Introduzione al metodo degli elementi finiti. Problemi e metodologie di soluzione in campo...

Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti Premessa

Introduzione al Metodo degli Elementi FinitiProblemi e metodologie di soluzione in campo nonlineare

Raffaele Casciaro

Universita` della Calabriahttp://www.labmec.unical.it

Newsoft s.a.s. - Cosenzahttp://www.newsoft-eng.it

LAquilaPescara ottobre 2010

Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it LAquilaPescara 2010 1 / 16


Obbiettivi della presentazione

Non si riesce realmente a comprendere le problematiche ed i limiti dellanalisinonlineare se non se ne conoscono le metodologie operative e gli algoritmi disoluzione.

Lanalisi nonlineare e` stata in effetti resa possibile da un approcciocomputazionale, generalmente indicato come Metodo degli Elementi Finiti.

Il metodo si e` andato sviluppando insieme alla disponibilita` di macchine dacalcolo sempre piu` potenti, dalle prime calcolatrici elettromeccaniche agliattuali microcomputer multiprocessore.

Attualmente rappresenta lo strumento piu` importante e diffuso nellingegneriastrutturale, lunico in grado di affrontare le difficolta` dellanalisi in campononlineare.

Si vuole in questa sede, sia pur sinteticamente, tracciarne levoluzione,presentarne le caratteristiche principali e descriverne le metodologie disoluzione.



Analisi lineare e nonlineare

La principale differenza qualitativa tra lanalisi in campo lineare e nonlinearerisiede nella perdita del principio di sovrapposizione degli effetti.

In analisi lineare la risposta della struttura ad una combinazione di azionidiverse puo` essere ottenuta sommando le risposte separate corrispondenti aciascuna delle azioni. Cio` implica:

1 ovvia semplificazione nella gestione di condizioni di carico complesse2 garanzia che gli effetti prodotti da piccole perturbazioni nei carichi siano anche

essi piccoli

Pertanto, le eventuali piccole differenze fra la situazione reale e lo schemaideale di calcolo, dovute alla fluttuazione dei carichi, a imperfezionigeometriche e a difetti dei materiali, possono essere ignorati senzapregiudicare laffidabilita` dei risultati.

Cio` non e` piu` vero in generale in campo nonlineare. Perturbazioni anchepiccole nei dati possono produrre variazioni notevoli nella risposta e portare asoluzioni anche qualitativamente diverse.



Sensibilita` alle imperfezioni

La nostra conoscenza della realta` strutturale e` essenzialmente imprecisa:

le azioni agenti sulla struttura sono valutate solo in termini di medie epresentano una forte fluttuazione aleatoria

imperfezioni nella geometria e nei materiali sono essenzialmente aleatorie edefinite solo in termini di valori caratteristici in base alle prescrizioni sulletolleranze accettabili

unanalisi basata su valori medi e` generalmente insufficiente a fornire unavalutazione affidabile del soddisfacimento delle prescrizioni prestazionali edella sicurezza rispetto al collasso

e` quindi necessario svolgere analisi separate per ciascuna delle possibilicombinazioni di carico e per tutte le possibili imperfezioni

Lanalisi richiede un impegno notevole di calcolo, reso possibile solodallincremento delle prestazioni hardware e dallo sviluppo di teorie e metodologiedi calcolo sempre piu` potenti ed ottimizzate.


Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti Il metodo degli elementi finiti

Il Metodo degli Elementi Finiti

La tecnica di discretizzazione e soluzione che forma il cosiddetto Metodo degliElementi Finiti (FEM) rappresenta la base dellapproccio computazionaleallanalisi delle strutture. Allo sviluppo del metodo hanno contribuito:

1 lapproccio energetico proposto da Castigliano alla fine del 19o secolo

2 i lavori di Ritz e Galerkin su soluzioni approssimate attorno al 1920

3 lo sviluppo di tecniche di soluzione numerica iniziato a partire dal 1930

4 levoluzione, nella sua forma attuale, avvenuta nel corso della seconda guerramondiale e nellimmediato dopoguerra

5 il forte interesse tecnico/ingegneristico, in ambito aeronautico, civile emeccanico.

