Capitolo 1

Introduzione: la nascita della

geometria

Così come il concetto di numero e di calcolo vengono sviluppati molto prima

dell'inizio delle grandi civiltà, allo stesso modo è possibile individuare i primi

accenni di interesse per la geomteria nell'epoca preistorica. I primi storici

a parlare delle origini della geometria furono Erodoto (storico greco del V

secolo a.C.) ed Aristotele (�losofo greco del IV secolo a.C), entrambi attri-

buivano la nascita della geometria alla civiltà egizia, ma con ipetsi piuttosto

diverse: Erodoto attribuiva la nascita della geometria al bisogno pratico di

tracciare i con�ni delle terre dei contadini che venivano periodicamente can-

cellate dalle inondazioni del Nilo, Aristotele invece riteneva che la geometria

fosse nata in Egitto grazie alla presenza di una classe di sacerdoti agiati, che

avevano dunque tempo di dedicarsi a problemi astratti come la geometria.

Queste due ipotesi risultano al giorno d'oggi mal fondate e gli storici

sono più propensi a datare le origini dei concetti geometrici ben prima della

civiltà egizia, ad un momento in cui non era consuetudine misurare i con�ni

delle terre, nè, tanto meno, esistevano classi agiate che potevano concedersi

il lusso di pensare a concetti astratti.

D'altra parte queste due tesi richiamano molto le moderne ipotesi circa il

primo evolversi della geometria: gli storici sono infatti inclini a pensare che,

oltre che ad un motivo pratico (costruzione di cesti intrecciando rami), l'uo-

mo abbia sviluppato i primi concetti di geometria per un senso di bellezza

1

2CAPITOLO 1. INTRODUZIONE: LA NASCITA DELLA GEOMETRIA

Figura 1.1: Stonehenge: data la forma e la posizione si ritiene fosse un

osservatorio astronomico, ma data la presenza di un altare si ritiene fosse

legato a pratiche di tipo religioso. Particolarmente interessante dal nostro

punto di vista è la forte simmetria delle costruzione.

puramente estetico (vedi le decorazioni geometriche nei vasi). Un'altra ipo-

tesi è che la prima geometria sia fortemente legata al culto religioso, ipotesi

avallata dalla presenza di costruzioni a scopo di culto dalla forma spiccata-

mente geometrica (stonehenge, linee di nazca) e dal fatto che spesso la classe

sacerdotale fosse in qualche modo legata alla geometria (i tenditori di corde

in Egitto erano sia gli addetti alla misurazione della terra, sia i sacerdoti

che costruivano i templi, il primo trattato di geometia indiano si trova in

appendice ad un libro di culto).

Figura 1.2: Scimmia incisa nel deserto di Nazca, nel Perù meridionale

3

(a) Scimmia (b) Ragno

Figura 1.3: schema di due linee di Nazca: data la grandezza delle �gure

(sull'ordine delle centinaia di metri) queste �gure sono visibili solo a una

certa altezza, sono infatti state scoperte solo in tempi recenti sorvolando

la zona con un aeroplano. Per questo si ritiene che le �gure siano state

disegnate perchè fossero visibili solo dagli dei. Interessante per noi l'utilizzo

della similitudine (è improbabile che per disegnare tali �gure non siano partiti

da �gure più piccole).

Tutte queste ipotesi risultano verosimili e, ad oggi, la questione su cosa

abbia spinto l'uomo a sviluppare i primi concetti geometrici rimane una que-

stione aperta. Di certo comunque possiamo dire che l'uomo si è dimostrato

molto interessato a concetti quali similitudine, congruenza e simmetria ben

prima della nascita delle grandi civiltà.

Passiamo ora ad analizzare in che modo questi concetti sono stati svilup-

pati nelle diverse civiltà.

4CAPITOLO 1. INTRODUZIONE: LA NASCITA DELLA GEOMETRIA

Capitolo 2

La geometria nelle civiltà

antiche

2.1 Gli egizi

La maggiore fonte di informazione sulla geometria degli egizi si trova nel pa-

piro di Rhind, su cui troviamo risolti molti problemi riguardanti il calcolo di

aree e volumi con precisioni diverse. Tale papiro, conservato presso il British

Museum, rappresenta la fonte più estesa delle conoscenze matematiche della

civiltà egizia; scritto verso il 1650 a.C da uno scriba di nome Ahmes, che ci

informa che il contenuto è tratto da un esemplare composto tra il 2000 a.C.

e il 1800 a.C., è passato alla storia con il nome dell'antiquario scozzese che

lo comprò nel 1858.

