INTRODUZIONE AL CONTROLLO DIGITALE · il dominio tempo-discreto del regolatore ... Si ha stabilità...

Prof. Claudio Melchiorri

DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093034

e-mail: [email protected]

http://www-lar.deis.unibo.it/people/cmelchiorri

INTRODUZIONE INTRODUZIONE AL CONTROLLO DIGITALEAL CONTROLLO DIGITALE

CONTROLLI AUTOMATICI LSIngegneria Informatica

Claudio Melchiorri Controlli Automatici L-S A.A. 2008/2009

2DigitSistemi di controlloSistemi di controllo

Controlli Automatici LA ed LBSistemi dinamici SISOAmpio uso delle Trasformate di LaplaceProgetto di schemi di controllo analogici, ad esempio:

Reti correttrici (ritardo, anticipo, …)PID…

+

+

++_

-

+


3DigitSistemi di controllo analogicoSistemi di controllo analogicoSistemi di controllo analogici

l’elaborazione della legge di controllo è svolta in maniera tempo-continuaad esempio da circuiti elettrici, idraulici, sistemi meccanici, …

controllo impianto

trasduttore

amplificatoredi potenza attuatore


4DigitSistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitale

Presenza di un calcolatore nel loop di controlloElaborazione tempo-discreta (periodo T) della legge di controllo

Occorrono dispositivi di interfaccia trail dominio tempo-continuo dell’impiantoil dominio tempo-discreto del regolatore

impianto

trasduttore

attuatoreCALCOLAT. DIGITALE DD//AAAA//DD

Clock (T)

Tempo-discreto

10

10

11

00


5DigitControllo digitale vs. Controllo analogicoControllo digitale vs. Controllo analogicoMaggiore capacitMaggiore capacitàà e e precisione di precisione di elaborazioneelaborazione

Algoritmi di controllo più complessi

Maggiore flessibilitMaggiore flessibilitààÈ sufficiente modificare il software per adattare il sistema a nuove esigenze

Maggiore affidabilitMaggiore affidabilitàà e e ripetibilitripetibilitàà

Non sono presenti fenomeni di usura, deriva termica ecc.

Maggiore trasmissibilitMaggiore trasmissibilitààdei segnalidei segnali

I segnali digitali sono molto meno sensibili ai disturbi rispetto a quelli analogici

Progettazione piProgettazione piùùdifficile e articolatadifficile e articolata

Occorrono competenze anche nel campo della programmazione e dell’interfacciamento

StabilizzabilitStabilizzabilitàà pipiùùprecariaprecaria

Discontinuità nella trasmissione, ritardiritardiImportanza del periodo di campionamento

PossibilitPossibilitàà di arresti di arresti non previstinon previsti

Il software non ha previsto tutte le possibili situazioni di errore

NecessitNecessitàà di utilizzare di utilizzare energia elettricaenergia elettrica


6DigitTipologie di segnaleTipologie di segnale

analogico continuo

a dati campionati

digitale

tempo-continuoquantizzato


7Digit

grandezze analogichea tempo continuo

grandezze digitalia tempo discreto

T

0110

0

T

0011

0

T

1110

1

interfacciaD/A impiantoregolatore

sensore

attuatore

interfacciaA/D

Sistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitale


8Digit

A/D

interfacciaD/A impiantoregolatore

Y

sensore

attuatorew

Segnale campionato(non quantizzato)

T T T

Campionamento

Segnale digitale(quantizzato)

T T T

0010

0

0111

0

1110

1

Conversione in digitale

segnaleanalogico

t

Sistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitale


9DigitSistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitale

D/A Ricost. impiantoregolatoreY

sensore

attuatoreYsp

interfacciaA/D

Ricostruttore di segnale

0010

0

1100

0

1110

1

Segnale digitale

Nota: La scelta piu’ semplice per il ricostruttore di segnale risulta essere il circuito di “Hold” (tenuta)

