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Istituzioni di Fisica Teorica B

Appunti dal corso di Pietro Menotti

Edizione incompleta, giugno 2001

Alberto Maggi

[219,915]

55 via Lopez, 57010 Guasticce (LI)

0586 984 980

Sommario

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.1 Le equazioni di Maxwell e lenergia del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . 13

I.1.1 Le equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.1.2 Energia del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.1.3 Il teorema di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.1.4 La quantit di moto del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I.2 Lequazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I.2.1 Potenziali elettrodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I.2.2 Lequazione di DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

I.2.3 Onde elettromagnetiche piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.3 Onde in una cavit cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.3.1 Campo elettromagnetico in una cavit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.3.2 Equivalenza del campo elettromagnetico con un sistema di oscillatori lineari . . . . 23

I.3.3 Cavit termalizzata e legge di Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II Teoria alla Planck della radiazione nera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II.1 Termodinamica della radiazione nera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II.1.1 Densit spettrale di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II.1.2 Pressione di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II.1.3 La legge di Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II.1.4 Caratterizzazione delle adiabatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II.1.5 La legge dello spostamento e la legge di Wien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II.2 Determinazione della distribuzione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.2.1 Oscillatori armonici e radiazione nera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.2.2 La formula di Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II.2.3 La legge dellirraggiamento di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Sommario

II.2.4 Considerazioni sulla legge di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III Old Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III.1 Modelli atomici di Thomson e Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41III.1.1 Il modello di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III.1.2 Gli esperimenti di Geiger e Mardsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

III.1.3 Il modello di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

III.1.4 Il problema della stabilit dellatomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III.1.5 Spettri atomici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III.2 Eetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III.3 Eetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III.4 I postulati di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III.4.1 Spettri atomici e ipotesi di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III.4.2 Livelli energetici dellatomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

III.4.3 Quantizzazione delloscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.5 Teoria dei calori specifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.5.1 Teoria classica dei calori specifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.5.2 Teorie di Einstein e Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

III.5.3 I calori specifici dei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III.6 Lipotesi di deBroglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III.6.2 Ipotesi di deBroglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III.7 Esperimenti di interferenza con un singolo fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III.8 Il principio di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.8.1 Esperimenti concettuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III.8.2 Il principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

IV I postulati della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

IV.1 Il principio di sovrapposizione e le sue conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59IV.1.1 Osservabili a spettro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

IV.1.2 Operatori associati alle osservabili a spettro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

IV.1.3 Osservabili a spettro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

IV.1.4 Operatori associati alle osservabili a spettro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Sommario

IV.1.5 Osservabili a spettro misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

IV.2 Osservabili compatibili e incompatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

IV.2.1 Commutatore e compatibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

IV.2.2 Relazione di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

IV.3 Rappresentazione di Schrdinger e degli impulsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

IV.3.1 Stati a impulsi definiti: onda di deBroglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

IV.3.2 Rappresentazione degli operatori associati a p e a q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

IV.3.3 Il principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

IV.3.4 Il caso a pi dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

IV.4 Postulato di quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

IV.4.1 Algebre di Lie e postulato di quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

IV.4.2 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

IV.4.3 Rappresentazione di Schrdinger e degli impulsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

IV.4.4 Relazione tra la rappresentazione delle coordinate e quella degli impulsi . . . . . . . . 83

IV.5 Trasformazioni unitarie e unicit delle rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

IV.5.1 Trasformazioni unitarie e rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

IV.5.2 Sistema di Weyl e teorema di von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

IV.6 Evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

IV.6.1 Loperatore di evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

IV.6.2 Sistemi fisici indipendenti dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

IV.6.3 Schema di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

IV.7 Sistemi composti: prodotto tensoriale di spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

IV.7.1 Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

IV.8 Stati puri e miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

IV.8.1 Manifestazioni del carattere statistico della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . 98

IV.8.2 Stati puri, miscele statistiche, operatore statistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

IV.8.3 Sistemi composti e miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

IV.8.4 Distinzione di stati puri e miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

IV.9 Misura in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

IV.9.1 Misure non ripetibili e misure ripetibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

IV.9.2 Misure fortemente ripetibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

IV.9.3 Misure su miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Sommario

IV.9.4 Commutazione temporale e algebrica di osservabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

IV.10 La notazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

IV.10.1 Bra, ket e prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

IV.10.2 Operatori lineari in notazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

IV.10.3 Il problema dellaggiunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

V Lequazione di Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

V.1 Particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

V.1.1 Determinazione degli stati stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

V.1.2 Stati stazionari in rappresentazione di Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

V.2 Operatore di inversione spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

V.2.1 Il teorema di degenerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

V.2.2 Loperatore di inversione spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

V.3 Caratteristiche delle soluzioni dellequazione di Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

V.3.1 Caratteristiche generali delle autofunzioni donda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

V.3.2 Autovalori discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

V.3.3 Autovalori continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

V.3.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

V.3.5 Altre considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

V.4 Buche discontinue di potenziale: un esercizio notevole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

V.4.1 Buche discontinue di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

V.4.2 Buca rettangolare: stati legati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

V.4.3 Importanza delle condizioni al contorno: un altro problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

V.4.4 Buca rettangolare: autostati impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

V.5 Eetto tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

V.5.1 Barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

V.6 Lequazione tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

V.6.1 Corrente di probabilit ed equazione di continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

V.6.2 Potenziali centrali esplodenti nellorigine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

V.6.3 Potenziali centrali a grandi distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Sommario

VI Loscillatore armonico unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

VI.1 Caratteristiche dello spettro dellenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141VI.1.1 Positivit degli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

VI.1.2 Energia dello stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

VI.2 Livelli energetici delloscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143VI.2.1 Operatori di discesa e di salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

VI.2.2 Loscillatore armonico in rappresentazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

VI.2.3 Autostati delloscillatore armonico in rappresentazione di Schrdinger . . . . . . . . . 145

VII Momento angolare e simmetrie in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

VII.1 Il momento angolare e la sua diagonalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147VII.1.1 Definizione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

VII.1.2 Diagonalizzazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

VII.1.3 Base standard e rappresentazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

VII.2 Il momento angolare orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153VII.2.1 Il momento angolare in rappresentazione di Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

VII.2.2 Sferiche armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

VII.3 Le simmetrie in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157VII.3.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

VII.3.2 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

VII.3.3 Il gruppo di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

VII.4 Il teorema di Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160VII.4.1 Enunciato del teorema di Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

VII.4.2 Dimostrazione del teorema di Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

VII.4.3 Operatori antilineari e antiunitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

VII.4.4 Caso unitario e caso antiunitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

VII.4.5 Il teorema di Bargmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

VII.5 Il gruppo delle rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167VII.5.1 Caratteristiche principali del gruppo SO (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

VII.5.2 Rappresentazione unitaria di SO (3) e momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

VII.5.3 Osservabili scalari e vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

VII.6 Spin 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

VII.7 Composizione dei momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Sommario

VII.7.1 Il problema della composizione dei momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

VII.7.2 Coecienti di Clebsch e Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

VII.8 Operatori tensoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187VII.8.1 Ancora su rotazioni e momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

VII.8.2 Tensori cartesiani, tensori irriducibili e tensori sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

VII.8.3 Prodotto di tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

VII.8.4 Il teorema di Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

VII.8.5 Operatori vettoriali e teorema di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

VIII Moto in campo centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

VIII.1 Particella in campo centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197VIII.1.1 Hamiltoniana per una particella in campo centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

VIII.1.2 Diagonalizzazione della hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

VIII.2 Campo coulombiano: atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201VIII.2.1 Il vettore di Runge-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

VIII.2.2 Autovalori discreti dellenergia dellatomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

VIII.2.3 Risoluzione del problema in rappresentazione di Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

VIII.3 Sistemi di due particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211VIII.3.1 Separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

VIII.3.2 Hamiltoniana a variabili separate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

VIII.3.3 Autovalori e autovettori dellhamiltoniana nel problema dei due corpi . . . . . . . . . 214

IX Metodi di approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

IX.1 Teoria delle perturbazioni ai livelli energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217IX.1.1 Caso non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

IX.1.2 Caso degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

IX.1.3 Eetto Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

IX.2 Teoria delle perturbazioni per levoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221IX.2.1 Sviluppo delloperatore di evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

IX.2.2 Metodo della variazione delle costanti arbitrarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

IX.2.3 Probabilit di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

IX.2.4 Regola doro di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

IX.3 Teoria semiclassica della radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231IX.3.1 Atomo in campo di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Sommario

IX.3.2 Teoria del corpo nero di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

IX.4 Metodo variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235IX.4.1 Una propriet dello stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

IX.4.2 Il teorema di Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

IX.4.3 Teorema del viriale e livello fondamentale dellelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

IX.5 Approssimazione semiclassica (WKB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240IX.5.1 Limite classico della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

IX.5.2 La funzione donda nellapprossimazione semiclassica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

