La formalizzazione della nozione di prova e una nuova definizione dell’indipendenza. I

LA F O R M A L I Z Z A Z I O N E D E L L A N O Z I O N E D I P R O V A

E U N A N U O V A D E F I N I Z I O N E D E L L ' I N D I P E N D E N Z A . I *)

DOMENICO COSTANTINI

1. INTRODUZIONE.

In un recente lavoro H. GEIRINGER I) ha affermato, parlando delia fondazione assiomatica del calco]o delle probabilit~ di A. N. KOLMOaOROV 2, ~ La sua fondazione fu presto accettata dalla maggior parte dei 9robabilisti come la fondazione delle probabilit~ e considerata in qualche .modo al cli sopra di ogni critica. Ci6 ,pu6 essere veto se ,la consideriamo dal punto di vista della preci- sione matematica. Tuttavia, il suo importante lavoro non mostra grande interesse per le applicazioni, cio6 per i rapporti con ]'esperienza ~).

Questo scarso hnteresse per i rapporti con l'esperienza ~ - - a nostro giudizio - - riscontrabile nel fatto c h e l a fondazione d d Kolmogorov sembra operata quasi esclusivamente in vista dello sviluppo 5ormale della teoria mentre sembra preocct~parsi solo marginalmente dell'adeguatezza alle teorie intuitive di cui intende presentarsi come una ricostruzione rigorosa. Ci6 non ~ vuttavia una caratteristica precipua dell'assiomatizzazione di Kolmogorov benst di tutte le trattazioni formalizzate della teoria deHe probabilit~ che, come ve&emo, sono a questo proposito ancor pifi carenti di quanto non Io sia lo sviluppo del Kol- mogorov. Dal punto di vista delle applicazioni, afferma la Gel,ringer, e da quello del.l'adeguatezza - - aggiungiamo - - le assiomatizzazioni del calcolo del,le probabilit~ sono state accettate acriticamente, intendendo con ci6 c h e s e n e t analiz-

*) Lavoro eseguito nell'ambito dell'attivit~ del CNR, gruppo per le strutture algebriehe e geometriche e le loro applicazioni (sezione VII).

I) H. GEIRmGER, Probability Theory o/ Verifiable Events, Arch. for Rational Mer_hanics and Analysis, 34 (1969), 3-69.

2) A. N. KOLMOaOROV, Grundbegri/te der Wahrscheinlichkeitsrecbnung, Berlino 1933, trad. inglese, Foundations o~ the Theory o/ Probability, New York 1950.

1~2 DOMENICO COSTANTINI

zato solamen.te 1o svilt~ppo formale perdendo di vista le ragioni pifi profonde dell'assiomatizzazione consistenti nella ricostruzione delle teorie intuitive delle probabilitL

La nostra ricerca prende lo s.ptmto da ~ana del,le inadeguatezze di cui si detto: cominceremo cio~ (nella pr'maa .parte) coll'analizzare la trattazione formale dei concetti di esperimento e indi,pendenza ponendo in risalto come la formalizzazione di queste &ie nozioni .fornita dalle teorie assiomatiche del]e probabiliffi sia del tutto inadeguata ai corrispondenti concetti de1 linguaggio prescientifico 3). Questa discussione costituir?l ,la giustificazione di quanto .faremo nel seguito; intendiamo infatti ,presentare, dapprima a livello intuitivo (neUa seconda e terza parte) e poi a liveldo .formale (nella quarta parte) una nuova definizione d'indipendenza non pica vincolata al concetto di probabilit~l bensi fondata sulla nozione di esperimento, e quindi piCa adeguata a.lla corrispondente nozione del linguaggio prescientifico.

Prima eli affrontare ,la nostra ricerca, ci sembra per6 opportuno ricordare brevemente alctmi risultafi aoquisiti dalla moderna ana.lisi epistemologica, piCa precisameme, i rapporti intercorrenti fra livello prescienti.fico e scientifico di una teoria, cio~ i ra,pporti fra il momento intuitivo e quel, lo ~ormalizzato di una teoria.

Era i vari modi possibili di introclurre in una teoria dei termini defin~ti, vi sono, com'~ noto, le definizioni nominali o esplicite e le definizioni esplicative o esplicazioni *). Questi due fipi di definizioni sono profondamente diversi l'uno dall'altro e questa differenza .pub essere, in prima istanza, illustrata sulla base degli scopi che i due fi.pi di definizione si ,pr~iggono. Le definizioni nomina.li sono abbreviazioni, sono cio~ ~ormulate all, o scopo di sostituire a certe espressioni ]inguistiehe nuove espressioni in generale piCa brevi delle originarie. Le definizioni esplicative invece, daft dei termini del linguaggio comune o prescientifico possedenti significati vaghi o comtmque non sufficientemente precisati, sono formulate in vista di sostituire questi ultimi con nuovi significati comple- tamente determinati all'in.terno di una teoria scientifica.

Una definizione nominale ~ quindi una convenzione secondo cui una certa espressione, detta il definiendum, deve valere come sinonimo di un'nltra espressione che possiede un signi~ficato gih st~bitito, detta il definiens. ~ evidente the tanto il deflniendum quanto il definiens si trovano sullo stesso piano nel senso che entrambi sono espressioni ,linguistiche della stessa teoria.

Nell'esplicazione il concetto impreciso del linguaggio comune o prescienti-

3) Usiamo il termine ,prescientifico col significato che gli attribuisce il Cam~p; si veda R. CARNAV, Logical Foundations of Probability, 2 a ed., Chicago 1962, capitolo I, p. 3.

4) C. G. H~MPEL, La /ormazione dei concetti e delle teorie nella scienza empirica, Fel- trinelli, Milano 1961.

La /ormalizzazione della nozione dt prova e una nuova definizione, ecc. 1~3

rico viene detto explicandum e l'esatto concetto che si propone di sostituire a quest'ultimo ~ detto explicatum. Essi appartengono ovviamente a due contesti diversi perch~ mentre il primo appartiene al linguaggio comune o a un linguaggio scientifico non ancora sufficientemente precisato, il secondo deve apparte- nere ad un sistema scientifico ben determinato.

La profonda dtfferenza fra i due tipi di definizioni di cui si ~ detto, dovuta al fatto che .la definizione nominale ~ sostanzialmente arbitraria nel senso che ~ lecita l'assunaione di qualsiasi simbolo quale de/iniendum purch6 i simboli che compaiono nel de[iniens siano o primitivi o introdotti mediante ,pre- cedenti definizioni, e su.lla base di quest'u~ltima condizione pub essere giudicata corretta e scorretta. AI contrario, l'esplicazione non ~ arbitraria perch~ l 'explicatum deve tenet conto dell 'explicandum, e inoltre, in ragione del fatto che il motivo che determina l'esplicazione ~ tale che ,l'explicandurn non pub essere ,formulato in termini esatti, cade la possibilit~ di determinate se ]a solu- zione delI'esplicazione ~ esatta o errata.

