarmente vero nella geometria a pi di tre dimensioni.

La geometria a pi di tre dimensioni. Lo spazio a pi di tre dimensioni. Punto dello spazio a pi di tre dimensioni.back to indexUn ottimo esempio di metodo astratto fornito dalla geometria moderna: uno studente che apra un testo universitario di Geometria aspettandosi di trovare figure simili a quelle che illustravano i teoremi di Euclide nei libri su cui egli ha studiato sin dalle elementari trover un testo senza alcuna illustrazione, pieno di definizioni assiomatiche e di simboli appartenenti allalgebra astratta.

Questo il prezzo che si paga per una grande generalizzazione delle nozioni geometriche, che consente di applicarle con profitto a tutti i rami delle scienze fisiche, naturali e allingegneria.

In questo campo, da tempo i matematici hanno abbandonato la limitazione costituita dalle tre dimensioni; anzi si pu dire che la matematica avanzata si occupa principalmente di oggetti di dimensione superiore a tre.

Questo pu risultare sconcertante: un solido pu essere visualizzato in tre dimensioni e una superficie in due dimensioni, ma cos una sfera quadridimensionale?

La fisica einsteniana suggerisce che la quarta dimensione possa essere il tempo, e che quindi lo spazio in cui viviamo in realt uno spazio-tempo quadridimensionale chiamato cronotopo. Ma quando si va a tracciare linee e superfici in questo spaziotempo si cozza pur sempre col problema della non intuitivit di tali nozioni. Inoltre, le geometrie pi interessanti sono quelle con un numero molto elevato di dimensioni. La geometria a sei dimensioni, per esempio, molto interessante perch consente di descrivere il moto di una particella nello spazio.

In geometria superiore (i termini geometria astratta o geometria moderna sono egualmente eloquenti) vengono definite delle propriet e nullaltro che delle propriet, che vengono attribuite a qualcosa che ha un nome e gode di tali propriet. Nullaltro richiesto. Ad esempio, al nome di spazio vettoriale quadridimensionale corrisponde lidea di un insieme di elementi non meglio specificati chiamati punti che godono della propriet di essere addizionati e moltiplicati per un numero reale e ciascuno dei quali pu essere espresso come somma di multipli di non pi di quattro vettori indipendenti chiamati vettori base.

Lo spazio vettoriale non ha niente a che spartire con lo spazio fisico, e non solo per il numero di dimensioni: mentre nello spazio fisico possiamo esprimere la distanza tra due punti, nello spazio vettoriale non esistono distanze. Mentre nello spazio fisico possiamo, a partire da un punto che fa da centro, visualizzare i punti come insiemi racchiusi in sfere aventi centro in tale punto, e definire per tal via in modo rudimentale una posizione reciproca dei punti, niente di simile pu essere fatto per lo spazio vettoriale, a meno di non dotarlo di una struttura ulteriore, chiamata topologia naturale.Riguardo le propriet delloggetto i matematici richiedono solamente che esse non siano contraddittorie. Si pu perfettamente concepire il personaggio di un racconto come coraggioso, di sesso maschile, generoso e via dicendo, con lunico limite che le sue qualit non devono contraddirsi: la compassione non pu accompagnarsi alla crudelt e lintelligenza e laccortezza non possono accompagnarsi alla propensione a compiere atti sciocchi.Se stabilire propriet arbitrarie per un oggetto pu essere divertente e svincolare la creativit dai limiti della esperienza fisica, per pu talvolta essere di scarso interesse quando tali propriet non abbiano nessuna remota attinenza col nostromondo quotidiano; il metodo astratto cos chiamato proprio perch astrae da un oggetto della esperienza delle qualit o caratteristiche, liberandole dal collegamento con altre caratteristiche o da alcune limitazioni che ad esse impone lesperienza. Un ottimo esempio il concetto matematico di spazio.

Uno spazio fisico ha una dimensione, e ugualmente la avr uno spazio astratto, ma mentre le dimensioni dello spazio fisico sono tre, definite come la possibilit di misurare, a partire da un punto, distanze lungo tre assi mutuamente ortogonali, uno spazio astratto pu avere milioni di dimensioni e persino infinite dimensioni, definite come la quantit di numeri occorrente per distinguere due punti in tale spazio. Cos facendo, abbiamo utilizzato un concetto noto, quello di rappresentazione cartesiana, che attribuisce ad un punto la terna di numeri chiamati coordinate e costituiti dalle sue distanze con segno da tre assi, e ne abbiamo astratto lidea-base: quella di un punto definito da una enopla di numeri che sufficiente a distinguerlo da un altro punto. Viene abbandonato ogni riferimento ad operazioni di misurazioni o distanze, e in molti testi di matematica viene fatto il passo ulteriore di identificare il punto con la enopla di numeri. Ma questa ulteriore astrazione non strettamente necessaria e sebbene porti vantaggi in certe trattazioni avanzate, pu generare qualche confusione nel lettore senza sufficiente dimestichezza con lalgebra lineare moderna.Nella figura 0705161732 mostrato il procedimento di coordinatizzazione di uno spazio bidimensionale mediante rappresentazione cartesiana:

Le coppie di numeri accanto a ciascun punto sono le distanze con segno dagli assi.

Si noti che la attribuzione di coppie di valori largamente arbitraria: possiamo ruotare gli assi ottenendo nuove coordinate; cos come possiamo passare ad una classe pi vasta di rappresentazioni chiamate rappresentazioni affini dello spazio, esemplificate nella figura 0711110959: SHAPE \* MERGEFORMAT

Si vede da tale figura che le coordinate del punto P, che avendo come riferimento gli assi cartesiani ortogonali x,y sono cx e cy, prendendo come riferimento il sistema di riferimento affine x e y diventano cx e cy.La nozione di spazio pluridimensionale oggi correntemente accettata senza discussioni e impiegata con profitto proprio nella spiegazione del mondo fisico. Le recenti teorie delle stringhe parlano di universi di dieci dimensioni in cui oggetti apparentemente tridimensionali come le particelle subatomiche avrebbero in realt sei dimensioni aggiuntive rappresentabili come stringhe che vibrano e che spiegano il loro comportamento negli acceleratori dei laboratori.

Quando si ha a che fare con un numero di dimensioni superiori a tre cambia il modo di scrivere le formule.

Si usano x1, x2,, xn anzich le tradizionali x, y, z, w per le variabili e per le costanti si scrive a1, a2, , an (b1, b2,bn ecc.) invece delle tradizionali a, b, c,

Cos, una espressione che lo studente abituato a scrivere come:

ax + by + cz = 0

diviene:

a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0

Cambia anche il modo di scrivere le somme. Lo studente avr gi appreso, invece di:

a1x1 + + anxna scrivere:

Quando si ha a che fare con complesse espressioni riguardanti gli iperspazi, si ricorre ad una ulteriore semplificazione e si scrive semplicemente:

aixiconvenendosi (convenzione di Einstein, che fu il primo ad introdurla) che due indici identici di due simboli moltiplicati implicano una somma per ogni valore dellindice.

Dimensioni e sottospazi

back to indexIl numero di coordinate necessarie per individuare un punto dello spazio esprime quella che si chiama la dimensione di uno spazio.

Come avr notato lo studente, in matematica superiore la parola spazio utilizzata per indicare non solo lo spazio tridimensionale, ma spazi di qualsiasi dimensione. Cos, secondo questa terminologia, un punto uno spazio zerodimensionale (o, come si dice, 0-spazio); una linea uno spazio monodimensionale o spazio 1-dimensionale o 1-spazio; un piano uno spazio bidimensionale o spazio 2-dimensionale o 2-spazio; lo spazio fisico in cui viviamo come descritto dalla geometria euclidea studiata a scuola uno spazio tridimensionale o spazio 3-dimensionale o 3-spazio.Ogni spazio ha dei sottospazi, che sono precisamente gli spazi di dimensione minore in esso immersi. Cos, gli unici sottospazi della linea sono i punti; i sottospazi del piano sono le linee e i punti; i sottospazi dello spazio tridimensionale sono i punti, le linee, i piani; e cos via per gli spazi di dimensione superiore..

Semispazio una delle due parti in cui un iperpiano divide uno spazio, insieme alliperpiano stesso

Generalizzazione del concetto di distanza euclideaback to indexQual la definizione di distanza in uno spazio con pi di tre dimensioni? La figura 0705161738 mostra come in uno spazio bidimensionale, ad ogni coppia di punti, P,Q oppure R,Q oppure P,R pu essere associato un numero detto distanza.

La distanza tra P e Q, calcolata semplicemente facendo la differenza tra il valore della coordinata x di Q e la coordinata x di P; la distanza tra Q ed R calcolata facendo la differenza tra le coordinate y, mentre la distanza tra P ed R calcolata a partire dalle distanze PQ e QR utilizzando il teorema di Pitagora:

Un ragionamento analogo ma leggermente pi complicato vale in tre dimensioni e mostra che la distanza tra due punti T di coordinate (a,b,c) e V di coordinate (d,e,f) :

Ci accorgiamo subito che in tutti i casi, compresi quelli della distanza PQ e QR, si applicata la stessa formula, chiamata la formula pitagorica della distanza o, pi frequentemente, formula della distanza euclidea:

dove xp1 e xp2 sono le coordinate x rispettivamente del primo e del secondo punto e yp1 e yp2 sono le coordinate y rispettivamente del primo e del secondo punto.

Una simile formula pu essere facilmente generalizzata ad n dimensioni:

dove abbiamo impiegato i simboli x1k per indicare la k-esima coordinata del primo punto p1 e i simboli x2k per indicare la k-esima coordinata del secondo punto p2Tale formula viene usualmente definita come la formula della distanza euclidea per spazi multidimensionali.Per esempio, la distanza tra i due punti (1,0,-1,4,2) e (3,1,1,1,-1) (che stanno nello spazio a cinque dimensioni) :

E se questa vi sembra una generalizzazione ardita del concetto di distanza, dovete sapere che i matematici non si sono fermati qui, e hanno definito la distanza non riemanniana mediante la formula del tensore metrico:

dove i valori:dxi = x2i x1i sono le differenze tra le i-esime coordinate, e dove i numeri gjk fanno parte di una matrice arbitraria di valori.

Lo stesso Riemann ipotizz una distanza data dalla radice quarta di una formula ogni addendo della quale dato dalla moltiplicazione di quattro fattori.In altre parole, nella geometria superiore degli iperspazi il concetto di distanza non unico e connaturato allo spazio che si studia, ma definito, e ad ogni definizione corrisponde uno spazio diverso, con caratteristiche uniche e peculiari che possono differire radicalmente da quelle dello spazio euclideo.Generalizzazione del concetto di sfera

back to indexAvere generalizzato il concetto di distanza, possiamo generalizzare quello di sfera, definendola come linsieme di punti di un iperspazio che hanno una distanza determinata da un punto chiamato centro.

