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SCIENZE E RICERCHE • N. 22 • 1° FEBBRAIO 2016 | SCIENZE DELL’INGEGNERIA

La formula matematica che unifica le forme naturali e astratte LUCIANO MESCIA1, DIEGO CARATELLI2, PIETRO BIA3 E JOHAN GIELIS4

1 Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione, Politecnico di Bari, Italia2 The Antenna Company International, Heindhoven, Olanda3 EmTeSys S.r.l, Bari, Italia 4 Dipartimento di Bioingegneria, Università di Antwerp, Belgio

La formula matematica che unifica le forme naturali e astratte LUCIANO MESCIA1, DIEGO CARATELLI2, PIETRO BIA3 E JOHAN GIELIS4

1Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione, Politecnico di Bari, Italia 2The Antenna Company International, Heindhoven, Olanda 3EmTeSys S.r.l, Bari, Italia 4Dipartimento di Bioingegneria, Università di Antwerp, Belgio

PREMESSA La materia animata e inanimata si organizza in innumerevoli varietà di strutture la cui forma, essendo regolata dalle leggi della natura, è oggetto di studio della fisica e della matematica. Interpretate partendo dai loro aspetti matematici e fisici, le differenti forme della natura sono il risultato di un compromesso tra le risposte adattative specifiche per ciascuna pressione selettiva ambientale e vincoli strutturali interni. A tali meccanismi, tipici della selezione naturale, è necessario associare anche le regole dell’ereditarietà codificata nella molecole di DNA così come la presenza di geni invisibili e semplici regole che contribuiscono a dare forma agli animali e all’evoluzione. In altre parole, l’evoluzione, il DNA e i geni, essendo alla base dell’origine e dei mutamenti delle differenti forme naturali, agiscono in modo da eliminare le forme non adatte. Di conseguenza, ogni forma naturale dalla più semplice alla più complessa, essendo vincolata da leggi fisiche, può in linea di principio essere descritta matematicamente per mezzo di opportune formule. Nel corso dei secoli, matematici e scienziati hanno sempre cercato di trovare l’equazione matematica che governa la geometria e le differenti forme della natura. In particolare, essendo affascinati da strutture regolari, essi hanno focalizzato l’attenzione nella ricerca di un’equazione semplice e comprensibile capace di creare forme e disegni che imitano la natura. Tale attività, ha assunto oggi un ruolo di fondamentale importanza in problemi di tipo biologico. Infatti, da un’attenta analisi della natura e del paesaggio si capisce che le forme

della natura sono organizzate alcune volte secondo strutture geometriche perfette e in molti altri casi secondo geometrie meno riconoscibili che necessitano di un esame più approfondito [1-3]. Nel mondo vegetale ad esempio, i petali, i semi e gli elementi di infiorescenza dei fiori, le foglie e i rami degli alberi, le squame di una pigna sono molto spesso disposti seguendo particolari curve matematiche caratterizzate da un’occupazione ottimale dello spazio. Nel mondo animale invece, le conchiglie, le corna, le zanne, gli artigli, le orecchie, le code, il manto di animali pezzati possono essere modellati per mezzo di forme caratterizzate dalle proprietà di omogeneità e autosomiglianza. Sorprendentemente, anche elementi naturali inorganici come cicloni terrestri e marini così come le galassie che compongono l’universo possono essere descritti da curve e superfici modellabili matematicamente. Di conseguenza, è naturale porsi domande su cosa determina la forma di un oggetto e quale è la relazione tra forma e funzione matematica, e se la matematica può insegnarci qualcosa sulla natura oppure si adatta semplicemente alle forme naturali reali che pretende di descrivere. In tale contesto, la matematica rappresenta quindi un indispensabile strumento per conoscere i meccanismi che regolano relazioni e proporzioni, geometrie e forme di cui l’uomo, dall’antichità ad oggi, si è sempre servito per studiare, rappresentare e indagare la realtà. Da sempre, le forme osservate in natura e la varietà delle configurazioni e strutture degli esseri viventi sono state stimolo di interessanti indagini scientifiche. Le antiche civiltà egiziana