0010

0

1100

0

1110

1

segnale analogico segnale continuo quantizzato


10DigitConvertitore A/DConvertitore A/DCampiona, con periodo T, il segnale di ingresso x(t)Campiona, con periodo T, il segnale di ingresso x(t)Restituisce in uscita la sequenza dei valori x(Restituisce in uscita la sequenza dei valori x(kTkT) ) codificati e quantizzaticodificati e quantizzati

Campionatore a impulsi di Campionatore a impulsi di DiracDirac: : la chiusura dell’interruttore è istantaneain uscita produce un impulso di Dirac di “area” pari a x(kT)

A/D

A/D


11DigitConvertitore D/AConvertitore D/AFornisce un segnale analogico a partire dalla sequenza di campioni in ingresso

La ricostruzione non La ricostruzione non èè univoca a meno di soddisfare il univoca a meno di soddisfare il TEOREMA DI SHANNONTEOREMA DI SHANNON

Ricostruttore di ordine zero (Zero Ricostruttore di ordine zero (Zero OrderOrder HoldHold))Produce l’uscita:

Supponendo un campionamento impulsivo:


12DigitConvertitore D/AConvertitore D/ASi definisca il segnale (gradino) di ampiezza unitaria h(t)

In uscita al ricostruttore di ordine 0 si ha un segnale che può essere considerato come generato da una “successione di gradini”

1

23

45

1


13DigitCampionamentoCampionamento e e RicostruzioneRicostruzione di di segnalisegnali

Ricordando la trasformata di Laplace di un segnale ritardato

Analizzando il solo impulso a t = kT


14Digit

1) Progetto diretto a tempo discretoMetodo “diretto”• discretizzazione del modello• oggetto di corso specifico (Sistemi di Controllo Digitale L-A)

• II anno Laurea Triennale di ingegneria dell'Automazione• II anno Laurea Specialistica di ingegneria Informatica (a scelta)

2) Progetto a tempo continuo e discretizzazione del regolatoreMetodo “indiretto”• più coerente con i corsi di Controlli Automatici LA-LB• più semplice, perché non richiede molte altre conoscenze• qualche limitazione legata alla scelta del tempo di campionamento

Oggetto di queste note è presentare qualche principio utile al progetto del regolatore tempo discreto per discretizzazione di unregolatore tempo continuo (secondo metodo)

Progetto di regolatori tempoProgetto di regolatori tempo--discretodiscreto


15Digit

D/A Ric. impiantoAlgoritmoY

sensore

attuatore

interfacciaA/D

Algoritmo che elabora sequenze numeriche

Progetto per Progetto per discretizzazionediscretizzazione del regolatoredel regolatore

L’algoritmo numerico dovrà essere tale per cui il comportamento del regolatore (complessivo) con ingressi e uscite analogiche sia il più fedele possibile a quello che caratterizza la funzione di trasferimento R(s) progettata nel continuo

Problema fondamentale: dimensionare il tempo di campionamentoin modo che le grandezze campionate siano una rappresentazione“fedele” del segnale tempo continuo


16DigitDescrizione di processi a segnali campionatiDescrizione di processi a segnali campionati

Equazioni differenziali

Trasformata di Laplace

SISTEMI SISTEMI TEMPOTEMPO--CONTINUICONTINUI

Equazioni alle differenze

Trasformata Z

SISTEMI SISTEMI TEMPOTEMPO--DISCRETIDISCRETI

DD//AA

AA//DD


17DigitEquazioni alle differenzeEquazioni alle differenzeStruttura di una equazione alle differenze

Ponendo:

uscita attuale

campione precedente

2 campioni precedenti

ingresso attuale

Il valore a pedice di u indica l’istante a cui il valore uk è riferito

-

+


18DigitEsempio di equazione alle differenzeEsempio di equazione alle differenze

Condizione iniziale:

Soluzione generale:Soluzione generale:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

15

20

25

30

35

Dividendo per c e per zk:


