Introduzione Al Concetto Di Funzione Novembre

7/25/2019 Introduzione Al Concetto Di Funzione Novembre

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Introduzione al concetto di funzione in un primo anno di scuola

secondaria

Sommario

In questo lavoro si propongono alcune attivit volte a introdurre ilconcetto di funzione a partire dai primi giorni del primo anno di

scuola secondaria.Nella prima parte si presentano alcune riflessioni relative ad aspettistorico epistemologici, tecnici e cognitivi relativi al concetto difunzione. Nella seconda parte si descrivono alcune attivitrealizzate in classe con lausilio delle calcolatrici tascabili grafico simboliche e dei sensori di movimento. Nelle conclusioni, infine, si

propone una breve riflessione sulle potenzialit offerte dallusodelle calcolatrici grafico - simboliche e, pi in generale, dei CASnel processo di acquisizione di concetti matematici come, peresempio, quello di funzione.

SummaryIn this paper I describe some teaching learning activities whichaim at introducing the concept of function in a first year of highschool classes.The first part of the paper proposes some considerations aboutepistemological, historycal and cognitive aspects which concern theconcept of function. The second part describes some classroomsactivities with the aid of graphic symbolic calculator and ofmotion sensor. The conclusions present some ideas which concernthe use of CAS (Computer Algebra Systems) in teaching - learningmathematical concepts, the concept of function particularly.

Domingo Paola


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Introduzione al concetto di funzione in un primo anno di scuola

secondaria

Domingo Paola1Liceo scientifico A. Issel Finale Ligure

G.R.E.M.G. Dipartimento di matematica Universit di Genova

Introduzione

Quando si progetta unattivit didattica volta allacquisizione di undeterminato concetto e delle pratiche a esso relative, necessarioprestare attenzione sia agli aspetti disciplinari di caratterestrettamente tecnico, sia agli aspetti storico epistemologici, sia agliaspetti di carattere cognitivo e didattico. I diversi punti di vista non

possono essere separati e indipendenti fra loro; inoltre chi progettadovrebbe avere la sensibilit di guardare alle differenti prospettivecon locchio dellinsegnante consapevole della realt che ha inclasse2.In questo articolo descrivo un ambiente di apprendimento volto acreare condizioni favorevoli alla costruzione di significati per il

concetto di funzione in studenti di 14 15 anni che hannofrequentato il primo anno di un liceo scientifico (sperimentazionePNI).

Nella prima parte mi propongo di dare unidea delle prospettivedalle quali ho affrontato gli aspetti tecnici, storico epistemologici,cognitivi e didattici per costruire lambiente di apprendimento,volto allintroduzione del concetto di funzione nel quale, glistudenti ed io, abbiamo lavorato.

1E-mail [email protected] Con realt della classe intendo le risorse umane, di tempo e tecnologichedisponibili, ma anche lattenzione con la quale il progetto di sperimentazioneviene seguito dalle diverse componenti scolastiche ed extra scolastiche.


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Nella seconda parte descrivo alcune attivit realizzate in classe,soffermandomi su quelle che prevedono luso di strumentiinformatici, in particolare delle calcolatrici tascabili grafico simboliche. Questa scelta motivata da un crescente interesse (nonsolo personale, mi pare) per lo studio delle potenzialit di questistrumenti nellinsegnamento apprendimento della matematica.

Nella terza parte propongo una breve riflessione sulle potenzialitofferte, dalluso delle calcolatrici grafico simboliche e, in

generale dei CAS (Computer Algebra System), nel processo diacquisizione di concetti matematici come, per esempio, quello difunzione.

Aspetti storico epistemologici, tecnici e cognitivi relativi al

concetto di funzione

Linteresse per i problemi relativi al moto dei corpi stata unacostante delle ricerche scientifiche, in tutta la storia dellumanit e,in particolare, fu al centro delle ricerche nel XVII secolo. Fra leragioni che giustificano tale interesse, cito le seguenti (Kline,1991):

il problema di migliorare la determinazione e il calcolodelle posizioni dei pianeti nel loro moto attorno al Sole.

la necessit di determinare con pi accuratezza la latitudinee, soprattutto, la longitudine, problema legato, allepoca,anche a una migliore determinazione dellorbita lunare

il problema del moto dei proiettili: allepoca, la gittata di unproiettile e la massima altezza che poteva raggiungere, indipendenza dellangolo di tiro e della velocit iniziale,erano questioni di fondamentale importanza che portavanoa investimenti enormi da parte degli Stati

la richiesta di misure pi precise del tempo, conseguentealla necessit di misurare con maggior precisione i moti deicorpi.

Il concetto di funzione, come legge che esprime la variazione diuna grandezza rispetto a unaltra (in genere il tempo), pu essere


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considerato come un emergente da pratiche matematiche volte allarisoluzione dei problemi sopra ricordati e, pi in generale, al

problema del moto dei corpi.Gi nelle pagine di Galileo si pu trovare traccia di questoconcetto, anche se in termini non espliciti, in quanto Galileo parla

pi genericamente di relazioni tra grandezze. Nei Discorsi edimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, peresempio, scrive: [] per esperienze ben cento volte replicate

sempre sincontrava, gli spazii passati esser tra di loro come iquadrati dei tempi, e questo in tutte le inclinazioni del piano, ciodel canale nel quale si faceva scendere la palla [] (daiDiscorsiin Opere, VIII, pp. 212 213, cit. in Rossi, 1969, pag. 185).Come viene precisato in Kline (Kline, 1991), ancora prima che ilconcetto di funzione venisse esplicitato, i matematici erano solititabulare valori di curve, anche con precisione relativamenteelevata; inoltre, sia le curve gi conosciute e studiate, sia quelle di

pi recente attenzione, venivano spesso introdotte, nel XVII secolo,mediante moti di corpi. In realt gi gli antichi Greci pensaronoalcune curve come generate da moti, ma si trattava di esempi isolati

e, in un certo senso, non appartenenti a tutti gli effetti al mondodella matematica vera e propria. Nel XVII secolo, invece, le cose si

presentavano in termini assai differenti: per esempio Galileoconsiderava la parabola come luogo geometrico descritto da un

punto in movimento; Padre Mersenne defin la gi nota cicloidecome il luogo geometrico descritto da un punto di una ruota cherotola sul terreno. Insomma, a partire dal XVII secolo, il concettodi curva come luogo geometrico descritto da un punto inmovimento continuo diventa esplicito e comune alla pratica deimatematici. In particolare, nel Tractatus de quadratura curvarum,