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e babilonese svilupparono buone capacità di carattere aritmetico e geometrico basandosi sul metodo empirico che sfruttava le osservazioni ripetute per formulare regole. Fu solo con l’avvento della civiltà Greca che nacque un nuovo metodo di approccio alla matematica che, partendo da assiomi, utilizzava rigorosi ragionamenti per dimostrare teoremi. In tale contesto, la geometria rivestiva un ruolo di fondamentale importanza e di conseguenza lo studio delle varie forme naturali fu affrontato utilizzando semplici forme geometriche come sezioni coniche, superfici quadriche, cilindri, sfere, poligoni e poliedri. Dopo un lungo periodo buio per la matematica e la geometria, si arriva al XVI secolo durante il quale, rivisitando l’eredità greca, gli scienziati inventarono la geometria analitica e l’analisi matematica moderna. A partire da Cartesio la curva viene concepita come un insieme di punti le cui coordinate soddisfano un’equazione algebrica. Verso la fine del XVII secolo, grazie all’invenzione del calcolo infinitesimale da parte di Newton e Leibniz, il concetto di curva assunse un significato più generale, in quanto descritta da equazioni in cui sono presenti integrali e funzioni iperboliche. Infatti, Huygens, Leibniz, Bernoulli e Eulero scoprirono che le curve catenaria e isocrona sono le soluzioni di particolari problemi di ottimizzazione. Infine, dal XVIII secolo la teoria delle curve viene collocata all’interno di teorie più vaste come la geometria proiettiva, la geometria differenziale, l’analisi geometrica e la topologia.

A partire dagli inizi del ventesimo secolo, lo studio delle forme naturali ha subito una vera e propria rivoluzione in quanto basato sull’analisi dei fenomeni che sono alla base della generazione delle forme stesse, di cui i contributi storici più significativi sono rappresentati dai lavori di D’Arcy Thompson [1] e Alan Turing [4]. Tale approccio, è oggi inadeguato in quanto non è in grado di risolvere specifiche problematiche che si riscontrano nello studio delle differenze di forma. Di conseguenza, allo scopo di catturare la geometria complessiva delle forme biologiche, è stato recentemente sviluppato l’approccio della

morfometria geometrica. In tale contesto, forme biologiche più complesse sono analizzate utilizzando l’analisi di Fourier ellittica [5-6], approcci basati su algoritmi che generano piante virtuali [7] o tecniche di modellazione dinamica [8-9]. Inoltre, con l’avvento della grafica e della visione computerizzate e grazie allo sviluppo di computer caratterizzati da enormi capacità computazionali, sono stati ideati e implementati sofisticati ed efficienti algoritmi così come metodi numerici per generare e rappresentare organismi e organi biologici. Purtroppo, anche l’approccio della morfometria geometrica presenta dei limiti in quanto introduce una sorta di variabilità che può diventare molto ampia anche nella descrizione di una singola specie. Infatti, gli algoritmi possono ad esempio generare perfettamente piante virtuali ma non possono descrivere esattamente piante reali. Pertanto, è molto più utile considerare un puro approccio geometrico capace di descrivere una grande varietà di forme geometriche per mezzo di una formula matematica semplice e generale.

Le superquadriche, sono molto utilizzate nella progettazione assistita al calcolatore per modellare una grande varietà di oggetti semplici come diamanti, cubi, cilindri, sfere e le varie forme intermedie. Esse, sono un’estensione delle superfici quadriche in cui è possibile modificare la forma rendendole tondeggianti o squadrate [10]. Allo scopo di incrementare i gradi di liberta e consentire quindi la modellizzazione di forme più complesse in modo abbastanza preciso, sono stati proposti nuovi metodi che includono le iperquadriche [11], le quadriche razionali [12] e ray-quadrics [13]. Sfortunatamente, nonostante le varie tecniche, le superquadriche non sono molto versatili per rappresentare le più comuni forme naturali in quanto sono limitate ad un sistema di assi ortogonali e sono incapaci di generare forme asimmetriche. Allo scopo di fornire una descrizione più generale e uniforme delle forme naturali, Johan Gielis (uno degli autori di questo articolo), seguendo l’approccio geometrico, ha proposto un’equazione matematica che è una generalizzazione del teorema di Pitagora e delle curve e superfici di Lamé per ogni tipo di simmetria [14]. Tale formula, può essere

