Gruppo di Calcolo delle Variazioni - unina.it · 2015. 6. 30. · Fernando Farroni, Nicola Fusco,...

Gruppo di Calcolo delle Variazioni

Universita Federico II, Napoli

Universita Federico II, Napoli Gruppo di Calcolo delle Variazioni

ATTIVITA DI RICERCA DEL GRUPPO DI CALCOLO DELLEVARIAZIONI

Il gruppo di Calcolo delle Variazioni e molto ampio e si occupa divarie problematiche. Le attivita del gruppo si estendono allo studiodi modelli matematici e a varie applicazioni.

Persone:

Marco Barchiesi, Paolo Baroni, Lucio Carbone, Umberto De Maio,Fernando Farroni, Nicola Fusco, Flavia Giannetti, Luigi Greco,Chiara Leone, Carlo Mantegazza, Gioconda Moscariello, AntoniaPassarelli Di Napoli, Teresa Radice, Tonia Ricciardi, CarloSbordone, Roberta Schiattarella, Bianca Stroffolini, Anna Verde,Gabriella Zecca

Persone:

Introduzione al Calcolo delle Variazioni

Un problema di grande importanza nella matematica pura eapplicata e la ricerca dei valori massimi o minimi di grandezzedipendenti da variabili di tipo numerico o geometrico.

Grandezze che dipendono da un numero reale o, piu in generale, daun numero finito di variabili ←→ metodi di base del calcolodifferenziale.

Piu interessanti sono i problemi di massimo o di minimo pergrandezze che dipendono da enti matematici che non possonoessere individuati da un numero finito di parametri. Per esempiograndezze dipendenti da funzioni di una o piu variabili reali ←→metodi del Calcolo delle Variazioni.

Un esempio classico: il problema della superficie di rotazione diarea minima

Consideriamo due circonferenze di raggio R1 e R2 su due distintipiani ortogonali alla retta r passante per i due centri; il problemaconsiste nel trovare, tra tutte le superfici di rotazione di asse raventi per contorno queste due circonferenze, quella di areaminima.

Fissiamo un sistema di coordinate cartesiane su un pianocontenente r in modo tale che r sia l’asse delle x , il centro dellaprima circonferenza abbia coordinate (0, 0), e il centro dellaseconda abbia coordinate (d , 0), con d > 0.

Un esempio classico: il problema della superficie di rotazione diarea minima

Consideriamo due circonferenze di raggio R1 e R2 su due distintipiani ortogonali alla retta r passante per i due centri; il problemaconsiste nel trovare, tra tutte le superfici di rotazione di asse raventi per contorno queste due circonferenze, quella di areaminima.

Fissiamo un sistema di coordinate cartesiane su un pianocontenente r in modo tale che r sia l’asse delle x , il centro dellaprima circonferenza abbia coordinate (0, 0), e il centro dellaseconda abbia coordinate (d , 0), con d > 0.

Qualora la superficie di rotazione sia generata da una curva delpiano esprimibile come grafico di una funzione positiva y = u(x),la sua area e data dalla classica formula

F (u) = 2π

√1 + |u′(x)|2 dx

Il problema da esaminare consiste quindi nella ricerca del minimodel funzionale F (u) fra tutte le funzioni che soddisfano lecondizioni agli estremi u(0) = R1 e u(d) = R2.

F (u) = 2π

√1 + |u′(x)|2 dx

F (u) = 2π

√1 + |u′(x)|2 dx

Come vedremo, la funzione che realizza il minimo, quando esiste,deve soddisfare un’equazione differenziale, detta equazione diEulero-Lagrange, che in questo caso ha come soluzione esplicita lefunzioni

u(x) =1

c1cosh(c1x + c2),

dove cosh x e il coseno iperbolico di x , mentre le costanti c1 e c2

vanno scelte in modo che valgano le condizioni agli estremiu(0) = R1 e u(d) = R2.

Il grafico di queste funzioni e una curva denominata “catenaria”,perche rappresenta la configurazione di equilibrio di un cavopesante flessibile e inestensibile (catena) fissato agli estremi esoggetto soltanto all’azione della forza di gravita.

