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Introduzione alla Teoria dei GiochiGiochi Bayesiani Dinamici

Lorenzo Rocco

Scuola Galileiana - Università di Padova

15 aprile 2010

Rocco (Padova) Giochi 15 aprile 2010 1 / 28

Giochi Bayesiani Dinamici

Al di fuori della classe dei giochi con informazione perfetta e multi-stage, ilconcetto di SPNE è scarsamente utile perché ci sono pochi sotto-giochi.

Esempio: entry-game esteso con due "modi" di entrare nel mercato nondistinguibili dall�incumbent.In tal caso non ci sono sotto-giochi propri, e quindi equilibri di Nash noncredibili non sono eliminabili.Introducendo formalmente le beliefs dei giocatori è possibile estenderel�applicabilità della sequental rationality e ra¢ nare equilibri di Nash noncredibili.Nell�esempio, per qualsiasi belief dell�incumbent, "accomodate" domina"�ght"


Beliefs

De�nitionUn sistema di beliefs µ in un gioco in forma estesa ΓE è una speci�cazionedi probabilità µ(x) 2 [0, 1] per ogni nodo decisionale x appartenente a uninformation set H, tale che

∑x2H

µ(x) = 1

per ogni set informativo H di ΓE .

Si tratta di una valutazione soggettiva della probabilità che il giocatore sitrovi a muovere nel nodo x


Payo¤ atteso di continuazione

Trovandosi nell�insieme informativo H, il payo¤ che un giocatore si attendedi ottenere dalla continuazione del gioco, date le sue beliefs µ e lestrategie sue e dei suoi avversari si e s�i (che speci�cano come continuarea giocare), è indicato da E (ui jH, µ, si , s�i ).Esempio: nell�entry game, sia µ = 1

2 , sE = in1, sI = accom. Si ha

E (uI jentered ,12, accom., in1) =

120+

121


Sequential Rationality

De�nitionUn pro�lo di strategie s = (s1, ..., sI ) in un gioco in forma estesa ΓE èsequentially rational nel set informativo H, dato un sistema di beliefs µ se,indicando con ι(H) il giocatore che muove in H, abbiamo

E (uι(H )jH, µ, sι(H ), s�ι(H )) > E (uι(H )jH, µ, s 0ι(H ), s�ι(H )) per ogni s0ι(H ) 2 Sι(H )

Se il pro�lo di strategie s soddisfa questa condizione in tutti gli informationset, diremo che s è sequentially rational dato il sistema di beliefs µ.

In pratica si richiede che ad ogni information set, il giocatore che ha lamossa, stia massimizzando il payo¤ di continuazione, date le beliefs e lestrategie degli altri.


Equilibrio Bayesiano Perfetto debole

De�nitionUn pro�lo di strategie e un sistema di beliefs (s, µ) costituiscono unEquilibrio Bayesiano Perfetto debole (weak PBE) nel gioco in forma estesaΓE se possiedono le seguenti proprietà:1) il pro�lo di strategie s è sequentially rational dato il sistema di beliefs µ2) il sistema di beliefs è derivato dal pro�lo di strategie s attraverso laregola di Bayes quando possibile. Ovvero, per ogni information set Hraggiunto con probabilità strettamente positiva, Pr(H js) > 0, deve valereche

µ(x) =Pr(x js)Pr(H js)

per tutti i nodi x in H.


Esempio

Joint Venture tra due imprese entranti: un�impresa può decidere se entrarein un mercato da sola, facendo un�alleanza con un�altra impresa, oppurerimanere fuori. Se entra da sola l�impresa è debole, se entra in tandem èforte. La potenziale alleata può accettare o meno l�o¤erta. L�incumbentosserva solo l�entrata, ma non osserva se l�impresa entra da sola o intandem. L�incumbent deve decidere se combattere o essere accomodante.


Note I

Questa de�nizione richiede non solo che le strategie siano ottimalidate le beliefs, ma anche che le beliefs siano consistenti con lestrategie d�equilibrio.

Nota: Nei set informativi che non sono raggiunti dal sentiero di gioco,la regola di Bayes non può essere applicata e le beliefs sono arbitrarie.La giusti�cazione è che non ci possono essere beliefs ragionevoli (opiù ragionevoli di altre) per porzioni del gioco che non sono mairaggiunte.

L�aggettivo "debole" si riferisce proprio al fatto che le beliefs al difuori del sentiero di gioco sono arbitrarie e non devono soddisfarealcun vincolo eccetto la non-negatività e la somma a 1.