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Figura1. Alcuni esempi di curve generate con la formula di Gielis che modellano la forma dei fiori. considerata uno strumento molto efficiente per generare curve e superfici che descrivono in modo univoco e uniforme un’ampia varietà di forme naturali come ad esempio molte tipologie di cellule animali e vegetali, fiori, conchiglie, ragnatele, foglie, stelle marine, cristalli, galassie e perfino l’universo relativistico [15-16]. Come le sezioni coniche, tramite le curve e superfici di Gielis ogni forma diventa commensurabile e simmetrica in perfetto accordo con i paradigmi della filosofia Greca e della geometria moderna. FORMULAZIONE MATEMATICA L’ideazione della formula di Gielis ha seguito un processo graduale basato su concetti geometrici generali e su alcune idee mutuate dal mondo della botanica. All’inizio del XIX secolo, il matematico francese Gabrbiel Lamè dimostrò che un cerchio e un quadrato, pur sembrando figure geometriche molto diverse, possono essere derivate da una sola equazione matematica. Tale equazione, oltre a generare un’intera famiglia di curve, dette supercerchi, fu successivamente generalizzata per la descrizione di un ulteriore famiglia di curve, dette superellissi. Partendo da queste ultime equazioni, Gielis e il suo studente Bert Beirinkcx formularono le curve superellissi in coordinate polari cercando di definire le funzioni seno e coseno in modo tale da risolvere la problematica riguardante l’individuazione dell’opportuna simmetria di rotazione che consentisse la rappresentazione di tali curve come onde elettriche. All’inizio non fu trovata alcuna risposta a questo quesito, ma nell’agosto del 1997 Gielis ebbe l’idea di associare tali funzioni ai fiori. Infatti, partendo dal dato di

fatto che i fiori potevano essere modellati, in prima approssimazione, utilizzando la curva algebrica rodonea, chiamata anche rosa di Grandi, da Luigi Guido Grandi il matematico italiano che la ideò e studiò [17], Gielis concepì una formula matematica generale per la generazione delle forme dei fiori e delle funzioni trigonometriche. Essa era basata su una estensione dell’equazione del superellisse caratterizzata dal fattore di simmetria m/4, opportuni fattori di scala e dalla generalizzazione degli esponenti coinvolti nella funzione analitica. In Figura 1 sono illustrati alcuni esempi di forme di fiori generate utilizzando la formula di Gielis. Da un punto di vista analitico, una curva di Gielis bidimensionale è esprimibile tramite le equazioni parametriche

( ) R( )cosx θ θ θ=   (1) y( ) R( )sinθ θ θ=   (2)

1 2 1

1

1 2

1 2

cos sin4 4( )

n n bm m

Ra a

θ θ

θ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

  (3)

dove 1 2 1 2 1, , , ,m m n n b sono numeri reali positivi,

1 2,a a sono numeri reali positivi non nulli, e l’angolo θ può assumere tutti i valori compresi tra 0° e 360°. I parametri 1 2,m m individuano la simmetria della forma e quando 1 2m m m= = è un numero intero positivo l’equazione (3) produce poligoni senza vertici, poligoni con un lato e un vertice, poligoni generalizzati. Inoltre, il parametro m indica il numero di settori in cui

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TABELLA I: esempi di forme astratte bidimensionali ricavate utilizzando l’equazione (4).