Come vedremo, la funzione che realizza il minimo, quando esiste,deve soddisfare un’equazione differenziale, detta equazione diEulero-Lagrange, che in questo caso ha come soluzione esplicita lefunzioni

u(x) =1

c1cosh(c1x + c2),

dove cosh x e il coseno iperbolico di x , mentre le costanti c1 e c2

vanno scelte in modo che valgano le condizioni agli estremiu(0) = R1 e u(d) = R2.

Il grafico di queste funzioni e una curva denominata “catenaria”,perche rappresenta la configurazione di equilibrio di un cavopesante flessibile e inestensibile (catena) fissato agli estremi esoggetto soltanto all’azione della forza di gravita.

La catenoide

Analisi del problema

Una semplice analisi mostra che per alcuni valori di R1, R2 e d nonesiste alcuna coppia di costanti c1 e c2 che soddisfi le condizioni alcontorno, per altri valori vi e una sola coppia, mentre per altri visono due coppie (d’altra parte queste condizioni al contorno nonsono condizioni iniziali alla Cauchy, per cui gli usuali teoremi diesistenza e unicita non si possono applicare).

Un’ analisi piu accurata mostra che nei primi due casi il problemadi minimo non ha soluzione. Nel terzo caso si hanno due catenoidi,delle quali dovremo prendere quella con area minore. Quest’ultimarealizza il minimo se e solo se la sua area e minore o uguale allasomma delle aree dei due cerchi; questo e l’unico caso in cui ilproblema di minimo ha soluzione.

Analisi del problema

Una semplice analisi mostra che per alcuni valori di R1, R2 e d nonesiste alcuna coppia di costanti c1 e c2 che soddisfi le condizioni alcontorno, per altri valori vi e una sola coppia, mentre per altri visono due coppie (d’altra parte queste condizioni al contorno nonsono condizioni iniziali alla Cauchy, per cui gli usuali teoremi diesistenza e unicita non si possono applicare).

Un’ analisi piu accurata mostra che nei primi due casi il problemadi minimo non ha soluzione. Nel terzo caso si hanno due catenoidi,delle quali dovremo prendere quella con area minore. Quest’ultimarealizza il minimo se e solo se la sua area e minore o uguale allasomma delle aree dei due cerchi; questo e l’unico caso in cui ilproblema di minimo ha soluzione.

Dunque, anche in questo caso fortunato in cui si trova unasoluzione esplicita, il solo studio dell’equazione di Eulero-Lagrange,in assenza di un risultato di esistenza di minimi, non e troppoaffidabile.

Emerge in modo chiaro una delle problematiche del Calcolo delleVariazioni: non si tratta soltanto di trovare il minimo, ma anche distabilire con precisione sotto quali condizioni questo minimo esista.

Dunque, anche in questo caso fortunato in cui si trova unasoluzione esplicita, il solo studio dell’equazione di Eulero-Lagrange,in assenza di un risultato di esistenza di minimi, non e troppoaffidabile.

Emerge in modo chiaro una delle problematiche del Calcolo delleVariazioni: non si tratta soltanto di trovare il minimo, ma anche distabilire con precisione sotto quali condizioni questo minimo esista.

Problematiche

Possiamo dividere i problemi affrontati dal Calcolo delle Variazioniin tre grandi gruppi:

determinare condizioni qualitative, sui funzionali daminimizzare e sulle condizioni al contorno, che garantiscanol’esistenza del minimo;

trovare condizioni sulla funzione incognita che siano necessariee sufficienti per la minimalita: si tratta di condizioni di tipodifferenziale, che collegano il problema di minimo con quellodi risolvere un’equazione differenziale con determinatecondizioni al contorno;

dimostrare proprieta qualitative delle funzioni che realizzano ilminimo, cioe la regolarita: le soluzioni di certi problemi diminimo hanno derivate continue di qualsiasi ordine nel lorodominio di definizione, o in gran parte di esso.

Funzionali Integrali per funzioni di una variabile

Molti problemi classici riguardano la ricerca dei minimi difunzionali integrali dipendenti da una funzione u di una variabilereale e dalla sua derivata u′:

F (u) =

af (x , u(x), u′(x)) dx , (1)

dove [a, b] e un intervallo della retta reale R e f (x , y , η) e unafunzione regolare di tre variabili. Dati α, β ∈ R, si considera ilproblema di trovare un minimo di F (u) tra tutte le funzioni usufficientemente regolari che verificano le condizioni agli estremiu(a) = α e u(b) = β.