Limportanza dellapproccio quale collegamento fondamentale tra meccanica deicontinui, analisi numerica e calcolo digitale, e` diventata subito evidente dopo leprime pubblicazioni sullargomento nei primi anni 50.La successiva diffusione del metodo come strumento base per lanalisi strutturale e`stata di seguito favorita dal progressivo incremento in potenza e diffusione deicomputers e dal progresso sia teorico che algoritmico della ricerca.



Formulazione energetica

Lidea centrale alla base del metodo FEM e` quella di riferirsi allenergia potenziale

[u] := [u] p udove u indica la configurazione della struttura (spostamenti e tensioni), e plazione esterna assegnata (forze e distorsioni), somma dellenergia interna dideformazione [u] e del lavoro esterno bilineare p u.Suddividendo la struttura in piccoli elementi ed usando appropriate interpolazionial loro interno, la [u, p] puo` essere ricondotta ad una forma algebrica tale chelequilibrio, possa essere espresso come equazione vettoriale ndimensionale

s[u] p = 0in cui i vettori s e p, che esprimono la risposta strutturale interna e lazioneesterna, sono definiti dalle equivalenze energetiche

s[u]T u := [u] u , pT u := p u

Sono possibili diverse tecnologie di discretizzazione (elementi compatibili, misti,discretizzazioni meshless o altro). In ogni caso, in formulazioni coerenti,laccuratezza migliora infittendo il reticolo di discretizzazione.



Analisi lineare

Lanalisi lineare assume che [u] sia quadratica in u e quindi che la risposta s[u]possa ridursi ad una funzione lineare

s[u] := Ku

legata ad u attraverso una matrice di rigidezza simmetrica e definita positiva K,definita dallequivalenza energetica con la variazione seconda di [u]

uTKu := u2

La condizione di equilibrio si riduce pertanto ad un sistema lineare simmetrico

Ku = p

la cui soluzione puo` essere ottenuta, con relativa facilita`, mediante lalgoritmo didecomposizione di Cholesky che produce una espressione computazionalmenteconveniente per linversa K1 della K, di cui sfrutta pienamente alcunecaratteristiche tipiche quali sparsita` e struttura bandata.



Analisi nonlineare

In analisi nonlineare, la funzione s[u] puo` assumere una forma sensibilmente piu`complicata. Tuttavia, alla configurazione corrente u, puo` essere associata lamatrice di rigidezza tangente Kt [u] definita dalla equivalenza

uTKt [u]u := [u]u2

La matrice fornisce una informazione completa dellenergia [u], nellintorno disecondo ordine di u, e puo` essere usata per collegare piccoli incrementi u di u aicorrispondenti incrementi s di s

s = Kt [u]u

La soluzione di equilibrio puo` quindi essere ottenuta mediante iterazione allaNewton

uj+1 := uj Kt [uj ]1rj , rj := s[uj ] p , j = 0, 1, 2 . . .in cui K Kt [uj ], rj e` il residuo allequilibrio corrispondente alla valutazionecorrente di uj e uj+1 e` la sua iterata. Sotto opportune condizioni

0 < Kt [uj ] < 2 K

lo schema converge ad una valutazione u che azzera il residuo.Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it LAquilaPescara 2010 7 / 16

Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti Analisi incrementale al passo

Analisi al passo: idea base

Lanalisi incrementale al passo, o Analisi Pathfollowing rappresenta lostrumento largamente piu` utilizzato in analisi nonlineare.