Newton scrive: Io considero qui le quantit matematiche noncome costituite da parti molto piccole, ma descritte da un motocontinuo. Le linee sono descritte, e quindi generate, non dallagiustapposizione delle loro parti, ma dal moto continuo dei punti questa genesi ha effettivamente luogo nella natura delle cose e pu


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essere vista quotidianamente nel moto dei corpi (cit. in Kline,1991, p. 396).Le origini del Calcolo sono caratterizzate da un forte riferimentoalla fisica, al moto dei corpi. Questa concezione fisica dellegrandezze matematiche e il riferimento al movimentocaratterizzano sicuramente lopera newtoniana, nella qualevengono utilizzate metafore assai suggestive e ricche di significato,che rimandano a un mondo dinamico, difficilmente dominabile

dalla matematica classica e, in particolare, dal semplice ricorso allageometria euclidea.La definizione, che ancora oggi si assume del concetto di funzione,data nel linguaggio degli insiemi, qualcosa di molto lontano dalleidee che stanno alle origini del Calcolo: essa pu essere vista comeuno dei prodotti di quel lungo processo che, iniziato con lesigenzadi rendere pi rigorosa la matematica e, in particolare lanalisimatematica, ha poi portato a una riflessione sui fondamenti delladisciplina, trovando nella teoria degli insiemi un linguaggioadeguato a parlare degli oggetti matematici. Pu essere utilericordare che, ancora nel 1837, il matematico tedesco Dirichlet

dava una definizione di funzione continua in cui metafore legate almovimento non erano del tutto scomparse: "siano ae bdue valorifissati exuna variabile che assume tutti i valori compresi fra ae b.A ciascun x corrisponde un unico y in modo tale che, mentre x

percorre con continuit l'intervallo tra ae b, anchey=f(x) a poco apoco si modifica; questo significa che y una funzione continua"(cit. in Nucleo di Ricerca Didattica di Modena, 1985, pag. 49).Il movimento e la dinamicit scompaiono completamente nelladefinizione di funzione che fa uso del linguaggio degli insiemi,nella quale si considera la funzione f da A in B come unsottoinsieme del prodotto cartesianoABtale che:1. per ogni a Aesiste b Btale che (a, b) f2. se (a, b) f e (a, b') f, allora b= b'


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La prima condizione garantisce che la funzione definita per ognielemento del dominio; la seconda che a ogni elemento del dominiocorrisponde un solo elemento del codominio.Come gi accennato in precedenza, la storia suggerisce che ladefinizione di funzione data nel linguaggio insiemistico ilrisultato di una lunga evoluzione di cui il movimento e ladinamicit sono stati non solo i punti di partenza, ma anche lecaratteristiche salienti per tanto, tanto tempo. Richiedere a studenti

di un biennio di scuola secondaria di partire dalla definizione datanel linguaggio insiemistico potrebbe essere azzardato: forse i moltiproblemi noti nella letteratura specifica relativamenteallacquisizione del concetto di funzione potrebbero dipendere daquesta possibile inopportunit didattica. Tra laltro la situazionerelativa allinsegnamento apprendimento del concetto di funzione piuttosto paradossale: da una parte se ne riconosce limportanza elaspetto fondante per la matematica; dallaltra, pur introducendo ilconcetto con il linguaggio insiemistico gi nel primo anno di corso,con le funzioni si inizia a lavorare in modo sistematico solo nelquarto o quinto anno, con lintroduzione dellanalisi.

Innanzitutto bene chiarire che lapproccio al concetto di funzionecon luso del linguaggio degli insiemi non lunico possibile.Vorrei qui accennare a quelli che ritengo essere i possibili approccial concetto di funzione elencandoli dal pi statico al pi dinamico3:

1. funzione come particolare sottoinsieme di un prodottocartesiano. Le rappresentazioni pi utilizzate per taleapproccio sono i diagrammi a frecce, le tabelle lette riga perriga, i grafici pensati come insiemi di punti del pianocartesiano;

3Lordine scelto ha, a mio avviso, una stretta corrispondenza rispettoallefficacia dellapproccio per studenti in giovane et e con poche esperienzematematiche, come risultano essere gli studenti di un primo biennio di scuolasecondaria.


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2. funzione come scatola nera, ossia come macchina input output che agendo su uno o pi ingressi genera una e unasola uscita;

3. funzione come espressione variabile: si tratta di unapproccio molto simile a quello di Newton, che pensava agrandezze variabili in funzione del tempo. Questo punto divista porta a privilegiare, nella lettura di una funzionetabulata, i valori delle ordinate (della variabile dipendente);

in altri termini la tabella viene letta in colonna (quella dellavariabile dipendente), perch sono le variazioni dellavariabile dipendente che danno unidea delle caratteristichedella funzione. La variabile indipendente, infatti, pu esserefatta variare a piacere nel dominio della funzione e non dquindi informazioni significative (si pu immaginare cheessa vari con un passo costante; fissata questa informazione,di essa ci si pu anche dimenticare). anche possibile,

per, utilizzare un approccio ancora pi dinamico educandogli studenti a prestare attenzione alla variazione dellevariazioni della variabile dipendente; in altri termini, si

studiano le variazioni delle differenze della colonna delley.Sembra che gli studenti siano particolarmente sensibili allevariazioni delle differenze, nel senso che, scorrendo lacolonna delley in una tabella, identificano un cambiamentosignificativo quando varia la successione delle differenzedei valori della variabile dipendente. Naturalmente, in taleapproccio opportuno fare ampio uso dei grafici,

pensandoli, per, non come insiemi dati di coppie di puntidel piano cartesiano, ma come tracce di un punto inmovimento.