19DigitEquazione caratteristicaEquazione caratteristica

E’ detta equazione caratteristicaequazione caratteristica (associata all’equazione alle differenze)

Si ha Si ha stabilitstabilitàà se tutte le sue radici cadono allse tutte le sue radici cadono all’’interno del interno del cerchio cerchio unitariounitarioSe una radice ha modulo maggiore di 1, si ha Se una radice ha modulo maggiore di 1, si ha instabilitinstabilitàà

1

stabilestabile

instabileinstabile


20DigitTrasformata ZetaTrasformata Zeta

Trasformata Zeta Trasformata Zeta di una sequenza di campioni:

DIPENDE DAL PERIODO (T) DI DIPENDE DAL PERIODO (T) DI CAMPIONAMENTOCAMPIONAMENTO


21DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformataNei casi di interesse ingegneristico, X(z) ha una espressionerazionale fratta

pi, zi poli e zeri di X(z)

Questa è la forma più utilizzata z z --kk →→ ritardoritardo di di t = t = kTkT


22DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali

Metodo indiretto (per discretizzazione)

R(s) G(s)x(t) e(t) ua(t) ya(t)

R(z) G(s)x(t) e(t) ua(t) ya(t)H(s)

T = … ? (il piu` piccolo possibile…)



Data la R(s), vi sono tre passi concettuali:

1) Definizione del periodo di campionamento T

2) Discretizzazione della R(s)

3) Verifica a posteriori (simulativa e sperimentale) del comportamento del sistema


24DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali1) Definizione di T e verifica dei margini di stabilità del sistema

Nel progetto di R(s) si potrà considerare un processo dato da

NB: il “campionamento” introduce un “guadagno” pari a 1/T

Approssimazione di Padè


25DigitSpettro di segnali campionatiSpettro di segnali campionati• Segnale tempo continuo:

Laplace Fourier

• Segnale tempo continuo campionato:

…Pulsazione di Nyquist

Laplace

Trasformata di Fourier del segnale campionato

Fourier ( )

Ripetizione periodica dellospettro del segnale tempocontinuo


26Digit

Caso esemplificativo: a banda limitata ( per )

ovvero

ovvero

Spettro di segnali campionatiSpettro di segnali campionati


27Digit

Assumendo che il segnale tempo continuo abbia banda limitata è possibile ricostruire il segnale tempo continuo a partire dalla sequenza campionata se risulta

ovvero

Ricostruttore (ideale) di segnale: filtro passa banda con pulsazionedi taglio pari a e con amplificazione in banda pari a

Segnali campionati Segnali campionati –– Teorema di ShannonTeorema di Shannon


28Digit

Filtro ideale, nonrealizzabile in pratica

Nota: Ricostruzione del segnale univoca se ovvero se il tempo di campionamento risulta sufficientemente basso in relazione alla banda del segnale

Segnali campionati: Ricostruttore di segnaleSegnali campionati: Ricostruttore di segnale


29DigitSegnali campionati: Fenomeno dellSegnali campionati: Fenomeno dell’’aliasingaliasingNel caso in cui il tempo di campionamento non soddisfi la condizione di Shannon, non è possibile ricostruire il segnale continuo a partire dalla sequenza campionata.

Nel dominio delle frequenze questo si evidenzia con un “overlapping” delle componenti secondarie con la componente primaria (che non può quindi essere più ricostruita attraverso il ricostruttore prima evidenziato)

ovveroSpettro del segnale campionato

Fenomeno dell’aliasing: sovrapposizione frequenziale


30DigitEsempioEsempio

Banda r/s

(no log)


31DigitScelta del tempo di campionamentoScelta del tempo di campionamento

Problema: I segnali in gioco non avranno, in pratica, banda limitata(componenti spettrali non nulle anche a pulsazioni ).

