Introduzione agli Insiemi Fuzzy e alla Logica Fuzzy Prof. Beatrice...

Introduzione agli Insiemi Fuzzy e alla Logica Fuzzy

Prof. Beatrice Lazzerini Dipartimento di Ingegneria della Informazione

Via Diotisalvi, 2 56122 PISA

Prof. B. Lazzerini Introduzione agli insiemi fuzzy e alla logica fuzzy

1

ESEMPI DI INSIEMI FUZZY

persone alte

temperature medie

numeri grandi

terre lontane …

INSIEME FUZZY

]1,0[X:A →µ

Aµ funzione di appartenenza

X universo di definizione (insieme convenzionale o crisp)

Spesso si scrive semplicemente ]1,0[X:A →

µGIOVANE

ETA` MEDIA VECCHIO

30 40 60 70 Anni


2

X

1

)x(µCore

Supporto

Alte

zza

0

supporto { }0)x(|Xx A >∈ µ (insieme crisp)

core { }1)x(|Xx A =∈ µ (insieme crisp)

altezza )x(sup)A(h AXx

µ∈

=

A è normale se 1)A(h = A è subnormale se 1)A(h <

FUZZY SINGLETON (o FUZZY POINT) = insieme fuzzy il cui supporto è un singolo punto


3

ALPHA-CUT (o LAMBDA-CUT)

A insieme fuzzy. Sia 10 ≤≤α .

Alpha-cut (o lambda-cut) = insieme crisp { }αµα ≥= )x(|xA A

αλ ≤∀ , ,1,0 ≤≤ αλ si ha λα AA ⊆ , dove XA0 =

x

1

µ

A

6.0=λ

3.0=λ

6.0A

3.0A

0


4

Insieme fuzzy (definito su nR ) convesso: tutti i suoi cut−α , ]1,0(∈α , sono insiemi convessi nel senso classico

X

1

)x(µ

0

A

B

α

αB

A insieme fuzzy subnormale convesso

B insieme fuzzy normale non convesso


5

Come si denota un insieme fuzzy

• Universo X discreto:

=

++= ∑i i

iA

2

2A

1

1Ax

)x(...

x)x(

x)x(

Aµµµ

In particolare, un fuzzy singleton è x

)x(A Aµ

=

• Universo X continuo:

= ∫ x

)x(A Aµ

I simboli ∑ ∫+ ,, indicano unione


6

UNIONE di insiemi fuzzy

X

1

µ

A B

0

))x(),x((max)x( BABA µµµ =∪


7

INTERSEZIONE di insiemi fuzzy

X

1

µ

0

A

B

))x(),x((min)x( BABA µµµ =∩


8

X

1

µ

A A

0

COMPLEMENTO di un insieme fuzzy

)x(1)x( AA µµ −=


9

X

1

µ

A

0

INCLUSIONE di insiemi fuzzy

B

)x()x(BA BA µµ ≤⇔⊆


10

Non vale la legge del mezzo escluso

x

1

µ XAA ≠∪

A A

Non vale la legge di contraddizione

x

1

µ

A A

∅≠∩AA


11

Definizioni alternative di intersezione fuzzy

Ogni definizione deve essere un’estensione dell’intersezione di insiemi tradizionali

intersezione standard:

)]x(B),x(A[min)x)(BA( =∩

prodotto algebrico:

)x(B*)x(A)x)(BA( =∩

bounded difference:

]0,1)x(B)x(A[max)x)(BA( −+=∩

• In generale, )]x(B),x(A[T)x)(BA( =∩

con T = norma triangolare

NORMA TRIANGOLARE (t-norma)

]1,0[]1,0[]1,0[:T →× tale che

1. ]1,0[aa)1,a(T ∈∀=

2. vb,uase)v,u(T)b,a(T ≤≤≤ monotonicità

3. )a,b(T)b,a(T = commutatività

4. ))c,b(T,a(T)c),b,a(T(T = associatività

I primi 3 assiomi assicurano che l’intersezione fuzzy coincide con l’intersezione classica se applicata ad insiemi classici


