Relazione di Fisica Generale II

La corrente elettrica

e i circuiti elementari

Antonella Sara Montella

Stefano Tagliaferri

Angela Vagnetti

1

Teoria delle bande

All’interno di un metallo gli elettroni possono essere localizzati attorno al proprio atomo o delocalizzati su tutto il reticolo cristallino. Gli

elettroni localizzati sono confinati in livelli energetici profondi, detti livelli di core. Quelli delocalizzati si dispongono in livelli energetici

estesi a tutto il solido e divisi in due bande: la banda di conduzione e la banda di valenza. (Fig. 1)

Gli elettroni situati nella banda di valenza non contribuiscono alla conduzione elettrica. Al contrario, gli elettroni della banda di

conduzione sono liberi di muoversi su tutto il reticolo cristallino, determinando le proprietà conduttive del metallo.

Il numero di elettroni presenti nella banda di conduzione dipende dalle proprietà chimiche del metallo, ed è quindi determinato dalla sua

posizione nel sistema periodico.

In un metallo del primo gruppo, ad esempio il litio (Li), per ogni atomo si ha un solo elettrone nella banda di conduzione. In un metallo

del secondo gruppo, ad esempio il magnesio (Mg), per ogni atomo si hanno due elettroni nella banda di conduzione, mentre nei metalli del

terzo gruppo per ogni atomo si hanno tre elettroni di conduzione. Nel quarto gruppo sono presenti elementi con comportamenti molto

differenti, tra cui il carbonio (conduttore nella forma allotropica della grafite, isolante come diamante) e il germanio (semiconduttore). Dal

quinto gruppo in poi sono presenti veri e propri dielettrici senza alcuna proprietà conduttiva allo stato elementare. Tra i metalli di

transizione vanno ricordati il rame, l’argento e l’oro, in cui, per ogni atomo di metallo, si ha un solo elettrone nella banda di conduzione.

Esempio n.1:

Calcoliamo gli elettroni di conduzione per unità di volume del rame. Nel rame ogni atomo mette in condivisione un elettrone.

Dati:

m = densità di massa del rame

A = massa atomica del rame

m(A) = massa in kg di un atomo di rame

n = numero di elettroni per unità di volume

𝜌𝑚 = 8.9 ∗ 103 𝑘𝑔

𝑚3

𝐴 = 63.5 𝑢.𝑚. 𝑎.

𝑚(𝐴) = 63.5 ∗ 1.66 ∗ 10−27 𝑘𝑔

𝑛 =𝜌𝑚

𝑚(𝐴)= 8.44 ∗ 1028 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑡𝑟𝑜𝑛𝑖/𝑚3

Intensità di corrente

Definiamo portatori di carica corpi che muovendosi con la loro carica determinano una corrente elettrica.

Consideriamo un filo conduttore in cui si muovano portatori di carica.

Supponiamo che il filo sia percorso da portatori di carica positivi, dotati di velocità v⃗ . In un intervallo di tempo t la sezione è

attraversata da una carica totale q. (Figg. 2 e 3)

2

Definiamo intensità di corrente elettrica i il rapporto:

𝐢 =𝚫𝐪

𝚫𝐭

La corrente è quindi pari alla quantità di carica che attraversa la sezione in un intervallo di tempo unitario.

L’unità di misura della corrente è l’ampere A:

[𝑖] =[Δ𝑞]

[Δ𝑡]=

𝐶

𝑠= 𝐴

L’ampere è una delle sette unità fondamentali del Sistema Internazionale. Il coulomb è invece considerato un’unita derivata: C = A s

Densità di corrente

La corrente i dipende da:

Parametri geometrici:

(sezione del filo)

Parametri microscopici:

q (carica dei portatori)

v⃗ (velocità dei portatori)

n (numero di portatori di carica per unità di volume)

Supponiamo che le cariche presenti in un tratto di filo di volume V attraversino la sezione in un intervallo di tempo t.

