INTRODUZIONE AI METODI DI CONTROLLO DELLA SICUREZZA · – il metodo non consente di valutare...

Prof. Ciro FAELLA Dipartimento di Ingegneria Civile

Università di Salerno

ORDINE DEGLI INGEGNERIORDINE DEGLI INGEGNERICorso di aggiornamento sulla normativa sismicaCorso di aggiornamento sulla normativa sismica

gen. 2007 gen. 2007 –– mar. 2007mar. 2007

INTRODUZIONE AI METODI DI INTRODUZIONE AI METODI DI CONTROLLO DELLA SICUREZZACONTROLLO DELLA SICUREZZA

Spettro elastico e spettri di progettoSpettro elastico e spettri di progetto

Requisiti generali delle costruzioni dal Requisiti generali delle costruzioni dal punto di vista della funzionalità e della punto di vista della funzionalità e della

sicurezzasicurezza

Le principali domande cui bisogna Le principali domande cui bisogna rispondere nel costruire riguardano come rispondere nel costruire riguardano come costruire in modo da garantire costruire in modo da garantire

che le strutture non crollino, poiché la perdita di che le strutture non crollino, poiché la perdita di vite umane è sempre inaccettabile, vite umane è sempre inaccettabile, che esse abbiano standard qualitativi elevati, che esse abbiano standard qualitativi elevati, ovvero siano adeguate alle funzioni per le quali ovvero siano adeguate alle funzioni per le quali sono costruite, ma sono costruite, ma che siano poco costose e contemporaneamente che siano poco costose e contemporaneamente durevoli, in quanto l’durevoli, in quanto l’economicitàeconomicità della della costruzione deriva sia dal costo iniziale di costruzione deriva sia dal costo iniziale di realizzazione dell’opera sia dal costo differito per realizzazione dell’opera sia dal costo differito per garantirne con adeguata manutenzione la garantirne con adeguata manutenzione la conservazione nel tempo.conservazione nel tempo.

PARAMETRI PER LA VALUTAZIONE PARAMETRI PER LA VALUTAZIONE DELLA SICUREZZADELLA SICUREZZA

I parametri che influenzano il processo I parametri che influenzano il processo decisionale che converge nella definizione del decisionale che converge nella definizione del progetto della generica struttura possono progetto della generica struttura possono ricondursi essenzialmente ai seguenti:ricondursi essenzialmente ai seguenti:–– le azionile azioni cui la struttura deve resistere e quindi da cui la struttura deve resistere e quindi da

considerare nel progetto;considerare nel progetto;–– le caratteristiche meccaniche dei materialile caratteristiche meccaniche dei materiali che che

costituiscono la struttura portante;costituiscono la struttura portante;–– i modelli di calcoloi modelli di calcolo che consentono la analisi che consentono la analisi

strutturale per la determinazione delle sollecitazioni e strutturale per la determinazione delle sollecitazioni e della capacità di resistenza della generica struttura.della capacità di resistenza della generica struttura.

Le azioni sulle costruzioniLe azioni sulle costruzioniLe azioni da considerare si possono Le azioni da considerare si possono dividere in tre categorie:dividere in tre categorie:–– azioni dirette costituite dal peso proprio, altri azioni dirette costituite dal peso proprio, altri

carichi fissi, carichi di esercizio, altri carichi carichi fissi, carichi di esercizio, altri carichi variabili come neve, vento, sisma, azioni variabili come neve, vento, sisma, azioni dinamiche;dinamiche;

–– azioni indirette determinate da variazioni azioni indirette determinate da variazioni termiche, deformazioni viscose, ritiro, termiche, deformazioni viscose, ritiro, precompressione, cedimenti vincolari;precompressione, cedimenti vincolari;

–– azioni azioni chimicochimico--fisichefisiche dovute ad agenti dovute ad agenti aggressivi come ambienti chimicamente aggressivi come ambienti chimicamente aggressivi, umidità, gelo.aggressivi, umidità, gelo.

Problematiche relativeProblematiche relativeProblema più complesso è la definizione dell’entità delProblema più complesso è la definizione dell’entità delle azioni da le azioni da

prendere in conto. Mentre infatti il peso proprio ed in parte i prendere in conto. Mentre infatti il peso proprio ed in parte i carichi fissi carichi fissi possono essere oggetto di una determinazione sufficientemente acpossono essere oggetto di una determinazione sufficientemente accurata, curata, più difficile risulta definire valori per le azioni rimanenti. Lpiù difficile risulta definire valori per le azioni rimanenti. La definizione di a definizione di valori di progetto non può prescindere da valutazioni probabilisvalori di progetto non può prescindere da valutazioni probabilistiche che tiche che affondano le radici in valutazioni statistiche dei valori effettaffondano le radici in valutazioni statistiche dei valori effettivamente ivamente osservati in condizioni simili.osservati in condizioni simili.

E’ il caso del vento, della neve, delle variazioni termiche, delE’ il caso del vento, della neve, delle variazioni termiche, delle le deformazioni viscose, delle azioni sismiche. La valutazione delldeformazioni viscose, delle azioni sismiche. La valutazione dell’entità delle ’entità delle azioni variabili deve poi tener conto della durata prevedibile dazioni variabili deve poi tener conto della durata prevedibile della generica ella generica costruzione perché al crescere di questa aumenta la probabilità costruzione perché al crescere di questa aumenta la probabilità di azioni di di azioni di maggiore intensità, ed inoltre della entità del danno che la suamaggiore intensità, ed inoltre della entità del danno che la suainadeguatezza potrebbe determinare.inadeguatezza potrebbe determinare.

Per questa ragione edifici suscettibili di grande affollamento oPer questa ragione edifici suscettibili di grande affollamento ofondamentali per la protezione civile (ospedali, caserme dei vigfondamentali per la protezione civile (ospedali, caserme dei vigili del fuoco, ili del fuoco, scuole, luoghi di culto, teatri) richiedono ai sensi delle moderscuole, luoghi di culto, teatri) richiedono ai sensi delle moderne normative ne normative un maggior grado di sicurezza a parità di azioni, ovvero, un uguun maggior grado di sicurezza a parità di azioni, ovvero, un uguale grado di ale grado di sicurezza per azioni più rilevanti e meno frequenti. Altre costrsicurezza per azioni più rilevanti e meno frequenti. Altre costruzioni, uzioni, destinate ad una vita più breve, ovvero con scarsa incidenza suldestinate ad una vita più breve, ovvero con scarsa incidenza sulla sicurezza la sicurezza delle persone, possono essere costruite con azioni variabili di delle persone, possono essere costruite con azioni variabili di minore entità.minore entità.

Le caratteristiche dei materialiLe caratteristiche dei materialiLe caratteristiche dei materiali rappresentano il secondo Le caratteristiche dei materiali rappresentano il secondo fattore fondamentale della sicurezza. Anche la fattore fondamentale della sicurezza. Anche la resistenza dei materiali da costruzione non è esprimibile resistenza dei materiali da costruzione non è esprimibile in forma in forma deterministicadeterministica in quanto essa è fortemente in quanto essa è fortemente variabile pur in presenza di caratteristiche di produzione variabile pur in presenza di caratteristiche di produzione omogenee.omogenee.Questo vale sia per l’acciaio da carpenteria o da c.a., Questo vale sia per l’acciaio da carpenteria o da c.a., sia, ed a maggior ragione, per il calcestruzzo nel quale si sia, ed a maggior ragione, per il calcestruzzo nel quale si osserva una larga dispersione delle caratteristiche osserva una larga dispersione delle caratteristiche meccaniche in campioni nominalmente uguali ovvero meccaniche in campioni nominalmente uguali ovvero caratterizzati dalla stessa composizione e dallo stesso caratterizzati dalla stessa composizione e dallo stesso procedimento di fabbricazione. Anche in questo caso procedimento di fabbricazione. Anche in questo caso come per le azioni di progetto, la definizione delle come per le azioni di progetto, la definizione delle caratteristiche meccaniche dei materiali deve caratteristiche meccaniche dei materiali deve necessariamente derivare da una analisi probabilistica necessariamente derivare da una analisi probabilistica che tenga conto della dispersione delle caratteristiche che tenga conto della dispersione delle caratteristiche meccaniche e definisca valori di riferimento con una meccaniche e definisca valori di riferimento con una prefissata probabilità.prefissata probabilità.

Caratteristiche aleatorie della resistenza del Caratteristiche aleatorie della resistenza del calcestruzzo:calcestruzzo:

Istogramma della resistenzaIstogramma della resistenza

Al crescere dei campioni l’istogramma diventa Al crescere dei campioni l’istogramma diventa curva di frequenza o di probabilitàcurva di frequenza o di probabilità

Curve di probabilità con diversa dispersione, Curve di probabilità con diversa dispersione, valori caratteristici della resistenzavalori caratteristici della resistenza

I metodi di controllo della sicurezzaI metodi di controllo della sicurezza

Allo stato attuale la misura della sicurezza Allo stato attuale la misura della sicurezza strutturale può essere effettuata sulla base di tre strutturale può essere effettuata sulla base di tre diverse metodologie:diverse metodologie:

•• il metodo elastico o delle tensioni ammissibili;il metodo elastico o delle tensioni ammissibili;

•• il metodo del calcolo a rottura;il metodo del calcolo a rottura;

•• L’approccio probabilistico, che dal punto di vista L’approccio probabilistico, che dal punto di vista operativo si traduce in genere nel metodo semioperativo si traduce in genere nel metodo semi--probabilistico agli stati limite.probabilistico agli stati limite.

Il metodo delle tensioni ammissibiliIl metodo delle tensioni ammissibili

Nel metodo delle tensioni ammissibili si ammettono le ipotesi prNel metodo delle tensioni ammissibili si ammettono le ipotesi proprie oprie del calcolo elastico lineare, come piccoli spostamenti, piccole del calcolo elastico lineare, come piccoli spostamenti, piccole deformazioni, vincoli lisci e bilaterali, cui segue il principiodeformazioni, vincoli lisci e bilaterali, cui segue il principio di di sovrapposizione degli effetti.sovrapposizione degli effetti.Si applica, pertanto, un calcolo delle sollecitazioni sostanzialSi applica, pertanto, un calcolo delle sollecitazioni sostanzialmente mente elasticoelastico--lineare sulla base di opportuni modelli strutturali e con lineare sulla base di opportuni modelli strutturali e con riferimento ai valori “caratteristici” delle azioni, corrisponderiferimento ai valori “caratteristici” delle azioni, corrispondenti ad una nti ad una probabilità di essere superate del 5%. probabilità di essere superate del 5%. La verifica di sicurezza consiste nel garantire che in nessun puLa verifica di sicurezza consiste nel garantire che in nessun punto nto della struttura siano prodotte deformazioni permanenti, assumenddella struttura siano prodotte deformazioni permanenti, assumendo o peraltro un conveniente margine nei confronti di questa evenienzperaltro un conveniente margine nei confronti di questa evenienza. a. Dal punto di vista operativo ciò si traduce nel controllare che Dal punto di vista operativo ciò si traduce nel controllare che in in nessun punto vengano superati i limiti delle “nessun punto vengano superati i limiti delle “tensioni ammissibilitensioni ammissibili”, ”, fissate per ogni materiale con riferimento alle resistenze fissate per ogni materiale con riferimento alle resistenze caratteristiche degli stessi:caratteristiche degli stessi:

γ

=σ≤σ keq

R

Il metodo delle tensioni Il metodo delle tensioni ammissibiliammissibili

Nella relazione precedente Nella relazione precedente σσeqeq rappresenta la “rappresenta la “tensione tensione equivalenteequivalente” nel punto, cioè quella tensione fittizia che in regime ” nel punto, cioè quella tensione fittizia che in regime monoassialemonoassiale di trazione o di compressione fornirebbe un di trazione o di compressione fornirebbe un moltiplicatore di crisi pari a quello relativo allo stato moltiplicatore di crisi pari a quello relativo allo stato pluriassialepluriassialeeffettivo. La tensione equivalente si ricava dalla scrittura deieffettivo. La tensione equivalente si ricava dalla scrittura dei criteri di criteri di resistenza, che forniscono punto per punto la frontiera del domiresistenza, che forniscono punto per punto la frontiera del dominio di nio di elasticità, esprimibile mediante una equazione del tipo:elasticità, esprimibile mediante una equazione del tipo:

Le tensioni ammissibili del generico materiale sono fissate a pLe tensioni ammissibili del generico materiale sono fissate a partire artire dalla resistenza caratteristica del materiale dalla resistenza caratteristica del materiale RRkk ad un livello tale, ad un livello tale, definito dal coefficiente di sicurezza definito dal coefficiente di sicurezza γγ , da garantire che il , da garantire che il comportamento dello stesso possa essere ritenuto elasticocomportamento dello stesso possa essere ritenuto elastico--lineare lineare e che si determini un sufficiente margine di sicurezza rispetto e che si determini un sufficiente margine di sicurezza rispetto al al collasso per coprire le incertezze sulle azioni, sulla resistenzcollasso per coprire le incertezze sulle azioni, sulla resistenza dei a dei materiali, sulle imperfezioni esecutive, sul modello strutturalemateriali, sulle imperfezioni esecutive, sul modello strutturale e sui e sui metodi di valutazione delle sollecitazioni. metodi di valutazione delle sollecitazioni.

( ) 0,, 321 =σσσf

Valutazione criticaValutazione criticaIl metodo alle Il metodo alle t.a.t.a. ha il pregio di una grande semplicità di uso, ha il pregio di una grande semplicità di uso, connessa al fatto che consente di operare nell’ambito delle ipotconnessa al fatto che consente di operare nell’ambito delle ipotesi esi del principio di sovrapposizione degli effetti, ma d’altra partedel principio di sovrapposizione degli effetti, ma d’altra partepresenta una serie di insufficienze che ne hanno determinando ilpresenta una serie di insufficienze che ne hanno determinando ilsuperamento.superamento.Le ragioni principali di critica sono da riscontrarsi nei seguenLe ragioni principali di critica sono da riscontrarsi nei seguenti punti: ti punti: –– il metodo delle tensioni ammissibili il metodo delle tensioni ammissibili non garantisce una sicurezza strutturale non garantisce una sicurezza strutturale

omogenea, omogenea, in quanto, a parità di tensione, al variare di geometria ed armain quanto, a parità di tensione, al variare di geometria ed armatura tura delle sezioni nel c.a., del tipo di sollecitazione (sforzo normadelle sezioni nel c.a., del tipo di sollecitazione (sforzo normale, flessione, pressole, flessione, presso--flessione, taglio, torsione), del tipo di struttura (isostatica flessione, taglio, torsione), del tipo di struttura (isostatica o iperstatica), possono o iperstatica), possono corrispondere coefficienti di sicurezza differenti; corrispondere coefficienti di sicurezza differenti;

–– il metodo non consente di valutare correttamente l’influenza delil metodo non consente di valutare correttamente l’influenza delle le distorsionidistorsioni (ritiro, viscosità, variazioni termiche) e di altri comportamen(ritiro, viscosità, variazioni termiche) e di altri comportamenti non ti non lineari (lineari (plasticizzazioniplasticizzazioni locali, fessurazione), in quanto eventuali deformazioni non locali, fessurazione), in quanto eventuali deformazioni non lineari connesse a tali cause non necessariamente determinano unlineari connesse a tali cause non necessariamente determinano una riduzione a riduzione della sicurezza nei confronti delle azioni rimanenti (carichi pedella sicurezza nei confronti delle azioni rimanenti (carichi permanenti e variabili, rmanenti e variabili, vento, sisma);vento, sisma);

–– il metodo, prevedendo la somma di tutte le azioni al loro livellil metodo, prevedendo la somma di tutte le azioni al loro livello caratteristico o caratteristico ((frattilefrattile superiore al 95% ) superiore al 95% ) non consente di differenziare la diversa probabilità non consente di differenziare la diversa probabilità delle combinazioni di carico e la loro diversa incidenza sulla sdelle combinazioni di carico e la loro diversa incidenza sulla sicurezza e icurezza e sulla accettabilità delle generica strutturasulla accettabilità delle generica struttura: ad esempio è poco probabile che : ad esempio è poco probabile che l’azione caratteristica (al 95%) di una azione variabile ed eccel’azione caratteristica (al 95%) di una azione variabile ed eccezionale come il zionale come il vento si cumuli con il valore caratteristico di altri carichi vavento si cumuli con il valore caratteristico di altri carichi variabili.riabili.

Definizione delle sollecitazioni Definizione delle sollecitazioni e delle resistenze di progettoe delle resistenze di progetto

Sm Sk Sd Rd Rk Rm

f , fS R

dd RS ≤

DDeeffiinniittii

iinnffaattttii

METODO SEMIPROBABILISTICO AGLI STATI LIMITE

R

kkS

RSγ

≤⋅γ

Metodi di analisi delle strutture Metodi di analisi delle strutture ed elementi di analisi limiteed elementi di analisi limite

Nella verifica delle strutture agli stati limite, dovendosi consNella verifica delle strutture agli stati limite, dovendosi considerare il iderare il comportamento non lineare dei materiali e delle strutture, sono comportamento non lineare dei materiali e delle strutture, sono necessarie metodologie generalmente diverse da quelle lineari penecessarie metodologie generalmente diverse da quelle lineari per r l’analisi delle strutture e per la verifica delle sezioni.l’analisi delle strutture e per la verifica delle sezioni.In particolare nelle strutture iperstatiche il calcolo delle solIn particolare nelle strutture iperstatiche il calcolo delle sollecitazioni lecitazioni allo stato limite ultimo nelle sezioni può essere eseguito segueallo stato limite ultimo nelle sezioni può essere eseguito seguendo ndo diverse strade che in diverso modo tengono conto del diverse strade che in diverso modo tengono conto del comportamento non lineare delle membrature in prossimità dello comportamento non lineare delle membrature in prossimità dello stato limite.stato limite.Si considerano a livello normativo quattro diversi modi di analiSi considerano a livello normativo quattro diversi modi di analisi si delle strutture, fissando per ciascuno criteri e limiti di applidelle strutture, fissando per ciascuno criteri e limiti di applicazione:cazione:A) calcolo elastico lineare senza A) calcolo elastico lineare senza ridistribuzioneridistribuzione delle sollecitazioni;delle sollecitazioni;B) calcolo elastico lineare con B) calcolo elastico lineare con ridistribuzioneridistribuzione delle sollecitazioni;delle sollecitazioni;C) calcolo plastico;C) calcolo plastico;D) calcolo non lineare.D) calcolo non lineare.

