Introduzione all’algebra lineare

Marco Casarotti(Università di Padova)

Paolo Bouquet(Università di Trento)

Algebra lineare

Definizione di Matrice:

Tabella di numeri – detti coefficienti – disposti in righe e colonne:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

indici

Esempi:

11 12

21 22

b bB

b b

11 12

21 22

a aA

a a

3

13

11 1

1

n

m mn

a a

a a

m

n

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

4 14 1 3 6

6 2 1 74 3

67 32 1 3 99

3 76

55 32

4 3

56 1

Matrici quadrate

Matrici quadrate:

Il numero di righe è uguale al numero di colonne: A m x m

m è chiamato ordine della matrice

Esempio di matrice

avente ordine 4

23 9 79 5

2 10 1 66

54 1 43 32

6 121 1000 5

Definizioni

Diagonale principale:

Insieme dei coefficienti con indice (i, i) con 1 ≤ i ≤ m

23 9 79 5

2 10 1 66

54 1 43 32

6 121 10 5

Definizioni

Diagonale secondaria:

Insieme dei coefficienti con indice (i, m-i+1) con 1 ≤ i ≤ m 23 9 79 5

2 10 1 66

54 1 43 32

6 121 10 5

Definizioni

Matrici diagonali:

Sono matrici quadrate i cui coefficienti NON diagonali sono uguali a 0.

Esempi:

1 0

0 2

3 0 0

0 3 0

0 0 43

3 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 2

Definizioni

Matrici scalari: matrici diagonali in cui tutti i coefficienti sono tra loro uguali

5 0 0 0

0 5 0 0

0 0 5 0

0 0 0 5

Vettori

Matrice 1xn: vettore riga ( )

Matrice mx1: vettore colonna ( u )

12 3 121Tv 12

3

121

u

Tv

Prodotto scalare

Prodotto scalare: data una matrice A ed uno scalare α,si definisce prodotto scalare la matrice αA tale che:

mn

A a

2 4 2

2 6 5

8 4 8

A

3

2*3 4*3 2*3

2*3 6*3 5*3

8*3 4*3 8*3

A

Definizioni

Si definisce –A, la matrice OPPOSTA di A:

Proprietà del prodotto scalare:• 1A=A• 0A=0• (xy)A=x(yA)

mnA a

Somma di matrici (per componenti)Date due matrici A e B delle medesime

dimensioni, si definisce come loro somma la matrice A+B tale che:

La somma di matrici aventi diverse dimensioni NON è definita.

( )mn mn mna b a b

1 12 4

2 3 3

9 6 9

4 1 1

6 3 2

2 4 8

1 4 12 1 4 1

2 6 3 3 3 2

9 2 6 4 9 8

A

B

A B

Prodotto per componenti

Date due matrici A e B delle medesime dimensioni, si definisce come loro prodotto per componenti la matrice C tale che:

( ) *mn mn mnc a b

1 12 4

2 3 3

9 6 9

4 1 1

6 3 2

2 4 8

1*4 12*1 4*1

.* 2*6 3*3 3*2

9*2 6*4 9*8

A

B

A B

Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna

Dati un vettore riga ed un vettore colonna u con lo stesso numero di elementi, ovvero rispettivamente 1xn e nx1, si definisce prodotto riga per colonna il valore (o matrice 1x1):

1 1 ...Tn nv u v u v u

Tv

Esempio di prodotto riga

1 2 3 4

3

5

7

1

1*3 2*5 3*7 4*1

T

T

v

u

v u

Prodotto di matrici righe per colonneSiano A e B due matrici tali che il numero di

colonne di A sia uguale al numero di righe di B. Definiamo il prodotto di A e B righe per colonne come la matrice C ottenuta eseguendo il prodotto di vettore riga per vettore colonna tra tutte le righe di A e tutte le colonne di B. La matrice C avrà lo stesso numero di righe di A e lo stesso numero di colonne di B.

11

4 3 11 2 3 4

5 9 75 6 7 8 *

7 4 59 10 11 12

8 9 1

4

51 2 3 4 *

7

8

a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

21

4 3 11 2 3 4

5 9 75 6 7 8 *

7 4 59 10 11 12

8 9 1

4

55 6 7 8 *

7

8

a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

21

4 3 11 2 3 4

5 9 75 6 7 8 *

7 4 59 10 11 12

8 9 1

4

59 10 11 12 *

7

8

a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

12

4 3 11 2 3 4

5 9 75 6 7 8 *

7 4 59 10 11 12

8 9 1

3

91 2 3 4 *

4

9

a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

22

4 3 11 2 3 4

5 9 75 6 7 8 *

7 4 59 10 11 12

8 9 1

3

95 6 7 8 *

4

9

a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

32

4 3 11 2 3 4

5 9 75 6 7 8 *

7 4 59 10 11 12

8 9 1

3

99 10 11 12 *

4

9

a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

Prodotto di un vettore colonna per un vettore riga

Il prodotto di un vettore colonna u per un vettore riga è una matrice C ottenuta calcolando il prodotto per componenti di una matrice A avente tante colonne, tutte uguali ad u, quante sono le righe di e di una matrice B avente tante righe, tutte uguali ad quante sono le righe di u.

Tv

Tv

Tv

Esempio di prodotto di vettore colonna per vettore riga

1

2

3

u

6 7 8 9T

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

6 7 8 9

6 7 8 9

6 7 8 9

1*6 1*7 1*8 1*9

2*6 2*7 2*8 2*9

3*6 3*7 3*8 3*9

.* =

11 12 13 14

21 22 23 24

w w w w

w w w w

11 12

21 22

31 32

m m

m m

m m

1 2 3 4x x x x

1 2h h

1 2 3y y y

Esempio rete neurale con due insiemi di pesi

Y

W

M

H

X

11 12 13 14

21 22 23 24

w w w w

w w w w

11 12

21 22

31 32

m m

m m

m m

1 2 3 4x x x x

1 2h h

1 2 3y y y

*

*