La libertà nella scelta delle beliefs o¤ the equilibrium path generaspesso una molteplicità di equilibri. I ra¢ namenti al weak PBEconsistono sempre in criteri che le beliefs o¤ equilibrium devonosoddisfare.


Note II

Tuttavia il weak PBE è più forte dell�equilibrio di Nash, come indica ilseguente teorema:

TheoremUn pro�lo di strategie s è un equilibrio di Nash del gioco in forma estesaΓE se e solo se esite un sistema di beliefs µ tale che1) il pro�lo di strategie s è sequenzialmente razionale dato il sistema dibeliefs µ in tutti gli information sets H tali che Pr(H js) > 0 (ovvero intutti e soli gli info set lungo il sentiero di equilibrio)2) Il sistema di beliefs è derivato dal pro�lo di strategie s usando, quandopossibile, la regola di Bayes.

Quindi l�equilibrio di Nash richiede la sequential rationality solo lungo ilsentiero di gioco non in tutti gli information set.


Weak PBE e SPNE

Tuttavia ottenere la sequential rationality o¤ the equilibrium path èrelativamente facile, dato che le beliefs sono arbitrarie. Infatti il weak PBEnon è più forte dell�SPNE, a meno di ulteriori condizioni

Esempio: nell�entry game in cui prima l�entrant decide se entrare e poientrant e incumbent decidono simultaneamente se combattere o essereaccomodanti, l�unico SPNE è [(in, accom), accom] mentre esite anche unaltri weak PBE [(out, accom),�ght] with µ > 2

3 (precisamente sonoin�niti weak PBE, uno per belief).

Nota: Ci sono vari modi per ra¤orzare il weak PBE. Ad esempio richiedereche (s, µ) portino a un weak PBE in ogni sottogioco implica che unPerfect Bayesian Equilibrium sia sempre anche SPNE. Nell�esempio il weakPBE non genera un weak PBE nel sottogioco proprio.


Forward induction

Un modo per rendere ragionevoli le beliefs o¤ the equilibrium è la forwardinduction.Avendo osservato una deviazione, un giocatore immagina che taledeviazione sia razionale e voluta (non un mero errore) e che quindil�obiettivo sia quello di massimizzare i payo¤ successivi.

Esempio: Nell�entry game con weak PBE [out,�ght] con µ(in1) = 1, sifanno ragionamenti del tipo: "se l�entrant è entrato, allora certamente l�hafatto per giocare in2...". Quindi le beliefs devono essere µ(in2) = 1. Macon queste o¤ the equilibrium beliefs il weak PBE considerato crolla.

Ma cosa accade se la deviazione accade davvero per errore?


Giochi di segnalazione e di screening

Il concetto di (weak) PBE può essere applicato e¢ cacemente anche agiochi dinamici con asimmetria informativa (informazione incompleta). Inparticolare in due classi di giochi:1) i giochi di segnalazione2) i giochi di screening

Nei giochi di segnalazione chi ha l�informazione privata ha incentivo asegnalare alla parte non informata il suo tipo.

Nei giochi di screening la parte non informata vuole indurre la parteinformata a rivelare il suo tipo.


Giochi di segnalazione

Descrizione:

La Natura muove e sceglie il tipo per il giocatore 1, θ1 2 ΘLa distribuzione dei tipi F (θ1) è conoscenza comune

Il giocatore 1 (emittente), osservato il suo tipo, sceglie un�azionem 2 M (messaggio)

Dopo avere osservato l�azione del giocatore 1, i giocatori 2, .., I(riceventi) simultaneamente scelgono un�azione ri 2 Ri (risposta).Per il giocatore 1, una strategia è una funzione a : Θ ! M

Per i giocatori 2, ..., I una strategia è una funzione si : M ! RiI payo¤ sono de�niti sulle strategie


Esempi

the Ph.D. Admission Game

a simple signalling Game


Ra¢ namenti I

Le beliefs o¤ the equilibrium sono arbitrarie e consentono di sosteneremolti equilibri pooling. Come rendere ragionevoli queste beliefs?

Ci sono svariati ra¢ namenti possibili del weak PBE che possono essereadottati per i giochi di segnalazione.I più semplici sono i seguenti:1) congetture passive: se la probabilità di commettere un errore èindipendente dal tipo, quando si raggiunge un information set esterno alsentiero di equilibrio, la probabilità di ciascun tipo corrisponde alla prior(= distribuzione originaria dei tipi)

Esempio: nel Ph.D. Admission Game, µ(hater) = 0.9 nell�equilibrio[(NA;NA), reject]


Ra¢ namenti II

2) complete rubustness: le strategie di equilibrio sono completamenterobuste se sono best responses qualsiasi siano le beliefs o¤-the-equilibrium(ovvero indipendentemente dalle beliefs)

Esempio: nel Ph.D. Admission Game, l�equilibrio [(NA;NA), reject] valesolo se µ > 2

3 , quindi non per qualsiasi out-of-equilibrium belief.