Come si vede, siamo di fronte a differenti possibilit, perlapproccio al concetto di funzione, suggerite dalla storia e dalsapere istituzionale di riferimento; ma quali altre indicazioni e qualialtri suggerimenti danno, eventualmente, le ricerche nel campo


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delle scienze cognitive per risolvere il problema legato alledifficolt di insegnamento apprendimento di tale concetto?Sembra che il terzo degli approcci sopra elencati sia molto vicino almodo in cui il nostro sistema senso-motorio codifica le sensazionifisiche: esso comunque sensibile alle variazioni e, in particolare,alle variazioni seconde (Berthoz, 1998). Ci suggerisce che il terzodegli approcci sopra elencati sia in forte coerenza con quelle chevengono indicate come teorie dellembodiment, che affermano

che ogni conoscenza, anche quella pi astratta, largamentemetaforica e che le metafore utilizzate sono quelle che possonoessere fatte risalire allesperienza sensibile, alle percezioni delnostro apparato senso-motorio (Nunez, R.; Edwards, L. & Matos,J.F.: 1999; Lakhoff, G. & Nunez, R.: 2000; Nunez, 2000; Tall,20024). Lipotesi, in effetti, che lapproccio 3 sia esso stesso inqualche modo embodied (situato, incorporato) e che, per talemotivo, se favorito e non inibito, possa consentire rivelarsi naturalee ricco di significato per gli studenti5.Concludo questa prima parte precisando le caratteristiche principalidellambiente di apprendimento che ho cercato di costruire per un

approccio al concetto di funzione in un primo anno di liceoscientifico corso sperimentale PNI. Tale ambiente fondato:

su un approccio dinamico al concetto di funzione, ispiratoalla concezione newtoniana di grandezze che variano neltempo e che presta particolare attenzione allo studio dellevariazioni prime e seconde della variabile dipendente

4Gli articoli di David Tall sono disponibili in linea al sitohttp://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/)

5Per un approfondimento di tali aspetti e per una raffinata analisi deicomportamenti degli studenti in ambienti che fanno uso di sensori di movimentoe di CAS si vedano anche i lavori del nucleo di ricerca didattica di Torinocoordinato da Ferdinando Arzarello, per esempio (Arzarello & Robutti, 2001;Ferrara & Robutti, 2001; Bazzini, Ferrara, Fossati & Robutti, in stampa)
http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/


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sulla messa in evidenza del ruolo delle funzioni comeparticolari modelli matematici di situazioni oggetto distudio;

sulluso dei sistemi di manipolazione grafico simbolica, inparticolare delle calcolatrici tascabili grafico simboliche esulluso dei sensori di movimento come mediatori nel

processo di insegnamento - apprendimento, in quantostrumenti che incorporano il sapere istituzionale relativo al

concetto di funzione e lo mettono a disposizione dellostudente, consentendo di evidenziare quegli aspetti dinamiciche, secondo le ipotesi fatte, dovrebbero risultare

particolarmente adatti a introdurre il concetto di funzione astudenti di un primo biennio di scuola secondaria6

Alcune attivit svolte in classe

Presento alcune attivit realizzate in classe, nellambiente diinsegnamento apprendimento sopra descritto. In particolare,

parler di:1. uso dei sensori di movimento

2. definizione del concetto di pendenza di un segmento

6In realt vi sono altri due aspetti che caratterizzano, in generale, lambiente diapprendimento e sui quali ora non mi soffermo:

lattenzione alle dinamiche di interazione sociale, in particolare a quelleche caratterizzano i lavori in piccoli gruppi collaborativi e lacondivisione delle conoscenze e delle strategie di approccio ai probleminelle discussioni collettive orchestrate dallinsegnante (Bartolini Bussi& al, 1995);

lattenzione agli aspetti affettivo emozionali, con lobiettivo di creare

un ambiente di apprendimento privo di tensioni non strettamentenecessarie e di portare gli studenti a una valutazione serena econsapevole di successi e insuccessi, evitando di caderenellattribuzione, degli uni e degli altri, a cause non controllabili (come,per esempio, la sfortuna, il non essere portati per la matematica,laccanimento gratuito dellinsegnante nei confronti dello studente).


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3. definizione e studio, con la calcolatrice grafica, di alcunefunzioni che descrivono levoluzione di un fenomeno neltempo.

Primo esempio di attivit: i sensori di movimentoLe attivit relative alluso dei sensori di movimento sono state

proposte anche a studenti di un terzo anno di scuola media, comeho descritto in altri lavori (Paola, 2001; Paola 2002). Rimando a

tali lavori, in particolare al secondo, per precisazioni eapprofondimenti; qui mi limito a richiamare brevemente le varieattivit proposte e a discuterne il significato nel particolareambiente di insegnamento apprendimento sopra descritto.Dopo aver suddiviso gli studenti in gruppi composti da tre alunnisono state effettuate, nell'ordine, le seguenti attivit (Paola, 2001,

pp. 87 88):1. a turno ciascun coordinatore di ogni gruppo si mosso

rispetto al sensore, osservando la traccia del propriomovimento proiettata su un muro dell'aula grazie a un viewscreen posto su una lavagna luminosa e collegato alla

calcolatrice. La consegna prevedeva che anche gli altristudenti osservassero attentamente, dal proprio banco, ilmovimento dei coordinatori e la traccia descritta sul murodell'aula.7

2. Gli studenti si sono riuniti nei gruppi di lavoro per rifletteree discutere su quanto avevano fatto o visto fare. Laconsegna era quella iniziare ad avanzare ipotesi (o diconfrontare quelle eventualmente gi pensateindividualmente durante la precedente attivit) sul come e

perch il movimento era legato al grafico osservato sulmuro.

7Gli studenti che hanno osservato dal banco, dovrebbero essere stati messi incondizioni cognitive simili a quelle degli studenti che hanno effettivamenteeseguito i movimenti.


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3. A turno tutti gli alunni che nella prima attivit si eranolimitati semplicemente a osservare il movimento deicoordinatori dei gruppi di lavoro, sono stati chiamati acompiere essi stessi il movimento. Inizialmente, per, ilsensore non stato messo in funzione: la consegna

prevedeva che i compagni di gruppo (eventualmente anchedi altri gruppi) disegnassero un grafico tempo-posizione.Subito dopo, lo stesso movimento prima eseguito, veniva

riprodotto con il sensore in funzione, in modo che icompagni di gruppo (e altri studenti che eventualmenteavessero voluto provare a rispondere alla consegna)

potessero confrontare la traccia ora disegnata sul muro conil grafico tempo-posizione prima prodotto.

