L' Equazione Non Lineare di Schrödinger neiSistemi in Fibra Ottica

Enrico Forestieri, Marco Secondini

Equazioni integrali: recenti sviluppi numerici e nuove applicazioni

Parma, 27-28 Settembre 2007

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Sommario

• Introduzione– Sistemi di comunicazione in fibra ottica– Propagazione in fibra: attenuazione, dispersione, nonlinearità– Amplificatori ottici e rumore ASE– L’equazione non lineare di Schrödinger (NLSE)

• Problema deterministico– Split Step Fourier Method (SSFM)– Metodi perturbativi

• Problema stocastico– Metodi Monte Carlo– Modello ad onda continua– Modello della matrice di covarianza– Modello della perturbazione regolare-logaritmica

• Conclusioni e problemi aperti

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Sistemi di Comunicazione in Fibra

• Il segnale generato dal TX si propaga attraverso numerosi tratti di fibra e stadi di amplificazione.

• Al RX, il segnale viene filtrato, fotorivelato e campionato.

• Formati di modulazione semplici: intensità del segnale ottico.

• Formati di modulazione più complessi: fase e ampiezza del segnale.

• Più segnali a diversa lunghezza d’onda viaggiano sulla stessa fibra

TX1

Fiber spans OpticalFilter

Post-detFilter

RX1

AmplifiersTXN RXN

… …

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La Fibra Ottica

• Attenuazione (): attenuazione esponenziale dell’intensità del segnale durante la propagazione

• Dispersione cromatica (2): l’indice di rifrazione del mezzo dipende dalla frequenza.

• Nonlinearità Kerr (): l’indice di rifrazione del mezzo dipende dall’intensità del segnale.

• Dispersione modale di polarizzazione

ν(0,t) ,

ν(z,t)

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Amplificatori Ottici e Rumore ASE

• Come tutti gli amplificatori, anche quelli ottici producono rumore.

• Come conseguenza, al segnale amplificato si somma un contributo casuale e a media nulla intrinseco al meccanismo di amplificazione.

• Tale rumore è detto emissione spontanea amplificata (amplified spontaneous emission, ASE).

• Il rumore ASE ha distribuzione gaussiana e densità spettrale di potenza SASE (f) praticamente costante (rumore bianco):

dove G è il guadagno di potenza, e nsp= (N2-N1)/N1 1 è il coeffiente di emissione spontanea, dipendente dalla concentrazione degli atomi negli stati eccitati N2 e normali N1.

ν(t) Gν(t)+n(t)

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Equazione di Schrödinger Non Lineare

• La propagazione dell’inviluppo complesso del campo elettrico v(z,t) in una fibra a singolo modo è governata dall’equazione di Schrödinger non lineare (NLSE).

• Tenendo conto di attenuazione, dispersione cromatica e non linearità Kerr, in un sistema di riferimento che si sposta alla velocità di gruppo, l’equazione per il campo normalizzato u(z,t) = ez/2v(z,t) è

Attenzione allo scambio di variabili temporale e spaziale !

Dispersione Nonlinearità

Attenuazione: bilanciamento tra dispersione e nonlinearità

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Problema Deterministico

Dato un segnale deterministico in ingresso (z=0), noto per t=[-,), calcolare il segnale in uscita dalla fibra (z>0)

u(0,t)

t0 1 0 1 1 0

u(z,t)

t0 1 0 1 1 0

I coefficienti della fibra sono in generale diversi da zero e variano lungo la propagazione (successione di tratti di fibra con caratteristiche diverse)

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Problema Stocastico

Dato un processo stocastico in ingresso, con statistiche note, calcolare le statistiche del processo di uscita (ad es. pdf del campione fotorivelato all’istante t0 )

u(z,t)

t

u(0,t)

n(0,t) t0

Stocasticità:– Gli amplificatori ottici introducono rumore ASE: in ingresso n(0,t) è un rumore

additivo, gaussiano, bianco.

– Il segnale trasmesso è costituito da una successione casuale di “1” e “0”

– Sono presenti altri segnali a differente lunghezza d’onda con caratteristiche simili al segnale d’interesse.

