Introduzione divulgativa ai tensori

Lo spazio vettoriale

Lo spazio euclideo

Le trasformazioni di coordinate

La definizione analitica dei vari tipi di tensori come systems che variano al variare delle coordinate

Operazioni tra tensori

Esempi di systems tensoriali

Tensori e manifolds: gli spazi tangenti

La formalizzazione algebrica astratta dei tensori

Approfondimenti di teoria algebrica astratta dei tensori

Lo spazio vettoriale

back to index

Lo spazio vettoriale uno spazio astratto, dove i punti o vettori u, v, w, sono enti di qualsiasi genere che soddisfano i seguenti assiomi:

u + (v + w) = (u + v) + w

u + v = v + u

Esistenza di un elemento tale che v + 0 = v

1 v = v

h (k v) = (h k) v

k (v + w ) = k v + k w

dove h, k sono numeri reali o complessi o elementi di strutture analoghe,

chiamate campi e 1 lelemento neutro del campo. La relazione col tipo di campo viene di solito esplicitata parlando di K-spazi vettoriali

(R-spazi, C-spazi, ecc.)

Un esempio familiare di spazio vettoriale lo spazio dei vettori liberi tridimensionali

della fisica, che possiamo raffigurare come una palla irta di vettori che hanno il

loro punto iniziale (o punto di applicazione) in una origine comune. Le copie di tali

vettori applicate a questo o quel punto dello spazio, definiti vettori applicati,

rappresentano in realt un unico vettore libero, di cui hanno la stessa direzione, lo

stesso verso e la stessomodulo o grandezza (lunghezza)

Un altro esempio, meno intuitivo, di spazio vettoriale, quello delle enople di numeri

con laddizione componente per componente e la moltiplicazione scalare. Esiste lo spazio vettoriale delle funzioni su insiemi (es. spazio di Banach), lo spazio

vettoriale dei polinomi in x, lo spazio vettoriale delle matrici ecc.

La dimensione di uno spazio vettoriale il numero minimo di vettori linearmente

indipendenti {bi} necessari per esprimere ogni vettore dello spazio come loro

combinazione lineare:

v = v1 b1 + v2 b2 + + vn bn

dove vi (i = 1,,n) non un vettore ma uno scalare chiamato i-esima componente del vettore v nella base b.

Lo spazio euclideo

back to index

Uno spazio euclideo uno spazio affine su un K-spazio vettoriale V nel quale definito

un prodotto scalare.

Usualmente si utilizza una definizione meno generale, intendendosi per spazio

euclideo ln-spazio euclideo numerico, cio lo spazio affine numerico An(R) dotato del prodotto scalare standard.

Si tratta dello spazio vettoriale Rn costituito dallinsieme delle n-ple di numeri reali tra due punti qualsiasi del quale definito un vettore differenza o displacement

vector o vettore applicato costituito semplicemente dalla differenza componente per

componente tra le due enople considerate. In tal modo, ad ogni punto di Rn risulta

associato uno spazio tangente, che uno spazio vettoriale, isomorfo ad Rn, costituito

da tutti i vettori differenza che hanno come secondo termine della sottrazione il

vettore considerato.

Il prodotto scalare standard tra due enople X = (x1,,xn) ed Y = (y1,,yn) definito come lo scalare

X Y = x1 y1 + + xn yn

Questo prodotto consente di dotare lo spazio euclideo della misura di lunghezze,

distanze ed angoli, ci di cui sprovvisto lo spazio vettoriale.

La lunghezza o norma di un vettore v = (v1,,vn) definita come:

La distanza tra due vettori definita come la norma del loro vettore differenza

Langolo tra due vettori definito dalla relazione:

Le trasformazioni di coordinate

back to index

Dato uno spazio euclideo E di dimensione n, e una funzione:

f : E Rn

questa costituisce un sistema di coordinate per E se bijettiva e di classe C2 (cio

possiede derivate prime e seconde continue in tutta E).

Un sistema di coordinate definito cartesiano (sinonimi: rettangolare, cartesiano

rettangolare) se la distanza tra due punti arbitrari P(x1,,xn) e Q(y1,,yn) la cosiddetta distanza euclidea, data da:

PQ = (x1 y1)2 + + (xn yn)2

Dati due sistemi di coordinate f1 e f2, Una bijezione

f1-1 f2 : Rn Rn

costituisce una trasformazione di coordinate, definita dalle n equazioni:

y1 = y1(x1,,xn) [0802062242] .........................

yn = yn(x1,,xn)

Nel caso di trasformazioni lineari di coordinate le equazioni assumono la forma:

y1 = a11 x1 + + a1n xn

[0802062245] ..............

yn = an1 x1 + + ann xn

e la matrice:

[0802062247]

detta matrice di trasformazione delle coordinate.