4. Gli studenti si sono nuovamente riuniti in gruppi di lavoroper rispondere a domande specifiche riguardantil'interpretazione di alcune caratteristiche grafiche delletracce osservate sul muro (per esempio dovevano spiegareche cosa suggerisce un segmento orizzontale, uno obliquo,oppure un tratto di curva e cos via)

5. A turno i coordinatori di ciascun gruppo sono stati invitati amuoversi, con il sensore in funzione e con la traccia

proiettata alle loro spalle, in modo tale che essi, al contrariodei compagni, non potessero osservare la traccia prodottadal proprio movimento. Al tempo stesso, i coordinatoridovevano descrivere verbalmente i propri movimenti e lecaratteristiche significative della traccia proiettata sul muro(visibile a tutti gli altri studenti). I compagni di gruppodovevano prendere nota di eventuali errori commessi dalcoordinatore per poi discuterne al termine dell'esperienza.

6. A turno tutti gli studenti dovevano cercare di riprodurre,con il proprio movimento, un grafico tempo-posizionegenerato dalla calcolatrice.

7. A turno ciascun coordinatore si mosso e i compagni digruppo hanno riportato, sul proprio quaderno, la traccia


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proiettata sul muro durante il movimento del coordinatore.Al termine del movimento, il coordinatore, utilizzando unaspecifica funzione fornita dalla calcolatrice, ha rilevato uncerto numero di coppie di dati "tempo-posizione". Glistudenti hanno elaborato a casa i dati e li hanno discussinella successiva lezione.

Lobiettivo specifico che mi ha spinto a proporre tali attivit stato

principalmente quello di cercare di associare la variazione di unafunzione e la variazione locale di pendenza di un grafico ad aspettifortemente percettivi come la variazione della propria posizione edella propria velocit nel tempo8.Gli studenti hanno imparato gradualmente ad associare a unavelocit quasi costante (non possibile muoversi realmente avelocit costante, in quanto almeno a ogni passo si ha unavariazione di velocit) un grafico vicino a un segmento(ovviamente in un sistema di riferimento tempo posizione);analogamente, hanno associato a una curva crescente con laconcavit rivolta verso lalto il movimento di un corpo che si

allontana dal sensore con accelerazione positiva, mentre hannoassociato a una curva crescente con la concavit rivolta verso il

basso il movimento di un corpo che si allontana dal sensorediminuendo la velocit. Lidea che inizia a formarsi, con attivit di

8Preciso che non sto affermando in alcun modo che concetti cinematici comequelli di velocit e accelerazione sono embodied: velocit e accelerazione sonooggetti teorici astratti. Quando parlo di aspetti fortemente percettivi mi storiferendo allesperienza coordinata del proprio movimento (variazione dellaposizione e della velocit) e del grafico che, grazie al sensore di movimento ealla calcolatrice, viene tracciato sul view screen e proiettato sul muro.

comunque bene precisare che non tutti i ricercatori concordano con questaposizione; per esempio David Tall (Tall, 2002) suggerisce di lavorare soprattuttosugli aspetti esclusivamente matematici, come la variazione locale dellapendenza di un grafico e di fondare su tali aspetti lapproccio embodied,rimandando a un secondo momento considerazioni in qualche modo legate allavariazione di grandezze fisiche.


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questo tipo, che una pendenza costante, in un sistema diriferimento tempo posizione, indica che il corpo si stamuovendo con velocit costante; ho notato che ci che aiuta ilformarsi di questa idea , in particolare, la constatazione che unsegmento orizzontale (di pendenza nulla) indica che il corpo fermo. Il passo successivo, quello di approssimare localmente unacurva, che rappresenta lequazione oraria della posizione, con unsegmento e di considerare la pendenza del segmento come

informazione sul valore della velocit del corpo, compiuto inmodo assai naturale dagli studenti. Si tratta, inizialmente e per untempo non breve, di unassociazione effettuata a livello informale:gli studenti valutano a occhio la pendenza di un segmento. Sono ingrado di ordinare differenti pendenze, ma quasi mai di calcolarle

(solo alcuni studenti associano la formulat

sv

= , magari vista

nella scuola media, con la pendenza di un segmento). La nozione dipendenza locale di un grafico9viene quindi introdotta a livello deltutto informale, fondandola su aspetti fortemente percettivi e

proprio per questo pu diventare una radice cognitiva10, nel sensodi Tall (Tall, 2000).

9Il concetto informale di pendenza locale di un grafico richiama la propriet dimicrolinearit, ossia quella propriet goduta da certe funzioni, nellintorno dialcuni loro punti. Informalmente, una funzione f gode della propriet dimicrolinearit nellintorno di un puntox0del suo dominio se ingrandendo semprepi il suo grafico intorno al puntoP(x0,f(x0)), tale grafico tende a diventare unaretta. Ovviamente tale nozione strettamente legata alla nozione di derivabilitdi una funzione in un punto.10Secondo Tall, A cognitive root is a concept that:(i) is a meaningful cognitive unit of core knowledge for the student at thebeginning of the learning sequence,

(ii) allows initial development through a strategy of cognitive expansion ratherthan significant cognitive reconstruction,(iii) contains the possibility of long-term meaning in later developments,(iv) is robust enough to remain useful as more sophisticated understandingdevelops(confrontare il sito precedentemente citato alla voce cognitive root).


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Gli studenti hanno dimostrato di riuscire a trasferire queste idee insituazioni tipicamente matematiche: per esempio, sono riusciti avedere, dietro lequazione di una retta e, pi in generale, di unafunzione, un corpo in movimento. In particolare, nellequazioney=3x+ 2 gli studenti hanno visto un corpo che parte dalla posizione 2(per esempio 2 metri) e si muove con velocit 3 (per esempio 3m/s).Un tale approccio consente di associare significati fisici a

espressioni del tipo 3x+2 > x+10. Una studentessa, Irene, ha cosinterpretato la disequazione sopra scritta:inizialmentex+ 10 si trova in vantaggio, ma prima o poi 3x+2 loraggiunge perch ha una maggiore velocit. chiaro che il linguaggio non formalmente elegante, n rigoroso,ma quanto significato in queste parole, quante idee ed immaginiricche di significato, che fanno capire che esiste una soluzione eche quindi spingono alla sua ricerca!

