La distribuzione Gaussiana -...

La distribuzione Gaussiana23 maggio 2017

Consideriamo la funzione piú importante e frequente che si incontra instatistica: la distribuzione Normale, chiamata molto piú comunementedistribuzione Gaussiana

1 Distribuzione Normale come limite della Binomiale

Data una distribuzione binomiale Bin(k | n, p), se n → ∞ e p →0 allora la distribuzione diventa una distribuzione PoissonianaPoisson(k | µ = n · p).

Se invece n → ∞ e p ha valore finito, la distribuzione che si ottieneal limite é definita dal teorema di De Moivre-Laplace (che é un casoparticolare del teorema centrale).

Teorema 1.1 (De Moivre - Laplace) Sia Bin(k | n, p) = (nk)pkqn−k una

distribuzione binomiale con | k−np2npq | ≤ A = cost. Allora:

Bin(k | n, p) ' 1√2π · npq

· e−(k−np)2

2npq (1 + O(1√n)). (1)

Accenno di dimostrazione Il risultato si ottiene come caso particolaredel Teorema Limite Centrale (dimostrato piú avanti)

Il teorema (1.1) implica che se µ = np e σ =√

npq, usando lavariabile continua x al posto di quella discreta k

PX(x1 ≤ X ≤ x2) = limn→∞

x2

∑x1

1√2π · npq

· e−(x−np)2

2npq =∫ x2

x1

1√2π · σ2

· e−(x−µ)2

2σ2︸︷︷︸f (x)

dx.

La f (x) integrata é allora una funzione di densitá di probabilitácontinua che definiamo come distribuzione normale o Gaussiana

N (x | µ, σ) =1√

2π · σ2· e−

(x−µ)2

2σ2 , (2)

dove i parametri µ, σ2 sono rispettivamente la media e la varianzadella distribuzione. La PDF della Normale é riportata in figura 1

Si noti che essendo la Gaussiana funzione simmetrica e unimodale(e che raggiunge il suo valore massimo al centro), mediana e modacoincidono con la media µ

la distribuzione gaussiana 2

Figura 1: Distribuzione La forma acampana tipica della densitá GaussianaN (x | µ, σ) (nell’esempio µ = 3 )

2 Normalizzazione e standardizzazione delle variabili

Per dimostrare che la distribuzione N (x | µ, σ) gode della proprietádi essere normalizzata,

∫ +∞−∞ N(x | µ, σ)dx = 1, standardizzeremo le

variabile aleatoria X.

Figura 2: Distribuzione Normalestandardizzata dove µ = 0 e σ = 1

La standardizzazione é un procedimento che riconduce una variabilealeatoria X distribuita secondo una media µ e varianza σ2, ad unavariabile aleatoria

Z =X− µ

σ, (3)

con distribuzione “standard”, ossia di media zero e varianza unita-ria,:

E[Z] = 0 var(Z) = E[Z2] = 1.

Per la dimostrazione di normalizzazione é sufficiente standardiz-zare X come in (3) e usare l’integrale di Gauss nella forma posta inEquazione (13):


∫ +∞

−∞N(x | µ, σ)dx

=∫ +∞

−∞

1√2πσ

· e(x−µ)2

2σ2 dx

=∫ +∞

−∞

1√2πσ

· e−12 z2

σdz

=∫ +∞

−∞

1√2π· e−

12 z2

︸︷︷︸Forma Normale Standard

dz

=1√2π·∫ +∞

−∞e−

12 z2

dz

=1√2π·√

2π

= 1

La funzione di densitá di probabilitá che abbiamo ottenuto dopoaver standardizzato le variabili, cioé

f (z) =1√2π· e−

12 z2

(4)

é detta distribuzione normale standard o ridotta, ed é indicata comeN (z | µ = 0, σ = 1) o semplicemente N (0, 1).