Queste equazioni possono essere interpretate in due modi: secondo linterpretazione detta alibi si tratta di una trasformazione nel piano che assegna ad un punto un altro

punto; secondo linterpretazione alias si tratta di una trasformazione di coordinate, che assegna allo stesso punto coordinate diverse.

Linterpretazione alibi d origine allo studio dei gruppi di trasformazione (ad es. nel piano e nello spazio tridimensionale): una branca affascinante della matematica (le

impronte di un essere umano che cammina sulla sabbia o alcuni steli di piante dove

le foglie appaiono a intervalli regolari dopo aver coperto la medesima frazione di un

cerchio completo attorno al gambo possiedono la simmetria nota

comeglissoriflessione, che un tipo di roto-traslazione bi- o tridimensionale)

Il grande geometra dell800 Felix Klein, nel famoso Programma di Erlangen indic come classificare i vari tipi di geometrie in base alle propriet invarianti per

determinati gruppi di trasformazione. La trasformazione affine pi generale da lui

proposta, la trasformazione proiettiva, quella:

lo studio dei cui invarianti ha dato origine alla geometria proiettiva .

Si definiscono trasformazioni affini quelle che considerano solo i numeratori della

trasformazione lineare generale:

y1 = a11 x1 + + a1n xn + b1

[0802070940] ......................

yn = an1 x1 + + ann xn + bn

Sono trasformazioni affini le rotazioni, le traslazioni e i ribaltamenti. Esse non

conservano in generale n distanze n angoli.

Le trasformazioni lineari omogenee del tipo:

y1 = a11 x1 + + a1n xn

[0802070945] ...............

yn = an1 x1 + + ann xn

corrispondono a delle rototraslazioni degli assi (possiamo chiamarle trasformazioni

cartesiane) e conservano distanze (cosiddette isometrie) ed angoli.

Nel caso di trasformazioni non lineari delle coordinate, dette trasformazioni

curvilinee, di formula generica:

y1 = f1(x1, , xn)

[0802070950] ... yn = fn(x1, , xn)

non vengono in generale conservati n distanze n angoli n propriet proiettive. In

ogni punto pu essere calcolata la matrice delle derivate prime:

[0802062249]

Se si interpretano le formule [0802070950] come formule di un endomorfismo

Rn Rn (cosiddetta interpretazione alibi della trasformazione) anzich come formule

di un cambiamento di coordinate (cosiddetta interpretazione alias della

trasformazione) allora tale matrice [0802070950] non altro che la matrice

jacobiana della trasformazione. Si noti che nel caso di trasformazioni lineari la

matrice [0802070950] essa stessa la matrice delle derivate prime.

La definizione analitica dei vari tipi di tensori come systems che variano al variare

delle coordinate back to index

La nozione di tensore costituisce la naturale generalizzazione di quella di vettore.

Consideriamo dapprima il caso pi semplice di una trasformazione lineare di

coordinate. Dato un vettore V, definito dallenopla (x1,,xn) nel sistema di coordinate X, esso sar definito da una diversa enopla (y1,,yn) nel sistema di coordinate Y. Pensiamo in particolare ad un displacement vector: il modo pi naturale per

identificarlo attraverso i cambiamenti di coordinate sar quello di definirlo come un

sistema di n numeri che al cambiare delle coordinate cambia con la stessa legge di

trasformazione delle coordinate. In termini matriciali si ha:

[0802062251]

Un vettore cos un system covariante (di numeri) o tensore covariante di ordine 1.

Il termine covariante si riferisce al fatto che la matrice della sua trasformazione ha

gli stessi valori di quella di trasformazione delle coordinate.

In termini analitici, la legge di trasformazione la seguente:

[0802070929]

Considerando che le ajk non sono altro che le derivate parziali della trasformazione

possiamo scrivere:

[0802070931]

ovvero, espressa in modo pi compatto con la cosiddetta convenzione di Einstein:

[0802062255]

dove si intende che due indici identici, uno in alto e uno in basso, vanno sommati per

tutti i loro valori.

Oltre ai displacement vectors vi sono molte altri systems di numeri che variano con

la legge [0802062255]: si pensi alle stesse coordinate.