12

Definizioni alternative di unione fuzzy

Ogni definizione deve essere un’estensione dell’unione di insiemi tradizionali

unione standard:

)]x(B),x(A[max)x)(BA( =∪

somma algebrica:

)x(B)x(A)x(B)x(A)x)(BA( −+=∪

bounded sum:

]1,)x(B)x(A[min)x)(BA( +=∪

• In generale, )]x(B),x(A[S)x)(BA( =∪

con T = conorma triangolare

CONORMA TRIANGOLARE (t-conorma o s-norma)

Sia T una t-norma. Allora ]1,0[]1,0[]1,0[:S →× definita da

]1,0[b,a)b1,a1(T1)b,a(S ∈∀−−−=

è detta t-conorma.

Una t-conorma soddisfa le seguenti proprietà:

• a)0,a(S =

• monotonicità • commutatività • associatività

I primi 3 assiomi assicurano che l’unione fuzzy coincide con l’unione classica se applicata ad insiemi classici


13

PROPRIETÀ DI

INTERSEZIONE E UNIONE FUZZY STANDARD

Tra tutte le possibili intersezioni ed unioni fuzzy, le operazioni standard possiedono le seguenti proprietà:

l’intersezione fuzzy standard (operatore di minimo) produce l’insieme fuzzy più grande fra quelli prodotti da tutte le possibili intersezioni fuzzy (maggiore incertezza)

l’unione fuzzy standard (operatore di massimo) produce l’insieme fuzzy più piccolo fra quelli prodotti da tutte le possibili unioni fuzzy (minore incertezza)


14

Definizioni alternative di complemento fuzzy

complemento standard:

)x(A1)x(A −=

round complement:

2)]x(A[1)x(A −=

Yager:

),0(p,))]x(A[1()x(A p1p ∞∈−=

Sugeno:

),1(s,sx1x1

)x(A ∞−∈+−

=

• In generale, ))x(A(C)x(A =

dove ]1,0[]1,0[:C → è tale che

1. x)x)(CC( =o (involutiva)

2. C strettamente decrescente

3. C continua

4. 0)1(C,1)0(C ==


15

PRODOTTO CARTESIANO CONVENZIONALE

A, B insiemi classici (crisp)

{ }ByeAx|)y,x(BA ∈∈=×

La definizione si può facilmente estendere ad n insiemi fuzzy

X

Y

A

B


16

RELAZIONE TRA INSIEMI CLASSICI

(RELAZIONE CRISP)

È un sottoinsieme del prodotto cartesiano

Rappresentazione di relazioni crisp

• funzione caratteristica

∉∈

=R)y,x(se0R)y,x(se1

)y,x(R

• Diagramma

X Y

• Matrice di relazione (numero dimensioni = numero insiemi)

X={1,2,3}, Y={a,b,c}

=

110110011

321

R

cba


17

COMPOSIZIONE di relazioni crisp

ZY:S,YX:R →→

composizione max-min ZX:SRW →= o

∧= ∨

∈)z,y()y,x()z,x(

SRYy

W χχχ

composizione max-product (o max-dot) ZX:SRW →= o

•= ∨

∈)z,y()y,x()z,x(

SRYy

W χχχ


18

RELAZIONE FUZZY

È un insieme fuzzy definito sul prodotto cartesiano

]1,0[YX:R →×

X

Y 0 .0

0 .3

0 .5 0 .9

R

ERR ≠∪ , E relazione completa

ORR ≠∩ , O relazione nulla

=

111111111

E

=

000000000

O


19

PRODOTTO CARTESIANO DI INSIEMI FUZZY

]1,0[Y:B],1,0[X:A →→ BA× è una relazione fuzzy

))y(B),x(A(min)y,x(]1,0[YX:BA →→××

X

Y

A

B


20

RAPPRESENTAZIONE DI RELAZIONI FUZZY

• matrice

Sia R la relazione che rappresenta il concetto “molto lontano” tra gli insiemi }Parigi,YorkNew{X = e }aomR,YorkNew,Pechino{Y =

1 .9

0 .6

.7 .3

New York Pa rigi

New York

Pechino

R o ma

• ...YorkNew,YorkNew0Pechino,YorkNew1)Y,X(R ++=


21

Esempio di relazione (prodotto cartesiano)