Condizione necessaria di Eulero-Lagrange

Seguendo lo sviluppo storico, cominciamo con l’esaminare leprincipali “condizioni di minimalita”. Esse sono ottenuteconfrontando il valore di F in un punto di minimo u con il valoreottenuto aggiungendo a u una “variazione” ammissibile v . L’approssimazione di F (u + v)− F (u) al primo ordine rispetto a vdetermina la “variazione prima” di F nel punto u, il cui studioporta alla seguente condizione necessaria di minimalita.Se u e un punto di minimo di (1) con assegnate condizioni agliestremi, allora vale l’uguaglianza

∂f (x , u(x), u′(x))

∂η=∂f (x , u(x), u′(x))

∂y(2)

per ogni punto x dell’intervallo [a, b].

Le soluzioni dell’equazione di Eulero-Lagrange sono chiamate puntistazionari o punti critici di F .Intanto vale la pena osservare che non e affatto detto che unafunzione che soddisfa l’equazione di Eulero-Lagrange sia unminimo: anche in dimensione finita un punto critico non enecessariamente un punto di minimo!Un caso molto semplice in cui ogni punto critico e anche un puntodi minimo e quello in cui il funzionale e convesso:

F (λu + (1− λ)v) ≤ λF (u) + (1− λ)F (v).

Se poi F e strettamente convesso, allora il problema di minimo haal piu una soluzione (in fondo per una funzione convessa di unavariabile e vero che ogni punto critico e minimo, e una funzionestrettamente convessa ha al piu un punto critico...).

Fino alla seconda meta dell’Ottocento i matematici non si eranocurati di dimostrare l’esistenza del minimo nei problemi di calcolodelle variazioni. Si presupponeva che un funzionale integralelimitato inferiormente dovesse avere un punto di minimo, e ci siconcentrava piuttosto sulle condizioni di minimalita, andando arisolvere l’equazione di Eulero-Lagrange.Fu Weierstrass (1815-1897) a mostrare degli esempi di funzionaliintegrali non negativi, con f molto regolare, che non hanno puntidi minimo.

Metodi diretti e semicontinuita

A partire dagli ultimi anni dell’Ottocento dunque si e cominciato aseguire una strada del tutto diversa, i cosiddetti “metodi diretti”.Si e cercato dunque di stabilire un risultato di esistenza dei minimi“direttamente”, senza passare da eventuali condizioni di minimalita(cioe senza impiegare l’equazione di Eulero-Lagrange). I primirisultati in questo senso sono dovuti a Hilbert (1900), ma lasistemazione definitiva dei metodi diretti per funzionali dipendentida funzioni di una variabile e stata realizzata da Leonida Tonelli(1885-1946), che ha utilizzato a tale scopo la nozione disemicontinuita.

Criterio di Weierstrass

Una funzione F : X → R su uno spazio metrico (X , d) ammetteminimo su un compatto K ⊂ X non appena risulti limitatainferiormente e d- semicontinua inferiormente su K .

Il teorema di Tonelli

Tonelli ambienta lo studio del funzionale (1) nello spazioAC ([a, b]) delle funzioni assolutamente continue su [a, b]. Si trattadi uno spazio compreso tra lo spazio C 0([a, b]) e lo spazioC 1([a, b]). In base ad un classico Teorema di Lebesgue(1875-1941), ogni funzione u di AC ([a, b]) e derivabile in tutti ipunti di [a, b], eccettuato al piu un insieme di punti di misuranulla, e quindi F e ben definito dalla (1). Nell’ipotesi che f (x , y , η)sia continua, convessa rispetto a η, ed esistano p > 1 e duecostanti c1, c2 > 0 tali che

f (x , y , η) ≥ c1|η|p − c2(|y |+ 1|),

ne segue che il problema di minimo per (1) ha soluzione.

Il teorema di esistenza di Tonelli e ottenuto a condizione diampliare lo spazio in cui si cercano le soluzioni. Allora sorge ilproblema di stabilire sotto quali condizioni su f la soluzione inAC ([a, b]) trovata con i metodi diretti appartenga a C 1([a, b]).