Da tale fonte possiamo dire che gli egizi conoscevano con esattezza l'area

dei triangoli isosceli e rettangoli, che venivano ricondotte ad aree di ret-

tangoli con medesima altezza e metà base. In questi casi nella soluzione

del problema veniva anche accennata una giusti�cazione al calcolo, anche

se questo risulta ancora lontano dall'idea di dimostrazione. Un argomento

analogo viene portato nel calcolo dell'area del trapezio isoscele cha risulta

calcolata correttamente. E' da notare che tra i vari calcoli presenti sul pa-

piro sono mescolati risultati precisi con risultati approssimati: infatti per

trovare il l'area di un quadrilatero qualsiasi si moltiplicava la semisomma

dei lati opposti, metodo piuttosto impreciso. Tale mescolanza di precisione

5

6 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE

Figura 2.1: Equivalenza tra l'area del triangolo isoscele e l'area del rettangolo

con stessa altezza e metà base.

e di approssimazione è da attribuire al fatto che i problemi introdotti erano

sempre di utilità pratica, motivo per cui la precisione del risultato non era

particolarmente importante, dato che neppure gli strumenti utilizzati per la

misura avevano grande precisione.

Interessante risulta essere il modo in cui viene ricavata una formula per

calcolare il volume di un tronco di piramide a base quadrata: i calcoli ese-

guiti risultano infatti gli stessi che faremmo noi oggi con le nostre formule.

L'ipotesi più accreditata è che il solido sia stato scomposto in �gure di volu-

me noto (parallelepipedi, piramidi), per poi essere sommate nuovamente. Si

ritiene quindi che gli egizi facessero buon uso del principio di congruenza ed

equivalenza dei solidi per calcolare volumi anche complessi.

Figura 2.2: Possibile scomposizione del traonco di piramide.

Un altro aspetto interessante della geometria nelle civiltà antiche è il

2.1. GLI EGIZI 7

rapporto con il π. Nel papiro di Rhind troviamo testimonianza di come

venisse calcolata l'area di un cerchio: i passanggi conducono ad una formula

del tipo

A = d2(8/9)2

con A area e d diametro del cerchio. Tale formula ci fornisce la loro appros-

simazione di π che risulta essere π = 3, 16 circa, risultato piuttosto buono

considerando gli strumenti di misurazione dell'epoca e la generale poca pre-

cisione delle formule. Sembra che tale approssimazione derivi dal confronto

tra l'area di un cerchio e l'area di un ottagono inscritti nello stesso quadrato.

(a) Confronto area del cerchio con l'area

dell'ottagono

(b) calcolo area ottagono

L'autore avrebbe infatti stimato che le parti di cerchio che eccedevano

dall'ottagono erano pressapoco equivalenti alle parti dell'ottagono che ecce-

devano dal cerchio. In base a questo aveva ricondotto il calcolo dell'area

del cerchio al calcolo di tale ottagono. A questo punto, per calcolare l'area

dell'ottagono, si suppone che abbia diviso ogni lato del quadrato in 9 parti

e che abbia contato i quadratini che componevano la �gura: questi risultano

essere 63. Da quì, dato che 63 ∼ 64 = 82, riordinando i quadratini, possiamo

ottenere una �gura come questa, che giusti�ca la formula usata.

8 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE

Figura 2.3: Possibile riordinamento dei quadratini formanti l'area

dell'ottagono.

2.2 I babilonesi

Per quanto riguarda la matematica dei babilonesi, le fonti a cui facciamo

generalmente riferimento sono tavolette di argilla con iscrizioni a caratteri

cuneiformi. Le tavolette a contenuto matematico sono cisca 300. Alcune

risalgono al primo periodo sumerico (2100 a.C.), altre, un gruppo più ampio,

al periodo che va dall'era di Hammurabi (1700 a.C.) �no al 1500 a.C., ed

altre ancora risalgono ad un periodo più recente (600-300 a.C.). Le tavolette

a contenuto matematico possono essere ripartite in due grupi: le tabelle di

calcolo e i testi di problemi. Le prime avevano senza dubbio una funzione

pratica: sono infattti tavole di moltiplicazione e divisione nel sistema ses-

saggesimale, passaggi da un'unità di misura ad un'altra etc ... . I testi di

problemi sono elenchi di esercizi con o senza soluzione. Da osservare che

le soluzioni sono sempre legate ad un particolare caso, non ci sono mai nè

generalizzazioni, nè formule, nè teoremi.