La carica più lontana da si trova a una distanza x = v t (lunghezza AB). (Figg. 4 e 5)

Δ𝒱 = Σ v Δt

Indichiamo con ΔN il numero totale di portatori di carica, con n il numero di portatori di carica per unità di volume e con Δq la carica

totale che attraversa

ΔN = n Δ𝒱

Δq = q ΔN

3

Sostituendo:

Δq = q n Σ v Δt

i =Δq

Δt= (n q v) Σ

Poiché i è proporzionale a definiamo la densità di corrente J:

𝑱 =𝒊

𝚺

[𝐽] =[𝑖]

[Σ]= 𝐴/𝑚2

Dalle relazioni precedenti:

J = n q v

Possiamo infine attribuire a J un carattere vettoriale:

𝑱 = n q �⃗�

Se la carica dei portatori è positiva, il vettore velocità e il vettore densità di corrente sono paralleli e concordi (Fig. 6). Se la carica dei

portatori è negativa, il vettore velocità e il vettore densità di corrente sono paralleli e discordi. (Fig. 7)

Relazione tra densità e intensità di corrente (caso generale)

Se è la sezione normale al filo e la densità di corrente J è uniforme (Fig. 8):

i = J

4

Se invece è una sezione obliqua e la densità di corrente J è uniforme, la quantità di carica che attraversa è la stessa che attraversa

’=cos (Fig. 9)

i = J ’ = J cos J ∙ n̂)

Se infine è una sezione curva e la densità di corrente J non è uniforme, dividiamo in tanti elementi e calcoliamo l’intensità di

corrente i su ogni elemento . (Fig. 10)

i = J ∙ n̂

Sommiamo poi tutti i contributi, facendo tendere a zero.

𝑖 = limΔΣ→0

∑J ∙ n̂ ΔΣ = ∫ J ∙ n̂ dΣΣ

𝒊 = 𝚽𝚺( 𝐉 )

La velocità di deriva

All’interno di un metallo, gli elettroni si muovono in modo caotico e le loro traiettorie sono approssimabili a delle spezzate. In seguito

verrà spiegato meglio quali siano le traiettorie classiche degli elettroni. Possiamo per ora assumere che gli elettroni si muovano tutti con la

stessa velocità. Nella descrizione macroscopica è dunque più corretto parlare di velocità media degli elettroni.

Definiamo quindi velocità di deriva la velocità media che gli elettroni assumono in un metallo in cui circola corrente elettrica.

Esempio n.2:

Abbiamo verificato nell’esempio n.1 che il rame ha n = 8.44 ∙ 1028 elettroni/m3 e sappiamo che la carica degli elettroni è (in modulo):

𝑒 = 1.6 ∙ 10−19 𝐶.

Consideriamo un filo di rame sezione mm2 e un’intensità di corrente i = 1 A. Calcoliamo la velocità di deriva.

𝐽 =𝑖

Σ=

1 𝐴

10−6 𝑚2= 106 𝐴/𝑚2

𝐽 = 𝑛 𝑒 𝑣 ⇒ 𝑣 =𝐽

𝑛 𝑒=

106

8.44 ∗ 1028 ∗ 1.6 ∗ 10−19

𝑚

𝑠= 7.4 ∗ 10−5 𝑚/𝑠

5

La velocità di Fermi

La disposizione degli elettroni all’interno della banda di conduzione di un metallo avviene secondo il principio di Pauli: si riempiono

prima gli stati a minore energia, poi quelli a energia crescente.

È detta energia di Fermi (𝐸𝐹) la massima energia che gli elettroni possono assumere nella banda di conduzione. Si tratta di un’energia

esclusivamente cinetica (possiamo considerare gli elettroni di conduzione come particelle libere), a cui è associata la velocità di Fermi,

𝑣𝐹 (caratteristica propria del materiale).

𝐸𝐹 = 1

2𝑚𝑣𝐹

2

Elemento Energia di Fermi

eV

Velocità di Fermi

x106 m/s

Li 4.74 1.29

Na 3.24 1.07

K 2.12 0.86

Cu 7.00 1.57

Ag 5.49 1.39

Au 5.53 1.40

Mg 7.08 1.58

Ca 4.69 1.28

Nb 5.32 1.37

Fe 11.1 1.98

Zn 9.47 1.83

Hg 7.13 1.58

Al 11.7 2.03

Ga 10.4 1.92

Relazione tra la velocità di deriva e la velocità di Fermi

Si può notare che vF >> v

La velocità di Fermi rappresenta infatti la velocità istantanea che un elettrone ha nel metallo (anche quando questo non è collegato ad

alcun circuito). La velocità di deriva esprime invece la velocità media di tutti gli elettroni che circolano in un metallo a cui sia applicata

una differenza di potenziale. Solo una piccola componente della velocità istantanea di ogni elettrone contribuisce alla velocità di deriva

complessiva di tutte le particelle.