Calcoliamo ora la speranza matematica usando la standardizzazio-ne (3) da cui x = σz + µ ⇒ σdz = dx e procedendo per sostituzionedi variabile:

E[X] =∫ +∞

−∞x · 1√

2πσ2· e−

(x−µ)2

2σ2 dx

=∫ +∞

−∞(σz + µ) · 1√

2πσ· e−

12 z2

σdz

=σ√2π·∫ +∞

−∞z · e−

12 z2

dz︸︷︷︸0

+µ√2π

∫ +∞

−∞e−

12 z2

dz︸︷︷︸√2π

=µ√

2π√2π

= µ

Procedendo analogamente per calcolare la varianza si ottienevar(X) = σ2, e ovviamente

√var(X) = σ é la deviazione standard.

Si noti che la PDF della normale é simmetrica e unimodale con ilmassimo centrato su µ (su x = 0 nel caso ridotto), dunque moda emediana coincidono con la media µ.


3 Proprietá della CDF (Cumulative Density Function) della di-stribuzione normale

Per definizione, la CDF e la funzione di sopravvivenza S(z) si posso-no formalmente scrivere:

Figura 3: PZ(Z ≤ z)

Figura 4: PZ(Z ≥ z)

FZ(z) = PZ(Z ≤ z) =∫ z

−∞f (t)dt =

∫ z

−∞

1√2π

e−12 t2

dt, (5)

SZ(z) = PZ(Z > z) =∫ +∞

zf (t)dt =

∫ +∞

z

1√2π

e−12 t2

dt = 1− FZ(z).

(6)Come abbiamo giá notato la f (z) é una funzione pari:

f (z) = f (−z). (7)

Usando la paritá é possibile ricavare le seguenti proprietá di cuigode la PDF normale:

FZ(−z) = PZ(Z ≤ −z) =∫ −z−∞ f (t)dt = −

∫ z∞ f (−t)dt =∫ ∞

z f (t)dt = 1− FZ(z),(8)

dove si é utilizzata la sostituzione t → −t ⇒ dt → −dt, e la paritá dif .

Vale dunque la seguente:

FZ(−z) = 1− FZ(z). (9)

Inoltre possiamo ricavare le seguenti:

Figura 5: WZ(z) = PZ(−z ≤ Z ≤ z)WZ(z) = PZ(−z ≤ Z ≤ +z) = FZ(z) − FZ(−z) = FZ(z) − 1 +

FZ(z) = 2FZ(z)− 1.(10)

Figura 6: 2RZ(z) = PZ(|Z| ≥ z)2RZ(z) = PZ(|Z| ≥ z) = PZ(Z ≤ −z) + PZ(Z ≥ z) = 1− FZ(z) +

1− FZ(z) = 2(1− FZ(z)).(11)


Queste calcolano la probabilitá corrispondente all’area ombreggia-ta della densitá f (z) come rappresentato nelle figure accanto.

SZ(z), RZ(z), FZ(−z), WZ(z), 2RZ(z) definiscono nella praticale probabilitá di interesse per qualsiasi problema che riguardi ladistribuzione normale.

In buona sostanza, le relazioni ricavate precedentemente sono tuttecalcolabili facilmente a partire da FZ(z).

Nella forma piú generale la CDF FZ(z) della normale ridotta vienespesso denotata FZ(z) = Φ(z) e in generale:

FX(x) = Φ(

x− µ

σ

). (12)

Infatti, invertendo la trasformazione standard, si ha che X =

σZ + µ, dunque:

FX(x) = P(X ≤ x) = P(σZ + µ ≤ x) =

= P(Z ≤ x− µ

σ) = Φ

(x− µ

σ

)Abbiamo un ultimo rilevante problema: la Φ(z) come scritta in

equazione (5) non é calcolabile analiticamente!Soluzioni possibili:

• se stiamo lavorando in simulazione software, usiamo qualchefunzione basata su approssimazione numerica dell’integrale

• se stiamo lavorando “carta e penna”, utilizziamo le tabelle dellaforma normale standard.

Un esempio semplificato di tabella della normale standard émostrato in Figura 7

Se usiamo come “entry point” nella tabella i valori z = 1, 2, 3(x ,nella tabella in Figura 7) e leggiamo i corrispondenti valori diWZ(z) = PZ(−z ≤ Z ≤ +z), tenendo presente che per la normalestandard σ = 1 e dunque z = zσ, ne risulta che :

1. i valori di z compresi tra −1σ ≤ z ≤ 1σ corrispondono a ≈ 68, 3%della distribuzione;

2. i valori di z compresi tra −2σ ≤ z ≤ 2σ corrispondono a ≈ 95, 6%della distribuzione;

3. i valori di z compresi tra −3σ ≤ z ≤ 3σ corrispondono a ≈ 99, 7%della distribuzione.