Spesso la parola tensore non sta ad indicare un unico system, ma un campo tensoriale,

cio una funzione continua

f : (R*)r Rs E

dallo spazio dei tensori di tipo (s,r) allo spazio euclideo E, che assegna ad ogni punto

di E un tensore.

Consideriamo ora una trasformazione curvilinea (cio non necessariamente lineare)

di coordinate. Non sar pi possibile esprimere ildisplacement vector come oggetto

che si trasforma secondo la [0802062255], neppure considerando una diversa matrice

di trasformazione per ogni punto, poich vettori diversi (anche semplicemente di

lunghezza) applicati nel medesimo punto daranno displacements diversi nel nuovo

sistema di coordinate.

I systems che, come i displacement vector, variano con la legge [0802062255] in

relazione ad una trasformazione lineare omogenea di coordinate ma non in relazione

a trasformazioni non lineari o lineari non omogenee fanno parte della categoria

dei tensori cartesiani; i systems che variano con la legge [0802062255] in relazione ad

una trasformazione lineare non omogenea di coordinate ma non in relazione ad una

trasformazione curvilinea fanno parte della categoria dei tensori affini; i systems che

variano con la legge [0802062255] in relazione a trasformazioni generali di

coordinate, incluse quelle curvilinee fanno parte della categoria dei tensori generali o

tensori senza aggettivi. Un esempio di tensore affine che per non un tensore rispetto a trasformazioni

generali di coordinate dato dalla ordinaria derivazione parziale di un campo

tensoriale. Rispetto a cambiamenti affini di coordinate linsieme degli nn numeri che costituiscono le n derivate parziali per ognuno degli n componenti di un vettore

controvariante si trasformano con legge tensoriale, ma non cos quando il

cambiamento di coordinate curvilineo. In questo caso alla differenziazione

ordinaria si sostituisce la cosiddetta derivazione covariante, su cui vedi pi avanti.

Mentre per i tensori cartesiani non si distinguono tensori covarianti e controvarianti,

perch sono identici, per i tensori generali della massima importanza distinguerli

secondo la legge di variazione. Diamo pertanto le seguenti definizioni generali:

Tensori covarianti e controvarianti del primo ordine

Si supponga che in qualche regione S di n siano definiti due sistemi di coordinate,

e che questi due sistemi siano connessi da equazioni della forma:

La funzione a valori reali x i(x) definita una trasformazione di coordinate se

bijettiva e di classe C2 (cio che possiede derivate seconde continue in tutta S).

Questo si esprime anche dicendo che il dominio della funzione x i(x) rappresenta un

sistema (ammissibile) di coordinate del generico punto x come definito nel sistema

(xi) nella regione S di n

Si consideri un campo vettoriale V = (Vi) definito su un sottoinsieme S di n [cio,

per ogni i, il componente Vi = Vi(x) un campo scalare (funzione a valori reali) con

x che varia in S]. In ogni sistema di coordinate legato al sistema considerato da una

trasformazione ammissibile che contenga S, siano Vi,,Vn espressi da funzioni a valori reali delle coordinate:

Ti(x1,,xn) nel sistema (xi)

Ti(xi,, x n) nel sistema (x i)

Il campo vettoriale V un tensore controvariante di ordine uno se le sue componenti

(Ti) e (T i) relative rispettivamente ai sistemi (xi) e (x i) obbediscono alla legge di

trasformazione:

dove le sono le derivate parziali della trasformazione di coordinate.

Il campo vettoriale V un tensore covariante di ordine 1 se le sue componenti (Ti) e

(Ti) relative rispettivamente ai sistemi (xi) e (x i) obbediscono alla legge di

trasformazione:

dove le sono le derivate parziali della trasformazione inversa di coordinate.

Tensori del secondo ordine covarianti, controvarianti e misti

Si supponga che V = (Vij) denoti un campo di matrici; cio (Vij) una matrice di nxn

campi scalari Vij(x), tutti definiti sulla stessa regione U = {x} in n.

Si supponga che in due sistemi (xi) e (x i) V abbia una rappresentazione (Tij) e (T ij)

rispettivamente, dove (xi) e (xi) sono sistemi ammissibili di coordinate.