Dopo aver ricordato le caratteristiche delle definizioni nominali ed esplicative, .facciamo notare che non sempre le definizioni che compaiono in una teoria scienti~ica sono univocamente dassificabili come appartenenti ali'uno o al- l'altro dei due gruppi. Esistono infatti definizioni formalmente nominali che tuttavia posseggono alcune caratteristiche de.lie definizioni esplieative. Intendia- mo con ci6 riferirci a quel tipo di definizioni in cui B definiens e il definiendum

sono formulati mediante simboli appartenenti ad un'unica teoria scientifica e quindi, come si ~ detto, sono definizioni nominali; ci6 nonostante, a volte esplicitamente altre implicitamente, si ripropongono di fornire una .formulazione pre- cisa a concetti del linguaggio prescient[rico e in questo senso sono anehe esplicazioni del concetto prescienti.fico in oggetto. Una definizione di questo tipo ~, ad esempio, quella del condizionale materiale <, ----> )> operata in un calcolo degli enunciati a partite dalla negazione<< --7 >> e dall'~lternativa ,~ v ~> ne] modo se-

guente: p --+ q = d ~ p v q.

Questa definizione ~ chiaramente una definizione nominale e quindi arbitraria per6 presenta nel contempo un tentativo di precisare il significato del connet- tivo ~ se ... allora >> del linguaggio comune. Questo tentativo la rende quindi una sorta di esplicazione, e in questa dualit~ d'i.ntenti trovano origine le discus- sioni e le ricerche tendenti a introdurre nuove definizioni del condizionale in grado di rendere con maggiore adeguatezza a liveUo scientifico l'uso prescientifico di questo connettivoS). Proponiamo per questo tipo di definizioni il nome

5) Si veda, ad esempio, E. ADAMS, Probability and the Logic o/ Conditionals, Aspects of Inductive Logic, Hintikka e Suppes (e~s.), Amsterdam 1966.

1~.[ DOMENICO COSTANTINI

di esplicazioni parziali; incontreremo fra poco un'esplicazione parziale e avremo quindi modo di discutere pit~ a rondo l'argomento.

PARTE PRIMA

I CONCETTI DI ESPERIMENTO E INDIPENDENZA

NELLE TEORIE INTUITIVE E FORMALIZZATE DELLE PROBABILITA

2. L'ESPERIMENTO NELLE TRATTAZIONI INTUITIVE DELLA TEORIA DELLE PRO-

BABILITA.

II concetto di esperimento o prova gioca un ruolo di ,primaria importanza in ogni teoria intuitiva delle probabilit~ sia nell'accezione di prova semplice sia, a ~ortiori, in quella di prova ripetuta. Allo scopo di giustificare quanto abbiamo detto ricordiamo qualche esempio dell'uso di questa nozione.

Facendo riferimento al]e prove semplici si prederisce in genere ignorare questo termine sostituendovi la descrizione completa de]la situazione sperimentale in questione. La nozione di prova viene quindi introdotta indirettamente ha contesti del tipo seguente: << La probabilit/t che apparisca una determinata faccia nel gioco della moneta o dei dadi ~ rispettivamente 1/2 o 1/6, .... La probabilitfi di estrarre una pa.llina bianca da un'urna che contiene a palle blan- che e b l~.lle here b a / a + b ~>6). Nel caso di una prova ripetuta il riferimento

invece esplicito ~ La ,probabi]itfi che s u n prove l'evento E di probabilit~ p,

si verifichi v (~<n) volte b ... >>~), Qualche volta l'esperimento b messo in relazione con le applicazioni ~ La

teoria matematica del]e probabilit~ acquista il suo valore pratico relativamente ad esperimenti rea]i e concettuali quali il lancio di una moneta, il lancio di una moneta ripetuto 100 volte, ... >>8) altre volte si giunge a fornire una breve spiegazione del termine prova <~ Ricordiamo che con prova intendiamo ]a realizzazione di un insieme definito di condizioni il cui risultato b il verificarsi di qualche evento elementare dello spazio U degli eventi elementari >> 9). In qua]-

6) G. CASTELNUOVO, Calcolo delle probabilitY, Vol. I, 3 ~ ed., Bologna 1954, p. 1. 7) Ibid., p. 45. a) W. FELLE~, An Inlroduction to Probability Theory and its Applications, Vol. I, 2 a

ed., New York 1966, p. 7. 9) B. V. GNEDENKO, The Theory o/ Probability, 4 a ed. inglese della traduzione della 4 ~

ed. russa, New York 1968, p. 88.

La formalizzazione della nozione di prova e una nuova de]inizione, ecc. 125

che caso, per ,Ia verit~ non molto frequente, si a.rriva ad esplicitare la nozione di esperimento mediante una definizione ~< Definizione 1. E//ettuare un'espe-

rienza c significa scegliere mediante un procedimento qualsivoglia, ma suscet- tibile d'essere ripetuto, un elemento to, e uno solo, di un insieme ~.

L'elemento to cosl scelto si chiama il risultato dell'esperienza a. L'insieme fl si chiama l'insieme di tutti i risultati possibili, o insiemi degli osservabili ~ Jo).

Passando all'esame dei testi di statistica matematica, cio~ delia disciplina �9 ehe in senso lato si occupa dell'applicazione dei concetti elaborati dal calcolo delle probabilitY, il riferimento al.l'esperimento diventa pih evidente: << Nei cam- pi pih disparati dell'attivR~ scientifica e pratica, si veri~icano casi in cui certi esperimenti o osservazioni possono essere ripetuti in circostanze simili un gran numero di volte. In ciascuna occasione, la nostra attenzione ~ diretta al risultato

dell'osservazione che ~ espresso da un dato numero di cor~figurazioni. ~> u); e si giunge anche a correlare ]a probabilit~ con gli esperimenti nel modo seguente: << Nella nostra teoria matematica, ... introdurremo un numero definito P che sar~ detto ]a probabilit~ dell'evento E relativamente all'esperimento casuale ~>> u).

In qualche caso la caratterizzazione del concetto di esperimento si spinge molto pifi oltre ~< Per esperimento intendiamo un processo svolgentesi in condizioni fissate di cui osserviamo certe caratteristiche determinate; queste caratteristiche so.no i risultati dell'es.perimento . . . . Diciamo che un esperimento t pre-

cisato o descritto quando si sono fornite istruzioni precise e particolareggiate ci.rca le modalit~ d'esecuzione e quando si ~ precisato quali siano ]e caratteristiche da osservare e registrare alla fine dell'esperimento ... Su,lla base di considerazioni teoriehe esigiamo c h e l a descrizione dell'esperimento c determini l'insieme V dei risultati possibili, 0_06 un insieme tale che i] risultato a cui conduce la realizzazione dell'esperimento sia un elemento dell'insieme V )> u).

La nozione prescientifica di esperimento usata dai probabi.listi e dagli statisticA che la .rapida ricognizione test6 compiuta cA ha permesso di individuare

quindi la seguente: un esperimento 6 un processo che data una certa situazione sperimentale sceglie un elemento (il risultato) da un insieme (dei risultati possibi.li) definito nel momento in cui si determinano le caratteristiche della situazione sperimentale in oggetto. L'intero processo sperimentale dal,la preci- sazione delle modalit~ d'esecuzione alla determinazione del risultato ci sembra

caratterizzabile in due momenti:

~0) D. H~RAULT, Elements de th3orie moderne des probabilit~s, Parigi 1967, p. 49. 11) H. CRAM~R, Mathematical Methods o~ Statistics, Princeton 1946, p. 173. 12) Ibid., p. 148. ts) V. FABIAN, Statistiche Metboden, traduzione dal ceco con ampliamemi, Berlino

1968, p. 17 e s.