Questa proprietá della distribuzione normale viene detta Legge3σ, che riprenderemo in seguito.

Si noti che sarebbe bastato avere la colonna relativa a FZ(z), perottenere WZ(z) = 2FZ(z)− 1. Anzi, tipicamente le tabelle utilizzate disolito riportano solo il valore compreso tra Z = 0 e Z = z essendo persimmetria della distribuzione PZ(−∞ ≤ Z ≤ 0) = 0.5. Nelle tabellecomplete sulle righe (in prima colonna) si accede al valore di FZ(z)al primo decimale (FZ(z = 0.1), FZ(z = 0.2) · · · ecc.).; sulla stessariga, nelle colonne successive si considerano con maggiore precisionei valori di z = 0.01, 0.02, 0.03, · · · da comporre con il primo decimaleper poter calcolare valori piprecisi, quali FZ(z = 1.63), ecc.

Un esempio é riportato in Figura 8, dove, ad esempio FZ(z = 1.63)si ricava

1. accedendo per riga in z = 1.6

2. posizionandosi sulla colonna indicizzata da z = 0.03

3. leggendo il valore PZ(0 ≤ Z ≤ z = 1.63) = 0.4484

4. calcolando FZ(z = 1.63) = PZ(−∞ ≤ Z ≤ 0) + PZ(0 ≤ Z ≤ z =

1.63) = 0.5 + 0.4484 = 0.9484

4 Legge 3σ

La Legge 3σ in sintesi ci dice che la densitá di probabilitá gaussianaé concentrata soprattutto in un intervallo di uno o due σ attorno alvalore X = µ e diventa pressoché nulla per |X?µ| > 3σ.

Ricaviamo esplicitamente la Legge 3σ calcolando la probabilitá cheuna VA X ∼ N (µ, σ) abbia uno scarto dalla media:

|X− µ| ≤ kσ

ovvero

P(|X− µ| ≤ kσ) = P(−kσ ≤ X− µ ≤ kσ) = P(µ− kσ ≤ X ≤ µ + kσ)

come rappresentato in Figura 10


Figura 7: Tabella semplificata dellanormale ridotta


Appendice I I - i

Tabella A.4 Aree della distribuzione normale standard

Questa tabella contiene ivalori dell'area sotto la curva della distribuzione nor_male standard relativa all'intervallo di estremi 0 e z (l,area ombreggiata in figu_ra), dove z rappresenta il valore specifico della variabile normale standard Z.