IX.5.3 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

IX.5.4 Regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

IX.5.5 Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Prefazione

Scrivere un testo rigoroso di meccanica quantistica il sogno che coltivo da quando ho iniziato la stesura di questiappunti del corso di Istituzioni di Fisica Teorica, tenuto dal professor Pietro Menotti agli studenti del terzo annodel Corso di Laurea in Fisica dellUniversit di Pisa. Questo la dice lunga sia sulla qualit matematica di questenote, sia sulla mia pignoleria e sulla mia personale aspirazione alla matematizzazione sistematica della fisica.Si soliti leggere nelle introduzioni dei testi di Landau e Lifsits che la fisica teorica prevalentemente costruitasu risultati non matematicamente rigorosi, per cui credo che a nessuno dispiacer lutilizzo sconsiderato diconvergenze, scambi di limiti, integrali e serie che qui si fa.Tuttavia, nel corso dei miei brevi studi ho maturato la convinzione che un sistema di risultati basati su speculazionifisiche non corroborate da dimostrazioni corrette in tutti i dettagli, una pericolante costruzione sulla sabbia.Uno studente del terzo anno , infatti, mathematically oriented, proviene dai corsi di Geometria e Analisi, masoprattutto dal corso di Meccanica Analitica, perci abituato a trarre la sicurezza di quanto sa da rigorose(spesso tediose) e ineccepibili dimostrazioni, destinate a sparire nel corso del suo terzo anno di studi.Daltra parte un corso di meccanica quantistica in cui le pecche matematiche siano trascurabili, richiede unapreparazione impensabile al terzo anno, occorrerebbe almeno la conoscenza della teoria degli operatori neglispazi di Hilbert (compreso il teorema spettrale), senza contare che una qualche familiarit con rappresentazionie gruppi consentirebbe di allargare non poco il respiro della trattazione.Allora, limpostazione di questi appunti , nella scia del corso di Menotti, la soluzione a questo problema, o,quanto meno, un buon compromesso. Il rigore matematico non raggiunto, tuttavia il lettore sempre messo inguardia ogniqualvolta si eettua un passaggio scorretto. La materia , cio, presentata in modo critico, cosicchlo studente certo di non essere raggirato. Il lettore curioso deve essere rassicurato dal fatto che esiste unateoria superiore (esposta nel corso di Meccanica Quantistica, i cui appunti raccoglier nel quaderno Trattazionematematica della meccanica quantistica) in grado di evitare tutti i problemi che si incontrano a questo livello.Quello che mi piacerebbe aver comunicato con questi appunti la dicolt e - allo stesso tempo - il fascino dellostudio della meccanica quantistica. Ci che ritengo sia laspetto pi ammaliante della meccanica quantistica il suo tendere a creare una struttura matematicamente profonda tramite la quale arrivare alla comprensione delvero legame tra la realt e la fisica (intesa come rappresentazione della realt stessa). Basta pensare a comevengono sviluppati in ambito quantistico i concetti (che nelle teorie precedenti erano quasi metafisici) di misurae simmetria.

Due parole su queste pagine: anzitutto non si tratta di una ricopiatura degli appunti presi a lezione, ma di unaloro rielaborazione, basata sui miei gusti e le mie esigenze e su un certo numero di testi cui ho fatto riferimentoe che sono riportati nella bibliografia. Tuttavia, in questa sede, mi piace ricodarne uno, Lezioni di MeccanicaQuantistica, di Luigi E. Picasso. Studiando sui testi del professor Picasso ho attraversato (indenne!) i corsi diFisica I e II e spero di poter fare altrettanto con questo. Quello che posso dire che i modi di questo autoresono assolutamente in linea con la mia idea di fisica (sarebbe forse meglio dire che questa mia idea deriva dallaassidua frequentazione dei suoi libri): mai un imbroglio e rigore per quanto possibile.

Il materiale qui presentato quello del corso del professor Menotti (pi o meno) e molti sono gli appunti cheprovengono dalle esercitazioni tenute dal dottor Emilio dEmilio.

Prefazione

Il primo capitolo un ricettacolo di concetti ereditati dal corso di Fisica II, con qualche sviluppo, in vista dellatrattazione ala Planck del corpo nero, che viene svolta nel secondo capitolo, sulla linea del testo di Becker.Il terzo capitolo presenta una breve rassegna dei principali sviluppi della Old Quantum Mechanics e si colloca inparallelo al secondo capitolo.Nel quarto capitolo viene sviluppato lintero formalismo della meccanica quantistica: spazio di Hilbert come spaziodegli stati, osservabili come operatori autoaggiunti, regole canoniche di commutazione, evoluzione temporale,spazi prodotto, sistemi statistici e, infine, un accenno ai problemi di teoria della misura nella fisica quantistica.Nel quinto capitolo ci si occupa in dettaglio (ma, ancora, in modo per lo pi qualitativo e assai poco matematico)dellequazione di Schrdinger unidimensionale.Dopo loscillatore armonico, la volta del momento angolare. Qui si prende lo spunto per introdurre il concettodi simmetria ed invarianza in meccanica quantistica.In seguito sono trattati i campi centrali. Latomo didrogeno studiato tramite il vettore di Lenz: qui, comesempre quando possibile, tutti i calcoli sono debitamente sviluppati ( un bel guazzabuglio di commutatori).Successivamente si trattano i metodi di approssimazione, essenziali per introdurre linterazione tra materia eradiazione e la fisica atomica. Infine, ci si occupa di particelle identiche, principio di Pauli, bosoni e fermioni.

Posso concludere dicendo che, di sicuro, studiare questa materia una gran fatica e forse senza le canzoni diFrank Sinatra impossibile non farsi prendere dallo sconforto. Daltra parte, per andare avanti c bisogno dibuoni compagni di studio e amici: a questo proposito mi va di ringraziare Giacomo, Antonio, Giacomo, Boris,Leonardo, Walter, Matteo e il sig. Ivan.Un doveroso grazie va anche a Giuseppe ed Elia coi quali ho discusso tanti argomenti controversi qui riportati.

Guasticce, Primavera 2001Alberto Maggi.

Capitolo I

Onde elettromagnetiche

In avvio della trattazione del corso riteniamo utile riportare il seguente capitolo allo scopo di fornireun breve sommario sulle onde elettromagnetiche. Molte delle considerazioni che faremo in questasede saranno riutilizzate nella trattazione semiclassica (ala Planck) del corpo nero.

I.1 Le equazioni di Maxwell e lenergia del campo elettromagnetico

I.1.1 Le equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell rappresentano la base dellintero edificio dellelettromagnetismo. Essepossono essere ottenute dallanalisi sperimentale oppure dedotte dal principio di relativit diEinstein (si veda Luigi E. Picasso, Lezioni di Fisica Generale II, ETS). Nel sistema di unitdi misura di Gau hanno la forma seguente

divE = 4

curlE+1

c

B

t= 0

divB = 0

curlB =4

cJ+

1

c

E

t

(M)

I.1.2 Energia del campo elettromagnetico

Terzo principioed energiadel campo

Il terzo principio della dinamica newtoniana non pu valere in generale: se due corpi A eB interagiscono di modo che B senta le variazioni di A istantaneamente e viceversa, si devesupporre lesistenza di un segnale che si propaghi a velocit infinita. Siccome questo non possibile, lo scambio di quantit di moto ed energia in termini newtoniani ha luogo solo nel casodi interazioni di contatto. Ci da corpo alla nozione di campo. Ogni particella agisce percontatto con il campo, trasferondogli energia e quantit di moto, che viene poi - in parteo del tutto - ceduta (dopo un tempo finito) allaltra particella. Il terzo principio, rivisitatoin termini relativistici, sancisce allora la conservazione dellenergia di un sistema isolato, nelquale, oltre alle particelle, dovranno essere per inclusi i campi.

Definizionedi energia

elettromagnetica

Si viene ora a creare la necessit di definire in modo consistente lenergia che deve essereassociata al campo elettromagnetico (E,B). Per far questo, supporremo intanto di essere nelvuoto.Il sistema che dovremo considerare sar costituito allora da cariche elettriche e correnti, daisupporti meccanici (fili conduttori, reticoli, . . .) e dal campo elettromagnetico.Definiamo U energia del campo elettromagnetico, corrispondentemente a una certaconfigurazione, il lavoro che si deve fare sulle sorgenti dei campi (le cariche e le correnti)per ottenere quella prefissata configurazione, cio il lavoro sul sistema sorgenti pi supportimeccanici diminuito dellaumento dellenergia (cinetica o interna, eetto Joule) dei supportimeccanici stessi. In altre parole, abbiamo

U = Lext Eint,

I Onde elettromagnetiche

dove Lext il lavoro fatto dallesterno sulle sorgenti (pi i loro supporti), mentre Eint

laumento dellenergia interna di supporti meccanici e sorgenti registrato nelloperazione(ad esempio laumento di energia cinetica degli elettroni per stabilire una certa corrente).Daltra parte, sul sistema sorgenti pi supporti agiscono le forze esterne (che stanno creandola configurazione finale) e le forze elettromagnetiche che, in senso newtoniano, sarebbero forzeinterne. Se indichiamo con Lem il lavoro di queste ultime abbiamo, dal teorema delle forzevive generalizzato,

Eint = Lext + Lem

la qual cosa implica

U = Lemcio lenergia del campo definita come lopposto del lavoro fatto sul sistema meccanico dalleforze elettromagnetiche.

Ora, il lavoro fatto dal campo sulle cariche nellunit di tempo

W em (t) =

ZE u dV =

ZE J dV

da cuidU

dt=

ZE J dV

Se consideriamo ora un sistema cariche pi supporti isolato, abbiamo, ancora dal teoremadelle forze vive, che

dEint

dt=W em = dU

dt

da cuid

dt

Eint + U

= 0

Lequazione scritta ci dice che il sistema sorgenti pi supporti pi campo ha energia costantese isolato. Questo implica che la definizione adottata di U soddisfa le propriet richieste nelprimo paragrafo.