Il teorema di Tonelli

Tonelli ambienta lo studio del funzionale (1) nello spazioAC ([a, b]) delle funzioni assolutamente continue su [a, b]. Si trattadi uno spazio compreso tra lo spazio C 0([a, b]) e lo spazioC 1([a, b]). In base ad un classico Teorema di Lebesgue(1875-1941), ogni funzione u di AC ([a, b]) e derivabile in tutti ipunti di [a, b], eccettuato al piu un insieme di punti di misuranulla, e quindi F e ben definito dalla (1). Nell’ipotesi che f (x , y , η)sia continua, convessa rispetto a η, ed esistano p > 1 e duecostanti c1, c2 > 0 tali che

f (x , y , η) ≥ c1|η|p − c2(|y |+ 1|),

ne segue che il problema di minimo per (1) ha soluzione.

Il teorema di esistenza di Tonelli e ottenuto a condizione diampliare lo spazio in cui si cercano le soluzioni. Allora sorge ilproblema di stabilire sotto quali condizioni su f la soluzione inAC ([a, b]) trovata con i metodi diretti appartenga a C 1([a, b]).

Problemi per integrali multipli: caso scalare

La mancanza di adeguati spazi funzionali impedisce a Tonelli diandare al di la dei funzionali (1). L’estensione al caso dei funzionalidipendenti da funzioni a valori reali definite su una regione limitataΩ di Rn, con bordo ∂Ω sufficientemente regolare, avverra con ilprogresso dell’analisi funzionale e con l’introduzione degli spazi diSobolev. L’ambientazione del problema di minimo in questi spaziper funzionali del tipo

F (u) =

f (x , u(x),∇u(x)) dx (3)

dove le condizione agli estremi sono sostituite da una “condizioneal contorno” (u = ϕ in ogni punto di ∂Ω), consente di dimostrareteoremi generali di esistenza che coprono una notevole classe difunzionali.

L’equazione di Eulero-Lagrange

L’equazione di Eulero per il funzionale (3) e un’equazionedifferenziale alle derivate parziali del secondo ordine in Ω:

n∑i=1

∂f (x , u(x),∇u(x))

∂ηi=∂f (x , u(x),∇u(x))

∂y. (4)

Le ipotesi di convessita che vengono fatte per garantire l’esistenzadi un minimo implicano che l’equazione di Eulero-Lagrange sia ditipo ellittico. Osserviamo che in molti casi e difficile dimostrarel’esistenza di una soluzione della (4) che soddisfi le condizioni alcontorno usando solo i metodi della teoria delle equazionidifferenziali.

L’equazione di Eulero-Lagrange

L’equazione di Eulero per il funzionale (3) e un’equazionedifferenziale alle derivate parziali del secondo ordine in Ω:

n∑i=1

∂f (x , u(x),∇u(x))

∂ηi=∂f (x , u(x),∇u(x))

∂y. (4)

Le ipotesi di convessita che vengono fatte per garantire l’esistenzadi un minimo implicano che l’equazione di Eulero-Lagrange sia ditipo ellittico. Osserviamo che in molti casi e difficile dimostrarel’esistenza di una soluzione della (4) che soddisfi le condizioni alcontorno usando solo i metodi della teoria delle equazionidifferenziali.

Si preferisce quindi capovolgere i termini del problema, ottenendol’esistenza di una soluzione dell’equazione di Eulero-Lagrange apartire dall’esistenza di un minimo fornita dai metodi diretti delCalcolo delle Variazioni, che garantiscono il risultato in ipotesimolto generali.

Si e cosi venuto a creare nella seconda meta dell’Ottocento unostretto legame tra il Calcolo delle Variazioni e lo studio delleequazioni ellittiche non lineari.

La regolarita

La soluzione del problema dell’esistenza del minimo negli spazi diSobolev apre il problema di dimostrare che tale minimo sia unafunzione continua , derivabile, ecc.

Si tratta di un problema che e rimasto aperto per molto tempo eche costituisce la soluzione del diciannovesimo dei 23 problemiproposti da Hilbert nella sua celebre conferenza al CongressoMondiale dei Matematici di Parigi del 1900, e che e stato avviato asoluzione dal celebre teorema di holderianita di De Giorgi e Nashper le soluzioni di equazioni ellittiche lineari.