0.080.070.060.050.040.030.020.010.00 0.09

0.0000 0.00400.0398 0.04380.0793 0.08320.1f79 0. t2170.1554 0.159 |

0.1915 0.19500.2258 0.22910.2580 0.26t20.2881 0.29100.3159 0.3186

0.34r3 0.34380.3643 0.36650.3849 0.38690.4032 0.40490.4192 0.4207

0.4332 0.43450 .4452 0 .44630.4554 0.45640.4641 0.46490.47l3 0.47t9

0.47't2 0.47780.4821 0.48260.4861 0.48640.4893 0.48960.49 t 8 0.4920

0.4938 0.49400.4953 0.49550 .4965 0 .49660.49't4 0.497 50.4981 0.4982

0.498'7 0.498',70.4990 0.49910.4993 0.49930.4995 0.49950.499'7 0.4997

0.0080 0.01200.0478 0.05170.0871 0.09100.1255 0.12930.1628 0.1664

0.t985 0.20190 .2324 0 .23570.2642 0.26730.2939 0.296'l0.3212 0.3238

0.34ór 0.34850.3686 0.37080.3888 0.39070.4066 0.40820.4222 0.4236

0.4357 0.43'100.4474 0.44840.4573 0.45820.4656 0.46640.4726 0.4't32

0.4783 0.47880.4830 0.48340.4868 0.48710.4898 0.49010.4922 0.4925

o.494t 0.49430.4956 0.495',10.4967 0.49680.4976 0.49710.4982 0.4983

0.4987 0.49880.4991 0.49910 .4994 0 .49940.4995 0.49960.499't 0.4997

0.0239 0.02't90.0636 0.06750.1026 0.10640.140ó 0.14430.1772 0.1808

0.2123 0.21570.2454 0.24860.2764 0.2'7940.3051 0.30780.33 r 5 0.3340

0.3554 0.35770.3770 0.37900.3962 0.39800.413r 0.4t470.4279 0.4292

0.4406 0.44180.45 r 5 0.452s0.4608 0.46160.4686 0.4ó930.4'750 0.4756

0.4803 0.48080.4846 0.48500.4881 0.48840.4909 0.491I0.4931 0.1932

0.4948 0.49490.4961 0.49620.19',7 | 0.49't20.19'19 0.19'790..1985 0..1935

0.4989 0.49890.4992 0.49920.4994 0.49950.4996 0.49960.4997 0.199',t

0.49980.49990.49990.49990.5000

0.0319 0.03590.0't t4 0.07540.1103 0.11410.1480 0.15170.r844 0.1879

0.2190 0.22240.25 l8 0.25490.2823 0.28520.3r 06 0.3 t330.3365 0.3389

0.3599 0.36210.3810 0.38300.3997 0.40t50.4162 0.41',770.4306 0.4319

0.1429 0.44410.4535 0.45450.4625 0.46330.4699 0.17060 .4't 61 0 .47 67

0.4812 0.48170.4854 0.48570.4887 0.48900.4913 0.49160.4934 0.4936

0.495 r 0.49520.4963 0.49640.4913 0.49740.:1980 0.,19810.,19lJ6 0..1986

0.1990 0.-199t)0.,199t 0..19910..1995 0.,19950..1q96 0.,19970.4991 0.t998

0.,1s9f0.499e0.19e90.1q99

0.50rxl

0.49980.49980.49990.49990.5000

0.49980.49980.49990.49990.5000

0.49980.49990.49990.19990.5000

0.49980.4999o.4999o.49990.5000

0.01600.05570.09480.13310.t700

0.20540.23890.27040.29960.3264

0.3508o.3'/290.39250.40990.4251

o.4382o.44950.45910.46710.4738

0.4'1930.48380.48750.49040.4927

0.49450.49590.49690.49'170.4984

0.49880.49920.49940.49960.4997

0.49980.49990.49990.49990.5000

0.01990.05960.09870.13680.1736

0.20880.24220.27340.30230.3289

0.35310.37490.39440.41l50.4265

o.43940.45050.45990.46780.4'144

0.4'7980.48420.48780.49060.4929

0.49460.49600.49',700.49'780.4984

0.49890.19920.49940.499ó0.4997

0.,19980.49990.49990.49990.5000

0.49980.49990.49990.49990.5000

0.499S0.49990.4999o.49990.5000

Fonre: Muray R Spiescl ,S.h. tuùtsOtnl i tuolTheo^ahdProblensolstat ì l r i .s(secondaediz ione).Mccraw-Hj l t ,Ncwyoi[ - lq.Jè, . .prodono con i l perm$so Jr l l I \4(ùra$ I I l l ' nnrpdnr( , .

0.00.10.20.30.4

0.50.60.70.80.9

t .0t . lt .21.31.4

1.51.6t . '11.8t .9

2.02.12.22.32.4

2_52.62.72.82.9

3.03.13.23.3

3.53.ó3.73.83.9

Figura 8: Tabella completa dellanormale ridotta


Figura 9: La regione ombreggiata indicala probabilitá dello scarto |X− µ| ≤ kσ

Standardizziamo X:z = x−µ

σ

da cuidz = 1

σ dx → dx = σdzI limiti di integrazione sono pertanto:x2 = µ + kσ→ z2 = µ+kσ−µ

σ = kx1 = µ− kσ→ z1 = µ−kσ−µ

σ = −ke dunque:P(µ− kσ ≤ X ≤ µ + kσ) =

∫ µ+kσµ−kσ N(x|µ, σ) dx =

∫ +k−k f (z) dz =

W(k)I tre casi di interesse per la Legge 3σ sono quelli relativi a k =

1, 2, 3. Per completezza ricaviamo il valore complementare P(|X −µ| ≥ kσ) e lo confrontiamo con il limite generale ottenuto dalTeorema di Tchebychev, P(|X− µ| ≥ kσ) ≤ 1

k2 :