126 DOMENICO COSTANTINI

1) la scelta, operata dallo sperimentatore, del.l'insieme dei risultati possibili dell'esperimento;

2) la scelta, sulla quale invece lo sperimentatore non ha alcuna influenza, del risultato dell'esperimento.

La caratteristica precipua dell'esperimento ~ quindi la scelta del risuhato da un insieme dei risultati possibi.li determinato prima dell'esecuzione dell'esperimento. La parte pifi importante dell'esperimento, cio~ la determinazione deI risultato, ~ quindi rappresentabile come una funzione di scelta, owiamente di �9 tipo non matematico, che a un determinato argomento fa corrispondere un preciso valore.

A conclusione della nost:ra analisi delle teorie .non formalizzate delle probabi,lit~ ci sembra di ,poter for,mu:lare la seguente:

CARATTERIZZAZIONE INTUITIVA DEL CONCETTO DI ESPERIMENTO.

Un esperimento ~ una .funzione di scelta che dato un insieme cli risuhati possibili, determinato durante l'a].lestimento del dispositivo sperimentale, sceglie uno dei suoi elementi, cio~ il risultato.

L'esperimento quale compare nelle teorie intuitive della probabilit/! quindi una nozione funziona~e: i.l valore della funzione-esperimento - - come abbiamo detto, si tratterfi di una funzione di tipo non matematico - - sar~ r sci.uto solo dopo aver eseguito l'esperimento mentre nulla si potrh dire su di esso senza il ricorso all'osservazione.

3. L'INDIPENDENZA NELLE TRATTAZIONI NON FORMALIZZATE DEL CALCOLO

DELLE PROBABILITA.

Prendiamo ora in esame la nozione di indipendenza con l'intento di stabilire se esistano rapporti, e in caso affermativo quali essi siano, fra l'esperimento e l'indgpendenza nelJe trattazioni intuitive ddle probabilitfi. L'ana~isi del linguaggio .prescientifico non rivela a questo proposito una trattazione uniforme; ma prima di passare a questa analisi ci sembra opportuno esaminare la trattazione clasica dell'indipendenza, o meglio, il principio delle ,probab'tlit~ composte

che a quel.la ~ stretta.mente .legato. .Nella teoria classica il princi.pio delel probabilit~ composte veniva cost for-

mulato: <~ In genere se p, p' , p" , ... sono le .probabilit~ rispettive di un numero qualsiasi di eventi semplici indipendenti gli uni dagli a~tri, il .prodotto p p" p" ...

la probabilit~ di un evento composto da essi ~> 14). La condizione d'indipen-

t4) p. S. LAPLACE, Opere, a cura di O. Pesenti Cambursano, Torino 1967.

La [ormal izzaz ione della noz ione di prova e una nuova de f i n i z i one ecc 1~27

denza non veniva precisata se non in modo vago, qualche volta facendo riferimento alle modalit~ d'esecuzione dei giochi d'azzardo oppure ahre vohe sotto- lineando che le probabilit~ non si modificano col ,procedere del gioco. Quando si cerchi d'esplicitarla, quest'uhima condizione conduce ad un ci.rcolo vizioso come si riscontra, ad esempio, nel famoso trattato di G. Castelnuovo.

Nella teoria elassica il prLncipio delle 9rob~,bilit~ composte ~ una conseguenza della definizione di probabilitY; ma in questa derivazione compare la definizione d'indipendenza << Se l'evento Et si verifica in at di nl casi possibili, e similmente per E2 , E 3 , . . . , il numero totale dei casi di cui si dovr~ tener conto cluando si esamini il concorso delle eventualitA Ej , E2, ..., sara dato dal prodotto n tn2 . . . , percl~ ciascuno dei casi .possibili relativi ad El deve venir asso- ciato a ciascuno dei casi possibili relativi ad E2 . . . . Per la stessa ragione, il prodotto a,a2 . . . dar~ il numero dei casi favorevoli al desiderato concorso di eventi. La probabilit~ composta sar~ dunque

ala2 ... at a~ p = _ X - ~< .. . = p i p 2 . . . ,

Him2 ... nl n2

dove p , , p z . . . . sono le probabiJita di E, , E2, ... Nel ragionamento si h tacitamente supposto che gli eventi E1, E2, ..., siano

ind@endenti; vale a dire, il verificarsi dell'uno non altera la probabilita del verificarsi degli altri. Nel caso oplx>sto basta aggiungere una sola awertenza. ... Basta dunque conoscere le composizione di [52, e quindi la probabilit~ di /~ di E2, nell'ipotesi che E1 abbia gia avuto luogo; sara sempre p i p 2 la probabilita dell'evento composto E I E 2 . Riassumendo:

Se un evento E ristrlta dal concorso di pi~ eventi E t , E2, E3 . . . . la probabilita di E ~ il prodotto delle ,probabilit~ di Et , E2, E~, ...; con l'awertenza c h e s e questi ultimi eventi non sono indipendenti e si succedono nell'ordine scritto, le probabilit?t di E2, E3, ..., di cui si parla, sono le probabilit~ che ban- no questi eventi quando gli eventi ehe li precedono si siano gi~ verificati >> 15

Per rendere palese la circolarit~, traduciamo l'argomentazione in simboli cominciando dal caso generale, cio~ dal caso in cui la probabilita del verificarsi di un evento ~ i~luenzata dal verificarsi di un evento precedente. Questo si-

gni~ica che

(1) /~E, n E2)=p(E,) • ~ E 2 / E , ) .

15) G. CASTELNUOVO, Op. OIL., PP. 17 e 18.

1"28 DOMENICO COSTANTINI

Nel caso particolare degli eventi indipendenti si definisce dapprima l'indipendenza nel modo seguente:

gli eventi E, ed E2 sono indipendenti =,~r il verificarsi di uno non altera le probabi.lit~l del veri~icarsi dell'ahro; in simboli:

EI ed E2 sono indipendenti =df p(E2)=p(E2/EI).

I1 princi, pio delle probabilita composte viene poi formulato come segue:

se E, ed E2 sono i,ndi,pendenti allora p(E, n E 2 ) = p ( E , ) • p~E2); questo significa che si pone:

se p(E2)=p(E2/EI) allora p(El n Ez)=p(E1) Y p(E2).

Ma per la (1) vale

p(E2/Et)= tXEI n E2) /RE,)

e quindi il principio deLle ,probabilitfi composte mostra palesemente ,la sua circolaritfi; infatti esso diventa

se p(E2)= p(Et n E2) allora p(El n E2)=p(Et) • i~E2). p(Et)

II modo di introdtrrre il principio delle probabilit~ composte nella teoria classica conduce quindi ad un circolo vizioso poich~ con l'ipotesi d'indipendenza si afferma gih quello che si vuole dimostrare. Questa circolaritfi ~ ben nota, come noti sono altri circoli viziosi della teoria classica, ad esempio, la dofinizione di r, robabilitfi; ci siamo dilungati sulla questione perch~ in qualehe testo moderno, seppure non in modo cosi esplicito, compare ancora il ragionamento circolare di cui si ~ detto, e ne vedremo ira poco un esempio.

