IPERTESTO: I SISTEMI LINEARIIPERTESTO: I SISTEMI LINEARI

I.T.C. “G.ARCOLEO”- I.T.C. “G.ARCOLEO”- GRAMMICHELEGRAMMICHELE

A.S. 2005/06 - CLASSE II AA.S. 2005/06 - CLASSE II A

ALUNNI: S.Lonigro, S.Centorbi, ALUNNI: S.Lonigro, S.Centorbi, F.Giarrusso, S.LaTerra, A. F.Giarrusso, S.LaTerra, A. Tornello, G. Tornello Tornello, G. Tornello

Insegnante: Agata TicliInsegnante: Agata Ticli

I SISTEMII SISTEMILINEARILINEARI

I SISTEMI LINEARII SISTEMI LINEARISi definisce un sistema lineare

l’intersezione di due o più equazioni di primo grado. Simbolo di sistema

Risolvere un sistema significa determinare l’insieme delle sue soluzioni.

Si dice che un sistema è:

IMPOSSIBILE se non ha soluzioni Ø; DETERMINATO se ha un numero finito di soluzioni; INDETERMINATO se ha un numero infinito di soluzioni ∞.

111 cxbxa

cbyax

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA SULL’ASSE CARTESIANO

y

x

r s

r s

y

x P=r∩s r=s Ø

SistemaDeterminat

o(rette

incidenti)

SistemaIndetermina

to(rette

coincidenti)

SistemaImpossibile

(rette parallele)

y

x

P

r

s

Metodi algebrici per risolvere

un sistema lineare

Metodo di sostituzione

Metodo delconfronto

Metodo diriduzione

o di eliminazione

Metodo di Cramer

METODO DI METODO DI SOSTITUZIONESOSTITUZIONE

Per risolvere un sistema di due o più equazioni lineari si devono seguire i seguenti passi:

1. Si riduce il sistema a forma tipica;

2. Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una delle incognite,

per esempio la “x” e si scrive

3. Si sostituisce nell’altra equazione, l’espressione –by+c al posto della “x”; a

4. Si sostituisce la soluzione trovata nella seconda equazione al posto della “y” nella prima equazione;

111 cxbxa

cbyax

111 cybxaacby

aax

111 )( cyba

cbya

a

cbyx

ya

c

a

bx )(

Esempio del metodo di

sostituzione1. Riduzione in forma tipica;

2. Risolvere rispetto ad una delle incognite e sostituire nell’altra equazione la soluzione trovata (-2y+4);

3. Infine, sostituire l’ultima soluzione nell’altra equazione.

Soluzione: (-2, 3)

42

1223

yx

yx

42

122)42(3

yx

yy

42

122126

yx

yy

42

3

yx

y

2

3

x

y

4)3(2

3

x

y

RISOLUZIONE RISOLUZIONE GRAFICAGRAFICA

42

1223

yx

yx

s

x y

0 2

4 0

r

x y

0 6

-4 0

Soluzione (-2, 3)

x

y

4

2

6

-4 -2

3

r

s

METODO DEL CONFRONTO

1. Si deve scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella seconda equazione;

2. Uguagliare le due espressioni al secondo membro;

3. Risolvere l’equazione che si presenta con una sola incognita;

4. Si ripete la stessa procedura scegliendo l’altra incognita in entrambe le equazioni e si risolve come il primo passaggio.

1

11

1

1

a

cyb

a

xaa

cby

a

ax

1

11

a

cyb

a

cby

Esempio del Esempio del metodo del metodo del confrontoconfronto

1. Scegliere la stessa incognita;

2. Uguagliare le due espressioni e risolvere l’equazione con una sola incognita;

3. Ripetere la stessa procedura scegliendo l’altra incognita.

Soluzione (-6, -5)Soluzione (-6, -5)

6065

4535

yx

yx

5

6065

453

yx

yx

5y

6056

4553

xy

xy

6

6053

455

xy

xy

6

605

3

455 xx

6x

5

606

5

453 yy

Procedura più Procedura più veloceveloce

del metodo del del metodo del confrontoconfronto1. Ridurre in forma tipica;

2. Scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella seconda equazione;

3. Uguagliare le due espressioni;

4. Risolvere l’equazione che ci si presenta con una sola incognita;

5. Sostituire la soluzione trovata al posto dell’altra incognita.

6065

4535

yx

yx

6

6053

455

xy

xy

6

6055

606

5

453

xy

yy

6

6030

6

y

x

5

6

y

x

6065

4535

yx

yx

5

6

y

x

r

x y

0 -15

-9 0

s

x y

0 -10

-12 0

METODO DI METODO DI RIDUZIONE O RIDUZIONE O ELIMINAZIONEELIMINAZIONE

Consiste nell’addizionare o sottrarre membro a membro le equazioni del sistema.

Se i coefficienti dell’incognita da eliminare sono uguali si sottraggono membro a membro le due equazioni;

Se tali coefficienti sono opposti si sommano membro a membro le due equazioni.

85

325

yx

yx

35

85

325

y

yx

yx

835

5

35

x

y

1519

35

x

y

RISOLUZIONE GRAFICA

r

x y

0 3/2

3/5 0

s

x y

0 -8

8/5 0

85

325

yx

yx

1519

35

x

y

Secondo Secondo esempio del esempio del metodo di metodo di

eliminazioneeliminazioneSe i coefficienti dell’incognita non sono né uguali né opposti si moltiplica un’equazione per un numero in modo che i coefficienti da eliminare divengano uguali o opposti.

93

42

yx

yx

93

42

2 yx

yx

2

1862

42

y

yx

yx

18)2(62

2

x

y

3

2

x

y

RISOLUZIONE RISOLUZIONE GRAFICAGRAFICA

93

42

yx

yx

3

2

x

y

r

x y

0 -4

2 0

s

x y

0 3

9 0

METODO DI METODO DI CRAMERCRAMER

Per prima cosa si deve costruire una matrice: entità matematica costituita da un insieme di numeri, disposti ordinatamente secondo righe e colonne.

Poi si deve trovare il determinante: si moltiplicano i termini della diagonale principale e si sottrae il prodotto dei termini della diagonale secondaria.

Successivamente cerchiamo il determinante dell’incognita X e Y

Infine il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.

11 ba

ba

111 cxbxa

cbyax

)()( 11

11

abbaba

baD

)()( 11

11

cbbcbc

bcDx

)()( 11

11

accaca

caDy

D

Dyy

DDx

x

Esempio del Esempio del metodo di metodo di CramerCramer

1. Ridurre in forma tipica;

2. Creare una Matrice;

3. Trovare il determinante del sistema e i determinanti dell’incognite;

4. Il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.

143

423

yx

yx

43

23

18)32()43(43

23

D

18)12()44(41

24

Dx 9)34()13(

13

43Dy

118

18

D

Dxx

2

1

18

9

D

Dyy

RISOLUZIONE RISOLUZIONE GRAFICAGRAFICA

143

423

yx

yx

21

1

y

x

r

x y

0 2

4/3 0

s

x y

0 -1/4

1/3 0

4)3(23

12)1(2

yx

xyx

4623

1212

yx

xyx

1023

1023

yx

yx

1023

1023

3102

yy

yx

003

102yx Sistema

Indeterminato

r =s

x y

0 -5

10/3 0

xyx

yx

221

31

12

5

2

1

3

21

6

612

6

3212

5

12

68

xyx

yx

1234

568

yx

yx

4

123

568

yx

yx

4

123

564

1238

yx

yy

4

123

290

yx

Sistema Impossibil

e

RISOLUZIONE GRAFICA(Sistema impossibile)

r

x y

0 -5/6

5/8 0

r

x y

0 4

-3 0

1234

568

yx

yx

Lonigro Simona Tornello Giusy Tornello Antonino Giarrusso

Francesca La Terra Santino Centorbi Silvana

Grazie!!!

A.S. 2005/2006I.T.C. “G. Arcoleo”