( ) 1f θ =

0,360θ ∈ °⎡ ⎤⎣ ⎦

m1=m2=3, a1=a2=1

n1=n2=20, b1=5.5

m1=m2=4, a1=a2=1

n1=10, n2=5.5, b1=2

m1=m2=7, a1=a2=1

n1=4, n2=1.5, b1=0.7

( )f θ θ=

0,1800θ ∈ °⎡ ⎤⎣ ⎦

m1=m2=6, a1=a2=1

n1=n2=80, b1=80

m1=m2=4, a1=a2=1

n1=n2=10, b1=10

m1=m2=4.7, a1=a2=1

n1=n2=2.8, b1=4.6

( ) ( )exp 0.15f θ θ=

0,1800θ ∈ °⎡ ⎤⎣ ⎦

m1=m2=4, a1=a2=1

n1=n2=10, b1=10

m1=m2=8, a1=a2=1

n1=n2=5, b1=5

m1=m2=5.2, a1=a2=1

n1=3, n2=4, b1=1.5

( ) ( )cos 2f θ θ=

0,360θ ∈ °⎡ ⎤⎣ ⎦

m1=m2=8, a1=a2=1

n1=10, n2=3, b1=10

m1=m2=4, a1=a2=1

n1=1, n2=1, b1=1

m1=m2=16, a1=a2=1

n1=1.5, n2=0.4, b1=4

( ) ( )cos 3f θ θ=

0,360θ ∈ °⎡ ⎤⎣ ⎦

m1=m2=12, a1=a2=1

n1=n2=4, b1=2

m1=m2=12, a1=a2=1

n1=10, n2=34, b1=25

m1=m2=16, a1=a2=1

n1=4, n2=3.4, b1=3

è suddiviso il piano. I parametri 1 2 1, ,n n b definiscono il tipo di forma. In particolare, 1b consente di acuminare o appiattire gli angoli o rendere più curvi o dritti i lati, mentre dai valori di 1n e 2n si capisce se la forma è inscritta (

1 2 2n n= < ) o circoscritta ( 1 2 2n n= > ) da una circonferenza. Quando invece m è un numero intero positivo, per ogni rotazione di 360° viene generata sempre la stessa forma se 1 2/ 1n n = ,

1 2/ 1a a = e forme differenti se 1 2/ 1n n ≠ e

1 2/ 1a a ≠ . Invece, la forma generata non si chiude dopo una rotazione di 360° quando m è un numero positivo non intero. In questi casi, se

m è un numero razionale, si avrà che la forma si chiuderà dopo un numero di rotazioni pari al denominatore di m. Il numeratore di m determina invece il numero di angoli. Quindi, se ad esempio m=3.5=7/2 la forma si chiuderà dopo due rotazioni e avrà sette settori angolari. Ovviamente se m è un numero irrazionale la forma non si richiuderà mai. Infine, l’equazione (3) può essere considerata come una deformazione della circonferenza con raggio R=1. Una naturale generalizzazione consiste nel combinare la formula di Gielis con la generica funzione f(θ). In questo modo, l’equazione (3) modificherà la metrica della funzione f(θ) e tutti i grafici di funzione ad essa associata

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TABELLA II: esempi di forme astratte tridimensionali ricavate utilizzando le equazioni (8) e (9).

Superellissoide

180 ,180θ ∈ − ° °⎡ ⎤⎣ ⎦

90 ,90φ ∈ − ° °⎡ ⎤⎣ ⎦

m1=m2=10, a1=a2=1

n1=6.88, n2=10, b1=5

m1=m2=2.87, a1=a2=1

n1=n2=10, b1=-3.86

m1=m2=5, a1=a2=1

n1=1, n2=1, b1=1

m1=m2=1, a1=a2=1

n1=n2=1, b1=1

m1=m2=4, a1=0.1, a2=0.2

n1=-0.6, n2=-0.7, b1=0.2

m3=m4=5, a3=1.14, a4=1.83

n3=-0.8, n4=87.5, b2=8.8

Supertoroide

180 ,180θ ∈ − ° °⎡ ⎤⎣ ⎦

90 ,90φ ∈ − ° °⎡ ⎤⎣ ⎦

m1=m2=10, a1=a2=1

n1=6.88, n2=10, b1=5

m3=m2=2.87, a3=a4=1

n3=n4=10, b2=-3.86

m1=m2=5, a1=a2=1

n1= n2=1.7, b1=0.1

m3=m4=1, a3=a4=1

n3=n4=0.5, b2=0.3

m1=m2=4, a1=0.1, a2=0.2

n1=-0.6, n2=-0.7, b1=0.2

m3=m4=5, a3=1.14, a4=1.83

n3=-0.8, n4=87.5, b2=8.8

( )

1 2 1

1

1 2

1 2

cos sin4 4( )

n n bm m

R fa a

θ θ

θ θ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

  (4)

dove f(θ) può essere una funzione costante, una funzione esponenziale, una funzione spirale o una funzione trigonometrica. In particolare, per f(θ) costante è possibile trasformare il cerchio in quadrati, stelle, poligoni e poligoni auto intersecanti. Per ( ) exp( )f θ αθ= sono generate curve a forma di spirale modificata mentre per ( )f θ θ= si ottengono spirali di Archimede

modificate. Infine, usando la funzione ( ) cos( )f mθ θ= si ricavano curve a forma di

fiori. In tabella I, sono rappresentate alcune forme bidimensionali astratte ricavate utilizzando la formula di Gielis. Si osservi come al variare sia della funzione f(θ) sia dei parametri della funzione di Gielis si ottengono forme molto differenti con differenti gradi di simmetria e complessità.