Ma occupiamoci ora delle trattazioni moderne ddl'indipendenza. Esse ab- bandonlno il tentativo di dimost.rare il principio delle ;probabi:lit~l composte, ci• nondimeno l'intera questione non ~ ~.ffatto chiarita. Gli approcci al problema dell'indipendenza sono sostanzialmente tre.

a) Nel .primo caso Hndipendenza ~ introdotta come u~a caratteristica degli eventi nel modo seguente ~ Gli eventi Bt , /32, ..., B, sono mutuamente indipendenti se per ogni ii tale che 1 ~< it < i,_ ~< ... < i , ~< n e per ogni r(l < . r~n) ,

P(Bi, nBi, n . . .nBi,)=P(Bi,) X P(Bi,) X ... X P(Br ~> 16).

~6) B. V. GNEDENK0, op. cir., p. 71.

La /ormalizzazione della nozione di prova e una nuova definizione, ecc. 1-~

Si tratta ovviamente del vecchio principio delle probabilit~ composte trasfor- mato in definizione; per questo motivo riferendoci a questa definizione d'indipendenza parleremo della definizione classica.

Altre volte ricompare una sorta di circolo vizioso poich$ si introduce dapprima l'indipendenza di due o pi6 eventi con una definizione di tipo classico, poi il principio delle probabilitfi, composte o regola mohiplicativa e infine si usano questi concetti in deduzioni del tipo seguente ~ Siccome stiamo trattando con eventi indipendenti possiamo usare la regola moltiplicativa [il principio delle Frobabi.liffi composte nel caso di eventi indipendenti] e ottenere la seguente espressione della probabilit~ che andiamo cercando

q q p q ... q q p = p~.q,,-v ~ 17

Anche se parlare in questo caso di circolo vizioso 6 forse eccessivo, 6 tuttavia evidente che le conclusioni sono le stesse premesse 9oich~ con la condizione d'indipendenza si ~ anche introdotto il principio delle probabilitfi corn- poste. Ma se affermare che gli eventi sono indipendenti significa affermare che per essi vale il principio delle probabi.liffi composte non si capiscono le ragioni di questa ripetizione, in due modi diversi solo nella forma, della medesima pro- prietL A nostro parere esiste per6 una giusti~icazione di questo comportamento abbastanza curioso: essa ~ che il giudizio d'indipendenza premesso alla dedu- zione non intende introdurre la .regola moltiplicativa ma fa riferimento a considerazioni che esulano da quelle coinvolte nella definizione classica. Torneremo tra IX)CO su questa questione e avremo quindi modo di chiarire quanto abbiamo

detto. Tornando alla definizione d'indipendenza, possiamo quindi concludere che

trascurando quei casi in cui questo modo d'introdurre l'indipendenza conduce ad un circolo vizioso, l'indipendenza come b definita da Gnedenko consiste nel- l'uguaglianza fra ]a pro.babilit~ dell'evento composto e il prodotto delle probabi'lit?t degli eventi componenti. Nella definizione classica quindi l'indipendenza non 6 corre]ata con gli esperimenti.

b) II secondo tipo d'approccio $ sostanziatmente ambiguo; infatti si definisce dapprima l'indipendenza in modo classico ~, Due eventi A e H sono detti stocasticamente indipendenti (o, brevemente,

indipendenti) se vale l'equazione

P { A n H } = P { A } • {H} ~, ,s).

Dopo di che si afferma:

17} t'I. CIIAMI~R, The Elements of Probabili ty Theory, Stoccolma 1954, p. 43. 18) W . FELLER, Op. cit., p. 115.


<< La nozione d'in~pendenza stocastica ci permette di formulare analiti- camente il concetto intuitivo di esperimenti ",ripetuti ne]le medesime condizioni".

Si consideri Io spazio-campione cr rappresentante tm dato esperimento con- cettuale. Siano i ,punti dello spazio-campione E t , E~ . . . . e si denotino le loro prob~bilit~ con pl,/>2 . . . . I risultati possibili di una successione di esperimenti sirni~i sono le coppie (E i , Ek), ed esse formano un nuovo spazio-campione. Tut- tavia, se lo speriment~tore afferrna che le due misurazioni scmo compiute nelle medesime condizioni, implica l'indipendenza; il primo risultato non ha influenza s~ secondo. Questo significa che i due eventi "il primo risultato ~ El" e "il secondo risultato ~ Ek" devono essere stocasticamente indipendenti o che

p{ Ei , Ek ) = PiPk ~> 19).

Prima di esamhaare questo modo in procedere, aggiungiamo che lo stesso relativamente di~fuso tra le trattazioni intuitive de!,la teoria del.le probabilita anche se alcune vohe il saho in,giusti~icato che sottolineeremo tra poco ~ operato implicitamente e non esplicitamente come nel caso che stiamo esaminando.

L'ambiguit~ di questo modo di procedere deriva dal fatto che si definisce dapprima l'indipendenza in modo classico, ma poi nell'introdurre la nozione di esperimento si lega l'indipendenza alia costanza delle condizioni in cui si eseguono gli esperimenti, e, una volta stabilita questa parit~ di condizioni, si afferma che ci6 implica l'uguaglianza fra la probabilit~ assoluta e la probabilit~ condizionata e quindi l'indipendenza classica. Tutto i'l procedimento ~ di natura tale che non si riesce a c~,pire se l'indipendenza debba essere considerata una caratteristica degli esperimenti e quindi introdotta sulla base dell'osservazione delle condizioni di esecuzione degli stessi, oppure debba essere considerata una proFrietfi degli eventi e quindi introdotta quando si sia accertata l'uguaglianza degli eventi componenti. In breve: il passaggio dalla costatazione della parit~ delle condizioni sperimentali all'uguaglianza del.le probabilitfi e quindi all'indipendenza classica ~ de1 tutto ingiustificato2~

c) Vi ~ infine tma terza possibilitfi di definire l'indipendenza << Ana- lizzando due o pi~ esperimemi gioca un ruolo di speciale importanza il concetto di indipendenza. II termine stesso esprime in modo sufficientemente chia- ro il contenuto di questo concetto. Due esperimenti Ej e ~2 saranno detti indipendenti (reciprocamente) quando l'esecuzione di uno non ha alcuna influenza

tg) W. FELLER, Op. cit., p. 118. 2~) Come vedremo tra poco, questo ~ salto~> ingiustificato verr~ per cosl dire istituzio-

nalizzato da Gnedenko.

La /ormalizzazione della noztone di prova e una nuova de/inizione, ecc. l a l

sull'esecuzione dell'ahro. In particolare, anche i risuhati di due esperimemi indipendenti saranno indipendenti uno dall'altro, essi cio~ non si influenze- r a n n o , ...

Eventi casuali At , A2 . . . . , A . . . . sono i ndipendenti quando sono definiti su esperimenti ~t, E, . . . . . e, indipendenti . . . . Se eli eventi A, , A2, ..., A,, sono inditmndenti allora

I'1

P( n A~)=P(A1) X P(A2) • ... • P(A,,) ,, 2~). i=1

Questo terzo modo di affrontare la questione attribuisce l'indipendenza agli esperimenti e la determina mediante l'analisi delle modalith d'esecuzione deeli esperimenti stessi. Dopo aver individuato l'indipendenza degli esperimenti la trasferisce mediante una definizione aeli eventi, e infine afferma che se eli eventi sono indipendenti allora vale il principio &lle probabilith composte. Questa serie di passaggi non ~ circolare poich~ l'indipendenza viene stabilita con riferimento aeli esperimenti e quindi senza coinvolgere il principio delle probabilith composte. I1 << salto ~, dagli esperimemi al princigio deUe probabilith composte che in Feller rimaneva ingiustificato ~ ora operato, se inter- pretiamo nel modo giusto le idee di Fabian, postulando cbe per eventi indipendenti vale il principio suddetto.