La regolarita

La soluzione del problema dell’esistenza del minimo negli spazi diSobolev apre il problema di dimostrare che tale minimo sia unafunzione continua , derivabile, ecc.

Si tratta di un problema che e rimasto aperto per molto tempo eche costituisce la soluzione del diciannovesimo dei 23 problemiproposti da Hilbert nella sua celebre conferenza al CongressoMondiale dei Matematici di Parigi del 1900, e che e stato avviato asoluzione dal celebre teorema di holderianita di De Giorgi e Nashper le soluzioni di equazioni ellittiche lineari.

Problemi per integrali multipli: caso vettoriale

Prendiamo ora in considerazione il caso in cui u prenda i suoi valoriin Rm. Il funzionale F e ancora del tipo (3), ma ∇u e una matricem × n. Problemi di minimo per questi funzionali sono stati moltostudiati a partire dalla fine degli anni Settanta per il loro legamecon problemi di elasticita non lineare.

L’equazione di Eulero diventa un sistema di m equazioni allederivate parziali del secondo ordine nelle m funzioni incogniteu1, · · · um:

n∑j=1

∂f (x , u(x),∇u(x))

∂ηij

=∂f (x , u(x),∇u(x))

∂yii = 1, · · ·m.

Problemi per integrali multipli: caso vettoriale

Prendiamo ora in considerazione il caso in cui u prenda i suoi valoriin Rm. Il funzionale F e ancora del tipo (3), ma ∇u e una matricem × n. Problemi di minimo per questi funzionali sono stati moltostudiati a partire dalla fine degli anni Settanta per il loro legamecon problemi di elasticita non lineare.

L’equazione di Eulero diventa un sistema di m equazioni allederivate parziali del secondo ordine nelle m funzioni incogniteu1, · · · um:

n∑j=1

∂f (x , u(x),∇u(x))

∂ηij

=∂f (x , u(x),∇u(x))

∂yii = 1, · · ·m.

Teoremi di esistenza nel caso vettoriale

I risultati del caso scalare si estendono senza difficolta al casovettoriale, ma, mentre per m = 1, l’ipotesi di convessita dif (x , y , η) rispetto a η e necessaria per la semicontinuita inferiore diF , nel caso vettoriale m > 1 vi sono funzionali di notevoleinteresse, per esempio nella teoria dell’elasticita non lineare, chesono semicontinui inferiormente senza che f sia convessa rispettoalla variabile η.

Nel caso m > 1 la condizione che risulta necessaria e, con ipotesiaggiuntive, sufficiente per la semicontinuita inferiore dei funzionaliintegrali e la “quasi-convessita”, introdotta da Morrey nel 1952.

Se f (x , y , η) e continua rispetto a (x , y) e quasi-convessa rispettoa η e se

f (x , y , η) ≤ c(|η|+ |y |+ 1)p, (6)

il funzionale F e semicontinuo inferiormente nello spazio di Sobolevopportuno.

f (x , y , η) ≤ c(|η|+ |y |+ 1)p, (6)

Regolarita parziale delle soluzioni

Nel caso vettoriale non sempre i punti di minimo sono regolari intutto il dominio Ω. E possibile, sotto opportune ipotesi, ottenererisultati di “regolarita parziale”, cioe dimostrare che i minimi di (3)hanno derivate continue di qualsiasi ordine in un sottoinsieme Ω0

di Ω che differisce da Ω per un insieme di misura n-dimensionalenulla. Questi risultati sono stati ottenuti a partire dalla fine deglianni Settanta e continuano ad essere intensivamente investigati.

Γ-convergenza

A partire dagli anni Settanta De Giorgi e i suoi collaboratori hannosviluppato una nozione di convergenza per funzionali, laΓ-convergenza, che garantisce la convergenza dei punti di minimo(in presenza di opportune condizioni).

I risultati piu interessanti riguardano la stabilita di alcune classi difunzionali integrali: se Fk e una successione di funzionali integralidefiniti dalla (3) e le corrispondenti fk soddisfano opportunecondizioni di crescita, allora esiste una sottosuccessione Fkj

che Γ-converge ad un funzionale F0 che e ancora definito da unafunzione f0(x , y , η). Da cio segue che se uj sono punti di minimodi Fkj

con un’assegnata condizione al contorno, allora uj ha unasottosuccessione che converge a un punto di minimo di F0.