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Propagazione Lineare ( = 0)

• Applicando la trasformazione di Fourier ad entrambi i membri si ottiene

• La fibra si comporta come un filtro con funzione di trasferimento

•Problema deterministico: funzione di trasfermento

•Problema stocastico:

–Il segnale non interagisce con il rumore

–Il segnale non interagisce con gli altri segnali

–Le statistiche del rumore non sono modificate dal filtraggio lineare

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Propagazione Non Dispersiva (2 = 0)

• Ricordando che u(z,t) rappresenta l’inviluppo complesso del campo normalizzato rispetto all’attenuazione, e dal momento che la non linearità agisce solo sulla fase, è facile rendersi conto che |u(z,t)| = |u(0,t)|, per cui l’equazione diventa

ed è quindi facilmente risolubile

= 0.046 1/km

dB = 0.2 dB/km

1/

Lef

f [k

m]

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 0

Distanza normalizzata z/(1/)

5

• Leff(z) è detta lunghezza efficace della fibra e mostra come gli effetti non lineari siano concentrati nei primi chilometri di propagazione e si esauriscano dopo una distanza pari a circa 3-4 volte 1/.

• Per dB = 0.2 dB/km, si ha che 1/ 22 km.

11

Problema Deterministico

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Split-Step Fourier Method (SSFM)

• La fibra viene suddivisa in spezzoni dilunghezza z tale che l’attenuazione traun estremo e l’altro possa trascurarsi.

• Il metodo split-step si basa nel considerare che il campo si propaghi linearmente in ciascun spezzone, concentrando l’effetto della non linearità alla superficie di separazione tra gli spezzoni.

• La non linearità Kerr provoca una rotazione di fase del campo elettrico proporzionale alla potenza: (z, t) = P(z, t) z.

• Il segnale viene propagato linearmente nel primo spezzone operando nel dominio della frequenza tramite FFT

• Ritornando nel dominio del tempo, si applica la rotazione di fase indotta dalla non linearità

• A questo punto si ritorna nel dominio della frequenza e si ripete il tutto con il secondo spezzone. E così via fino all’ultimo tratto.

z = 0

DISPERSIONE NON LINEARITÀSOLO

H(z,)H(z,)

SOLO

H(z,)

z

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Alcune Considerazioni

Problema deterministico: l’SSFM garantisce l’accuratezza desiderata purché si scelga il passo z opportunamente piccolo

Problema stocastico: l’SSFM si presta molto bene a simulazioni tipo Monte Carlo per il calcolo delle prestazioni.

× Il numero di passi necessari cresce all’aumentare della lunghezza della fibra, della potenza, della banda.

× Le simulazioni Monte Carlo richiedono il calcolo di moltissime realizzazioni del processo: il tempo di calcolo richiesto dall’SSFM va moltiplicato per il numero di realizzazioni necessarie (105 ÷107)

× Le simulazioni non consentono di intuire quali sono i parametri significativi sui quali occorre agire (e in che modo) al fine di ottimizzare le prestazioni.

Una soluzione analitica, anche approssimata, del problema deterministico può essere di maggior valore.

Comunque, non tutte le soluzioni analitiche si prestano bene allo scopo se non consentono di determinare (più o meno facilmente) le statistiche dei campioni del segnale.

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Soluzione della NLSE

• Nel caso di attenuazione nulla, = 0, l’equazione di Schrödinger si può risolvere usando il metodo della trasformata spettrale (inverse scattering transform).– Il metodo consiste nel generare un sistema di equazioni lineari,

noto come sistema di Zakharov-Shabat.

– Alcune soluzioni possono esprimersi in forma analitica e tipicamente si tratta di soluzioni solitoniche.

• La struttura dell’equazione non lineare di Schrödinger consente di ottenere una soluzione di tipo ricorsivo valida per qualsiasi valore dei parametri.– L’utilità di questa soluzione è però limitata dal fatto che nella

formula di ricorsione compaiono degli integrali che non è possibile esprimere in forma chiusa.

– Sebbene possa essere utilizzata per ottenere espressioni analitiche semplificate, tale esemplificazione non è sufficiente a rendere fattibile (facile?) il computo delle quantità statistiche di interesse.