Ra¢ namenti III

3) criterio intuitivo (Cho, Kreps, 1987) o "equilibrium dominance": seesistono tipi del giocatore informato che sarebbero danneggiati da unadeviazione dal sentiero di equilibrio, qualsiasi siano le beliefs del giocatorenon-informato, allora la probabilità da assegnare a questi tipio¤-the-equilibrium è zero (la strategia di equilibrio domina sulledeviazioni).

Esempio: nel Ph.D. Admission Game, l�equilibrio [(NA;NA), reject] conµ > 2

3 , non è consistente con il criterio intuitivo perché il tipo hater nontrova mai conveniente deviare da NA ad A qualsiasi siano le beliefsdell�università. Quindi µ(hater) = 0.Esempio: nel simple signalling game, t2 non ha mai interesse a deviare,quindi µ(t1) = 1 e tutti gli equilibri pooling vengono depurati


Nota

Negli equilibri separating, ogni tipo sceglie un messaggio diverso. Se ilnumero dei tipi coincide con il numero dei messaggi possibili, ogni setinformativo è raggiunto dal percorso del gioco. Non ci sono beliefso¤-the-equilibrium. Solo negli equilibri pooling è possibile che alcuniset informativi non vengano raggiunti e solo in tal caso i ra¢ namenti"mordono".

Se il numero di messaggi possibili supera il numero dei tipi, ancheseparating equilibria possono essere ra¢ nati

Esempio: 2 tipi - 3 messaggi.


Modello di segnalazione di Spence (1973) I

Ci sono due tipi di lavoratori, quelli con alta (θH ) e bassa (θL)produttività innata. La proporzione degli high è λ.

Le imprese che competono tra loro sul mercato non sono in grado diosservare l�"abilità", nè esiste un test sicuro per misurarla.

C�è un problema di incentivi: i lavoratori high vorrebbero segnalare illoro tipo, mentre i low vorrebbero dichiararsi high.


Modello di segnalazione di Spence (1973) II

Tuttavia esiste il modo di segnalare correttamente il proprio tipo. Ilsignalling device è rappresentato dall�istruzione. Estremizzando,l�istruzione non aggiunge nulla al capitale umano e quindi allaproduttività del lavoratore.

Prima di entrare nel mercato, i lavoratori possono acquisire un certolivello di istruzione che è osservabile da tutti.

La funzione di costo dell�istruzione ha le seguenti proprietà

c(0, θ) = 0 ce (e, θ) > 0 cee (e, θ) > 0

cθ(e, θ) < 0 ceθ(e, θ) < 0

Intuitivamente, il tipo high ha un vantaggio a segnalarsi, in quanto ilsegnale gli costa meno che al tipo low (il segnale istruzione è costoso, nonè cheap talk).


Modello di segnalazione di Spence (1973) III

Il payo¤ dei lavoratori è

u(w , e, θ) = w � c(e, θ)

L�outside option di entrambi i tipi è uguale e nulla, quindi i lavoratoriaccetterranno sempre un salario positivo associato a istruzione nulla.

Nel mercato operano due imprese, che competono per massimizzare ipro�tti. O¤rono simulataneamente un salario.

Assumiamo che le imprese abbiano le stesse aspettative µ(e) riguardoal tipo del lavoratore quando osservano il livello di istruzione e. Graziea questa condizione, un weak PBE diventa un PBE.

Senza possibilità di segnalazione l�unico equilibrio competitivo èquello in cui il salario è pari alla produttività media, i.e. w � = E (θ)


Modello di segnalazione di Spence (1973) IV

Partendo dalla �ne le imprese o¤rono un salario, avendo osservato e.Poiché le imprese giocano simultaneamente, le imprese o¤rono laproduttività attesa:

w = µ(e)θH + (1� µ(e))θL

Anticipando la wage schedule, il lavoratore decide che livello diistruzione acquisire, dato il suo tipo.


Modello di segnalazione di Spence (1973) V

Distinguiamo tra equilibri separating e pooling:Equilibri separating: i diversi tipi acquisiscono diversi livelli di istruzione.I seguenti lemmi caratterizzano gli equilibri separating

LemmaIn ogni separating PBE, w �(e�(θH )) = θH e w �(e�(θL)) = θL, cioè ognitipo riceve un salario pari al suo livello di produttività.