Il campo matriciale V un tensore controvariante di ordine due se le sue componenti

(Tij) in (xi) e (T ij) in (x i) obbediscono la legge di trasformazione:

Il campo matriciale V un tensore covariante di ordine due se le sue componenti

(Tij) in (xi) e (Tij) in (x i) obbediscono alla legge di trasformazione:

Il campo matriciale V un tensore misto di ordine due, controvariante di ordine uno

e covariante di ordine uno se le sue componenti (TjI) in (xi) e (T jI) in (x i) obbediscono

alla legge di trasformazione:

Tensori di ordine arbitrario

Si consideri un campo vettoriale generalizzato, che un array ordinato di nm (m = p

+ q) campi scalari, definito su una regione U in n e le cui componenti siano denotate

come:

nei due rispettivi sistemi di coordinate (xi) e (x i)

Tale campo vettoriale un tensore di ordine m = p + q, controvariante di ordine p e

covariante di ordine q se le sue componenti in (xi) e in (x i) obbediscono alla legge di

trasformazione:

dove le e le sono le derivate della trasformazione e della

sua inversa

Tensori di ordine zero (campi scalari)

Data una funzione su Rn che costituisce un campo di scalari, essa viene considerata

come un tensore di ordine zero.

Operazioni tra tensori

back to index

Addizione e sottrazione di tensori

Occorre che i tensori siano dello stesso tipo: un tensore di tipo (r,s) pu essere

sommato solo ad un tensore di tipo (r,s). Non nemmeno possibile addizionare

tensori definiti su punti differenti di un manifold.

La somma (sottrazione) si ottiene sommando (sottraendo) i due tensori componente

per componente

Moltiplicazione di un tensore per uno scalare

Si moltiplica ciascun componente del tensore per lo stesso scalare

Moltiplicazione esterna (outer product) di due tensori

Se i due tensori sono dati da:

Sijkl

Trstu

e chiamiamo il loro prodotto:

Mijrskltu = Sijkl Trstu

allora si avr ad esempio:

M25461378 = S2513 T4678

Come si vede, dalla moltiplicazione si ottiene un tensore il cui ordine la somma

degli ordini dei tensori moltiplicati. Nellesempio di cui sopra, M un tensore di ordine 8, covariante di ordine 4 e controvariante di ordine 4, poich risulta dalla

moltiplicazione di due tensori ciascuno di ordine 4, covariante di ordine 2 e

controvariante di ordine 2.

Se ogni indice pu assumere n valori, il prodotto esterno pu essere pensato come

loperazione di moltiplicare, per ogni valore del system Sijklgli n4 valori del system

Trstu

Esiste una certa ambiguit dovuta allordine della moltiplicazione: se avessimo definito invece:

Mrsijtukl = Trstu Sijkl

avremmo avuto:

M25461378 = T2513 S4678

che un valore in generale diverso.

Non si considerano separatamente gli indici superiori e inferiori; occorre tenere

presente che un tensore un unico sistema di valori (system) indicizzato sia dagli

indici superiori che da quelli inferiori.

Lunica differenza tra un tensore misto di tipo (1,1) e un tensore di ordine (2,0) o (1,0) nella legge di cambiamento delle componenti (vedi luogo citato).

Quindi occorre prendere un singolo scalare indicizzato dagli indici del primo

tensore, e moltiplicarlo per tutti gli scalari indicizzati dagli indici del secondo tensore

secondo una moltiplicazione "componentwise"

Componentwise multiplication vuol dire che

Tjklm Spqru = Wjkpqlmru

E facile dimostrare che il prodotto di due tensori ancora un tensore, cio soddisfa alla legge di trasformazione tensoriale

Scriveremmo forse cosa pi esatta se scambiassimo i membri e sostituissimo al segno

di eguale il segno di vero per definizione:

Wjkpqlmru Tjklm Spqru

da cui segue che la legge di variazione dei componenti del tensore rispettata, e

quindi si tratta di un tensore.

Consideriamo il caso pi semplice di un tensore T10 e di un tensore S01:

Wrs Tr0 S0s Tr Ss

che funziona da forma bilineare su V*xV:

W(f,v) = fr vs Wrs

che quanto dire una moltiplicazione matriciale

[f] [W] [v]

con [f] vettore riga e [v] vettore colonna e dove lindice "r" di W lindice di riga (infatti se "r" varia lungo la riga di [f] allora il corrispondente indice di [W] varia

lungo le colonne) e "s" lindice di colonna (infatti se "s" varia lungo la colonna [v] allora il corrispondente indice di [W] varia lungo le righe).

Considerando infine che si ha:

W(f,v) = fr vs Wrs = fr Tr0 vs S0s

e cio, poich T un vettore e S una forma lineare:

W(f,v) =f(T) S(v)

si vede che :

W = ST

Come detto altrove, non tutti i tensori sono decomponibili, cio risultano dalla

moltiplicazione di due altri tensori.

