Introduzione alla logica sfumata Introduction to Fuzzy Logic

Insieme sfumato Fuzzy SetDominio di definizione; definition space: x X RL’insieme sfumato è definito dalla funzione di appartenenza; Fuzzy set defined by its membership function: A(x) 0 A(x) 1 ,x X

Insieme vuoto; Empty set (x)=0 per xX ;

Insieme universo; Univers set S: S(x) =1 per xX

Insieme unione; Union set: AB AB (x)=max[A(x);B(x)]Insieme intersezione; Intersection set: AB AB(x)=min[A(x);B(x)]Insieme complementare; complement set: A* di of A : A(x)+A*(x)=1=

S(x)

x

100

X=(0<x<10)Fuzzy sets:: (x)=0 per xXS: S(x)=1 per xX

A insieme sfumato generico A(x) = 01 per xX

A* insieme complementare di A: A*(x) =1-A(x)Vettore sfumato; Fuzzy vector: C(x)= (c1,c2,…,cM) = (c1(x), c2(x),…, cM(x))

S(x)=1

(x)=0

A(x)

F(x)1

B(x)A*(x)

Per Insiemi Booleani; For Boolean Sets:Principio di esclusione; Exclusion principle:

AA* = S; AA* =

AA* : AA* (x) = max[A(x),A*(x)]≤ 1

AA* : AA* (x) = min[A(x),A*(x)] ≥0

Gli insiemi sfumati non godono del principio di esclusione;Exclusion principle is not valid for Fuzzy sets

A A* S AA*

A(xi)

x1 xi xM

A

y1

yj

yM

B(yj)

B

C(B)

C(xi,yj)

C(A)

Insiemi sfumati di insiemi sfumati (funzioni sfumate a più valori) Fuzzy sets of fuzzy sets: (multivalued fuzzy functions)

C2(x)

Vettore sfumato c =(c1 , c2) nel piano delle sue funziomi di appartenenza

Fuzzy vector c =(c1 , c2) in the plane of the membership functions

S=(1,1)

=(0,0)

(1,0)

(0,1)

A(2/3,1/4)

C1(x)

C(x)

QuantizzatoresfumataFuzzifier

ElaboratorelinguisticoLinguisticprocessor

QuantificatoreDefuzzier

Segnali analogici Analog signals

Struttura di un sistema per l’ elaborazione sfumataFuzzy set processor

Segnale analogico Analog signal

Antecedenti: variabili linguistiche a più valori (simboli) Antecedents: Multivalued linguistic variables (symbols)

variabile linguistica a più valori (simbolo): ConseguenteMultivalued linguistic variable (symbol): Consequent

QuantizzatoresfumatoFuzzifier

ElaborazionelinguisticaLinguisticprocessing

Segnali analogici Analog signals

Antecedenti: variabili linguistiche a più valori (simboli) Antecedents: Multivalued linguistic variables (symbols)

Massimo degliingressiMax of input

Riconoscitore basato sulla logica sfumataFuzzy recognition system

grado di apparteneza:conseguentemembership value: consequent

Classe riconosciutaSelected class

Vm T VM x

1

0

binario booleanobinario sfumato

0(x) 1(x)

i(x); i=0,1 (appartenenza alla variabile binaria)

X

Fig. 2 Funzioni di appartenenza alla variabile binaria ( codificatore binario booleano e codificatore binario sfumato)

x

= {aP

100

A ,aM

,aG}

aP(x) aG(x)aM(x)

ai(x), i= P,M,G

1

Funzioni di appartenenza di una grandezza sfumata a tre valori (piccolo:P,medio: M,grande: G)Membership functions of a three valued fuzzy variable (small:P,medium:M,large: G)

AaMP aP

aM aGB

bP

bG

cP cP

cPcM

cM cG

cG cMG

C={cP,cM,cG,cMG}A={aMP,aP,xM,aG} B={bP,bG}

C= f(A,B)

Esempio di trasformazione degli antecedenti Ae B nel conseguente CExample of the mapping of antecedents A,B into the conequent C

Riconoscimento di vocali con logica sfumataFuzzy vowel recognition

F2

F1

F2

QS; F

E

QS;F

F1

A

O

U

I

argmaxI…EElab.