Occorre quindi scegliere il tempo di campionamento in modo appropriato

Regola pratica: con


32DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali2) Discretizzazione della R(s)

Vi sono diverse TECNICHE DI DISCRETIZZAZIONE:1) metodo delle differenze all'indietro;2) metodo delle differenze in avanti (non impiegata nei controlli);3) trasformazione bilineare;4) trasformazione bilineare con precompensazione frequenziale;5) metodo della Z-trasformata, detto anche dell'invarianza della risposta

all'impulso;6) metodo della Z-trasformata con ricostruttore di ordine 0, detto anche

dell'invarianza della risposta al gradino;7) metodo della corrispondenza poli/zeri.


33DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliMetodo delle differenze all’indietro

Esempio:

Calcolando per t = kT, t = (k-1)T e sottraendo


34DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliPer calcolare numericamente gli integrali si approssima l'area sottesa alle curve y(t) e x(t) con rettangoli. In particolare, si considerano tra gli istanti (k-1)T e kT i rettangoli di altezza pari a y(kT) o x(kT) (valore finale del periodo considerato). Si ha dunque che:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Integrazione all`indietro

t

y(t)


35DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliSi ha dunque

Da cui

Cioè

Utilizzando le trasformate di Laplace per risolvere l'equazionedifferenziale


36DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliCon il metodo di integrazione all’indietro, il semipiano sinistroviene trasformato nella circonferenza di raggio r=0.5 centrata in p = (0, 0.5).

Sistemi G(s) stabili sono trasformati in sistemi G(z) stabili.

1



Metodo della Trasformazione Bilineare

Deriva dall’integrazione trapezoidale (o di Tustin)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Integrazione trapezoidale

t

y(t)


38DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliCon la trasformazione bilineare, il semipiano sinistro vienetrasformato nella circonferenza unitaria (di raggio r=1, centratain p = (0, 0)).

Sistemi G(s) stabili sono trasformati in sistemi G(z) stabili.

1


39DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliLa trasformazione introduce una distorsione frequenziale (compressione alle alte frequenze)


40DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliTrasformazione Bilineare con precompensazione

Si puo` verificare che per

si ha

Esempio: trasformazione di un filtro passa basso con compensazione alla frequenza ω = a


41DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliEsempio: Progettare un filtro passa basso discreto che approssimi ilcomportamento frequenziale del filtro analogico

Con la trasformazione bilineare si ottiene

Notando che

la relativa funzione di risposta armonica Gd(ej ω T) vale

in [0, 10] rad/sper T = 0.2 s


42DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliDiagrammi delle ampiezze di G(j Ω) e di Gd(ej ω T), curve (a) e (b) rispettivamente. Le due curve differiscano significativamente nell'intervallo frequenziale di interesse.

Con la precompensazione di frequenza per ω = 10 rad/s si ottiene


43DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliIl modulo della risposta armonica è la curva (c). Per ω = 10 rad/s le curve (a) e (c) coincidono (guadagno pari a –3 db). Con questa tecnica la pulsazione di taglio èmantenuta invariata anche dopo aver discretizzato la G(s). Nel caso senzaprecompensazione, la pulsazione di taglio del filtro discreto è pari a 7.8 rad/s circa.


44DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliEsempio: Dato il sistema

progettare una rete ritardatrice digitale che garantisca il margine di fase Mf = 55o

La costante di tempo inferiorecorrisponde al polo p = -2, ed è pari a τ = 0.5 s.

Si considera quindi un tempo di campionamento T = 0.1 s.