Naturalmente attivit di questo tipo non sono sufficienti a garantireche la nozione di pendenza di un segmento si leghi a tutti gli effettialla delicata e importante nozione di pendenza di una funzione in

un punto; intanto necessario affrontare il problema di definireformalmente la pendenza di un segmento (vedere pi avanti) e fareffettuare agli studenti attivit di calcolo approssimato della

pendenza locale di funzioni di cui sia nota unespressione analiticao, come stato fatto nel caso delle attivit con i sensori, calcolare

rapportit

s

, con intervalli di tempo sempre pi piccoli, tabulando

i dati (t,s) rilevabili sulla traccia dellequazione oraria.Circa due mesi dopo queste prime attivit, sono state svolte altreattivit sempre con luso dei sensori. Innanzitutto sono state

ripetute le attivit 5 e 6 sopra descritte, per consentire agli studentidi rinfrescare lesperienza. In seguito stato chiesto agli studenti ditracciare un grafico velocit tempo relativo a un determinatografico posizione tempo. Gli studenti dovevano anche produrrecongetture sulle seguenti questioni:


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che cosa accade alla velocit avvicinandosi o allontanandosidal sensore?

possibile partire con velocit diverse da 0? possibile riprodurre, con il proprio movimento, un grafico

tempo posizione che presenti punti angolosi come quellidei grafici generati dalla calcolatrice?11

Naturalmente era consentito utilizzare il sistema sensore calcolatrice per testare le ipotesi effettuate (inizialmente era stato

spiegato che la calcolatrice pu disegnare un grafico velocit tempo relativo a un grafico posizione tempo e come ottenere talegrafico). Nonostante ci gli studenti non hanno fatto un usocostante e sistematico della calcolatrice per verificare lattendibilitdelle congetture via via formulate. In genere preferivano cercare disostenere le congetture formulate con argomentazioni spessodifficili da seguire oppure, in mancanza di argomentazioni,

preferivano cambiare localmente le ipotesi fatte, anche di poco, inmodo da sottrarle alle critiche dei compagni. In particolare, difronte alla presenza di valori negativi della velocit nel graficotracciato dalla calcolatrice, gli studenti hanno formulato varie

ipotesi tese a spiegare lerrore della calcolatrice, senza maicurarsi di testarne la coerenza e la plausibilit. Solo i mieiinterventi e i ripetuti inviti a testare la correttezza delle congetture

prodotte e la plausibilit delle ipotesi formulate, sono riusciti asuscitare in alcuni studenti un atteggiamento pi rispettoso deirisultati sperimentali che li ha poi portati a dare un significato aivalori negativi della velocit. La discussione collettiva statavideoregistrata, proiettata e commentata, come esempio diatteggiamento poco corretto di fronte ai risultati sperimentali12.

11 possibile far generare alla calcolatrice grafici che sono spezzate, ossiagiustapposizioni di segmenti: i punti angolosi di cui si parla sono i punti diraccordo di tali segmenti.12Sulluso delle videoregistrazioni in classe come strumento per costruireunesperienza comune e condivisa, si veda (Furinghetti, Olivero & Paola, 2000)


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Secondo esempio: la definizione della funzione pendenzaLe attivit con i sensori di movimento hanno consentito diassociare al concetto di pendenza locale di un grafico quello divelocit, o se si vuole, in senso pi generale, di velocit divariazione della variabile dipendente rispetto alla variabileindipendente. Per gli studenti diventa quindi naturale associare alla

pendenza informazioni significative su come varia una grandezza:ci vuol dire che, implicitamente e inevitabilmente, inizia a

diventare oggetto di attenzione anche la variazione della pendenza.Per tale motivo e anche per il fatto che la pendenza di un segmentonon era ancora stata definita formalmente ed esplicitamente (soloalcuni studenti, come ho detto, mi erano sembrati in grado di

riconoscere senza problemi nel rapporto12

12

xx

yy

la pendenza del

segmento di estremi (x1,y1) e (x2,y2)), ho pensato di costruire unascheda di lavoro specifica sul concetto di pendenza di un segmento,utilizzando la calcolatrice programmabile per far definireformalmente, agli studenti, la funzione pendenza di un segmento.

La calcolatrice molto utile, perch consente di esplicitare in modomolto chiaro la visione della funzione come macchina con uno opi ingressi e unuscita. In tal caso, per la funzione pendenza, levariabili di ingresso sono punti e quella di uscita un numero reale.Ci non banale, in quanto si tratta non solo di utilizzare unlinguaggio rigoroso e una sintassi precisa, ma soprattutto perch lafunzione pendenza di un segmento una funzione di pi variabili(due coppie ordinate di numeri reali in ingresso). La calcolatriceconsente, al tempo stesso, di esplicitare questa non banalit e direnderla gestibile per lo studente.Il primo passo quello di discutere come rappresentare i punti nella

calcolatrice; quali sono le strutture dati di cui la calcolatricedispone e che sono adatte a rappresentare un punto? Per rispondere intanto utile far capire agli studenti che cosa un punto per la


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calcolatrice nellambiente di programmazione13: non una traccialasciata da una matita sul foglio, ma una coppia di numeri, unacoppia ordinata di numeri reali. Nella calcolatrice esistono le liste,che sono elenchi ordinati di dati. Proprio quello che si voleva. Percomunicare una lista alla calcolatrice sufficiente scrivere lettereseparate da una virgola, racchiudendo lelenco fra due parentesigraffe. Per esempio, la lista {x,y} una coppia ordinata di dueelementi e, quindi, pu rappresentare, nel piano cartesiano, il punto

di coordinatexey.E che cosa dovr fare, con i due punti in input, la funzionependenza di un segmento? Dopo lattivit iniziale proposta nellascheda di lavoro, ormai tutti i ragazzi sanno che la pendenza di unsegmento data dal rapporto tra quanto ci si spostati in altezza equanto in orizzontale (si tratta di cose non scontate, visto cheinizialmente molti studenti avevano difficolt a capire che cosavuol dire pendenza del 100% e, soprattutto, che non si puassociare a una pendenza del 100% un segmento verticale14).Si tratta quindi di fornire alla calcolatrice le istruzioni per calcolarela pendenza di un segmento di cui siano dati gli estremi.

Ecco la definizione di una funzione pendenza di un segmento peruna calcolatrice TI 89:

: Pend(c,d): FUNC

13Uno degli aspetti interessanti nelluso delle calcolatrici che i differentiambienti di lavoro che mettono a disposizione dellutente forniscono differentirappresentazioni degli oggetti matematici: per esempio, un punto una coppiaordinata di numeri reali nellambiente di input dati o di editor programmi,ma diventa un pixel nellambiente grafico. Avere a disposizione, in uno stesso

strumento, differenti possibilit di rappresentare uno stesso oggetto dovrebbeconsentire di assegnare sempre pi significato alloggetto rappresentato.14Se si riflette sul fatto che un concetto cos importante e fondamentale comequello di pendenza produce fraintendimenti cos forti, non ci si pu poi stupiredelle difficolt che gli studenti incontrano nella comprensione di concetti assaipi delicati che si fondano su quello di pendenza.