A conclusione della nostra analisi sulla definizione d'indipendenza delle trattazioni intuitive della teoria delle probabilith, possiamo quindi affermare che l'indipendenza ~ considerata a vohe una caratteristica degli eventi e altre volte una caratteristica deeli esperimenti. Vi ~ poi una terza alternativa che pur con- siderando l'indipendenza una caratteristica degli eventi, per stabilirla ~a ri~eri- mento aUe modalit;a d'esecuzione degli esperimenti; ci6 dh origine ad una note- vole ambiguith poich~ il modo di valutare l'indipendenza si riferisce ad una nozione del tutto estranea alla definizione d'indipendenza. Questo ricorso agli esperimenti va fatto risalire, in primo luogo, a:ll'ammissione, almeno implicita, che l'indipendenza sia una caratteristica degli esperimenti e al tentativo di con- ciliate questa convinzione con la definizione classica d'indipendenza; in secondo luogo, ci6 dovrebbe permettere di evitare la circolarith latente nel principio delle probabilith composte e quindi di operate una corretta applicazione cleUo stesso.

Se ~ possi.bile comprendere le .ragioni di questa ambiguith, non ~ perb lecito accettarla; crediamo quincli che queste considerazioni non possano modi- ficare .la definizione d'incl2pendenza basata su.ll'uguaglianza fra le probabilit~ as- solute e le probabilith condizionate. Ne consegue che per gli approcci del tipo

21) V. FABIAN, Op. cit., p. 19 e s.

1 ~ DOMENICO COSTANTINI

a) e b) .l'unico modo eorretto di valutare ]'indipendenza consiste nell'esame delle probabilit?l coinvohe nella definizione. Ma questa valutazione presenta notevoli difficolt/l per ragioni che tra poco esamineremo, difficolt?~ ampiamente ricono- sciute da Gnedenko quando afferma <~ I1 coneetto d'indipendenza gioca un ruolo importante nella teoria delle probabilit/l e helle sue npplicazioni . . . . Nei ,problemi .pratici. tuttavia, accade raramente di verificare che le relazioni ... [L'autore si riferisce all'uguaglianza fra la probabilit~ assoluta e la probabilit?~ condizionata] siano soddisfatte a.1 fine di determinare se certi eventi sono indipendenti. Per accertare l'indipendenza si ricorre solitamente ad argomenti intuitivi che traggono origine da considerazioni basate sull'esperienza ~> ~).

Quindi per coloro che accettano la definizione classica d'indipendenza, se si escludono casi specialissimi, non esiste la possibilit~ di valutare l'indipendenza in accordo con la sua definizione. Questa valutazione deve essere compiuta sul'la base di considerazioni che nulla hanno in comune con quelle coinvohe dalla definizione. L'affermazione di Gnedenko, ohre a riconoscere una impossibilit/t og- gettiva, costituisce quindi una sorta di giustificazione ed istituzionalizzazione delle posizioni ambigue di ti.po b).

Esiste tuttavia la possibilit~ di sfuggire ad ogni ambiguitY: tale possibilit/t indicata dalle posizioni di tipo c) che tagliano netto con la definizione classica

d'indipendenza per far esplicito riferimento alia nozione d'esperimento e definite t'indipendenza come una caratteristica di questa nozione. Questa a,lternativa permette allora di usare in modo lecito nella determinazione ,pratica dell'indipendenza le considerazioni relative alle modalit~ d'esecuzione degli esperimenti. Que- sta posizione, anche se non molto seguita, ci sembra l'unica corretta e le considerazioni che faremo nel seguito sono appunto rivohe a giustificare questa

affermazione.

4. LA DEFINIZIONE D'INDIPENDENZA DEI PROBABILISTI MATEMATICI.

Delle tre posizioni individuate nel paragrafo precedente solo la a) trova riscontro a livello assiomatico; v i b poi un secondo modo di affrontare l'indipendenza che st/l a met/L strada fra b) e c). Abbiamo detto a met~ strada giacch~ la palese am.biguit/~ di b) non pub, per ovvie ragioni, trovare .posto in una teofia matematica assiomatizzata, mentre le esplicite affermazioni di c) non sono ancora state pienamente accohe a livello ~ormale. Vi sono dunque due modi di a,ffrontare a livello formale t'indipendenza: i'l primo, seguito da quegli autori con interessi pifi spiccatamente matematici (li chiameremo i probabilisti matematici), ignora la nozione di esperimento e definisce l'indipendenza sulla base

22) B. V. GNEDENKO, op. cit,, p. 70.

La /orrnalizzaztone della nozione di prova e una nuova de/inizione, ecc. 183

degli eventi e delle loro probabiliffi; il secondo, seguito da quegli autori che ban- no maggior interesse per ,le applicazioni (li chiameremo i probabilisti statistici), definisce l'indipendenza mediante la nozione di esperimento.

Quale rappresentante del primo gruppo scegliamo M. Lof.vE 23) che, com'6 noto, sviluppa la teoria delle probab,.'lit~ a partire da due concetti primitivi: l'evento e la ,probabilit~. L'esperimento non ~ un concetto primitivo e non compare neppure come concetto definito cost chela teoria del Lo4ve e, in generale, le teorie dei probabilisti matematici sono sviluppate senza mai fare riferimento a questo concetto. L'indipendenza viene definita servendosi unicamente dei due concetti primitivi nel modo seguente:

~, Gli eventi A, sono detti indipendenti se, per ogni sottoinsieme finito

( t t , ..., tn),

rl tl

(2) P n A,k= 1I PA,a ,~ 2,). k = l k = l

Dat punto di vista sintattico questo ap.proccio non pub dar luogo a nessuna critica. I1 calcolo delle probabilitY, secondo questo punto di vista, tratta solamente con eventi e probabilith; con ci6 si nega ogni legame fra esperimento e indipendenza e quest'ultima, considerata come una caratteristica degli eventi, viene definita mediante la probabi,lith.

Una .prima obiezione a questo modo di affrontare la teoria delle probabiliffi, sorge quando si raffronti il calcolo cosl sviluppato con la teoria intuitiva delle probabilith. Se infatti l'analisi delle teorie intuitive ci ha permesso di con- statare che i.n esse la nozione di esperimento gioca un ruolo di grande importanza, ~ naturale chiedersi se un calcolo che ignori questa nozione possa costituire una ricostruzione fedele della teoria intuitiva delle probabilitL Detto ahrimenti: le teorie dei probabilisti matematici ignorando la nozione di esperimento non si lasciano forse sfu,ggire un aspetto essenziale della teoria di cui intendono presentarsi come una ricostruzione formale? Siamo convinti che la risposta sia po- sitiva. Ignorando a livello formale l'esperimento si travisa in modo grave la teoria intuitiva delle probabilitY: la teoria assiomatica alia quale in questo modo si giunge 6 una ricostruzione 9arziale della teoria intuitiva delle probabilit~ in quanto se ne lascia sfuggire un aspetto essenziale.