Ling.

F1 MP P M GF2

B

A

U O

U E

A A

E I

V={I,U,O,A,E}F1={MP, P,M,G} F2={B,A}

Trasformazioni di funzioni logiche a tre valoriBasic three valued logic variable transformation

C= OR(A,B)

A -10 1B

-1

1

0

A -10 1B

-1

1

0

C= AND(A,B)

A -10 1

B-11 0

-1 0 1

0 0 1

1 1 1

-1 -1 -1

-1 0 0

-1 0 1

B= NOT(A)

y

P(y) G(y)M(y)

i(y),

1

P(y) = .8M(y) = .3

G(y) = .1

y= (i yi Ai)/(i Ai) con i = P,M,G

AP AM

AG

yP yM yG

Quantificazione con il metodo dei centroidiMethod of the centroids for fuzzy quantification

QuantificatoreDefuzzifier(MLP)

x

e

+ _

xQuantizzatore sfumatoFuzzifier

x^

Realizzazione del Quantificatore con un Percettrone MultistratoImplementation of the Defuzzifier using a Multi LayerPperceptron

DCT

l(i,j)

FuzzifierLinguisticProcessor

argmax[mHI,mMH,mML,mLO]

T

L

Bclass

S

S

c(m,n)T’

L’

Input: Image luminance I(i,j)

Preprocessed input pattern: DCT Transforms

Input pattern: Total (T’)and low frequency (L’) energies:

T’ = |c(m,n)|-|c(0,0)|, m,n = 0-7

L’ = |c(m,n)|-|c(0,0)|, m,n = 0-3

Antecedents:Fuzzy Total Energy: T={VS, SM, ML, LG}

Fuzzy Low Frequency Energy: L={SM, LG}

Conseguents: Visibility Block Classification: B={LO,ML,MH,HI}

Classificatore sfumato delle trasformate DCT di blocchi d’ immagineImage DCT Block fuzzy Classifier

L

SM LG

SM, LG

1000

T

VS LG

VS, SM, ML, LG

SM ML

1000

1

1

Funzioni di appartenenza per la codifica sfumata di T ed LMembership functions used for T and L fuzzification

TL LGML

HI

HI

ML

LO

LG

SM

VS SM

MH

HI

ML

LO

Trasformazione linguistica dell’ attivita’ dei blocchi DCTLinguistic transformation of the DCT blocks

xControllore

sfumatoFuzzy

controller

inseguitore(motore)

t

(e)/t

e

e’

Errore di posizione; position error: (e=x-y)

Antecedenti; antecedents:

Errore; error: e={N,Z,P},

Derivata dell’ errore; error derivative: e’={N,Z,P},

Velocita’ al tempo n-1; speed at time n-1: vp={N,Z,P}

Conseguente; consequent: Velocita’; speed:v={N,Z,P}

Controllore PID sfumato per motoriFuzzy PID motor controller

y+ _

cs

qs

e’

vp

e

v

Apprendimento dei classificatori sfumatiLearning of the fuzzy classifiers

a) Metodo del gradiente per l’addestramento dei quantizzatori sfumati; Gradient method for the learning of the fuzzifier

Problema della derivazione delle funzioni discontinue; issues of the differentation of discontinous functions) max(x,a)/x = 1 if x>a else max(x,a)/x = 0

b) Addestramentodi tutti i blocchi (CS, Trasf. Linguistico, QS) Learning of all the blocks (Fuzzifier, Ling. mapping, Defuzzzifier) Si utilizza l’architettura ANFIS; we use the ANFIS architecture

(Adaptive Network-based Fuzzy Inference System;

Sistema d’inferenza sfumato basato su una rete adattativa )