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: (d[2] c[2])/(d[1] c[1]): EndFunc

La funzione, di nome Pend, dipende da due parametri, che sono duepunti, ossia due liste, indicati con le lettere c e d; essa fornisce,mediante il calcolo del rapporto fra la differenza delle ordinate deidue punti e la differenza delle loro ascisse, il valore della pendenzadi un segmento di estremi dati.

Per esempio, se nella calcolatrice si immettono le due liste a e b,mediante le istruzioni{1, 2} a{2, 3} be poi si digita

pend (a, b)la calcolatrice richiama la funzione pend che restituisce comevalore 1, ossia la pendenza del segmento di estremi a e b.Ovviamente, se il punto bavesse la stessa ascissa del punto a, peresempio, se si definisse{1, 2} a

{1, 3} bdigitando pend(a, b) la calcolatrice restituirebbe la risposta undef,che suggerisce che, in tal caso, non possibile definire la pendenzadel segmento di estremi ae b.Luso della calcolatrice per definire la funzione pendenza di unsegmento ha, a mio avviso, unimportanza strategica: infattirichiede luso di una sintassi rigida, di un linguaggio preciso e nonambiguo. Tra laltro la richiesta accettata di buon grado daglistudenti, che si rendono conto di dover comunicare con un mezzo

poco flessibile e, sicuramente, non intelligente15. Si tratta, quindi,

15In genere la richiesta di rigore e precisione nel linguaggio non compresa nben vista dagli studenti, quando avanzata nel corso di un colloquio conlinsegnante o con altri compagni: costoro, infatti, hanno tutti gli strumenti e lecompetenze per comprendere anche un linguaggio non del tutto rigoroso e


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di un primo passo, motivato e accettato in modo quasi naturaledagli studenti, verso quegli aspetti formali che caratterizzano il

passaggio dalla matematica elementare a quella avanzata e che nonpossono essere trascurati in una preparazione matematica forte ecompleta. Tra laltro, proprio la naturalezza con la quale glistudenti accettano lesigenza del formale e imparano a trattare conoggetti non banali come, in tal caso, una funzione a pi variabili,danno unidea delle potenzialit delluso di strumenti come le

calcolatrici programmabili grafico simboliche nella didatticadella matematica.

Terzo esempio di attivit: un modello per levoluzione di unagrandezzaAgli studenti, suddivisi in piccoli gruppi di tre componenti16 stato

posto il seguente problema17:Una studentessa si prodotta una distorsione al ginocchio durante

una partita di pallavolo indoor e il suo dottore le ha prescritto un

farmaco antinfiammatorio per ridurre il gonfiore. Deve prendere

due pastiglie da 220 mg ogni 8 ore per 10 giorni. Il suo rene filtra

il 60% di questo farmaco dal suo corpo ogni 8 ore. Quantamedicina c nel suo organismo dopo 3 giorni? E dopo 4 giorni? E

preciso. Nel caso della comunicazione con il calcolatore essa acquista significatoanche per gli studenti pi diffidenti nei confronti del formalismo.16In questi gruppi ciascuno studente ha un ruolo ben preciso: uno di essi siassume il compito di controllare che il gruppo stia lavorando al compito che stato proposto (orientato al compito); un altro componente cerca di attivare lestrategie adeguate a far s che tutti gli studenti del gruppo lavorino serenamente ecollaborino al prodotto finale (orientato al gruppo); il terzo componente sioccupa di trascrivere le discussioni sorte allinterno del gruppo, le strategieproposte ed eventualmente abbandonate, il prodotto finale (memoria del gruppo).

I tre ruoli variano in genere ogni dieci - quindici giorni.17Il problema stato tratto dagli NCTM americani, anche se la formulazione stata leggermente estesa. Pu essere utile confrontare testo e soluzioniallindirizzohttp://standards.nctm.org/document/eexamples/chap7/7.2/index.htm#applet
http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap7/7.2/index.htmhttp://standards.nctm.org/document/eexamples/chap7/7.2/index.htm


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dopo 10 giorni? Cercate di studiare levoluzione del farmaco nel

tempo; in particolare, cercate di capire che cosa accadrebbe se la

studentessa continuasse a prendere il farmaco per molto tempo:

pensate che la presenza del farmaco nel suo organismo tenderebbe

prima o poi a diminuire o aumenterebbe sempre? E, nel caso

aumentasse sempre, pensate che potrebbe superare un qualunque

valore prefissato, oppure tenderebbe a un valore che non

superabile nemmeno lasciando passare molto tempo? Come evolve

la presenza del farmaco se, dopo dieci giorni, la studentessa non loassume pi? Quanto tempo impiega a ridursi a 1/100 del farmaco

presente dopo dieci giorni?

Suggerimenti

Provate a costruire una tabella del tipon Giorno Tempo (ore) F(n) = farmaco che rimane in

mg.0 1 01 1 82 1 163 2 24 n

Ricordate che organizzare i dati in modo intelligente aiuta per

esempio a definire una funzione che rappresenti landamento della

presenza del farmaco nellorganismo della studentessa

Riprendete in considerazione le varie domande che vi sono state

poste nel testo del problema ovviamente, per rispondere,

aiutatevi anche con la calcolatrice ricordate eventuali problemi

simili gi svolti

Immagini, metafore e gesti prodotti dagli studenti nella fase dicondivisione delle strategie risolutive sono stati assai interessanti:

per esempio gli studenti hanno presto capito che, anche se lastudentessa continuasse a prendere le pillole,


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il farmaco tenderebbe a stabilizzarsi, perch anche se aumenta di440, il suo rene filtra il 60% che sempre maggiore come sediamo delle palate di sabbia e dal mucchio, sempre pi grande,leviamo sempre il 60%, ossia una quantit sempre pigrandeprima o poi quello che aggiungo uguale a quello chelevo e il processo si stabilizza (Michele)Oppure:la concentrazione del farmaco cresce sempre, ma sempre meno,

ossia, la pendenza diminuisce (Beatrice)Fino a che gli studenti lavorano a livello informale, non hannodifficolt a prevedere levoluzione del farmaco nellorganismo: lemetafore che utilizzano indicano un controllo sorprendente delfenomeno. Le difficolt nascono, invece, quando cercano ditradurre in termini formali la proposizione (a cui tutti, in un modo onellaltro sono arrivati):parte da 440 e poi filtra il 60%, quindi abbiamo 440 + il 40% di