321 x1

x5.0

x2.0

A ++=

21 y9.0

y3.0

B +=

==×

9.05.02.0

3.03.02.0

xxx

RBA

yy

3

2

1

21

COMPOSIZIONE di relazioni fuzzy

R relazione fuzzy su YX× , S relazione fuzzy su ZY× , e SRW o= relazione fuzzy su ZX× :

composizione max-min fuzzy (o composizione standard):

( ))z,y()y,x()z,x( SRYy

W µµµ ∧∨=∈

ovvero ( ))z,y(),y,x(minmax)z,x( SRYy

W µµµ∈

=

Analogamente si può definire la composizione max-product fuzzy.

In generale, sia nel caso di composizione crisp sia nel caso di composizione fuzzy, risulta RSSR oo ≠ .


22

ESEMPIO DI COMPOSIZIONE STANDARD

P

9.06.08.03.0

xx

yy

2

1

21

o

Q

14.09.05.0

yy

zz

2

1

21

=

QP

9.05.08.04.0

xx

zz

2

1

21

o

La composizione coinvolge esattamente le stesse combinazioni di elementi di un prodotto tra matrici. Il prodotto e la somma sono sostituiti, rispettivamente, da min e max.

• la composizione standard può essere generalizzata dalla composizione sup-T, dove T è una t-norma

)]z,y(S),y,x(R[Tsup)y,x(WYy∈

=

• Questa generalizzazione è importante per il ragionamento approssimato


23

Estensione di una funzione crisp

Una funzione crisp YX:f → può essere estesa in )Y(P)X(P:f →

{ }Ax),x(fy|y)A(f:)X(PA ∈==∈∀

P(X) è l’insieme potenza crisp di X

f(x)

A

B

Y

X

La funzione inversa 1f − può essere estesa in )X(P)Y(P:f 1 →−

{ }B)x(f|x)B(f:)Y(PB 1 ∈=∈∀ −

Quindi, considerando le funzioni caratteristiche come casi speciali di funzioni di appartenenza

• )x(Asup)y()]A(f[)x(fy|x =

=

(ovvero )x()y()y( A)x(fy

)A(fB χχχ ∨=

== )

• ))x(f(B)x()]B(f[ 1 =−


24

Esempio

X = {a, b, c} Y = {1, 2}

2c1b1a:f

→→→

f discreta

P(X) P(Y) P(Y) P(X)

{a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c}

{1} {2} {1, 2}

{1} {2} {1, 2}

∅ ∅ ∅ ∅

{a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c}

estensione di f estensione di 1f −


25

‘Fuzzificazione’ di una funzione crisp

Una funzione crisp può essere “fuzzificata” estendendola ad operare su insiemi fuzzy.

PRINCIPIO DI ESTENSIONE

YX:f → induce due funzioni

)Y(F)X(F:f → )X(FA)x(Asup)y()]A(f[)x(fy|x

∈∀==

)X(F)Y(F:f 1 →− )Y(FB))x(f(B)x()]B(f[ 1 ∈∀=−

F(X) è l’insieme potenza fuzzy di X. Se X e Y sono finiti, sup è sostituito da max.

f(x)

B2

B1

A1 A2

0 1

1

Ai(x)

Bi(x)

f continua


26

Più in generale )Y(P)X...XX(P:f n21 →××× . Quindi

)A...,,A,A(fB n21=

[ ]{ })x(...,),x(),x(minsup)y( nA2A1A)x,...,x,x(fy

B n21n21

µµµµ=

=

NUMERI FUZZY

Insiemi fuzzy definiti sui reali con funzione di appartenenza normale e convessa.

Numero fuzzy ‘uno’:

++=

22.

11

02.

1~

oppure

0 1 2

1

Il principio di estensione ci permette di estendere ai numeri fuzzy le operazioni aritmetiche standard sui numeri reali.


27

Sia * una delle 4 operazioni aritmetiche ( ÷×−+ ,,, ). Siano I e J due numeri fuzzy. Definiamo un insieme fuzzy su ℜ (denotato I*J) come segue

)]y(J),x(I[minsup)z()J*I(y*xz=

=

[ ]

[ ]

[ ]

~

~~

242.