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


45DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliDiagrammi di Bode della fdt e della fdt campionata

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg)

Mag

nitu

de (d

B)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10-1 100 101-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

G(s)

G(z)


46Digit

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliInserendo il ricostruttore di ordine 0, si ha complessivamente la fdt

G(s)

G1(s)

Si nota un peggioramento del margine di fase (ritardo). In questo caso il ritardo èmodesto (piccolo T)

Risultato simile se si consideral’approssimazione


47DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliSi considera quindi la G1(s) al posto della G(s)

Effettuando il progetto di una rete ritardatrice che garantisca per G1(s) ilmargine di fase MF = 55o, si ottiene la rete:

Discretizzando R(s) (es. Trasf. Bilineare) con T = 0.1 s si ha

N.B. Possibili problemi di arrotondamento per cifre “similli”


48DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliSi è ottenuto il regolatore R(z)

Per la realizzazione su elaboratore digitale, è necessario ricavare la corrispondenteequazione alle differenze. Si procede come segue:

Da cui

E quindi



0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

tempo (s)

Uscita del sistema

0 10 20 30 40 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

tempo (s)

Azione di controllo

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo (s)

Uscita del sistema

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

tempo (s)

Azione di controllo

Risultati con T = 0.1 s



Risultati con T = 0.5 s

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

tempo (s)

Uscita del sistema

0 10 20 30 40 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

tempo (s)

Azione di controllo

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo (s)

Uscita del sistema

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

tempo (s)

Azione di controllo



Risultati con T = 2 s

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

tempo (s)

Uscita del sistema

0 10 20 30 40 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

tempo (s)

Azione di controllo

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo (s)

Uscita del sistema

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

tempo (s)

Azione di controllo


52DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliEsempio: Dato il sistema

progettare un controllore digitale che verifichi le seguenti specifiche sulsistema in retroazione:

δ = 0.7 (S = 5%)Ta = 0.66 s

Dalla specifica sul tempo di assestamento Ta si ricava:

e quindi il sistema dovra` presentare oscillazioni smorzate con periodo

Si considera quindi un tempo di campionamento T = 0.1 s (≈ Tos/10).


53DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliConsiderando il ricostruttore di ordine 0

Si ottiene complessivamente

Un controllore analogico che verifica le specifiche richieste (dal luogo delleradici) è dato da


54DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliCon la trasformazione bilineare si ottiene dunque il regolatore R(z)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo (s)

Uscita del sistema

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10

0

10

20

30

40

tempo (s)

Azione di controllo


55DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata

Appendice A

Trasformata Z di funzioni elementariProprietà della Trasformata Z


56DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariImpulso discreto unitario. Sia data la funzione, detta anchefunzione delta di Kronecker δ0(t):

Gradino unitario. Sia data la funzione

Serie convergente per |z| > 1


57DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariRampa unitaria. Si consideri la funzione rampa unitaria:

Serie convergente per |z| > 1

Poiche` x(kT) = kT, k = 0, 1, 2, …, la Z-trasformata e`


58DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariFunzione potenza ak. Sia data la funzione:

Serie convergente per |z| > a

Dalla definizione si ha

a costante reale o complessa


59DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariFunzione esponenziale. Sia data la funzione:

Convergente per |z| > e-Re(a)T

Poiche` x(kT) = e-akT, k = 0, 1, 2, …, si ha

a costante reale o complessa


60DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariFunzione sinusoidale. Sia data la funzione:

Convergente per |z| > 1

Dalle formule di Eulero


61DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariFunzione cosinusoidale. Sia data la funzione:

Convergente per |z| > 1

Analogamente a prima, con le formule di Eulero


62DigitTabelleTabelle delledelle ZZ--TrasformateTrasformate


63DigitTabelleTabelle delledelle ZZ--TrasformateTrasformate


64DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformataLa Z-trasformata X(z) e la sequenza corrispondente x(k) sonolegate da una corrispondenza biunivocaQuesto non avviene tra una X(z) e la sua “inversa” x(t)Data una X(z) si possono avere molte x(t) (Teorema di Shannon)

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y0, y

1

t (s)

x x x x x x


65DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietààLinearità

Moltiplicazione per ak. Siano X(z) la Z-trasformata di x(t) e auna costante. La Z-trasformata di ak x(k) e` data da X(a-1 z):


66DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietààTeorema della traslazione nel tempoSe x(t) = 0, t<0, X(z) = Z[x(t)] e n = 0, 1, 2, …