A) Calcolo elasticoA) Calcolo elastico--lineare senza lineare senza ridistribuzioneridistribuzione delle sollecitazionidelle sollecitazioni

Il primo metodo di analisi delle sollecitazioni non differisce dIl primo metodo di analisi delle sollecitazioni non differisce da a quello normalmente usato nell’ambito del tradizionale metodo di quello normalmente usato nell’ambito del tradizionale metodo di verifica della sicurezza alle tensioni ammissibili. verifica della sicurezza alle tensioni ammissibili. Trova Trova giustificazione nel fatto che dimensionando le membrature in giustificazione nel fatto che dimensionando le membrature in modo tale che le caratteristiche della sollecitazione resistentimodo tale che le caratteristiche della sollecitazione resistenti nelle nelle sezioni siano maggiori di quelle sollecitanti, per le condizionisezioni siano maggiori di quelle sollecitanti, per le condizioni di di carico previste, con un calcolo elastico allo carico previste, con un calcolo elastico allo s.l.us.l.u., la deviazione ., la deviazione dal comportamento lineare delle sezioni è relativamente dal comportamento lineare delle sezioni è relativamente contenuta e quindi non condiziona in maniera significativa il contenuta e quindi non condiziona in maniera significativa il risultato delle verifiche.risultato delle verifiche.Infatti la deviazione dal comportamento lineare, che a stretto Infatti la deviazione dal comportamento lineare, che a stretto rigore influenza le caratteristiche della sollecitazione nelle rigore influenza le caratteristiche della sollecitazione nelle strutture iperstatiche fin dalle prime strutture iperstatiche fin dalle prime fessurazionifessurazioni, è rilevante , è rilevante quando le armature superano lo snervamento ovvero il quando le armature superano lo snervamento ovvero il calcestruzzo è sollecitato oltre il 60% della resistenza calcestruzzo è sollecitato oltre il 60% della resistenza caratteristica.caratteristica.L’approssimazione implicitamente ammessa non è L’approssimazione implicitamente ammessa non è qualitativamente diversa da quella normalmente accettata nelle qualitativamente diversa da quella normalmente accettata nelle verifiche alle tensioni ammissibili in cui si ammette un verifiche alle tensioni ammissibili in cui si ammette un comportamento lineare elastico delle membrature in c.a. comportamento lineare elastico delle membrature in c.a. trascurando gli effetti sulla rigidezza della fessurazione del trascurando gli effetti sulla rigidezza della fessurazione del calcestruzzocalcestruzzo

B) Calcolo elasticoB) Calcolo elastico--lineare con lineare con ridistribuzioneridistribuzione delle sollecitazionidelle sollecitazioni

Il secondo metodo di verifica assume come punto di partenza per Il secondo metodo di verifica assume come punto di partenza per l’analisi delle sollecitazioni l’analisi delle sollecitazioni un calcolo elastico lineare ma consente la ridistribuzione dei mun calcolo elastico lineare ma consente la ridistribuzione dei momenti.omenti.Da un punto di vista operativo, una volta determinata con i consDa un punto di vista operativo, una volta determinata con i consueti metodi elastici lineari la ueti metodi elastici lineari la distribuzione delle sollecitazioni, si correggono i valori delledistribuzione delle sollecitazioni, si correggono i valori delle sollecitazioni sollecitazioni MMee in alcune sezioni in alcune sezioni critiche, generalmente nelle sezioni di momento negativo, mediancritiche, generalmente nelle sezioni di momento negativo, mediante un coefficiente riduttivo te un coefficiente riduttivo δδ[<1]:[<1]:

I momenti in campata nelle aste della struttura in cui sono statI momenti in campata nelle aste della struttura in cui sono stati variati i momenti nodali vanno i variati i momenti nodali vanno poi corretti per il rispetto dell’equilibrio.poi corretti per il rispetto dell’equilibrio.Tale metodo è applicabile a travi continue o a telai a nodi fissTale metodo è applicabile a travi continue o a telai a nodi fissi in cui cioè le forze orizzontali i in cui cioè le forze orizzontali sono assenti o affidate ad altre strutture. Il coefficiente ridusono assenti o affidate ad altre strutture. Il coefficiente riduttivo ttivo δδ è legato alla duttilità delle è legato alla duttilità delle sezioni critiche in cui si opera la ridistribuzione e, poiché lasezioni critiche in cui si opera la ridistribuzione e, poiché la duttilità delle sezioni critiche duttilità delle sezioni critiche decresce al crescere dell’asse neutro adimensionale (yc/d), il cdecresce al crescere dell’asse neutro adimensionale (yc/d), il coefficiente di ridistribuzione oefficiente di ridistribuzione δδviene limitato, secondo la normativa italiana, dalle seguenti coviene limitato, secondo la normativa italiana, dalle seguenti condizioni:ndizioni:

La relazione precedente consente il massimo di ridistribuzione (La relazione precedente consente il massimo di ridistribuzione (δδ=0=0.75.75) quando è massima la ) quando è massima la duttilità delle sezioni critiche (duttilità delle sezioni critiche (ycyc ≤≤ 0.250.25dd); non consente ); non consente ridistribuzioneridistribuzione dei momenti quando le dei momenti quando le sezioni critiche hanno un asse neutro maggiore di 0.45sezioni critiche hanno un asse neutro maggiore di 0.45dd..

er MM ⋅= δ

dyc⋅+≥ 25.144.0δ 175.0 ≤≤ δ

Ridistribuzione dei momenti

Considerazioni sul metodoConsiderazioni sul metodoIn sintesi il metodo sopra descritto si presenta come In sintesi il metodo sopra descritto si presenta come l’applicazione del metodo statico alle strutture in l’applicazione del metodo statico alle strutture in c.ac.a.; .; infatti nel progetto delle membrature si adotta un infatti nel progetto delle membrature si adotta un campo campo di sollecitazioni staticamente ammissibilidi sollecitazioni staticamente ammissibili (ovvero (ovvero equilibrate con i carichi esterni e che non violano le equilibrate con i carichi esterni e che non violano le condizioni di condizioni di plasticizzazioneplasticizzazione in quanto tali sollecitazioni in quanto tali sollecitazioni sono assunte come sollecitazioni di progetto), con sono assunte come sollecitazioni di progetto), con alcune limitazioni finalizzate a commisurare la capacità alcune limitazioni finalizzate a commisurare la capacità rotazionale richiesta con quella disponibile. rotazionale richiesta con quella disponibile. A tale scopo si limita il coefficiente di A tale scopo si limita il coefficiente di ridistribuzioneridistribuzione in un in un campo di variazione relativamente poco diverso campo di variazione relativamente poco diverso dall’unità (0.75dall’unità (0.75≤δ≤≤δ≤1) imponendo in tal modo che la 1) imponendo in tal modo che la distribuzione dei momenti di progetto sia non troppo distribuzione dei momenti di progetto sia non troppo diversa da quella fornita da un calcolo elastico; inoltre si diversa da quella fornita da un calcolo elastico; inoltre si correla il coefficiente di correla il coefficiente di ridistribuzioneridistribuzione alla capacità alla capacità rotazionale disponibile attraverso rotazionale disponibile attraverso yycc//dd ..

C) Calcolo plasticoC) Calcolo plasticoIl calcolo plastico ,consentito dall’EC2 per le travi continue cIl calcolo plastico ,consentito dall’EC2 per le travi continue con luci poco on luci poco variabili , può applicarsi come il metodo precedente correggendovariabili , può applicarsi come il metodo precedente correggendo i i momenti derivati da un calcolo elastico senza le limitazioni su momenti derivati da un calcolo elastico senza le limitazioni su δδ..Occorre però controllare che le sezioni critiche siano effettivaOccorre però controllare che le sezioni critiche siano effettivamente mente duttili, verificando che risulti:duttili, verificando che risulti:

E’ il caso di sottolineare che dal momento che le verifiche alloE’ il caso di sottolineare che dal momento che le verifiche allo s.l.u.s.l.u.possono prescindere dalla distribuzione elastica delle sollecitapossono prescindere dalla distribuzione elastica delle sollecitazioni, zioni, diventano importanti e fortemente limitative le verifiche diventano importanti e fortemente limitative le verifiche tensionalitensionali in in condizioni di servizio.condizioni di servizio.Infatti per i carichi di servizio le tensioni di lavoro potrebbeInfatti per i carichi di servizio le tensioni di lavoro potrebbero essere ro essere troppo elevate o anche superare i limiti elastici. A tale riguartroppo elevate o anche superare i limiti elastici. A tale riguardo la do la normativa richiede verifiche normativa richiede verifiche tensionalitensionali di servizio.di servizio.L’EC2, ad esempio, impone limiti L’EC2, ad esempio, impone limiti tensionalitensionali in condizioni di servizio:in condizioni di servizio:-- per le condizioni di carico semipermanentiper le condizioni di carico semipermanenti

-- per le condizioni di carico frequenti e rareper le condizioni di carico frequenti e rare

dyc 25.0≤

[ ]ckckc Rf ⋅⋅=≤ 0.830.6060.0lim,σ

[ ]ckckc Rf ⋅⋅== 0.830.4545.0lim,σ yks f80.0lim, ≤σ

yks f80.0lim, ≤σ

D) Calcolo non lineareD) Calcolo non lineareIl calcolo non lineare si basa sulla utilizzazione di Il calcolo non lineare si basa sulla utilizzazione di legami momentolegami momento--curvatura delle sezioni o momentocurvatura delle sezioni o momento--rotazione nelle sezioni critiche non lineari per effetto rotazione nelle sezioni critiche non lineari per effetto della fessurazione e del comportamento non lineare della fessurazione e del comportamento non lineare dei materiali.dei materiali.L’utilizzazione di tali legami può essere consentita da L’utilizzazione di tali legami può essere consentita da procedimenti iterativi al passo, basati sul fatto che ad procedimenti iterativi al passo, basati sul fatto che ad ogni passo di carico le rigidezze delle membrature ogni passo di carico le rigidezze delle membrature mutano per effetto del comportamento non lineare ed mutano per effetto del comportamento non lineare ed è quindi necessario modificare progressivamente la è quindi necessario modificare progressivamente la matrice di rigidezza della struttura (secante o matrice di rigidezza della struttura (secante o tangente) fino al raggiungimento del collasso nella tangente) fino al raggiungimento del collasso nella sezione critica per il raggiungimento di un limite di sezione critica per il raggiungimento di un limite di deformazione.deformazione.

Analisi non lineareAnalisi non lineare

R(t,q,s)

R1

R2

R3

∆R2

∆R1

SS1

∆Sj(i)

Rj(i)

Definizione degli stati limiteDefinizione degli stati limiteGli Gli stati limite di serviziostati limite di servizio, possono derivare da prescrizioni legate alle , possono derivare da prescrizioni legate alle

prestazioni che si richiedono nel caso specifico e sono principaprestazioni che si richiedono nel caso specifico e sono principalmente lmente derivati da:derivati da:

-- eccessiva fessurazione;eccessiva fessurazione;-- eccessiva deformazione;eccessiva deformazione;-- eccessiva corrosione o degradazione;eccessiva corrosione o degradazione;-- eccessiva vibrazione.eccessiva vibrazione.

Tali stati limite, pur non riguardando direttamente la sicurezzaTali stati limite, pur non riguardando direttamente la sicurezza, , condizionano la funzionalità della costruzione, la sua durabilitcondizionano la funzionalità della costruzione, la sua durabilità, i suoi à, i suoi costi di manutenzione e, quindi, l’accettabilità della costruziocosti di manutenzione e, quindi, l’accettabilità della costruzione stessa.ne stessa.

Gli Gli stati limite ultimistati limite ultimi possono derivare invece da:possono derivare invece da:-- perdita di equilibrio di una parte o dell’insieme della struttuperdita di equilibrio di una parte o dell’insieme della struttura, ra, considerata come un corpo rigido;considerata come un corpo rigido;-- rottura localizzata della struttura per azioni statiche;rottura localizzata della struttura per azioni statiche;-- collasso per trasformazione della struttura o di una sua parte collasso per trasformazione della struttura o di una sua parte in un in un meccanismo;meccanismo;-- instabilità per deformazione;instabilità per deformazione;-- rottura localizzata della struttura per fatica;rottura localizzata della struttura per fatica;-- deformazioni plastiche o di deformazioni plastiche o di fluagefluage, , fessurazionifessurazioni o scorrimenti di o scorrimenti di giunti che conducano ad una modifica della geometria, tale da giunti che conducano ad una modifica della geometria, tale da rendere necessaria la sostituzione della struttura o di sue partrendere necessaria la sostituzione della struttura o di sue parti i fondfond.;.;-- degradazione o corrosione, che rendano necessaria la sostituziodegradazione o corrosione, che rendano necessaria la sostituzione ne della struttura o di sue parti fondamentali.della struttura o di sue parti fondamentali.

Combinazioni di carico allo stato Combinazioni di carico allo stato limite ultimolimite ultimo

Il Il metodo di verifica semiprobabilistico agli stati limitemetodo di verifica semiprobabilistico agli stati limite evidenzia nella sua evidenzia nella sua stessa definizione l’attenzione al fatto che il comportamento destessa definizione l’attenzione al fatto che il comportamento delle strutture lle strutture dipende da grandezze aleatorie, che riguardano sia la resistenzadipende da grandezze aleatorie, che riguardano sia la resistenza dei dei materiali, sia l’intensità ed il tipo di permanenza delle azionimateriali, sia l’intensità ed il tipo di permanenza delle azioni (carichi di (carichi di breve o lunga durata, carichi ripetuti), sia la geometria della breve o lunga durata, carichi ripetuti), sia la geometria della struttura con struttura con le imperfezioni conseguenti, sia l’adeguatezza dei modelli di cale imperfezioni conseguenti, sia l’adeguatezza dei modelli di calcolo lcolo adottati.adottati.Tale considerazione ha come immediata conseguenza che le verificTale considerazione ha come immediata conseguenza che le verifiche he delle strutture andrebbero condotte correttamente solo con delle strutture andrebbero condotte correttamente solo con metodi metodi probabilisticiprobabilistici, controllando che la probabilità del manifestarsi di una , controllando che la probabilità del manifestarsi di una deficienza strutturale, che consiste nel superamento di un deterdeficienza strutturale, che consiste nel superamento di un determinato minato stato limite, si mantenga sufficientemente bassa. Un approccio dstato limite, si mantenga sufficientemente bassa. Un approccio di questo i questo tipo richiede un impegno calcolativo generalmente troppo elevatotipo richiede un impegno calcolativo generalmente troppo elevato ed ed avrebbe senso solo se le grandezze aleatorie fossero conosciute avrebbe senso solo se le grandezze aleatorie fossero conosciute tutte tutte con grande accuratezza; pertanto i metodi di verifica proposti dcon grande accuratezza; pertanto i metodi di verifica proposti dalle alle normative, normative, metodi semiprobabilisticimetodi semiprobabilistici, si accontentano di valutare , si accontentano di valutare separatamente lo stato di sollecitazione da una parte e la resisseparatamente lo stato di sollecitazione da una parte e la resistenza della tenza della struttura dall’altra per assegnati livelli di probabilità, contrstruttura dall’altra per assegnati livelli di probabilità, controllando che le ollando che le sollecitazioni così determinate si mantengano sufficientemente asollecitazioni così determinate si mantengano sufficientemente al di sotto l di sotto delle resistenze corrispondenti.delle resistenze corrispondenti.

Aspetti basilari del metodo Aspetti basilari del metodo <semiprobabilistico agli stati limite><semiprobabilistico agli stati limite>

l’adozione di valori caratteristici per tutte le grandezze di cul’adozione di valori caratteristici per tutte le grandezze di cui si voglia i si voglia considerare il carattere aleatorio, come considerare il carattere aleatorio, come le resistenze dei materiali e le resistenze dei materiali e l’intensità delle azionil’intensità delle azioni;;per le resistenze si definiscono i valori caratteristici come i per le resistenze si definiscono i valori caratteristici come i frattili di ordine frattili di ordine 0.05 delle rispettive distribuzioni statistiche; per le azioni s0.05 delle rispettive distribuzioni statistiche; per le azioni si definiscono i definiscono come valori caratteristici frattili di ordine 0.95, quando ai ficome valori caratteristici frattili di ordine 0.95, quando ai fini della sicurezza ni della sicurezza sono rilevanti i valori maggiori delle stesse, ovvero i frattilisono rilevanti i valori maggiori delle stesse, ovvero i frattili di ordine 0.05 nel di ordine 0.05 nel caso contrario;caso contrario;la trasformazione dei valori caratteristici innanzi descritti inla trasformazione dei valori caratteristici innanzi descritti in valori di calcolo valori di calcolo adeguati allo stato limite considerato mediante l’applicazione dadeguati allo stato limite considerato mediante l’applicazione di coefficienti i coefficienti γγmm e e γγff con lo scopo di coprire le incertezze non considerate nelle curcon lo scopo di coprire le incertezze non considerate nelle curve di ve di distribuzione dei materiali e delle azioni e di adeguare il livedistribuzione dei materiali e delle azioni e di adeguare il livello di probabilità llo di probabilità delle resistenze e delle sollecitazioni a valori compatibili condelle resistenze e delle sollecitazioni a valori compatibili con la sicurezza la sicurezza richiesta per i vari tipi di verifica;richiesta per i vari tipi di verifica;in particolare le resistenze di calcolo si ottengono dividendo lin particolare le resistenze di calcolo si ottengono dividendo le resistenze e resistenze caratteristiche per caratteristiche per γγmm, le azioni di calcolo moltiplicando quelle caratteristiche , le azioni di calcolo moltiplicando quelle caratteristiche per i coefficienti per i coefficienti γγff;;il controllo che i valori effettivi delle caratteristiche di resil controllo che i valori effettivi delle caratteristiche di resistenza di calcolo istenza di calcolo (resistenze di sezioni, di membrature, deformazioni limite) non (resistenze di sezioni, di membrature, deformazioni limite) non siano siano superati dalle caratteristiche di sollecitazione di calcolo (solsuperati dalle caratteristiche di sollecitazione di calcolo (sollecitazioni lecitazioni dovute alle azioni di calcolo, deformazioni). dovute alle azioni di calcolo, deformazioni).