Prodotto interno (inner product) o composizione (composition) di due tensori

Combinando loperazione di moltiplicazione di due tensori con quella di contrazione otteniamo loperazione di inner product o composition:

Altrimenti detto, in modo pi sintetico:

Contrazione di un tensore

Consideriamo un tensore Tpqrstu ed eguagliamo due degli indici, ottenendo: Tpkrsku ;

secondo vari autori, questo indicherebbe automaticamente una sommatoria rispetto

agli indici. Se chiamiamo C il tensore contratto abbiamo:

Cprsu = Tp1rs1u + Tp2rs3u + Tp3rs3u + + Tpnrsnu

ovvero, pi sinteticamente:

(questa la definizione testuale di Levi-Civita)

Ovviamente, per ogni diverso valore di p, r, s, u, va fatta tale sommatoria, in modo

che il tensore possiede tanti valori quante sono le combinazioni di tali indici, e quindi

complessivamente di ordine 4.

Simmetrizzazione di un tensore

Un tensore detto simmetrico in un paio di indici superiori o in un paio di indici

inferiori se uno scambio degli indici non ne cambia il valore. Ad es., se il tensore

Trstuvz simmetrico rispetto agli indici s,t ci vuol dire che si avr:

Sr12uvz = Sr21uvz

per qualsiasi valore degli indici r,u,v,z

Sr13uvz = Sr31uvz

per qualsiasi valore degli indici r,u,v,z

Sr23uvz = Sr32uvz

per qualsiasi valore degli indici r,u,v,z (eccetera)

Se invece si ha:

Sr12uvz = Sr21uvz

eccetera, allora il tensore detto antisimmetrico

La simmetria e lantisimmetria sono indipendenti dal sistema di coordinate scelto. Dato un qualsiasi tensore di tipo (r,s), con r > 1 o s> 1, si pu sempre costruire a

partire da esso un tensore simmetrico e un tensore antisimmetrico rispetto a una

qualsiasi coppia di apici o pedici. Per esempio, nel caso di un tensore di tipo (0,2)

Chj possiamo definire:

Shj = (Chj + Cjh)

e

Thj = (Chj Cjk)

con S tensore simmetrico e T tensore antisimmetrico. Questo processo viene

chiamato simmetrizzazione.

Un tensore pu essere scritto come somma della cosiddetta parte simmetrica e parte

antisimmetrica; nel nostro esempio si ha:

Chj = (Chj + Cjk) + (Chj Cjk)

Il processo di simmetrizzazione e di antisimmetrizzazione pu essere generalizzato

a una operazione avente ad oggetto pi di due indici.

Esempi di systems tensoriali

back to index

Ci sono molti tipi di systems tensoriali:

Il tensore di stress, che possiede 18 componenti: 3 forze agenti su tre facce

dellelemento di volume (ciascuna un vettore con 3 coordinate) e 3 deformazioni conseguenti a queste forze (ciascuna un vettore con 3 coordinate)

Il tensore di inerzia

Il prodotto vettoriale

Le coordinate vettoriali in uno spazio euclideo (tensore controvariante di ordine

1)

La derivata ad una curva relativamente al parametro in un punto (tensore

covariante di ordine uno)

Il tensore metrico (tensore covariante di ordine due)

Esistono anche campi scalari, che tra i tutti i campi tensoriali hanno la peculiarit

di non cambiare al cambiare delle coordinate.

Tensori e manifolds: gli spazi tangenti

back to index

Il concetto di superficie come entit i cui punti sono dotati di posizione reciproca e

coordinatizzazione mediante enople di Rn stato generalizzato dai matematici in

quello di manifold (variet )

Una variet topologica n-dimensionale (manifold topologico n-dimensionale) uno

spazio topologico di Hausdorff X, che soddisfa al secondo assioma di numerabilit, e

tale che ogni punto x X possiede un intorno aperto omeomorfo ad un aperto di Rn.

Una superficie M (ad es. una calotta semisferica) immersa in uno spazio

tridimensionale Rn un manifold bidimensionale, in quanto pu essere

coordinatizzata con due numeri. Una carta una funzione u : M R2 che assegna ad

ogni punto della superficie una coppia di numeri reali.

