La

din

am

ica

de

lla d

an

za

By

as

Ref.

K. Law

s, Ph

ysic

s a

nd

the A

rt of D

an

ce,O

xford Univ. P

ress, 2008

Bio

meccan

ica d

ella

dan

za e

della

gin

nastic

a ritm

ica

Palm

isciano Vincenzo, A

Guida ed. (2004)

Giovanni F

ilocamo , La fisica in ballo, S

TU

DIO

64 srl Edizioni G

enova (2005)

L’eq

uilib

rioC

ome fa una ballerina a stare in

equilibrio, ad esempio sulla punta di un

piede?

La posizione del centro di massa (c.m

.) deve restare sopra alla base d’appoggio

questo significa che il corpo deve assum

ere una posizione opportuna (diversa per ogni persona) affinché il c.m

. resti sopra alla base di appoggio

se la ballerina sta su un piede (en pointe) è cruciale anche un piccolo spostam

ento, fatto che rende difficile questa posizione.

Stabilità ed equilibrio sono correlati alla

posizione caratteristica delle gambe e dei

piedi che è così importante nel balletto

classico.

Supponiam

o che una ballerina sia nella prim

a posizione, con il calcagno del piede contro il calcagno dell’altro.

Non è m

olto difficile far sì che il c.m. si trovi

sopra la base d’appoggio se si considera uno spostam

ento laterale, quindi la stabilità per spostam

ento laterale è facile.

Ma quella avanti indietro è più precaria,

perché si ha solo la larghezza di un piede su cui spostare il c.m

. per stare in equilibrio.

Nella quinta posizione (un piede davanti all’altro con calcagno che tocca il dito e

dito che tocca il calcagno non è stabile come la prim

a posizione per spostamento

laterale, ma è più stabile per spostam

ento avanti-indietro

La quarta posizione (come la quinta, m

a con i piedi separati) è più stabile della quinta ed è più sem

plice da assumere in preparazione di una pirouette.

Piede sx P

iede dx

Possibile spostam

ento laterale del C

M Possibile spost.

Avanti-indietro del C

M

Il c.m. non si può spostare senza che

una risultante di forze agisca sul corpo.

Quindi, anche se si m

uove un braccio, non c’è spostam

ento del c.m. se non c’è

una forza netta dall’esterno

La gravità e la reazione verticale agiscono verticalmente e si

equilibrano.

Sul ghiaccio si sta in equilibrio se il c.m

. non si muove.

Una ballerina en punte sta in equilibrio in un’arabesque. m

a se inizialm

ente si muoveva orizzontalm

ente continua a muoversi

e si sposta dall’equilibrio

θ

θ

Se

il corp

o fo

sse a

ssimila

bile

a u

n p

un

to m

ate

riale

di m

assa

M

po

sto n

el c.m

.:

P se

n θ

= M

ac

ac

= g

sen

θ�

ac

= d

ω/d

t L/2 =

g se

n θ

(ω=

dθ

/dt)

dω

/dt L/2

∼g

θ(se

n θ

∼θ

)

d2

θ/d

t2

= 2

g/L θ

�θ

= (θ°/2

) (ekt

+ e

-kt) co

n k

=(2

g/L)

0,5

So

luzio

ne

al p

rimo

ord

ine

:

ω2/2

∼(2

g /L) θ

2/2 �

ω∼

(2g

/L)0

,5θ

Co

n L=

1,8

m, g

=9

,81

m s

-2

ω∼

(3,3

) θ°t

θlineare (°) = θ° radq(2g/L) *t

t (s)θ

lineare (°)θ

linerae (°)θ

linerae (°)θ

linerae (°)θ

linerae (°)θ

linerae (°)

0,00,00

0,51,0

1,52,0

4,0

0,50,00

0,81,7

2,53,3

6,6

1,00,00

1,73,3

5,06,6

13,3

1,50,00

2,55,0

7,510,0

19,9

2,00,00

3,36,6

10,013,3

26,6

θnonlin (°) = ( θ°/2) (exp (radq(2g/L) *t +exp -(radq(2g/L) *t)

t (s)θ

nonlin (°)θ

nonlin (°)θ

nonlin (°)θ

nonlin (°)θ

nonlin (°)θ

nonlin (°)