I coefficienti parziali di sicurezzaI coefficienti parziali di sicurezzaI coefficienti I coefficienti γγmm per la determinazione delle resistenze di calcolo del per la determinazione delle resistenze di calcolo del calcestruzzo e dell’acciaio per c.a. e calcestruzzo e dell’acciaio per c.a. e c.a.p.c.a.p. secondo la normativa secondo la normativa nazionale (D.M. 09/01/1996 ), valgono:nazionale (D.M. 09/01/1996 ), valgono:calcestruzzo:calcestruzzo: γγmm = 1.60= 1.60acciaio da c.a. e c.a.p.:acciaio da c.a. e c.a.p.: γγmm = 1.15= 1.15I coefficienti I coefficienti γγff amplificativi delle azioni per ottenere i valori di calcolo amplificativi delle azioni per ottenere i valori di calcolo delle stesse, valgono invece con riferimento ai diversi tipi di delle stesse, valgono invece con riferimento ai diversi tipi di azioni:azioni:azioni permanenti azioni permanenti GGkk γγgg = 1.4 (1.0 se il suo contributo = 1.4 (1.0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)aumenta la sicurezza)azioni da precompressione azioni da precompressione PPkk γγpp = 0.85 (1.2 se il suo contributo = 0.85 (1.2 se il suo contributo diminuisce la sicurezza)diminuisce la sicurezza)azioni variabili azioni variabili QQikik γγqq = 1.5 (0 se il suo contributo = 1.5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)aumenta la sicurezza)Per la definizione delle combinazioni di carico allo stato limitPer la definizione delle combinazioni di carico allo stato limite ultimo e ultimo vengono altresì definiti i coefficienti di combinazione vengono altresì definiti i coefficienti di combinazione ψψ0i0i < 1, che < 1, che servono a determinare il valore di combinazione di una azione servono a determinare il valore di combinazione di una azione variabile da adottare in presenza di altra azione variabile assuvariabile da adottare in presenza di altra azione variabile assunta nta con il suo valore di progetto. con il suo valore di progetto.

Definiti infatti i valori caratteristici Definiti infatti i valori caratteristici SSkk e di calcolo e di calcolo SSdd delle delle sollecitazioni ed i valori caratteristici sollecitazioni ed i valori caratteristici RRkk e di calcolo e di calcolo RRdd delle delle resistenze delle sezioni, tale controllo si riconduce alla resistenze delle sezioni, tale controllo si riconduce alla verifica della verifica della diseguaglianzadiseguaglianza::il cui significato è facilmente desumibile dalla figura.il cui significato è facilmente desumibile dalla figura.

Definizione delle sollecitazioni e delle resistenze di progettoDefinizione delle sollecitazioni e delle resistenze di progetto

Sm Sk Sd Rd Rk Rm

f , fS R

dd RS ≤

Combinazioni di carico allo Combinazioni di carico allo s.l.us.l.u..Nelle verifiche allo Nelle verifiche allo s.l.u.s.l.u. le combinazioni di carico si possono le combinazioni di carico si possono esprimere nel modo seguente:esprimere nel modo seguente:

Tale relazione esprime in forma simbolica che le condizioni di cTale relazione esprime in forma simbolica che le condizioni di carico arico allo allo s.l.us.l.u., devono prevedere i carichi amplificati (., devono prevedere i carichi amplificati (γγ··GGkk), le azioni della ), le azioni della precompressione amplificate o ridotte a seconda della condizioneprecompressione amplificate o ridotte a seconda della condizionepiù sfavorevole (più sfavorevole (γγpp ·P·Pkk), i carichi variabili amplificati (), i carichi variabili amplificati (γγqq·Q·Qkk). In ). In presenza di più carichi variabili il primo viene considerato perpresenza di più carichi variabili il primo viene considerato per intero, intero, i rimanenti vengono corretti dai coefficienti di combinazione (yi rimanenti vengono corretti dai coefficienti di combinazione (y0i0i).).Il ruolo dei coefficienti γ e ψ è di determinare combinazioni diIl ruolo dei coefficienti γ e ψ è di determinare combinazioni di carico carico di una prefissata probabilità, differenziando le verifiche agli di una prefissata probabilità, differenziando le verifiche agli s.l.u. da s.l.u. da quelle agli s.l.s., in cui diverse sono le probabilità di riferiquelle agli s.l.s., in cui diverse sono le probabilità di riferimento. In mento. In particolare le combinazioni di carico per le verifiche agli particolare le combinazioni di carico per le verifiche agli s.l.u.s.l.u. hanno hanno una probabilità di accadimento molto inferiore a quella di riferuna probabilità di accadimento molto inferiore a quella di riferimento imento per le verifiche di servizio.per le verifiche di servizio.

( )

+⋅++= ∑

=

n

iikikqkpkgd QQPGF

201 ψγγγ

Combinazioni di carico allo Combinazioni di carico allo s.l.ss.l.s..Le azioni da considerare per tali verifiche sono quelle normalmeLe azioni da considerare per tali verifiche sono quelle normalmente presenti nella vita nte presenti nella vita della struttura; possono al riguardo distinguersi le azioni quasdella struttura; possono al riguardo distinguersi le azioni quasi permanenti, costituite i permanenti, costituite dal peso proprio, dai carichi fissi e da una quota modesta dei cdal peso proprio, dai carichi fissi e da una quota modesta dei carichi accidentali, e le arichi accidentali, e le azioni frequenti costituite dal peso proprio, dai carichi fissi azioni frequenti costituite dal peso proprio, dai carichi fissi e da una quota maggiore e da una quota maggiore di carichi variabili. In particolare, carichi come il vento e ladi carichi variabili. In particolare, carichi come il vento e la neve non sono in genere neve non sono in genere da considerarsi nelle condizioni di carico da considerarsi nelle condizioni di carico quasiquasi--permanentipermanenti, mentre possono , mentre possono considerarsi nelle condizioni di carico frequenti con percentualconsiderarsi nelle condizioni di carico frequenti con percentuali ridotte (dell’ordine del i ridotte (dell’ordine del 20%).20%).Le azioni negli Le azioni negli s.l.s.s.l.s. sono assunte con i loro valori caratteristici (sono assunte con i loro valori caratteristici (γγgg = = γγpp = = γγqq·= 1), in ·= 1), in rapporto al diverso tipo di permanenza delle azioni, che determirapporto al diverso tipo di permanenza delle azioni, che determina un diverso effetto na un diverso effetto sulla struttura, come ad esempio la corrosione e gli effetti vissulla struttura, come ad esempio la corrosione e gli effetti viscosi; si ottengono diversi cosi; si ottengono diversi tipi di combinazioni di carico:tipi di combinazioni di carico:combinazioni rare, combinazioni frequenti, combinacombinazioni rare, combinazioni frequenti, combinazioni quasi permanenti:zioni quasi permanenti:

ψψ11 = coefficiente atto a definire i valori delle azioni corrispond= coefficiente atto a definire i valori delle azioni corrispondenti a enti a frattilifrattili di ordine di ordine 0.95 delle distribuzioni dei valori istantanei;0.95 delle distribuzioni dei valori istantanei;ψψ22 = coefficiente atto a definire i valori quasi permanenti delle = coefficiente atto a definire i valori quasi permanenti delle azioni corrispondenti a azioni corrispondenti a valori medi delle distribuzioni dei valori istantanei.valori medi delle distribuzioni dei valori istantanei.

( )∑=

+++=n

iikikkkd QQPGF

211 ψ ( )∑

=+++=n

iikikkkd QQPGF

2211 ψψ ( )∑

=++=n

iikikkd QPGF

12ψ

Lo stato limite ultimo più frequente nelle strutture Lo stato limite ultimo più frequente nelle strutture in c.a. è lo stato limite per tensioni normali in c.a. è lo stato limite per tensioni normali ovvero lo stato limite di sezioni presso/ovvero lo stato limite di sezioni presso/tensotenso--inflesseinflesse. Tale stato limite riguarda pertanto in . Tale stato limite riguarda pertanto in maniera unitaria i casi di flessione, maniera unitaria i casi di flessione, pressoflessione e pressoflessione e tensoflessionetensoflessione..Dal punto di vista del comportamento, le sezioni Dal punto di vista del comportamento, le sezioni sottoposte a sollecitazioni di sottoposte a sollecitazioni di pressopresso--tensoflessionetensoflessione con flessione prevalente, con flessione prevalente, attraversano tre diverse fasi al crescere della attraversano tre diverse fasi al crescere della entità delle sollecitazioni:entità delle sollecitazioni:

STADIO ISTADIO I

STADIO IISTADIO II

STADIO IIISTADIO III

STADIO II*STADIO II*

PP

∆∆

la prima fase è caratterizzata dalla assenza di fessure e quindila prima fase è caratterizzata dalla assenza di fessure e quindi da un da un comportamento a sezione integra o non comportamento a sezione integra o non parzializzataparzializzata;;la seconda fase è caratterizzata dalla fessurazione delle sezionla seconda fase è caratterizzata dalla fessurazione delle sezioni e quindi dalla i e quindi dalla parzializzazione delle stesse mentre i materiali sono ancora elaparzializzazione delle stesse mentre i materiali sono ancora elastici;stici;la terza fase, è caratterizzata dalla non linearità dei legami cla terza fase, è caratterizzata dalla non linearità dei legami costitutivi essendo i ostitutivi essendo i materiali sollecitati a livelli materiali sollecitati a livelli tensionalitensionali prossimi alla rottura. prossimi alla rottura.

Ipotesi di base e legami costitutiviIpotesi di base e legami costitutivi

Per la determinazione delle caratteristiche ultime Per la determinazione delle caratteristiche ultime di sezioni in c.a. di sezioni in c.a. pressopresso--tensotenso inflesse si inflesse si assumono le consuete ipotesi alla base della assumono le consuete ipotesi alla base della teoria tecnica:teoria tecnica:conservazione delle sezioni piane;conservazione delle sezioni piane;omogeneità ed isotropia del calcestruzzo in omogeneità ed isotropia del calcestruzzo in zona compressa e della armatura;zona compressa e della armatura;aderenza tra calcestruzzo ed acciaio;aderenza tra calcestruzzo ed acciaio;trascurabilità della resistenza a trazione del trascurabilità della resistenza a trazione del calcestruzzo.calcestruzzo.

Legame costitutivo per l’armatura metallicaLegame costitutivo per l’armatura metallica

ε =0.010

ε =0.0035

fsd =fsyγs

fsy

σs

ε s

fsd =fsyγs

fsy

Es

Legame costitutivo per il calcestruzzoLegame costitutivo per il calcestruzzo

f’c

0.4 fc

ε c1 ε cu

EcEo

ε c

σc

Definizione di Definizione di s.l.u.s.l.u. per tensioni normaliper tensioni normali

Lo stato limite ultimo di una sezione è Lo stato limite ultimo di una sezione è individuato dal raggiungimento della individuato dal raggiungimento della massima deformazione del calcestruzzo massima deformazione del calcestruzzo compresso o dell’acciaio teso.compresso o dell’acciaio teso.I valori di tali deformazioni valgono I valori di tali deformazioni valgono rispettivamente:rispettivamente:

0035.0=cuε

0100.0=suε

010.0=suε

Condizioni <limite> della sezione Condizioni <limite> della sezione pressopresso--tensotenso inflessainflessa

5

43

6

2

1

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

C

STATI DI SOLLECITAZIONE IN RELAZIONE STATI DI SOLLECITAZIONE IN RELAZIONE ALLA POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO ALLA POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO

ZONA 1 (ZONA 1 (tensotenso flessione o trazione pura)flessione o trazione pura)ZONA 2 (tensoZONA 2 (tenso--presso flessione/presso flessione/flessioneflessione))ZONA 3 (ZONA 3 (tensotenso--pressopresso flessione/flessione/flessioneflessione))ZONA 4 (ZONA 4 (tensotenso--pressopresso flessione/flessione/flessioneflessione))ZONA 5 (presso flessione)ZONA 5 (presso flessione)ZONA 6 (presso flessione/ZONA 6 (presso flessione/comprcompr. . semplsempl.).)

Diagramma tensionaleDiagramma tensionale-- deformativodeformativo allo allo s.l.u.s.l.u. con asse neutro esterno alla sezionecon asse neutro esterno alla sezione

h

b

Asi

G yc

ε si

εc

yc -h

λyc

h2

Ncdi

Diagramma Diagramma tensionaletensionale--deformativodeformativo allo allo s.l.u.s.l.u.con asse neutro interno alla sezionecon asse neutro interno alla sezione

Equazioni di equilibrio interno della sezioneEquazioni di equilibrio interno della sezione

Equilibrio alla traslazione:Equilibrio alla traslazione:

Equilibrio alla rotazione:Equilibrio alla rotazione:

( ) NAdyyb sin

isi

yy

=⋅+⋅ ∑∫=

σσ1

2

1

( ) MeNdhAdyyyhyb isi

n

isic

y

y=⋅=

−⋅⋅+

+−⋅⋅ ∑∫

= 22 1

2

1

σσ

h d

b

As

A’s

d’

yc

d - yc

f’cd f’cd

yc0.8

ε




gen.gen. 20072007 –– mar.mar. 20072007

INTRODUZIONE AI METODI DI INTRODUZIONE AI METODI DI CONTROLLO DELLA SICUREZZACONTROLLO DELLA SICUREZZA

FINE



ORDINE DEGLI INGEGNERI ORDINE DEGLI INGEGNERI Corso di aggiornamento sulla normativa sismicaCorso di aggiornamento sulla normativa sismica

Gennaio 2007 Gennaio 2007 –– marzo 2007marzo 2007

STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI

Analisi strutturaleAnalisi strutturale

H

B

Idealizzazione struttura e dimensionamento elementi strutturali

Calcolo delle sollecitazioni

Verificas

σs'/n

NCc

As

nyc

A's

eεs

n

εs σs /n

'εc σc

L’analisi è governata

dal comporta-mento dei materiali

Analisi a livello di sezioneAnalisi a livello di sezione

H

B

Verificas

σs'/n

NCc

As

nyc

A's

eεs

n

εs σs /n

'εc σc

Dimensionamento elementi strutturali

Ipotesi di elasticità lineare dei materiali

A.ε

σ

Ipotesi di non linearità meccanica dei materiali

B.ε

σ

Ipotesi di base nel metodo Ipotesi di base nel metodo delle tensioni ammissibilidelle tensioni ammissibili

• Conservazione delle sezioni piane• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo

in zona compressa e dell’armatura• Aderenza tra acciaio e calcestruzzo• Trascurabilità della resistenza a trazione

del calcestruzzo

Metodo delle tensioni ammissibiliLegami costitutivi dei materiali

Le tensioni e le deformazioni nei materiali vengono limitate a valori bassi

si assume valida l’ipotesi di elasticità lineare dei materiali

s

σs'/n

NCc

As

nyc

A's

eεs

n

εs σs /n

'εc σc

CalcestruzzoRck

400

σc

122.5

72.5εc

0.00034

0.00029 200

AcciaioFeB44k

σsFeB38k

2600

2200εs

0.0012

0.0010

Esempio della sezione a semplice armatura inflessa

−

σ=

32ccc

rcyd b yM

−σ=

3 c

ssrsydAM

calcolo dello stato tensionale nell’ipotesi di elasticità lineare

Equilibrio alla rotazione:

Equilibrio alla traslazione nella direzione dell’asse dell’elemento:

0 1

=σ⋅+σ ∑∫=

s

r

n

ii,si,sA r AdA

Metodo delle tensioni ammissibiliMetodo delle tensioni ammissibili

0 1

,, =

⋅+∫ ∑

=r

s

A

n

iisisrn

c

c AndAyy

σσ

c

nc

yy⋅

=σσ0=nS

++−⋅=

s

sc An

b db

n Ay 211

Legami costitutivi dei materialiLegami costitutivi dei materialiStati limite ultimi per tensioni normali

• Deformazione ultima del calcestruzzo:

00350.cu =ε

01000.su =ε

Cosa si intende per Stato Limite Ultimo di una sezione?Lo stato limite ultimo di una sezione è individuato dal raggiungimento della massima deformazione del calcestruzzo compresso o dell’acciaio teso.

As

yc

A's

εsn

'εc εcu<

εs =0.010εsu=

• Deformazione ultima dell’acciaio:

As

yc

A's

n

εs'

εs εsu<

εc εcu= =0.0035

n

• Conservazione delle sezioni piane• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo in zona compressa e

dell’armatura• Aderenza tra acciaio e calcestruzzo• Trascurabilità della resistenza a trazione del calcestruzzo

• Deformazione massima del calcestruzzo pari –0.0035 nel caso di flessione semplice e composta con asse neutro interno alla sezione, e variabile da detto valore fino a –0.002 per asse neutro esterno alla sezione

• Deformazione massima dell’armatura tesa pari a +0.010

Ipotesi di base negli Ipotesi di base negli stati limite ultimistati limite ultimi

200

Si considera lo stato tensionale corrispondente alle deforma-zioni ultime dei materiali

Occorre definire un legame costitutivo dei materiali accurato fino alla condizione ultima

Stati limite ultimi per tensioni normali

CALCESTRUZZO ACCIAIO

Stati limite ultimit.a.Stati limite ultimi

t.a.