Figura 10: La regione ombreggiataindica la P(|X− µ| ≥ kσ)

- k = 1 → W(1) =∫ 1−1 f (z) dz = 0.6827 → P(|X − µ| ≥ 1σ) =

0.3173 ≤ 112 = 1

- k = 2 → W(2) =∫ 2−2 f (z) dz = 0.9545 → P(|X − µ| ≥ 2σ) =

0.0455 ≤ 122 = 0.25

- k = 3 → W(3) =∫ 3−3 f (z) dz = 0.9973 → P(|X − µ| ≥ 3σ) =

0.0027 ≤ 132 = 0.11

La Legge 3− σ é sintetizzata graficamente nella Figura 11

Figura 11: Distribuzione dei datisecondo la legge 3− σ


5 Esempi di utilizzo della Normale e delle tabelle della CDF

Esempio 5.1 Il contenuto reale di birra che un apposito macchinario mettein fusti da 5 litri puó essere considerato come una variabile aleatoria aventeuna distribuzione normale con una deviazione standard pari a 0.05 litri.

Se solo il 2% dei fusti contiene meno di 5 litri, quale dovrebbeessere il contenuto medio dei fusti?

Per determinare µ tale che Φ(z) = FX

(5−µ

σ

)= 0.02, si cerca nella

tabella della distribuzione normale standard il valore piú vicino a 0.02. Sitrova la migliore approssimazione per 0.0202 che corrisponde a z = −2.05.

Qualora la tabella a disposizione consideri solo i valori per z ≥ 0, si facciauso della proprietá della cumulativa standardizzata Φ(−z) = 1−Φ(z); intal caso la migliore approssimazione si ha per 1−Φ(2.05) = 1− 0.9798 =

0.0202.Pertanto:

z =5− µ

σ=

5− µ

0.05= −2.05.

Risolvendo l’equazione in µ, si trova che µ = 5.1 litri.

Esempio 5.2 Vediamo in pratica come utilizzando il teorema di De Moivre- Laplace, la distribuzione normale possa essere utilizzata per approssimareil calcolo di una distribuzione binomiale. In questo caso bisogna sempretener presente che la Binomiale é una distribuzione discreta per cui ha sensocalcolare il valore di probabilitá P(K = k) in un punto k, mentre la Normaleé una densitá continua dove P(X = x) ha misura nulla e possiamo solocalcolare un valore di probabilitá in un intervallo P(X ∈ dx) ≈ f (x)dx

Supponiamo di avere in magazzino una scorta di 100 chip di memoria dicui statisticamente il 20% risulta difettoso.

Vogliamo calcolare la probabilitá che esattamente 15 pezzi sianodifettosi

Il problema é modellabile mediante una distribuzione binomiale dove:

100 pezzi → n = 100

20% difettosi→ p = 0.20

Poiché n é sufficientemente grande approssimiamo con una GaussianaN (x | µ = np, σ2 = npq) dove

µ = np = 20

σ =√

n · p · q =√

100 · 0.20 · 0.8 = 4

Il problema ci richiede di calcolare PBin(X = 15). Approssimando conla Normale dobbiamo tener presente che per densitá continue non ha sensodeterminare PN (X = 15) giacché ha misura nulla: applichiamo dunque lacorrezione di continuitá:

Figura 12: Correzione di continuitá perapprossimare PBin(X = 15)


PBin(X = 15) ≈ PN (14.5 ≤ X ≤ 15.5) = Φ(

15.5− µ

σ

)−Φ

(14.5− µ

σ

).

