La convergenza economica: metodi non parametrici

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La convergenza economica:

metodi non parametrici

Lezione di Cristina BrasiliLezione di Cristina Brasili

Politica Regionale e dello Sviluppo

A.A. 2003-2004

2

TEORIA E MODELLI DI ANALISI DELLA CONVERGENZA NON PARAMETRICA

•.Metodi non parametrici

•Matrici di transizione

•Un’applicazione delle matrici di transizione alle variabili del settore agroalimentare

•Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unione europea

• Lo stochastic kernel

•Un’applicazione dello stochastic kernel ai Paesi candidati

Lezione di Cristina BrasiliLezione di Cristina Brasili

• L. Boggio G. Serravalli, Sviluppo e crescita economica, Mc Grow Hill

• Leonardi R., Coesione, convergenza e integrazio nell’Unione europea, Ed. Il Mulino (1997)

• Quah D. (1993), “Empirical Cross-Section Dynamics in Economic Growth”, European Economic Review, 37(2/3):426-434, April.

• Quah D. Twin Peaks: Growth and Convergence in Models of Distribution Dynamics, Economic Journal, 106: 1045-1055, 1996

• Bernard A.B., Durlauf S. N. (1995), “Convergence of International Output Movements” Journal of Applied Econometrics, 10, 97-108.

• Bernard, Durlauf (1996) Interpreting tests of the convergence hypothesis, Journal of Econometrics, 71, pag 161-173

• Brasili C., Oppi M. Convergenza economica delle regioni europee e allargamento a Est, Serie ricerche n.3 Dipartimento di Scienze Statistiche “P.Fortunati”, 2001

• Bacchiocchi E., Brasili C., Fanfani R. (1999), “Convergence and Long Term Dynamics in the Agrofood Systems in the EU regions (1980-95)”, Department of Statistics “Paolo Fortunati”, Research Book n. 7.

• Silverman B. W. (1986), “Density estimation for statistics and data analysis”, Chapman and Hall.

Indicazioni bibliografiche sulla convergenza economica La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina BrasiliLa convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili

Critiche ai metodi di analisi della convergenza parametricaUn segno negativo e significativo del coefficiente beta in una regressione cross-country viene interpretato come convergenza condizionata

• L’approccio alla beta e alla sigma convergenza spesso porta a verificare convergenza anche quando non c’è

• Bernard e Durlauf (1995) mostrano che lo stimatore beta non riesce ad identificare uno o più paesi che divergono

• Quah (1993) mostra che i cambiamenti di traiettoria sono frequenti e quindi i sentieri di crescita non sono abbastanza stabili da utilizzare interpolazioni

• La stima beta tende inoltre a essere sistematicamente intorno al 2% (Canova e Marcet, 1995; Pesaran e Smith 1995)

(Boggio, Serravalli da pag. 143)

La convergenza non parametrica La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina BrasiliLa convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili

6

ANAV/GDP= FC/GDP * FAP/FC * ANAV/FAP (1).

-AAV/GDP (Agriculture Added Value/Gross Domestic Product)-AIAV/GDP (Agrofood Industry Added Value/ Gross Domestic Product) -AIAV/AAV (Agrofood Industry Added Value/Agriculture Added Value)

Un’analisi non parametrica per le variabili del sistema agroalimentare

Modelli di sviluppo e misura della convergenza.Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.

7

Dinamica della varianza e sigma-convergenza


AAV/GDP EU REGIONS

1980

1985

1990

1995 = 0.022 = 0.0003CV= 0.76

= 0.032 = 0.0004CV= 0.72

= 0.042 = 0.0007CV= 0.76

= 0.042 = 0.0009CV= 0.74

8



AIAV/GDP EU REGIONS

1980

1985

1990

1995 = 0.042 = 0.0003CV= 0.51

= 0.042 = 0.0004CV= 0.52

= 0.042 = 0.0005CV= 0.55

= 0.042 = 0.0004CV= 0.48

9



AAV/GDP

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

AIAV/GDP

0,22

0,24

0,26

0,28

0,3

0,32

0,34

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

AIAV/AAV

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

10

Un approccio probabilistico


0 1 2 3 4x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

AAV/GDP 1980

0 1 2 3 4x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

AAV/GDP 1985

0 1 2 3 4x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

AAV/GDP 1990

0 1 2 3 4x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

AAV/GDP 1995

11



0 1 2 3 4x

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

y

AIAV/GDP 1980

0 1 2 3 4x

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

y

AIAV/GDP 1985

0 1 2 3 4x

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

y

AIAV/GDP 1990

0 1 2 3 4x

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

y

AIAV/GDP 1995

12



0 1 2 3 4 5 6x

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

y

AIAV/AAV 1980

0 1 2 3 4 5 6x

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

y

AIAV/AAV 1985

0 1 2 3 4 5 6x

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

y

AIAV/AAV 1990

0 1 2 3 4 5 6x

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

y

AIAV/AAV 1995

13

Regioni sviluppate e in ritardo di sviluppo (obiettivo 1): il grado di convergenza