Problema: date P coppie di addestramento (xp,zp; p=1÷P) della z=z(x)Estrapolare (inferire) la z(x) come combinazione pesata di M interpolatori lineari : z=iwi(pix+ri)

x

zz(x)

x2

z2

xp

zp

xP

zP

x1

z1

Introduzione all’architettura ANFIS,Introduction to the ANFIS architecture

x0= -r/p

z0= wr

Problem: P learning pairs (xp,zp; p=1÷P) of a z=z(x) are given.Infer the z(x)

as a weighted linear combination of M linear interpolator: z=iwi(pix+ri)

x

xl

xm

xh

y

xl

xm

xh

m1

m2

mi

m8

m9

:mi

z+

w1

w2

wi

w8

w9

wifiAND

fi=pix +qiy +ri

xy

Architettura ANFIS; ANFIS architecture

QSF

x

xl

xm

xh

y

xl

xm

xh

m1

m2

mi

m8

m9

:mi

z+

w1

w2

wi

w8

w9

wifiAND

fi=pix +qiy +ri

xy

QS F

Quantif.Defuzzifier

(OR)

X /

+

L1(x)

X /

X /

x z

+

+

L3(x)

L2(x)

A3

A2

A1

w3

w1

w2w2

w1

w3

QuantizzatorisfumatiFuzzifiers

Normalizzatori dei minterminiMinterm normalizers

QuantificatoriDefuzzifiersGeneratori dei

MinterminiMinterm generators

1

2

3

IF (A1 AND A2) THEN (w1=12) w1= w1/(w1+ w2+w3)

Dettagli dell’architettura ANFIS; details of the ANFIS architecture

x

Li(x)= pix+ri

Quantificatore; Defuzzifier: z=iwi(pix+ri)

In the specific case z(x)= w1 L1(x)+w2L2(x)+w3L3(x)

Rappresentazione matematica di ANFIS Mathematical respresentation of ANFIS

Quantizzatori sfumati; Fuzzifiers: i(x)= exp((x-ci)/ai)2,… (i=1÷K)

Generatore dei mintermini (AND aritmetico o logico); minterm generators: mhk =h(x)k(x),… (h;k=1÷K; mhk=mkh)

Normalizzatore dei pesi; weights normalizer: wj= wi/(w1+…+ wi+…+wI),…. With i=1÷I, I=K(K-1)/2)

Interpolatori lineari; Linear interpolators: Li(x)= pix+ri

x

z

1(x)

2(x) 3(x)i(x)

z(x)

x

w2L2(x)

L2(x)

L3(x)

Metodo: K funzioni di appartenenza degli ingressi; K membership functionsIl numero dei tratti lineari che vengono pesati con pesi funzione dell’ingresso sono Numero d’interpolatori lineari; number of linear interpolators; I≤ K(K-1)/2Nell’esempio; in the example K=2, I=3: z(x) ~ w1(x) L1(x)+w2(x)L2(x)+w3(x)L3(x)

w3L3(x)

w1L1(x)

L1(x)

Parametri; parametersParametri dei quantizzatori sfumati; Fuzzifier parameters: ai,ci (i=1÷K)

Parametri delle rette interpolatrici; linear interpolator parameters: pi,ri (i=1÷K(K-1)/2))

Coppie d’addestramento; training pairs: (xp,zp; p=1÷P) P>>K2

Addestramento ibrido; Hybrid Learning:1) pi e ri ottimizzati con metodo dei minimi quadrati LSE (sistema lineare sovradimensionato

di P equazioni); pi and ri optimized using LSE method (overdimensioned linear system of P equations)

2) ai e ci ottimizzati con il metodo del gradiente e retropropagazione dell’errore EBP per

ogni coppia d’addestramento; ai and ci optimized using the gradient method and EBP for

each training pair.

Riferimento: Jyh-Shing Roger Jang: ANFIS: Adaptive_Network-Based Fuzzy Inference System, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 23 No. 3 1993 pp. 665-684