Ad esempio, una sfera di raggio 10 e centro nel punto di coordinate (1,1,0,0,0) in uno spazio a 5 dimensioni dotato di distanza euclidea sar data da tutti i punti P(x1,x2,x3,x4,x5) le cui coordinate soddisfano la relazione:

Il concetto di ipersfera comprende quello di cerchio in uno spazio bidimensionale come il piano (detto S1 o 1-sfera, perch occorre un solo parametro per coordinatizzarne i punti), di sfera vera e propria nello spazio tridimensionale (S2 o 2-sfera), di sfera di dimensione 3 in uno spazio quadridimensionale (S3 o 3-sfera) ecc.Cos come la sfera a 3 dimensioni ha una superficie bidimensionale, la sfera a 4 dimensioni ha come superficie uno spazio tridimensionale

Generalizzazione del concetto di cubo

back to indexMediante la definizione di distanza possiamo anche generalizzare il concetto di cubo.Come noto, dati quattro vertici di un cubo, ne risultano definiti tutti gli altri: cos, se i vertici sono (0,0,0), (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3) gli altri vertici saranno costituiti da tutte le combinazioni possibili delle coordinate: (3,0,3), (3,3,0), (3,3,3), (0,3,3). Si veda la figura 0711111127.

In questo modo possiamo ottenere tutti i vertici di un ipercubo di quattro dimensioni: essi saranno 64. Per ogni dimensione dello spazio a cui appartiene lipercubo, otteniamo quindi due valori: la coordinata x1 pu assumere i valori 0 o 3; e cos pure, nel nostro esempio, le altre coordinate.

E ora facile definire un ipercubo: i punti dellipercubo saranno quelli le cui coordinate sono comprese tra questi valori minimi e massimi.

Possiamo anche fare il conto degli spigoli, senza preoccuparci di farci una idea intuitiva di cosa essi siano; poich in uno spazio tridimensionale da ogni vertice si diparte un numero di spigoli pari alla dimensione dello spazio, il numero degli spigoli di un cubo tridimensionale sembrerebbe pari a 8 3; in realt abbiamo contato gli spigoli due volte, perch ad ogni spigolo che parte da un punto corrisponde uno spigolo che parte dal punto opposto. Pertanto il numero di spigoli di un generico ipercubo sar dato da:(numero vertici x numero dimensioni)/2

Generalizzazione del concetto di piano

back to indexPer generalizzare la nozioni di piano, consideriamo che lequazione di un piano in tre dimensioni data da:

[0705210652]ax + by + cz = 0

se il piano passa per lorigine (infatti in tal caso, se x = 0 e y = 0 deve essere z = 0) oppure da:

ax + by + cz = d

se il piano non passa per lorigine. Appare naturale allora, in uno spazio quadridimensionale, scrivere:

ax1 + bx2+ cx3 + dx4 = e

In uno spazio pentadimensionale possiamo scrivere:

ax1 + bx2 + cx3 + dx4 + ex5 = f

In tal modo definiamo, per ogni spazio n-dimensionale, un insieme di punti che i matematici definiscono iperpiano. Esso ha la caratteristica tipica del piano tridimensionale della geometria euclidea: i punti di una iperlinea che ha due punti di contatto con esso, giacciono tutti su esso.

Esso ha anche unaltra caratteristica: pu essere definito da un numero di parametri inferiore di uno alla dimensione dello spazio in cui si trova. Ad esempio, data lequazione [0705210652] di un qualsiasi piano in uno spazio tridimensionale, vediamo che dando valori arbitrari a due delle coordinate variabili x,y la terza coordinata rimane univocamente fissata. Pertanto, per individuare un punto di un piano abbiamo bisogno di due valori: uno meno della dimensione dello spazio in cui il piano si trova (tre).

In altre parole, possiamo ottenere una rappresentazione parametrica:

basata su due soli parametri.

Lo stesso vero in dimensioni maggiori: un punto su un iperpiano di uno spazio a 4 dimensioni individuato da 3 parametri, ecc.

iperspazi non euclidei

Spazi euclidei e spazi non euclideiback to indexQuelli di cui abbiamo parlato finora sono spazi pluridimensionali euclidei, che generalizzano lunico tipo di spazio che lo studente di scuola media superiore conosce quello bidimensionale o tridimensionale della geometria euclidea e quello bidimensionale dellanalisi delle funzioni di una variabile reale.

Ma la geometria avanzata conosce svariati tipi di spazi pluridimensionali: spazi vettoriali, spazi affini, spazi proiettivi, spazi di Riemann, solo per citare i primi che si incontrano approfondendo lo studio della disciplina. Prima di arrivare a parlare di tali spazi, definiti spazi astratti, introduciamo un esempio che ci servir per chiarire le idee: lo spazio delle fasi di una bicicletta.Lo spazio delle fasi di una bicicletta

back to indexUna bicicletta ha cinque parti mobili: il manubrio, la ruota anteriore, linsieme pedivella-catena-ruota posteriore e i pedali (figura 0705251106) Ognuna di queste parti richiede, per la sua descrizione, una coordinata di posizione e una coordinata di velocit. Il movimento di una bicicletta, se non consideriamo la sua posizione sulla strada, quindi il moto in uno spazio a dieci dimensioni. Un tale tipo di spazio, che ha dimensioni che rappresentano posizioni e dimensioni che rappresentano velocit prende il nome di spazio delle fasi.

Gli spazi astratti della matematica modernaback to indexDallesempio precedente (spazio delle fasi di una bicicletta) cominciamo a renderci conto che la matematica moderna utilizza spazi in cui una o pi delle caratteristiche che usualmente associamo al concetto di spazio pu mancare.

Pu scomparire il concetto di distanza: nello spazio delle fasi della bicicletta, che distanza ci pu essere tra una bici col manubrio voltato a destra e una bici col manubrio voltato a sinistra?

Pu essere definita una distanza del tutto differente da quella euclidea, come nel caso del cronotopo (spaziotempo) della relativit ristretta.Per quanto sia difficile crederlo, esistono spazi in cui definita la posizione reciproca dei punti ma in cui non pu essere definita una distanza, nel senso che qualsiasi funzione distanza che fosse definita darebbe una topologia diversa da quella considerata.Questi spazi differenti dallo spazio euclideo ricadono entro categorie generali aventi caratteri comuni. Spesso i matematici non sono interessati allo studio di questo o quello spazio particolare, ma precisamente di queste categorie, definite come spazi astratti.Uno spazio astratto un insieme di punti dotato di una struttura generalmente definita specificando un insieme di assiomi che devono essere soddisfatti dai punti.Si tratta di un tipico approccio assiomatico: esattamente come nella geometria euclidea, il concetto di punto un concetto primitivo che resta non-definito, o meglio, viene definito solo attraverso le relazioni che ha con gli altri punti o con altri concetti primitivi.Importanti tipi di spazi astratti sono lo spazio vettoriale, lo spazio topologico, lo spazio metrico, lo spazio di Hilbert.Lo spazio vettoriale uno spazio astratto, dove i punti o vettori u, v, w, sono enti di qualsiasi genere che soddisfano i seguenti assiomi:

u + (v + w) = (u + v) + w

u + v = v + u

Esistenza di un elemento tale che v + 0 = v

1 v = v

h (k v) = (h k) v

k (v + w ) = k v + k w

dove h, k sono numeri reali o complessi o elementi di strutture analoghe, chiamate campi e 1 lelemento neutro del campo.

Un esempio familiare di spazio vettoriale lo spazio dei vettori liberi tridimensionali della fisica, che possiamo raffigurare come una palla irta di vettori che hanno il loro punto iniziale (o punto di applicazione) in una origine comune. Le copie di tali vettori applicate a questo o quel punto dello spazio, definiti vettori applicati, rappresentano in realt un unico vettore libero, di cui hanno la stessa direzione, lo stesso verso e la stesso modulo o grandezza (lunghezza)

Un altro esempio, meno intuitivo, di spazio vettoriale, quello delle enople di numeri con laddizione componente per componente e la moltiplicazione scalare.

Esiste lo spazio vettoriale delle funzioni su insiemi (es. spazio di Banach), lo spazio vettoriale dei polinomi in x, lo spazio vettoriale delle matrici ecc.

Gli spazi metrici, come vedremo pi avanti, sono insiemi tra due punti qualsiasi dei quali stabilita una distanza. Negli spazi vettoriali metrici, dove esiste una distanza, vengono anche definiti angoli.Gli spazio topologici, che pure vedremo, hanno definita la posizione reciproca dei punti ma non la distanza.

Anche lo spazio euclideo in realt studiato come spazio astratto, di cui lo spazio fisico solo un caso particolare: i suoi punti possono essere qualsiasi cosa, dai polinomi alle matrici, ai punti dello spazio fisico ai vettori geometrici. La definizione matematica di spazio euclideo varia lievemente ma coincide nella sostanza: si tratta di uno spazio affine dotato di una metrica euclidea per alcuni matematici; per altri pu essere descritto come lo spazio vettoriale delle enople (spazio prodotto di R) dotato di struttura di spazio affine e di distanza euclidea.Queste due definizioni coincidono, se si considera che uno spazio vettoriale pu essere pensato come spazio euclideo se si considerano i vettori come punti e i vettori-differenza tra due vettori dati come vettori di uno spazio euclideo. Ad esempio, il vettore differenza tra (3,3,3) e (1,1,1) (2,2,2), che viene considerato come il vettore il cui capo iniziale nel punto (2,2,2) e il cui capo finale nel punto (3,3,3)

Parecchi degli spazi sopra descritti non hanno pi molto in comune col concetto di spazio fisico cui siamo abituati: a parte il fatto di essere composti da punti a ciascuno dei quali possiamo assegnare una coordinata.Spazi di Hilbert

back to indexMatematicamente, lo spazio euclideo appartiene alla importante categoria degli spazi di Hilbert. Leggiamo le parole con cui il matematico Tim Gowers lo definisce. Ma che cos uno spazio di Hilbert? Nei corsi universitari di matematica esso viene definito come uno spazio vettoriale completo dotato di prodotto interno. Si suppone che gli studenti che seguono le lezioni sappiano, dai corsi precedenti, che uno spazio completo se in esso ogni successione di Cauchy convergente. Naturalmente, per dare un senso a questa definizione, gli studenti devono conoscere anche le definizioni di spazio vettoriale, prodotto interno, successione di Cauchy e convergenza. Eccone almeno una (non la pi lunga): una successone di Cauchy una successione x1, x2, x3, tale che per ogni numero intero positivo , esiste un intero N tale che, per ogni coppia di interi p,q maggiori di N, la distanza tra xp e xq minore di . In poche parole, per avere qualche speranza di capire cos uno spazio di Hilbert occorre prima studiare e digerire una lunga sequela di concetti di livello inferiore. Non stupisce che questo richieda tempo e fatica. E poich lo stesso vale per molte delle pi importanti nozioni matematiche, ci pone limiti ben precisi agli argomenti trattabili in modo soddisfacente in una esposizione divulgativa della matematica attuale.