32.

21

12.

02.

4)2.0,2.0(min

3)1,2.0(min)2.0,1(minmax

2)2.02.0(min),1,1(min),2.0,2.0(minmax

1)2.0,1min(),1,2.0(minmax

0)2.0,2.0(min

22.

11

02.

22.

11

02.

11

=++++=

++

+

+

=

+++

++=+

I numeri fuzzy sono importanti per definire le variabili linguistiche, cioè variabili i cui valori sono espressioni del linguaggio naturale.


28

ANCORA SUL PRINCIPIO DI ESTENSIONE

Una relazione binaria “generalizza” una funzione. Si può applicare il principio di estensione

R crisp

A

B

Y

X

{ }AxeR)y,x(|YyB ∈∈∈=

quindi

)]y,x(),x(min[sup)y( RAXx

B χχχ∈

=

Se R è una relazione fuzzy ed A un insieme fuzzy, l’insieme fuzzy B è definito da

)]y,x(),x(min[sup)y( RAXx

B µµµ∈

=

Considerando l’insieme fuzzy A come una relazione unaria, l’espressione precedente è analoga alla composizione sup-min.


29

VARIABILI LINGUISTICHE

Una variabile linguistica è una variabile i cui valori sono termini linguistici

bassissima

Temperatura

1

µbassa alta media altissima

10 20 30 40 0 Co

VARIABILE LINGUISTICA

VALORI LINGUISTICI

REGOLA SEMANTICA

v (temperatura) VARIABILE BASE


30

Una variabile linguistica è definita in termini di una variabile base (variabile in senso classico), i cui valori sono numeri reali all’interno di un dato intervallo.

I termini linguistici, che rappresentano valori approssimati della variabile base, sono interpretati come numeri fuzzy.

Una variabile linguistica è caratterizzata da una quintupla

(v, T, X, g, m)

dove v = nome della variabile

T = insieme dei termini linguistici di v

X = universo di definizione della variabile base

g = regola sintattica (una grammatica) per generare i termini linguistici (ad esempio, “molto alta”, “non molto bassa”)

m = regola semantica che assegna a ciascun termine linguistico Tt∈ il suo significato, m(t), che è un insieme fuzzy su X (universo di definizione della variabile base), cioè )X(FT:m → .

Una variabile linguistica è definita attraverso i suoi termini primari (rappresentati nella figura precedente). I termini primari sono etichette di insiemi fuzzy.


31

LINGUISTIC HEDGES

I termini atomici (quali ‘medio’, ‘alto’, ‘buono’, ‘bello’) del linguaggio naturale possono essere modificati con aggettivi o avverbi come ‘molto’, ‘quasi’, ‘più o meno’, …. Questi modificatori sono detti linguistic hedges.

Interpretando i termini atomici come insiemi fuzzy, gli edge linguistici modificano la funzione di appartenenza di un termine atomico.

Sia α un termine atomico

∫=Y y

)y(αµα

Si ha

α"molto" = 2α = [ ]∫Y2

y)y(αµ

α"eleggerment" = α = [ ]∫Y5.0

y)y(αµ

…

Le espressioni come la prima sono dette concentrazioni, perché riducono il grado di appartenenza di tutti gli elementi che sono “parzialmente” nell’insieme (riduzione dell’incertezza).

Più basso è il valore di appartenenza di un elemento ad un insieme fuzzy, più è ridotta la sua appartenenza mediante una concentrazione.

Le espressioni come la seconda sono dette dilatazioni, perché incrementano l’appartenenza di elementi che sono “parzialmente” nell’insieme (aumento dell’incertezza).