AAV/GDP Average (1980-95)

Obj. 1

no. Obj. 1

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

Media EU

AAV/GDP Average (80-95)Rispect to the EU Average

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

Obj. 1

No Obj. 1

AAV/GDP Variances (80-95)Rispect to the EU Average

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Obj. 1

No Obj. 1

14



AAV/GDP Objective 1 EU REGIONS

1980

1985

1990

1995

de3 be3 es7 ukb es1 pt1 it8 it7 itb ita it9 es6 ie es4

= 0.042 = 0.0004CV= 0.52

= 0.052 = 0.0005CV= 0.49

= 0.062 = 0.0011CV= 0.56

= 0.072 = 0.0013CV= 0.50

15



AIAV/GDP Average (80-95)

0,03

0,035

0,04

0,045

0,05

Obj. 1

No Obj. 1

Media UE

AIAV/GDP Average (80-95)Respect to the EU Average

0,9

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

Obj. 1

No Obj. 1

AIAV/GDP Variance (80-95)Respect to the EU Average

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Obj. 1

No Obj. 1

16



AIAV/GDP Objective 1 EU REGIONS

1980

1985

1990

1995

es1 pt1 es4 ita it8 es7 be3 it7 it9 itb es6 ie ukb

= 0.042 = 0.0008CV= 0.66

= 0.042 = 0.0009CV= 0.69

= 0.052 = 0.0013CV= 0.75

= 0.052 = 0.0008CV= 0.60

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Modelli per distribuzioni cross-section che si evolvono nel tempo: matrici di transizione


Transition matrices- First order, time stationary, 1980 to 1995; EU Regions

AAV/GDP (0 : 0,5) (0,5 : 1) (1 : 1,5) (1,5 : 2) (2 : )296 0.916 0.084338 0.062 0.885 0.053186 0.070 0.839 0.091127 0.110 0.803 0.08788 0.136 0.864

Ergodic 0.21 0.29 0.21 0.17 0.11

AIAV/GDP (0 : 0,5) (0,5 : 1) (1 : 1,5) (1,5 : 2) (2 : )55 0.836 0.164

419 0.024 0.955 0.021266 0.045 0.914 0.041112 0.107 0.857 0.03633 0.091 0.909

Ergodic 0.08 0.53 0.25 0.10 0.04

AIAV/AAV (0 : 0,5) (0,5 : 1) (1 : 1,5) (1,5 : 2) (2 : )177 0.876 0.124356 0.070 0.888 0.039120 0.092 0.808 0.092 0.00865 0.015 0.169 0.678 0.138

152 0.007 0.072 0.921Ergodic 0.22 0.39 0.16 0.08 0.16

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Convergenza economica nelle regioni dell’Unione europea (Leonardi, 1998)

•L’analisi della convergenza economica nelle regioni europee è stata negli anni Novanta al centro dell’attenzione di numerosi studiosi.

• Gli studi più recenti non hanno però prodotto un’interpretazione univoca dello sviluppo economico dell’Unione Europea.

•La variabile esplicativa più frequentemente utilizzata per l’analisi della convergenza economica è il PIL per abitante.

Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unine europea

La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina BrasiliLa convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili

19

Le regioni dell’Unione europea (Leonardi, 1998)

La Banca Dati creata appositamente per un’analisi di lungo periodo si snoda dal 1950 al 1995. A tale scopo sono state utilizzate tre diverse fonti di dati:

•il lavoro di Molle von Holst e Smith (1980),•data base Regio di Eurostat,•la banca dati dell’ESOC-Lab

Sono state armonizzate e ricostruite due variabili:il PIL pro capite e le PPA pro capiteper 140 regioni di livello Nuts2

Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unione europea


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Le regioni dell’Unione europea (Leonardi, 1998)

Si costruiscono le funzioni di densità per le 140 regioni negli anni 1975, 1985 e 1992

Dalle distribuzioni marginali emerge: solo nel 1975 c’era una lieve evidenza di “twin peaks” poi la distribuzione diventa unimodale e maggiormente simmetrica

Il kernel stocastico sui dati del Pil pro capite dal 1975 al 1992 non evidenzia fenomeni di polarizzazione ma piuttosto di persistenza di differenze nel tempo in livelli di ricchezza differenziati (pagg. 174-178, Leonardi 1998)

Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unione europea


21

• Lo stochastic kernel utilizza le funzioni di densità della variabile considerata per poter ottenere una stima della distribuzione di probabilità ergodica quando. Il problema fondamentale consiste, dunque, nello stimare tali funzioni; in particolare vengono stimate attraverso l’approccio non parametrico, cioè si affronta direttamente la stima dell’intera funzione di densità di probabilità, invece di stimare i parametri di uno specifico tipo di distribuzione, come avviene, appunto, nell’approccio parametrico alla stima di densità •La stima kernel di una funzione di densità unimodale del vettore di osservazioni x1, x2,….xn è intuitivamente costituita da una serie di “bumps” o “collinette” costrute su ciascuna osservazione. La definizione formale è :

)(1

)(1

n

i

i

h

XxK

nhxf

Lo strumento di analisi: lo Stochastic Kernel


22

• La funzione Kernel K soddisfa le condizioni:

• Il parametro h chiamato bandwith (o window width) determina l’ampiezza delle “collinette”. Ognuna di esse ha l’espressione:

• Il Kernel K è una funzione di densità di probabilità.

1)( dxxK

)(1h

XxKnh

i

Stochastic Kernel

dxx |)K(|

23

• La definizione di kernel come somma di “bumps” per ciascuna osservazione dal caso univariato a quelo multivariato :

• La funzione kernel è ora definita per un x d-dimensional che soddisfa le condizioni:

• K può essere una funzione di densità unimodale e simmetrica come la densità normale standard

)Xx

(1

)x(1

n

i

id h

Knh

f

dR

dK 1x)x(

Stochastic Kernel

)xx2

1exp()2()x( T2 dK

24

• L’utilizzo di una sola bandwidth implca che il kernel è equamente livellato in ciascuna direzione.

•In alcuni casi sarebbe più accurato usare un vettore di bandwidths secondo le differenti densità delle osservazioni nelle diverse direzioni.

• La rules-of-thumb utilizza un’espressione approssimata del mean square error (MSE) e del mean integrated square error (MISE) sostituendo all’espressione la varianza campionaria stimata. Si arriva così a formulare l’espressione per la bandwidth :

Stochastic Kernel

2

xf

51

79.0

Rnhopt

25

• Nell’ambito di distribuzioni normali Silverman propone un altro metodo per calcolare il valore ottimo del parametro di smoothing:

•dove A è uguale al valore minimo tra la deviazione standard e il primo quartile della distribuzione diviso per 1,34.

Stochastic Kernel

5/1)(9,0 nAh

26

•The Stochastic Kernel descrive la legge secondo la quale si muovono una sequenza di distribuzioni.

• Indicando con t la distribuzine delle osservazioni al tempo t lo Stochastic Kernel descrive l’evoluzione di t a t+1 attraverso un operatore M t che “mappa” il prodotto Cartesiano nello spazio [0,1]. A Borel-misurabile:

Matrici di probabilità

)(),()(1 ydAyMA ttt

27

•Sia Ft la distribuzione dei redditi al tempo t; sia

Ft+1 la distribuzione dei redditi al tempo

successivo; allora esiste un operatore M (lo stochastic kernel) in grado di “mappare”, di descrivere l’evoluzione della distribuzione al tempo t in quella al tempo t+1; esiste un operatore M tale che quindi Ft+1=Mt Ft

• Se ora si ipotizza che l’M che mappa la distribuzione al tempo t in quella al tempo t+s, sia invariante rispetto al tempo, si potrà ricavare uno stimatore per le distribuzioni di densità future, cioè

Ft+2s=M Ft+s=M(M Ft)=M2Ft

.

.

.

.

Ft+rs=MrFt

Matrici di probabilità

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• Possiamo pensare allo Sthocastic Kernel in termini di una versione continua della matrice di probabilità di transizione Markoviana

• Il modello proposto (simile ad un modello autoregressivo (AR)) utilizza distribuzioni di probabilità invece che numeri o vettori di numeri.

Ft= M * F t-1

• Ft e Ft-1 sono distribuzioni di densità di probabilità al tempo t e al tempo (t-1) , risepttivamente, e M è l’operatore che mappa la distribuzione nell’altra.

Matrici di probabilità e stochastic kernel

29

Riassumendo: come si legge il risultato dello Stochastic Kernel

• Permette di osservare l’evoluzione temporale della distribuzione della variabile oggetto di studio (PIL pro capite)

• Permette di individuare fenomeni fondamentali per lo studio della convergenza quali persistenza e polarizzazione

• Può essere considerato come la combinazione di:– Stima non parametrica di funzioni di

densità (stimatore kernel)– Matrici di probabilità di transizione

30

SianoSiano

FFtt== FFt+1t+1==

allora allora MM tale che F tale che Ft+1t+1==MMFFtt

Lo Stochastic Kernel

PIL pro capite al tempo t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

PIL pro capite al tempo t+1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

31

Si consideri l'intervallo temporale Si consideri l'intervallo temporale ((t,t+st,t+s), allora:), allora:

MM tale che F tale che Ft+st+s=M=MFFtt

Si consideri Si consideri MM invariante rispetto a invariante rispetto a tt, , allora:allora:

FFt+2st+2s==MM FFt+st+s==MM((MM FFtt)=)=MM22FFtt......