Lo spazio delle posizioni di unasta rigida su un piano

back to indexSupponiamo di avere unasta rigida che pu scivolare su un piano. La sua posizione (o configurazione ) pu essere fissata assegnando le coordinate cartesiane x,y di una estremit e langolo che lasta forma con una direzione prefissata. In questo caso lo spazio delle configurazioni tridimensionaleLo spazio che rappresenta il moto di un puntoback to indexLutilit della geometria a pi dimensioni consiste ad esempio nella straordinaria precisione con cui ci consente di descrivere delle configurazioni di oggetti fisici o di sistemi complessi, come ad es. quelli sociali o biologiciDi fatto anche la geometria in due e tre dimensioni utilizzata per scopi che vanno oltre la semplice rappresentazione dello spazio fisico. Spesso, per esempio, rappresentiamo il moto di un oggetto tracciando un grafico che riporta le distanze percorse a tempi diversi.Il piano in cui viene rappresentato il moto non ha esistenza fisica uno spazio delle fasi bidimensionale e il moto delloggetto un insieme di punti in tale spazio.

Pi in generale la geometria multidimensionale aiuta a visualizzare e trattare problemi di meccanica, psicologia, economia, in cui intervenga un certo numero di variabili.

Lo spazio delle posizioni di una zolletta di zucchero su un tavoloback to indexLa posizione di una zolletta di zucchero che pu essere spostata sul piano di un tavolo senza cambiare la faccia rivolta in basso pu essere descritta fornendo le coordinate di due degli spigoli della faccia a contatto col tavolo. Poich ogni spigolo ha due coordinate, una posizione della zolletta non altro che un punto in uno spazio quadridimensionale. Si potrebbe pensare che ad ogni punto di tale spazio corrisponda una posizione della zolletta, ma non cos.I due spigoli devono mantenere una distanza fissa. Supponendo che tale distanza sia di 2 cm le posizioni della zolletta saranno i punti dello spazio 4-dimensionale che soddisfano lequazione:

si tratta di una equazione di secondo grado in quattro variabili, che definisce una ipersuperficie nel nostro spazio. In altre parole, le posizioni della zolletta possono essere visualizzate come una superficie in uno spazio quadridimensionale.

Lo spazio delle fasi del pendoloback to indexUn pendolo definito dalla sua posizione e dalla sua velocit. La posizione pu essere espressa da un numero che individua un punto sulla circonferenza che esso pu percorrere; la velocit pu pure essere espressa con un singolo numero. Pertanto lo spazio delle fasi del pendolo uno spazio bidimensionale.

Supponiamo che il pendolo, a cui impressa una velocit iniziale v0 dal suo punto di riposo, continui a muoversi indefinitamente senza attrito, sotto linfluenza dellimpulso iniziale e della forza di gravit.Ad ogni velocit iniziale v0 corrisponde una linea nello spazio delle fasi che descrive il moto del pendolo. Osserviamo tali linee nella figura 0705271234:

Se il pendolo immobile la sua traiettoria consister di un punto singolo: il punto O la posizione di equilibrio stabile del pendolo con il peso verso il basso, mentre i punti coincidenti G e H sono la posizione di equilibrio instabile del pendolo capovolto, col peso posto sopra lasta.Le linee chiuse sono le oscillazioni del pendolo che non ha sufficiente velocit per raggiungere il punto di svolta superiore F nella figura di destra e superarlo (traiettorie DEED della figura di destra)

Le linee aperte sono le traiettorie del pendolo che ha sufficiente velocit per arrivare al punto F e scendere dal lato opposto (traiettorie DEFCD della figura di destra).Il cronotopo di Minkowski

back to indexUn esempio di spazio pluridimensionale il cronotopo di Minkowski, uno spazio in cui la quarta dimensione una coordinata legata al tempo t ed espressa, per ragioni di convenienza matematica come:

[0705280722]x4 = i c tGrazie alla forma matematica data alla coordinata x4, dove i lunit immaginaria dei numeri complessi, un fronte donda luminosa che si espande ha equazione

[0705280723]x12 + x22 + x32 + x42 = 0

Se interpretiamo lespressione a primo membro della [0705280724] come la distanza dei punti del fronte donda dallorigine possiamo introdurre la distanza relativistica:

[0705280724]x12 + x22 + x32 + x42Questa distanza ha un comportamento particolare: i punti del fronte donda di luce nello spaziotempo hanno distanza zero dallorigine. Distanze maggiori di quella relativistica tra due punti indicano che si sta prendendo in considerazione due eventi nello spaziotempo separati da una distanza spaziale superiore a quella che coprirebbe il raggio luminoso generato dal primo evento. Distanze minori di quella relativistica indicano che il secondo evento si verifica in un punto dello spazio che il raggio luminoso generato dal primo raggiunge prima che esso si verifichi.

In figura 0705280603 mostrata la proiezione in tre dimensioni, x, y, t, di un ipercono che rappresenta il fronte donda di un lampo di luce che si diparte dal centro (0,0,0,0) del cronotopo. Il trucco che ci consente di visualizzarlo consiste nel rimuovere la dimensione z, come se si stesse guardando il cono di luce che si allarga sul pavimento costituito dal piano x, y quando accendiamo una lampadina. Allora ogni foglio orizzontale del grafico pi in alto rappresenter il cerchio di luce sul pavimento in momenti diversi.

Considerando la distanza relativistica come un invariante per trasformazioni lineari di coordinate si ottiene il gruppo di trasformazioni di Lorentz, che lespressione einsteiniana della relazione tra le coordinate di due sistemi inerziali.

Lo spazio delle variabili di un sistema economico

back to indexGli economisti studiano il comportamento di sistemi economici con migliaia di operatori (consumatori e imprese) e decine di parametri che ne definiscono il comportamento (preferenze, et, reddito, consumi ecc. delle famiglie; quantit impiegata di fattori, produzione, profitti ecc. delle imprese).

In particolare, essi tentano di aiutare i manager a massimizzare i profitti agendo su centinaia di variabili (quantit di fattori impiegati, curve di domanda dei consumatori, costo dei fattori, spese di marketing ecc.). Pertanto lavorano in uno spazio a migliaia di dimensioni, dove i vincoli vengono visualizzati sotto forma di superfici multidimensionali come ellissoidi ad n dimensioni ed altri oggetti altrettanto esotici.

Le coordinate lagrangiane

back to indexLesempio della zolletta di zucchero mostra anche come le coordinate di un sistema fisico descritto da uno spazio delle fasi normalmente siano coordinate lagrangiane.

Questo tipo di coordinate, fu introdotto nel Settecento dal grande matematico piemontese Jean-Louis de Lagrange nella sua opera Mcanique Analitique, che costitu il pi grande avanzamento nello studio della meccanica dopo quello avutosi con Isaac Newton.In uno spazio delle fasi ci che conta il numero dei gradi di libert, cio il numero di parametri necessari per descrivere uno stato del sistema. Come si visto nel caso della zolletta, sovente le coordinate sono legate fra loro (dati due spigoli della zolletta, le coordinate degli spigoli rimanenti risultano deducibili da questi), in modo che un insieme di m velocit e posizioni pu essere descritto con un numero n < m di parametri, corrispondenti ai gradi di libert del sistema. Pi vincoli ha un sistema (nel nostro esempio il vincolo consiste nella distanza tra gli spigoli della zolletta), minore il numero dei parametri con cui pu essere descritto. Ad esempio, la posizione della zolletta completamente determinata dalla posizione di un vertice e dallangolo che uno spigolo fissato della zolletta forma con tale vertice: la presenza del vincolo riduce a tre il numero dei parametri necessari per descrivere la sua posizione.Il passo successivo nella descrizione dei sistemi fisici fu fatto da de Lagrange: egli mostr che il fisico non vincolato, nella scelta delle coordinate con cui descrive la configurazione di un oggetto, alle coordinate cartesiane delloggetto: in realt, qualsiasi insieme di grandezze o misurazioni da cui si pu risalire alle posizioni e alle velocit di un sistema pu costituire un sistema di coordinate. Esistono in realt infiniti insiemi di parametri che possono fungere da coordinate, ed possibile scegliere quelli pi adatti a trattare matematicamente il problema che si ha dinanzi; lunica cosa che hanno in comune questi insiemi di parametri il numero: esso sempre pari ai gradi di libert del sistema. Questi insiemi di parametri prendono il nome di coordinate lagrangiane. Per chiarire il concetto svilupperemo lesempio classico di un sistema meccanico costituito da particelle in moto.Supponiamo di incollare alla parete di un montacarichi un tubo trasparente di gomma, e, mentre il montacarichi sta salendo con velocit costante k, di lasciar cadere nel tubo una pallina.

Matematicamente, abbiamo un sistema bidimensionale formato da una particella puntiforme vincolata a muoversi su una curva di equazione x2 = x12 (supponendo che questa equazione descriva la curvatura del tubo di gomma) e che sottoposta ad un campo gravitazionale uniforme i cui vettori sono paralleli allasse y e con verso contrario.

Il vincolo risultante dal fatto che la particella si pu muovere solo lungo la curva ascendente esprimibile con la formula:

y = x2 + kte cio:

x2 kt + y = 0

La presenza del vincolo fa s che le coordinate cartesiane siano in realt dipendenti luna dallaltra: il sistema ha quindi non due, ma un grado di libert.

Piuttosto che attribuire alla particella due coordinate, x e y, un modo pi economico di esprimere la sua posizione quindi quello di rimuovere i parametri dipendenti (cio che possono essere ricavati da altri parametri) e coordinatizzarla con i soli parametri indipendenti, che prendono il nome di coordinate generali o lagrangiane.

Non esiste un solo modo per scegliere le coordinate lagrangiane, ma piuttosto infiniti. Noi sceglieremo come coordinata lagrangiana il valore di x1, dal quale si pu immediatamente calcolare il valore di x2.

Usualmente, per distinguere dalle coordinate cartesiane, indicate con xi, le coordinate lagrangiane vengono indicate con qi.

Poich la particella in movimento, le coordinate lagrangiane, come le coordinate cartesiane, sono funzioni di t, e andrebbero scritte come qi(t). In quanto tali esse possono essere derivate rispetto al tempo.