Possiamo ottenere una semplice carta ruotando gli assi di R3 in modo che lasse z sia parallelo al raggio verticale della semisfera ed assegnando ad ogni punto P di essa la

coppia (a,b) che la coordinata della proiezione di P sul piano xy:

Gli studiosi di algebra astratta compirono un importante lavoro di generalizzazione

e di ridefinizione dei tensori. Essi notarono che ad ogni punto della superficie si pu

associare uno spazio tangente che non altro che lo spazio vettoriale delle tangenti o

derivate direzionali vettoriali in quel punto.

Ogni tangente dello spazio esprimibile come array di coordinate affini nella base

data dalle derivate parziali rispetto ad x1 e ad x2.

Nella figura 0802101348 possiamo vedere il piano tangente ad M nel punto P. I vettori appartenenti a tale piano tangente costituiscono uno spazio vettoriale

bidimensionale, chiamato spazio vettoriale tangente. Nella figura sono mostrati due

vettori che costituiscono una base privilegiata per tale spazio, il vettore /x e il

vettore /y che rappresentano le derivate vettoriali della funzione u1 : R2 M

rispetto a vx e vy, versori nelle direzioni x e y.

Tali vettori /x e /y prendono il nome di coordinate vector fields; un qualsiasi

vettore V pu essere espresso nelle sue componenti nella base da essi rappresentata.

Gli algebristi misero in evidenza che al variare delle coordinate nello spazio dei

parametri si verifica un cambio affine di coordinate nello spazio vettoriale e un

corrispondente cambio del system tensoriale.

Ad ogni trasformazioni di coordinate:

x = x (x , y) [0802101418] ...... y = y (x , y)

cambiano i coordinate vector fields e conseguentemente le coordinate di V espresse in

termini della nuova base. La legge di trasformazione delle vecchie componenti (v1,v2)

di V nelle nuove componenti (v1,v2) legata a quella di trasformazione delle coordinate secondo la relazione:

dove la matrice

la matrice delle derivate parziali della trasformazione di coordinate nel punto P,

detta anche matrice jacobiana.

Gli algebristi notarono che precisamente i systems tensoriali si modificano o secondo

la legge di variazione di una forma multilineare sullo spazio tangente o secondo la

legge di variazione di un funzionale multilineare al cambiare dei vettori che

forniscono la base a tale spazio.

Una forma multilineare una funzione

f : Tn R

tale che si abbia:

f(k1v1,,knvn) = k1f(v1) + + knf(vn)

Quindi ogni tensore pu essere visto come una forma multilineare del tipo

TxTxxTxT*xT*xxT* R

I simboli T* denotano lo spazio tangente duale, ossia lo spazio dei funzionali T R

Si parla anche di tensori di tipo (0,1) (tensore covariante di ordine uno) e di tensori

di tipo (1,0) (tensore controvariante di ordine uno) e di tipo (1,1) (tensore misto,

covariante di ordine uno e controvariante di ordine uno)

La formalizzazione algebrica astratta dei tensori

back to index

Ma lalgebra astratta non si ferma qui, e generalizza ulteriormente il concetto di tensore.

Per spiegarlo consideriamo il caso di tensori covarianti di ordine due su uno spazio

tangente T, e cio tensori di tipo (0,1)

Questi tensori si modificano secondo la stessa legge in cui si modificano le forme

bilineari su V, che portano due elementi di V in R. Le forme lineari costituiscono uno

spazio a s, diverso da V, e denotato con V* e chiamato spazio duale di V.

Indicheremo gli elementi di V* indifferentemente come tensori di tipo (0,1), tensori

monocovarianti, forme lineari covarianti.

Il loro prodotto cartesiano lo spazio V* x V*, che da distinguersi dallo spazio dei

tensori covarianti di ordine due.

Gli algebristi hanno notato che tutte le forme bilineari covarianti, cio i tensori di tipo

(0,2) su uno spazio vettoriale V di dimensione finita possono essere espressi come

combinazioni lineari di prodotti tensoriali di tensori (0,1) del tipo fg dove il

prodotto dato da:

fg(v,v) = f(v) g(v)

Questo prodotto non altro che lordinaria prodotto tensoriale esterno. Linsieme delle forme bilineari covarianti, strutturata come spazio vettoriale con basi

date dalle fg, costituisce quello che viene chiamatoprodotto tensoriale degli spazi

duali V* e V* e simboleggiato con V*V* (si noti che ora abbiamo due accezioni

di prodotto tensorlale : prodotto tra tensori e prodotto tra spazi vettoriali)

Esistono differenti tipi di spazi biprodotto, tra cui possibile fare confusione; si tenga

a mente che i tensori bicontrovarianti sono forme multilineari sullo spazio (VxV)* e

non sullo spazio V*xV*; i tensori bicovarianti sono forme multilineari sullo spazio

(V*xV*)* e non sullo spazio (VxV)**

Esistono elementi di VV che non sono esprimibili nella forma vw per due scalari

v,w V. Si tratta dei tensori indecomponibili.