0.0035 0.010

Legami costitutivi dei materialiLegami costitutivi dei materiali

Legami costitutivi dei materiali:Legami costitutivi dei materiali:• Il legame σ-ε è non lineare fin

da valori modesti della deformazione

• Dopo il valore massimo della resistenza il legame σ-εprocede con un tratto decrescente la cui pendenza aumenta all’aumentare della resistenza

• Il valore della deformazione massima aumenta al diminuire della resistenza

• La deformazione corrispon-dente alla tensione massima è pressoché costante al variare della resistenza del cls

ilil calcestruzzocalcestruzzo

f'c

0.4 fc

ε c1 ε cu

EcEo

ε c

σc

• (introdotta per la prima volta a livello di codici dal CEB nel Model Code del 1976

• EUROCODICE 2 “progettazione delle strutture in c.a.)

1/ cεε=ε

cc

cff

Ek*

10σ

=ε⋅

=( ) cfk

k⋅

ε⋅−+ε−ε

=σ21

2

( ) ( )0037.00029.0400/1500008.00037.0 ÷=−⋅−=ε ccu f

0022.01=εc

cEE ⋅= 1.10

Diagramma per l’analisi strutturale: analisi non lineare o analisi plastica

Legami costitutivi dei materiali:Legami costitutivi dei materiali:il calcestruzzo: legge di il calcestruzzo: legge di SaenzSaenz

Legame costitutivo del calcestruzzo per il Legame costitutivo del calcestruzzo per il progetto e verifica della sezione trasversaleprogetto e verifica della sezione trasversale

f'cd

0.0020 0.0035

σc

εc

Norme contenute nello stesso Decreto 9/1/1996

EUROCODICE 2 con modifiche ed integrazioni

A) Diagramma parabola-rettangolo

B) Stress block

Diagramma parabola-rettangolo

cdf ′⋅ε⋅−⋅ε⋅=εσ )2501(1000)( 0020.<ε

cdf ′=εσ )( 003500020 .. ≤ε≤

Si considera allo s.l.u. un diagramma tensionale costante con tensione pari a f’cd esteso alla parte di sezione compresa tra il bordo più compresso e y’c :Asse neutro interno alla sezione

h d

b

As

A's

d'

yc

d - yc

f'cd

yc0.8

ε

cc y.y ⋅=′ 80

h d

b

As

A's

d'

yc

ε f'cd

y'c

Asse neutro esterno alla sezione

hh.yh.yy

c

cc ⋅

⋅−⋅−

=′750800

Stress Block

h d

b

As

A's

d'

yc

d-yc

f'cd

yc0.8

ε f'cdf'cd

Stress Block

Curva di Saenz

Curva di Saenz

Parabola-rettangolo

Parabola-rettangolo

ε c1 0.0035

f'cd

fck

σc

εc

Ecd

5.183.0 ck

c

ckcdcd

Rfff ⋅==⋅=′ α

γαα

Coeff. γc - Stati limite ultimi (Decreto 9/1/1996)

γc=1.5 c.a.p.

γc=1.6 c.a. e c.a.p. con pre-compressione parziale

Differenti modelli per il calcestruzzo85.0=α

α=0.80 nel caso di STRESS BLOCK con sezione di larghezza crescente dalla fibra maggiormente compressa verso l’asse neutro

L’acciaioL’acciaioε=0.010

ε =0.0035

fsd = fsyγs

fsy

σs

εs

fsd = fsyγsfsy

Es

stf

Analisi globale

fsd = fsyγs

fsy

fsd = fsyγsfsy

Esε=0.010ε =0.0035

σs

εs

Progetto della sezione

Coeff. γs - Stati limite ultimi (Decreto 9/1/1996)

γs=1.15

Legami costitutivi dei materialiLegami costitutivi dei materiali

• Deformazione ultima del calcestruzzo:

00350.cu =ε

01000.su =ε

• Deformazione ultima dell’acciaio:

0020.0' =cuε

Possibili condizioni limiti della sezione generica

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

C5

2

1

yc

εs=εsu

yc

εs=εsu

εc

yc

εs<εsu

εc

εs

=εcu

yc

s<ε sd

εc

ε

=εcu

=f /Esd s

yc

s>0

εc

ε

=εcu

yc

s>0

εc

ε

=0.002

3/7H

( )dh..

.y , ′−⋅+

=00350010

0035032

( ) ( )dhEf

yssd

′−⋅+

=0035.0/

0035.04,3

f /Esd s

0<<−∞ cy

320 ,c yy <<

4332 ,yyy c, <<

dyy c, <<43

hyd c <<

+∞<< cyh

ZONE POSIZIONE ASSE NEUTRO

STATI DI SOLLECITAZIONE

1 (tenso flessione o trazione pura)

2 (tenso-pressoflessione/flessione)



5 (presso flessione)

6 (presso flessione/compr. sempl.)

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

C5

2

1

f /Esd s

Stati di sollecitazione

Equazioni di equilibrio alla traslazione ed Equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione intorno all’asse alla rotazione intorno all’asse baricentricobaricentrico

h

b

Asi

yc

G

y

σsiεsi

Nc

λ yc

σc (y)

εc

h2

di

( ) NAdyyb si

n

isi

yc =⋅+⋅ ∑∫=

σσ1

0

( ) ( )[ ] ( )[ ] MeNhdAdyyyhyb isi

n

isic

yc =⋅=−⋅⋅++−⋅⋅ ∑∫=

2/2/1

0σσ

Equilibrio alla traslazione:

Equilibrio alla rotazione intorno all’asse baricentrico:

Ponendo:

Si ottiene:

∑ =σ⋅+′⋅ψ⋅⋅=

n

isisicdc Afyb

1

( )[ ] ( )[ ]∑ −σ⋅+λ−′⋅ψ⋅⋅=

n

iisisiccdc hdAyhfyb

12/2/

( )

cdc

y

fy

dyyc

′⋅

σ=ψ

∫0( ) ( )

( )

( )

′⋅ψ⋅

⋅σ−=

σ

−⋅σ=λ

∫∫

∫cc

y

y

yc

c fy

dyyy

dyy

dyyyy

y

c

c

c

20

0

0 11

uN

uGM=

Equazioni di equilibrio alla traslazione ed Equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione intorno all’asse alla rotazione intorno all’asse baricentricobaricentrico

( )

cdc

y

fy

dyyc

′⋅

σ=ψ

∫0 ( ) ( )

( )

( )

′⋅ψ⋅

⋅σ−=

σ

−⋅σ=λ

∫∫

∫cc

y

y

yc

c fy

dyyy

dyy

dyyyy

y

c

c

c

20

0

0 11

h

b

Asi

yc

G

y

σsiεsi

Nc

λ yc

σc (y)

εcu

h

2

di

f'cd

Coefficienti Coefficienti ψψ e e λλ

ψψ λλξξ νν µµcGcCoefficienti Coefficienti ψψ e e λ λ sezione rettangolaresezione rettangolare

0.05 0.2401 0.3413 0.0120 0.00580.06 0.2852 0.3433 0.0171 0.00820.07 0.3291 0.3453 0.0230 0.01100.08 0.3718 0.3475 0.0297 0.01400.09 0.4130 0.3498 0.0372 0.01740.10 0.4527 0.3523 0.0453 0.02100.11 0.4907 0.3550 0.0540 0.02490.12 0.5269 0.3578 0.0632 0.02890.13 0.5611 0.3610 0.0729 0.03300.14 0.5931 0.3644 0.0830 0.03730.15 0.6228 0.3681 0.0934 0.04160.16 0.6500 0.3721 0.1040 0.04580.17 0.6745 0.3765 0.1147 0.05000.18 0.6963 0.3813 0.1253 0.05410.19 0.7158 0.3861 0.1360 0.05800.20 0.7333 0.3909 0.1467 0.06190.21 0.7492 0.3956 0.1573 0.06560.22 0.7636 0.4001 0.1680 0.06920.23 0.7768 0.4044 0.1787 0.07270.24 0.7889 0.4086 0.1893 0.07610.25 0.8000 0.4125 0.2000 0.07940.30 0.8095 0.4160 0.2429 0.09110.40 0.8095 0.4160 0.3238 0.10800.50 0.8095 0.4160 0.4048 0.11820.60 0.8095 0.4160 0.4857 0.12160.70 0.8095 0.4160 0.5667 0.11830.80 0.8095 0.4160 0.6476 0.10830.90 0.8095 0.4160 0.7286 0.09151.00 0.8095 0.4160 0.8095 0.06801.10 0.8620 0.4428 0.8620 0.04931.20 0.8955 0.4583 0.8955 0.03731.30 0.9181 0.4681 0.9181 0.02931.40 0.9341 0.4748 0.9341 0.02351.50 0.9458 0.4795 0.9458 0.01941.75 0.9644 0.4868 0.9644 0.01272.00 0.9748 0.4908 0.9748 0.00902.50 0.9855 0.4947 0.9855 0.00523.00 0.9906 0.4966 0.9906 0.00343.50 0.9934 0.4976 0.9934 0.00244.00 0.9951 0.4982 0.9951 0.00174.50 0.9962 0.4987 0.9962 0.00135.00 0.9970 0.4989 0.9970 0.0011

Diagramma Parabola-rettangolo

Stress blockψ = 0.8 λ = 0.4

/275.080.0 ψλψ =

⋅−⋅−

=hyhy

c

c

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

Cyc

52

1

Andamento dei coefficienti Andamento dei coefficienti ψψ e e λλ

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ξ

PARABOLA-RETTANGOLO

STRESS BLOCK

ψ

νc

λ

µCG

ψ νc,

Zone 1,2,3:

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

Cyc

52

1

f /Esd s

sdss

sds f

Ef ′−=σ⇒≥ε

Zone 4,5:

( )cc

s ydy

−⋅−=0035.0ε

sss E εσ =

Zona 6:

sss E ε⋅=σ

( )dyhy

c

c

s −⋅

⋅−

=ε

73

002.0

Tensione nelle armature teseTensione nelle armature tese

Zone 1,2’:

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

Cyc

52

1

f /Esd s

sdss

sds f

Ef ′=′⇒

′≥′ σε

Zone 2”,3,4,5:

( )cc

s ydyd

−′⋅−

−=′ 01.0ε

sss E εσ ′=′

Zona 6:

2'

f /Esd s

2''

Tensione nelle Tensione nelle armature compressearmature compresse

sdss

sds f

Ef ′=′⇒

′≥′ σε

fsd

fsd

fsd

fsd

fsd

Es⋅εs ;-fsd

0.8 – 1.00.80.80.80.80

ψ

0.4 – 0.5Es⋅εs ; fsd60.4Es⋅εs50.4Es⋅εs40.4-fsd30.4-fsd20-fsd1

λZona 'sσsσ

uGssssccdc

usssscdc

MdAdAyhfyb

NAAfyb

=

−⋅σ⋅−

−⋅σ⋅+

⋅λ−⋅′⋅ψ⋅⋅

=σ⋅+σ⋅+′⋅ψ⋅⋅

''2

''

''

2h

2h

)( duddu MNNMM ≤⇒=

)( dudd

ddu eNN

NMee ≤⇒===

Verifica tipo B:

Verifica tipo C:

)( duddu NMMNN ≤⇒=Verifica tipo A:

Mu

NNd

Md

Mu(Nd) (Nu, M u)

N (M )u d

e =cost

d

u

Sezione rettangolare: verificaSezione rettangolare: verifica

Sezione rettangolare: verificaSezione rettangolare: verificaEscludendo la zona 1(relativa alla tensoflessione) e la zona 6 di scarso interesse per ragioni di duttilità, applicando lo Stress block si ha:

a) armatura compressa in campo elastico:L’equazione determinatrice dell’asse neutro si presenta nella forma seguente:

( ) usdscc

sscdc NfAdyyd

.EAfyb. =⋅−′−⋅−

⋅⋅′+′⋅⋅⋅01080

cdfb.a ′⋅⋅= 802

( )usdssscd NfAEA.fdb.a +⋅+⋅′⋅+′⋅⋅⋅−= 010801

dNdfAdEA.a usdsssd ⋅+⋅⋅+′⋅⋅′⋅= 0100

che risulta una equazione di 2° grado in yc con coefficienti a2, a1, a0, forniti dalle seguenti relazioni

Equilibrio alla traslazione (determinazione posizione asse neutro):

Sezione rettangolare: verificaSezione rettangolare: verificab) armature entrambe snervate:

L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa:

usdssdscdc NfAfAfyb. =⋅−⋅′+′⋅⋅⋅80

cd

sdssdsuc fb.

fAfANy′⋅⋅

⋅′−⋅+=

80c) armatura inferiore in campo elastico:

L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa:

( ) ucc

sssdscdc Nydy

.EAfAfyb. =−⋅⋅⋅−⋅′+′⋅⋅⋅0035080

che risulta una equazione di 2° grado in yc con coefficienti a2, a1, a0, forniti dalle seguenti relazioni

cdfb.a ′⋅⋅= 802 usssds NEA.fAa −⋅⋅+⋅′= 003501 dEA.a ss ⋅⋅⋅−= 003500

Equilibrio alla rotazione intorno al baricentro:

′−⋅σ⋅−

′−⋅σ′⋅′+

⋅λ−⋅′⋅⋅⋅ψ= dhAdhAyhfybM ssssccdcuG 222

Verifica allo stato limite ultimo della sezione in corrispondenza dell’appoggio B, soggetta al momento flettente Md = -30000 kgm

Determinazione della posizione dell’asse neutro:si supponga inizialmente di essere nella zona in cui le armature sono entrambe snervate.L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa, utilizzando il diagramma “stress-block” per il calcestruzzo:

080 ==⋅−⋅′+′⋅⋅⋅ usdssdscdc NfAfAfyb.Cls: Rck=250 kg/cmq – acciaio: FeB38k

Esempio di verifica di sezione Esempio di verifica di sezione rettangolare a flessione semplicerettangolare a flessione semplice

BA C Resistenze di calcolo del calcestruzzo e dell’acciaio:

2/1106.1

83.085.085.0 cmkgRff ck

c

ckcd =

⋅==′

γ

2/330415.1

3800 cmkgf

fs

yksd ===

γ

ψ

I limiti della zona in cui le armature sono snervate sono:( )

( ) cm0612003304/21000010

53010566003304/21000)/(010

010)/(22 .

....

Ef.d.dEfy

ssd

ssd, =

⋅⋅+⋅

=⋅

′⋅+⋅=′′′

cm8845)53(7000350000)(3304/2100

00350)(00350)/(

0035043 ..

..dh

.Ef.yssd

, =−⋅+

=′−⋅+

=

per cui si ricade nella zona con l’armatura compressa in campo elastico:

22 ′′′< ,yyc

In tale zona l’equazione determinatrice della posizione dell’asse neutro è:

0)(01080 ==⋅−′−⋅−

⋅⋅′+′⋅⋅⋅ usdscc

sscdc NfAdyyd

.EAfyb.

cui segue

cm32111104080

33040243304081680

..

..fb.

fAfAy

cd

sdssdsc =

⋅⋅⋅−⋅

=′⋅⋅⋅′−⋅

=

che diventa un’equazione di II grado in yc

0012

2 =+⋅+⋅ ayaya cc

dove

35201104080802 =⋅⋅=′⋅⋅= .fb.a cd

371628)03304081621000000240101105664080()001080(1

−=−⋅+⋅⋅++⋅⋅⋅−=−⋅+⋅′⋅+′⋅⋅⋅−=

.....NfAEA.fdb.a usdssscd

38285030566330408165321000000240100100

=+⋅⋅++⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+′⋅⋅′⋅=

.....dNdfAdEA.a usdsss

Risulta

038285033716283250 2 =+⋅−⋅ cc yy

cm571135202

3828503352043716283716282

4 22

.A

ACBByc =

⋅⋅⋅−−

=−−−

=

Il momento ultimo si ricava dall’equazione di equilibrio alla rotazione, che per la zona in esame è la seguente:

′−⋅σ⋅−

′−⋅σ′⋅′+

⋅−′⋅⋅⋅= dhAdhAy.hfyb.M ssssccdcuG 22

402

80

dove

2kg/cm3304−=−= sds fσ

2kg/cm3085

)535711(5711566

0102100000)(010

=

=−⋅−

⋅=′−⋅−

⋅=ε′⋅=σ′ ....

.dyyd

.EE cc

ssss

( ) ( )kgm33011kgcm3301138)5335(

33040816533530850245711403511057114080==−⋅

⋅⋅+−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=.

.......M Gu

Si osserva infine che l’asse neutro allo s.l.u. è nella zona 2:

=ξ<===ξ

hd

hyc

u 259.0165.070

57.113,2

Il momento ultimo vale, pertanto:

per cui la verifica è soddisfatta, essendo:

kgmMkgmM uGd 33000 30000 =<=

In assenza di armatura in compressione non occorre verificare se l’armatura compressa è snervata o meno. Si può direttamente valutare il momento ultimo.

Trascurando l’armatura in compressione, il procedimento diventa molto più agevole. Infatti per l’asse neutro si ottiene:

cm09.15110408.0

330408.168.0

=⋅⋅

⋅=

′⋅⋅⋅

=cd

sdsc fb

fAy

( )

m) 33011 a inferiore e(lievement

m )(

daN

daNcmdaNM Gu

32120017.212.35.335330408.1609.154.03511009.15408.0

==−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=

Domini di resistenza Domini di resistenza adimensionalizzatiadimensionalizzati

cd

uu fhb

N′⋅⋅

=νcd

,u,u

fhb

M GG

′⋅⋅=µ

2( ) ( )

cd

sdssfhb

fAA′⋅⋅

⋅′=ω′ω

δ′−=′−

=′=δ′=ξ 1/;/;/h

dhhdhdhyc

Adimensionalizzazione

Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione diventano:

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ

G,usd

s

sd

sff

µ=

δ′−

⋅

σ⋅ω−

δ′−

σ′

⋅ω′+

ξ⋅λ−

⋅ξ⋅ψ

21

21

21

Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali nell’equazione di equilibrio alla traslazione:

ucd

n

i sdsdcd

sisi

cd

cdcfhbN

fffhbA

fhbfyb

ν=′⋅⋅

∑ =′⋅⋅

σ⋅+

′⋅⋅′⋅ψ⋅⋅

=1 )/(

Domini di resistenza Domini di resistenza adimensionalizzatiadimensionalizzatiu

sd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ G,usd

s

sd

sff

µ=

δ′−

⋅

σ⋅ω−

δ′−

σ′

⋅ω′+

ξ⋅λ−

⋅ξ⋅ψ

21

21

21

d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00

-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000

0.25

0.50

0.75

1.00

νu

µu

DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.