Notiamo che se invece il sistema cariche pi supporti soggetto a forze esterne a potenza nonnulla W ext, ricaviamo

dEint

dt= W em +W ext

d

dt

Eint + U

= W ext

U come funzionedi stato

Anch U abbia tutte le caratteristiche di unenergia potenziale, dobbiamo verificare che una funzione di stato. A tale scopo moltiplichiamo la quarta e la seconda delle (M) per E eB, rispettivamente, e sottraiamole:

E curlBB curlE = 4cE J+ 1

c

EE

t+BB

t

dallidentit vettoriale

E curlBB curlE = div (EB)concludiamo poi che

E J = 18

t

E2 +B2

+

c

4div (EB)

Dal teorema di Green, supponendo che i campi si annullino allinfinito, e perci abbiano flussonullo, otteniamo che

U =1

8

Z E2 +B2

dV.

I.1 Le equazioni di Maxwell e lenergia del campo elettromagnetico

I.1.3 Il teorema di Poynting

Bilancio localedellenergiao teorema

di Poynting

Definiamo densit di energia del campo la quantit

u (x, t) + 18

E2 +B2

e vettore di Poynting

S + c4(EB)

allora troviamo

E J = ut+ divS

che rappresenta il bilancio locale dellenergia o teorema di Poynting.

Interpretazionedel teoremadi Poynting

Per capire la portata del teorema di Poynting, immaginiamo di dividere lo spazio in duezone di volume V1 e V2, ordinatamente. Il sistema complessivo isolato e perci, in esso, siconserva lenergia, abbiamo dunque

d

dt

U1 +E

int1

= d

dt

U2 +E

int2

Vogliamo caraterizzare i due membri in termini del vettore di Poynting. Integriamo nel volumeVi, i J2, i due membri del teorema di Poynting:

ZVi

E J = dUidt

+Vi (S)

dove si usato il teorema di Green e Vi indica il flusso uscente dalla superficie che delimitaVi. Ora, Z

Vi

E J =W emiperci, se conW exti indichiamo la potenza esterna sul sistema cariche pi campi in Vi, abbiamoZ

Vi

E J +W exti =dEint

dt

da cui

ddt

Ui +E

inti

= Vi (S)W exti

Ne deriva ched

dt

Ui +E

inti

=W exti Vi (S) ,

dunque, preso un sistema compreso nel volume Vi, laumento di energia totale (di cariche pisupporti pi campo) per unit di tempo uguale alla somma della potenza esercitata dalleforze esterne sul sistema e del flusso entrante in Vi del vettore di Poynting.Lequazione si riduce alla

d

dt

U +Eint

=W ext

trovata sopra per V che va a comprendere tutto lo spazio fisico.Infine, sia W ext = 0, allora si ha

ddt

U1 +E

int1

= V1 (S) = V2 (S) =

d

dt

U2 +E

int2

cio, per un sistema V1 V2 sul quale non agiscano forze esterne, la diminuzione nellunitadi tempo dellenergia totale contenuta in V1 data dal flusso uscente dal volume V1 stessodel vettore di Poynting; questo flusso coincide con quello entrante nel restante volume V2 edeguaglia lincremento dellenergia totale in tale volume V2.

S come densitdi correntedi energia

Si noti come il teorema di Poynting in assenza di sorgenti

0 =u

t+ divS

I Onde elettromagnetiche

stabilisca un parallelo tra (,J) e (u,S). S dunque una densit di corrente di energia.

I.1.4 La quantit di moto del campo elettromagnetico

Durante la costruzione di una determinata configurazione, bisogna fornire al sistema una certaquantit di moto. Questa, sottratta alla quantit di moto che viene trasformata in momentodel sistema meccanico (sorgenti pi supporti), si definisce quantit di moto del campoelettromagnetico.Ancora, la quantit di moto del sistema cariche pi supporti la somma dellimpulsoceduto dalle forze esterne e dellimpulso dovuto alle forze elettromagnetiche (newtonianamenteinterne). Come per lenergia, lultimo dovrebbe essere nullo se valesse il terzo principio nellaforma classica. Abbiamo perci, con ovvia notazione,

Pmec = J ext + J emP = J ext Pmec

dalle quali si ricava

P = J em = Z t

dt0Z

E+1

cJB

dV

sostituendo a e J le espressioni che si ricavano dalle equazioni di Maxwell, si ottiene (con unconto decisamente laborioso)

P =1

4c

ZEB dV = 1

c2

ZS dV

La definizione data ben posta, infatti, se sul sistema cariche pi supporti pi campo nonagiscono forze esterne si ha

dPmec

dt= Fem =

Z E+

1

cJB

dV = dP

dt

da cuid

dt(Pmec +P) = 0.

I.2 Lequazione delle onde

Equazionidi Maxwellnel vuoto

In questa sezione ci occuperemo del problema della propagazione del campo elettromagnetico(e della sua energia) nel vuoto. In una zona in cui non siano presenti sorgenti le equazioni diMaxwell, (M), divengono

divE = 0

curlE+1

c

B

t= 0

divB = 0

curlB 1c

E

t= 0

(M)

e perci rappresentano un sistema lineare omogeneo di equazioni dierenziali alle derivateparziali. Il problema principale connesso alle equazioni scritte quello di risalire alla soluzionelegata alle condizioni imposte dalla presenza di certe sorgenti nella zona circostante a quellain cui valgono le (M).Noi ci limiteremo ad ottenere la soluzione generale in alcuni semplici casi e a specificare ilmodo per ottenere la soluzione poste le condizioni al contorno.

I.2.1 Potenziali elettrodinamici

Potenzialielettrodinamici

Un modo compatto per risolvere le (M) introdurre i potenziali elettrodinamici perdisaccopiare le equazioni. Siccome il campo B solenoidale (cio a divergenza nulla) si potrscrivere

B = curlA

I.2 Lequazione delle onde

essendo div curl = 0. Sostituiamo nella seconda equazione di Maxwell, troviamocurlE+

1

ccurl

A

t= 0

da cui il vettore

E+1

c

A

t

irrotazionale e perci pu essere scritto, istante per istante, come gradiente di una funzionescalare, (x, t), cio

grad = E+1c

A

t.

Introdotti i potenziali (,A) i campi divengono(E = grad1

c

A

tB = curlA

che, automaticamente, risolveranno la seconda e la terza delle (M). Per ottenere ladeterminazione completa di (,A) dovremo perci ricorrere alle equazioni di Maxwell checontengono le sorgenti. Dunque, ricordando che

curl curlG (x, t) = G (x, t) + grad divGnel vuoto otteniamo

+

tdivA = 4

A 1c22A

t2 grad

divA+

1

c

t

= 4

cJ

Abbiamo cos ridotto le equazioni di Maxwell a un sistema di quattro equazioni indipendenti,ma ancora accopiate.

Trasformazionidi gauge

Daltra parte, siccome il rotore del gradiente nullo A definito a meno di aggiunta delgradiente di una funzione scalare, cio B invariante rispetto alla trasformazione

A 7 A0 = A+ grade, se vogliamo che E sia ancora definito come sopra dobbiamo porre

7 0 = 1c

t

Linsieme delle due ultime equazioni scritte si dice trasformazione di gauge.

Gauge diLorentz

Larbitrariet di suggerisce di scegliere una gauge, se esiste, in grado di disacoppiare leequazioni per i potenziali, cio tale che

divA+1

c

t= 0

Anch i potenziali (,A) soddisfino la condizione di cui sopra, dobbiamo scegliere tale che

A = A0 + grad

= 0 1c

t

0 = divA0 ++1

c

0

t 1c22

t2

da cui

1c22

t2=

divA0 +

1

c

0

t

che, come vedremo, essendo noto il secondo membro, ammette sempre soluzione. Latrasformazione trovata in questo modo si dice gauge di Lorentz. In definitiva, sotto gauge

I Onde elettromagnetiche

di Lorentz, divA+1

c

t= 0, le equazioni di Maxwell divengono

1c22

t2= 4

A 1c

2A

t2= 4

cJ

Gauge diCoulomb

La gauge che ci interessa nella soluzione delle (M) per quella di Coulomb che impone

divA = 0

Essa si ottiene ponendo

A = A0 + grad0 = divA0 +

che ha sempre soluzione (si tratta dellequazione di Laplace) nota la divA0. Sotto questagauge le equazioni di Maxwell divengono

= 4A 1

c22A

t2 grad

1

c

t

= 4

cJ

lequazione per quella dellelettrostatica, perci

(x, t) =

Z (x0, t)kx x0k d

3x0

da cui in assenza di cariche, = 0 e J = 0, si ha, equivalentemente alle (M) , = 0A 1c22A

t2= 0

, divA = 0

cio A soddisfa allequazione delle onde.La discussione delle onde nel vuoto dunque ridotta alla risoluzione del sistema disaccoppaiato

A = 0B = curlA

E = 1c

A

t

dove abbiamo introdotto loperatore lineare

= 1c2

2

t2

che si dice dalembertiano.