La matematica dei babilonesi risulta molto legata al'algebra, in questo

modo anche la geometria sembra un semplice gioco di carattere algebrico,

risulta quindi sviluppata in modo molto diverso dalla geometria degli egizi

che si svilupò a partire da problemi pratici. I babilonesi conoscevano le

2.2. I BABILONESI 9

formuule per le aree dei triangoli isosceli e rettangoli, dei trapezi isosceli e

rettangoli ed in generale sapevano calcolare correttamente i volumi di trapezi

con base trapezi conosciuti. Nelle loro tavolette troviamo anche enunciate

alcune importanti proprietà geometriche: sapevano infatti che l'altezza dei

triangoli isosceli è anche mediana e bisettrice, che l'angolo inscritto in una

semicirconferenza è retto, conoscevano il teorema di Pitagora e utilizzavano

�uentemente il concetto di similitudine tra triangoli. Porto in particolare

l'esempio di un problema trovato in una tavoletta riguardante un problema di

similitudine. Il problema consiste nel trovare le lunghezze BD, AE, AD, DF

essendo note le misure dei lati del triangolo rettangolo AB = 45, AC = 60,

BC = 75 e l'area del triangolo ABD AABD = 486. Riportiamo i singoli

passaggi:

1) prendi il reciproco di 60 e moltiplicalo per 45: 160 4̇5 = 3

4

2) moltiplica questo per 2: 2 · 34 = 32

3) moltiplica questo per 486: 486 · 32 = 729

4)√729 = 27 = BD

Riscriviamo i passaggi cercandone il signi�cato:

1) 1AC ·AB = 3

4

2) 2 · ABAC = 3

2

3) 2 · ABAC ·AABD = 729

10 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE

L'area di ABD è data da 12 · (AB · AD) ma ABD è simile ad ABC quindi

ABAC = BD

AD per cui sostituendo in 3) abbiamo

2 · BDAD· 12BD ·AD = 729

e questo spiega l'ultimo passaggio:

√729 = BD.

E' interessante osservare che il procedimento di tale problema è iterabile per

trovare gli altri dati richiesti. Inoltre tale iterazione può procedere all'in�-

nito dato che è possibile costruire una successione in�nita di triangoli simili

(nel disegno sono visibili i primi). Probabilmente il problema è inventato o

fa parte di un esercizio per degli studenti, dato che risulta poco probabile

trovarsi a dover risolvere questo tipo di problema nella vita reale.

Per quanto riguarda la circonferenza, sembra che i babilonesi fossero so-

liti utilizzare un'approssimazione di π pari a 3. Tale approssimazione non

deve però essere presa come totale ignoranza (in alcuni scritti troviamo

π = 3, 125) ma semplice presa di coscienza che tale vaolre bastava per le

loro approssimazioni.

2.3 I cinesi

Per quanto riguarda i cinesi, il testo a cui più spesso si fa riferimento per la

cultura matematica è il Chui-chang suan-shu ovvero Nove capitoli sull'arte

matematica che riporta 246 problemi riguardanti tra l'altro l'agricoltura,

l'ingegneria, il calcolo e i triangoli rettangoli. Tale trattato risale al 250 a.C.

circa, ma non è ritenuto il più antico documento che riporti le conoscenze

matematiche di questa civiltà.

La matematica cinese primitiva risulta molto diversa da quella sviluppata

in periodi analoghi in altre parti del mondo, per questo motivo si ritiene che

si sia sviluppata in modo indipendente. Per quanto riguarda epoche meno

remote è più di�cile stabilire se ci furono in�ussi esterni.

