La dinamica delle collisioni

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Analisi di un crash test (I)I filmati delle prove d’impatto distruttive degli autoveicoli, dato l’elevato numero dei fotogrammi al secondo, riportano la scena dell’urto al rallentatore con l’indicazione del tempo in millesimi di secondo. In un crash test frontale pieno (figura sotto) l’auto, lanciata alla velocità standard di 56 km/h (15,56 m/s), urta una barriera di alluminio larga unmetro e profonda 54 centimetri.

Analisi di un crash test (II)L’angolo tra la direzione del moto (chiamiamolo assex) e il piano d’impatto della barriera è di 90°. Dal punto di vista del manichino, l’accelerazione iniziale è nulla (moto rettilineo uniforme), nell’istante dell’urto la sua testa subisce un’accelerazione (dovuta a una forza apparente) che ha tre componenti rispetto alla barriera (a

x trasversale, a

y

longitudinale e az verticale). Il modulo dell’accelerazione

(dovuto principalmente alla componente trasversale) in pochi decimi di secondo raggiunge un massimo per poi decrescere fino a valori prossimi a zero, sia per l’azione delle cinture e dell’airbag, sia per l’arresto dell’auto.

Analisi di un crash test (III)Esaminiamo solo la fase di avanzamento della testa del conducente verso il volante conle misure del grafico della figura che segue, ottenuta grazie agli accelerometri dispostinell’autovettura, in unità multiple dell’accelerazione di gravità (g=9,8 m/s2).

Analisi di un crash test (IV)Il picco dell’accelerazione ha un valore prossimo a 71 g. Gli estremi della prima curva (i valori nulli dell’accelerazione) corrispondono agli istanti 40 ms e 110 ms. La duratadella prima fase dell’urto è quindi 70 ms. Mentre l’accelerazione media si può calcolarecome rapporto tra la variazione di velocità e l’intervallo di tempo. Dividendo 15,56 m/sper 0,070 s, si ottiene 240 m/s2, circa 24 volte l’accelerazione di gravità. Un valoreincredibilmente alto, ottenuto con un’auto che colpisce frontalmente un ostacolo a unavelocità di poco superiore al valore ammesso in città.

Analisi di un crash test (V)

Per noi osservatori esterni l’incidente è causato dalla barriera che esercita una forza sull’auto provocando una decelerazione del centro di massa del sistema (veicolo conducente). L’intensità della forza si può calcolare a partire dalla massa del sistema (auto più manichino) utilizzando il secondo principio della dinamica: F=ma. Il valore medio della forza si otterrà dal valore medio dell’accelerazione. Se si pone a esempio per la massa totale un valore indicativo di 1300 kg, la forza media nell’esempio risulta circa 289 kN. Durante l’impatto avviene la trasformazione di parte dell’energia cinetica dell’auto in energia termica e di deformazione dell’auto stessa e della barriera (la parteelastica produce il rimbalzo dell’auto). Limitandoci all’intervallo di tempo tra 40 e 110ms e approssimando il movimento lungo la sola direzione x, il lavoro L della forza F

media è uguale a -F

mediaDx

G (la forza

è opposta allo spostamento DxG del centro di massa).

Analisi di un crash test (VI)Valutare lo spazio percorso dal centro di massa è assai difficile (tenuto conto dellemolteplici deformazioni). Nei calcoli che seguono, lo porremmo, in modo arbitrario, esattamente uguale alla profondità dell’ostacolo 0,54 m. Inserendo i valori trovati in precedenza, il lavoro L=-289 kN 0,54 m=-156 kJ, mentre la variazione di energiacinetica è : K

f-K

i=

0-mv2/2=-1300 kg (15,56 m/s)2/2=-157 kJ (si tenga presente che le barriere dicontenimento delle strade italiane difficilmente sono capaci di respingere autoveicolicon energia cinetica di 400 kJ in un urto frontale). I valori trovati sono pertanto uguali.

Impulso e quantità di moto (I)

Il secondo principio della dinamica può essere espresso in un’altra forma per descriverelo studio delle collisioni tra due corpi. Ritornando al crash test, la forza ha unandamento nel tempo che ricalca quello dell’accelerazione, ma la misura della forzamedia non basta per descrivere in modo completo l’urto.

Nella figura accanto, l’area delimitata dalla curva (del grafico tempo forza) è l’intensità di una nuova grandezzachiamata impulso I ed è equivalente all’area del rettangolo i cui lati misurano la durata dell’urto Dt e l’intensità della forza media: I=F

mediaDt.

Impulso e quantità di moto (II)

Impulso e quantità di moto (III)

A parità di impulso la definizione precedente indica la proporzione inversa tra forza(media) e durata dell’urto. Così la trasformazione, durante l’urto, dell’energia cinetica in altri tipi di energia può avvenire, come è immediatamente chiaro, in diverse modalità. Se il corpo e le barriere sono realizzati con materiali capaci di massimizzarel’interazione, con una durata elevata, la forza è minima; viceversa, se, cambiando a esempio la barriera, la durata è minore rispetto al caso precedente, l’intensità della forza cresce, poiché l’impulso dipende solo dalle condizioni di moto iniziali e finale dell’auto.

Impulso e quantità di moto (IV)

L’equazione I=FDt=mDv rappresenta un modo diverso di esplicitare il secondo principio della dinamica nei problemi di movimento e la grandezza:

mDv è detta variazione della quantità dimoto totale del sistema.