6

Regimi stazionari

Consideriamo un sistema fisico esteso caratterizzato da una grandezza fisica assegnata punto per punto, che possa essere rappresentata con

una mappa. Diremo che il sistema si trova in regime stazionario se la mappa che lo descrive risulta invariata nel tempo. Vediamo un

esempio:

Esempio 4:

Consideriamo come sistema in esame l’atmosfera terrestre, che descriviamo attraverso il campo della pressione atmosferica e quello della

velocità dei venti.

Il sistema è quindi rappresentato dalla mappa scalare delle pressioni (Fig. 12) e da quella vettoriale della velocità dei venti (Fig. 13), in

funzione di latitudine e longitudine.

Una mappa può essere interpretata come una “fotografia” del sistema in un dato istante. Se le “fotografie” del sistema non cambiano nel

tempo, possiamo dire di essere in presenza di un regime stazionario. Ciò non vuol dire che il sistema sia in una condizione di equilibrio

statico. Si trova invece in una condizione di equilibrio dinamico, mantenendo inalterate le proprie caratteristiche al trascorrere del tempo.

Un discorso analogo vale per sistemi elettromagnetici in regime stazionario.

Se ci troviamo in regime stazionario, ad esempio, la quantità di carica Q che si trova in una regione del sistema è costante al trascorrere del

tempo. (Figg. 14 e 15)

Quindi considerati due istanti t0 e t0+t, risulta:

Q( t0 + t ) = Q( t0 ) q1 - q2

Siccome Q( t0 + t ) = Q( t0 ), segue che:

q1 = q2

7

Δ𝑞1

Δ𝑡=

Δ𝑞2

Δ𝑡⇒ 𝑖1 = 𝑖2

In regime stazionario la corrente ha lo stesso valore ad ogni sezione del circuito.

Ad esempio consideriamo un filo a sezione variabile. (Fig. 16)

Se il regime è stazionario: i1=i2

Quindi J1 J2

La densità di corrente è inversamente proporzionale alla sezione.

Prima legge di Kirchoff

Dalle considerazioni fatte nel paragrafo precedente segue la prima legge di Kirchoff (legge dei nodi).

Consideriamo k fili entranti in un nodo. Diremo che la corrente è positiva se esce dal nodo, negativa se entra nel nodo (Fig. 17)

Se il regime è stazionario, la somma delle correnti è nulla.

∑𝒊𝒌 = 𝟎

𝒌

Considerando una superficie chiusa che contenga un circuito in regime stazionario, potremo così generalizzare la prima legge di

Kirchoff:

𝚽𝚺( 𝐉 ) = 𝟎

8

Seconda legge di Kirchoff

Consideriamo un generico circuito costituito da un generatore e da un’utenza. Il generatore compie un lavoro non conservativo per

trasportare una quantità di carica q da A a B. (Fig. 18)

Per il Teorema dell’Energia Meccanica:

𝐸𝑚𝑒𝑐𝑐(𝐵) − 𝐸𝑚𝑒𝑐𝑐(𝐴) = 𝐿𝑛𝑐

L’energia cinetica dei portatori di carica può essere considerata trascurabile (gli elettroni hanno massa molto piccola e velocità di deriva

molto bassa).

𝐸𝑚𝑒𝑐𝑐(𝐵) − 𝐸𝑚𝑒𝑐𝑐(𝐴) = 𝑈(𝐵) − 𝑈(𝐴)

𝑈(𝐵) − 𝑈(𝐴) = 𝐿𝑛𝑐

Δ𝑞 V(B) − Δ𝑞 V(A) = 𝐿𝑛𝑐 = Δ𝐿𝑔

V(B) − V(A) = Δ𝐿𝑔

Δ𝑞

Si definisce f.e.m.:

𝐟. 𝐞.𝐦.= 𝚫𝑳𝒈

𝚫𝒒

Nota:

La forza elettromotrice ha le stesse unità di misura di un potenziale elettrostatico, pur non essendo un potenziale.