Operativamente:

ritardo

anticipo


67DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietààTeorema del valore inizialeSe X(z) = Z[x(t)] ed esiste

Infatti si noti che

Teorema del valore finaleSiano tutti i poli di X(z) entro al cerchio unitario, con al piu` un polo semplice in z =1


68DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietààEsempio: Si consideri il segnale descritto da

X(kT) = 0, 0.5000, 1.2500, 1.6250, 1.8125, 1.9063, 1.9531, 1.9766, 1.9883,1.9941, 1.9971, 1.9985, 1.9993, 1.9996, 1.9998, 1.9999, 2.0000, 2.0000, ….

(T = 1 sec)


69DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietàà

Differenziazione complessa

Esempio: gradino unitario

La Z-trasformata del segnale rampa unitaria x(kT) = kT, k = 0, 1, 2, …, e`



Integrazione complessaSi consideri la sequenza



Trasformazione di funzioni periodicheSia data una successione xp(k) periodica di periodo pT e sia x(k) la successione dei campioni relativi al primo periodo e nulla per k>p

Se X(z) è la Z-trasformata di x(k), allora:



Teorema della convoluzione reale

Teorema della convoluzione complessa

Teorema di Parseval

Analoghi a quelli visti per la trasformata di Laplace


73DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZPermette di passare da una Z-trasformata X(z) alla corrispondente sequenzaxk e possibilmente alla funzione continua x(t) cui corrisponde per campionamento la sequenza xk

X(z) x(k) x(t)Biunivoca Non biunivoca

Se e` soddisfatto il Teorema di Shannon sul campionamento, la funzionecontinua x(t) può essere determinata univocamente a partire dalla sequenzaxk.

0 2 4 6 8 1 0 1 20

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

1 .6

1 .8

2

y0, y

1

t (s )

x x x x x x


74DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZ

Diversi metodi per antitrasformare una funzione X(z)

1) Metodo della lunga divisione2) Metodo computazionale3) Metodo della scomposizione in fratti semplici4) Metodo dell’integrale di inversione



Metodo della lunga divisioneCon questa tecnica si espande la X(z) in una serie di potenze in z-1. Il metodo viene applicato quando non si riescono a trovare espressioni in forma chiusa per x(k) e nel caso in cui si sia interessati a ricavare solo un numero finito di termini di x(k).

Si divide per il polinomio a denominatore con la regola di Euclide

da cui si ricava



Esempio:



Metodo della scomposizione in fratti semplici

Caso 1: tutti i poli sono semplici

I coefficienti ci (residui) sono dati da:


78DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZSe in X(z) vi e` almeno uno zero nell’origine, si usa X(z)/z:

Quando sono presenti poli complessi coniugati, i coefficienti ci sono anch'essi complessi. In questo caso si ricorre alle formule di Eulero per ottenere funzioni trigonometriche a coefficienti reali. L'espressione finale cercata e` quindi del tipo


79DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZCaso 2: vi sono poli multipli in X(z) o in X(z)/z

Si puo` porre:

con


80DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZEsempio: Calcolare l'antitrasformata della funzione

I due poli risultano z1 = 1 e z2 = 0.6. Inoltre, la X(z) puo` essere scritta come

Si utilizza quindi la X(z)/z

da cui

Dalle tabelle si ha quindi che


81DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZEsempio: Antitrasformare la funzione

Si ha che

e quindi

e


82DigitEq.niEq.ni differenzialidifferenziali e e allealle differenzedifferenze

Appendice B

Soluzione di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze


83DigitModellistica dei Sistemi a Tempo ContinuoModellistica dei Sistemi a Tempo Continuo

Si consideri il regolatore tempo continuo:

Tale espressione rappresenta, nel dominio delle trasformate di Laplace, l’equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti che esprime la relazione dinamica tra la legge di controllo u(t) ed il segnale errore e(t) :