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• La NLSE può essere formalmente integrata:

suggerendo un metodo iterativo per la sua risoluzione.

• L’utilità pratica di tale metodo è comunque legata al numero di iterazioni occorrenti per ottenere una approssimazione della soluzione con un errore accettabile.

Forma Integrale della NLSE

u0(z,t)=u(0,t)h(z,t)

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Una Soluzione Ricorsiva

Indicando con u0(z,t) la soluzione lineare, la relazione di ricorrenza

converge alla soluzione esatta u(z,t) della NLS poiché

dove uk(z,t) sono i coefficienti della serie di potenze in

(metodo della perturbazione regolare)

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Una Migliore Soluzione Ricorsiva

Usando l’espansione

l’equazione NLS può scriversi come

suggerendo la seguente relazione di ricorrenza

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Perturbazione Logaritmica

La precedente relazione di ricorrenza converge a u(z,t) poiché

dove k(z,t) sono i coefficienti dell’espansione logaritmica

che possono ottenersi direttamente dai coefficienti RP

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Impulso Isolato

• Impulso in ingresso: rettangolare, durata: 100 ps

• Potenza di picco in ingresso: 12 dBm

• Numero di tratte: 5

• Dispersione: perfettamente compensata tratta per tratta

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Alcune Considerazioni

• La complessità computazionale delle precedenti espressioni cresce linearmente con l’ordine di ricorsione n.

• A parità di accuratezza, solo per n 2 risultano essere più convenienti del metodo split-step.

• L’espansione in serie di potenze (regolare o logaritmica) fornisce un’espressione possibilmente trattabile per il problema stocastico

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Problema Stocastico

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Impatto della Non Linearità Kerr

• Il rumore ASE interagisce con il segnale a causa della non linearità (NL).• NL + CD modificano la distribuzione del rumore al ricevitore che non risulta più

essere nè bianco, nè gaussiano.• L’impatto sulle prestazioni può essere significativo.

Tx OpticalFilter

Post-detFilter

CD, PMD

ASE

Rx

Tx OpticalFilter

Post-detFilter

CD, NL

ASE ASE

Rx

Propagazione lineare

Propagazione non lineare

• Dispersione cromatica (CD) e di polarizzazione (PMD) hanno effetto solo sul segnale.

• La distribuzione del rumore ASE (che rimane additivo) non cambia.

• Calcolo esatto delle prestazioni mediante espansione di Karhunen-Loéve

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Modello ad Onda Continua (CW)

• Ipotesi fondanti– Assenza di effetti non lineari in corrispondenza degli “0”.

– Il rumore in corrispondenza degli “1” può approssimarsi con quello presente quando viene propagata una portante non modulata.

– Il rumore è una piccola perturbazione additiva del segnale

• Si assume che la soluzione della NLSE abbia la forma

• Sostituendo u(z,t) nella NLSE e trascurando i termini quadratici, si ottiene un sistema di equazioni lineari per nP ed nQ

• In questa approssimazione nP ed nQ risultano ancora gaussiani, ma adesso sono correlati e dunque non sono più processi bianchi.

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Calcolo delle Prestazioni col Modello CW

• Nel dominio della frequenza, tale sistema ha una soluzione analitica in termini delle funzioni di Hankel. Ponendo N(z,) = [NP(z,), NQ(z,)]T, si ha

• La matrice delle densità spettrali di potenza

può dunque calcolarsi come

• Parametric gain: amplificazione del rumore per alcune frequenze

• Si può applicare il metodo KLSE dopo opportuna diagonalizzazione!

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Parametric GainD

en

sit

à s

pe

ttra

le n

orm

ali

zza

ta [

dB

]

Componentein fase

Componentein quadratura

2 < 0

0 10 20 30 40Frequenza [GHz]

-2

-4

0

2

4

6

8

10

De

ns

ità

sp

ett

rale

no

rma

lizz

ata

[d

B]

in quadratura

Componentein fase

0 10 20 30 40Frequenza [GHz]

-2

-4

0

2

4

6

8

10

Componente2 > 0

Soglia

Vettorericevuto

Segnale

Curve di livellodella pdf congiunta

nP(t)

nQ(t)

Assein fase

Asse inquadratura

• La compenente di rumore in quadratura non può causare errori di per sè.