La esistenza di tensori indecomponibili mostra che la forma : VxV VV non

una bijezione, ma una semplice iniezione, e che linsieme delle forme vw = (v,w)

genera VV ma non lo esaurisce. Questo vuol altres dire che non tutti i tensori

possono essere rappresentati come moltiplicazione tensoriale di due tensori.

Tutto questo mostra infine che le classi di equivalenza entro lo spazio R(VxV) delle

funzioni VxV R aventi supporto finito non sono limitate alle classi corrispondenti

ai vari vw

Dire che non tutti i tensori di VV non possono essere rappresentati nella forma.v

w non vuol dire invece che tutti i tensori di VV non possano essere rappresentati

nella forma

v1v2 + v3v4 +

di combinazione lineare di tensori vjvk ; tutti i tensori possono essere comunque

rappresentati (si veda altrove per questa dimostrazione) come combinazioni lineari

nelle componenti della base biduale di VV

Gli algebristi hanno notato che il prodotto V*V* ha una propriet molto peculiare,

sintetizzata dal teorema sotto riportato:

Data una forma bilineare

h : V*xV* R

esiste una sola forma bilineare

b V*V* R

tale che si abbia

h = b

La forma

u : V*xV* R

definita per ogni coppia (v,v) dalla legge:

h(f,g) = f(v) g(v)

Consideriamo che scegliere un elemento (v,v) V* x V* consiste nel fissare una

forma dallo spazio dei tensori bicovarianti ad R, perch la

h(f,g) = f(v) g(v)

provvede a fornire una immagine ad ogni coppia (f.g) di forme lineari su V

Consideriamo che tale forma rende commutativo il diagramma:

h = b

Vediamo in tal modo che si pu identificare V*V* con lo spazio Trs dei tensori di

tipo (0,2) su V

Gli algebristi hanno poi generalizzato questa costruzione a spazi V1xV2 diversi di

qualsiasi numero (inclusi spazi duali) e dimensione (inclusi quelli a dimensione

infinita) e a forme bilineari verso uno spazio vettoriale qualsiasi (non necessariamente

R) o addirittura un modulo su un anello.

Ne risultata la nozione generale di prodotto vettoriale come oggetto algebrico

astratto di cui il prodotto vettoriale VV solo un esempio particolare. La

generalizzazione data dal seguente teorema:

Per ogni modulo C sullanello K e per ogni applicazione n-lineare

h : V1 x x Vn C

esiste una ed una sola applicazione lineare

t : V1 Vn C

che rende commutativo il diagramma:

La teoria dei tensori ha cos potuto essere riferita ad un oggetto algebrico lievemente

meno generale, in cui gli spazi vettoriali Vn sono identici tra loro e in cui lo spazio

immagine di h lo spazio euclideo R, come mostrato dal diagramma sottostante, che

ormai il lettore sa interpretare:

Gli elementi di V V (r volte) si diranno tensori di tipo (r,0) ovvero tensori con

r indici di controvarianza

Gli elementi di V* V* (s volte) si diranno tensori di tipo (0,s) ovvero tensori con s

indici di covarianza

Gli elementi di V* V* V V (rispettivamente s ed r volte) si diranno

tensori di tipo (r,s) ovvero tensori con r indici di controvarianza e s indici di

covarianza.

Approfondimenti di teoria algebrica astratta dei tensori

back to index

La base duale dello spazio V*

Consideriamo una qualsiasi funzione f V*; il suo valore per un qualsiasi vettore

v V (che supponiamo di dimensione 2) sar:

f(v) = f(1 b1 + 2 b2)

e cio

1 f(b1) + 2 f(b2)

e cio

f1 b1*(v) + f2 b2*(v)

dove fi sono scalari e bi* sono forme lineari che danno 1 se largomento ei, zero altrimenti. In virt di questa definizione si ha infatti:

bI*(v) = i

Si vede quindi che ogni forma lineare pu essere espressa come combinazione

lineare delle bi*, che pertanto sono basi di V*, dette anche basi duali, per la

propriet di assumere il valore 1 quando largomento la corrispondente base di V.

La base duale dello spazio (VxV)*

Lo spazio (VxV)* lo spazio delle forme bilineari (covarianti) su V2.