Gauge ristretta Nelle gauge esaminate sommavamo ad A la funzione scalare di modo che, nella gauge diLorentz, fosse

= divA0 +

1

c

0

t

,

mentre, nella gauge di Coulomb,

= divA0Siccome ambedue le equazioni per sono lineari, resta definito a meno dellaggiunta di 0

soluzione dellequazione omogenea associata, = 0, nella gauge di Lorentz, e = 0, nellagauge coulombiana. Laggiunuta di 0 prende il nome di gauge ristretta.

I.2.2 Lequazione di DAlembert

Lequazione per A trovata del tipo

G = 0 (DA)ed lequazione delle onde di DAlembert. Occupiamoci della soluzione di tale equazione

I.2 Lequazione delle onde

Onde piane Il caso pi semplice di propagazione ondosa quello piano. In questo caso, ciascunacomponente del campo G dipende da una sola variabile spaziale. Se indichiamo con g (x, t)la componente del campo che andiamo a considerare, troviamo che su ogni piano x = const ilcampo costante, ci giustifica il nome di onda piana che si d a g (x, t).Risolveremo lequazione di DAlembert in due modi. Abbiamo

2g

x2 1c22g

t2= 0

ed eettuiamo il seguente cambio di variabile + x ct + x+ ct

allora, con abuso di notazione

g

x(, ) =

g

+g

,

1

c

g

t(, ) = g

+g

da cui ricaviamo2g

x2(, ) =

2g

2+ 2

2g

+2g

2,

1

c22g

t2(, ) =

2g

2 2

2g

+2g

2

sicch (DA) diventa

2g

= 0

perci f/ non dipende da e f/ non dipende da , ne deriva che la soluzione generale

g (x, t) = g+ () + g () = g+ (x ct) + g (x+ ct)dove g+ e g sono funzioni arbitrarie di una variabile.Si ha perci che, nel caso unidimensionale, la soluzione dellequazione delle onde lasovrapposizione di due funzioni g+ e g. La prima ha valore costante nei punti in xct = constperci trasla con velocit c lungo il verso positivo delle x. Viceversa la g trasla con velocitc nel senso negativo dellasse x.

Dati iniziali su R Siano ora fissati i dati iniziali (g (x, 0) = a (x)

g

t(x, 0) = b (x)

da cui otteniamo (g+ (x) + g (x) = a (x)

chg0+ (x) + g

0 (x)

i= b (x)

integrando la seconda troviamo(g+ (x) + g (x) = a (x)

g (x) g+ (x) = 1c

R xx0b () d

allora g+ (x) =

1

2a (x) 1

2c

Z xx0

b () d

g (x) =1

2a (x) +

1

2c

Z xx0

b () db (x)

da cui la soluzione generale dellequazione unidimensionale delle onde vale

g (x, t) =1

2[a (x ct) + a (x+ ct)] + 1

2c

Z x+ctxct

b () d

Soluzionemediante

trasformatadi Fourier

Purtroppo la tecnica sviluppata nel caso unidmensionale non pu essere trasferita nel caso

I Onde elettromagnetiche

tridimensionale. Perci, vediamo un altro modo di procedere. Cerchiamo una soluzione avariabili separate

g (x, t) = X (x)T (t)

allora2g

x2= X 00 (x)T (t)

2g

t2= X (x) T (t)

da cui lequazione dierenziale si riduce

X 00 (x)T (t) 1c2X (x) T (t) = 0.

Ne ricaviamo che

X 00

X(x) =

1

c2T

T(t)

e perci i due membri sono separatamente costanti (essendo funzioni di variabili diverse),dunque, ricaviamo

X 00 = k2XT = 2T

dove k R indicizza le soluzioni e +q(ck)

2 (la restrinzione imposta, la costante di

separazione reale negativa, garantisce la limitatezza delle soluzioni). Troviamo X = eikx,T = eit. Al variare di k R produciamo le soluzioni

gk (x, t) = A (k) eikxeit +B (k) eikxeit

e ritroviamo, grazie alla fattorizzazione degli integrali, soluzioni funzioni xct. La pi generalesoluzione , infine,

g (x, t) =

ZR

hA (k) ei(kx+t) +B (k) ei(kxt)

i dk2

Imponiamo i dati iniziali

g (x, 0) =

ZR[A (k) +B (k)] eikx

dk

2= a (x)

g

t(x, 0) =

ZRc |k| [A (k)B (k)] eikx dk

2= b (x)

le due equazioni scritte sono del tipoZc (k) eikx

dk

2= f (x)

moltiplichiamo scalarmente (nel prodotto scalare di L2) ambo i membri per eilxZRdx eilx

ZRc (k) eikx

dk

2=

ZRdx eilxf (x)

scambiando lordine delle integrazioni a primo membro abbiamoZR

dk

2c (k)

ZRei(kl)x dx =

ZR

dk

2c (k) 20 (k l) = c (l)

sicch, si conclude,

c (k) =

ZRdx eikxf (x)

Si ottiene, infine, il sistema

A (k) +B (k) =

ZRdx eikxa (x)

I.2 Lequazione delle onde

c |k| [A (k)B (k)] =ZRdx eikxb (x)

da cui si perviene alla soluzione.

Soluzionenel caso

tridimensionale

Sia ora g (x, t) una componente del vattore donda G. Separiamo nuovamente le variabili

g (x, t) = X (x)Y (y)Z (z)T (t)

troviamo

XY ZT

X 00

X+Y 00

Y+Z 00

Z 1c2T 00

T

= 0

da cui, procedendo come prima,

T 00 = 2TX 00 = k21XY 00 = k22YZ00 = k23Z

dove k = (k1, k2, k3) R3 e =q(c kkk)2. La soluzione allora del tipo

gk (x, t) = A (k) ei(kxt) +B (k) ei(kx+t)

la cui pi generale sovrapposizione

g (x, t) =

ZR3

hA (k) ei(kxt) +B (k) ei(kx+t)

i d3k(2)

3

Ora, imponiamo le condizioni al contorno(g (x, 0) = a (x)

g

t(x, 0) = b (x)

e procediamo come prima

g (x, 0) =

ZR3[A (k) +B (k)] eikx

d3k

(2)3= a (x)

g

t(x, 0) =

ZR3c kkk [A (k)B (k)] eikx d

3k

(2)3 = b (x)

Le equazioni scritte sono del tipoZR3c (k) eikx

d3k

(2)3 = f (x)

moltiplicando scalarmente (nel senso L2)ZR3d3x eilx

ZR3c (k) eikx

d3k

(2)3 =

ZR3eilxf (x) d3x

invertendo le integrazioni ZR3

d3k

(2)3 c (k)

ZR3ei(kl)x d3x

consideriamo lultimo integrale3Yi=1

ZRei(kili)xi dxi = (2)

33Yi=1

0 (ki li) = (2)3 (3)0 (k l)

perci

c (l) =

ZR3eilxf (x) d3x,

infine,

A (k) +B (k) =

ZR3eikxa (x) d3x

I Onde elettromagnetiche

c kkk [A (k)B (k)] =ZR3eikxb (x) d3x

I.2.3 Onde elettromagnetiche piane

Consideriamo unonda elettromagnetica piana diretta lungo lasse delle x, allora

A (x, t) = (0, Ay (x, t) , Az (x, t))

per la linearit dellequazione di DAlembert, possiamo considerare separatamente le soluzioni

(0, Ay (x, t) , 0) , (0, 0, Az (x, t))

che si dicono polarizzate linearmente. Consideriamo ad esempio la prima. Abbiamo, perlonda progressiva,

A (x, t) = (0, Ay (x ct) , Az (x ct))da cui

E (x, t) =0, A0y (x ct) , A0z (x ct)

la direzione di E, il vettore j, individua la polarizzazione dellonda. Passiamo a considerare ilcampo magnetico. Abbiamo

B (x, t) = curlA =0,A0z (x ct) , A0y (x ct)

perci la terna (E,B, i) ortogonale e destrorsa, si noti che i la direzione (con verso)della propagazione dellonda. Si noti, ancora, come i moduli di E e B coincidano. Se ne ricavache il vettore di Poynting ha il verso della propagazione delle onde,

S =c

4E2i = uc

inoltre la quantit di moto dellonda vale

P =1

c2

ZS dV =

c

c2U

e, per i moduli, si ha U = cP .

I.3 Onde in una cavit cubica

I.3.1 Campo elettromagnetico in una cavit

Forma delpotenzialevettore inuna cavit

Consideriamo una cavit cubica, di spigolo, a, le cui pareti siano perfettamente riflettenti.Fissiamo gli assi xyz paralleli agli spigoli e sia lorigine coincidente con un vertice del cubo. Ilcampo A soddisfa allequazione di DAlembert. Procediamo per separazione di variabili

A (t,x) = a (x)T (t)

allora

A (t,x) = T (t)4a (x) 1c2T (t)a (x) = 0

da cui, se a (x) + (a1, a2, a3) (x),

T (t)4ai (x) 1c2T (t) ai (x) = 0 4ai

ai(x) =

1

c2T

T(t)

abbiamo allora, posto k R,1

c2T

T= k2 T = 2T ; 4a (x) + k2a (x) = 0

dove +q(ck)2. Il vettore a risolve perci lequazione di Helmholtz. Ne consegue che

ciascuna componente di a sovrapposizione (come serie o integrale di Fourier) di onde pianedel tipo eikx, con |k|2 = k2.