23) M. LO~-VE, Probability Theory, 3 a ed., Princeton 1963. Per un aItro approccio assiomatico che prescinde d,~lla nozione di esperimento, si veda P. R. HnLMOS, Measure Theory,

Princeton 1950. 24) M. LOEVE, op. cit., p. 223.

134: DOMENICO COSTANTINI

Si pot,rebbe a questo punto affermare che questi sono problemi che esulano daUa matematica, e che quindi la teoria assiomatica delle probabilitfi non deve tenerne con.to. Questa sarebbe senza dubbio una affermazione esatta; tuttavia resterebbe il problema di applicare i.1 calcolo cosi costruito. ]~ in.fatti evidente che per applicare i teoremi in cui compare l'i,potesi d'indipendenza (e inversa- mente quelli i.n cui si ipotizzasse la di, pendenza degli eventi coinvolti) bisognerebbe avere la possibilit?l di verificare le loro promesse, bisognerebbe cio~ essere in grado di valutare l'indipendenza degli eventi reali ai quali si intende a.ppli- care i teoremi suddetti. A questo punto sorgono ,per6 una serie di problemi mol- to com.plessi che rendono questa valutazione praticamente impossibile, ai quali ci .limiteremo ad accennare.

In .primo luogo, l'indi,pendenza non pub essere valutata se prima non si indicata una definizione o ~ana serie di assiomi atti a determinate le probabilitY. Com'~ noto, il sistema di assiomi del calcolo delle probabilit~ non permette la determinazione di alcun valore di probabilit?~ ad eccezione dei casi banali in cui gli eventi in questione siano l'evento certo (probabilit?~ pari a 1) e t 'evento impossibile (probabilit~ pari a zero). Gli assiomi del calcolo delle probabi'lit~ non scno irdatti categorici, non .permettono cio~ di determinate in modo univoco le probabilitY; sono quindi compatibili con qualunque valore di .probabilit~ per qualsiasi evento, ad eccezione naturalmente dei casi banali sopra ricordati. Poi- ch~ i valori di probabUit?~ coinvolti nella definizione d'indipendenza sono in generale relativi ad eventi che non sono n6 certi n~ impossibili, la decisione relativa all'indipendenza di due eventi o esperimenti dipende da quella relativa alla definizione di probabilit~ o agli assiomi atti a.lta determinazione delle probabi- litY. In breve: la definizione d'indipendenza 6 tale c h e l a valutazione dell'indipendenza ~ profondamente in..fluenzata dalla valutazione delle probabilit~ e non pub essere operata fino a quando non si sia risolto i l problema dei fondamenti della probabilitY.

In secondo luogo, ~ innegabile che quando si accetti un modo di determinate le probabilit~ e quindi l'~ndi, pendenza non si ~ ancora risolto ii problema poich6 rimangono notevolissime difficolt~ circa la ,possibilit?t di rendere opera- tiva la definizione d'in~pendenza. Queste di.fficolt~t sono comuni alle tre interpretazioni dassiche di probabilit?l 25) e nel,la maggior parte dei casi insu.perabi.li, come sottolinea la frase di Gnedenko che abbiamo ricordato .nel ,paragrafo 2. Esse sorgono dal ~a.tto chese la valutazione deite probabilit~ degli eventi com,po- nenti pub in .genere essere effettuata (con difficolt~ che non devono essere sotto-

25) Per interpretazioni classiche intendiamo l'interpretazione logicistica di Keynes e Witt- genstein, la frequentistica di von Mises e Reichenbach e la soggettivistica di Ramsey e De Finetti.

La /ormalizzazione della nozione di prova e una nuova de/inizione, ecc. 185

valutate), quella delle probabilit~ degli eventi composti comporta difficolt~ quasi sempre insuperabili. A questo proposito ~ necessario far notate che per valutare ,le probabilit/l che compaiono a sinistra della (2)non ~ lecito servirsi di considerazioni legate al principio delle probabilit~ composte, cio~ moltiplicare i valori ehe compaiono a destra della (2) come si ~ soliti fare poich/~, ovviamente, cib porterebbe ad un circolo vizioso; in vista della determinazione dell'indipendenza tali probabilit/~ devono essere vadutate come probabilit~ iniziali e cib, pur dispo- nendo di una definizione di probabilitY, ~, quando si esdudono casi molto semplici, un problema the presenta difficolt~ notevolissime e molte volte insuperabili. D'ahro canto, non sarebbe lecito, come si ~ soliti fare, ricorrere a considerazioni intuitive legate alle modalit~ d'esecuzione delle osservazioni o degli esperimenti perch~ questa sarebbe una grave scorrettezza giacch~ la valutazione dell'indipendenza sarebbe fondata su entit~ di cui si ~ rifiutata l'accettazione a tivello formale (e percib la rilevanza sui problemi che si stanno trattando) ai quali quindi non si ~ autorizzati a fare fiferimento.

A volte alcuni autori pretendono di superare questa dffficolt~ sostenendo (?he il concetto di esperimento trova la sua formulazione all'interno della teoria assiomatica delle probabilit?t mediante il concetto di variabile casuale, ma ~ suf- ficiente un rapido esame di questa nozione per rendersi conto dell'erroneiffi di tale tesi. Le variabi,li casuali trasformano eventi in numeri reali n d senso che sono funzioni che harmo come argomenti insiemi del 0"-campo dominio della funzione probabilit/i e come valori numeri reali. Questo concetto non corri- sponde quindi a quello di esperimento che - - come abbiamo visto - - ~ una funzione ma una funzione di scelta di tipo non matematico.

A conclusione di questo paragrafo possiamo quindi affermare che la teoria assiomatica dei probabilisti matematici trascurando a livel'lo formale la nozione di esperimento b una ricostruzione inadeguata ddla teoria intuitiva delle probabilit~l e si preclude la possibilitfi di una corretta applicazione.

5. LA DEFINIZIONE D'ESPERIMENTO E D'INDIPENDENZA DEI PROBABILISTI STA-

TISTICI.

La trattazione dei probabilisti matematici non b la sola possibile; esiste irdatti un altro modo di affrontare la .fondazione assiomatica della teoria delle probabilitY. Questa seconda via b seguita dai prob~bilisti statistici e anche se non b in aperto conrrasto con l'approccio dei probabilisti matematici presenta nei corffronti di questo differenze molto significative. Infatti il Kolmogorov, che prendi~mo quale rappresentante dei p r o b a b i l i s t i statistici, pur sviluppando come il Lo6ve la sua teoria assiomatica sui concetti primitivi di evento e probabi.lit~, attribuisce l'indipendenza agli esperimenti e non agli eventi. II concetto di esperimento non b perb un concetto primitivo del suo sistema di as-


siomi e deve quindi essere introdot to nel modo seguente:

<< T E O R I A DEGLI I N S I E M I

8. I1 sistema 6)A di insiemi A~, A2, ..., A,, {orma una decompos iz ione del- l ' insieme E se A I U A 2 u . . . u A , = E (ci6 suppone che gli insiemi Ai abbia- no a due a due intersezione vuota).

E V E N T I C A S U A L I

8. L 'esper imento ~ consiste nel de-. terminate quale degli eventi A~, A2, ..., A,, si verifica. Chiameremo quindi At , A2, ..., .4, i risultati possibili del- l 'esperimento 6).g.

�9 . . D 2 6 ) .