32

X

1

µ

0

A Concentrazione di A

X

1

µ

0

A

Dilatazione di A


33

INTENSIFICAZIONE

Un’altra operazione sugli insiemi fuzzy linguistici è l’intensificazione. Questa operazione incrementa il grado di appartenenza degli elementi il cui valore di appartenenza originale è > 0.5 e diminuisce il grado di appartenenza degli elementi il cui valore di appartenenza originale è < 0.5. L’intensificazione può essere espressa in vari modi, uno dei quali, proposto da Zadeh, è

[ ]

≤≤−−

≤≤=1)y(5.0per)y(121

5.0)y(0per)y(2"ensificaint" 2

2

αα

ααµµ

µµα

L’intensificazione aumenta il contrasto tra gli elementi dell’insieme con 5.0>µ e quelli con 5.0<µ .

X

1

µ

0

A Intensificazione di A

0.5


34

TERMINI COMPOSTI

Il linguaggio naturale comprende, oltre ai termini atomici (alto, bello, …), anche i termini composti, ottenuti combinando più termini atomici, connettivi logici e hedge linguistici.


35

LOGICA CLASSICA (LOGICA DEI PREDICATI DEL PRIMO ORDINE)

Siano P e Q due proposizioni sullo stesso universo del discorso X:

Ax:P ∈ e Bx:Q ∈ , dove XB,A ⊆ .

Quindi If Ax∈ , T(P) = 1; altrimenti T(P) = 0

If Bx∈ , T(Q) = 1; altrimenti T(Q) = 0

T(P) è il valore di verità di P

P e Q possono essere combinate usando i seguenti cinque connettivi logici per formare nuove proposizioni:

disgiunzione (∨ )

congiunzione (∧ )

negazione (–)

implicazione (→ )

equivalenza (↔ )

.BxorAx:QP ∈∈∨ Quindi ))Q(T),P(T(max)QP(T =∨

.BxandAx:QP ∈∈∧ Quindi ))Q(T),P(T(min)QP(T =∧

If 1)P(T = , then 0)P(T = . If 0)P(T = , then 1)P(T =

BxorAx:)QP( ∈∉→ . Quindi )QP(T)QP(T ∨=→

≠=

=↔↔)Q(T)P(Tper,0)Q(T)P(Tper,1

)QP(T:)QP(

P e Q sono equivalenti quando sono entrambe vere o entrambe false


36

IMPLICAZIONE

IMPLICAZIONE CLASSICA

QP→

P antecedente (o ipotesi) Q conseguente (o conclusione)

• If 2 + 2 = 4, then 10 > 0 proposizione vera (Ip. vera Con. vera)

• If 2 + 2 = 5, then 10 > 0 proposizione vera (Ip. falsa Con. vera)

• If 2 + 2 = 5, then 10 < 0 proposizione vera (Ip. falsa Con. falsa)

• If 2 + 2 = 4, then 10 < 0 proposizione falsa (Ip. vera Con. falsa)

Quindi

)Q(T)P(T)QP(T ∩=→

Applicando le leggi di De Morgan si ha

BAQP ∪≡→

per cui

))Q(T),P(T(max)QP(T)QP(T =∨=→


37

Rappresentazione grafica (diagramma di Venn) dell’implicazione:

A-B

A

B

BA − regione in cui l’implicazione è falsa

BABABA ∩=∪=− regione (grigia) in cui l’implicazione è vera


38

Supponiamo che l’implicazione coinvolga due universi X e Y.

P proposizione descritta dall’insieme XA⊆

Q proposizione descritta dall’insieme YB⊆

L’implicazione QP→ può essere rappresentata in termini di insiemi dalla relazione R, equivalente alla regola linguistica IF A THEN B

BTHENAIF)YA()BA(R ≡×∪×=

YBeYydoveByTHENXAeXxdoveAxIF

⊆∈∈⊆∈∈

Rappresentazione grafica dell’implicazione IF A THEN B:

X

Y

A

B

IF A THEN B

Le regioni grigie del diagramma di Venn rappresentano il dominio di verità dell’implicazione.


39

La regola IF A THEN B (proposizione P definita sull’insieme A nell’universo X e proposizione Q definita sull’insieme B nell’universo Y), cioè

)YA()BA(R)QP( ×∪×==→

è allora definita in termini di funzioni come

[ ]1))x(1(()),y()x((max)y,x( ABAR ∧−∧= χχχχ


40

LOGICA FUZZY

La logica fuzzy costituisce il fondamento teorico del ragionamento approssimato.