0,00,000

0,501

1,52

4

0,50,00

1,362,72

4,095,45

10,90

1,00,00

6,9213,85

20,7727,70

55,39

1,50,00

36,3772,74

109,11145,48

290,97

2,00,00

191,28382,56

573,83765,11

1530,23

θ

Da

to ch

e il co

rpo

è u

n siste

ma

este

so lo

si pu

ò tra

ttare

com

e

un

’asta

rigid

a lu

ng

a L il cu

i mo

me

nto

d’in

erzia

rispe

tto a

l cen

tro

di m

assa

è M

L2/1

2 e

ML

2/3 risp

etto

a u

n’e

strem

ità. La

leg

ge

de

l

mo

to è

la II e

q ca

rdin

ale

:

M =

I dω

/dt

L/2 M

g se

n θ

= M

L2/3

dω

/dt

dω

/dt =

3/2

(g/L) se

n θ

(ω=

dθ

/dt)

dω

/dt ∼

(3/2

) (g/L) θ

(sen

θ∼

θ)

d2

θ/d

t2

= (3

/2)(g

/L) θ�

θ=

(θ°/2) (e

kt

+ e

-kt) co

n k

=(3

g/2

L)0

,5

So

luzio

ne

al p

rimo

ord

ine

:

ω2/2

∼(3

g/2

L) θ2/2

�ω

∼(3

g/2

L)0

,5θ

Co

n L=

1,8

m, g

=9

,81

m s

-2

ω∼

(2,9

) θ°t

the

ta (°)

the

ta (ra

d)

ω (ra

d s

-1)D

the

ta (ra

d)

Dth

eta

(°)

00

,00

00

,00

0,0

00

,00

10

,01

70

,05

0,0

52

,88

20

,03

50

,10

0,1

05

,75

30

,05

20

,15

0,1

58

,63

40

,07

00

,20

0,2

01

1,5

0

50

,08

70

,25

0,2

51

4,3

8

θn

on

lin (°) = (θ

°/2) (e

xp

(rad

q(3

g/2

L) *t +

ex

p -(ra

dq

(3g

/2L) *

t)

t (s)θ

no

nlin (°)

θn

on

lin (°)θ

no

nlin (°)

θn

on

lin (°)θ

no

nlin (°)

θn

on

lin (°)

0,0

00

,00

0,5

01

,00

1,5

02

,00

4,0

0

0,5

00

,00

1,1

12

,22

3,3

44

,45

8,9

0

1,0

00

,00

4,4

58

,89

13

,34

17

,79

35

,57

1,5

00

,00

18

,67

37

,33

56

,00

74

,66

14

9,3

3

2,0

00

,00

78

,58

15

7,1

62

35

,75

31

4,3

36

28

,66

L’aumento angolare è circa 8 volte l’angolo iniziale dopo il prim

o secondo:

se l’angolo iniziale è 1°allora dopo 1s è 8°, se l’angolo iniziale è 4°

dopo 1s è circa 32°. Questo angolo diventa considerevole e richiede

una correzione

(mom

ento torcente della f peso =I per accelerazione angolare quadro).

Altezza cm

: 0,9 m, un iniziale spostam

ento di 5 cm �

θ=3°

Dopo 1 s �

θ=25°

: è uno spostamento angolare che richiede una

correzione

Rig

uad

ag

nare

la p

osiz

ion

e d

i eq

uilib

rio.

Com

e fa una ballerina a riguadagnare la posizione di equilibrio se sta per cadere?

2 meccanism

i: a)

l’area di supporto sul pavimento deve essere riposizionata in m

odo che cada direttam

ente sotto il c.m.

b)il c.m

. deve essere spostato in modo che sia sopra l’area di supporto sul

pavimento.

Ma un più sottile aggiustam

ento è possibile. Il centro di forza può essere definito com

e quel punto dove si può considerare che agisca la risultante di una forza distribuita o di un insiem

e di molte forze.

La ballerina può saltare spostando la posizione orizzontale del piede d’appoggio.

Può spostare il c.m

. con l’azione di una forza esterno (Non basta

spostare una parte massiva del corpo)

Ballerina ferm

a su un piede con il tallone giù e voglia andare sulla punta. D

ato che il piede di appoggio non deve muoversi, l’area di supporto al

pavimento deve seguire l’area di contatto.