Campoelettromagnetico

I campi E e B saranno dati dalla sovrapposizione delle onde piane aventi potenziale

I.3 Onde in una cavit cubica

T (t) eikxe. Abbiamo

E = 1c

A

t= 1

cT eikxe

per calcolare B, teniamo conto del fatto che

curl (f (x)v) = grad (f (x)) vessendo

gradeikx

=

ckeikx

troviamo

B = curlA =

cT (t) eikx

k e

Condizionial contorno

Sulle soluzioni trovate dobbiamo imporre le condizioni al contorno. Considerando che lepareti sono perfettamente conduttrici, ricaviamo che la componente di E tangente alle pareti(sulle pareti stesse) nulla. Imponendo la condizione sulle pareti x = 0, y = 0 e z = 0 allafunzione f (x) = eikx otteniamo

fx (x) = cos k1x sin k2y sin k3z;

fy (x) = sin k1x cos k2y sin k3z;

fz (x) = sin k1x sin k2y cos k3z;

con3Xi=1

k2i = |k|2

Imponiamo ora le condizioni al contorno sulle pareti x = L, y = L, z = L, otteniamo, perogni terna n + (n1, n2, n3) di numeri interi positivi,

ki = ni

a

perci, n12a

2+n22a

2+n32a

2=

2

c2

Ne deriva allora che la parte spaziale del campo B la funzione g (x) data da

gx (x) = sin k1x cos k2y cos k3z;

gy (x) = cos k1x sin k2y cos k3z;

gz (x) = cos k1x cos k2y sin k3z.

Infine, abbiamo

E =XnN3+

1cTn (t) fn (x) , B =

XnN3+

ncTn (t)gn (x)

Ad ogni terna n + (n1, n2, n3) corrispondono due modi normali di vibrazione a frequenza ,questo perch, fissato k i vettori campo elettrico indipendenti possibili sono due, nelle duedirezioni (indipendenti) ortogonali a k.

I.3.2 Equivalenza del campo elettromagnetico con un sistema di oscillatori lineari

Lagrangianadel campo

elettromagnetico

La lagrangiana del campo elettromagnetico allinterno della cavit

L =

ZV

L d3x = 18

ZV

E2 B2 d3x

I set {fn} e {gn} sono ortogonali (in L2!). Come noto si haZ a0

sinn1x

acos

n01xa

dx = 0

I Onde elettromagneticheZ a0

cosn1x

acos

n01xa

dx =

Z a0

sinn1x

asin

n01xa

dx =1

2an1,n01

PerciZV

fn fn0 d3x =ZV

cosn1x

acos

n01xa

sinn2y

asin

n02ya

sinn3z

asin

n03za

d3x+ . . . =

=

Z a0

cosn1x

acos

n01xa

dx

Z a0

sinn2y

asin

n02ya

dy

Z a0

sinn3z

asin

n03za

dz + . . . =

=

1

2a

3n1n01n2n02n3n03 + . . . =

V

8n,n0 + . . . =

3

8V n,n0

Si ha quindi ZV

E2 d3x =Xn

Xn0

Tn (t) Tn0 (t)

c2

Zfn fn0 d3x =3

8

V

c2

Xn

T 2n (t)

e, analogamente, ZV

B2 d3x =3

8

V

c2

Xn

2nT2n (t)

La lagrangiana del campo elettromagnetico allora

L =3

32

V

c2

Xn

1

2T 2n (t) 2nT 2n (t)

A questo punto basta un semplice cambio di scala, Tn qn, per avere

L =Xn

1

2q2n (t)

1

22nq

2n

Ne deriva il seguente

Teorema I.1 Il campo elettromagnetico in una cavit perfettamente riflettente dato dalla sovrapposizionedi uninfinit numerabile di modi normali, ciascuno dei quali equivalente a un oscillatorearmonico lineare di massa unitaria che oscilla alla frequenza del modo normale detto. Ilcampo elettromagnetico perci equivalente a un sistema di oscillatori armonici.

I.3.3 Cavit termalizzata e legge di Rayleigh-Jeans

Corpo nero Visto che un corpo nero dato da una cavit termalizzata alla temperatura T , abbiamoche la densit volumica di energia media u (, T ) contenuta nella cavit e dovuta ai modinormali con frequenze tra e +d, pari allenergia media di un numero N () di oscillatoriarmonici lineari allequilibrio termico a temperatura T , divisa per il volume, dove N () ilnumero di modi normali del campo elettromagnetico tra e + d.Infatti, u (, T ) tale che

u (T ) =

1

8

E2 +B2

=

Zu (, T ) d

ma1

8

E2 +B2

=Xn

1

2q2n (t) +

1

22nq

2n

e

u =1

V

Xn

1

2q2n (t) +

1

22nq

2n

dunque

u (T ) = hui = 1V

Xn

1

2q2n (t) +

1

22nq

2n

e

u (, T ) =1

V

n(+d)Xn()

1

2q2n (t) +

1

22nq

2n

=

N ()

VkT

visto che lenergia media di un oscillatore armonico (dalla legge di equipartizione) pari a kT .

Calcolo delnumero di

modi normalitra e + dv

Calcoliamo N (). Ogni terna (n1, n2, n3) fornisce due oscillazioni stazionarie nella cavit afrequenza tale che n1

2a

2+n22a

2+n32a

2=

2

c2.

Se rappresentiamo tali terne come punti di un reticolo in tre dimensioni, si ha che tutte leterne per cui 0 sono quelle contenute nellottante positivo e in una sfera di raggio

r =2a0c

Siccome la densit dei punti reticolari 1, i punti considerati sono in numero pari a

1

8

4

3

8a330c3

=4a3303c3

Ne consegue che il numero dei punti del reticolo corrispondente alle oscillazioni di frequenzacompresa tra e + d dato da

12a3203c3

Il numero di oscillazioni proprie contenute nellintervallo , + d pertanto

N () =8a32

c3

Legge diRayleigh-Jeans

In definitiva, dunque

u (, T ) =8V 2

c3kT

V=82

c3kT

che la legge di Rayleigh-Jeans.Nel prossimo capitolo ci dedicheremo esclusivamente al corpo nero e ricaveremo nuovamente,tra laltro, lequivalenza di modi normali ed oscillatori e la legge di Rayleigh-Jeans. Seguiremounaltra via (pi vicina a quella che fu di Planck) in modo da evitare di far uso della lagrangianadel campo elettromagnetico.

Capitolo II

Teoria alla Planck della radiazione nera

II.1 Termodinamica della radiazione nera

II.1.1 Densit spettrale di energia

Corpo nero Consideriamo una cavit completamente vuota le cui pareti siano portate e mantenute auna temperatura uniforme T . Si genera, allora, allinterno della cavit, della radiazioneelettromagnetica: allequilibrio le pareti assorbono - nellunit di tempo - una quantit dienergia raggiante pari a quella che emettono.Lo stato della radiazione descritto dalla densit di energia u che pari a

u =1

8

E2 +B2

Daltra parte possibile definire la densit spettrale dellenergia u tale che ud lafrazione della densit di energia del campo elettromagnetico la cui frequenza compresa tra + d. Ne consegue che, ovviamente,

u =

Z +0

u d

Legge diKirchho

La distribuzione di energia spettrale una funzione fondamentale della fisica, perch, comeaerma la legge di Kirchho, universale. Si trova, infatti, basandosi sul solo SecondoPrincipio della Termodinamica, che u dipende unicamente dalla temperatura e non dallaconformazione della cavit o dalla natura delle pareti.

Teorema II.1(legge di

Kirchho )La densit spettrale della radiazione nera, a una determinata frequenza, funzione della solatemperatura.

Dimostrazione Supponiamo di avere due cavit racchiuse da sostanze diverse e aventi forma diversa,entrambe a temperatura T . Per assurdo, in una qualsiasi regione dello spettro le u risultinodiverse. Allora poniamo in contatto le due scatole tramite un filtro agente nelle vicinanzedella frequenza nellintorno della quale le densit sono diverse. In questo modo, senza chesi compia lavoro dallesterno, si ha che una delle cavit perde lenergia che viene acquistatadallaltra. Cos, mentre una si raredda, laltra si riscalda. Si realizza cio uno scambio dicalore spontaneo tra due corpi alla stessa temperatura, il che contraddice il Secondo Principiodella Termodinamica.(c.v.d.)

Abbiamo perci che u dipende, oltre che da , solo dalla temperatura T , sicch ben definitala funzione

u = u (, T )

Ovvio allora che parimenti universale lintegrale di u , u che sar funzione di T :

u = u (T ) .

II Teoria alla Planck della radiazione nera

Si pone il problema di determinare u e u.