Per quanto riguarda il calcolo del π troviamo che anticamente esso veniva

approssimato con 3, ma, a di�erenza dei babilonesi, si sviluppò un'intensa

ricerca per miglorare tale approssimazione. Quì infatti vennero trovati valori

2.3. I CINESI 11

come 3, 1547,√10 e 92

29 . Nel III secolo d.C. Liu Hui, importante commenta-

tore del Nove capitoli, calcolò la cifra 3, 14 utilizzando un poligono regolare di

96 lati e l'approssimazione 3,14159 con un poligono di 3072 lati. L'ossessione

dei cinesi per la determinazione del valore esatto di π reggiunse il suo apice

con Tsu Ch'ung-chih (seconda metà del V secolo d.C.) che calcolò 3, 1415927

come valore approssimato per eccesso e 3, 1415926 per difetto. Sembra però

che tale periza sia solo frutto di calcoli e non un'intuizione teorica. E' infati

possibile calcolare un'approssimazione buona quanto si vuole con il solo teo-

rema di Pitagora, costruendo poligoni inscritti in una circonferenza con un

numero sempre maggiore di lati.

Figura 2.4: Conoscendo la lunghezza di un lato PQ=s di un poligono regolare

di n lati inscritto in un cerchio di raggio r, l'apotema OM= u si puo' ricavare

con il teorema di Pitagora applicato al triangolo omq, la sagitta MR =

v = r − u diventa quindi calcolabile. Il lato RQ = w del poligono regolare

inscritto di 2n lati viene calcolato usando nuovamente il teorema di Pitagora

sul triangolo rettangolo MQR. Tutto il procedimento puo' essere sempli�cato

con la formula w2 = 2rv.

Per quanto riguarda il calcolo dell'area e dei volumi non c'è molto da

dire, i cinesi sapevano calcolare aree di tringoli, rettangoli e trapezi e volumi

di prismi, piramidi e coni. Da notare che anche negli scritti cinesi troviamo

spesso metodi corretti e approssimazioni senza alcuna distinzione.

Particolare attenzione merita invece il teorema di Pitagora, di cui abbia-

mo enunciato e dimostrazione geometrica nel libro piú antico, il Chou Pei

12 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE

Suan Ching. Riportiamo le parole dal testo originale:

�Dividiamo un rettangolo (diagonalmente) e poniamo che la lar-

ghezza sia di 3 unitá e la lunghezza di 4 unitá. La diagonale tra

i due angoli risulterá quindi di 5 unitá. Ora, dopo aver disegnato

un quadrato su questa diagonale, circoscriviamolo con mezzi ret-

tangoli come quello che é rimasto fuori in modo da formare una

tabella quadrata. I quattro mezzi rettangoli esterni che misura-

no 3 unitá di larghezza, 4 di lunghezza e 5 di diagonale, formano

in tal modo insieme due rettangoli di area 24; quindi (quando

questa viene sottratta dalla tabella quadrata di area 49) il rima-

nente ha un'area di 25 unitá. Questo procedimento viene detto

raggruppare rettangoli.�

La di�erenza tra dimostrazione euclidea e cinese é che per la dimostrazio-

ne euclidea é necessaria una notevole conoscenza delle proprietá geometriche

relative ad aree e triangoli identici. La dimostrazione cinese invece permette

che il teorema sia compreso e applicato con una certa facilitá a molti pro-

blemi pratici. Come applicazioni al teorema di Pitagora troviamo un intero

capitolo, chiamato �Angoli retti�, nel Chiu Chang Suan Shu dedicato a vari

problemi concreti. Per esempio in questo capitolo compare il famoso pro-

blema della canna che cresce al centro di uno specchio d'acqua: la canna

sporge di un piede dalla super�cie dello specchio d'acqua che misura 10 pie-

di quadrati, quando viene tirata verso il bordo dello stagno s�ora appena la

super�cie. Partendo da questi dati si chiede la profonditá dello stagno. Vi

é inoltre il problema del bambú spezzato che forma un triangolo rettangolo

2.3. I CINESI 13

naturale. La canna di bambú alta 10 piedi la cui cima spezzata tocca il

terreno a 3 piedi dalla radice. Trovare l'altezza del punto in cui é spezzata.

14 CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA NELLE CIVILTÀ ANTICHE

Bibliogra�a

[1] Boyer C. B. 'Storia della matematica'

[2] Giacardi L., Roero S. C. 'La matematica delle civiltà antiche'

[3] Relazioni 2010

[4] Informazioni ricavate in rete.

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