[𝑓. 𝑒.𝑚. ] = 𝑉

Sulla base di tali considerazioni, possiamo enunciare la seconda legge di Kirchoff:

𝐟. 𝐞.𝐦.= 𝐕(𝐁) − 𝐕(𝐀)

9

Esempio n.5:

Applichiamo la seconda legge di Kirchoff a un circuito costituito da un condensatore di capacità C collegato a un generatore di f.e.m. pari

a f (Fig.19)

V =q

C

Si ha quindi, per la seconda legge di Kirchoff:

f =q

C

Potenza del generatore

Definiamo la potenza di un generatore come:

P𝑔 = Δ𝐿𝑔

Δt

Per definizione di f.e.m:

Δ𝑞 f. e.m.= Δ𝐿𝑔

Dunque:

P𝑔 =Δ𝑞 f. e.m.

Δt= 𝑓. 𝑒.𝑚. i

Campo elettromotore

Nel volume del generatore, le cariche sono spinte da una forza motrice.

10

Consideriamo il lavoro compiuto dalla forza motrice ΔF⃗ m per spostare la carica Δq dal punto A al punto B del circuito. (Fig. 20)

ΔLg = ∫ ΔF⃗ m ∙ ds B

A

Definiamo campo elettromotore:

�⃗� 𝐦 =𝚫𝐅 𝐦𝚫𝐪

Il campo elettromotore è quindi pari alla forza motrice che si esercita sulla carica unitaria.

Nota:

Il campo elettromotore �⃗� 𝑚 ha le stesse unità di misura del campo elettrostatico:

[�⃗� 𝑚 ] =𝑉

𝑚

Tuttavia il campo elettromotore non è mai un campo elettrostatico, poiché quest’ultimo è conservativo, mentre �⃗� 𝑚 non è conservativo.

In base alla definizione di campo elettromotore, è possibile esprimere la f.e.m. del generatore come:

f. e. m.=ΔLg

Δq= ∫

ΔF⃗ mΔq

∙ ds B

A

= ∫ E⃗⃗ m ∙ ds B

A

Legge di Ohm

Consideriamo un circuito in cui un conduttore sia collegato a un generatore di f.e.m. variabile. Supponiamo di misurare con un

amperometro l’intensità di corrente nel circuito al variare della tensione. (Fig. 21)

11

Dall’analisi di dati sperimentali, si nota un diretta proporzionalità tra la differenza di potenziale ai capi del conduttore e l’intensità di

corrente che circola in esso. (Fig. 22)

Ponendo R come costante di proporzionalità, si ottiene la legge di Ohm (in forma integrale):

𝐕 = 𝐑 𝐢

Consideriamo come conduttore un filo di lunghezza l e sezione Σ, in cui sia presente un campo elettrico uniforme E.

La differenza di potenziale ai capi del conduttore è proporzionale al campo elettrico al suo interno:

V = E l

L’intensità di corrente è proporzionale alla velocità di deriva dei portatori di carica:

i = J Σ = n q v Σ

Quindi, in base alla legge di Ohm, deve esserci una legge di proporzionalità che lega la velocità di deriva delle cariche al campo elettrico

applicato:

v ∝ E

Se le cariche all’interno del metallo si muovessero come particelle libere, in presenza di un campo elettrico (e quindi di una forza elettrica)

esse dovrebbero sviluppare un’accelerazione costante, proporzionale all’intensità del campo. Tuttavia, la velocità di deriva dei portatori di

carica risulta costante e direttamente proporzionale all’intensità del campo elettrico; quindi le cariche non si comportano come particelle

libere. Si può supporre che su di esse agisca una forza resistente determinata dall’effetto medio degli urti che subiscono.

Modello di Drude

Nel modello di Drude si suppone che sui portatori di carica agisca una forza resistente 𝐹𝑉 proporzionale alla loro velocità. Si ha

un’equazione analoga a quella per il moto di corpo in un fluido viscoso.

FE −m

τ v = m

dv

dt

Per ottenere la velocità limite, poniamo la derivata della velocità uguale a zero, essendo v costante.