ω=0.5

1 1, −=′−−= ωων u 021

21

1, =

′−⋅+

′−⋅′−= δωδωµ Gu

−∞=ξ

h

As

A's

ε =0.010su

ε =0.010su

0=ξ

h

b

As

A's

ε =0.010su

ε's

15.021

21

101.0

21,, =

′−⋅+

′−⋅⋅′

′−⋅′−= δωδδ

δωµ

sd

su f

EG66.0

101.0

21,, −=−⋅′′−

⋅′−= ωδδ

ωνsd

su f

E

)1(259.032,

δξξ

′−⋅=

==

h

b

As

A's

ε =0.010su

ε'sεcu=0.0035

yc

20.032,, =−′+= ωωξψν u53.0

21

21

21

32,, =

′−⋅+

′−⋅′+

−⋅= δωδωξλξψµ Gu

43,ξ=ξ

52.043,, =−′+= ωωξψν u 57.021

21

21

43,, =

′−⋅+

′−⋅′+

−⋅= δωδωξλξψµ Gu

h

b

As

A's

ε =su

ε'sεcu=0.0035

y =yc

f /Esd s

3,4

δ′−=ξ=ξ 154,

26.154,, =′+= ωξψν u 32.021

21

54,, =

′−⋅′+

−⋅= δωξλξψµ Gu

h

b

As

A's

εs

ε'sεcu=0.0035

y =yc 4,5

=0

165 =ξ=ξ ,

35.10035.065,, =⋅′⋅+′+=sd

su f

Eδωωψν 28.0210035.0

21

21

65,, =

′−⋅⋅′⋅−

′−⋅′+

−⋅= δδωδωλψµ

sd

su f

EG

h

As

A's

εs

ε'sεcu=0.0035

y =yc 5,6

+∞=ξ

0.216 =′++= ωων u 021

21

6, =

′−⋅−

′−⋅′= δωδωµ Gu

h

b

As

A's

εs

ε'sεcu=0.0020

y =c 8

0.800.700.600.500.400.300.200.10

ωNORMATIVA

SAENZ

Domini di resistenza Domini di resistenza adimensionalizzatiadimensionalizzati

d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00

-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000

0.25

0.50

0.75

1.00

νu

µu 0.800.700.600.500.400.300.200.10

DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.

ω

ξ=0

ξ=ξ2,3 ξ=ξ3,4

ξ=ξ4,5

ξ=ξ5,6

Confronto Tensioni AmmissibiliConfronto Tensioni Ammissibili--Stati Limite Stati Limite Ultimi in termini di Dominio ResistenteUltimi in termini di Dominio Resistente

d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00

-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000

0.25

0.50

0.75

1.00

νu

µu

0.80

0.40

0.10

ω

ξ=0

ξ=ξ2,3 ξ=ξ3,4

ξ=ξ4,5

ξ=ξ5,6

Stati limite Ultimi

Tensioni ammissibilif'cd

Nb h

Mb h2

f'cd

1.5

1.5

0.700.600.50

0.300.20

Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione informa adimensionale risultano:

Sezione rettangolare: problemi di Sezione rettangolare: problemi di progetto in flessione e progetto in flessione e pressoflessionepressoflessione

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ

Gusd

s

sd

sff

µ=

δ′−⋅

σ⋅ω−

δ′−⋅

σ′⋅ω′+

ξ⋅λ−⋅ξ⋅ψ

21

21

21

( ) ( ) usd

sf

µ=δ′−⋅σ′

⋅ω′+ξ⋅λ−δ′−⋅ξ⋅ψ 211

Traslazione

Rotazione intorno al baricentro

Rotazione intorno all’armatura tesa

Flessioneprogetto di h(b) ed As con b(h) ed il rapporto delle armature assegnatiprogetto di As e A′s con b ed hassegnati

A

B

Pressoflessioneprogetto di h(b) ed As noti b(h) e le percentuali meccaniche di armatura progetto della sezione e delle arma-ture mediante abachi (1/νu)-(e/h)

A

B

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ ( ) ( ) usd

sf

µ=δ′−⋅σ′

⋅ω′+ξ⋅λ−δ′−⋅ξ⋅ψ 211

( ) ( )[ ]sdssds ff // σ′⋅ρ+σ−

ξ⋅ψ=ω ( )

( ) ( )[ ]( ) u

sd

s

sdssds fffµ=δ′−⋅

σ′⋅

σ′⋅ρ+σ−

ξ⋅ψ⋅ρ+ξ⋅λ−δ′−⋅ξ⋅ψ 211

//

( ) ( )ξµ+ξµ=′⋅⋅

=µ ρccd

uu

fhbM2

( )[ ] sd

cd

sdssdssd

cds f

fhbfff

fhbA′⋅⋅

⋅σ+σ′⋅ρ−

ξ⋅ψ=

′⋅⋅⋅ω=

// sd

cdu

cd

cd

sd

us f

fhbfhbfhb

fhMA

′⋅⋅⋅

ζµ

=′⋅⋅′⋅⋅

⋅⋅⋅ζ

=

s

sAA′

=ωω′

=ρ

( )( ) ( )[ ]ξµ+ξµ⋅′

=ρξδ′′=

ρccd

sdcduuf

,,,f,frr 1

( ) ( )[ ] bMr

bM

fh u

uu

ccd

⋅=⋅ξµ+ξµ⋅′

=

ρ

1

2

2

h

Mrb uu ⋅=

( ) ( )ω

ξµ+ξµ=

ωµ

=ζ pcusd

us fh

MA⋅⋅

=ζ

Flessione: progetto di Flessione: progetto di hh o o bb ed ed AAss mediante Tabellemediante Tabelle

( )ρξδ ,,,, ′′= sdcduu ffrrb

Mrh uu ⋅= 2

2

h

Mrb uu ⋅=

sd

us fh

MA⋅⋅

=ζ

( )ρξδζζ ,,,, ′′= sdcd ff

progetto di h ed As con b ed il rapporto delle armature assegnati

A

progetto di b ed As con h ed il rapporto delle armature assegnati

B

Verifica delle sezioni inflesseC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ξ

0.25

0.50

0.75

1.00

ρ0.00

ru

ζ

AtotC

Flessione: progetto di Flessione: progetto di hh o o bb ed ed AAss mediante Tabellemediante Tabelle

( )ρξδ ,,,, ′′= sdcduu ffrr

( )ρξδζζ ,,,, ′′= sdcd ff

Coefficienti Coefficienti rruu e e ζζ

Esempio di progetto di Esempio di progetto di sezione rettangolare a sezione rettangolare a

flessione sempliceflessione semplice

L1 L2

lunghezza campate: L1= 4.2 ml;

L2 = 5.3 ml;

base: b = 40 cm;

carico permanente: gk = 4200 kg/m

carico accidentale: qk = 2080 kg/m

- calcestruzzo: Rck = 250 kg/cm2

- acciaio: FeB38k

L1 L2

progetto dell’altezza h della sezionee dell‘armatura

Amplificando i carichi caratteristici secondo i coefficienti parziali di sicurezza γg = 1.4 e γq = 1.5, si ottiene il carico di progetto:

kg/m90002080514200415141 =⋅+⋅=⋅+⋅= ..q.g.q kkd

Il momento massimo lungo la trave si ha in corrispondenza dell’appoggio intermedio e vale:

kgm26404)(81

21

32

31 −=+

+⋅−=

LLLLqM d

d,B

Si esegue il progetto tabellare dell’altezza della sezione. La resistenza di progetto ridotta per calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 risulta essere

2kg/cm11061

250830850=

⋅⋅=′

...fcd

2kg/cm110=′cdf 050/ .hd =′, , 2kg/cm3304151/3800 == .f sd

si ricavano i valori dei coefficiente ru e ζ:

846.0)0,3304,05.0/,110(2302.0)0,3304,05.0/,110(

====′=′====′=′

ρζρ

sdcd

sdcdu

fhdffhdfr

e quindi l’altezza minima della sezione:

cm1459400

2640423020 ..

.b

Mrh du =⋅=⋅=

ξ ru h[cm]

0.15 0.3239 83.220.20 0.2635 67.700.25 0.2302 59.140.30 0.2128 54.670.35 0.1995 51.25

Adottando, in fase di dimensionamento un asse neutro di progetto ξ = 0.25, che assicura buoni requisiti di duttilità, dalla tabella di progetto allo s.l.u. per sezione rettangolare a semplice armatura relativa ad

Per confronto si esegue il progetto della sezione secondo il metodo delle tensioni ammissibili. In questo caso si considerano direttamente i carichi caratteristici:

kg/m628020804200 =+=+= kk qgq

per cui il momento massimo in corrispondenza dell’appoggio B vale:

kgm184243524

)3524(628081 33

=+

+⋅⋅=

....M B

2 74.15330460 846.0

2640400 cmfh

MAsd

us =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

L’armatura minima richiesta risulta:

La tensione ammissibile per Rck = 250 kg/cm2 vale . Dalla tabella di progetto alle t.a. di sezioni rettangolari a semplice armatura si ottiene:

878.0)15;05.0/;2200;85(270.0)15;05.0/;2200;85(

===′==′===′==

nddnddr

sc

sc

σσζσσ

2kg/cm85=σc

Assumendo per l’altezza della sezione h = 65 cm (lievemente superiore al valore ottenuto dal progetto agli s.l. con ξ = 0.25) si ottiene la seguente armatura di progetto:

238.15220062878.0

1842400 cmdMA

sds

=

⋅⋅=

σ⋅⋅ζ=

da cui risulta

cm58400

184242700 =⋅=⋅=.

.b

Mrd B cm61358 =+=′+= ddh

La soluzione è sostanzialmente identica a quella ottenuta agli s.l.u.. Tuttavia con il progetto agli s.l.u. sono possibili molte altre soluzioni con altezze variabili tra 51 ed 83 cm, pur con asse neutro in zona duttile (0.15≤ ξ ≤ 0.35).

PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione rettangolaresezione rettangolare

Il problema del progetto dell’altezza e dell’armatura può essere condotto in analogia al caso del metodo delle tensioni ammissibili, determinando diagrammi che legano le variabili 1/νu ed e/h, essendo e l’eccentricità fornita dal rapporto MuG/Nu.

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ

Gusd

s

sd

sff

µ=

δ′−⋅

σ⋅ω−

δ′−⋅

σ′⋅ω′+

ξ⋅λ−⋅ξ⋅ψ

21

21

21

Traslazione

Rotazione intorno al baricentro

( ) ( )sdssdsu ff //11

σ⋅ω+σ′⋅ω′+ξ⋅ψ=

ν

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )sdssds

sdssds

u

u

ffff

heG

//2/1/2/1/2/1

σ⋅ω+σ′⋅ω′+ξ⋅ψ

δ′−⋅σ⋅ω−δ′−⋅σ′⋅ω′+ξ⋅λ−⋅ξ⋅ψ==

νµ

Si ottiene:


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/h

νud'/h = 0.05

SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.

0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω ω = '

ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15


Progetto della sezione (b, h)

Fissata le percentuali delle armature superiore ed inferiore (uguali negli abachi forniti), e note le sollecitazioni, si impone un valore di progetto del carico assiale limite, che dipende essenzialmente dalla duttilità che si intende conferire all’elemento progettato; sulle curve (1/νu, e/h) relative alle prefissate percentuali ω ed ω′ si leggono i valori di η = e/h corrispondenti; essendo nota la eccentricitàdi progetto e, si possono ricavare l’altezza h e la base b della sezione mediante le relazioni:

cdu

ufh

Nbeh⋅⋅ν

=η

= ,sd

cdss f

fhbAA′⋅⋅⋅ω

=′=

Progetto delle armature

Fissate la geometria della sezione e le caratteristiche dei materiali e note le sollecitazioni, si calcolano preliminarmente i valori adimensionali e/h e νu; negli abachi il punto di coordinate (1/νu, e/h) permette per interpolazione di determinare il valore di progetto delle armature richieste.


Verifica della sezione

Note la geometria della sezione, la quantità di armature, le caratteristiche dei materiali e le sollecitazioni, si calcola il valore del parametro adimensionale νu; assumendo lo stesso come valore ultimo νu, dalla coordinata 1/νu e per interpolazione tra le curve corrispondenti ai due valori delle percentuali di armatura comprendenti quella effettiva, si determina il valore di e/h e quindi della eccentricità corrispondente al momento ultimo. La verifica pertanto si ottiene controllando il soddisfacimento della relazione:

eNhNMM uuud ⋅=⋅η⋅=<

Esempio di progetto di sezione Esempio di progetto di sezione rettangolare a rettangolare a pressoflessionepressoflessione

Si progetti agli s.l.u. una sezione rettangolare soggetta in condizioni di esercizio alle seguenti sollecitazioni di calcolo:

kg72588=dNkgcm2290500=dM

I materiali da utilizzare sono calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 ed acciaio tipo FeB38k.

Per il progetto della sezione mediante gli abachi, si calcola preventivamente l’eccentricità del carico:

cm553172588

2290500 .NM

ed

dd ===

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ uνξψ =⋅ 125.34.08.0

111=

⋅=

⋅=

ξψν u

Fissando il valore di ξ=0.4 (generalmente compreso tra 0.2-0.45 che corrisponde all’incirca alle zone 2”-3), dall’equazione di equilibrio alla traslazione scritta in forma adimensionale, si ottiene un valore di progetto di νu::

63.0/ ==η he

125.31=

uν

Fissando il valore di ω=ω’=0.10 e d’/h=0.10 dall’abaco si ottiene e/h:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/h

νud'/h = 0.10


0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω ω = '

ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15

0.5063.055.31

===η

dehcm 2.41

1105032.072588

=⋅⋅

=⋅⋅

=cdu

u

fhNb

ν

2 65.63304

110504010.0 cmf

fhbAAsd

cdss =

⋅⋅⋅=

′⋅⋅⋅=′=

ω

Esempio di verifica di sezione Esempio di verifica di sezione rettangolare a rettangolare a pressoflessionepressoflessione

40

50

Verifica agli s.l.u. di una sezione rettangolare soggetta in condizioni di esercizio alle seguenti sollecitazioni di calcolo:

kg72588=dN kgcm2290500=dM

4φ16

4φ16

I materiali utilizzati sono calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 ed acciaio tipo FeB38k.

Le resistenze di calcolo del calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 e per l’acciaio FeB38k risultano:

2kg/cm11061

250830850=

⋅⋅=′

...fcd

2kg/cm3304151/3800 == .f sd

Per effettuare la verifica mediante l’abaco occorre preventivamente calcolare 1/νu e ω=ω’:

33.01105040

72588=

⋅⋅=

′⋅⋅=

cd

uu fhb

Nν 03.333.01/1 ==uν 12.0

1105040330404.8' =⋅⋅

⋅==ωω

A VERIFICA MEDIANTE GLI ABACHI

23591105065.072588 65.0/ =⋅⋅=⋅⋅=⇒=== hNMhN

Mhe uuu

u ηη

Dall’abaco si legge:

La verifica è soddisfatta risultando:

23591102290500 =<= ud MM

Per la determinazione della posizione dell’asse neutro, si supponga inizialmente di essere nella zona in cui le armature sono entrambe snervate.L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa

B VERIFICA ANALITICA

725888.0 ==⋅−⋅′+′⋅⋅⋅ usdssdscdc NfAfAfyb

cm62201104080

7258880

..fb.

Ny

cd

uc =

⋅⋅=

′⋅⋅=

cui segue:

( )grafica) via per 2359110 da diverso (poco kgcm 2384723

2325330404.8)62.204.025(1104062.208.0=

=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=uM

Essendo l’asse neutro nella zona 3 (11.75 ≤ 20.62 ≤ 32.42) segue:

Se si adotta per la valutazione del contributo statico del calcestruzzo l’ipotesi semplificativa dello Stress-Block, il diagramma delle deformazioni al variare della posizione dell'asse neutro serve esclusivamente a valutare il contributo delle barre di armatura, in quanto quello del calcestruzzo è definito dal prodotto dell’area al di sopra della corda posta a 0.8 yc dal bordo compresso per la tensione di progetto

cA′cdcd f.f ⋅=′ 800

NCs

G0

d = rG0

2r

d'

Asidi

u

n

yc

σsi

r

Gy0 ϕ

y'c

f'cdAc,0.8yc

5.183.0 ck

c

ckcdcd

Rfff ⋅==⋅=′ α

γαα

nel caso di STRESS BLOCK con sezione di larghezza crescente dalla fibra maggiormente compressa verso l’asse neutro

80.0=α85.0=α

La sezione circolare:verifica e progettoLa sezione circolare:verifica e progetto

NCs

G0

d = rG0

2r

d'

Asidi

u

n

yc

σsi

r

Gy0 ϕ

y'c

f'cdAc,0.8yc


Determinazione della posizione dell’asse neutro

( ) [ ]cdcdusii sicdcc ffNAfAyF ⋅=′=−σ⋅∑+′⋅′= 80.00

con ϕ l’angolo relativo alla corda per cc y.y ⋅=′ 80

′

−=ϕryarccos c1

il contributo statico del calcestruzzo si scrive

( ) cdccdc fAfrcossenN ′⋅′=′⋅⋅ϕ⋅ϕ−ϕ= 2

Determinazione della posizione dell’asse neutro

( ) [ ]cdcdusii sicdcc f.fNAfAyF ⋅=′=−σ⋅+′⋅′= ∑ 8000


Da un punto di vista operativo, si osserva che la F(yc) è una funzione crescente della posizione dell’asse neutro yc con valore negativo per yc = 0 e positivo per yc= ∞, se Nu è minore del carico massimo sopportabile dalla sezione con eccentricitànulla. Pertanto, individuate due posizioni dell’asse neutro cui corrispondono valori di segno opposto della F(yc), la posizione dell’asse neutro in una iterazione successiva si ottiene costruendo una curva di errore che consente una rapida convergenza verso la soluzione esatta.