II.1.2 Pressione di radiazione

Intensitspecifica

Ammettiamo che la distribuzione della radiazione allinterno della cavit sia isotropa.Cominciamo col calcolare lenergia radiante che esce in secondi da una finestra di areadA entro langolo solido d orientato secondo langolo rispetto alla normale a dA. Si trattadi calcolare il contributo de di energia radiante emessa da tutti gli elementi di volume contenutinel cono di apertura d (con lasse orientato lungo ) e di altezza c (dal momento che lenergiaviene trasportata dalle onde elettromagnetiche alla velocit c). Ciascun elemento di volumedV allinterno del cono emette lenergia u sullangolo solido 4, la frazione che giunge sullafinestra dA perci data da

udV : de = 4 :dAr2

da cui

de = udA4r2

dV = udA cos

4r2dV

Daltra parte dV = r2drd perci lenergia radiante che esce in secondi dalla finestra dA(sotto langolo entro langolo solido ) valeZ c

0

udA cos

4r2r2 dr d = u

c

4dA cos d

Si definisce intensit specifica il fattore

K + u c4

Lenergia S irradiata nellunit di tempo, in un semispazio, dallunit di superficie vale allora

S = K

Z 20

d

Z /20

d cos sin = K

Z /20

d sin 2 = 12K (cos 2)|/20 = K = u

c

4

Pressione diradiazione

In condizioni di isotropia, per pareti perfettamente riflettenti, dalle equazioni dellelettro-magnetismo, si deduce che la pressione della radiazione vale

p =u

3

La cosa ha una immediata interpretazione quantistica. Pensiamo la radiazioneelettromagnetica come un gas di fotoni il cui impulso dato dallenergia divisa per la velocitdella luce c. I fotoni si riflettono sulle pareti in modo elastico, talch limpulso ricevuto dallaparete nellurto con un fotone avente angolo dincidenza dato da due volte limpulso delfotone moltiplicato per il coseno dellangolo . Nellunit di tempo sullunit di superficielimpulso ricevuto dalla parete perci

p =1

c

Zuc

4cos d 2 cos = u

2

Z 20

d

Z /20

d cos2 sin = u

Z /20

d cos2 sin =

=u

3

cos3 /20

=u

3

Lequazione p = u/3 valida se la radiazione isotropa e non richiede il fatto che essa si troviallequilibrio termico. In questultima condizione, u dipende solo da T e perci p dipendersolo da T . In altre parole se u la u di Kirchho p = p (T ). Mentre se u uniforme, ma nonnecessariamente di Kirchho, si ha che p = u/3.

II.1.3 La legge di Stefan-Boltzmann

Ciclo di Carnotper il corpo nero

Consideriamo ora una cavit nera una cui parete sia dotata di uno stantuo libero di muoversisenza attrito. Portiamo la cavit a contatto con un termostato posto alla temperatura T .Estraiamo lentamente lo stantuo procurando un aumento V del volume. In questo processo

II.1 Termodinamica della radiazione nera

la radiazione ha fornito il lavoro pV . Al bagno termico viene sottratto il calore

Q = (u+ p)V =4

3uV

Adesso operiamo una espansione adiabatica di V del volume. La temperatura si abbassa cosdi T , la pressione di p, il lavoro fornito pV . Stabilito contatto termico con un bagno atemperatura TT operiamo una compressione isoterma e infine una compressione adiabaticaper tornare allo stato iniziale.

I tratti adiabatici presentano una dicolt. Anch garantito che la radiazione nera resti nera(cio allequilibrio termico con le pareti) durante le espansioni adiabatiche, possiamo pensaredi disperdere nella cavit una quantit molto piccola di polvere di carbone, questa, al contrariodelle pareti che sono perfettamente riflettenti, in grado di interagire con la radiazioneassorbendo o emettendo energia in modo da ristabilire lequilibrio termico. Siccome la polvereavr capacit termica trascurabile rispetto a quella della radiazione, lenergia del sistemarimarr invariata, V u, durante il processo di annerimento. In questo modo la distribuzionespettrale sar in ogni stato quella di Kirchho, o - il che lo stesso - ogni stato sar di equilibriocome richiesto in un ciclo reversibile.

Legge di Stefan-Boltzmann

La macchina compie un ciclo di Carnot reversibile il suo rendimento perci il massimo, cioT/T , daltra parte il rendimento dato dal lavoro totale fornito diviso per il calore assorbitodal termostato a temperatura maggiore:

=T

T=3

4

pV

uV=3

4

p

3p=1

4

p

p

da cui si ottiene che

log T 4 = log p

da cui u e p sono direttamente proporzionali alla potenza quarta della temperatura, cio, sistabilisce la legge di Stefan-Boltzmann

u = aT 4

Ora, la misurazione della legge determinata cos come labbiamo scritta non attuabile, poichsi dovrebbe compiere una misurazione allinterno del corpo nero. Tuttavia possibile praticarenel corpo nero un piccolo foro e misurare lenergia radiante uscente dal foro (per unit disuperficie e per unit di tempo), per quanto calcolato sopra essa sar

S = uc

4= a

c

4T 4 = T 4

con

a = 4

c

II.1.4 Caratterizzazione delle adiabatiche

Dicolt nelladescrizione delle

adiabatiche

Nel derivare la legge di Stefan-Boltzmann abbiamo incontrato alcune dicolt nel trattarele trasformazioni adiabatiche del corpo nero. Questo perch non sembra, a priori, garantitolequilibrio termico, visto che la radiazione non pu essere emanata o assorbita dalle paretiche sono perfettamente riflettenti. Avevamo allora supposto di immettere nel corpo unaquantit molto piccola di carbone nella cavit, in modo che la materia potesse annerire laradiazione mantenendo la distribuzione spettrale di Kirchho alle diverse temperature. Inrealt dimostreremo (legge di Wien) che la radiazione nera resta nera per trasformazioneadiabatica, anche senza immissione di carbone nella cavit.

Legge delleadiabatiche

Consideriamo, in primo luogo, unespansione adiabatica della radiazione nera in cuilequilibrio garantito dalla presenza di una piccola quantit di carbone, talch la sua presenzasia ininfluente ai fini del calcolo dellenergia. Dal Primo Principio della Termodinamica

d (uV ) + pdV = 0

II Teoria alla Planck della radiazione nera

dalla legge di Stefan-Boltzmann

0 = daT 4V

+aT 4

3dV = 4aT 3V dT + aT 4dV +

aT 4

3dV

0 = V dT +1

3TdV V T 3 = const

da cui, incidentalmente, si trova che V 4/3p = const.

Entropia dellaradiazione nera

Veniamo a calcolare lentropia della radiazione nera

dS =dU + pdV

T

dove

dU = 4aT 3V dT + aT 4dV

pdV = aT 4dV

da cui ST = 4aV T

2

SV =

43aT

3 S (V, T ) =4

3aT 3V + const

e dal Prinicipio di Nernst,

S (V, T ) =4

3aT 3V

Compressioneadiabatica di

una radiazioneisotropa

Togliamo adesso la polvere e comprimiamo adiabaticamente la radiazione. La lentezzadelloperazione garantisce lisotropia della distribuzione u (e dunque pure della u). Questoimplica che risulta sempre definita la pressione p = u/3. Ci che regola landamento della u leetto Dppler, siccome la parete si muove lentamente con velocit uniforme v c si hache la radiazione incidente 1 emerge, dopo la riflessione, con frequenza data da

= 1

1 +

2v

ccos

essendo langolo dincidenza.

Ora, consideriamo un intervallo di ampiezza d dello spettro. Valutiamo che accade allenergiadella radiazione di frequenza nellintervallo prescelto nel tempo dt, in cui, lo ricordiamo, lostantuo si sposta verso linterno di vdt. Sia d |1 | cos lenergia totale V ud,contenuta in d, diminuisce di una quantit eguale a quella della radiazione che nel tempo dtraggiunge lo stantuo. Come gi calcolato la diminuzione vale

AKddt.

Daltra parte si ha anche aumento dellenergia per eetto della radiazione che giunge sullostantuo con frequenza contenuta in un intervallo tale che, dopo la riflessione, esso viene acoincidere col nostro d. In accordo con la formula per leetto Dppler, la frequenza incidentedovr essere contenuta nellintervallo compreso tra 1 e 1 + d1. Lenergia incidente varr

AK1 cos dd1dt,

se E lenergia incidente e E0 lenergia riflessa, E0E il lavoro compiuto dalla parete sullaradiazione,

E =

ZFdx = v

ZFdt

lultimo termine limpulso esercitato sulla parete, cio

2P cos = 2Ev

ccos

E0 = E1 +

2v

ccos

II.1 Termodinamica della radiazione nera

Ne consegue che laumento di energia nellintervallo d nel tempo dt vale

2Adt

Z /20

K1 sin cos

1 +

2v

ccos

d1d

In ogni caso, a meno di termini in (v/c)2

1 =

1 2v

ccos

perci

d1 =

1 2v

ccos

d

K1 = K +K

(1 ) = K K

2v

ccos

Sostituendo nellintegrale (ignorando i termini in (v/c)2) si ha

2Adtd

Z /20

K K

2v

ccos

sin cos d =

AKdtd 2Adtd K

2v

c

Z /20

sin cos2 d =

AKdtd 2AK

2v

3cdtd

Laumento di energia complessivo per le frequenze nellintervallo d, nel tempo dt vale

43

Avdt

c

K

d

si conclude perci che, essendo dV = Avdt e K = cu/4,

d (V u) = 43

Avdt

c

K

=4

3

dV

c

K

=

3

u

dV (1)

Analizziamo lespressione ottenuta. Cominciamo col notare che

du =

u +

3

u

dV

V

calcoliamo allora lincremento della pressione

p =

Z 0

u3d =

dV

3V

Z 0

u +

3

u

d =

dV

3V

Z 0

ud Z 0

u3d

= 4

3

p

VdV

da cui si ottiene che in una espansione adiabatica per cui la u sia isotropa, e nonnecessariamente di Kirchho, il prodotto

pV 4/3

resta costante (come accadeva nelle adiabatiche passanti per punti di equilibrio del sistema).Abbiamo cio dimostrato il seguente

Lemma II.1 In una trasformazione adiabatica in cui la densit di energia elettromagnetica resti isotropa,il prodotto pV 4/3 costante.