Se inizialm

ente il c.m, è sopra al retro del piede, deve spostarsi davanti.

Se è già davanti il m

ovimento è m

inimo ed è più facile.

L’asimm

etria è ferma rispetto all’osservatore, è

in moto rispetto alla ballerina

Eq

uilib

rio m

en

tre c

’è ro

tazio

ne

Quando una ballerina fa una pirouette fuori equilibrio deve rendere

asimm

etrico il corpo e mantere ferm

a nello spazio l’asimm

etria, facendola m

uovere invece rispetto al suo corpo:

L’asimm

etria è ferma rispetto all’osservatore, è

in moto rispetto alla ballerina

Eq

uilib

rio m

en

tre c

’è ro

tazio

ne

Quando una ballerina fa una pirouette fuori equilibrio deve rendere

asimm

etrico il corpo e mantere ferm

a nello spazio l’asimm

etria, facendola m

uovere invece rispetto al suo corpo:

MO

TO

su traiettoria rettilinea

Com

e fa un ballerino a cominciare a

muoversi?

Deve accelerare, quindi deve essere

soggetto a forza esterna.

La sola forza che può agire dall’esterno deve esser esercitata dal pavim

ento.

Prim

o meccanism

o: spostare il centro di forza tra i piedi sul pavim

ento.

Con un piede più avanti dell’altro, da un

appoggio su 2 piedi, si passa ad appoggio sul piede posteriore, poi per la spinta (C

amm

inata)

A piedi uniti: cado in avanti: più il baricentro

è avanti e più riesco a spingere (vedi sprinter)

Secondo m

eccanismo:

Slancio in avanti di una parte del corpo, com

e in un movim

ento di degagè spesso visto. Lo slancio della gam

ba produce una contro reazione dell’altra gamba (che

tenderebbe a ruotare all’indietro): questo provoca una spinta sul pavimento e il

pavimento spinge avanti il corpo. M

eccanismo di breve durata.

Ferm

ata

P

uò avvenire solo con il contatto del pavimento e in seguito all’azione di

una forza dal pavimento sul ballerino in direzione orizzontale

Mo

to s

u c

am

min

o c

urv

oA

ccelerazione: correlato al cambiam

ento del vettore velocità nel tempo –

rapidità con cui cambia il vettore velocità.

Cam

bio di modulo, cam

bio di direzione. Necessita di un’azione dall’esterno sul

ballerino.

Nelle curve: forza centripeta. N

el caso di un ballerino: la forza deve essere esercitata dal pavim

ento.

Il moto rotatorio si ha solo a terra: in aria il m

oto del centro di massa avviene

sempre sul piano definito dalla verticale e dalla direzione della velocità al

mom

ento dello stacco.

L’angolo di inclinazione del ballerino è indipendente dal ballerino stesso: alla v di 5 m

/s (metà della v di uno sprinter) su un circolo di raggio 5 m

deve inclinarsi di 26,6°

rispetto alla verticale.

P

Fp

Il mo

to su

traie

ttoria

curva

Se

con

do

prin

cipio

de

lla d

ina

mica

:

P+

Fp

= M

a

θ

x

y

z

x

y

z

P

Fp

z

Fp

x

Co

mp

on

en

te x: F

px =

M a

c

Co

mp

on

en

te y

:0

= 0

Co

mp

on

en

te z: P

+F

pz =

0

Co

n F

px =

tg θ

Fp

z

Fp

z = -P

= M

g (g

=9

,81

m s

-2)

θ

Se

con

do

prin

cipio

de

lla d

ina

mica

:

P+

Fp

= M

a

Fp

x =tg

θM

g

tg θ

Mg

= M

ac

tg θ

= a

c/g

Pe

r un

mo

to su

traie

ttoria

curv

iline

a: a

c = v

2/r

Co

n v

= 5

m/s (m

età

de

lla v

di u

no

sprin

ter) e

r = 5

m

tg θ

= a

c/g

= 5

/9,8

1 �

θ=

27°

Salto verticale.

È uguale al rim

balzo di una pallina sul pavimento.

