La divisione di numeri naturali: esercizi svolti · esercizi svolti Come abbiamo fatto per la...

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La divisione di numeri naturali:esercizi svolti

Come abbiamo fatto per la sottrazione, ci chiediamo adesso se,

effettuata una operazione di moltiplicazione, sia possibile definire

(trovare) una operazione che ci faccia tornare indietro al valore

iniziale. Anche per la moltiplicazione è possibile definire questa

operazione, che viene chiamata divisione, con due limitazioni che

vedremo. Ricordiamo che in generale una operazione di questo

genere (cioè che annulla o inverte l'effetto di un'altra operazione) si

chiama operazione inversa.

I termini della divisione si chiamano: dividendo il numero da

dividere, divisore il numero per cui dividere il dividendo, quoto o

quoziente il risultato della divisione, resto l'eventuale rimanenza

della divisione nel caso in cui il dividendo non sia un multiplo esatto

del divisore:

La divisione è rappresentata dal simbolo “:” (sono utilizzati anche i

simboli “/“ e “÷”, quest'ultimo sopratutto nelle calcolatrici).

� di �1 16

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I limiti della divisione sono che il divisore deve essere diverso (≠)

da 0 (questo vale per tutte le divisioni) e che il dividendo deve

essere maggiore o uguale (≥) al divisore (quest’ultima condizione

vale per i numeri interi, sia positivi che relativi).

Per dividere i numeri naturali la tecnica più conosciuta è simile (ma

non uguale) a quella dell'addizione, della sottrazione e della

moltiplicazione e si chiama allo stesso modo: la divisione in

colonna.

Vediamo con qualche esempio come si effettua.Cominciamo con un esempio semplice. Effettuiamo la divisione:

84:3. Il dividendo (84) è maggiore del divisore (3), inoltre

quest'ultimo è diverso da 0; ricordate che è essenziale fare sempre

questi controlli prima di procedere ad una divisione! Procediamo,

impostiamo la divisione nel modo seguente:

Troviamo il multiplo del divisore che sia uguale al primo termine del

dividendo o, se questo non c'è, il maggiore tra quelli più piccoli e

scriviamolo sotto il primo termine del dividendo. Ad esempio, se

proviamo a moltiplicare il divisore (il 3) per tre otteniamo:

� di �2 16



Il risultato della moltiplicazione divisore (il 3) per tre è 9. 9 è

maggiore di 8 quindi non va bene. Proviamo allora a moltiplicare il

divisore per due. Adesso il risultato è 6 che è minore di 8, inoltre

non ci sono multipli del divisore che siano minori del dividendo e

maggiori di 6, come abbiamo già verificato. Scriviamo allora il due

ed il sei nella maniera seguente:

Conviene indicare il termine del dividendo che stiamo considerando

con un cappelletto, com'è uso comune. Effettuiamo, adesso, la

sottrazione del termine del dividendo considerato, con il risultato

della moltiplicazione del divisore (3) per 2, cioè 8-6:

Il risultato è 2 che, notate, è più piccolo del divisore come deve

essere. Adesso abbassiamo il termine successivo del dividendo (il

4) ed allineiamolo al 2.

� di �3 16



Ripetiamo l'operazione precedente con il numero ottenuto, cioè con

il 24. Troviamo il multiplo del divisore che sia uguale o minore di

24. È facile vedere che è esattamente 24 moltiplicando il divisore

per 8:

Effettuando la sottrazione, come sopra, otteniamo come resto 0:

Il risultato della divisione è: 84:3=28 con resto 0. Il fatto che il

resto è 0 indica che 84 è esattamente un multiplo di 3.