+−+

++−

−+

+−+ ⋅

−

−−=⋅

−

−−= −−

iii

i,ci,ci,ci

ii

i,ci,ci,ci,c F

FFyy

yFFFyy

yy 1

h = 2r

)( cyF

cy

+iF

−iF

−i,cy

+i,cy

cy∆

1+i,cy

( )F

sdscd

cfAfr

yFε<

⋅+′⋅⋅π 2

L’arresto del procedimento iterativo è regolato dalla disequazione

con εF errore ammesso (per esempio εF = 1/1000).

NCs

G0

d = rG0

2r

d'

Asidi

u

n

yc

σsi

r

Gy0 ϕ

y'c

f'cdAc,0.8yc

Determinazione del momento ultimo

isii sicu dAMM GG ⋅σ⋅+= ∑

ϕ−ϕϕ⋅

⋅⋅=⋅=223

4 3

0 sensenrNyNM cccG

dove il contributo del calcestruzzo si ottiene dalla seguente relazione:


cd

uu

frN

′⋅⋅π=ν 2

cd

uu

fr

M GG

′⋅⋅π⋅=µ 3

,,

2 cd

sdsfr

fA′⋅⋅π

⋅=ω 2

δ′−=′−

=′=δ′=ξ 12

2/;)2(/;/(2r)rdrhdrdyc

Adimensionalizzazione

Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione diventano:

Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali nell’equazione di equilibrio alla traslazione:

ucd

un

i cd

sisi

cd

cdc

frN

frA

frfA

ν=′⋅⋅π

∑ =′⋅π

σ⋅+

′⋅⋅π

′⋅′

= 21 22

La sezione circolare:progetto con abachiLa sezione circolare:progetto con abachi

uisd

si

s

cfnr

Aν=∑

σ⋅

ω+

⋅π

′2

∑ µ=⋅π⋅

σω+

′⋅⋅π=

′⋅⋅πi uG

sd

isi

scd

c

cd

ufd

nfrM

frM GG

222 33

La sezione circolare:progetto con abachiLa sezione circolare:progetto con abachiIl problema del progetto dell’altezza e dell’armatura può essere condotto in analogia al caso del metodo delle tensioni ammissibili, determinando diagrammi che legano le variabili 1/νu ed e/(2r), essendo e l’eccentricità fornita dal rapporto MuG/Nu.

u

uuu GG

rNM

re

νµ

==2

/2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/2r

ν ud'/h = 0.05

ξ0.5 0.4 0.3

0.2

0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω

PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione circolaresezione circolare

Progetto della sezione (r)

Fissata la percentuale geometrica complessiva di armatura e note le sollecitazioni, si impone un valore di progetto del carico assiale limite, che dipende essenzialmente dalla duttilità che si intende conferire all’elemento progettato; sulla curva (1/νu, e/2r) relativa alla prefissata percentuale ω si legge il valore di η = e/2r corrispondente; essendo nota la eccentricità di progetto e, si può ricavare il raggio r della sezione, nonché l’armatura, mediante le relazioni:

η⋅=

2er

sd

cds f

frA′⋅⋅π⋅ω

=2

Progetto delle armature

Fissate la geometria della sezione e le caratteristiche dei materiali e note le sollecitazioni, si calcolano preliminarmente i valori adimensionali e/2r e νu; negli abachi il punto di coordinate (1/νu, e/2r) permette per interpolazione di determinare il valore di progetto delle armature richieste.

PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione circolaresezione circolare

Verifica della sezione

Note la geometria della sezione, la quantità di armature, le caratteristiche dei materiali e le sollecitazioni, si calcola il valore del parametro adimensionale νu; assumendo lo stesso come valore ultimo νu, dalla coordinata 1/νu e per interpolazione tra le curve corrispondenti ai due valori delle percentuali di armatura comprendenti quella effettiva, si determina il valore di e/2r e quindi della eccentricità corrispondente al momento ultimo. La verifica pertanto si ottiene controllando il soddisfacimento della relazione:

eNrNMM uuud ⋅=⋅η⋅=< 2

La sezione generica:pressoLa sezione generica:presso--flessione rettaflessione retta

x

y

nii+1

yi

xi+1 xi

yn

yi+1

ε

yi+1 yi

εmεM σM

σm

σ

yM= ym=

Metodo generale

A Metodo generale di tipo numericoB Verifica con diagramma Stress-block

Determinazione dell’asse neutro

( ) ( ) uscn NNNyf −+=

( )∑ σ⋅= j jsjss AN ,,

( ) ( )∫ ⋅σ= My

ic ydybyN0

,

La sezione generica:pressoLa sezione generica:presso--flessione rettaflessione rettaMetodo generale numericoMetodo generale numerico

x

y

nii+1

yi

xi+1 xi

yn

yi+1

ε

yi+1 yi

εmεM σM

σm

σ

yM= ym=

( )∑ σ⋅= j jsjss AN ,,

osjssdjs f ε≥ε=σ ,, per

osjssdjs f ε−≤ε−=σ ,, per

osjsjssjs E ε<εε⋅=σ ,,, per


x

y

nii+1

yi

xi+1 xi

yn

yi+1

ε

yi+1 yi

εmεM σM

σm

σ

yM= ym=

( ) ( )∫ σ⋅−= +my

iiicr ydyxxN0

1,

( ) ( )∫ −⋅σ⋅

−−

= + My

m

iiict

my

M

M

ydyyyyyxxN 1

,

( )∑ += i icticrc NNN ,,


x

y

nii+1

yi

xi+1 xi

yn

yi+1

ε

yi+1 yi

εmεM σM

σm

σ

yM= ym=

Determinazione del momento ultimo

scu MMM +=

( )∑ += i icticrc MMM ,,

( )∑ ⋅σ⋅= j jsjsjss yAM ,,,

( ) ( )∫ ⋅⋅σ= My

ic ydyybyM0

,

( ) ( )∫ ⋅σ⋅−= +iy

iiicr ydyyxxM0

1,

( ) ( )∫ ⋅−⋅σ⋅−−

= + Myym

iiict

mydyyyy

yyxxM

M

M

1

,

( )GG

yyNMM nuuu −⋅+=,

Sezione generica:Sezione generica:pressopresso--tensotenso flessione deviataflessione deviata

Nel caso della pressoflessione deviata sono incogniti sia la posizione che l’inclinazione dell’asse neutro. Come nel caso del metodo di verifica alle tensioni ammissibili è possibile pervenire alla soluzione del problema della verifica individuando la sezione reagente per successive approssimazioni

Domini di resistenza per sezioni rettangolari

f'cd

Mh b2

µ y = uy

f'cd

Mb h2

µ x =ux

ρx=ρy=0

b

h

0.1b 0.1b

0.1h

0.1h

NMx

My

x

y Ai

ρxAi

ρyAi

Caso A: ρx= ρy= 0

Caso B: ρx= ρy= 0.5

Caso C: ρx= ρy= 1.0

Caso D: ρy= 0ρx= 0.5 ,

Caso E: ρy= 0ρx= 1.0 ,

Caso F: ρy= 0.5ρx= 1.0 ,

ω=4Ai + 2ρxAi + 2ρyAi( ). fyd

bhfcd

Sezione rettangolare: domini di resistenza Sezione rettangolare: domini di resistenza per per pressopresso--tensotenso flessione deviataflessione deviata

f'cd

Mb h2

µ x = ux

f'cd

Mh b2

µ y =uy

ρx=ρy=0

Rck=250 kg/cmq-FeB44k:Rck=350 kg/cmq-FeB38k:


f'cd

Mb h2

µ x = ux

f'cd

Mh b2

µ y =uy

ρx=ρy=1



f'cd

Mb h2

µ x = ux

f'cd

Mh b2

µ y =uy

ρx=1ρy=0


Sezione rettangolare: Sezione rettangolare: pressopresso--tensotenso flesfles--sione deviata (soluzione approssimata)sione deviata (soluzione approssimata)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0µ uy

β=0.5β=0.6

β=0.7β=0.8

β=0.9

µ ux

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

ν

β0.100.200.400.600.801.00

w

1=

+

αα

uyo

uy

uxo

uxMM

MM

( ) ( )

ω−⋅+−ν⋅

ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0

15.05.0max,

α = log (0 .5 )/ log (β )

ω=percentuale meccanica di armatura complessiva della sezione


cd

uu fhb

N′⋅⋅

=ν

β β

cd

uu fhb

N′⋅⋅

=ν

Confronto analisi parametrica-espressione approssimata

Inviluppo max

Inviluppo medio

Inviluppo min

( ) ( )

ω−⋅+−ν⋅

ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0

15.05.0max,

Sezione rettangolare: Sezione rettangolare: pressopresso--tensotenso flesfles--sione deviata (soluzione approssimata)sione deviata (soluzione approssimata)Confronto analisi parametrica-espressione approssimata

cd

uu fhb

N′⋅⋅

=ν

β β

cd

uu fhb

N′⋅⋅

=ν

Inviluppo max

Inviluppo medio

Inviluppo min( ) ( )

ω−⋅+−ν⋅

ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0

15.05.0max,


y

xh =50

b =40

1=

+

αα

uyo

uy

uxo

uxMM

MM

α = log (0 .5 )/log (β )

Cls: Rck = 250 kg/cm2 acciaio FeB44k

armature 16 φ16 N d= 45000 kg ex = 15 cm ey = 19 cm

Calcolo dello sforzo normale ultimo adimensionale ν:

20.01105040

45000=

⋅⋅=

′⋅⋅=ν

cd

ufhb

N

2kg/cm1106.1

83.085.085.0 =⋅

⋅=⋅=′ ckcdcd

Rff 2kg/cm382615.1

4400==

γ=

s

aksd

Rf

Resistenze di calcolo del calcestruzzo e dell’acciaio:

Determinazione di Muxo:5

20.011

==ν

Il carico adimensionale vale

La percentuale meccanica di armatura disposta in direzione x ed il copriferro, risultano:

17.01105040

382605.10=

⋅⋅⋅

=′⋅⋅

⋅=ω′=ω

cd

sdsxx fhb

fA 06.0503

==′

=δhd

x

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/h

νud'/h = 0.05


0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω ω = '

ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15

15.1/ ==η heyy

=⋅η⋅= hNM yuuxo=⋅⋅= 5015.145000

kgm 25875=

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/h

νud'/h = 0.10


0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω ω = '

ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15

Determinazione di Muyo:5

20.011

==ν

Il carico adimensionale vale

La percentuale meccanica di armatura disposta in direzione x ed il copriferro, risultano:

17.01105040

382605.10=

⋅⋅⋅

=′⋅⋅

⋅=ω′=ω

cd

sdsxx fhb

fA 075.0403

==′

=δhd

y

05.1/ ==η bexx

=⋅η⋅= bNM xuuyo=⋅⋅= 4005.145000

kgm 18900=

Domini di resistenza approssimato e verifica a pressoflessione deviata:

Calcolo dei coefficienti β e α :

( ) ( ) =

ω−⋅+−ν⋅

ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0

15.05.0max,

( ) 55.0 54.056.04.105.05.0,55.04.056.056.01

5.05.0max =

=−⋅+=−⋅

++=

56.01105040382601.216, =

⋅⋅⋅⋅

=′⋅⋅

⋅=ω

cd

sdtotsfhbfA

16.1)55.0log(

)5.0log()log()5.0log(

==β

=α

158.018900

15.04500025875

19.045000 16.116.1<=

⋅

+

⋅

=

+

αα

uyo

uy

uxo

uxMM

MM

Indicating by ε the following ratio:

0c

cεε

=ε

the following two branches of the relationship are defined:

)1,0(for;aff 2

0c

c ∈εε−ε⋅=

1for;b1ff

0c

c >εε⋅+=

where:

γ+=1a 1b −γ=

with:

0c

1c

0c

0ct0cff

fEf

=ε⋅+

=γ

cc

0ccct

ffE

ε−

=

fcc

fc1

fco

Et

Eo

εccεco

RelazioneRelazione costitutivacostitutiva parabolaparabola--linearelineare

fco, fcc, εcc

C

C

ZONA 3 ZONA 6

Equazioni di equilibrio sezionali (adimensionali):

ys

s

ys

s

cd

ufffhb

N σω+

σω+ξψ=

⋅⋅=ν

''

)'5.0()'5.0('

')5.0(2 δσ

ωδσ

ωλξξψµ −−−+−⋅=⋅⋅

=ys

s

ys

s

cd

ufffhb

M

DOMINI DI RESISTENZADOMINI DI RESISTENZA ((νν--µµ))

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

ξ

ψ0,60,50,40,30,20,10,05unconfined

fl,d

region 6regions 3 to 5

region2

ξ2,3

PARAMETROPARAMETRO ψψ

cdc

y

y

fy

dyy

⋅

σ

=ψ

∫2

1

)(

cd

y

y

fh

dyy

⋅

σ

=ψ

∫2

1

)(

PARAMETPARAMETEER R λλ

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

ξ

λ

0,60,50,40,30,20,10,05unconfined

fl,d

cdc

y

y

fy

ydyy

⋅ψ⋅

⋅σ

−=λ

∫2

2

1

)(

1cd

y

y

fh

ydyy

⋅ψ⋅

⋅σ

−=λ

∫2

2

1

)(

1

Case A- region 2a, where ξ < 1 and α =α(ξ)≤1:

3)(

2)(

)1()(2ξα

−ξα

⋅γ+=ξψ ( )( )

( )

ξα−⋅γ+

ξα⋅−γ+

−=ξλ)(

231

4)(3

11

Case B- region 2b where ξ < 1 and α=α(ξ) >1:

( ) ( )2

)(1

)(311

ξα⋅−γ+

ξα⋅−=ξψ

( )( )

( ) 2

32

)(2

)(1)(3

11

13

)(2

)(121

1ξα⋅

ξα⋅−γ+

ξα⋅−

−γ

ξα+

ξα+−

−=ξλ

Case C- regions 3, 4 and 5, where ξ ≤ 1 and α >1?? (= ?constant):

( ) ( ) tcos2

1311 =

α⋅−γ+

α⋅−=ξψ

( )( )

( )cost

α2α1γ

α311

1γ3α

2α

121

1ξλ2

32

=⋅

⋅−+

⋅−

−++−

−=

Case D- region 6a, where 1<ξ ≤ α/(α−1) and α>1 (= ?constant):

[ ]2

223333

6

)1(221362)1(2)(

αξ

γ+ξ−γ+ξ+⋅ξα−αξ+ξ−−ξα=ξψ

[ ][ ]{ }γ)(1ξ2γξ21ξα3αξ6ξ21)(ξα2αξ2

γ)ξ(13γ)2(1ξ2ξα2ξ)(31)(ξαξ)α6α4(1)λ(

223333

333442

+⋅−++⋅−+−−⋅⋅

+−++⋅−+⋅−⋅+⋅+−=ξ

Case E - region 6b, where ξ > α/(α−1) and 1>α (= ?constant):

( )( )ξ

−γ−ξα+ξ=ξψ

21122)( ( )( )

( )( )[ ]112231233)(

−γ−ξα+ξ−γ−ξα+ξ

=ξλ

FunzioniFunzioniψψ e e λλ

0c

cεε

=αhyc=ξ

Espressioni semplificate di ψ e λ

Region ψ λ

Region 2 (ξ ≤ ξ23) 23ξξ

ψ=ψ λ=λ

Regions 3,4,5 (ξ23≤ ξ ≤ 1) ψ=ψ λ=λ

Region 6 (ξ >1) Ψ⋅−ξ

+β−βξ=Ψ

75.025.0 ( )

75.05.015.0

−ξλ⋅−−ξ

⋅=λ

ξξ2,3 ξ = 1

λ

λlim

β ψλ,ψ

ψψ

λ

ν−µ INTERACTION CURVESν−χu DIAGRAMS

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

νu

µu

0,60,50,40,30,20,10,05Unconfined

ω = ω' = 0,1d'/h = 0,05

10(χu d)

fl,d

ν−µ INTERACTION CURVESν−χu DIAGRAMS

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

νu

µu 0,60,50,40,30,20,10,05Unconfined

ω = ω' = 0,3d'/h = 0,0510(χud)

fl,d

concrete failure

steel failure

INCREMENTO DI DUTTILITA’

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

νu

Iχ0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,05

Unconfined

fl,d

d'/h = 0,05I'χ = 30νu-0,7

ncu,

ncy,

cy,

cu,

ncu,

cu,χ χ

χχχ

χχ

I ⋅≅=8.0

8.03.016.1

0035.0

015.00035.0)('' ,,,

,++

⋅⋅+

=ψψ

εε

=χdldldl

un

c

cu

ccudl

ffffI

Influenza di Influenza di ξξ sulla duttilità della sezionesulla duttilità della sezione

Al crescere di ξ si riduce la duttilitàdella sezione; per le travi si consigliano valori di ξ compresi tra 0.1-0.45.

La normativa consente il calcolo plastico senza richiedere il controllo delle rotazioni plastiche se ξ èminore di 0.25 ed il calcolo elastico con ridistribuzione se ξ è minore di 0.45

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

C5

2

1

f /Esd s

SEZIONI PRESSOINFLESSESEZIONI PRESSOINFLESSEDIAGRAMMA MOMENTODIAGRAMMA MOMENTO--CURVATURA (M CURVATURA (M –– φ φ –– N)N)

H d

b

d’

As’

As

T’

T

χ

εc

ε’a

εa

Cx

λx

N M

Determinazione del diagramma momento-curvatura (M-φ) a sforzo normale N costante.Per ogni assegnato valore della curvatura φ si determina il valore dell’asse neutro delle deformazioni tale che sia soddisfatto l’equilibrio alla traslazione: N = C + T’ – T .Dall’equazione di equilibrio alla rotazione si determina il momento corrispondente, ottenendo quindi un punto di coordinate (M , φ).