PROPOSIZIONI FUZZY

AisX:P

dove X è una variabile che assume valori su un universo U ed A è un insieme fuzzy su U. Ad esempio, A può rappresentare un predicato fuzzy, come “alto”, “medio”, …

Il grado di verità di P è

)X(A)P(T =

Temperatura

1

µ

B A M MB MA

10 20 30 40 0 Co

33

0.7

Il grado di verità, T(P), dipende dal valore effettivo della temperatura e dalla definizione del predicato A (“temperatura alta”).

Se X = 33, allora A(33) = 0.7 e T(P) = 0.7


41

PROPOSIZIONI FUZZY CONDIZIONALI

Sono relazioni tra variabili linguistiche

BisYthenAisXif:p

dove X e Y sono variabili definite, rispettivamente, su U e V, A e B sono insiemi fuzzy su U e V, rispettivamente.

Una proposizione condizionale può essere scritta come

<X,Y> is R

dove R è un insieme fuzzy su VU× determinato da

)]y(B),x(A[I)y,x(R =

dove I denota implicazione fuzzy.

Quindi il grado di appartenenza R(x,y) rappresenta il valore di verità della proposizione fuzzy condizionale

BisYthenAisXif

I valori di verità delle proposizioni AisX e BisY sono A(X) e B(Y), rispettivamente.


42

Siano P e Q due proposizioni fuzzy:

• negazione: )P(T1)P(T −=

• disgiunzione: BorAisx:QP∨ ))Q(T),P(T(max)QP(T =∨

• congiunzione: BandAisx:QP ∧ ))Q(T),P(T(min)QP(T =∧

• implicazione: )QP( → Esistono più modi per definire l’implicazione fuzzy


43

IMPLICAZIONE FUZZY

L’implicazione fuzzy è una funzione

]1,0[]1,0[]1,0[:I →×

che, date due proposizioni fuzzy P e Q, definisce il valore di verità della proposizione condizionale IF P THEN Q.

Tale funzione dovrebbe essere un’estensione dell’implicazione classica, cioè 1)1,1(I)1,0(I)0,0(I === e 0)0,1(I = .

Nella logica classica l’implicazione può essere definita in vari modi le cui estensioni alla logica fuzzy danno luogo a diversi operatori di implicazione fuzzy.

Ad esempio, l’implicazione )QP( → può essere rappresentata sotto forma di regola

BisYTHENAisXIF

ed è equivalente alla relazione fuzzy

)YA()BA(R ×∪×= con

))]x(1()),y()x([(max)y,x( ABAR µµµµ −∧=

Quindi una possibile espressione per l’operatore di implicazione fuzzy è la seguente:

[ ]{ })x(1,)y(),x(minmax)y,x( ABAR µµµµ −= (Zadeh)


44

ALTRE ESPRESSIONI PER L’OPERATORE DI IMPLICAZIONE FUZZY

{ })y(),x(1max)y,x( BAR µµµ −= Kleene-Dienes

[ ]{ })y()x(1,1min)y,x( BAR µµµ +−= Lukasiewicz

{ })y(),x(min)y,x( BAR µµµ = Mamdani

…..

Osserviamo che l’espressione di Mamdani, benché spesso usata, non è un’implicazione.

La scelta di un operatore di implicazione dipende dal contesto.


45

Esempio

Siano 321 x

1x

8.0x

1.0A ++= e

21 y1

y5.0

B +=

Consideriamo l’implicazione di Lukasiewicz:

I(x,y) = min(1, 1-x+y)

Allora

231322122111 y,x1

y,x5.0

y,x1

y,x7.0

y,x1

y,x1

BA +++++=→

Questo significa, ad esempio, che

1)BA(T =→ quando 1xx = e 1yy=

7.0)BA(T =→ quando 2xx = e 1yy=

…


46

APPROXIMATE REASONING

Sia data la regola

BisYTHENAisXIF:R

Dato un nuovo antecedente A’ si può derivare un nuovo conseguente B’ mediante la composizione fuzzy

R'A'B o=

Si può avere composizione max-min, composizione max-product, etc.