FE −m

τ v = m

dv

dt= 0

Per la definizione di campo elettrico:

FE = q E

Da cui si ricava:

m v

τ= q E

Otteniamo la velocità limite:

q E =m

τ v ⇒ v =

τ q E

m

Si definisce mobilità dei portatori di carica 𝜇:

𝝁 =𝒒 𝛕

𝒎

12

Valutiamo le unità di misura della mobilità:

[𝜇] =[𝑞] ∙ [τ]

[𝑚]=

𝑚2

𝑉 ∙ 𝑠

Mobilità degli elettroni

(Electron mobility)

(cm2 V-1 s-1 )

Mobilità delle lacune

(Hole mobility)

(cm2 V-1 s-1 )

Ge 3800 1800

Si 1350 450

GaAs 6000 330

SiC 800 120

GaN 1800 150

Legge di Ohm in forma locale

Possiamo esprimere la densità di corrente all’interno di un conduttore in funzione della mobilità dei portatori di carica:

𝐽 = 𝑛 q v =n q τ E

m= μ 𝑛 q E

Si definisce conducibilità elettrica σ:

σ =n q2 τ

m= 𝜇 n q

Sostituendo nell’equazione precedente, otteniamo la legge di Ohm in forma locale:

𝐉 = 𝛔 𝑬

Definiamo la resistività ρ come:

ρ =1

𝜎

Dunque risulta:

E = ρ 𝐽

Materiale Resistività ρ

x10-8 Ωm

Conducibilità σ

x107 (Ωm)-1

Argento 1.59 6.29

Rame 1.68 5.95

Alluminio 2.65 3.77

Ferro 9.71 1.03

Platino 10.6 0.943

Piombo 22 0.45

Mercurio 98 0.10

13

Resistività nei conduttori

Dalle definizioni di conducibilità e resistività:

σ =n e2 τ

m ρ =

m

n e2 τ

Nei conduttori il numero di portatori di carica per unità di volume (n) è costante, quindi la resistività dipende solo da

Possiamo supporre che gli elettroni si muovano in modo caotico attraverso il reticolo cristallino di un conduttore. Durante il loro moto, gli

elettroni subiscono continue deviazioni, dovute a urti. Tra un urto e il successivo il moto dell’elettrone è libero e la traiettoria è rettilinea.

Definiamo quindi libero cammino medio l la lunghezza media dei tratti che l’elettrone percorre di moto rettilineo uniforme. (Fig. 23)

rappresenta il tempo medio che intercorre tra gli urti dell’elettrone. Dallo studio della conducibilità dei materiali si ricava che:

τ ≈ 10−12/10−14 s

Sulla base di tali considerazioni, la velocità di Fermi è data da:

𝑣𝐹 =𝑙

τ

Noti 𝛕 e 𝒗𝑭 ricaviamo che:

l ≈ 10/100 nm

Nell’intervallo di tempo che intercorre tra due urti, l’elettrone percorre quindi una distanza l ben maggiore del raggio atomico. Se ne

deduce che le deviazione degli elettroni non sono dovute ad urti contro gli atomi.

Analizziamo allora le cause degli urti.

Motivi di scattering degli elettroni

Un blocco di metallo è costituito da grani cristallini (regioni con diversa orientazione degli strati atomici). Le zone di contatto tra grani

diversi sono dette bordi di grano. (Fig. 24)

14

Lo scattering (diffusione) degli elettroni è legato a fattori di disordine della struttura cristallina. Distinguiamo fattori di disordine statico e

fattori di disordine dinamico.

I fattori di disordine statico sono:

Difetti strutturali in corrispondenza del bordo di grano (dove si hanno variazioni dell’allineamento degli strati atomici)

Impurità chimiche

I fattori di disordine dinamico sono:

Vibrazioni degli atomi del reticolo causate dall’agitazione termica. All’aumentare della temperatura, aumentano le vibrazioni e

di conseguenza anche la probabilità che gli elettroni urtino.

Contribuiscono alla resistività di un metallo due termini: ρ0 e ρT .

ρ = ρ0 + ρT

ρ0 dipende dalle impurità del materiale, ρT èdovuto all’agitazione termica.