• La sua maggiore varianza, però, provoca un allungamento della pdf congiunta e modifica la pdf dei campioni fotorivelati in modo non banale.

• La correlazione tra le componenti di rumore, provoca una rotazione delle curve di livello e può impattare significativamente la BER.

• Un’approssimazione gaussiana non è in grado di cogliere questi aspetti e sovrastima la BER.

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Limitazioni del Modello CW

• Funziona solo per livelli di potenza relativamente bassi.

• Non tiene conto della forma del segnale.

• Predice un incremento della potenza associata alla componente in quadratura del rumore irrealisticamente elevata.

• Non è in grado di cogliere la natura essenzialmente non gaussiana del rumore che si presenta al ricevitore ottico.

• Per assurdo, il modello lineare è spesso più accurato del modello CW basato sul metodo della perturbazione regolare.

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Metodo della Matrice di Covarianza

• Per tenere conto della forma del segnale, si assume che la soluzione della NLSE possa scriversi come la somma di una componente di segnale e di rumore

• Tali componenti vengono espresse come serie di Fourier

• Sostituendo u(z,t) nella NLSE e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si trova un sistema di equazioni lineari che descrive l’evoluzione dei coefficienti di Fourier an(z).

• La matrice di trasferimento del sistema consente di calcolare la matrice di covarianza dei coefficienti in uscita, nota quella in ingresso.

• Una volta nota la matrice di covarianza, il calcolo della BER si effettua mediante il metodo KLSE.

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Limitazioni del Metodo

• La semplice linearizzazione del sistema non funziona. Durante la propagazione si genera un rumore di fase che rende il processo non gaussiano.

• Per tenerne conto e rendere possibile la linearizzazione del sistema è necessario individuare ed “estrarre” il “jitter” di fase che si produce durante la propagazione (impulso per impulso). Tale jitter non ha impatto sulle prestazioni di un sistema a rivelazione diretta.

• Il metodo consente di valutare le prestazioni, ma non fornisce una modellizzazione fisicamente soddisfacente del sistema ed è limitato ad alcuni formati di modulazione

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Perturbazione Regolare-Logaritmica

• Tale metodo tenta di combinare la semplicità del metodo della perturbazione regolare con l’accuratezza di quello della perturbazione logaritmica.

• Partendo dagli stessi presupposti del metodo CW, si suppone che la soluzione della NLSE possa scriversi come

• Inserendo u(z,t) nella NLSE e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ottiene un sistema di equazioni lineari per a(z,t), b(z,t) e (z,t).

• Il termine di fase (z,t) costituisce una generalizzazione del modello CW e nello stesso tempo formalizza l’intuizione del concetto di separazione del rumore di fase introdotto dal metodo della matrice di covarianza.

• La distribuzione di tale termine può essere derivata direttamente dall’equazione linearizzata con diversi vantaggi rispetto al metodo della matrice di covarianza

– Conoscenza della sua distribuzione e correlazione con a(z,t) e b(z,t).– Nessun bisogno di una artificiosa rimozione della fase.– L’approccio rimane valido anche con segnali tipo NRZ.

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Perturbazione Regolare-Logaritmica (2)

• Esiste una semplice soluzione analitica per = 0

• T(z,) viene usata per propagare la matrice della densità spettrale di potenza

• Nel dominio della frequenza, dopo sostituzione e linearizzazione

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Confronto col Metodo CW

G2G1CW:u(t)=1+a(t)+jb(t)a(t), b(t) sono gaussianiLa matrice Gab è diagonale

u’(t)=1+a’(t)+jb’(t)a’(t), b’(t) sono gaussianiLa matrice G’ab non è diagonale

u(t) è gaussiano u(t) è gaussiano

CRL:u(t)=[1+a(t)+jb(t)]e-j(t)

a(t), b(t) sono gaussiani(t)=0La matrice Gab è diagonale

u’(t)=[1+a’(t)+jb’(t)]e-j’(t)

a’(t), b’(t), ’(t) sono gaussiani’(t)0La matrice G’ab non è diagonale

u(t) è gaussiano u(t) non è gaussiano

G2G1

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Pdf Congiunta del Segnale Ottico