Impulso e quantità di moto (V)

Consideriamo adesso due corpi (ugualmente rilevanti) lanciati l’uno contro l’altro (due palle di biliardo, due cariche elettriche, due particelle) che avvicinandosi (toccandosi) interagiscono fortemente per un tempo molto breve. Le intensità, uguali, delle dueforze d’interazione sono, in genere, molto più grandi delle intensità delle forze esterne (nel caso del crash test la forza media è pari a 24 volte il peso dell’auto).

Impulso e quantità di moto (VI)

In questo modo il sistema costituito dalla coppia di oggetti in interazione è detto isolato e la quantità di moto totale del sistema non cambia durante la collisione (anche se la velocità dei singoli corpi può variare). Si simulano così gli urti elastici e anelastici (per i quali si conserva anche l’energia cinetica) di ideali sferette, maanche l’interazione di particelle subatomiche, in modo tale che il centro di massa del sistema rimanga invariato.

Impulso e quantità di moto (VII)

Urti di protoni ad alta energia producono particelle che a loro volta decadono in altreparticelle, tutte aventi la stessa origine nel centro di massa. Le posizioni (individuatedalla tracce), le masse e le quantità di moto divengono le misure standard inizialianche della fisica degli acceleratori.

La diffusione di Rutherford (I)(dal punto di vista della meccanica classica)

Le esperienze sulle particelle elementari sono tutte basate sulle collisioni di coppie di particelle. L’idea base degli esperimenti è assai semplice, si cerca di realizzare un “crash test” che coinvolga solo un fascio di particelle e un bersaglio (target) oppure duefasci di particelle (2 auto una contro l’altra) di energia elevata. Gli studi del fisico neozelandese Ernest Rutherford, già premio Nobel per la Chimica nel 1908 per le suericerche in Canada sulla disintegrazione degli elementi e sulla chimica degli elementi radioattivi, nel laboratorio di Manchester tra il 1909 e il 1911 rappresentano un esempio di questa pratica.

La diffusione di Rutherford (II)

La diffusione di particelle alfa (prodotte da radio e collimate da una fenditura realizzata su uno schermo di piombo) incidenti su fogli metallici dispessore limitato è studiata da Rutherford e dai suoi collaboratori attraverso ore e ore di osservazione di brevi lampi provocati su una sostanza fluorescente (solfuro di zinco) disposta lungo una superficie concentrica al bersaglio (si veda la schema e la foto che seguono).

La diffusione di Rutherford (III)

Apparato sperimentale dell'esperimento (ricostruzione computerizzata)

La diffusione di Rutherford (IV)

Apparato sperimentale dell'esperimento (foto)

La diffusione di Rutherford (IV)

Le misure portano Rutherford a proporre il primo modello di atomo con nucleo centralepositivo di dimensioni trascurabili rispetto a quelle dell’atomo stesso. Analizziamo un caso particolare proposto dagli assistenti di Rutherford, Hans Geiger (tedesco) e Ernest Marsden (neozelandese), nel 1911. Tra tutte le interazioni tra particelle alfa e nuclei del metallo (diciamo oro) i due ricercatori notano la possibilità di particelle alfa riflessenella stessa direzione iniziale: il caso di un urto frontale elastico unidimensionale.

La diffusione di Rutherford (V)

Indichiamo con i simboli mA e m

B le masse dei corpi

che interagiscono, vA(0) e v

B(0) le velocità iniziali

delle particelle al tempo zero, vA(t) e v

B(t)le velocità al

tempo t dopo l’urto.Per il principio di conservazione della quantità di moto dev’essere:m

Av

A(0) + m

Bv

B(0) = m

Av

A(t) + m

Bv

B(t).

Mentre per il principio di conservazione dell’energia: m

Av

A2(0) + m

Bv

B2(0) = m

Av

A2(t) + m

Bv

B2(t)

(il termine ½ è stato semplificato).

La diffusione di Rutherford (VI)

Una delle soluzioni banali del sistema e quella in cui la velocità di ogni singola particella sia uguale prima e dopo l’urto. Per trovare la seconda soluzione, nonovvia, ipotizziamo una velocità iniziale dell’atomo bersaglio uguale a zero. Le equazioni di conservazione si trasformano nella forma:m

Bv

B(0) = m

Av

A(t) + m

Bv

B(t)

mBv

B2(0) = m

Av

A2(t) + m

Bv

B2(t).

La diffusione di Rutherford (VII)

È facile ricavare allora:

vA(t)= v

B(0)[2m

B /(m

A+ m

B)]

vB(t)= v

B(0)[(m

B- m

A)/(m

A+ m

B)]

La diffusione di Rutherford (VIII)

Mentre il termine che lega la velocità finale dell’atomo v

A(t) alla velocità iniziale della

particella alfa vB(0) è per qualsiasi valore delle

masse positivo, quello che esprime la velocitàfinale della particella proiettile v

B(t) rispetto alla

velocità iniziale della stessa particella vB(0) è

negativo se mB< m

A. In questo caso l’urto

inverte il verso delle velocità della particellaalfa. I principi di conservazione sono compatibili con una situazione di rimbalzo, se e solo se, il nucleo dell’atomo di oro ha una massa maggiore di quella delle particella alfa.

Altri video:

Video1 Apparecchio per lo studio di urti elastici e anelastici, Museo Galileo clic

Video2 I diversi tipi di crash test clic

Video3 Il modello atomico di Rutherford clic

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Video5 Ripresa dei pendoli di Newton con telecamera ad alta velocità clic

Video6 Software di simulazione urti clic