-+


84DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineari

Supponiamo che il segnale di controllo u(t) sia descritto dall’equazione autonomaautonoma (in quanto (in quanto u(t)u(t) non dipende dallnon dipende dall’’ingresso ingresso e(t)e(t))):

Premoltiplicando entrambi i membri dell’equazione per iltermine e-t si ottiene:

Da cui si deduce che tutte e sole le soluzioni dell’equazionedifferenziale di partenza sono del tipo:

Ove c è una costante dipendente dalle condizioni iniziali


85DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineariIn generale, un’equazione differenziale lineare autonoma del primo ordine sarà del tipo:

E la relativa soluzione generale risulta:

È possibile introdurre l’equazione caratteristica associata:

la quale consente di calcolare il coefficiente a che, nella funzione esponenziale, moltiplica t


86DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineariConsideriamo ora una equazione del secondo ordine:

Introducendo la variabile ausiliaria:

È possibile riscrivere l’equazione del secondo ordine in un sistema di due equazioni del primo ordine:

È quindi del tutto evidente che, per la linearità, la soluzione generale dell’equazione del secondo ordine, sarà fornita dalla combinazione lineare una coppia qualunque di soluzioni particolari u1(t) e u2(t)



Per la linearità, l’integrale generale sarà fornito dalla combinazione lineare di due soluzioni indipendenti uu11(t)(t) e uu22(t)(t):

In analogia con quanto accade nel caso dell’equazione del primo ordine, anche qui le soluzioni particolari sono del tipo:

con ss11, s, s22 radici dell’eq. caratteristica:



Si noti infine la proprietà fondamentale degli integrali particolari di una ED del secondo ordine:

L’evoluzione dei sistemi a dati campionati, descritti daequazioni lineari alle differenze, possiede proprietà analoghe a quelle viste sinora per le equazioni differenziali lineari.


89DigitModellistica dei Sistemi a Tempo DiscretoModellistica dei Sistemi a Tempo Discreto

Per mezzo della Z-trasformata, il regolatore tempo-discreto può essere rappresentato come:

Oppure, mediante equazioni alle differenze finite, la relazione dinamica tra la legge di controllo u(k) ed il segnale errore e(k)è rappresentabile come:

-+


90DigitSoluzione di equazioni alle differenzeSoluzione di equazioni alle differenze

Consideriamo l’equazione differenziale:

Se il periodo di campionamento TT è sufficientemente piccolo, la derivata può essere riscritta come:

Quindi, trascurando la divisione per la costante TT, l’equazionealle differenze corrispondente all’ED di partenza è:

Ovvero:


91DigitSoluzione di equazioni alle differenzeSoluzione di equazioni alle differenze

Consideriamo quindi:

Premoltiplicando entrambi i membri dell’equazione per il termine 22--kk siottiene:

c è una costante dipendente dalle condizioni iniziali


92DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineariIn generale, un’equazione alle differenze lineare autonoma del primo ordine sarà del tipo:

e la relativa soluzione generale risulta:

È possibile introdurre l’equazione caratteristica associata:

Consente di calcolare la base della funzione esponenziale in k



Per la linearità, la soluzione generale sarà fornita dalla combinazione lineare di due soluzioni indipendenti uu11(k)(k) e uu22(k)(k) :

In analogia con quanto accade nel caso dell’equazione del primo ordine, anche qui le soluzioni particolari sono del tipo:

con zz11, z, z22 radici dell’eq. caratteristica:



Si noti infine la proprietà fondamentale delle soluzioni di una equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti:

In analogia con quanto accade nel caso tempo-continuo

Prof. Claudio Melchiorri

DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093034

e-mail: [email protected]

http://www-lar.deis.unibo.it/people/cmelchiorri

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INTRODUZIONE AL CONTROLLO DIGITALE · il dominio tempo-discreto del regolatore ... Si ha stabilità...

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