La spinta Fs deve essere m

aggiore del peso: Fs =

R * P

(R

=F

s/P >

1 -se P

=1 il ballerino sta ferm

o)

Il salto vericale

Durante questa fase il lavoro delle forze agenti è: W

= F

s d -P

d Il teorem

a dell’energia cinetica fornisce l’energia cinetica allo stacco: Fs d -

P d =

½M

vo 2

Nella fase di volo (il centro di m

assa sale da h2 ad h3, ovvero di H =

h3-h2) agisce solo la forza peso. La variazione di energia cinetica al m

omento dello stacco deve uguagliare

il lavoro fatto dalla forza peso nella salita fino al culmine (in h3) quando ricom

incia la discesa, ovvero deve esser uguale a m

eno la variazione di energia potenziale:0-½

M v

o2=

-P H

(**)

Uguagliando le due relazioni si ha: F

s d -P

d = P

H �

R P

d –P

d = P

H �

(R-1) d =

Hossia H

= d ( R

-1)l’altezza del salto (H

ossia la differenza tra l’altezza del baricentro al culmine del salto e

quella al mom

ento del distacco) è uguale all’altezza di slancio per il fattore R-1, il

rapporto tra spinta e peso meno 1.

Salto verticale.

Fs =

R * P

(R=

Fs/P

>1 -

se P

=1 il ballerino sta ferm

o)

La spinta FS

agisce da quando il ballerino abbassa il baricentro (altezza h1) a quando stacca i piedi (h2) [d=

h2-h1]

h1 h2 h3

dH

Durante questa fase il lavoro delle forze agenti è: W

= F

s d -P

d Il teorem

a dell’energia cinetica fornisce l’energia cinetica allo stacco: Fs d -

P d =

½M

vo 2

Nella fase di volo (il centro di m

assa sale da h2 ad h3, ovvero di H =

h3-h2) agisce solo la forza peso. La variazione di energia cinetica al m

omento dello stacco deve uguagliare

il lavoro fatto dalla forza peso nella salita fino al culmine (in h3) quando ricom

incia la discesa, ovvero deve esser uguale a m

eno la variazione di energia potenziale:0-½

M v

o2=

-P H

(**)

Uguagliando le due relazioni si ha: F

s d -P

d = P

H �

R P

d –P

d = P

H �

(R-1) d =

Hossia H

= d ( R

-1)l’altezza del salto (H

ossia la differenza tra l’altezza del baricentro al culmine del salto e

quella al mom

ento del distacco) è uguale all’altezza di slancio per il fattore R-1, il

rapporto tra spinta e peso meno 1.

Salto verticale.

Fs =

R * P

(R=

Fs/P

>1 -

se P

=1 il ballerino sta ferm

o)

La spinta FS

agisce da quando il ballerino abbassa il baricentro (altezza h1) a quando stacca i piedi (h2) [d=

h2-h1]

h1 h2 h3

dH

Fare film

ato: misurare e

vedere se tornanoF

are misura sia delle

altezze sia della spinta

Se R

=1 �

H=

0

Se R

=1,5 (la spinta è 1,5 della forza peso) H

=d * 0,5 (m

età dell’altezza di spinta)

Se R

=2 (la spinta è pari al peso) H

= d

Un salto di 1 m

con un piegamento di 0,5 m

richiede una spinta pari a:

R=

H/d+

1 = 1/0,5 +

1 =3 �

Fs=

3P!

Tempo di volo: è indipendente dalla m

assa e dalla tipologia del ballerino. D

ipende solo dall’altezza del salo (H):

y (t) = -½

g t 2+

vo

t (g=9,81 m

s-2)

v(t) = -gt +

vo

per y=H

v=0 �

t = v

o /g da (**) si ha vo =

(2gH) 0,5

e quindi �t=

(2H/g) 0,5

Tempo di volo: è indipendente dalla m

assa e dalla tipologia del ballerino. D

ipende solo dall’altezza del salo (H):

y (t) = -½

g t 2+

vo

t (g=9,81 m

s-2)

v(t) = -gt +

vo

per y=H

v=0 �

t = v

o /g da (**) si ha vo =

(2gH) 0,5

e quindi �t=

(2H/g) 0,5

Dato che il tem

po di volo è quello che si ha in salita e in discesa il tempo

totale di volo è:T

volo = 2 t =

2 (2H/g) 0,5

Tvolo (s)

Se il tem

po dimezza: il salto deve essere 4 volte più alto

Se il tem

po varia di DT

�D

T/T

= 0,5 D

H/H

�una aum

ento del tempo nella

esecuzione della musica del 10%

richiede un salto 20% più alto!