440 e poi il 40% di questo pi 440 e cos viae solo un mio intervento, nel quale invito a scrivere:F(0) = 440

F(1) = 0.4 F(0) +440F(2) = 0.4F(1) + 440..F(n) = 0.4F(n-1)+ 440(con molta difficolt nella comprensione dellultima riga), portaalla risoluzione del problema.Una prima riflessione potrebbe portare a supporre che la difficoltsia determinata dal passaggio da una variabile continua a unadiscreta; in realt non penso che questa sia la causa delle notevolidifficolt incontrate dagli studenti. La tabulazione dei dati ogni ottoore vista, a mio avviso, come un campionamento, una rilevazionedi dati di una grandezza che varia con continuit. Le difficoltnascono invece proprio con il processo di formalizzazione, cherende statico un fenomeno intrinsecamente dinamico. Si tratta diuna selezione di istantanee da un processo dinamico che sembra far


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perdere molti di quei significati prima costruiti. Se questeconsiderazioni interpretano correttamente le difficolt incontratedagli studenti, allora bisognerebbe prestare molta pi attenzione ecautela alle formalizzazioni precoci, spesso richieste nella prassididattica.Prima di passare alla definizione della funzione sulla calcolatrice,ho cercato di far capire come la calcolatrice esegue il calcolo equante operazioni occorrono.

Quindi abbiamo definito la funzione farmaco(n) sulla calcolatrice(questa volta si tratta di una funzione definita per ricorrenza).

:Farmaco(n):Func:If n = 0:Return 440:If n> 0:Return 0.4*farmaco(n-1)+440:EndFunc

La definizione di tale funzione semplifica la ricerca del valorelimite. Ecco alcuni valori forniti dalla calcolatrice:Farmaco (3) = 714.56Farmaco (5) = 730.33Farmaco (8) = 733.14Farmaco (10) = 733.30Farmaco (11) = 733.32Farmaco (12) = 733.33Farmaco (13) = 733.33

Per rispondere alla domandache cosa accadrebbe alla concentrazione del farmaco nel sangue,nel caso in cui la studentessa smettesse di assumerlo?alcuni studenti scrivono


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G(0) = 733,33G(1) = 0,4G(0)G(2) = 0,4G(1).......G(n) = 0,4G(n-1)

Nessuno si accorge che, in tal caso, semplice trovare una formachiusaG(n) = (0,4)n.733,33

Invece tutti capiscono subito che si tratta di una curva la cuipendenza negativa e diminuisce in valore assoluto, anche se nonraggiunger mai lo 0.Quello che ho notato che gli studenti non hanno fatto fatica autilizzare immagini fortemente dinamiche nello studiodellevoluzione del fenomeno, ma non tutti sono riusciti, se nondopo molti sforzi e aiuti da parte mia, ad associare queste immaginialle formule della matematica. In altri termini, se si dice che unagrandezza diminuisce ogni otto ore del 60% i ragazzi non fannofatica a capire che la diminuzione non lineare, ma che diminuisceessa stessa in quanto si applica il 60% a una grandezza sempre pi

piccola. Analogamente, anche se sono allinizio del biennio, nonhanno difficolt a capire che la concentrazione di farmaco cherimane nel sangue pu essere descritta dicendo che il valoresuccessivo si ottiene calcolando il 40% del valore precedente ecos via. Invece molti hanno dimostrato difficolt a esprimere tuttoci in formula: non solo hanno difficolt a scrivere x(n) = 0,4 x(n-1) con x(0) dato, ma talvolta non riescono a riconoscere, nellaformula, la variazione coordinata tra la variabilex, che rappresentail valore della grandezza e la variabile n, che rappresenta il numerodordine dellintervallo di tempo considerato. In altri termini,quando passano alla formulazione matematica, la dinamicitscompare e, al posto di due grandezze che variano in modocoordinato, i ragazzi iniziano a pensare a una serie di valori statici,a una specie di tabella letta riga per riga, perdendo limmaginedella funzione da un punto di vista globale.


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In seguito ho avviato una riflessione sulla complessit di calcolorichiesta per calcolare i valori della funzione G definita perricorsione e quella richiesta per calcolare i valori di G nel casodella formula chiusa. Il guadagno di efficienza computazionale nel

passaggio dal primo al secondo caso stato compreso senza alcunadifficolt. Questa riflessione ha fatto nascere la domanda se anchela funzione farmaco potesse essere definita con una formula chiusa.La comprensione della risposta (positiva) supera le attuali

competenze degli studenti e cos ho proposto di provare a scrivereun programma che calcoli i valori della funzione farmaco passo -passo, iterativamente, cos come gli studenti hanno fatto quandohanno scritto alcuni valori nella tabella. Abbiamo quindi costruito il

programma farm::farm():Prgm:Request dammi n, n:expr(n) n:440 far:For i, 1, n

:0,4*far + 440 far:EndFor:Disp far:EndPrgm

Per rispondere alla domanda quanto tempo impiega laconcentrazione a ridursi a 1/100 del valore iniziale?, si deverisolvere lequazione 7,33 = (0,4) n733,33.La soluzione si pu trovare per tentativi o graficamente, ma essa,come spesso le risoluzioni grafiche, richiede cambi di scala, uso difinestre grafiche adeguate, capacit di osservazione e di fare

previsioni, capacit di accorgersi di qualcosa che non era atteso e dispiegarsi perch. Tutto ci porta, attraverso gli zoom a fareesperienza (inconsapevole) del concetto di microlinearit e quindi afar diventare definizione in atto quella di tangente come miglior


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approssimazione lineare di una funzione (linearizzabile) in unpunto. Le calcolatrici forniscono, sotto questi aspetti potenzialitche la tecnica del gesso e della lavagna non consentono. In tal casogli strumenti tecnologici sono veri e propri strumenti di pensiero,strumenti che potenziano le nostre capacit di rappresentazione,descrizione, previsione e che danno nuove e pi potenti immaginidegli oggetti matematici. Basti pensare che il grafico di unafunzione diventa qui strumento di studio, oggetto di manipolazione,

strumento di comprensione e non oggetto finale dellattivitdidattica.