Modello RP (CW)

Simulazione MMC

Modello CRL

Modello AWGN

TX OpticalFilter

Post-detFilter

CW, singola tratta,no compensazione,no attenuazione

<efug/P

=m

fug /P

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.51.5 20-0.5-1 0.5 1

P = 10 mW= 2.4 W-1 km-1

D = -12 ps nm-1 km-1

=0L=500 km

P = 10 mW= 2.4 W-1 km-1

D = -12 ps nm-1 km-1

=0L=500 km

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PDF del Segnale Fotorivelato

CW, singola tratta,no compensazione,no attenuazione

10

10

10

10

10

10

10

10

Normalized photocurrent

CRLPAWGNRPMMC

0 0.5 1 1.5 2

-14

- 8

-10

-12

- 2

0

- 4

- 6

10

10

10

10

10

10

10

10pdf

Normalized photocurrent

CRLPAWGNRPMMC

0 0.5 1 1.5 2

-14

- 8

-10

-12

- 2

0

- 4

- 6 D = -12 ps · nm-1 · km-1D = -12 ps · nm-1 · km-1 D = +17 ps · nm-1 · km-1

D = +17 ps · nm-1 · km-1

P0 = 10 mW =0= 2 W-1 km-1 L=50 kmN0 = 810-15 W Hz-1

OF= Filtro gaussiano (20 GHz)EF = Bessel 5o-ord. (7.5 GHz)

P0 = 10 mW =0= 2 W-1 km-1 L=50 kmN0 = 810-15 W Hz-1

OF= Filtro gaussiano (20 GHz)EF = Bessel 5o-ord. (7.5 GHz)

TX OpticalFilter

ElectricalFilter

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Prestazioni di un Sistema Realistico

• Singola tratta, con compensazione ed attenuazione• BER calcolata per “1” e “0” isolati

= 0.22 dB/Km= 2 W-1 km-1

L = 50 kmOF= Filtro gaussiano (20 GHz)EF = Bessel 5o-ord. (7.5 GHz)OSNR0.1nm = 14 dB (fissato)

= 0.22 dB/Km= 2 W-1 km-1

L = 50 kmOF= Filtro gaussiano (20 GHz)EF = Bessel 5o-ord. (7.5 GHz)OSNR0.1nm = 14 dB (fissato)

TX OpticalFilter

Post-detFilter

CRLPAWGNRPMMC

-10

-11

-12

-13

-14

-15 1 3 5 7 9 11 13 15

Peak power (mW)

log 1

0(B

ER

)

-12

-10

-11

-13

-14

-15 1 3 5 7 9 11 13 15

Peak power (mW)

CRLPAWGNRPMMC

log 1

0(B

ER

)

D = -10 ps·nm-1 · km-1D = -10 ps·nm-1 · km-1 D = +10 ps·nm-1 · km-1

D = +10 ps·nm-1 · km-1

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Conclusioni

• Una tecnica analitica per il calcolo delle prestazioni dovrebbe:– fornire un’approssimazione accettabile

– tenere in conto l’interferenza intersimbolica

– catturare l’effetto dell’interazione non lineare tra segnale e rumore

– non essere legata ad un particolare formato di modulazione

– consentire di valutare le prestazioni di sistemi WDM

• Le tecniche attualmente a disposizione soddisfano solo alcuni di questi requisiti. La ricerca su questi temi è tuttora aperta.

Calcolare le prestazioni di un sistema di comunicazione su fibra ottica in cuile nonlinearità giocano un ruolo significativo è difficile.

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Alcune Linee di Ricerca Matematica

• Trovare una soluzione numerica della NLSE significativamente più efficiente dello SSFM

• Trovare una soluzione analitica (approssimata) sufficientemente accurata e trattabile (per la risoluzione del problema stocastico)

• … spiegarlo agli ingegneri delle telecomunicazioni