M

φ

Mu

My

φuφy

Determinazione della curvatura di snervamento φy (snervamento delle armature) e della curvatura ultima φu (raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo).

DIAGRAMMA MOMENTODIAGRAMMA MOMENTO--CURVATURA (M CURVATURA (M –– φφ –– N)N)

Diagrammi MomentoDiagrammi Momento--Curvatura al variare di NCurvatura al variare di N

M(tm)

φ 106

ν =0

ν =0.2580

60

40

20

100 300200 400 500 700600

ν =b d f’cd

Ν

70

40

4φ20

4φ20

ν φu /φy

00,050,100,150,200,25

18,412,58,625,834,093,10

Rck 250 kg/cmqFeB44k

MECCANISMO GLOBALE E MECCANISMO GLOBALE E MECCANISMO LOCALE DI COLLASSOMECCANISMO LOCALE DI COLLASSO

MODELLI DI CAPACITÀMODELLI DI CAPACITÀ

Travi e pilastri: flessione con e senza sforzo normaleTravi e pilastri: flessione con e senza sforzo normale

LvM+

Elemento traveM-

La capacità La capacità deformativadeformativa θ θ di travi e pilastri è definita come rapporto tra lo di travi e pilastri è definita come rapporto tra lo spostamento trasversale spostamento trasversale della sezione di momento nullo e la della sezione di momento nullo e la distanzadistanza di tale di tale sezione dalla cerniera plastica (sezione dalla cerniera plastica (luce di taglioluce di taglio).).

La capacità La capacità deformativadeformativa così valutata si differenzia in relazione ai così valutata si differenzia in relazione ai 3 stati limite considerati.3 stati limite considerati.

Stato limite di Danno Limitato Stato limite di Danno Limitato (SL(SL--DL)DL)Stato limite di Danno Severo Stato limite di Danno Severo (SL(SL--DS)DS)Stato limite di Collasso Stato limite di Collasso (SL(SL--CO)CO)

VMLv =

Capacità rotazionaleCapacità rotazionale

( ) 5.0 dl plplplpl ⋅⋅=⋅= φφθ

L’espressione più semplice:

v

vt

yu

u

yupl

l

lff

VM

MMM

l

⋅ψ⋅=

=⋅

−⋅=⋅

−⋅=

5.0

15.05.0'

La lunghezza della cerniera plastica considerando il rapporto Mu/My e la snellezza di taglio (λ=Mu/Vd)

Influenza del cedevolezza del Influenza del cedevolezza del vincolo/nodo vincolo/nodo

ε

ε

ε

θ

4

4 ,

,,

,ua

tbua

ya

ybya

fdl

fdl

ττ ⋅⋅

=⋅

⋅=

ua

tbspl

uat

ytsysuyauapl

fd

lfff

dd

ll

,,

,**,,

4 τ⋅⋅

⋅ψ⋅φ≅

≅⋅

−⋅

ε−ε=

∆−∆=θ∆

Le espressioni della lunghezza Le espressioni della lunghezza della cerniera plasticadella cerniera plastica

dklkdτfψψlll bv1b

ua,

t''pl

'plpl ⋅+⋅=⋅

⋅⋅+⋅⋅=+= 24

50 vl.

dfll byvpl ⋅⋅+⋅= 022.008.0 Priesteley (1996)

bya

tv d

fll ⋅

τ⋅⋅ψ⋅+⋅ψ⋅=

,42.15.0pl Lehman (1998)

byvpl dfll ⋅⋅+⋅= 014.012.0 Panagiotakos & Fardis (2001)

c

byvpl

f

dfhll

⋅⋅++⋅=

24.017.01.0 O.P.C.M. 3274

Lunghezza della cerniera plastica in Lunghezza della cerniera plastica in funzione della luce di taglio (M/V)funzione della luce di taglio (M/V)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 500 1000 1500 2000 2500

LV [mm]

l pl [m

m]

PriestleyLehmanPan & FardisModello generale

La capacità rotazionale rispetto alla La capacità rotazionale rispetto alla corda secondo corda secondo O.P.C.M.O.P.C.M. 32743274

( )

−⋅⋅φ−φ+θ⋅

γ=θ

v

plplyuy

el LL

L5.0

11u

( ) ( )( )

( ) d

el

ρραν ⋅⋅

⋅

⋅

ωω

⋅⋅⋅γ

=θ 100/35.0225.0

25.125,01.0

',01.03.0016.01 cwysx ff νcu h

l fmaxmax

Opzione n.1 (regressione numerico-sperimentale)

Opzione n.2 (teorica con taratura sperimentale)

c

yby

v

vy

f

fdLhL ⋅

φ⋅+

+⋅+φ=θ 13.05.110013.0

3y

con

MODELLAZIONE CERNIERE PLASTICHE MODELLAZIONE CERNIERE PLASTICHE Diagrammi MomentoDiagrammi Momento--RotazioneRotazione

c

yby

v

vy

f

fdLhL ⋅

φ⋅+

+⋅+φ=θ 13.05.110013.0

3y

θy 3/4 θu θu

My

Mu

θ

M

Ordinanza n. 3274 del 20 Marzo 2003

Stato Limite di Danno Limitato DL

Stato Limite di Danno Severo DS

Stato Limite di Collasso CO

Rotazione allo snervamento:

Rotazione ultima:

( )

−⋅⋅φ−φ+θ=θ

V

plplyuyu L

LL

5.01


Rotazione di snervamentoRotazione di snervamento

Contributo flessionale

Contributo tagliante

Scorrimento delle barre

Lv

My

c

yby

v

vy

f

fdLhL ⋅

φ⋅+

+⋅+φ=θ 13.05.110013.0

3y


Rotazione ultimaRotazione ultima

−φ−φ+θ=θ

V

plplyuyu L

LL

5.01)(

φu è la curvatura ultima valutata considerando la deformazione ultima del cls

φy è la curvatura a snervamento valutata considerando la deformazione di snervamento dell’armatura tesa

Lv

Mu

Lv

φu

φy

Lpl

My

−φ−φ+θ=θ=θ

V

plplyuyuCO,u L

L5.01L)(

SL-DL

SL-DS

SL-DC

yDL,u θ=θ

)(43

yuyDS,u θ−θ+θ=θ


I valori di massima capacità deformativa sono differenti in relazione a i 3 stati limite

Un programma sperimentaleUn programma sperimentale

Linea 2- Obiettivo NODI:UR dell’Università di Salerno

FRP propertiesFiber tj [mm] EFRP [GPa] fu,FRP [MPa] εu,FRP [%]

CFRP* 0.22 390 3000 0.80 GFRP** 0.48 80.6 2560 3-4

*commercialized by SIKA; ** commercialized by MAPEI

Test setTest set--upup

Tests on FRP confined columnsTests on FRP confined columns

Tests on FRP confined columns

Hysteretic loops andHysteretic loops andloadload--displacement envelopesdisplacement envelopes

“more pinching”

Column reinforced with smooth rebars (barre lisce)

Column reinforced with deformed rebars (barre ad ader. migliorata)

“less pinching”

Hysteretic loops andHysteretic loops andloadload--displacement envelopesdisplacement envelopes

-120000

-80000

-40000

0

40000

80000

120000

-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200

Displacement [mm]

Lateral Force [N]

C3-S C1-S-G C4-S-GC10-S-CC13-S-C C2-S-A1C11-S-A1 C6-S-A2

-120000

-80000

-40000

0

40000

80000

120000

-160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160

Displacement [mm]

Lateral Force [N]

C9-D/R

C9-D

C3-S/R

C3-S

spostamento al collasso convenzionale

-120000

-80000

-40000

0

40000

80000

120000

-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200

Displacement [mm]

Lateral Force [N]

C9-D/R

C9-D

Fmax

Fmax

0.90 Fmax

0.90 Fmax

-120000

-80000

-40000

0

40000

80000

120000

-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200

Displacement [mm]

Lateral Force [N]

C2-S-A1

Fmax

Fmax

0.90 Fmax

0.90 Fmax

r




gen.gen. 2006 2006 –– mar.mar. 20072007

STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI

1




gen.gen. 20072007 –– mar.mar. 20072007

La verifica a taglio delle travi in c.a. La verifica a taglio delle travi in c.a.

allo Stato Limite Ultimo (allo Stato Limite Ultimo (S.L.US.L.U.).)

2

Articolazione punti significativiArticolazione punti significativi

1) Il comportamento sperimentale1) Il comportamento sperimentale2) Le travi senza armatura trasversale2) Le travi senza armatura trasversale3) Le travi con armatura, verifica e progetto3) Le travi con armatura, verifica e progetto4) Confronti tra D.M. ed 4) Confronti tra D.M. ed EurocodiceEurocodice5) Applicazioni5) Applicazioni6) Prescrizioni normative per elementi 6) Prescrizioni normative per elementi inflessiinflessi

3

••Alcune Alcune incongruenze della incongruenze della teoria tecnica:teoria tecnica:* nelle fessure * nelle fessure dovrebbe essere dovrebbe essere nulla anche la nulla anche la ττoltre che la oltre che la σσ* nella teoria * nella teoria tecnica si ammette tecnica si ammette che la resistenza a che la resistenza a trazione trazione èè nulla, ma nulla, ma allora anche la allora anche la resistenza resistenza tangenziale tangenziale dovrebbe essere dovrebbe essere nulla. nulla.

4

Il comportamento sperimentaleIl comportamento sperimentale

In elementi In elementi inflessiinflessi, per valori bassi del , per valori bassi del taglio, le membrature si comportano come taglio, le membrature si comportano come solidi di materiale omogeneo ed isotropo, solidi di materiale omogeneo ed isotropo, senza fessurazionisenza fessurazioniAl crescere del carico e quindi delle Al crescere del carico e quindi delle sollecitazioni flettenti e taglianti compaiono sollecitazioni flettenti e taglianti compaiono fessurazioni ortogonali alle isostatiche di fessurazioni ortogonali alle isostatiche di trazione ovvero parallelamente a quelle di trazione ovvero parallelamente a quelle di compressione.compressione.

5

Il comportamento sperimentaleIl comportamento sperimentaleIn travi semplicemente appoggiate, In travi semplicemente appoggiate, sottoposte a carichi gravitazionali distribuiti sottoposte a carichi gravitazionali distribuiti o concentrati ai terzi, si osservano in o concentrati ai terzi, si osservano in mezzeria, dove la flessione è massima ed il mezzeria, dove la flessione è massima ed il taglio minimo, fessure sostanzialmente taglio minimo, fessure sostanzialmente verticali;verticali;Verso gli appoggi, dove il momento è Verso gli appoggi, dove il momento è minimo ed il taglio massimo, si osservano minimo ed il taglio massimo, si osservano lesioni inclinate a 45° rispetto lesioni inclinate a 45° rispetto all’orizzontale.all’orizzontale.

6

Successivamente alla fessurazione, il Successivamente alla fessurazione, il meccanismo resistente è affidato ad una meccanismo resistente è affidato ad una molteplicità di meccanismi che molteplicità di meccanismi che interagiscono tra di loro:interagiscono tra di loro:

Meccanismo reticolare alla Meccanismo reticolare alla RitterRitter--MorschMorschResistenza delle bielle di calcestruzzo Resistenza delle bielle di calcestruzzo incastrate al corrente compresso:incastrate al corrente compresso:Effetto d’ingranamento degli inertiEffetto d’ingranamento degli inertiEffetto spinottoEffetto spinottoEffetto arcoEffetto arco

7

Effetto ingranamento degli inertiEffetto ingranamento degli inerti

8

Effetto spinottoEffetto spinotto

9

Comportamento ad arco Comportamento ad arco

10

La trave priva di armatura a La trave priva di armatura a tagliotaglio

11

Il meccanismo a pettineIl meccanismo a pettine

hb2/2Q

6/hb)4/ay(Q

hbN

WM

22QN

4ayQM

daV

dMQ

2t

wwt

w

w

**

⋅⋅

−⋅−⋅

=σ

⋅−=σ

=

−⋅=

⋅=

∆=

12

−⋅

⋅=

−−⋅

⋅=⋅

3112

121

411221

ay

dbV

ay

abQf.

*ctd

( )[ ] ctdctd fdb.fdbay.V * ⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅

= 2503/1/12

21

( ) δ⋅ρ+⋅⋅⋅⋅⋅=≤ lctdwRdd rfdb.VV 5012501

Essendo

2/ah:essendo =

13

d

le dimensioni dell’altezza utile e della larghezza dell’anima;

r = 1.6−d>1 [d in metri]un coefficiente che tiene conto dell’effetto dell’ingranamento degli inerti, funzione del rapporto tra l’altezza utile d della trave e la dimensione dell’inerte stesso, trascurabile al crescere di d oltre 0.6 m

1+50ρl (≤2)un coefficiente dipendente dalla percentuale geometrica di armatura in zona tesa ρl=Asl/(bw⋅d) per tener conto dell’effetto spinotto, che si esplica attraverso una coppia di forze trasversali all’armatura che riduce il momento Mw;

δ = 1 (flessione semplice)

, wbd

(pressoflessione)

VRd1 : Parametri

21 0 ≤+=δSduM

M

δ = 0 (tensoflessione)

dimensioni trave

14( )[ ] db.rf.VV wlctdRdd N ⋅⋅σ+ρ+⋅⋅⋅=≤ 1505012501

hL’EC2 fornisce per VRd1 una espressione poco diversa:

( )[ ] db15.0402.1rV wlRdRd N1 ⋅⋅σ+ρ+⋅⋅τ=

δ essendo un coefficiente funzione dello stato di sollecitazione normale della sezione, che assume il valore 0 in presenza di tensoflessione, 1 in presenza di flessione pura, δ=1+ M0/MSdu nel caso di pressoflessione con M0 il momento che determina una tensione nulla nella fibra meno compressa della sezione ed MSdu il momento che sollecita la sezione in cui si effettua la verifica a taglio . Il momento M0 può essere espresso in funzione del raggio di nocciolo rn:

nrNM ⋅=0

15

Valori di Valori di ττRdRd =0=0.25*f.25*fctkctk//γγ ed ed ffctkctk

16

In sintesi, nelle precedenti In sintesi, nelle precedenti relazioni:relazioni:

(1+50 (1+50 ρρll) rappresenta l’effetto spinotto ) rappresenta l’effetto spinotto r =(1.6r =(1.6--d) rappresenta l’d) rappresenta l’effeff. ingranamento. ingranamentoδδ = effetto dello sforzo assiale= effetto dello sforzo assiale

17

La trave con armatura trasversaleLa trave con armatura trasversaleNella trave con armatura trasversale il fondaNella trave con armatura trasversale il fonda--mentale meccanismo resistente successivamente mentale meccanismo resistente successivamente alla formazione delle fessure inclinate alla formazione delle fessure inclinate èè quello quello della struttura reticolare di della struttura reticolare di RitterRitter--MorschMorsch in cui in cui oltre ai correnti loltre ai correnti l’’uno teso e luno teso e l’’altro compresso, si altro compresso, si distinguono i montanti inclinati compressi, distinguono i montanti inclinati compressi, disposti secondo le isostatiche di compressione e disposti secondo le isostatiche di compressione e determinati da due fessure successive nonchdeterminati da due fessure successive nonchéé le le diagonali tese realizzate dalle armature a taglio diagonali tese realizzate dalle armature a taglio disposte secondo inclinazioni variabili in genere disposte secondo inclinazioni variabili in genere tra 45tra 45°° e 90e 90°°..