Questo ci consente di dimostrare che le adiabatiche passano tutte per stati di equilibrio, cioche la radiazione nera resta nera senza bisogno di presenza di materia allinterno della cavit.

Invarianzaadiabatica di u

Il risultato preannunciato fa leva sui principi della Termodinamica, oltre che sulle conside-razioni di elettromagnetismo gi esposte. Consideriamo una cavit nera allequilibrio termico.Essa sia caratterizzata dalla temperatura T0 dallenergia u (T0) e dal volume V0. Resta alloradefinita p0 = u (T0) /3. Ora eseguiamo una espansione adiabatica infinitamente lenta sicchla radiazione rimanga isotropa. Spaziamo allora la curva

pV 4/3 = p0V0

fino al volume V1. Adesso immettiamo una piccola quantit di carbone nella cavit di modo

II Teoria alla Planck della radiazione nera

da annerire la radiazione. Lenergia della radiazione rimarr invariata, cos dunque p1, mentreu diverr ora di equilibrio e risulter definita una temperatura T2. In altre parole, il carbonecambia u mantenendone il valore integrato u e apportando un aumento finito dellentropia.Ora sempre in presenza di carbone riportiamo lo stantuo nella posizione iniziale, allora invirt dellequazione delle adiabatiche, riavremo p0 e di conseguenza T0 e u (T0). Abbiamodunque compiuto un ciclo irreversibile. Daltra parte il lavoro compiuto dallesterno nullopoich la forma pdV calcolata sulla curva pV 4/3 = p0V0 una volta in un senso e una voltanellaltro (come attesta il lemma precedente). Siamo giunti cos al

Teorema II.2(di Wien) La radiazione nera resta nera per trasformazioni adiabatiche.

II.1.5 La legge dello spostamento e la legge di Wien

Legge di Wien Lequazione (1) ci fornisce lultima informazione sulla distribuzione spettrale che possiamoricavare a partire dalla termodinamica. Nondimeno il teorema che dimostreremo sarveramente importante nel seguito della nostra trattazione.Avevamo ottenuto che, durante una adiabatica

d (V u) =

3

u

dV

da cui ricaviamo lequazione dierenziale

VuV

+ u =

3

u

Eettuiamo allora il seguente cambiamento di coordinate

x + V, y + 3Vallora

uV

=ux

+ 3uy

u

= 3V 2uy

da cui

xux

+ yuy

+ u = yuy

xux

+ u = 0

x(xu) = 0

infine, V u dipende solo da y:

u =1

V3V

cio

u =3V

3V

3 = 33V

ma, siccome la trasformazione adiabatica, V T 3 = const, e perci

u (, T ) = 3f T

Teorema II.3

(Legge di Wien) La distribuzione spettrale di Kirchho una funzione del tipo

u (, T ) = 3f T

II.2 Determinazione della distribuzione spettrale

Legge dellospostamento

Fissiamo per un attimo la temperatura T , vogliamo determinare la posizione di un massimo(che sperimentalmente esiste ed unico) della u . A tale scopo imponiamo

0 =d

du = 3

2f T

+3

Tf 0 T

posto + /T si ricava che il massimo corrisponde a una radice dellequazione

0 = 3f () + f 0 ()

che fissata una volta per tutte. Al variare della temperatura il massimo si sposta linearmente,cio

max = T

Teorema II.4(Legge dellospostamento)

I punti stazionari (il massimo) della distribuzione spettrale di Kirchho si spostanolinearmente con la temperatura.

Per quello che riguarda le due leggi in termini della lunghezza donda, troviamo che

u (, T ) d = u (, T ) d

ora, |d| = c/2 |d|, perciu (, T ) = u

c, T c2

e la legge di Wien diventa

u (, T ) =1

5g (T )

ancora, possiamo ritrovare la legge dello spostamento,

0 = 56g (T ) +

T

5g0 (T )

e posto + T abbiamo che5g () = g0 ()

Presa la radice dellequazione, abbiamo

maxT = .

II.2 Determinazione della distribuzione spettrale

II.2.1 Oscillatori armonici e radiazione nera

Idea guidadi Planck

Vogliamo adesso determinare la distribuzione spettrale u , di cui abbiamo studiato tuttele propriet termodinamiche nella sezione precedente. Con Planck, immaginiamo di porrenella cavit un oscillatore armonico lineare, vincolato a muoversi lungo lasse x, avente caricaelettrica elementare e e massa m. Visto che possiamo scegliere ad arbitrio le pareti (e laforma) della nostra cavit poniamo che esse siano perfettamente riflettenti. Allequilibriotermico lenergia delloscillatore assuma il valor medio E (T ) (classicamente questa vale kTdal Principio di Equipartizione).Daltra parte, allequilibrio termico, lenergia assorbita dalloscillatore sar pari a quella daesso irradiata. Con lausilio delle leggi dellelettromagnetismo stimeremo queste due quantitdi energia in funzione di u ed E, in modo che, nota E, si possa ricavare u .

Determinazionedella relazione

tra E e u

Il moto delloscillatore smorazato a causa dellirraggiamento e forzato dalla componentex del campo elettrico che supporremo uniforme nella zona occupata dalloscillatore.Dallelettromagnetismo classico abbiamo che, se 0 la pulsazione propria delloscillatore

mx+ 20x

23

e2

c3x000 = eEx.

Scelto un intervallo di tempo molto grande il campo Ex potr essere espresso in serie di

II Teoria alla Planck della radiazione nera

Fourier, se a + 2/,

Ex =1

2

+Xn=

aneinat

da cui an lampiezza delle oscillazioni parziali di pulsazione n = na. Siccome Ex R, si hache

an = an

Siccome gli an sono funzioni rapidamente variabili, associamo loro una media che ci consentirdi valutare il valor medio del campo (rapidamente variabile) Ex. Se s piccolo in confronto an, nellintorno della frequenza n lampiezza media del campo vale

|an|2 = 12s+ 1

sXj=s

|an+j |2

che rappresenta una misura dellintensit di Ex per frequenze vicine a n.Ora, vale

u =3

4E2x

daltra parte, dallidentit di Parseval varr (esendo la norma L2 la media del quadrato)

E2x =1

2

+Xn=0

|an|2

perci

u =3

8

+Xn=

|an|2

per calcolare ud lenergia nellintervallo tra e + d, perci dobbiamo valutare quante

oscillazioni parziali cadono nellintervallo d, portando ognuna di esse lenergia 3/8|an|2.Siccome

2 = na2

ad = dn

perci

u =3

8|an|2 2

a=3

4a|an|2.

Adesso sviluppiamo in serie di Fourier anche x e andiamo a risolvere lequazione dierenzialeper serie. Se poniamo

x =1

2

+Xn=

neinat

da cui

x =1

2

+Xn=

inaneinat

x = 12

+Xn=

(na)2 neinat

x000 = 12

+Xn=

i (na)3 neinat

sostituendo nellequazione dierenziale, fatte le dovute semplificazioni,

m (na)2 n +m20n +2

3

e2

c3i (na)

3= an

II.2 Determinazione della distribuzione spettrale

sicch si ricava

n =ean

m20 m (na)2 + 23 i e2

c3 (na)3

perci

|n|2 =e2

m2 |an|2(na)

2 202+23e2(na)3

mc3

2Lenergia media delloscillatore pari al doppio dellenergia cinetica media, perci

E = mx2,

dallidentit di Parseval,

E =m

2

+Xn=0

(na)2 |n|2 =m

2

+Xn=0

(na)2e2

m2 |an|2(na)

2 202+23e2(na)3

mc3

2Allo scopo di valutare la serie, sostituiamola con un integrale rispetto a = na, nellintervallod cadono dn = d/a oscillazioni parziali, perci

E =m

2

e2

m2

Z 0

2

(2 20)2 +23e23

mc3

2 |an|2a dCome sappiamo la funzione integranda ha un massimo molto acuto per 0 perci possiamoeettuare le seguenti approssimazioni:

(i) sostituiamo (tranne che nella dierenza 2 20) 0 a ;(ii) poniamo

2 20

2 (20 ( 0))2 = 420 ( 0)2;(iii) sostituiamo a |an|2 la quantit |an|2 calcolata nelle vicinanze di 0;(iv) estendiamo a il primo estremo dintegrazione.

Posto allora + ( 0) troviamo

E =m

2

e2

m2

Z

20

4202 +

23e230mc3

2 |an|2a d = m2 e2m2 |an|2aZ

1

42 + 2d

dove +23e220mc3

,

E =m

2

e2

m2|an|2a

1

2

Z

122+ 1

d

con la sostituzione z + 2 abbiamo

E =m

2

e2

m2|an|2a

1

2

2

Z

1

z2 + 1dz =

4

e2

m

|an|2a

1

=

4

e2

m

4

3u3

2

mc3

e220=

=uc

3

220=

c3

82u

Si ricava cio la seguente

Proposizione II.1 Un oscillatore armonico carico, di frequenza propria 0, allequilibrio termico a temperaturaT0 in una cavit nera di densit spettrale u (, T ) ha unenergia media pari a

E =c3

820u (0, T0)

Onde stazionarieed oscillatori

armonici

Per quanto visto nellultima sezione del capitolo precedente, il numero di oscillazioni proprie

II Teoria alla Planck della radiazione nera

contenute nellintervallo , + d

8a32

c3d

Se a ogni oscillazione propria compete lenergia media U , lenergia totale contenuta nellacavit per frequenze in , + d vale

U8a32

c3d

che corrisponde a una densit spettrale

1

a3U8a32

c3d = u

cio

U =c3

82u = E

In altre parole,

Teorema II.5 Lenergia media delloscillatore armonico termalizzato a temperatura T eguale allenergiadi una singola oscillazione propria della cavit avente frequenza vicina a quella di risonanza.