Procediamo alla standardizzazione

z1 =14.5− 20

4= −1.38

z2 =15.5− 20

4= −1.13

Usando z1, z2, e accedendo alle tabella della CDFΦ(

15.5−µσ

)− Φ

(14.5−µ

σ

)= FZ(−1.13) − FZ(−1.38) = 1 −

FZ(1.13)− 1 + FZ(1.38) = 0.0454

Esempio 5.3 L’altezza di un uomo segue una distribuzione normale dimedia 178 cm con una deviazione dalla media di 8 cm. L’altezza di unadonna ha invece una media di 165 cm con una deviazione pari a 7 cm.

1) Qual é, nella stessa popolazione, la proporzione di uomini la cuialtezza é superiore a 185 cm?

Sia U la variabile aleatoria che denota l’altezza degli uomini.Vogliamo determinare P(U > 185), dove la distribuzione é Normale

con µ = 178, σ = 8. Standardizzando le variabili e usando le tabelle delladistribuzione normale

P(U > 185) = P(U − 178

8>

185− 1788

) = P(Z < 0.875) ≈ 0.19

2) Qual é la proporzione di donne che sono piú alte della metádegli uomini?

Sia D la variabile aleatoria che denota l’altezza delle donne.Sappiamo che media e mediana nella distribuzione normale coincidono

dunqueSU(u) = P(U > u) = 0.5,

quando u = µ = 178Pertanto, si tratta di determinare P(D > 178):

P(D > 178) = P(Z >178− 165

7) = P(Z > 1.857) ≈ 0.032

.Solo il 3.2% delle donne é piú alto di metá degli uomini.

6 Appendice: calcolo dell’integrale di Gauss

Per poter “manipolare” matematicamente la Gaussiana, é necessariosaper risolvere l’integrale di Gauss:


I =∫ +∞

−∞e−x2

dx.

Per calcolarlo, si sviluppa I2:

I2 =∫ +∞

−∞e−x2

dx ·∫ +∞

−∞e−y2

dy

=∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e−x2 · e−y2

dxdy

=∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e−(x2+y2)dxdy

Si passa poi in coordinate polari (r, θ) dove x = r cos θ y = r sin θ

corrisponde a θ.

Figura 13: Coordinate polari

Nella trasformazione, l’elemento infinitesimo di area dA deveconservarsi, ovvero:

dA = dxdy = |J|drdθ

dove |J| é il determinante della matrice J detta matrice jacobiana.

J =

[∂x∂r

∂x∂θ

∂y∂r

∂y∂θ

].

Gli elementi della matrice jacobiana sono le derivate prime parzialidi x = x(r, θ), y = y(r, θ) rispetto alle nuove coordinate (r, θ). Ricor-dando la definìzione di derivata parziale di una generica funzionef = f (x, y)

∂ f∂x

= limh→0

f (x + h, y)− f (x, y)h

.

∂ f∂y

= limh→0

f (x, y + h)− f (x, y)h

.

applicandola al nostro caso otteniamo

∂x∂r

= cos θ.

∂x∂θ

= −r sin θ.

∂y∂r

= sin θ.

∂y∂θ

= r cos θ.

La matrice Jacobiana diventa:


J =

[cos θ −r sin θ

sin θ r cos θ

].

Calcoliamo il determinante:

|J| = rcosθ sin θ − (−r sin θ) sin θ

= r cos2 θ + r sin2 θ

= r(cos2 θ + sin2 θ︸︷︷︸1

)

= r

Quindi:

dxdy = rdrdθ

Ora possiamo completare il calcolo dell’integrale di Gauss. Consi-deriamo il dominio di r e θ: 0 ≤ r ≤ +∞ e 0 ≤ θ ≤ 2π:

I2 =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e−(x2+y2)dxdy

=∫ +∞

0

∫ 2π

0e−r2

rdrdθ

=∫ 2π

0dθ︸︷︷︸

2π

·∫ +∞

0r · e−r2

dr

= π ·∫ +∞

02r · e−r2

dr

= π · [e−r2]0+∞

= π · (1− 0)

= π

Infine:

I =∫ +∞

−∞e−x2

dx =√

π

Analogamente (con sostituzione di variabili) si calcola il seguenteintegrale: ∫ +∞

−∞e−

x22 dx =

√2π (13)

La distribuzione Gaussiana -...

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