Esiste una precisa corrispondenza tra coordinate lagrangiane e coordinate cartesiane. Abbiamo dunque delle equazioni di trasformazioni di coordinate:

x = x(q1,,qn)

y = y(q1,,qn)

Proseguendo nel nostro esempio, essendoci solo la coordinata q1 scriviamo:

x = x(q1)

y = y(q1)

e cio:

[0708091855]x = q1[0708091855]y = q12 + kt

Il vincolo che abbiamo introdotto un vincolo dipendente dal tempo, perch le espressioni mostrano che il piano inclinato si trasla in alto con moto uniforme.

Il sistema ha anche delle condizioni iniziali q10, x0, y0 che sono utilizzate per integrare le equazioni differenziali che esprimono e condizioni del sistema in un momento di tempo t qualsiasi.

Possiamo ora esprimere il vettore posizione della particella come funzione delle coordinate lagrangiane e del tempo:

x = x(q1 , t)

y = y(q1 , t)

La presenza di t non significa altro che nelle [0708091855] il tempo compare come variabile. Questo indica una doppia dipendenza di y dal tempo: in ogni tempo t il valore di q12(t) va modificato di una quantit dipendente direttamente dal tempo, che non inglobata in q1.

Niente impedisce di considerare come coordinata lagrangiana il valore dellespressione x2 + kt : in questo caso, terminologicamente, il vincolo non sarebbe dipendente dal tempo.

La particella, sotto leffetto della forza gravitazionale, in movimento. Possiamo calcolare il valore della componente verticale vy della velocit ed esso risulta:

[0708061900]

Essa non altro che lapplicazione del chain rule o regola di derivazione delle funzione composte:

[0708091906]

dove lultimo addendo si riduce chiaramente a y/tPossiamo considerare un esempio semplificato, lineare, che ci permette di interpretare meglio le derivate, in cui il vincolo sia una retta con pendenza +2 che si sposta verso lalto. Allora si ha:

In questa formula le qi sono dette velocit generalizzate.

ipersuperfici e variet (manifolds)

Generalizzazione del concetto di superficieback to indexAbbiamo visto che il concetto di piano pu essere generalizzato nel concetto di iperpiano, che un insieme di punti le cui coordinate sono soluzioni di una equazione del tipo:

F(x1,x2,,xn)

Nello stesso modo si descrive in tre dimensioni una superficie generica; ad esempio lequazione di una sfera di centro (0,0,0) e raggio 1 (figura 0705181040), la seguente:

x12 + x22 + x32 = 1

Il luogo dei punti che soddisfa una singola equazione algebrica in cui compaiano tutte le coordinate, cio un polinomio

F(x,y,z) = 0

di grado n arbitrario in cui compaiano monomi con potenze di x, y, z in grado arbitrario una superficie algebrica.Possiamo facilmente generalizzare il concetto in quello di ipersuperficie algebrica: il luogo dei punti che in uno spazio n-dimensionale soddisfa lequazione:[0705191645]F(x1,x2,,xn) = 0

Analogamente, se lequazione non algebrica (equazione trascendente), si ottiene la definizione di ipersuperficie trascendente.Allidea intuitiva di superficie come parte che delimita un corpo, la matematica sostituisce il concetto di un ente geometrico a due dimensioni nel quale ogni punto dipende essenzialmente dal valore di due numeri, detti parametri.

Queste superfici hanno in comune una propriet tipica delle superfici in tre dimensioni: di dividere lo spazio prossimo ad esse in due parti. Si vede infatti che i punti dello spazio che non appartengono alla superficie si dividono due insiemi: linsieme dei punti le cui coordinate, sostituite nella [0705191646], danno valore maggiore di zero, e linsieme dei punti le cui coordinate, sostituite nella [0705191646], danno valore minore di zero.Per tornare allesempio della sfera di centro (0,0,0) e raggio 1 la equazione:x12 + x22 + x32 = 1

pu essere scritta in forma implicita:

x12 + x22 + x32 1 = 0

Se poniamo il punto di coordinate (1/2,0,0) in tale equazione otteniamo 3/4, il che mostra che i punti allinterno della sfera hanno coordinate che danno valore negativo e i punti allesterno positivo.

Una superficie espressa sotto forma di equazione si dice espressa in forma implicita. Un altro modo di esprimerla quello detto parametrico. Allidea intuitiva di superficie come frontiera di un solido geometrico o contorno di una porzione limitata di spazio, avente solo due dimensioni la matematica sostituisce il concetto di un ente geometrico a due dimensioni nel quale ogni punto dipende essenzialmente da due numeri, detti parametri. Cos, una superficie in tre dimensioni sar definita come linsieme dei punti le cui coordinate x1, x2, x3 sono quelle espresse da tre equazioni del tipo:

x = f1(u,v)

y = f2(u,v)

z = f3(u,v)

al variare dei due parametri u,v definiti in un adeguato intervallo ( u1 u u2, v1 v v2)Ad esempio, la sfera di cui sopra pu essere espressa come: x = r sen u cos v

y = r sen u sen v

z = r cos u

per 0 u,v < 2 (vedi figura 0705200810)

Cos vediamo come il concetto di superficie pu essere generalizzato in due modi diversi, corrispondenti a due propriet distinte di una superficie nello spazio tridimensionale:

(A)Una superficie divide lo spazio prossimo ad essa in due parti (forma di equazione implicita)(B)Una superficie pu essere definita da due parametri (forma parametrica)In spazi con dimensioni superiori a tre questi concetti portano a differenti definizioni di superficie. Abbiamo visto che il concetto (A) porta a quella che viene chiamata ipersuperficie. Il concetto (B) porta alla nozione di manifold bidimensionale, la cui definizione data in termini di n equazioni di due variabili (parametri):x1 = f1(u,v)

x2 = f2(u,v)

.................

xn = fn(u,v)

Le variet (manifolds)

back to indexAbbiamo visto che in uno spazio 4-dimensionale esiste un sottoinsieme di punti le cui coordinate (p,q,r,s) sono individuate dalla equazione:

(p r)2 + (q s)2 = d2che rappresenta le posizioni di una sedia. Vedremo pi avanti che in uno spazio tridimensioniale in cui le variabili x,y,z rappresentano le quantit vendute di tre diversi tipi di prodotti da parte di una impresa liperpiano di equazione ax + by + cz = P rappresenta i punti in cui il profitto pari a P. Vedremo ancora che gli stati di un sistema periodico sono rappresentati da una linea chiusa nello spazio delle fasi.Ci rendiamo cos conto che allinterno degli iperspazi ci sono set di punti di particolare importanza. Essi costituiscono altrettanti esempi degli oggetti matematici chiamati variet (inglese manifold).Il concetto di variet uno dei pi importanti della matematica moderna. In pratica una variet una generalizzazione della nozione di superficie per un numero arbitrario di dimensioni e per spazi pi generali di quelli euclidei (ne abbiamo visto diversi esempi).Quindi i tipi pi semplici di variet sono quelle a una sola dimensione nello spazio euclideo bidimensionale (le curve nel piano, con la retta come caso particolare) e quelle a due dimensioni nello spazio euclideo tridimensionale (le superfici nello spazio, con il piano come caso particolare).Il concetto di variet di ordine n in un m-spazio euclideo coincide col concetto di ipersuperficie parametrizzabile con n parametri u1,u2,,un che abbiamo esposto pi sopra.

Ad un livello pi complesso, esistono insiemi di punti come quelli delle posizioni della sedia in un 4-spazio individuati da tre coordinate e non da due (determinando i soli tre valori di p,q,r rimane determinato il valore di s).Ma esistono variet pi esotiche, come linsieme delle ellissi in R3 con il fuoco in (0,0,0), o, come abbiamo visto, linsieme delle posizioni di una sedia in uno spazio quadridimensionale o linsieme delle posizioni di un pendolo nel suo spazio delle fasi bidimensionale o linsieme di tutti i possibili cerchi in R3.Limitandoci alle variet dette aperte contenute in iperspazi di maggiore dimensione (cosiddette variet immerse o embedded manifolds), che sono pi vicine al concetto intuitivo di superficie in uno spazio tridimensionale, si pu definire una variet topologica (il tipo pi semplice) di dimensione n come un insieme di punti di un iperspazio a ciascuno dei quali sono assegnate coordinate (x1,x2,,xn) per mezzo di una serie di mappe interallacciate che coprono tutta la variet. Ogni mappa una porzione di Rn che ha la caratteristica di essere una esatta copia della porzione di variet rappresentata, non nel senso che conserva distanze o angoli, ma nel senso che conserva la topologia, cio la posizione reciproca dei punti. Possiamo renderci conto di questo proiettando una calotta sferica S sulla porzione di piano rappresentata dal disco S (figura 0711111512): n le distanze n gli angoli saranno conservati, ma due punti vicini sulla calotta saranno ancora vicini se proiettati sul disco e un punto A separato da un punto B da altri punti sar ancora separato se proiettato sul disco.

Una simile rappresentazione si dice omeomorfa.Linsieme delle mappe prende il nome di atlante della variet. Perch non una sola mappa? Perch per certe variet non possibile proiettare i punti su ununica carta in modo bijettivo mantenendo la stessa posizione reciproca. Pensiamo ad esempio ad una sfera: essa non pu essere proiettata su alcun piano esterno senza che si abbiano duplicazioni.

Nella figura 0705251941 la proiezione lungo la linea tratteggiata collega al punto A non uno, ma due punti P1 e P2 della sfera, quindi non bijettiva.

Nella figura 0705251942 la proiezione detta stereografica, per quanto ingegnosa, non riesce a proiettare il punto N, corrispondente al polo nord. Facendo corrispondere questo punto ad un qualsiasi punto di R2 non si conserverebbe la sua posizione rispetto agli altri punti. Quindi la proiezione stereografica su un unico piano non omeomorfa.

Un modo di coordinatizzare la sfera in realt quello di proiettare i sei emisferi diversi che possono essere individuati su di essa su altrettanti piani R2 (figura 0705251943)

In tal modo si ottiene un atlante composto da 4 carte: C1, C2, C3, C4.

Le singole carte dellatlante sono interallacciate: una descrizione completa della variet deve riportare anche il modo in cui, nelle regioni in cui esse si sovrappongono, le coordinate di una carta si trasformano in quelle dellaltra carta relative al medesimo punto.

Che cosa differenzia le variet dagli iperspazi in cui sono immerse? Assolutamente nulla: entrambi hanno una dimensione e dei punti e le variet normalmente hanno un numero infinito di punti esattamente come gli iperspazi. Entrambi sono dotati di una topologia. Entrambi possono avere una metrica. Anche le variet possono essere studiate come oggetti a s stanti, senza riferimento allo spazio che le contiene: tanto vero che una variet che pu essere immersa in uno spazio tridimensionale pu essere immersa altrettanto bene in uno spazio di dimensione superiore.Non a caso alcuni autori usano i termini manifold, variety, hyperspace come sinonimi.