In generale,

))]y(B),x(A(I),x('A[Tsup)y('BUx∈

=

dove T è una t-norma e I un operatore di implicazione fuzzy.

Questa regola è detta modus ponens generalizzato o regola composizionale di inferenza.

Ogni scelta di T e di I genera una regola diversa.

In modo analogo si può ottenere anche il modus tollens generalizzato.


47

Esempio

Siano date le variabili X e Y definite su }x,x,x{U 321= e }y,y{V 21= , rispettivamente. Sia data la proposizione BisYTHENAisXIF .

Siano 321 x6.0

x1

x5.0

A ++= 21 y4.0

y1

B +=

Sia dato un fatto espresso dalla proposizione 'AisX con

321 x7.0

x9.0

x6.0

'A ++=

Usando l’implicazione di Lukasiewicz I = min(1, 1-x+y), abbiamo

231322122111 y,x8.0

y,x1

y,x4.0

y,x1

y,x9.0

y,x1

R +++++=

Applicando il modus ponens generalizzato otteniamo

9.0

)]1,7.0min(),1,9.0min(),1,6.0([minmax

)]y,x(R),x('A[minsup)y('B 1Ux

1

=

=

=∈

7.0

)]8.0,7.0min(),4.0,9.0min(),9.0,6.0([minmax

)]y,x(R),x('A[minsup)y('B 2Ux

2

=

=

=∈

Si può concludere 'BisY dove 21 y7.0

y9.0

'B += .


48

SISTEMI FUZZY CON PIÙ REGOLE

11 BisYTHENAisXIF:1golaRe

22 BisYTHENAisXIF:2golaRe

...

nn BisYTHENAisXIF:ngolaRe

'AisX:Fatto

______________________________

'BisY:eConclusion

Ogni regola produce una conclusione.

Esistono due possibili strategie per combinare le n conclusioni:

FITA (First Infer Then Aggregate)

FATI (First Aggregate Then Infer)


49

STRATEGIA FITA

Prima si applica la regola composizionale di inferenza alle singole regole, poi si combinano le conclusioni inferite dalle regole attraverso un operatore di aggregazione.

Sia data una base di n regole ,n...,,1i)),y(B),x(A(I ii = ed un fatto )x('A . La conclusione ottenuta con la strategia FITA è

)B...,,B(hB 'n

'1

)1( =

dove ))]y(B),x(A(I),x('A[Tsup))y(B),x(A(I)x('A)y(B iiUx

ii'i

∈== o

e h è un operatore di aggregazione (di solito, il minimo o il massimo).

Quindi, l’approccio FITA include nell’ordine:

• implicazione

• composizione

• aggregazione


50

STRATEGIA FATI

Prima si aggregano tutte le regole generando una relazione fuzzy globale R che è l’aggregazione di tutte le relazioni di implicazione fuzzy corrispondenti alle singole regole, poi si applica la regola composizionale di inferenza al fatto e alla relazione R.

Sia data una base di n regole ,n...,,1i)),y(B),x(A(I ii = ed un fatto )x('A . La conclusione ottenuta con la strategia FATI è

))y,x(R),x('A(Tsup)y,x(R)x('ABUx

)2(

∈== o

dove )))y(B),x(A(I...,)),y(B),x(A(I(h)y,x(R nn11=

e h è un operatore di aggregazione.

Quindi, l’approccio FATI include nell’ordine:

• implicazione

• aggregazione

• composizione

Risulta )1()2( BB ⊆


51

REGOLE SISO

(Single-Input Single-Output)

Sono regole con un solo antecedente:

BisYTHENAisXIF

REGOLE MISO

(Multi-Input Single-Output)

Sono regole con più antecedenti:

1mm2211 BisYTHENAisXAND...AisXANDAisXIF

Il connettivo AND è interpretato come una congiunzione fuzzy, cioè una relazione fuzzy )X...,,X(R m1 definita sul prodotto cartesiano

m1 X...X ×× come segue:

))X(A...,),x(A(i)X...,,X(R mm11m1 =

dove i è una t-norma.