Do,po l ' introduzione degli esperimenti il KOLMOGOROV passa alla definizione dell ' indipendenza:

~< Siano dati n esperimenti 0")~(13, o'llF2) . . . . , ~ cio~ n decomposizioni

E = A , " ) u A z ( ~ (~ i = 1 , 2, ..., n

dell ' insieme base E. 1~ allora possibile assegnare r=r~r2 ... r. probabilit?i (nel

caso generale)

Pq~q . . . . q n = P ( A q , ( l ) N Aq : (2) n ... n Aq~ ('))

che sono interamente arbitrarie ad eccezione dell 'unica condizione

Pq~q~ ... o, = 1. ql, q2, "", qn

DEFINIZIONE I. n esperimenti o~(1), o-)2(2) ' ..-, 0-)2(,) sono detti mutua-

m e n l e indipendent i se per ogni q t , q2, ..., q, vale la seguente equazione

P(Aq~ (l) n Aq: a) n ... n Aq ("))=P(Aq~ (l)) X P(Aq: (2~) • ... • P(Aq~ (")) ~> -'7).

E definisce l ' indipendenza degli eventi mediante l ' indipendenza degli esperi-

menti:

<< DEFINIZIONE II . n eventi A t , A2 , ..., A,, sono detti mutuamente indi-

pendenti se le decomposizioni (,prove)

26) A. N. KOLMOGOROV, Op. cit., p. 6. 27) Ibid., p. 9.

La /ormalizzazione della nozione di prova e una nuova de[inizione, ecc. 187

E = A k u - - A k ( k = l , 2 . . . . , n)

sono indipendenti >> ~). Una .prima considerazione sul modo di definire l'indipendenza del KOLMO-

COaOV ~ che questo autore condivide, almeno implicitamente, le nostre cri- tiche di inadeguatezza del paragrafo precedente e conseguentemente introduce a livello assiomatico la nozione di esperimento. In secondo luogo, definisce l'indipendenza in modo nettamente diverso da quello seguito, ad esempio, dal Lo~vE perch6 attribuisce l'indipendenza agli esperimenti e solo in second'ordine (vedi la Definizione II) agli eventi. I1 KOLMOCOROV, e i probabilisti statistici che accettano la sua assiomatizzazione, ritJene quindi che non sia possibile ignorare a livello assiomatico le affermazioni della teoria intuitiva relative agli esperimenti, riconosce cio~ che i l concerto di esperimento ~ essenziale nella teoria intuitiva delle probabilitfi e deve essere preso in considerazione nella sua ricostruzione formuale. Non ci sembra necessario sottolineare l'importanza di questo riconoscimento, quanto far notare che - - a nostro avviso - - esso 6 solo parziale e per certi aspetti tale da travisare profondamente il contenuto intuitivo della nozione di esperimento. Questa affermazione aecessita ovviamente di una giustificazione; questo ~ appunto cib che ci proponiamo di fare in questo paragrafo.

II KOLMOGOROV nel suo sistema assiomatico identifica gli eventi casuali con gli insiemi; deve quindi dofinire di volta in volta i concerti che compaiono nella teoria intuitiva delle probabilith sulla scorta dei corrispondenti concetti insiemistici. Si tratta di definizioni esplicative, ed ~ anche con un'esplicazione che il nostro autore introduce nella sua teoria la nozione di esperimento. Nella colonna con l'intestazione << Teoria degli insiemi ,> della tabella riportata all'ini- zio di questo paragra~fo compaiono gli explicata mentre con ,l'intestazione << Even- ti casua.li >> sono presentati gli explicanda. Non ci sembra possano sussistere dubbi circa il fatto che l'introduzione dell'esperimento ~ operata dal KOLMO(;OROV mediante un'esplicazione. Questa esplicazione deve quindi essere giudicata sulla base della sua adeguatezza tanto nei confronti della nozione intuitiva quanto nei confronti della sua utilit~ .per lo sviluppo della teoria in cui viene introdotta.

Circa l'adeguatezza del .primo tipo, riteniamo che ~'explicaturn di esperimento travisi in modo completo l 'explicandum. Infatti, come lo stesso KOLMO- GOROV afferma a ,livello di explicandum, e come ci ha permesso di precisare l'analisi compiuta nel paragrafo 1, l'esperimento ~ una funzione di sceha. A livello dell 'explicatum "fl KOLMO(;OROV identi,fica invece l'esperimento con una decomposizione dell'evento certo e quindi noga che t'esperimento sia una fun-

2,) A. N. KOLMOGOaOV, op. tit., p. 10.

138 DOMENIC0 COSTANTINI

zione; a livello di explicatum il KOLMOGOROV confonde cio~ l'esperimento con l'insieme de/suoi risultati possibili. Infatti una decompovizione dell'evento certo porta ad un insieme di risultati possibili essendo gli insiemi di questo tipo carat- terizzati dalle due propriet~ (incompatibilit:~ ed esaustivit~ degli eventi membri) che il KOLMOGOROV attribuisce agli esperimenti. Ma - - lo ripetiamo - - l'insieme dei risuJtati ,possibili di un esperimento non ~ un esperimento poiel~ il dominio di una funzione non ~ la funzione. Ne deriva che l'esplicazione di esperi- memo del KOLMOGOROV non ~ adeguata alla nozione che si intendeva spiegare e questa inadeguatezza ci sembra palese in ragione del fatto che tras~orma un concerto relazionale in uno qualitativo, riduce cio~ una funzione al suo dominio.

Circa il secondo tipo di adeguatezza, il discorso ci sembra ancora pih semplice: l'explicatum non pu6 essere di nessuna utilith poicl~ con esso non si introduce nella teoria niente di nuovo. Irffatti .]'esperimento viene ridotto ad un tipo particolare di evento e n e consegue che non sar~ in grado cli portare alla formulazione di teoremi e leggi che gi~ non fossero formulabili mediante ]'uso della nozione di evento.

Occupiamoci ora della definizione d'indipendenza. La Definizione I ci sembra un esempio tipico di ~ esplicazione parziale >>; essa ~ infatti una definizione nominale ma si propone anche di fornire una spiegazione della nozione intuitiva di indipendenza ~). Questo fatto ~ confermato dall'esistenza di due definizioni di indipendenza, una degli esperimenti e una degli eventi. Se infatti la Definizione I fosse tma genuina definizione nominale, non vi sarebbe motivo di definite l'indipendenza degli eventi mediante la Definizione II poich~ la Deft- nizione I ~ gi~ una definizione d'indipendenza per eventi perch~ l'explicatum di esperimento identi~fica quest'ultimo con un evento. Quindi la Derfinizione II

a rigore ridondante; la sua introduzione tuttavia ha il preciso significato di differenziare l'indipendenza degli eventi da quel,la degli esperimenti, differenzia- zione sensata sohanto in vista di stabilire un legame tra la Definizione I e le considerazioni intuitive sull'indipendenza che sono relative alle modalit~ d'ese-

cuzione degli esperimenti. Se quindi la Definizione I ~ un'esplicazione parziale allora essa pu6 essere

gi'udicata, almeno in parte, in termini di adeguatezza. E di nuovo possiamo a.ffermare che la Definizione I non ~ adeguata alla nozione intuitiva d'indi:pendenza ,poich~ mentre questa prende in considerazione le modalit~ di esecuzione degli esperirnenti (si vedano le considerazioni del paragrafo 3) quella si fo,nda sulle medesime argomentazioni usate dalla definizione classica. Sorgono inoltre

29) Ci sembra che anche il De Finetti in <r Sull'impostazione assiomatica del calcolo delle probabilitY>>, Annali triestini, Vol. XIX (1949), Sez. 2 a, 1-55, abbia avanzato una critica simile alla nostra esaminando il modo col quale il Kolmogorov definisce la probabilit~ condizionata.