Le variet differenziabili

back to indexVariet come le ipersuperfici sorgono naturalmente in relazione a problemi di analisi matematica e fisica. Lo studio di tali problemi richiede per la possibilit di usare il calcolo differenziale e integrale sviluppato per gli spazi euclidei anche sulle variet; ad esempio desiderabile derivare una funzione il cui dominio non sia il familiare spazio R2 ma una variet costituita da una superficie curva; oppure calcolare con passaggi al limite la lunghezza di una linea su una variet dotata di una metrica non-euclidea.

Il calcolo differenziale tradizionale che il lettore probabilmente conosce meglio, quello delle funzioni reali di una variabile reale (o, come viene indicato nei testi universitari, delle funzioni R R) o delle funzioni reali di due variabili reali (o funzioni R2 R) assolutamente inadeguato, ed stato il compito di diverse generazioni di matematici generalizzarlo ed estenderlo in modo da poterlo applicare alle variet.

La prima generalizzazione stata attuata passando da funzioni R R a funzioni Rn Rm, dette funzioni a valori vettoriali di variabile vettoriale. Per vettori si intendono qui i vettori dati da enople di numeri reali. Una tipica funzione a valori vettoriali di variabile vettoriale espressa da m funzioni coordinate di n variabili:y1 = f1(x1,,xn)

..

ym = fm(x1,,xn)

essa porta un generico punto (x1,,xn) Rn nel punto (y1,,ym) Rm che costituisce la sua immagine attraverso la funzione f. Centrale nel calcolo multivariato la nozione di derivata direzionale di tale funzione f in un punto (x1,,xn) del dominio lungo un vettore di coordinate (r1,,rn). Il valore che si ottiene un vettore di Rm che costituisce il risultato della derivazione vettoriale su Rn.Il passo successivo consiste di dotare al variet di carte che la fanno somigliare localmente ad Rn. Se esiste un atlante di carte che copre tutta la variet (si pensi alla superficie sferica di cui si detto sopra) e il passaggio da una carta allaltra avviene in modo continuo, cio un diffeomorfismo, allora la variet somiglia localmente ad Rn, cio i suoi punti hanno coordinate costituite da enople di Rn e quindi le funzioni da una variet verso unaltra variet ci appaiono come funzioni multivariate Rn Rm, che possono essere trattate con i metodi del calcolo multivariato.Un sistema di coordinate che consente di applicare i metodi del calcolo multivariato anche a superfici curve e in genere a variet multidimensionali prende il nome di struttura differenziabile. Due variet che possiedono la stessa struttura differenziabile sono pi che omeomorfe, sono diffeomorfe. Un diffeomorfismo un omeomorfismo infinitamente differenziabile che possiede una inversa infinitamente differenziabile.Come gi visto, ci sono variet estremamente astratte come linsieme delle posizioni di unasta su un piano o in uno spazio tridimensionale; linsieme delle posizioni delle circonferenze di raggio unitario nello spazio tridimensionale; Linsieme delle ellissi nello spazio tridimensionale con uno dei fuochi nel punto di coordinate (0,0,0), eccetera.

Il concetto di variet stimola a sua volta la generalizzazione di ulteriori concetti geometrici. Ad esempio il concetto di linea retta come tragitto pi breve tra due punti viene generalizzato in quello di geodetica. Su una superficie sferica le linee pi brevi sono i diametri di cerchio massimo, e non esiste una sola linea pi breve tra due punti, ma ne esistono infinite. In alcuni particolarissimi casi non ne esiste nessuna.

Le variet e i tensori

back to indexUno strumento molto potente per lo studio delle variet, che permette di svincolarlo dal sistema di coordinate particolare con cui si ha a che fare, il calcolo tensoriale, sviluppato alla fine dellOttocento dai matematici italiani Ricci-Curbastro e Levi-Civita e impiegato da Einstein, insieme alla geometria riemanniana, nella teoria della relativit generale. Esso si basa sul concetto di tensore, che una generalizzazione del familiare concetto di vettore. Le leggi fisiche o matematiche, espresse in forma tensoriale, acquistano una straordinaria eleganza e semplicit.la topologia

Le variet e la topologia

back to indexLe variet topologiche sono oggetto di studio di quella disciplina matematica che prende il nome di topologia. Della topologia difficile dire se pi sorprendente la natura rivoluzionaria dei contenuti e limpatto sulle altre branche della matematica (0612101659) o il fatto che sia stata scoperta solo dopo 5000 anni di pensiero matematico. Sebbene qualche teorema topologico era noto a studiosi come Leonhard Euler gi nel Settecento, linizio della disciplina si fa propriamente risalire allinizio del Novecento.La topologia studia le propriet di un insieme di punti invarianti per deformazione continua. Queste propriet sono chiamati invarianti topologici. Consideriamo ad esempio un foglio quadrato di gomma sottilissima e infinitamente deformabile. Distanze, angoli, aree non si conserveranno quando ad es. lo deformiamo fino ad ottenere una calotta semisferica. Ma la posizione reciproca dei punti si conserva: due punti che erano separati da altri punti prima della deformazione lo saranno ancora dopo la deformazione. Due linee chiuse sulla superficie saranno ancora linee chiuse. Due linee che avevano in comune un punto avranno ancora in comune un punto. E cos via.

Il correlativo di questa affermazione che non si pu passare, per deformazione topologica da un insieme di punti che ha determinate caratteristiche topologiche ad un insieme che ha caratteristiche differenti: per quanto si deformi il foglio quadrato, che una superficie aperta, non si riuscir ad ottenere una sfera, che una superficie chiusa, cio senza bordi. Per quanto si deformi una sfera, non si riuscir a trasformarla in una ciambella o toro, che una superficie dove esistono linee chiuse che non possono essere deformate con continuit fino ad ottenere un punto: il numero di buchi di una ciambella doppia, tripla ecc. un invariante topologico. Per quanto si deformi il nastro di Moebius non si riuscir ad ottenere un cilindro, perch un cilindro ha due superfici, mentre il nastro di Moebius ne ha una sola. E cos via. Stabilire se una variet topologica pu essere o no trasformata in unaltra costituisce uno dei problemi principali che occupano i topologi. Scherzosamente, la topologia chiamata anche india-rubber mathematics, cio matematica del caucci. Due variet deformabili luna nellaltra sono, come vedremo variet omeomorfe e per il topologo formano un unico oggetto.

Ancora pi sorprendente il comportamento della bottiglia di Klein(0612100942). La bottiglia di Klein una superficie chiusa non autointersecantesi che ha una sola faccia. Ma essa non raffigurabile come tale in uno spazio tridimensionale, perch non possibile costruire una superficie chiusa ad una sola faccia senza farla passare attraverso se stessa, come si vede dalla figura 0705260710). Limmagine tridimensionale quindi una pura approssimazione descrittiva di una superficie che pu essere rappresentata in modo soddisfacente solo passando ad uno spazio a 4 dimensioni.

La nozione di posizione reciproca dei punti alquanto vaga. Una delle maggiori conquiste della topologia sta nellaver individuato una serie di concetti che descrivono in modo rigoroso e completo la nozione imprecisa di posizione reciproca dei punti di un insieme. Consideriamo ad esempio la forma che assumono tali concetti nella topologia euclidea del piano R2, che quella che viene correntemente insegnata agli studenti e che costituisce la base per lanalisi matematica, il calcolo differenziale e il calcolo integrale.

Consideriamo un insieme S in R2. Col termine di intorno di un punto p in R2 si definisce linsieme di punti che distano da p una distanza inferiore ad una distanza data d o un qualsiasi insieme contenente questi punti. Se il concetto di distanza introdotto in R2 euclideo, allora ogni intorno contiene unarea circolare in R2 avente un raggio positivo d e centro in p definito intorno circolare di raggio d. Lintorno di un punto p in un insieme lintersezione dellintorno di p e dellinsieme. Si dice insieme aperto un insieme ciascuno dei punti del quale ha un intorno completamente composto da punti dellinsieme. Si parla in tal caso di punti interni. Un intorno aperto semplicemente un intorno che un insieme aperto. Linsieme dei punti interni di un insieme costituisce il suo interno. Un punto di S che possiede un intorno formato di punti diversi da punti di S si dice punto isolato di S. Un punto p in ogni intorno del quale cadono punti di S diversi da p si dice punto di accumulazione. Un punto p in ogni intorno del quale cadono sia punti di S (che potrebbero essere anche p) e punti non appartenenti ad S si dice punto di frontiera. Tra i punti di frontiera rientrano evidentemente anche i punti isolati, perch in ogni loro intorno cadono punti appartenenti ad S (loro stessi) e punti non appartenenti ad S. Linsieme dei punti interni e dei punti di frontiera di un insieme rappresenta la chiusura di un insieme. Un insieme che coincide con la propria chiusura si dice insieme chiuso. Un insieme che coincide col proprio interno si dice insieme aperto. Tutto questo pu essere visualizzato con una figura (figura 0705260702).Una funzione da un insieme S ad un insieme T collega ad ogni punto p di S uno ed un solo punto di T f(p) chiamato immagine del punto p. Una funzione si dice bijettiva se ad ogni punto di S corrisponde un solo punto di T e ogni punto di T ha una sola controimmagine in S. Nel caso di bijezione, la funzione che porta ogni punto di T nella sua unica controimmagine in S detta funzione inversa della funzione f. Dato un insieme V di T linsieme U dei punti di S le cui immagini sono in V costituisce la controimmagine del sottoinsieme V di T. Una funzione da S a T si definisce funzione continua se la controimmagine di un insieme aperto di T ancora un insieme aperto di S. Una funzione bijettiva e continua, la cui inversa sia ancora continua si dice omeomorfismo. Il concetto di omeomorfismo estremamante importante in topologia: due insiemi di punti omeomorfi hanno la stessa posizione reciproca e possono essere deformati con continuit luno nellaltro.Espressa nel linguaggio della topologia, la definizione di variet suonerebbe allincirca cos: una variet topologica di ordine n un insieme ogni punto del quale ha un intorno aperto omeomorfo ad un intorno aperto di Rn.

Giochi topologici

back to indexOsserviamo la figura 0705210803, dove sono mostrate delle superfici cave di sottilissima gomma che pu essere deformata o ristretta a piacimento, ma non tagliata. Siamo in grado di manipolare loggetto a sinistra per ottenere quello di destra?

La soluzione mostrata qui sotto.

Osserviamo la figura 0705210840: siamo in grado di dire dalla deformazione di quale degli oggetti posti a sinistra si ottiene il bicchiere a destra?

Osservate la figura 0705210905: essa raffigura la bottiglia di Klein, che ha la caratteristica di essere una superficie chiusa non autointersecantesi con una sola faccia. E possibile rappresentare tridimensionalmente questa superficie? La rappresentazione della figura 0705210905 risponde esattamente alla definizione? Se no, qual il numero minimo di dimensioni in cui una bottiglia di Klein pu essere esattamente disegnata?