Data una base {bi}in con n dimensione di V, consideriamo il prodotto {bi}in x {bi}i

n costituito dalle coppie di basi del tipo:

(bj,bk)

Allora il valore di una funzione lineare F*(v,v) sar:

F*(b1 1++ bn n , b1 1++ bn n)

e cio la sommatoria (usando la Einstein summation convention):

F*(bj j , bk k)

e cio:

j k F*(bj , bk)

e cio

j k jk jk*(bj , bk)

dove

jk = F(bj , bk)

mentre jk* una forma bilineare il cui valore 1 se largomento (bj,bk) e zero altrimenti. Sviluppando ancora, per la bilinearit di jk* si ha:

jk jk*(bj j , bk k)

e cio

jk jk*(v, v)

da cui si vede che le jk* sono le basi duali dello spazio (VxV)*

Data la loro definizione si ha:

jk*(v,v) = j k

dove j il j-esimo coefficiente del vettore v di (v,v) nella base {b} mentre k il k-esimo coefficiente del vettore v di (v,v) nella base {b} Espressa relativamente a queste basi una funzione b assume quindi la forma:

F = 11 11*+ + nn nn*

e cio:

F(f,g) = (11* 11 + + nn* nn)(f,g) = 11 11*(f,g)+ + nn nn*(f,g)

Attenzione: esistono altre funzioni che danno 1 per un dato argomento, ma non

sono bilineari. Le jk* sono invece funzioni bilineari.

La costruzione di VW come insieme quoziente del modulo di funzioni

I moduli Rn sono un caso particolare di moduli di funzioni RX di tutte le funzioni

X R

Se X un qualsiasi insieme, il sottomodulo R(X) del modulo di funzioni RX che

generato dagli x un R-modulo libero sullinsieme {x | x X}. Le forme x(y) sono

funzioni X R che hanno valore 1 se x = y, mentre hanno valore 0 altrimenti.

Il sottomodulo R(X) pu essere anche identificato con linsieme di tutte le funzioni

X R che hanno un supporto finito (il supporto di una funzione linsieme degli

elementi del dominio con immagine non nulla).

Consideriamo il modulo di tutte le funzioni aventi supporto finito dal prodotto di

due K-moduli A,B in K, che denomineremo K(AxB)

Tale modulo F = K(AxB) non altro che il K-modulo generato dalle (a,b), ma pu

anche essere visto come linsieme delle funzioni AxB K aventi supporto finito.

Se identifichiamo il K-modulo costituito dalle (a,b) con AxB allora la inserzione u

: AxB K(AxB) universale per le funzioni dallinsieme AxB verso un K-modulo:

Ma u non affatto bilineare; per es., se b 0 lelemento (a1,b) + (a2,b) non mai lelemento (a1 + a2,b). Infatti, essendo u una iniezione, lunico modo sarebbe che

fosse 2b = b. Ma lendomorfismo x b+x con b fisso un automorfismo, e se fosse

(b + b) + x = b + x sarebbe anche b + (b+x) = b+x da cui b = 0, che contro lipotesi.

Per aggirare lostacolo consideriamo linsieme quoziente composto dai laterali del sottomodulo S generato da:

(a11 + a22 , b) (a1 , b) 1 (a2 , b) 2 (a , b11 + b22) (a , b1) 1 (a , b2) 2

per ogni scelta di i , a, b rispettivamente appartenenti a K, A, B.

Denotato con ab il laterale cui appartiene (a,b) si ha:

(a11 + a22) b = (a1 b) 1 + (a2 b) 2

a (b11 + b22) = (a b1) 1 + (a b2) 2

Questo perch ovviamente :

(a11 + a22 , b) = (a11 + a22 , b) (a1 , b) 1 (a2 , b) 2 + (a1 , b) 1 + (a2 , b) 2

il che vuol dire che

(a11 + a22 , b) + 0 = (a1 , b) 1 + (a2 , b) 2 + (a11 + a22 , b) (a1 , b) 1 (a2 , b) 2

e cio (a11 + a22 , b) e (a1 , b) 1 + (a2 , b) 2 fanno parte dello stesso laterale. Queste equazioni dicono che la funzione:

: A x B A B

bilineare e che il sottomodulo normale S stato scelto abbastanza ampio da

rendere bilineare il composto:

A x B F F/S

Questa funzione universale:

Per ciascuna funzione K-bilineare h : A x B C esiste una ed una sola

trasformazione K-lineare t : A B C tale che si abbia: h = t