Le equazioni (3) e (4) possono anche essere estese in spazi aventi più di due dimensioni. In particolare, nello spazio tridimensionale l’equazione (3) può essere formulata come

( , ) R( )R( )cos cosx θ φ θ φ θ φ=   (5)

( , ) R( )R( )sin cosy θ φ θ φ θ φ=   (6) ( ) R( )sinz φ φ φ=   (7)

( )

1 2 1

1

1 2

1 2

cos sin4 4( )

n n bm m

R fa a

θ θ

θ θ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

  (8)

( )

3 4 2

1

3 4

3 4

cos sin4 4( )

n n bm m

R ga a

φ φ

φ φ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

  (9)

dove , ,i i jm n b sono numeri reali positivi e ia numeri reali positivi diversi da zero, con

1 4 e 1,2i j= =K , θ varia tra -180° a +180° e φ varia tra -90° e + 90°. In tabella II, sono rappresentate alcune forme tridimensionali astratte ricavate utilizzando la formula di Gielis. Si osservi che, considerato il più elevato numero dei parametri, è possibile ottenere forme molto diversificate. SUPERPOLIGONI NATURALI La formula di Gielis, può essere facilmente utilizzata per ottenere un immediata comprensione della semplicità e bellezza matematica caratterizzanti un numero illimitato di forme naturali. Infatti, agendo solo su alcuni

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Fig. 2: Alcuni esempi di forme naturali e corrispondente curva generata dall’equazione di Gielis (4).

parametri, essa è in grado di generare un numero illimitato di superpoligoni che rappresentano molto bene le forme naturali (vedi Figura 2). Di conseguenza, tale formula costituisce un utile e potente strumento per lo studio della natura. Gli steli delle piante, ad esempio, hanno tipicamente una forma superpoligonale e nel caso particolare del bamboo la sezione dello stelo può essere approssimata da supercerchi o superellissi. Tali forme, hanno il principale vantaggio di aumentare la resistenza della pianta quando sono applicate forze meccaniche esterne. Gli steli quadrangolari sono invece molto diffusi in molte varietà di piante come ad esempio nella tibucina, nel fiore della passione, nel silfio perfoliato, scrofuliara nodosa e lantana camara. Gli steli delle piante possono anche avere sezioni di tipo triangolare, pentagonale, esagonale o poligonale. Ad esempio, lo stelo della pianta di papiro può avere una sezione di tipo triangolare, di supercerchio o pentagonale. Gli esempi più significativi della presenza di superpoligoni si possono trovare nelle piante di cactus ed altre specie di piante grasse così come nella frutta. Infatti, i frutti di piante molto alte hanno una sezione approssimabile con la formula di Gielis e una fetta di banana è un tipico esempio. I frutti del gombo sono invece dei pentagoni quasi perfetti con lati concavi, e sia il caco che il kiwi hanno grosso modo una sezione a forma di supercerchio.

Le forme superpoligonali possono anche essere osservate in fiori e foglie. In particolare, la simmetria a pentamero è comune nelle piante in fiore. Infatti, tale simmetria è presente nei fiori di vinca, di garofano, iponomea, campanula e nei sepali di rosa. Inoltre, la possibilità di inscrivere delle forme in superpoligoni consente di modellizzare differenti specie di fiori con simmetria radiale mostrando allo stesso tempo come sia possibile impacchettare efficientemente i petali in un’area limitata. Nel mondo animale, invece, invertebrati come meduse, anemoni di mare, stelle marine e ricci di mare hanno molto spesso una forma superpoligonale. Infine, la forma delle uova di uccello può essere facilmente modellata utilizzando la formula di Gielis.