Sintesi e conclusioni

Ho cercato di dare unidea di un ambiente di apprendimento voltoallacquisizione, da parte degli studenti, del concetto di funzione18.Gli elementi che compongono questo ambiente sono molteplici efortemente intrecciati.Fra gli elementi di carattere metodologico vorrei ricordare il lavoroin piccoli gruppi collaborativi, le discussioni matematiche collettiveorchestrate dallinsegnante e luso degli strumenti come mediatori

semiotici nel prodotto di acquisizione di conoscenza.Fra gli elementi di carattere concettuale mi sembra che si possa direche lipotesi di lavoro che un approccio dinamico al concetto difunzione (il recupero della concezione newtoniana) sia

particolarmente adatto a una didattica attenta alla costruzione disignificati sui quali poter poi fondare, molto gradualmente,

18Chi fosse interessato al problema dellinsegnamento di elementi di pre analisi pu consultare il sito http://www.simcalc.umassd.edu/dove vienepresentato il Simcalc project portato avanti da un team di ricercatori di varieuniversit americane, fra cui ricordo i nomi di Jim Kaputt, Jeremy Roschelle e

Ricardo Nemirovsky. Il principale obiettivo del progetto Simcalc quello direndere disponibile a tutti gli studenti della scuola dellobbligo una pienacomprensione e una buona competenza nelluso dei fondamentali concetti dellamatematica relativa allo studio di grandezze che variano, mediantelutilizzazione delle nuove tecnologie e, pi in generale, di ambienti diapprendimento adeguati.
http://www.simcalc.umassd.edu/http://www.simcalc.umassd.edu/


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lapproccio formale. In particolare, sono convinto che ladefinizione formale di pendenza di un segmento, insieme alla

percezione che gli studenti possono acquisire, grazie alle attivitcon i sensori, del concetto di pendenza locale di un grafico,

potrebbero essere considerati, metaforicamente, come semi daiquali potrebbe germogliare il pensiero infinitesimale.

Naturalmente, perch ci accada, necessario mantenere il terrenofertile, ossia, fuor di metafora, costruire ambienti di insegnamento -

apprendimento attenti alla costruzione, sistemazione ecomunicazione dei significati degli oggetti di studio e quindivincolati a unidea di didattica lunga, dove le osservazioni clinichedelle metafore e dei gesti utilizzati dagli studenti per costruire,sistemare e comunicare conoscenza siano prevalenti e prioritarierispetto ai tempi stretti, alle cadenze rigide e anche ai miti delleverifiche sommative e oggettive.Vorrei concludere con una breve riflessione sulle potenzialitofferte dalluso delle calcolatrici grafico - simboliche e, pi ingenerale, dei CAS nel processo di acquisizione di concettimatematici come, per esempio, quello di funzione.

Come ho detto al convegno della ADT19 (Paola, in stampa), lenuove tecnologie mettono a disposizione dell'utente modelli dioggetti matematici sui quali effettuare osservazioni, esplorazioni,esperienze spesso pi ricche di quelle consentite dai modelli fisicie, in ogni caso, assai pi ricche di quelle permesse dalla didatticadel gesso e della lavagna. Come ha anche scritto Maria AlessandraMariotti (Mariotti, 2001), i moderni sistemi di manipolazionegrafico-simbolica e gli ambienti di geometria dinamica portano arivisitare le relazioni tra astratto e concreto nel processo dicostruzione e appropriazione del significato, proprio perchmettono a disposizione dell'utente quelle che, con una sorta diossimoro, potrebbero essere chiamate "concrete astrazioni".

19Associazione per la Didattica con le Tecnologie, convegno di Cattolica,Ottobre 2001.


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Ovviamente esistono anche rischi dovuti soprattutto a un uso pococonsapevole delle nuove tecnologie. Per esempio, linsegnantedovrebbe essere consapevole che, nel campo educativo, l'uso diogni tecnologia, in particolare se raffinata e complessa come quelladei CAS, presenta un duplice aspetto: da una parte si ha un oggettoche stato costruito in base a un sapere specifico, per svolgeredeterminate funzioni; dall'altra c' un utente che si appropriadell'uso di questo oggetto. In questa prospettiva, Verillon e

Rabardel (Verillon & Rabardel, 1995) distinguono tra artefatto(cio l'oggetto materiale, con le sue proprie caratteristiche fisiche estrutturali, costruito per usi specifici) e strumento (l'artefattoinsieme alle sue modalit di utilizzazione, cos come sono viste einterpretate da un utente): l'artefatto diventa uno strumento quandoil soggetto riesce ad appropriarsene, utilizzandolo per i propriscopi. Secondo questa definizione, uno strumento una costruzionesoggettiva, che si sviluppa in un processo di lungo termine. Questa

prospettiva risulta assai utile per analizzare e interpretare ledifficolt che gli studenti incontrano quando lavorano con unartefatto complesso e raffinato come, per esempio, un CAS: pu

darsi, infatti, che gli schemi di utilizzazione dell'artefatto messi inopera dagli studenti non siano in accordo con quelli attesidall'insegnante. Deve per essere chiaro che il docente non pu nonsentirsi responsabile della situazione: spetta proprio al docente ilcompito di individuare ambienti di apprendimento e attivit checonsentano di favorire una genesi strumentaleadeguata a produrrenegli studenti i comportamenti attesi. Come ha scritto MariaAlessandra Mariotti, "i significati sono radicati nell'esperienzafenomenologica (azioni dell'utente e retroazioni dell'ambiente, dicui l'artefatto un componente), ma la loro evoluzione acquisita

per mezzo di un processo di costruzione sociale in classe, sotto laguida dell'insegnante". Tra l'altro non bisogna dimenticare che icalcolatori sono strumenti in un certo senso personalie come tali

possono portare a un'individualizzazione del lavoro matematico inclasse. In questo contesto l'insegnante ha la responsabilit di


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promuovere e sostenere processi di socializzazione, ancheinsistendo su approcci di tipo cooperativo o collaborativo, in modotale che ogni allievo si senta coinvolto nel processo di produzionedi un lavoro.

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Introduzione Al Concetto Di Funzione Novembre

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