18

Meccanismo di Meccanismo di RitterRitter--MMÖÖrshrsh

19

Q

staffa

ferro piegato

90 a

Q Q

fibre

compre

sse

di ca

lcestr

uzzo

fibre

compre

sse

di ca

lcestr

uzzo

fibre

compre

sse

di ca

lcestr

uzzo

ferro piegato45

45 45 45

Q Q

NpNt

Q

NpNtNpNt

uu Vd

dVdM

dxMxxMQ =

⋅=

∆=

−∆+= *

*

**)()(

20

0sinN22N tP =α⋅−⋅

utP VNN =⋅+⋅ αcos22

( ) α+⋅

=α+α⋅

α⋅=

gcotV

cossin

sinVN uup 1

2

22

α+α=

cossinVN u

t

Sforzo nel puntone (Sforzo nel puntone (NNpp) e) enel tirante (nel tirante (NNtt) )

21

)cot1(45.0)cot1(22

9.02

9.0cot12

αα

α

+⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

=+

⋅=

cdwcdwu

cdwu

p

fbdfbdV

fbdg

VN

( )α+⋅⋅⋅⋅= gcotfdb.V cdwRd 13002

TAGLIO

Il valore limite dello sforzo tagliante Il valore limite dello sforzo tagliante secondo il D.M. ’96 (Vsecondo il D.M. ’96 (VRd2Rd2) )

22

( )α+⋅⋅⋅⋅⋅ν⋅= gfdbV cdwRd cot19.050.02

2N/mm in con200/70 ckck ff. −=ν

( ) 2680200/258307090500 .....k =⋅−⋅⋅=

( )α+⋅⋅⋅⋅= gfdbV cdwRd cot130.02

Il valore limite dello sforzoIl valore limite dello sforzotagliante secondo l’EC2 (Vtagliante secondo l’EC2 (VRd2Rd2))

SecondoD.M. 96

23

armatura)l' necessaria (non 1Rdd VV)a ≤

armatura)l' e(progettar VVVb RddRd 21) ≤<

idonea) non (sezione 2) Rdd VVc >

Verifica della sezioneVerifica della sezione

24

CALCOLO ELASTICO ALLE CALCOLO ELASTICO ALLE TENSIONI AMMISSIBILITENSIONI AMMISSIBILI

idoneanon sezione ;

.arm calcolo;35

150R14

arm.l' necessarianon ;75

150R4

1c

ck1cco

ckco

τ≤τ

−

+=τ≤τ≤τ

−

+=τ≤τ

25

cdsdRdSdu VVVV +=≤ 3

α+α=⋅⋅

cossenV

sd.fA sd

sdfs90

( )α+α⋅⋅⋅= cossins

d.fAV sdfssd90

δ⋅⋅⋅= dbf.V wctdcd 60

( )( )α+α⋅⋅

⋅−=

cossinfd.sVVA

yd

cddfs 90

( )( )cdd

ydfsVV

cossind.fAs

−

α+α⋅⋅⋅=

90

Progetto Armatura a taglio (D.M. ’96)

α+α=

cossinVN u

t

26

cdsdRdSdu VVVV +=≤ 3

α+α=⋅⋅

cossenV

sd.fA sd

sdfs90

( )α+α⋅⋅⋅= cossins

d.fAV sdfssd90

( )( )α+α⋅⋅

⋅−=

cossinfd.sVVA

yd

cddfs 90

( )( )cdd

ydfsVV

cossind.fAs

−

α+α⋅⋅⋅=

90

( )[ ] db.kf.VV wlctdRdcd N ⋅⋅σ+ρ+⋅⋅⋅== 1505012501

Progetto Armatura a taglio

(EC2)

α+α=

cossinVN u

t

27

EFFETTO DELLA FESSURAZIONE A TAGLIO SULLA ARMARURA A FLESSIONE (travi senza armatura a taglio)

N t

P

d

x

β

*

d cotg* β

( ) βcot** dVxMdN SduSdut ⋅+=⋅

( ) ( ) )45( °=β⋅+=′ *SduSdu dVxMxM

28

α

VV cotg α

N t

P

d

x

β

*

d cotg* β

/2

/2d*

/2

d cotg* β /2

EFFETTO DELLA FESSURAZIONE A TAGLIO SULLA ARMARURA A FLESSIONE (travi con armatura a taglio)

( ) β⋅+=⋅β⋅+⋅α⋅+⋅ gcotdVxMdgcotVdgcotVdN ***

*SduSduSduSdut 22

( )

α−β⋅⋅+=

2gcotgcotdVxM)x(M *

SduSdu'Sdu

29

C

R

z

Z

z

z z

z

z

z

M

z

Rz

Ampliamento del diagramma del Ampliamento del diagramma del momentomomento

30

Le prescrizioni regolamentariLe prescrizioni regolamentari

D.M.’96 ed EC2 in assenza di armaturaD.M.’96 ed EC2 in assenza di armatura

( ) ( ) *SduSdu dVxMxM ⋅+=′

31

Le prescrizioni regolamentariLe prescrizioni regolamentari

D.M.’96 ed EC2 in presenza di armaturaD.M.’96 ed EC2 in presenza di armatura

( )( ) *

Sdu'Sdu

*SduSdu

'Sdu

d2.0xM)x(M)gcotg(cotdVxM)x(M

⋅+≥

α−β⋅⋅+=

32

Il metodo dell’inclinazione variabile Il metodo dell’inclinazione variabile delle bielle (1)delle bielle (1)

Oltre al metodo in precedenza esposto che si Oltre al metodo in precedenza esposto che si definisce metodo standard, ldefinisce metodo standard, l’’armatura a taglio agli armatura a taglio agli stati limite, si può determinare con un metodo stati limite, si può determinare con un metodo alternativo, che si basa su considerazioni sia alternativo, che si basa su considerazioni sia sperimentali sia teoriche legate alla analisi limite.sperimentali sia teoriche legate alla analisi limite.Infatti si osserva che le fessure a taglio si formano Infatti si osserva che le fessure a taglio si formano con inclinazione prossima a 45con inclinazione prossima a 45°°, ma, al crescere del , ma, al crescere del taglio, ltaglio, l’’inclinazione delle fessure che inclinazione delle fessure che progressivamente si estendono, evolve incurvandosi progressivamente si estendono, evolve incurvandosi sullsull’’orizzontale ed inoltre le isostatiche di orizzontale ed inoltre le isostatiche di compressione attraversano le fessure iniziali detercompressione attraversano le fessure iniziali deter--minando bielle compresse con una inclinazione minando bielle compresse con una inclinazione media minore dei 45media minore dei 45°° iniziali.iniziali.

33


Tale comportamento concorda con il teorema Tale comportamento concorda con il teorema statico dellstatico dell’’analisi limite che in presenza di una analisi limite che in presenza di una molteplicitmolteplicitàà di campi di sollecitazione di campi di sollecitazione staticamente ammissibili (ovvero i possibili staticamente ammissibili (ovvero i possibili sistemi reticolari di sistemi reticolari di MorschMorsch con differenti con differenti inclinazioni del puntone compresso) individua il inclinazioni del puntone compresso) individua il moltiplicatore di collasso a taglio nel massimo tra moltiplicatore di collasso a taglio nel massimo tra i moltiplicatori associati, che generalmente non i moltiplicatori associati, che generalmente non coincide con il moltiplicatore relativo alle bielle a coincide con il moltiplicatore relativo alle bielle a 4545°°..

34


Tale comportamento concorda con il teorema Tale comportamento concorda con il teorema statico dellstatico dell’’analisi limite che in presenza di una analisi limite che in presenza di una molteplicitmolteplicitàà di campi di sollecitazione di campi di sollecitazione staticamente ammissibili (ovvero i possibili staticamente ammissibili (ovvero i possibili sistemi reticolari di sistemi reticolari di MorschMorsch con differenti con differenti inclinazioni del puntone compresso) individua il inclinazioni del puntone compresso) individua il moltiplicatore di collasso a taglio nel massimo tra moltiplicatore di collasso a taglio nel massimo tra i moltiplicatori associati, che generalmente non i moltiplicatori associati, che generalmente non coincide con il moltiplicatore relativo alle bielle a coincide con il moltiplicatore relativo alle bielle a 4545°°..

35


In effetti tale considerazione richiederebbe la In effetti tale considerazione richiederebbe la determinazione dei moltiplicatori di collasso per determinazione dei moltiplicatori di collasso per pipiùù sistemi reticolari caratterizzati da diverse sistemi reticolari caratterizzati da diverse inclinazioni del puntone compresso, al fine di inclinazioni del puntone compresso, al fine di determinarne il massimo.determinarne il massimo.Per le pratiche finalitPer le pratiche finalitàà èè sufficiente fissare un sufficiente fissare un angolo angolo ββ minore di 45minore di 45°° e valutare la capacite valutare la capacitààportante massima legata alla resistenza del portante massima legata alla resistenza del puntone compresso e del tirante.puntone compresso e del tirante.

36

Q

staffa

ferro piegato

90 a

Q Q

fibre

compre

sse

di ca

lcestr

uzzo

fibre

compre

sse

di ca

lcestr

uzzo

fibre

compre

sse

di ca

lcestr

uzzo

ferro piegato45

45 45 45

Q Q

NpNt

Q

NpNtNpNt

u*

*u

*V

ddV

dMQ =

⋅=

∆=

β

37

0sinNsenN tP =α⋅−β⋅

utP VcosNcosN =α⋅+β⋅

αβα

αβββαβαα

coscot

cotcoscoscossinsin

+⋅=

⋅+=

⋅+⋅⋅

=

senVN

senV

senVN

ut

uup

TAGLIOSforzo nel puntone (Sforzo nel puntone (NNpp) e) enel tirante (nel tirante (NNtt) )

38

Uguagliando Np allo sforzo di compressione massimo sostenibile (ν.bw . d* . senβ . fcd), ed Nt allo sforzo ditrazione massimo (Asw . fywd . d*/s), si ottiene:

)cot(cot/

cot1cotcot

*

2*

β+α⋅α⋅⋅⋅=

β+

α+β⋅⋅⋅⋅ν=

sensdfAV

fdbV

ywdswus

cdwuc

TAGLIOIl valore limite dello sforzo tagliante Il valore limite dello sforzo tagliante secondo il D.M. ‘96(Vsecondo il D.M. ‘96(VRd2Rd2) )

39

Il taglio massimo attribuibile è Il taglio massimo attribuibile è allora espresso nel modo seguente:allora espresso nel modo seguente:

VVRd2 Rd2 =min=min ((VVucuc, , VVusus))

Occorre poi imporre che la rottura del tirante preceda quella del puntone per avere una rottura duttile. Tale condizione si pone alla prima fessurazione (β=45o) imponendo Vus≤ Vuc. Si ottiene allora una condizione sull’armatura per la quale la fessurazioneinterviene prima o contemporaneamente alla rottura del puntone:

αν⋅

≤

⋅⋅

⋅=ω

senfsbfA

cdw

ywdsww

5.0lim,

40

β⋅⋅⋅=

β+β⋅⋅⋅ν=

cots/dfAVcottan

1fdbV

*ywdswus

cd*

wuc

TAGLIOIn presenza di staffe (In presenza di staffe (αα=90=90°°) ) le le relazioni precedenti si semplificanorelazioni precedenti si semplificano

ν≤⋅⋅⋅ 5.0

fsbfA

cdw

ywdsw

41

interrotte long. arm. con 2cot5.0 <β< g

interrotte non long. arm. con 5.2cot4.0 <β< g

%16.0 ;600R450%13.0 ;450R250%09.0 ;250R150

senbsA

wck

wck

wck

w

sww

=ρ≤<=ρ≤<=ρ≤≤

α⋅⋅=ρ

LIMITAZIONI NORMATIVE

42

b= 30 h= 60

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00

VSd/bd [kg/cm2]

w [%

] T.A.DM 96EC2

1.45 Tc0/bd

VRd1/bd

1.45 Tc1/bd

VRd2/bd

TAGLIO

43

b= 100 h= 25

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00

VSd/bd [kg/cm2]

w [%

] T.A.DM 96EC2

VRd1/bd

1.45 Tc0/bd

1.45 Tc1/bdVRd2/bd

TAGLIO

44

b= 60 h= 40

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00

VSd/bd [kg/cm2]

w [%

] T.A.DM 96EC2

VRd1/bd

1.45 Tc0/bd

1.45 Tc1/bd

VRd2/bd

TAGLIO

45

ESEMPIO n.1ESEMPIO n.1Per la trave continua di sezione rettangolare b = 40 cm, h = 70 Per la trave continua di sezione rettangolare b = 40 cm, h = 70 cm, di cui cm, di cui

allall’’esercizio 9.5, si ipotizzi un diagramma del taglio come in figuresercizio 9.5, si ipotizzi un diagramma del taglio come in figura, a, inviluppo delle sollecitazioni dovute ai carichi verticali ed alinviluppo delle sollecitazioni dovute ai carichi verticali ed alle azioni le azioni

orizzontali in cui i tagli di progetto risultano essereorizzontali in cui i tagli di progetto risultano essereSi effettui la verifica a taglio allo stato limite ultimo per laSi effettui la verifica a taglio allo stato limite ultimo per la campata BC campata BC supponendo che in tale tratto siano presenti ferri sagomati a 45supponendo che in tale tratto siano presenti ferri sagomati a 45°° con con

passo p = 35 cm e diametro passo p = 35 cm e diametro φφ16.16.

VVdAdA=15575 kg=15575 kgVVdBdB=26750 kg=26750 kg

VVdBdB=30918 kg=30918 kgVVdCdC=14140 kg=14140 kg4.2 5.3

19954

6438A

ABB

CC

2417 1323

8

46

La sezione in esame La sezione in esame èè rettangolare con rettangolare con bb = 40 cm, = 40 cm, hh = 70 cm, = 70 cm, dd = 3.5 cm, = 3.5 cm, AsAs = 8 = 8 φφ16 = 16.08 cm16 = 16.08 cm22..

Inoltre per la campata in esame risulta che il taglio di progettInoltre per la campata in esame risulta che il taglio di progetto o èè VVdd = 30918 kg= 30918 kg

Essendo:Essendo:bbww = 40 cm= 40 cmd=hd=h--dd’’=70=70--3.5=66.53.5=66.5ffctdctd = 0.70*0.58*R= 0.70*0.58*Rckck

2/32/3/1.6=10.07 kg/cmq/1.6=10.07 kg/cmqr = 1.6r = 1.6--d=1.6d=1.6--0.665 = (>=1) =10.665 = (>=1) =1ρρ = = AAss/(/(bbww*d*d)=16.08/(40*66.5)=0.605%)=16.08/(40*66.5)=0.605%δδ=1=1

47

Calcolo di VCalcolo di VRd1Rd1 e Ve VRd2Rd2

Ed ancora:Ed ancora:ffcdcd = 0.83*R= 0.83*Rckck/1.6=129.69 kg/cmq/1.6=129.69 kg/cmq1+cotg(1+cotg(αα) = 1 () = 1 (αα=90=90°° trattandosi di staffe)trattandosi di staffe)Risulta:Risulta:VVRd1Rd1=0.25*40*66.5*10.07*1*(1+50*0.605=0.25*40*66.5*10.07*1*(1+50*0.605%)*1=8722 kg%)*1=8722 kgVVRd2Rd2=0.30*40*66.5*129.69*1=103493 kg=0.30*40*66.5*129.69*1=103493 kg

48

Essendo VEssendo VRd1Rd1 < < VVdd < V< VRd2Rd2 occorre occorre progettare idonea armaturaprogettare idonea armatura

49

In assenza di ferri piegati:In assenza di ferri piegati:Deve risultare: Deve risultare: VVdd ≤≤ VVcdcd ++ VVsdsd

essendo: essendo: VVcdcd contributo effetti collaterali contributo effetti collaterali (spinotto, ingranamento, (spinotto, ingranamento, etcetc))VVsdsd il contributo delle staffeil contributo delle staffe

Inoltre deve risultare: Inoltre deve risultare: VVsdsd = = maxmax [[0.50.5 VVdd ; (; (VVdd –– VVcdcd)] = max [15459 , ()] = max [15459 , (3091830918--16072)] = 16072)] = 15459 kg15459 kg

nnstst = = VVsdsd /(n/(nbb**ωωstst*f*fysd ysd )*100/(0.9*d))*100/(0.9*d) = =

= 15459/(2*0.5*3304)*100/(0.9*66.5) = = 15459/(2*0.5*3304)*100/(0.9*66.5) = 7.81 staffe 7.81 staffe ϕϕ 8 8 / m/ m

LL’’armatura corrispondente può essere costituita da staffe armatura corrispondente può essere costituita da staffe φφ8/12.5 cm a 2 bracci.8/12.5 cm a 2 bracci.

50

In presenza di ferri piegatiIn presenza di ferri piegati

Deve risultare: Deve risultare: VVdd ≤≤ VVcdcd ++ VVsdsd+V’+V’sdsd

Essendo: Essendo: VVcdcd contributo effetti collaterali contributo effetti collaterali (spinotto, ingranamento, (spinotto, ingranamento, etcetc))

VVsdsd il contributo delle staffeil contributo delle staffeV’V’sd sd il contributo dei sagomatiil contributo dei sagomati

E inoltre deve risultare: E inoltre deve risultare: VVsdsd + V’+ V’sdsd ≥≥ 0.50.5 VVdd

51

Risulta:Risulta:

VVcdcd== 0.60*f0.60*fctdctd*b*bww*d**d*δδ = 0.6*10.07*40*66.5 = 0.6*10.07*40*66.5 = 16072 kg (l= 16072 kg (l’’EC2 pone EC2 pone VVcdcd = V= VRd1Rd1))VVsdsd + V+ V’’sdsd ≥≥ [[VVdd--VVcdcd = 30918= 30918--16072 =14846 16072 =14846 kg]kg]VVsd sd + V+ V’’sd sd ≥≥ 0.5*0.5*VVdd = 0.5*30918 =15459 kg= 0.5*30918 =15459 kg

((VVsd sd + V+ V’’sd sd ) = ) = maxmax (14846,15459) = 15459 (14846,15459) = 15459 kgkg

52

Tratto da armareTratto da armare ((VVdd> V> VRd1Rd1))∆∆z= lz= lzz*(V*(Vdd--VVRd1Rd1)/V)/Vd d =231 cm=231 cm

Armatura di staffe:Armatura di staffe:Deve risultare VDeve risultare Vsd sd = = maxmax [[VVdd--VVcdcd--VV’’sdsd , 0.5*(, 0.5*(VVdd--VVcdcd)] = ()] = (--614, 7730)=7730 kg614, 7730)=7730 kg

Per un tratto pari ad 1 m si ottiene (Per un tratto pari ad 1 m si ottiene (nnstst = n. staffe per = n. staffe per metro)metro)nnstst = = VVsdsd /(n/(nbb**ωωstst*f*fsd sd )*100/(0.9*d))*100/(0.9*d) = = 7730/(2*0.5*3304)*100/(0.9*66.5) = 7730/(2*0.5*3304)*100/(0.9*66.5) = 3.9 staffe 3.9 staffe ϕϕ 8 8 / m/ mMinimo di armatura (D.M.)Minimo di armatura (D.M.)nnstst = 0.1*b*(1+0.15d/b)/(= 0.1*b*(1+0.15d/b)/(nnbb**ωωstst) = ) = 5 staffe 5 staffe ϕϕ 8 8 / m/ m

Calcolo staffeCalcolo staffe

53

)]30918[

3100696.15.12

5.669.033041cot/

7501847.211295.669.0406.0

cottan1

*

*

di maggiore (poco kg 31006 31006) min(75018,

kg

kgVV

sdfAV

kgfdbV

du

ywdswus

cdwuc

===

=⋅⋅

⋅⋅=β⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅=β+β

⋅⋅⋅ν=

TAGLIOMetodo dell’inclinazione variabile Metodo dell’inclinazione variabile del puntone compresso.del puntone compresso.

Si assume Si assume ββ=27=27oo e staffe (e staffe (αα=90=90°°) )

[ ]3.06.05.05.0051.01295.1240

33041=⋅=ν≤

=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅

cdw

ywdsw

fsbfA

54




gen. 2007 gen. 2007 –– mar. 2007mar. 2007

La verifica a taglio delle travi in c.a. La verifica a taglio delle travi in c.a.

allo Stato Limite Ultimo (allo Stato Limite Ultimo (S.L.US.L.U.).)

FINE PRESENTAZIONE

INTRODUZIONE AI METODI DI CONTROLLO DELLA SICUREZZA · – il metodo non consente di valutare...

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