Le forme supercircolari sono anche molto frequenti a livello anatomico, come ad esempio nelle strutture tubolari che conducono l’acqua nel legno di pino. Inoltre, le cellule di particolari tipologie di alghe possono essere facilmente caratterizzate da forme quasi rettangolari.

Le conchiglie di molti molluschi assumono molto spesso la forma di una spirale logaritmica caratterizzata da aculei e varici. Tali protuberanze, rivelano uno schema discontinuo del guscio che può essere generato utilizzando la formula di Gielis. Infatti, in alcune specie di molluschi, la spirale logaritmica è inscritta in un poligono descritto dall’equazione (3). Altri esempi riguardano spirali logaritmiche squadrate e spirali di Archimede inscritte in

Sepalo di rosa Tibucina

Cissus quadrangularis Uova di uccello

Stella marina

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esagoni. Inoltre, varie tipologie di ammoniti hanno forme rappresentabili per mezzo di spirali logaritmiche inscritte in triangoli. AUMENTARE I GRADI DI LIBERTÀ Considerando che l’equazione di Gielis bidimensionale è in ultima analisi una generalizzazione dell’equazione della circonferenza, ne consegue che essa genera forme simmetriche le quali sono prevalentemente il risultato di fenomeni lineari. In realtà, i modelli e le forme naturali sono il risultato di processi dinamici non lineari che generano a loro volta forme asimmetriche e in alcuni casi forme molto complesse aventi un apparente grado di disordine difficilmente modellabile usando funzioni seno e coseno. L’equazione di Gielis, si presta molto bene ad operazioni di generalizzazione finalizzate all’incremento dei gradi di libertà delle superforme. In particolare, incorporando diversi aspetti di asimmetria e apparente disordine, assenti nella formula originale di Gielis, è possibile ricavare formulazioni più generali che, coinvolgendo un numero paragonabile di parametri, forniscono rappresentazioni non Platoniche di una vasta diversità di forme e modelli naturali.

Le forme generate dall’equazione (3) potrebbero essere intese come forme base per costruire forme più complesse. Infatti, esse potrebbero essere combinate sia per mezzo dell’operazione di somma, come una serie di Fourier, sia usando l’operazione prodotto oppure inserendole in funzioni ricorsive. In particolare, nella serie di Fourier la formula di Gielis potrebbe essere usata per sostituire i coefficienti che moltiplicano le funzioni seno e coseno. Un’altra metodologia di generalizzazione, consiste nel sostituire i parametri di Gielis con funzioni continue e discontinue. Inoltre, la funzione di Bezier potrebbe anche essere utilizzata nell’equazione (3) per controllare in modo consistente la generazione delle forme. La più semplice generalizzazione non lineare della funzione di Gielis, potrebbe essere ottenuta sostituendo le funzioni trigonometriche con le funzioni ellittiche di Jacobi. Tale scelta, è giustificata considerando che le soluzioni di molti oscillatori non lineari sono espresse in termini di queste funzioni. Questo tipo di

formulazione, è inoltre talmente generale che è possibile controllare il tasso e la natura delle variazioni da apportare ad una forma iniziale variando alcuni parametri. Di conseguenza, è possibile ricavare sequenze che imitano le trasformazioni delle forme biologiche come ad esempio i processi di crescita e evoluzione di vortici così come la modellazione del disordine apparente che si potrebbe osservare ad esempio nelle rose dopo un temporale primaverile. Infine, recenti studi hanno dimostrato l’efficacia della formula di Gielis in svariati campi dell’ingegneria. Essa è stata utilizzata per il progetto di innovative antenne a lente dielettrica [18], di turbine eoliche [19], di dispositivi plasmonici [20], di nuove celle solari [21]. Concludendo, la formula di Gielis può essere considerata come un utilissimo strumento per esplorare un mondo o un universo in cui le forme degli oggetti naturali e artificiali che conosciamo possono essere ricondotti ad un’unica origine. E’ una formula molto semplice, matematicamente elegante e inequivocabile che appare ovunque: in natura, nell’architettura, nella cultura. In ultima analisi, essa potrebbe essere utilizzata per vedere la natura con nuovi occhi, creando nuove domande e magari fornendo delle risposte che aiutino a svelare l’unità di tutte le cose. BIBLIOGRAFIA [1] D. W.Thompson (1992): Crescita e forma,

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