Risposta: la bottiglia di Klein non pu essere disegnata esattamente in tre dimensioni perch in ogni caso si autointerseca. Ma in quattro dimensioni essa pu penetrare in s stessa senza intersecarsi, perch in tal caso possibile spostare i punti della intersezione un po pi in l nella quarta dimensione, in modo che non intersechino la superficie.

Usi degli iperspazi: il problema di re Oscar di Svezia

back to indexUn esempio di uso degli iperspazi quello che ne fece il matematico Henri-Jules Poincar(0612081850). per risolvere un quesito scientifico posto dal re Oscar di Svezia, che mise in palio un premio per la soluzione.

Alla fine dellOttocento la scienza astronomica era molto progredita, ma non si era ancora riusciti a dare risposta alla domanda: il sistema solare un sistema stabile? E cio: i pianeti continueranno nel loro moto oppure giunger un momento in cui si allontaneranno luno dallaltro nello spazio, collideranno fra di loro o altereranno le loro orbite e la loro distanza dal Sole?

Per quanto possa sembrare sorprendente, la formulazione matematica rigorosa di questa domanda estremamente difficile, e richiese lo sforzo di una delle menti pi notevoli del diciannovesimo secolo.

Tentando di dare una soluzione, Poincar si rese conto che la posizione e direzione di moto di n corpi celesti in un dato istante t potevano essere descritte come punti di un tipo di spazio chiamato spazio delle fasi, dotato di 2 n 3 dimensioni in cui le prime 3 n coordinate descrivono la posizione di n corpi nello spazio, mentre le rimanenti 3 n coordinate esprimono la loro quantit di moto m v, che, essendo v un vettore, richiedono parimenti 3 coordinate.

Mentre il sistema si evolve nel tempo, il punto si muove descrivendo una curva. Poincar ridusse cos una successione di stati del sistema a una linea nello spazio delle fasi.

Perch i corpi celesti tornino periodicamente a percorrere le stesse orbite, questa curva deve chiudersi; se osserviamo il percorso tracciato in figura 0705251332, occorre che il percorso sia quello A, che passi di nuovo per il punto iniziale O, e non quello B o C.

Quand che una curva si chiude? Si noti che la domanda non riguarda la forma o la grandezza o la posizione della curva chiusa; si tratta in altre parole di un problema topologico.Lidea di Poincar semplice ed elegante: la curva si chiude se, data una porzione di piano che incorpori uno e un solo punto della curva nel tempo t0, esista un tempo t1 in cui il sistema occupi di nuovo lo stesso punto. Questa porzione di piano si chiama sezione di Poincar. Una volta ripassato per lo stesso punto il sistema deve ripassare per tutti i punti che ha percorso fino a quellistante, perch abbiamo incorporato nelle coordinate anche le velocit, e non solamente le posizioni. Il fatto notevole che possiamo posizionare la sezione di Poincar in un qualsiasi punto della curva: il fatto che si abbia il passaggio nel medesimo punto anche in una sola sezione, implica che la curva che descrive il moto del sistema sia chiusa (figura 0705251341).

Nella realt il problema praticamente insolubile perch liperspazio deve comprendere la posizione e quantit di moto di ciascun singolo granello di polvere cosmica: in caso contrario esso sar un modello incompleto e le previsioni fatte sulla sua base non saranno attendibili. Per questo gli iperspazi che descrivono fenomeni fisici o sociali hanno un numero incredibilmente alto di dimensioni.

Con gli stessi strumenti di dinamica topologica con cui si studia il moto di un sistema fisico come il sistema solare, si pu studiare il funzionamento dei sistemi economici per stabilire se determinati fenomeni (es. crisi economiche ed espansioni economiche) hanno un andamento ciclico o no.

gli spazi curvi

La distanza nei manifold e negli iperspaziback to indexUna caratteristica delle variet topologiche che pu apparire aliena e lontana dal senso comune che molte di esse non posseggono distanze tra i punti e che comunque il concetto di distanza non essenziale per la loro esistenza.

Noi siamo abituati a spazi in cui sono misurabili distanze. In linguaggio matematico rigoroso, in tali spazi definita una metrica, cio una funzione d(p,q) che a due punti qualsiasi p,q assegna un valore chiamato distanza e che possiede le seguenti caratteristiche:

d(p , q) 0

d(p , q) = 0 p = q

d(p , q) = d(q , p)

d(p , r) d(p , q) + d(q , r)In altre parole, la distanza pu essere qualsiasi cosa, purch abbia tre caratteristiche: a) la distanza di un punto da se stesso zero; b) la distanza tra due punti sempre positiva; c) la distanza tra il punto p e il punto q eguale alla distanza tra il punto q e il punto p; d) la somma della distanza tra p e q e della distanza tra q ed r deve essere non superiore alla distanza tra p ed r.

La metrologia, ad esempio, definisce la distanza di un metro come quella tra due tacche sul metro campione di Parigi, in corrispondenza del punto di partenza e del punto di arrivo di un raggio di luce che ha viaggiato nel vuoto, rasente alla superficie, per il tempo di un trecentomillesimo di secondo, cio per il tempo che impiega la luce emessa da un atomo di cesio cui sia stata fornita una ben determinata energia addizionale ad oscillare 9.192.631.770 volte nel vuoto.

Possiamo pensare di misurare le distanze disponendo di una fibra ottica monodimensionale (nei libri di fantascienza appaiono fibre monomolecolari, che ne sono un buon sostituto) e perfettamente trasparente, di disporla lungo la superficie in modo che segua la via pi breve tra due punti, sincronizzare gli orologi e poi segnare il tempo di partenza e quello di arrivo (Einstein avrebbe qualcosa da ridire). Questo ci permette di calcolare la distanza su superfici curve.

Le distanze che possono essere definite sono le pi varie; la metrica euclidea, in cui la distanza viene calcolata, come si visto, con il teorema di Pitagora, solo un caso particolare di una metrica pi generale, detta metrica riemanniana, che viene definita punto per punto, in modo che, per esprimerci in termini intuitivi, le distanze in un intorno infinitamente piccolo del punto sono date dalla formula generale:

[0705280554]ds2 = g11 dx1 dx1 dx1 + g12 dx1 dx1 dx2 + + gnn dxn dxn dxnSu una superficie bidimensionale come la calotta sferica di figura 0705262021 la formula diviene:

[0705280555]ds2 = g11 dx1 dx1 + g12 dx1 dx2 + g21 dx2 dx1 + g22 dx2 dx2dove le quantit gjk sono le componenti del cosiddetto tensore metrico.

I valori dx1 e dx2 indicano uno spostamento infinitesimo in direzione x1 e uno spostamento infinitesimo in direzione x2. Il simbolo dx1 e dx2 anzich x1 e x2 indicano, nel linguaggio tradizionale dellanalisi il passaggio ai differenziali, cio in sostanza a spostamenti infinitesimi. Osserviamo ora la figura 0705262021;

In essa mostrata una variet costituita da una superficie a forma di calotta semisferica nello spazio tridimensionale, coordinatizzata mediante proiezione che assegna ad ogni punto della calotta la coordinata del corrispondente punto del piano x1x2, detto piano dei parametri . Un tale modo di assegnare le coordinate per proiezione viene detto parametrizzazione di Monge.Ad esempio, il punto P alla sommit della sfera ha le coordinate assegnate al punto Q nel piano sottostante. I due spostamenti nel piano, componendosi secondo la nota regola del parallelogramma, danno uno spostamento da R ad R cui corrisponde, sulla calotta, uno spostamento ds, il cui valore viene appunto calcolato secondo la formula di distanza di Riemann. Il vettore che va da R ad R viene detto vettore spostamento (displacement vector). La formula che lega dx1, dx2 e ds nel caso di calotta sferica viene ricavata, a titolo di esemplificazione, nel paragrafo successivo a questo. il lettore potrebbe saltare la dimostrazione e leggere la formula [0704230935], che ancora una volta espressa nella forma [0705280554].La distanza euclidea nello spazio a tre dimensioni si misura secondo la formula particolare:

ds2 = 1 dx1 dx1 + 1 dx2 dx2 +1 dx3 dx3dove il vettore (dx1 dx2, dx3) rappresenta uno spostamento infinitesimo dal punto p.

Le variet caratterizzate dalla metrica riemanniana si dicono variet di Riemann, e sono particolarmente importanti per la teoria generale della relativit.

Propriet di forma, metriche, topologiche di una superficie

back to indexPer poter capire meglio le propriet topologiche di una superficie, sviluppiamo le seguenti considerazioni, che richiedono concetti di geometria differenziale, ma che possono essere comprese nelle linee generali anche da chi non possiede le basi di questa disciplina.

Consideriamo una scodella che rigiriamo tra le nostre mani. Loggetto matematico che modellizza la sua faccia esterna una superficie curva che subisce traslazioni e rotazioni in un sistema di riferimento tridimensionale.

Ad ogni mutamento cambia lequazione che descrive la superficie in forma implicita (come dicono i matematici) cio del tipo

f(x,y,z) = 0

Per peggiorare le cose, scegliendo un altro sistema di coordinate (per es. spostando lorigine degli assi cartesiani o ruotandone la terna) lequazione cambia ulteriormente.

Lequazione non quindi lo strumento adatto o quantomeno immediato per dar forma matematica alla nostra intuizione che vede uno stesso oggetto costituito da una superficie immersa in uno spazio tridimensionale.

E possibile stabilire le regole con cui lequazione cambia: date due equazioni, f(x,y,z) = 0 e g(x,y,z) = 0 esse rappresentano la stessa superficie se con un cambiamento di coordinate si pu trasformare luna nellaltra.

Ma cos che rimane matematicamente invariante in questi cambiamenti?

Il problema di isolare i caratteri necessari e sufficienti ad individuare una superficie senza riguardo alla sua posizione nello spazio fu risolto solo a met dellOttocento, con la scoperta della seconda forma fondamentale di una superficie, ad opera di Gauss e dei suoi successori.

Mentre la metrica della superficie viene determinata dalla conoscenza, punto per punto, dei coefficienti E,F,G della espressione (detta prima forma fondamentale):

E dx12 + 2F dx1 dx2 + G dx22

che fornisce la lunghezza, della derivata direzionale nel punto considerato secondo il vettore (dx1,dx2) dello spazio dei parametri, per la determinazione anche della forma indipendentemente dalla posizione necessario conoscere i coefficienti della seconda forma fondamentale , che fornisce la componente della variazione del vettore normale alla superficie nella direzione della derivata direzionale secondo il vettore (dx1,dx2):

L dx12 + 2M dx1 dx2 + N dx22

Qui non si vuole entrare nel dettaglio di tale teoria, ma solo evidenziare due dei risultati sorprendenti degli studi di Gauss e dei successori: 1) Le caratteristiche di una superficie coordinatizzata possono essere descritte intrinsecamente, senza riferimento ad uno spazio in cui essa immersa; 2) una metrica non sufficiente a fissare la forma della superficie.