Lidea base e` quella di ricostruire il percorso di equilibrio u[] conseguente adun assegnato processo di carico p[] attraverso una sequenza di punti diequilibrio {u(k), (k)} sufficientemente vicini tra loro da fornire, perinterpolazione, la curva di equilibrio definita dalla condizione implicita

s[u[]] p[] = 0

Usualmente, si considera un processo di carico proporzionale

p[] := p0 + p

in modo che il parametro che ne regola levoluzione possa essereinterpretato come moltiplicatore di sicurezza associato alla condizionenominale di carico p.

Per intenderci, lanalisi Pushover e` una analisi Pathfollowing.


Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti Strategia a controllo di carico

Strategia incrementale a controllo di carico

La sequenza dei punti di equilibrio puo` essere costruita con strategie diverse.Quella apparentemente piu` semplice puo` essere cos` descritta:

1 Si assegnano successivi incrementi (k) al moltiplicatore dei carichi((k+1) = (k) + (k)).

2 In ogni passo, partendo da una stima iniziale ottenuta per estrapolazione delpasso precedente, la soluzione corrispondente u(k+1) := u[(k+1)] vienericavata con iterazioni alla Newton.

3 La matrice di iterazione K e` definita in corrispondenza alla configurazione diinizio passo o (a volte meglio) di prima estrapolazione.

4 Se literazione rallenta o perde convergenza, il processo iterativo e` interrottoed il passo viene ripetuto utilizzando un incremento sensibilmente piu`piccolo, in modo da mantenere K vicina Kt [uj ].



Iterazione alla Newton (a) e Newton Modificato (b)



Vantaggi e difetti della strategia

Anche se semplice, questa strategia di soluzione risulta efficiente e robusta ede` stata largamente utilizzata in passato. La strategia si comporta in effettimolto bene nella fase iniziale, a bassa nonlinearita`, del processo di carico.

Per sua natura, tuttavia, tende a fallire vicino a punti di carico limite, in cuila matrice tangente Kt diventa singolare e, di conseguenza, non e` piu`soddisfatta la condizione di convergenza 0 < Kt [uj ].

Generalmente si e` particolarmente interessati alla sicurezza a collasso dellastruttura, a stimarne cioe` il carico limite dove, per definizione Kt e` singolare,e quindi cio` rappresenta un inconveniente significativo nella strategia.

Per lungo tempo, questo difetto e` stato considerato una caratteristicaintrinseca, non sanabile, dellapproccio incrementale.

Solo alla fine degli anni 70 (Riks) si e` riconosciuto che la difficolta` diconvergenza in corrispondenza al carico limite non era altro che unaconseguenza banale della scelta fatta, di controllare cioe` levoluzione delpercorso di equilibrio attraverso il parametro di carico .


Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti Processo incrementale arc-lenght

Strategia arc-lenght (Riks 1979)

In corrispondenza a punti limite, la funzione u[] non e` analitica in e nonsorprende pertanto che definire la sequenza u(k) attraverso incrementi (k)

possa creare difficolta`.

Queste possono essere facilmente evitate dal semplice accorgimento diutilizzare una parametrizzazione analitica {u[], []}, dove e` una ascissacurvilinea che descrive la curva di equilibrio nello spazio {u, }, e di definire lasequenza {u(k), (k)} assegnando le ampiezze (k) dei singoli archi di curva.Lo schema iterativo diventa:

uj+1 := uj + uj , j+1 := j + j

dove le correzioni iterative uj e j sono ottenute come soluzione del sistemalineare

Jj

{ujj

}=

{rjgj

}, Jj :=

[Kt [uj ] puTj M j

]Ne risulta un sistema di n + 1 equazioni nonlineari nelle n + 1 incogniteu(k+1) e (k+1) che puo` essere risolto con iterazione alla Newton.



Schema iterativo arc-lenght

La strategia arclength presenta caratteristiche di convergenza migliori di quellaa controllo di carico e permette di superare facilmente i punti limite e di seguireagevolmente le zone discendenti del percorso di equilibrio.