A basse temperature il contributo ρTè trascurabile e la resistività dipende esclusivamente dalle impurità presenti nel materiale.

ρ = ρ0

ρ0 prende il nome di resistività residua. (Fig. 25)

15

Semiconduttori e superconduttori

In un semiconduttore il numero dei portatori di carica non è costante, ma aumenta all’aumentare della temperatura. Dunque la resistività di

un semiconduttore diminuisce all’aumentare di T. (Fig. 26)

I superconduttori sono invece materiali in cui la resistività si annulla al di sotto di una temperatura di soglia, detta temperatura critica.

(Fig. 27) La temperatura critica è caratteristica per ogni materiale.

Tra i superconduttori vi sono: alcuni metalli allo stato elementare (tra cui l’alluminio e il piombo), leghe metalliche (come MgB2) e

composti ceramici (come YBaCu3O7).

SUPERCONDUTTIVITÀ: TEMPERATURA CRITICA DI ALCUNE SOSTANZE

SOSTANZA K SOSTANZA K

Alluminio 1,20 Gallio 1,09

Mercurio 4,16 Indio 3,40

Piombo 7,22 MgB2 39

Zinco 0,54 YBaCu3O7 90

16

Il campo elettrico all’interno un superconduttore in cui scorre corrente è nullo. Non si ha potenza Joule dissipata.

Inoltre la differenza di potenziale ai capi di un superconduttore in cui scorre corrente è nulla. (Fig.28)

V(B) − V(A) = 0

Legge di Ohm: passaggio dalla forma locale a quella integrale

Per la legge di Ohm in forma locale:

E = ρ 𝐽

Consideriamo un filo di lunghezza L percorso da corrente elettrica. Supponiamo che al suo interno sia presente un campo elettrico

uniforme. (Fig. 29)

Poniamo V(A) − V(B) = V

V = E l ⇒ E =V

L

Per definizione di densità di corrente:

i = J Σ ⇒ J =i

Σ

Sostituendo nella legge di Ohm in forma locale:

V

l= ρ

i

Σ ⇒ V = ρ L

i

Σ

17

Definiamo resistenza R:

R =ρ L

Σ

Ricaviamo quindi la forma integrale della legge di Ohm:

V = R ∙ i

[𝑅] = Ω =𝑉

𝐴

Da tale relazione possiamo ricavare l’unità di misura della resistività:

[𝜌] = Ω m

Circuito elementare

Definiamo generatore ideale di f.e.m un dispositivo in grado di fornire una f.e.m. costante, indipendentemente dal carico alimentato.

Consideriamo un circuito costituito da un generatore di f.e.m. ideale f0, chiuso su una resistenza elettrica R. (Fig. 30)

Per la seconda legge di Kirchoff:

f. e. m.= V(B) − V(A) = i R

Nota 𝐟𝟎, possiamo ricavare l’intensità di corrente

f0 = i R

i =f0R

In un circuito elementare alimentato da un generatore di f.e.m. ideale, la corrente dipende quindi dal carico.

Definiamo generatore ideale di corrente un dispositivo in grado di fornire un’intensità di corrente costante, indipendentemente dal carico

alimentato.

Consideriamo un circuito costituito da un generatore di corrente ideale i0, chiuso su una resistenza elettrica R. (Fig. 31)

Per la seconda legge di Kirchoff:

f. e. m.= V(B) − V(A) = i0 R

Nota 𝐢𝟎, possiamo ricavare la f.e.m. prodotta dal generatore:

18

f = i0 R

In un circuito elementare alimentato da un generatore di corrente ideale, la f.e.m. dipende quindi dal carico.

Potenza dissipata in un carico resistivo

Consideriamo una carica q che si muove dal punto A al punto B di un conduttore.

Il lavoro necessario per spostare la carica è pari a:

Δ𝐿 = Δ𝑞 [V(B) − V(A)]

Dividendo per Δ𝑡 otteniamo la potenza P:

𝑃 =Δ𝑞

Δ𝑡 [V(B) − V(A)] = 𝑖 [V(B) − V(A)] = 𝑖2𝑅 =

𝑉2

𝑅

P è detta potenza Joule. Si tratta di una potenza dissipata in energia termica.