K.D. Bizon - Calcolo Delle Variazioni

Calcolo delle variazioni

Modellistica e Ottimizzazione di Sistemi e Processi

Energetici

K.D. Bizon

Ottimizzazione in spazi funzionali:

il calcolo variazionale

Si pu generalizzare il concetto di ottimizzazione, costruendo un cosiddetto

funzionale, ossia unespressione a valori in , lequivalente concettuale

della funzione obiettivo, che dipende non pi da un certo numero di

parametri di progetto, ma da una o pi funzioni incognite.

Tali funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che

coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. Linteresse per le

funzioni estremali: quelle cio che rendono massimo o minimo il valore

del funzionale.

Come per i problemi di minimizzazione in spazi a dimensione finita, anche

in questambito esistono condizioni necessarie per lesistenza di estremi,

che corrispondono a una condizione di stazionariet per il funzionale.

Lanalisi delle piccole variazioni attorno ad una presunta soluzione porta a

una condizione necessaria del primo ordine.

I problemi classici di calcolo delle variazioni

Tra i grandi problemi passati alla storia della matematica, vale la pena

citarne alcuni, oltrech per il loro interesse soprattutto geometrico e fisico,

per il ruolo che hanno avuto nello sviluppo del calcolo delle variazioni.

Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale figura piana o spaziale

renda massima larea o il volume, a seconda della dimensione, a parit di

perimetro o di area della superficie che lo racchiude.

Un altro problema interessante quello della ricerca delle geodetiche di

una superficie, che sono le curve di minima lunghezza, di estremi

assegnati e giacenti su di essa. Per la sfera le soluzioni sono gli archi di

cerchio massimo.

Il celebre problema della brachistocrona venne posto nel 1696 da Jean

Bernoulli. Si tratta della traiettoria prestabilita liscia lungo la quale deve

scivolare un punto materiale pesante, con posizioni iniziale e finale

assegnate, affinch il tempo impiegato per la discesa sia minimo.

Rampa/galleria pi veloce

Problema isoperimetrico

Massimo volume a parit di area di superficie Massima area a parit di perimetro

Geodetiche di una superficie

Geodetica una particolare curva che descrive localmente la traiettoria pi breve fra punti di un

particolare spazio

Problema della brachistocrona


Lo strumento chiave del calcolo delle variazioni classico lequazione di

Eulero-Lagrange.

Nella sua forma pi semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel

minimizzare il cosiddetto integrale d'azione:

al variare della funzione y (x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni

y (x1) = y1 ed y (x2) = y2 . Si cerca dunque una funzione

y = y (x) (x1 x x2 )

che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale

d'azione I .

21

, ,x

xI f x y y dx


Nella sua forma pi semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel

minimizzare il cosiddetto integrale d'azione:

al variare della funzione y(x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni:

y (x1) = y1 ; y(x2) = y2 .

Questo appena enunciato si chiama problema fondamentale del calcolo

delle variazioni. Si cerca dunque una funzione

y = y(x) , (x1 x x2 )

che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale I .

21

, ,x

xI f x y y dx

Supponiamo che f sia di classe C1 nelle tre variabili x, y ed y, e

consideriamo le due funzioni y(x) ed Y(x) = y(x) (x) , entrambe passanti per i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), dove un parametro.

Poich y(x1) = Y(x1) ed y(x2) = Y(x2) , allora (x1) = (x2) = 0 ; per il resto, la funzione (x) arbitraria.

Il termine (x) rappresenta la variazione di y(x). Noi vogliamo determinare quella y(x) per la quale il funzionale I ha un estremo

relativo, e dunque quella y(x) che, comunque perturbata dalla variazione

(x), con piccolo, lascia stazionario il valore del funzionale:

2

1

, ,x

xI I f x y y dx

Calcolo delle variazioni:

lequazione di Eulero-Lagrange

Calcoliamo quindi la derivata rispetto ad del funzionale I . Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha:

Scomponiamo lintegrale in somma di integrali ed integriamo il secondo

per parti:

2

1

x

x

I f fdx

y y

2 2 2

1 1 1

2

2 2

1 1

1

x x x

x x x

xx x

x xx

f f f fdx dx dx

y y y y

f d f fdx dx

y dx y y





Poich (x1) = (x2) = 0, lintegrale del fattore finito si annulla e dunque, portando a fattor comune, si ha:

Dato che (x) una funzione arbitraria, lintegrale nullo se e solo se identicamente nulla la quantit in parentesi. Di conseguenza, la derivata

rispetto ad del funzionale I si annulla se e solo se y(x) soluzione dellequazione (detta di Eulero-Lagrange):

2

1

x

x

I f d fdx

y dx y

0f d f

y dx y


lidentit di Beltrami

Se la funzione f esplicitamente indipendente da x, si pu dimostrare che

la soluzione del problema variazionale soddisfa una forma particolare

dellequazione di Eulero-Lagrange, detta Identit di Beltrami:

dove C una costante.

fy f C

y

Esempio 1: percorso pi corto (1)

Esempio 2: problema della brachistocrona (1)

Esempio 3: galleria pi veloce

Problema isoperimetrico (1)

Problema isoperimetrico (2)

Esempio 5: cavo sospeso (1)

Metodi numerici

Metodo di Eulero

Metodo di Ritz

Metodo di Kantorowicz (per pi variabili)

Metodo di Ritz (1)

Metodo di Ritz (2)

Metodo di Ritz (3)

Metodo di Ritz: esempio (1)

Metodo di Eulero (1)

Metodo di Eulero (3)

Metodo di Eulero: esempio (1)

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