Senza forse accorgersene gli studiosi avevano formulato la matematica che permetteva di descrivere le propriet invarianti di un foglio di carta quadrettato arrotolato, appallottolato, utilizzato per fare origami.

Sembra proprio che lunica cosa che contraddistingua una superficie inestensibile ma ripiegabile siano le qualit metriche (chiamate qualit intrinseche della superficie) determinate dalla sola prima forma fondamentale.

Le qualit metriche, che sono indipendenti dal modo in cui la superficie immersa nello spazio, fanno parte del gruppo delle propriet intrinseche della superficie. Le propriet intrinseche di una superficie, approssimativamente parlando, sono quelle che possono essere misurate o scoperte da un essere bidimensionale che vive interamente sulla superficie.

Si era in tal modo fatto un passo avanti decisivo verso la individuazione di gruppi di propriet indipendenti di una superficie.

Se togliamo anche le propriet metriche e lasciamo solo le propriet di posizione reciproca otteniamo uno spazio topologico, che non pi un foglio di carta, ma un foglio di gomma sottile.

Cos, quando ad una variet di ordine 2 come una superficie in R3 o in dimensioni pi alte si aggiunge una metrica la trasformiamo da foglio di gomma a fazzoletto di seta: una estensione indeformabile ma infinitamente ripiegabile. Una delle pi grandi sorprese dei matematici fu la scoperta che fissare una distanza tra i punti di una superficie non ne determina in modo unico la forma. Un sottilissimo fazzoletto di seta ha una distanza fissa due suoi punti qualsiasi, e quindi non deformabile come un foglio di gomma, ma non ha una forma definita: pu stare nel nostro taschino o essere dispiegato sulle nostre ginocchia.

Gli spazi curvi bidimensionaliback to indexQuanto detto sul concetto di distanza vale anche per gli iperspazi che contengono le variet. Pochi anni dopo la scoperta delle geometrie non euclidee ad opera di Bolyai e Lobacevskji, Bernhard Riemann(0612081856) si rese conto che ogni geometria dipende dalla metrica che si definisce su una superficie.Immaginiamo una formica puntiforme, cio un animaletto costituito da un unico punto geometrico. Se la formica costretta a vivere entro una linea curva senza poterne uscire allora diciamo che vive in uno spazio monodimensionale curvo.

Una formica che vive sulla superficie di una sfera o di un iperboloide o di unaltra superficie curva vive in uno spazio bidimensionale curvo. Se la formica vive in un piano essa vive in uno spazio bidimensionale euclideo.

Come pu la formica rendersi conto se il suo spazio uno spazio euclideo o uno spazio curvo? Un metodo sarebbe quello di andare in orbita su una navetta spaziale, guardare gi e constatare che la superficie curva. Ma il nostro animaletto bidimensionale, cio non pu muoversi in tre dimensioni. Allora dovrebbe utilizzare un sistema alernativo, consistente nel piantare due lunghissimi filari paralleli di alberi, col seguente metodo, che si pu immaginare ad es. applicato ad una superficie sferica (figura 0705261732).Tiriamo ben bene una cordicella da un punto A ad un punto B, e a met piantiamo il primo albero H. Poi tendiamo due cordiicelle di eguale lunghezza da A e B e piantiamo lalbero D dove esse si incontrano. Poi raddoppiamo la lunghezza delle cordicelle e, nel punto del loro incontro, piantiamo lalbero G. Proseguiamo cos indefinitamente. Con la stessa operazione piantiamo gli alberi I, E, F del filare di destra.

Se, proseguendo allinfinito la piantagione i due filari si avvicinano siamo in uno spazio curvo sferico; altrimenti in uno spazio curvo iperbolico. Se gli alberi non giungono mai a toccarsi allora siamo in uno spazio euclideo (superficie piana). Nella figura 0705261733 sono mostrate, in alto, parti ingrandite rispettivamente della sfera e delliperboloide a una falda, che una superficie quadrica, cio rappresentata da una equazione polinomiale di secondo grado in x, y, z del tipo:

Un altro modo per rendersi conto se si vive su un piano o no quello di misurare larea di un triangolo disegnato sulla superficie: se larea inferiore a quella ottenuta con le formule di geometria euclidea allora la superficie iperbolica; se larea superiore allora la superficie sferica (figura 0705261848).

Un altro modo di rendersi conto se la Terra curva il seguente: Partite dal Polo Nord e viaggiate verso sud per circa 10000 chilometri, dopo aver preso nota della direzione iniziale. Quindi virate verso sinistra ad angolo retto e percorrete la medesima distanza. Virate ancora verso sinistra e percorrete la medesima distanza. Poich 10000 chilometri allincirca la distanza del polo dallequatore il vostro viaggio vi avr portati dal Polo Nord allequatore, quindi lungo lequatore per un suo quarto e infine nuovamente al polo Nord. Inoltre, la direzione lungo la quale avete fatto ritorno forma un angolo retto con quella di partenza. Ne segue che sulla superficie della Terra esiste un triangolo equilatero con tutti gli angoli retti. Su una superficie piana, per, gli angoli di un triangolo equilatero devono essere di 60 gradi sono uguali e la loro somma 180 gradi , quindi la superficie della Terra non piana.

Sempre in riferimento allesempio precedente, si pu notare che il teorema di Pitagora, applicato al triangolo ABC, con il lato BC interpretato come ipotenusa e i lati AB e AC interpretati come cateti non fornisce i valori corretti. Secondo tale teorema la distanza BC sarebbe infatti:

mentre, come abbiamo visto, il valore esatto 10.000.

Mentre il triangolo ABC sulla sfera a sinistra detto triangolo sferico, il triangolo ABC sulliperboloide a destra detto triangolo iperbolico. La caratteristica di un triangolo iperbolico di avere la somma degli angoli interni inferiore a 180

Gli spazi curvi tridimensionali

back to indexLidea-base di spazio curvo in realt molto semplice: in uno spazio curvo non valgono gli assiomi della geometria euclidea. Come i fisici moderni fanno notare, niente assicura che lo spazio in cui viviamo soddisfi gli assiomi di Euclide, e sia cio uno spazio euclideo. Se non lo facesse sarebbe uno spazio curvo.

Uno dei pi grandi matematici tedeschi dellOttocento, Gauss, misur un triangolo con i vertici coincidenti con le cime di monti distanti alcune centinaia di chilometri, per stabilire (si dice) se la la somma degli angoli interni fosse proprio di 180, come postulato da Euclide.

Nello spazio curvo, non vale in particolare la formula euclidea (pitagorica) della distanza. Questo richiede per alcune precisazioni. La formula euclidea vale solo per un sistema di coordinate cartesiano ortogonale. Lo spazio euclideo, coordinatizzato in coordinate polari cilindriche o sferiche (innumerevoli altri sistemi di coordinate sono parimenti possibili) non possiede una formula di distanza euclidea (questo stato visto pi sopra). Inoltre, per intorni infinitesimi sempre possibile trovare, anche in uno spazio curvo, un sistema di coordinate tali che la formula di distanza sia quella euclidea (si pensi al punto apicale di una parametrizzazione di Monge di una calotta sferica).

I coefficienti gjk nella formula:

ds2 = g11dx1dx1 + g12dx1dx2 + + gnndxndxncostituiscono gli n2 valori di un oggetto matematico chiamato tensore metrico. Dire che la formula di distanza si modifica a seconda del sistema di coordinate vuol dire che i valori del tensore si trasformano secondo una legge legata alle equazioni di cambiamento di coordinate. Questa legge di variazione detta covarianza. In gergo matematico possiamo dire che il tensore metrico unico come la distanza che esprime (la distanza invariante per trasformazione di coordinate) ma i suoi valori variano in ciascun sistema. Il fatto che il tensore metrico vada pensato come unico non toglie che sia utile disporre di un invariante numerico cio di un tensore i cui n2 valori in un punto non varino al variare delle coordinate e varino da punto a punto solo se la curvatura cambia.

Un tale tensore avrebbe diversi vantaggi rispetto al tensore metrico: ci consentirebbe di stabilire se lo spazio flat, cio riducibile a coordinate euclidee, semplicemente mediante il confronto con il valore invariante del tensore di curvatura dello spazio euclideo (tale valore zero), invece di lasciarci nel dubbio, come fa il tensore metrico, che un dato sistema di coordinate possa essere cambiato in un sistema euclideo; inoltre ci direbbe se il sistema ha o no una curvatura costante, cosa che non pu essere ricavata dallesame del tensore metrico, perch i coefficienti gjk dellelemento di distanza di uno spazio a curvatura costante, in molti sistemi di coordinate, variano da punto a punto (ad esempio lelemento di distanza di una calotta sferica, nei sistemi di coordinate diversi da quello latitudine-longitudine varia da punto a punto).Il tensore di curvatura non altro che la generalizzazione di una misura della curvatura delle superfici introdotta da Gauss. Egli scopr una indicatrice, chiamata curvatura gaussiana che, se zero in ogni punto della superficie, rivela una superficie piana, sia pure arrotolata in vario modo.

Senza un tensore di curvatura possiamo procedere fino ad un certo punto in modo intuitivo o basandoci sul tensore metrico. Per uno spazio curvo tridimensionale sferico ancora possibile dimostrare intuitivamente (come faremo) che la distanza tra due punti non mai euclidea: la difficolt consiste nel fatto che la non-pitagoricit di un sistema di coordinate non prova necessariamente che non ve ne siano altri che conducano ad una formula pitagorica.

Ma per spazi sferici di dimensione 4 o superiore, o per spazi di curvatura costante non-sferici o addirittura per spazi di curvatura non costante n la curvatura gaussiana n i ragionamenti intuitivi riescono a condurre alla dimostrazione conclusiva che non esiste un sistema cartesiano di coordinate. Necessita il tensore di curvatura.Purtroppo, la determinazione di tale invariante alquanto complessa matematicamente. Ad esempio, la curvatura, per lo spazio tridimensionale, data da sei valori, perch uno spazio tridimensionale pu essere curvato in molte direzioni, per ciascuna delle quali pu esistere una curvatura diversa.

Una volta posseduto il tensore di curvatura, si pu calcolarlo in riferimento allo spaziotempo incurvato dalla gravit e verificare tramite esso che effettivamente non esiste alcuna trasformazione di coordinate che introduca dovunque la distanza euclidea, e quindi concluderne che tutti gli spazi, in presenza della gravit, sono curvi.Una volta mostrato che il cronotopo incurvato dalla gravit, possiamo, per semplificare, supporre che esso abbia una curvatura sferica, cio sia una ipersfera a 4 dimensioni in uno spazio pentadimensionale, come effettivamente si suppone che sia per luniverso su larghissima scala.