Γ-convergenza

A partire dagli anni Settanta De Giorgi e i suoi collaboratori hannosviluppato una nozione di convergenza per funzionali, laΓ-convergenza, che garantisce la convergenza dei punti di minimo(in presenza di opportune condizioni).

I risultati piu interessanti riguardano la stabilita di alcune classi difunzionali integrali: se Fk e una successione di funzionali integralidefiniti dalla (3) e le corrispondenti fk soddisfano opportunecondizioni di crescita, allora esiste una sottosuccessione Fkj

che Γ-converge ad un funzionale F0 che e ancora definito da unafunzione f0(x , y , η). Da cio segue che se uj sono punti di minimodi Fkj

con un’assegnata condizione al contorno, allora uj ha unasottosuccessione che converge a un punto di minimo di F0.

In certi casi e possibile calcolare f0 a partire dalle fk . Per esempio,questo accade nei cosiddetti problemi di omogeneizzazione,problemi questi legati allo studio del comportamento macroscopicodi materiali elastici non omogenei a struttura microscopica di tipoperiodico.

Problemi geometrici

Tra i problemi di natura geometrica del Calcolo delle Variazionirientrano, per esempio, quelli di area minima a volume fissato, tracui il classico problema isoperimetrico.Il problema isoperimetrico classico consiste nel trovare l’insiemeche minimizza il perimetro a volume fissato. Questo problema,noto fin dall’antichita, e stato completamente risolto solo in tempirelativamente recenti, mostrando che l’insieme ottimale enecessariamente una palla.

Chiaramente questo problema si puo complicare in vari modi. Nellarealta non si vede mai una palla esatta. La soluzione e sempreperturbata, e ci sono degli effetti di sottofondo che rendono la cosadiversa. Vorresti dire che la bolla di sapone sta minimizzando ilperimetro a volume fissato, ma poi hai un po’ di gravita o altreforze esterne, e allora cosa succede? In che senso si osserva ancorauna bolla? Sono domande classiche, che ricalcano il canone delproblema ben posto: esistenza, unicita e stabilita delle soluzioni. Inuna serie di lavori molto recenti (Fusco, Maggi, Pratelli.....) in cuisi studiano questi problemi vengono provati dei risultati nuovi distabilita, in cui si quantifica in termini dell’energia del sistemaquanto l’oggetto che si osserva sotto una perturbazione e lontanodall’essere una palla.

Problemi con discontinuita libera

Si tratta di problemi di minimo nei quali la funzione incognita upresenta (in posizione da determinarsi) una superficie didiscontinuita S che influisce sul valore del funzionale daminimizzare. Nei casi piu comuni questo contiene, oltre a untermine dipendente da S , un integrale di volume, dipendente dallafunzione u e dalle sue derivate sul complementare di S .Il primo di tali problemi e stato proposto nel 1985 da Munford eShah in relazione allo studio della segmentazione delle immagininella teoria della visione. Questioni analoghe si incontrano in varirami della fisica matematica, per esempio nello studio dellameccanica delle fratture.

Data una funzione limitata g definita su una regione limitata Ω diRn, il problema consiste nel trovare il minimo del funzionale

F (u, S) =

∫Ω\S|∇u(x)|2 dx +Hn−1(S) +

∫Ω\S|u(x)− g(x)|2 dx ,

dove Hn−1(S) indica la misura n − 1-dimensionale di S . Laprincipale novita consiste nel fatto che vi sono due incognite dinatura diversa rispetto alle quali va cercato il minimo: l’insieme Sche varia tra i sottoinsiemi di Ω di misura n − 1-dimensionalefinita, e la funzione u, che varia tra le funzioni dotate di derivateparziali continue su Ω \ S .

La soluzione di questo problema e stata ottenuta dimostrandoprima, con i metodi diretti, l’esistenza di un’opportuna soluzionegeneralizzata in un nuovo spazio funzionale introdotto daAmbrosio e De Giorgi nel 1988, e mostrando successivamente, conun teorema di regolarita, che tale soluzione generalizzata risolve ilproblema proposto.

Attivita nell’ambito del gruppo di ricerca

Seminario di Analisi Matematica

Convegno Nazionale di Calcolo delle Variazioni

Progetti di ricerca

Collaborazioni scientifiche nazionali e internazionali

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