Quindi, dato un fatto

'mm

'1 AisXAND...ANDAisX 1

si ha:

[ ]))y(B)),X(A...,),X(A(i(I)),X(A...,),X(A(iTsup)y('B mm11m'm1

'1

x,...,x m1

=

dove T ed i sono t-norme.

Di solito, essendo richiesta l’idempotenza, i = minimo.


52

TECNICHE GRAFICHE DI INFERENZA

Un sistema fuzzy con m input (antecedenti) ed un singolo output (conseguente) è descritto da una collezione di n regole IF-THEN:

11mm111 BisYTHENAisXAND...ANDAisXIF:1golaRe

22mm121 BisYTHENAisXAND...ANDAisXIF:2golaRe

.............

nmnmn11 BisYTHENAisXAND...ANDAisXIF:ngolaRe

Consideriamo un sistema con due input crisp x1 e x2 ed usiamo un metodo di inferenza max-min.

Occorre innanzi tutto ‘fuzzificare’ gli input: tipicamente, si considerano x1 ed x2 come fuzzy singleton.


53

µ

X2

µ

X1

A21 A22

Y

µB2

min

Regola 2

µ

X2

µ

X1

A11 A12

Y

µB1

min

Regola 1

Y

µ

y*


54

DEFUZZIFICAZIONE

Sia C l’insieme fuzzy di uscita. In generale, C risulterà dall’unione di varie funzioni triangolari, trapezoidali, etc. Magari non tutte queste funzioni saranno normali. Occorre ‘defuzzificare’ C per produrre un numero crisp.

Il metodo più usato è il metodo del centroide (o center of area, center of gravity):

∫∫ ⋅

=dz)z(

dzz)z(*z

C

C

µ

µ

dove ∫ denota integrazione algebrica.

z

1

µ

C

z*


55

METODI DI DEFUZZIFICAZIONE

Sia C l’insieme fuzzy di uscita. In generale, C risulterà dall’unione di varie funzioni triangolari, trapezoidali, etc. Magari non tutte queste funzioni saranno normali.

• Max-membership principle (o height method): è usato solo per funzioni di uscita con un picco:

Zz)z(*)z( CC ∈∀≥ µµ

z

1

µ

C

z*


56

• Metodo del centroide (o center of area, center of gravity): è il più usato:

∫∫ ⋅

=dz)z(

dzz)z(*z

C

C

µ

µ

dove ∫ denota integrazione algebrica.

z

1

µ

C

z*


57

• Metodo della media pesata: è usato solo per funzioni di appartenenza simmetriche.

∑∑ ⋅

=)z(

z)z(*z

C

C

µ

µ

dove ∑ denota somma algebrica. Ogni funzione membro nell’uscita è

pesata con il suo valore di appartenenza massimo.

Esempio:

z

1

µC

a b

.5

.9

9.5.)9(.b)5(.a

*z++

=

dove a e b sono le medie delle rispettive funzioni.


58

• Media dei massimi (mean-max membership o middle of maxima): è simile al primo metodo eccetto il fatto che il valore massimo può essere assunto in più di un punto. Si ha

2ba

*z+=

dove a e b sono definiti come segue:

z

1

µC

z* a b

)}C(h)z(|z{supb

)}C(h)z(|z{infa

C

C==

==

µ

µ

con h = altezza di C


59

SCELTA DEL METODO DI DEFUZZIFICAZIONE

La scelta del metodo dipende dal contesto e dal problema.

Possono comunque essere tenuti presenti alcuni criteri per misurare la bontà di un metodo, quali

1) continuità: un piccolo cambiamento nell’input di un processo fuzzy non dovrebbe produrre un grande cambiamento nell’output.

2) Non ambiguità: un metodo di defuzzificazione dovrebbe produrre un solo valore per z*.

3) Plausibilità: per essere plausibile, z* dovrebbe trovarsi approssimativamente nel mezzo del supporto di C ed avere un alto grado di appartenenza a C.

4) Semplicità computazionale: per esempio, il metodo dell’altezza e il metodo della media dei massimi sono più veloci del metodo del centroide.

Introduzione agli Insiemi Fuzzy e alla Logica Fuzzy Prof. Beatrice...

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