FFt+rst+rs==MMrrFFtt

Lo Stochastic Kernel

32

Si consideri il limite per Si consideri il limite per r r , , allora:allora:

33

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0limite

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

t

0.007

0.0

07

0.0

14

0.014

0.0

20

0.020

0.0

27

0.027

0.0

34

0.0

34

0.041

0.041

0.047

0.047

0.054

Si consideri il limite per Si consideri il limite per r r , , allora:allora:

persistenza

persistenzarovesciamento

rovesciamento

conv

erge

nza

conv

erge

nza

34

La convergenza nelle regioni dell’UE 15

• La variabile: PIL pro capite espresso in PPA

(Fonte: Regio- Eurostat)

• La dimensione territoriale: 126 regioni NUTS2

• La dimensione temporale: 1980 - 2000

350

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5

La convergenza nelle regioni dell’UE 15

PIL pro capite PIL pro capite 19891989

PIL pro capite 1999PIL pro capite 1999

A distanza di un decennio, si osservano alcune differenze significative.

Il picco di sinistra è sostanzialmente sparito.

La moda relativa alle regioni con reddito pro capite superiore al 25% di quello medio è inferiore ma aumenta il numero di regioni con un valore superiore a quello medio comunitario

36

La convergenza del PIL-pc nelle regioni dell’UE 15

37

La convergenza del PIL-pc nelle regioni

dell’UE 15 - Curve di livello

38

Un’analisi mediante lo stochastic kernel all’UE-28 (Brasili, Oppi 2001)

8. Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unione europea

1995 1996 1997 1998 1999Belgio 150 147 146 146 144Danimarca 159 160 157 155 154Germania 147 147 142 141 140Grecia 88 89 87 86 87Spagna 105 106 104 106 107Francia 139 135 129 129 129Irlanda 124 124 134 141 145Italia 139 138 134 132 131Lussemburgo 232 227 228 230 239Olanda 147 143 148 148 147Austria 148 150 147 145 145Portogallo 94 93 96 98 98Finlandia 130 127 131 133 131Svezia 138 135 133 133 133Regno Unito 128 132 133 133 133Bulgaria 37 33 30 29 29Repubblica Ceca 84 87 83 79 77Estonia 43 44 48 49 47Ungheria 62 62 63 64 66Lettonia 33 34 36 36 36Lituania 37 38 40 41 38Polonia 43 45 46 47 47Romania 43 44 41 37 35Slovacchia 55 59 60 61 60Slovenia 86 88 89 90 92Cipro 105 105 104 104 105Malta 66 68 68 68 68Turchia 40 40 41 41 36

PIL pro capite (PPA) - UE 28=100

Livelli del PIL pro capite (PPA) nei Paesi di un’Unione allargata, 1988-1997 (media UE 28=100).


39



1995 1996 1997 1998 1999Belgio 150 147 146 146 144Danimarca 159 160 157 155 154Germania 147 147 142 141 140Grecia 88 89 87 86 87Spagna 105 106 104 106 107Francia 139 135 129 129 129Irlanda 124 124 134 141 145Italia 139 138 134 132 131Lussemburgo 232 227 228 230 239Olanda 147 143 148 148 147Austria 148 150 147 145 145Portogallo 94 93 96 98 98Finlandia 130 127 131 133 131Svezia 138 135 133 133 133Regno Unito 128 132 133 133 133Bulgaria 37 33 30 29 29Repubblica Ceca 84 87 83 79 77Estonia 43 44 48 49 47Ungheria 62 62 63 64 66Lettonia 33 34 36 36 36Lituania 37 38 40 41 38Polonia 43 45 46 47 47Romania 43 44 41 37 35Slovacchia 55 59 60 61 60Slovenia 86 88 89 90 92Cipro 105 105 104 104 105Malta 66 68 68 68 68Turchia 40 40 41 41 36

PIL pro capite (PPA) - UE 28=100

Livelli del PIL pro capite (PPA) nei Paesi di un’Unione allargata, 1988-1997 (media UE 28=100).


40



0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

t1

0.005

0.0

05

0.0

11

0.011

0.0

16

0.016

0.0

22

0.022

0.0

27

0.0

27

0.0

33

0.033

0.0

38

0.038

0.038

0.0

44

0.044

“Kernel stocastico” per il PIL pro capite (PPA) dei Paesi dell’UE-28

Curve di livello del “kernel stocastico” per il PIL pro capite (PPA) dei Paesi dell’UE-28


La convergenza economica: metodi non parametrici

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