Dopo avere mostrato lintima connessione tra la densit di energia della cavit nera eloscillatore armonico procediamo a calcolare u . Perverremo alle leggi di Rayleigh-Jeanse Planck.

II.2.2 La formula di Rayleigh-Jeans

Inadeguatezzadella u classica

Nella fisica classica, dal principio di equipartizione, si ottiene, per loscillatore lineare,lenergia media E = kT sicch, dalla relazione tra E e u abbiamo

u (, T ) =82

c3kT

Tale formula in contrasto coi dati sperimentali, ma, anche teoricamente, appare del tuttoinadeguata, infatti lintegrale di u in , u (T ), diverge.Questo completo fallimento della fisica classica per lirraggiamento di una cavit isotermarappresenta il punto di partenza di tutta la fisica moderna ed questo il motivo percui ha meritato tanta attenzione da parte nostra.Si noti comunque come valga egualmente la legge di Wien:

u (, T ) =83

c3kT

II.2.3 La legge dellirraggiamento di PlanckLe due formule sulle quali si basa la derivazione della legge di Rayleigh-Jeans sono

u (, T ) =82

c3E (, T )

E (, T ) = kT

La prima discende dalle leggi dellelettromagnetismo, la seconda dalla fisica statistica classica.Almeno una delle due certamente inesatta, essendo la loro combinazione palesemente assurda.Planck decise di mettere mano alla seconda, tenendo ferma la prima.

Lidea di Planckper loscillatore

armonico

Vediamo quali considerazioni guidarono Planck alla celebre modificazione della seconda delleequazioni di cui sopra. Per un oscillatore armonico lineare la hamiltoniana vale

H (p, q) =p2

2m+m

2(2)2 q2

Nella fisica classica il valor medio di E dato da

E = logZ

II.2 Determinazione della distribuzione spettrale

Figura 1. Densit spettrale di Planck

dove Z la funzione di partizione di Boltzmann, cio, se = 1/kT

Z +ZeH dpdq.

Ora, ci che fece Planck fu di cambiare lespressione per la funzione di partizione. La suascelta fu, in un certo senso, naturale. Sostitu, infatti, lintegrale con una serie, discretizzandoi valori ammissibili per lenergia. Scrisse cio

Z +Xn

eEn

Si tratta ora di fare unipotesi sui valori En, cio sui livelli energetici. La cosa pi sempliceda fare , ovviamente, richiedere eguale spaziatura tra i livelli, cio imporre

En + n0,con 0 da determinare.

Ricaviamo, infine, E. Abbiamo

Z =1

1 e0da cui

E =

log1 e0 = e0

1 e0 =0

e0 1

Legge di Planck Dunque, con Planck, troviamo

u (, T ) =82

c30

e0/kT 1 =8

c33

0/

e0/kT 1

dalla legge di Wien, dobbiamo avere che0/

e0/kT 1= f

T

perci, analizzando il denominatore, dobbiamo necessariamente porre

0 = h

e quindi ottenere la legge dellirraggiamento di Planck

u (, T ) =83

c3h

eh/kT 1

Questa legge, basata sullipotesi che un oscillatore armonico possa assumere solo energie paria un multiplo intero della quantit h, descrive correttamente il fenomeno ed in ottimoaccordo coi dati sperimentali.

II Teoria alla Planck della radiazione nera

II.2.4 Considerazioni sulla legge di Planck

Verifichiamo che la u di Planck verifica tutte le leggi rinvenute nella prima sezione. Gisappiamo che la legge di Wien verificata (in realt labbiamo usata per ricavare la legge diPlanck stessa).

Legge di Stefan-Boltzmann

Cominciamo col calcolare u (T ), stavolta lintegrale esiste e vale

u (T ) =8h

c3

Z +0

3

eh/kT 1d

posto x + h/kT abbiamo = kTx/h e perci

u (T ) =8h

c3

kT

h

4 Z +0

x3

ex 1dx =8

c34

15

(kT )4

h3

da cui ritroviamo la legge u (T ) = aT 4. Come detto, possibile misurare a (a partiredalla misura dellenergia uscente dalla cavit) da cui potremmo risalire ad h, ma la misurapresenterebbe una grave incertezza a causa dela presenza dellesponente 4 nella temperatura.

Inoltre bisognerebbe conoscere accuratamente k il cui valore legato a quello del numero diAvogadro che ai tempi di Planck non era noto con una buona precisione. Torneremo pi tardisu questi aspetti.

Legge dellospostamento

di Wien.Valore di h

Calcoliamo la posizione del massimo (evidenziato in Figura I.1), a partire dallespressione peru:

u (, T ) = u

c, T c2=8c

5h

ehc/kT 1deriviamo in

0 =u

= 40c6

h

ehc/kT 1 +8ch

5

hckT2

ehc/kTehc/kT 12

= 5ehc/kT 1

+

hc

kTehc/kT

posto x + hc/kT troviamo che = max per x pari alla radice dellequazione seguente5 (ex 1) = xex 5 1 ex = x

da cui, indicata con x la radice suddetta, ritroviamo la legge dello spostamento

hc

kx= Tmax

che importante perch ci consente di ottenere una misura per h

h = xk

cTmax

Intanto, notiamo che x 4.965114212...Sperimentalmente si ha poi che Tmax = 0.27 cmK.Ora, come accennato non ben noto il valore di k, perci usiamo il dato relativo alla legge diStefan-Boltzmann, per cui

a = 4

c=8

c34

15

k4

h3

nota la misura di ricaviamo dalle due espressioni, unite al fatto che R = 8.31Jmol1K1,h = 6.62 1037erg sk = 1.38 1016ergK1N = 6.02 1023

Legge diRayleigh-Jeans

Siah

kT 1

(approssimazione delle alte temperature, o delle basse frequenze) e calcoliamo quanto

Figura 2. Confronto alle basse frequenze delle distribuzioni di Rayleigh-Jeans (rossa) e Planck (blu).

vale la u :

u (, T ) 83

c3h

h/kT=82

c3kT

che proprio la legge di Rayleigh-Jeans.

Proposizione II.2 La legge di Rayleigh-Jeans lapprossimazione alle alte temperature della legge di Planck.

Commento sullalegge di Planck

La determinazione che abbiamo eettuato della legge di Planck non certo soddisfacente,perch si usano insieme metodi classici e rudimenti quantistici. Tuttavia essa, non solofunziona correttamente come evidenziato in questa sottosezione, ma corretta pure nellamigliore versione quantistica.

Capitolo III

Old Quantum Mechanics

Nel capitolo precedente abbiamo visto come per spiegare lo spettro del corpo.nero si sia dovutoricorrere alla quantizzazione dei livelli energetici delloscillatore armonico. In questa sede vedremogli sviluppi che ebbe lidea di Planck nellinterpretazione di Einstein e Bohr. Introdotto poi ilconcetto di onda di de Broglie, concluderemo la descrizione della Old Quantum Mechanics ene utilizzeremo i concetti fisici pi rilevanti per introdurre alla moderna teoria quantistica, i cuipostulati saranno esposti nel corso del prossimo capitolo.

III.1 Modelli atomici di Thomson e RutherfordUno dei problemi centrali che si presentarono agli inizi del ventesimo secolo era la formulazionedi un modello consistente per gli atomi. Si trattava di chiarire il comportamento degli atomi indeterminate condizioni e di formulare un modello che fosse consistente con lesperienza e conla teoria dellelettrodinamica classica. Esamineremo in questa sezione le dicolt connessecon questo programma.

Caratteristicheprincipali

degli atomi

Lesistenza degli atomi era gi stata accettata per spiegare le leggi fondamentali dellastechiometria, perci si era capito che a ogni elemento corrispondeva un certo tipo di atomo.Lelettrolisi, leetto fotoellettrico, leetto termoionico, la conduzione elettrica, avevanosuggerito lesistenza, nellatomo, di particelle cariche negative. Per la neutralit della materiasi era stati costretti ad amettere la presenza di una carica positiva nellatomo. Era inoltre notoche le particelle cariche negativamente (elettroni) erano eguali per tutti gli atomi, ne eranoinfatti note massa e carica:

me = 0.9 1027g 1027ge = 1.6 1019C = 4.8 1010ues

Dalla definizione di grammo-atomo si ha che la massa di un atomo di idrogeno vale

mH =1g

NA = 1.7 1024g, mH = 1836me

Per quanto riguarda le dimensioni di un atomo, consideriamo loro, esso ha peso atomicoA = 197, perci in 197g di oro ci sono NA atomi. Siccome la densit delloro 19 g cm3, ungrammo-atomo occupa circa 10cm3, dunque, ogni atomo ha a disposizione un volume di circa1.66cm3, cio ha un raggio pari a circa 108cm. Tale grandezza viene definita ngstrom:

1 + 108cm

III.1.1 Il modello di Thomson

Descrizionee successi

del modello

Secondo Thomson (il modello il primo presentato nel ventesimo secolo e sar il piaccreditato almeno fino al 1910) latomo era costituito da una sfera di raggio pari a 1in cui la carica positiva fosse distribuita uniformemente. Allora, dal teorema di Gau siha s