La /ormalizzazione della nozione di prova e una nuova de/inizione, ecc. 130

tutte le di{ficoltfi di applicazione della definizione dassica, difficolt~, poste in rilievo nel paragrafo precedente, che riconfermano t'inadeguatezza della definizione del KO/.MOC, OROV.

Per le ragioni esposte riteniamo ohe ,la definizione d'indi, pendenza del KOL- MOOOROV, e in ultima istanza di tutti i probabilisti statistici, sia il risultato di un grave equivoco che ci sembra possa riassumersi nel modo seguente.

Si ~ accettato, almeno a livello intuitivo, che l'indipendenza ~ una caratteristica degli esperimenti e non degli eventi. Si ~ cercato poi di individuare, attraverso un explicatum, la nozione di esperimento all'interno della teoria che si andava costruendo. L'explicatum the si ~ ,fornito non ~ perb adeguato all'explicandum perch,, rifiutandosi di considerare a livello formale le prove come qualcosa di essenzialmente diverso da~i eventi, ha artificialmente compresso ]e caratteristiche funzionali dell'esperimento nella nozione di insieme dei risultati possibi.li dell'esperimento perdendo conseguentemente l'altro aspetto dell'esperimento cio~ il risultato. Avendo infine identificato l'esperimento con un fipo particolare di evento si ~ finito col definire l'indipendenza di una serie di esperimenti nel modo classico, legandola cio~ alia probabilit~ degli eventi.

6. CONCLUSIONE DELLA PRIMA PARTE.

Anche la teoria assiomatica del KOLMOGOROV, come quella dei probabilisti matematici, non ~ qui.ndi una ricostruzione adeguata della teoria inruitiva delle probabilitL Essa ~ certamente in una posizione pifl avanzata nei conCronti delle teorie che ignorano l'esperimento poich~ riconosce che questa nozione non pub essere ignorata a livello formale. I probabilisti statistici non harmo perb accettato questo riconoscimento con rutte le conseguenze ehe comporta giacch~ al momento dell'introduzione dell'esperimento nella teoria assiomatica delle probabilit~ hanno rifiutato di ammettere che l'esperimento possiede caratteristiche del tutto diverse dall'evento. La conseguenza di questo modo d'agire ~ l'equivoco che si ~ poc'anzi posto in risalto, equivoco che ri,flette, seppure ad un livello diverso, l'ambiguith delal posizione b) del paragrafo 3.

Come abbiamo detto esiste .la possibilit~ di uscire da questo equivoco: questa possibilith passa attraverso il riconoscimento che il princi~pio delle probabilit~ composte ~ solo una conseguenza dell'indipendenza ed ~ quindi errato cercare di definite questa nozione mediante le sue conseguenze. Si tratta cio~ di ritornare al modo di trattare l'indipendenza della teoria classica delle proba- bilitg evitando nel conten~po il circolo vizioso sottolineato nel paragrafo 3. Una trattazione non circolare del principio delle probabilit~ composte sar~ at- tuabile quando si accetti di analizzare come di fatto viene determinata l'indipendenza e si esplicitino a livel, lo formale le considerazioni usate nella determinazione pratica dell'indipendenza. Cib comporta il riconoscimento che l'indi-


pendenza ~ una propriet~ degli esperimenti e quindi cbe deve essere determi-

nata mediante l 'analisi di questc, concetto. In breve, cib significa accettare a

l ivel lo assiomaticc, il mode, di affrontare il prc,blema seguito da F^BIXN so) e

percib r iconoscere che 1'esperimentc, ~ una nc,zic.ne irriducibi:le a quelle di eventc,

e prc,babi.lit~, che deve essere introdc.tta come pr imi t iva nell 'assiomatizzazic,ne

del calcc,lc, delle probabi. l i tL Sar~ poi necessaric, fornire una conveniente fc.rma-

lizzazione di questa nc,zione e de te rminarne l 'uso median te un sistema di assiomi.

Nel seguito di questc, lavc.rc, cercheremc, di svi luppare il prc,gramma test~

delineatc, muovendoci su due piani diversi: nella secc,nda e nella terza par te

a f f ronteremo il prc,blema a livellc, informale cercandc, di esplicitare e rendere

hatui t ivamente accettabil i le hOSt.re convinzic,ni circa l ' e sper imento e ,l ' indipen-

denza; nel'la quarta par te fc.rmalizzeremc, le nozic,ni che abbiamc, introdc,ttc, a

l ivdlc, intuitivc, 3t)

Pervenuto in Redazione tl 15-12-1970.

RIASSUNTO

Questo articolo ~ la prima parte di un lavoro (le tre patti successive saranno pubbli- cate sempre sulla presente rivista) volto a introdurre il concetto di prova tra queUi primitivi del calcolo delle probabilit;~ e, sulfa scorta di questa introduzione e di un opportuno sisax-'ma di assiomi che regolano l'uso del nuovo concetto primitivo, una nuova definizione d'indipendenza svincolata dalla nozione di probabilitY. In questa prima pa t e viene compiuta un'analisi deUe trattazioni dell'indipendenza finora note, analisi che consente di individuare tre approcci fondamentali al problema della definiziorre dell'indipendenza nella teoria delle probabili.t/t. Ciascuno dei tre approcci suddetti viene ampiamente anatizzato sia nelle sue trattazioni intuitive sia, quando cib si verifichi, nelle sue trattazioni formalizzate. In questo contesto viene prestata particolare attenzione all'assiomatizzazione di Kolmogorov.

SUMMARY

This paper is the first part of a work (the next three parts will be published in this review) which is devoted to introduce *he concept of trial among the primitive concepts

30) V. FABIAN, Op. cit. Idee molto simLli sono state sostenute anche da G. POMPILJ', /2 variabili casuali, Fascicolo I, Aasiomatizzazione del catlcolo delle probabili.t~, Roma 1967, ii quale afferma in modo esplicito the l'esperimento t u n a nozione primitiva del calcolo

delle probabilitY, anche se da parte di questo autore non si opera nessun tentativo eli com- plete una formalizzazione del concerto di esperimento.

3t) La seconda, terza e quarta parte del presente lavoro saranno pubblicati in uno dei prossimi numeri di questa rivista col titolo La /ormalizzazione della nozione di prova e una nuova de/inizione dell'indipendenza. II.

La ]ormalizzazione della nozione di prova e una nuova definizione, ecc. 11d.

of the probability theory and a new definition of indipendence not involving the notion of probability. This definition is based on the concept of trial and on a suitable system of axioms that establish the use of this new primitive concept. In this first part the author makes an analysis of the known developments of indipendence that point out the existence of three principal :points of view. Each of this point of view is extensively analysed in its intuitive development and in its formalized development when there exists one. Particular attention is devoted to the Kolmogotov's axiomatization.

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La formalizzazione della nozione di prova e una nuova definizione dell’indipendenza. I

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