Evoluzione del metodo arc-length

La strategia arclength, la cui convenienza divenne subito evidente,acquisto` rapidamente una grande popolarita` generando un gran numero diarticoli successivi con proposte di varianti, sia nella scelta della metricautilizzata per definire lampiezza di passo che nei dettagli algoritmici cheregolano lestrapolazione iniziale, laggiornamento della matrice di iterazionee le opzioni di ripristino.

Molte di queste erano dettate da occasionali (anche se frequenti) difficolta` diconvergenza, spesso in corrispondenza a punti di carico limite. Le variantiallalgoritmo iniziale di Riks erano quindi essenzialmente rivolte (a torto) allosviluppo di accorgimenti che meglio servissero ad aggirare le difficolta` diconvergenza legate al venir meno della condizione 0 < Kt .

Successivamente (1998) si realizzo` che linconveniente era dovuto ad unfenomeno di locking (locking da estrapolazione) che inficiava la condizioneKt < 2 K.

Una volta riconosciuto, il locking e` facilmente eliminato con schemi iteratividi tipo misto, in spostamenti e tensioni, ottenendo cos` (con modifichesecondarie di codice) un algoritmo solutivo veloce e robusto.


Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti Analisi in campo plastico

Analisi incrementale in plasticita`

Lanalisi incrementale al passo arclength rappresenta la strategia attualmente piu`diffusa in ambito nonlineare. Il suo utilizzo in elasto-plasticita` richiede tuttaviaalcuni ulteriori chiarimenti:

1 La formazione di nuove zone plastiche, o il ritorno in fase elastica di quellegia` presenti, rende discontinua la matrice tangente Kt [u].

2 La presenza di salti nella Kt [t] ne rende problematica la valutazione. Limitaanche il miglioramento delle proprieta` di convergenza di schemi iterativi allaNewton mediante una riduzione lampiezza del passo.

3 Il legame elastoplastico e` per sua natura anolonomo. Quindi e` impossibile,in linea di principio, definire un legame univoco che fornisca la risposta s infunzione delle sole condizioni iniziali e dello spostamento di fine passo u, maanche da come il passo viene in realta` eseguito.

4 Una risposta a questa ambiguita` e` stata offerta dalla Teoria dei PercorsiEstremali (Ponter e Martin (1972)).

5 La teoria consente di definire un legame olonomo coerente in grado di fornirenon solo le tensioni ma anche gli incrementi di deformazione plasticaraggiunti nel passo.


Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti Analisi limite e shakedown

Analisi limite e shakedown

La soluzione incrementale risulta in effetti molto efficiente, tanto da risultareconveniente anche se non siamo interessati a descrivere la curva di equilibrio, masoltanto a valutare il moltiplicatore di collasso.

Il moltiplicatore di collasso e` definito dai teoremi dellanalisi limite e puo`essere ottenuto come soluzione di un problema di ottimizzazione su uninsieme convesso utilizzando gli algoritmi standard sviluppati per questocontesto.

I piu` recenti fra questi, basati sullapproccio interior point sono in realta`molto robusti ed efficienti e possono essere usati in forma di solutore esternostandard per problemi di analisi limite.

Vi sono tuttavia forti analogie tra gli algoritmi interiorpoint e la strategiaincrementale arclength. Tanto che questa seconda puo` essere vista comeuna implementazione dedicata dellinteriorpoint e quindi potenzialmente piu`conveniente.

Schemi incrementali analoghi al pathfollowing sono anche utilizzabilinellanalisi ad adattamento (shakedown) e, anche in questo caso possonoessere visti come implementazioni dedicate, particolarmente efficienti,dellalgoritmo interiorpoint.Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it LAquilaPescara 2010 16 / 16

Introduzione al Metodo degli Elementi FinitiPremessaIl metodo degli elementi finitiAnalisi incrementale al passoStrategia a controllo di caricoProcesso incrementale arc-lenghtAnalisi in campo plasticoAnalisi limite e shakedown

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