Proof.Poiché l�equilibrio è separating, quando le imprese osservano e�(θH )inferiscono che stanno di fronte a un tipo θH e quindi µ(e�(θH )) = 1.Perciò w � = θH . Simmetricamente quando le imprese osservanoe�(θL).


Modello di segnalazione di Spence (1973) VI

LemmaIn ogni equilibrio separating e�(θL) = 0, cioè un tipo θL sceglie di nonacquisire istruzione.

Proof.Poiché l�istruzione è costosa e sapendo che w �(e�(θL)) = θL in equilibrioqualunque sia l�istruzione acquisita, la strategia ottima per θL èe�(θL) = 0.

De�niamo e�(θH ) = ee. Le aspettative compatibili con la wage-scheduleproposta devono essere

µ(e) =w(e)� θL

θH � θL

che in equilibrio, diventano µ(e = 0) = 0 e µ(e = ee) = 1.Rocco (Padova) Giochi 15 aprile 2010 24 / 28

Modello di segnalazione di Spence (1973) VII

A¢ nché un equilibrio separating sia tale, si deve impedire che siaconveniente deviare.

Abbiamo visto che in equilibrio deve essere e�(θL) = 0 , w(0) = θL ee�(θH ) = ee , w(ee) = θH . Se ee fosse troppo basso, θL potrebbe trovareconveniente acquisire il livello di istruzione ee al �ne di indurre le imprese acrederlo un tipo θH . Si deve allora imporre che

u(θL, 0, θL) = θL � c(0, θL) > u(θH ,ee, θL) = θH � c(ee, θL)La soluzione di questa equazione o¤re il livello minimo di ee impedisce a θLdi deviare.

La condizione di single-crossing delle preferenze assicura che θH non abbiaincentivo a deviare (vedi �gura).

Nota: livelli di istruzione ee 0 > ee possono fare parte di equilibri PBEcon aspettative "pessimiste" out-of-equilibrium riguardo allaprobabilità di osservare un tipo θH


Modello di segnalazione di Spence (1973) VIII

Equilibri pooling: tutti i tipi acquisiscono lo stesso livello di istruzione,cioé e�(θL) = e�(θH ) = e�

Osservando e� le imprese non possono aggiornare le loro beliefs e quindiµ(e�) = λ. La corrispondente wage schedule è

w �(e�) = λθH + (1� λ)θL = E (θ)

Il livello di istruzione non può essere troppo elevato, altrimenti il tipo θLavrebbe incetivo a deviare e scegliere e = 0. Il massimo livello di istruzionesupportabile come equilibrio pooling è dato da

u(E (θ), e, θL) = E (θ)� c(e, θL) > u(θL, 0, θL) = θL � c(0, θL)

(vedi �gura)


Modello di segnalazione di Spence (1973) IX

Nota: il livello e = 0 è compatibile con un equilibrio pooling. E�l�equilibrio Pareto ottimale, coincidente con il caso di non segnalazione

Nota: ci sono moltissimi equilibri in questo modello, sia separatingche pooling.

Nota: usando il criterio intuitivo, gli equilibri separating con ee 0 > eepossono essere eliminati: questi equilibri assumono implicitamente chequando le imprese osservano ee < be < ee 0, µ(be) < 1, quindi assegnanouna probabilità positiva a θL. In realtà per θL deviare da e = 0 ae = be è una dominato. Quindi µ(be) = 1 e w(be) = θH . Ma allora iltipo θH vorrebbe deviare su be (vedi �gura).

Quindi l�unico equilibrio separating che sopravvive è quello con e = ee.Anche tutti i pooling equilibia possono essere cancellati: ogni deviazioneda e� verso be è dominata per il tipo θL. Quindi µ(be) = 1 e w(be) = θH .Ma allora il tipo θH vorrebbe deviare su be (vedi �gura)


Modello di segnalazione di Spence (1973) X

L�unico equilibrio che sopravvive è allora il separating con istruzionee(θL) = 0 e e(θH ) = ee.

Nota: l�equilibrio separating non dipende dalla proporzione dihigh-type λ. Anche se ci sono pochi low-type, tutti gli high-typehanno l�incentivo a acquisire istruzione per segnalarsi.

Nota: senza segnalazione tutti i lavoratori ottengono E (θ) e nondoveno spendere per l�istruzione. Segnalando, i tipi θL stanno peggio.I tipi θH ottengono un salario più elevato, ma potrebbero stare peggioa causa dei costi dell�istruzione. Questo è particolarmente vero se λ èprossimo a 1. Nonostante il guadagno di e¢ cienza connesso allasegnalazione, l�equilibrio di segnalazione potrebbe esserePareto-dominato.


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