Vediamo cosa succede se il dividendo non è esattamente un

multiplo del divisore. Effettuiamo la divisione: 82:3. Il dividendo

(82) è maggiore del divisore (3), inoltre quest'ultimo è diverso da

0, quindi possiamo procedere. Impostiamo la divisione come sopra:

� di �4 16



Procediamo con il primo termine del dividendo esattamente come

prima:

Abbassiamo, adesso, il secondo termine del dividendo:

Cerchiamo il multiplo del divisore che sia uguale o minore di 22. Se

proviamo a moltiplicare il divisore (3) per 8 vediamo che il risultato,

24, è maggiore di 22. Moltiplichiamo, allora, il divisore per 7. Il

risultato è 21 che è minore di 22; scriviamolo sotto 22 allineandolo:

� di �5 16



Effettuiamo la sottrazione. Il risultato è 1. 1 è minore di 3 quindi

non possiamo procedere oltre:

Il risultato della divisione è: 82:3=27 con resto 1. Il fatto che il

resto è 1 indica che 82 non è un multiplo esatto di 3.

Facciamo un esempio un po' più complesso: effettuiamo la

divisione: 252:7. Il dividendo (252) è maggiore del divisore (7),

inoltre quest'ultimo è diverso da 0; quindi procediamo:

� di �6 16



Consideriamo il primo termine del dividendo da sinistra, cioè il 2

(centinaia); questo è più piccolo del divisore (il 7) quindi non

possiamo procedere:

Prendiamo allora i primi due termini, sempre da sinistra, cioè il 25.

Come prima, cerchiamo il multiplo del divisore che sia uguale ai

termini del dividendo selezionati (il 25) o, se questo non c'è, il

maggiore tra quelli più piccoli e scriviamolo sotto i termini del

dividendo selezionati allineandoli a partire da destra:

Il valore cercato è 21, ottenuto moltiplicando il divisore per 3;

infatti se moltiplichiamo il divisore per 4 otteniamo 28 che è

maggiore di 25. Scriviamo il 3 nel settore del quoto allineandolo a

sinistra ed effettuiamo la sottrazione:

� di �7 16



Il risultato è 4. Abbassiamo il termine successivo del dividendo, che

è anche l'ultimo, allineandolo al 4:

Consideriamo adesso il numero ottenuto: 42 (ricordiamo che gli 0 a

sinistra di un numero naturale possono essere ignorati, se non sono

preceduti da nessun altro numero diverso da 0). Cerchiamo ancora

una volta il multiplo del divisore che sia uguale a 42 o il maggiore

tra quelli più piccoli e scriviamolo sotto il 42 allineandoli a partire da

destra:

Vediamo che, se moltiplichiamo il divisore per 6, otteniamo

esattamente 42, scriviamo il 6 a destra del 3 e procediamo:

� di �8 16



Il resto è quindi 0 ed il risultato della divisione è esattamente:

252:7=36 con resto 0.

Rifacciamo l'esempio con un dividendo leggermente differente che

non è un multiplo esatto del divisore: 255 e procediamo come già

sappiamo:

� di �9 16



Il resto in questo caso è 3 ed il risultato della divisione è sempre:

255:7=36 ma con resto 3. Quindi 255 non è un multiplo di 7.

Facciamo un'ultima coppia di esempi con un divisore a due cifre:

20562:23. Il procedimento resta lo stesso ma, naturalmente,

essendo il divisore a due cifre, è inutile partire considerando solo la

prima cifra a sinistra del dividendo. Si comincia considerando le

prime due cifre a sinistra del dividendo e si procede. Per dividere

numeri più grandi si segue lo stesso procedimento:

� di �10 16



� di �11 16



� di �12 16



Il resto è quindi 0 ed il risultato della divisione è esattamente:

20562:23=894 con resto 0.

Rifacciamo l'esempio con un dividendo che non è un multiplo esatto

del divisore: 20561 e procediamo come già sappiamo:

� di �13 16



� di �14 16



� di �15 16



Il resto in questo caso è 22 ed il risultato della divisione è:

20561:23=893 con resto 22. Quindi 20561 non è un multiplo di 23.

� di �16 16


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