Lo spazio fisico non altro che una fetta di cronotopo ottenuta tenendo fermo un istante di tempo t. Si vede facilmente che quel che ne risulta una ipersfera a tre dimensioni. Come dice Tim Gowers, potremmo scoprire di vivere in realt non nello spazio di Euclide, ma sulla superficie di una ipersfera a tre dimensioni (una ipersfera a tre dimensioni o S3 non una sfera dello spazio tridimensionale parametrizzata con due parametri, bens una sfera dello spazio tetradimensionale coordinatizzata con tre parametri).

Lo spazio incurvato dalla gravit: la relativit generale di Einsteinback to indexUn noto matematico ha scritto che esiste una seria possibilit che luniverso in cui viviamo sia la superficie tridimensionale di una sfera a quattro dimensioni (anche se non escluso che lo spazio su grande scala non sia curvo, o che la curvatura sia, anzich positiva, come in questo caso, negativa).

Quello che il matematico in questione si scordato di precisare (per amore di una malintesa volgarizzazione) che, in termini matematici rigorosi, la frase suonerebbe cos: esiste una seria possibilit che luniverso in cui viviamo sia una sezione spaziale di un cronotopo costituito da una sfera tetradimensionale in uno spazio pentadimensionale dotato di una metrica flat semiriemanniana di signatura (-1,+1,+1,+1). Si tratta di un modello abbastanza semplice di spaziotempo denominato Spazio di de Sitter.

Tralasciando i concetti pi avanzati, se il lettore si sufficientemente familiarizzato con la nozione di cronotopo o spaziotempo della relativit ristretta, egli pronto ad affrontare un breve cenno di relativit generale.

La intuizione che consent ad Einstein di incorporare nel suo modello di spazio gli effetti della gravit, e che egli chiam la pi felice della mia vita, la seguente. Immaginiamo di essere in un ascensore, senza contatti con lesterno, in modo che non possiamo renderci conto se siamo in prossimit o meno di un corpo che genera un campo gravitazionale. Se, lontano da qualsiasi pianeta, lascensore viene fatto accelerare uniformemente in direzione normale al lato su cui sono poggiati i nostri piedi (che chiameremo pavimento) noi sperimentiamo una forza gravitazionale diretta verso il pavimento; ma lo stesso avviene se lascensore, fermo, posto in prossimit di un pianeta, con il pavimento rivolto verso la superficie del pianeta. Per noi che siamo chiusi nellascensore del tutto impossibile stabilire se la forza attrattiva sia dovuta alla presenza di un campo gravitazionale o ad una accelerazione impressa al sistema.Supponiamo ora che, mentre lascensore viene accelerato, un raggio di luce entri da un forellino posto nella parete alla nostra destra, e colpisca la parete alla nostra sinistra. Losservatore nellascensore noter che il raggio ha una traiettoria curva. Poich abbiamo postulato che non si ha modo di distinguere gli effetti di un campo gravitazionale da quelli di una accelerazione del sistema, dobbiamo concludere che un campo gravitazionale ha, sul raggio di luce, lo stesso effetto.Per poter determinare gli effetti della gravit sul cronotopo, occorre un altro esperimento. Supponiamo che, in un razzo sottoposto ad una forte accelerazione, due sperimentatori, Bill e George, uno presso la punta del razzo, e un altro presso la coda (figura 0711111829). Ad ogni secondo segnato dallorologio situato nella punta del razzo, bill invia un segnale luminoso a George, che determina lintervallo tra i segnali in base allorologio posto nella coda del razzo.

Mentre Bill afferma che gli intervalli dellorologio sono di un secondo, George osserva che essi sono inferiori ad un secondo, perch laccelerazione del razzo spinge George in direzione del segnale, facendo s che esso sia captato meno di un secondo dopo il precedente. Il principio di equivalenza tra accelerazione e campo gravitazionale implica quindi che un campo gravitazionale faccia andare pi veloci gli orologi posti in prossimit della sorgente del campo, e cio posti in un punto in cui il potenziale gravitazionale minore.Cerchiamo ora di dare una espressione matematica precisa a questi rilievi. Per semplificare lanalisi supponiamo che il le formule valide per il nostro caso siano quelle newtoniane, senza alcun effetto dovuto alla relativit speciale.In questo modo possiamo considerare lesistenza di un unico tempo per i due orologi, e non dobbiamo fare i conti con leffetto relativistico della contrazione delle lunghezze nel verso del moto. Supponiamo di avere una terna di assi cartesiani, con il razzo che si muove lungo lasse z; Le posizioni di Bill e George saranno quindi punti dellasse z dipendenti dal tempo. Chiameremo zB(t) la posizione di Bill e zG(t) la posizione di George. Se al tempo zero George occupa la posizione z = 0 e la distanza verticale tra George e Bill pari ad h, allora si avr:[0711111953]

[0711111954]

Bill emette il primo impulso luminoso al tempo t = 0; pertanto, invece di t0 scriveremo semplicemente 0. Il tempo in cui il primo impulso ricevuto t1. Il secondo impulso emesso dopo un intervallo tB che anche lintervallo come misurato da Bill. George riceve il secondo impulso dopo un intervallo di tempo che egli misura come tG. Pertanto il tempo t1 + tG il tempo al quale il secondo intervallo ricevuto.La distanza percorsa dal primo impulso luminoso prima della sua ricezione

[0711112001]zB(0) zG(t1) = c t1dove ovviamente c la velocit della luce. La distanza percorsa dal secondo impulso prima della sua ricezione pi corta, ed data da:[0711112002]zB(tB) zG(t1 + tG) = c(t1 + tG tB)Calcolando nella [0711112001] e nella [0711112002] zG e zB secondo le formule [0711111953] e [0711111954] e considerando trascurabili tutti i termini elevati al quadrato o a potenza superiore otteniamo:

[0711112005]

[0711112006]

Sottraendo membro a membro la [0711112006] dalla [0711112005] otteniamo:

[0711112010 ]

e cio:

[0711120202 ]

e cio:

[0711120205 ]

Tenendo conto della [0711112005], la quantit pu essere scritta come:

[0711120150]

Trascurando termini dellordine di otteniamo:

[0711120208]

che sostituito nella [0711120205] d:

[0711120209 ]

[0711120209 ]

Considerato che :

[0711120230 ]

e che, essendo trascurabile si pu scrivere:[0711120231 ]

e cio si pu scrivere:

[0711120232 ]

la [0711120209] equivale a:

[0711120233 ]

In altre parole, lintervallo tra gli impulsi che viene misurato da George approssimativamente pi piccolo di un fattore rispetto allintervallo misurato da Bill.

Se invece degli intervalli tra i segnali consideriamo la frequenza dei segnali otteniamo:

[0711112025 ]

Dato che :[0711120234 ]

e, trascurando il termine:[0711120235]

e cio:

[0711120236]

possiamo scrivere:

[0711120235]

che equivale a dire che:

[0711120237]

Per il principio di equivalenza, la [0711120237] deve valere anche in un campo gravitazionale. In un campo gravitazionale gh proprio la differenza tra il potenziale gravitazionale B del punto in cui si trova Bill e il potenziale gravitazionale del punto G in cui si trova George:

Pertanto otteniamo, con buona approssimazione:

[0711120238]

[0711120754]

dove il potenziale gravitazionale (xi) dipende dalla posizione, ed , per esempio intorno alla Terra, pari a

dove M la massa della Terra e G la costante gravitazionale.Nel 1919, uno dei pi celebri esperimenti scientifici di tutti i tempi mostr che lidea dello spazio curvo non era solo una fantasia da matematici, ma un fatto della vita. Secondo la teoria della relativit generale di Einstein, pubblicata quattro anni prima, lo spazio incurvato dalla gravit, e per questo la luce non viaggia sempre in linea retta, almeno non nel senso in cui Euclide avrebbe inteso il termine. Leffetto troppo piccolo per essere percepito in condizioni normali, ma nel 1919 si present lopportunit di uneclisse totale di sole, visibile dallIsola di Principe nel Golfo di Guinea. Nel corso delleclisse il fisico Arthur Eddington scatt una foto che mostrava come le stelle pi prossime al sole non stessero esattamente dove avrebbero dovuto, proprio come previsto dalla teoria di Einstein. In altre parole, erano visibili, per la curvatura dei raggi di luce dovuta alla enorme forza gravitazionale del sole, delle stelle che non sarebbero state visibili se i raggi di luce fossero stati linee rette (figura 0705262039).

I fisici affermano che lo spazio curvo localmente, perch incurvato dalla forza di gravit. Stanno ancora discutendo per stabilire la struttura a grande scala dello spazio.

I cambiamenti di coordinate e la formula di distanza

back to indexQuando diciamo che uno spazio euclideo se la metrica di Riemann rappresentata dalla formula:

[0705271659]ds2 = 1 dx1 dx1 + 1 dx2 dx2 +1 dx3 dx3e cio:

[0705312049]ds2 = dx12 + dx22 + dx32si impongono alcune precisazioni, perch uno spazio euclideo pu essere coordinatizzato in modo tale che non vale la formula [0705312049]. Infatti, perch valga la formula occorre che i punti dello spazio (possiamo pensare allo spazio fisico) abbiano coordinate riferite a una terna di assi ortogonali con unit di lunghezza costituite da segmenti congruenti, cio sovrapponibili per traslazione. In tal caso le coordinate, costituite ciascuna dalla distanza con segno del punto dagli assi, misurata secondo le unit dellasse parallelo al segmento pi breve tra il punto e lasse, sono tali che la distanza definita tra i punti quella euclidea.

Ma non in tutti i sistemi di coordinate possibili la formula della distanza quella euclidea.

Cosa sono le coordinate? Dei numeri assegnati ai punti, si potrebbe rispondere in prima battuta.

Coordinatizzare un foglio vuol semplicemente dire dare un nome ai suoi punti. Dire punto (1,1) dare semplicemente un nome costituito da numeri ad un oggetto chiamato punto che costituisce un elemento di una superficie spaziale(0612110433).

Tuttavia, se fatta mediante assegnazione di numeri, loperazione di coordinatizzazione non solo, nelle intenzioni dei coordinatizzatori, lassegnazione di un nomen, ma anche di una posizione reciproca dei punti, e cio di una topologia.

Quindi normalmente la coordinatizzazione rispecchia una topologia.

Cos, vero che attribuendo ad una citt 50 long. e 50 lat. e ad unaltra 30 long. e 20 lat. intendiamo esprimere anche lidea che la prima citt pi a est e pi a sud di della seconda.

A ciascuna coppia di punti cos individuati si pu as