H (m

)T

(S)

0,2

0,4

0

0,4

0,5

7

0,6

0,7

0

0,8

0,8

1

10

,90

1,2

0,9

9

Com

e saltare più in alto?

Si salta più in alto slanciando le braccia verso l’alto perché le braccia

acquistano quantità di moto nella fase di slancio (ovviam

ente se fatta quando ancora i piedi sono a contatto con il pavim

ento).

Analogam

ente se si raccolgono le gambe

in volo, il centro di massa sale della stessa

quantità, ma il distacco dei piedi da terra

sarà maggiore.

Il Grand jeté: salto in avanti con le gam

be divaricate. La traiettoria del centro di m

assa è determinata al m

omento dello stacco. L’effetto in volo: dipende da

cosa si fail salto la ballerina fluttua nell’aria –

il baricentro descrive una parabola, il busto descrive una traiettoria praticam

ente rettilineaD

ue effetti contrastanti: la rotazione del corpo –l’am

piezza e l’altezza del salto. N

el primo caso la spinta è con la punta all’esterno e il piede spinge

poco, nel secondo caso la punta è verso l’interno e spinge di più, ma in

questo caso è la rotazione che è meno efficace.

Il Grand jeté: salto in avanti con le gam

be divaricate. La traiettoria del centro di m

assa è determinata al m

omento dello stacco. L’effetto in volo: dipende da

cosa si fail salto la ballerina fluttua nell’aria –

il baricentro descrive una parabola, il busto descrive una traiettoria praticam

ente rettilineaD

ue effetti contrastanti: la rotazione del corpo –l’am

piezza e l’altezza del salto. N

el primo caso la spinta è con la punta all’esterno e il piede spinge poco, nel

secondo caso la punta è verso l’interno e spinge di più, ma in questo caso è la

rotazione che è meno efficace.

Piro

ue

ttes

Affinché un corpo, inizialm

ente fermo, com

inci a muoversi in un

qualche modo ci deve essere una interazione con l’am

biente esterno. P

erché un corpo cominci a ruotare deve essere

soggetto a un mom

ento di forze. Un m

omento è generato da

una coppia di forze (forze parallele agenti su rette diverse e versi opposti.

Piro

ue

ttes

Una ballerina parte dalla quarta posizione (piedi uno di fronte all’altro

punta tacco punta tacco vediIl ballerino spinge con le punte il terreno, il terreno spinge la ballerina.

Piro

ue

ttes

Più è largo l’appoggio e m

aggiore è il m

omento applicato a parità di

forza, ovvero bisogna applicare m

eno forza per applicare lo stesso m

omento di forze (la stessa coppia

torcente).

Se i piedi sono vicini (com

e nella quinta posizione) ovvero si è in appoggio su un solo piede in cui la punta spinge in un senso e il tallone nel senso opposto.

Il mom

ento angolare di un corpo può cam

biare solo in seguito all’azione di un m

omento esterno.

Con l’uso delle braccia opportuno (anticipo

la rotazione quando applico mom

ento sul pavim

ento) posso migliorare la rotazione.

Piro

uette

s e

n D

oh

ors

(giro

in s

en

so

ora

rio)

Rotazione sul supporto di un solo piede. P

uò avvenire in più rivoluzioni.

Dipende da: m

ovimento delle braccia, posizionam

ento dei piedi sul pavimento,

timing dell’elevazione dei piedi nel levarsi dal pavim

ento, e timing

dell’innalzamento del piede di supporto.

Consideriam

o le due linee nel grafico che rappresenta la posizione angolare del corpo in funzione del tem

po.

La rotazione in volo

Il mom

ento d’inerzia del corpo um

ano

I=1/2 M

R2

M=

70 kgR

= 0,2 m

I = 1,4 kg m

2

m=

1kg

L =0,7 m

I’=Io +

IM=

2,8 kg m2