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Introduzione a MATLABIntroduzione a MATLAB

Università degli Studi di Napoli Federico IICdL Ing. Elettrica

Corso di Laboratorio di Circuiti Elettrici

Parte 4Parte 4

Dr. Carlo Petrarca

Dipartimento di Ingegneria Elettrica

Università di Napoli FEDERICO II

Parte 4Parte 4

Numeri complessiIn MATLAB è possibile fare operazioni con numeri complessi

L’unità immaginaria (√-1) “i” oppure “j” è assegnata per default

>> ians =

0 + 1.0000i

Anno Accademico 2009-2010 Introduzione a MATLAB – Parte 4

0 + 1.0000i

Attenzione perchè, se si assegna un valore diverso a questevariabili, esse perdono il loro valore di default!!

>> i=5;>> ii =

5

2

Operazioni con i numeri complessi

>> x=5+i*4x =

5.0000 + 4.0000i

Assegnazione (forma cartesiana o algebrica):x=5+i4

Coniugato:>> conj(x)ans =


ans =5.0000 - 4.0000i

Parte reale e parte immaginaria:>> real(x)ans =

5 >> imag(x)ans =

43

Operazioni con i numeri complessi

>> y=8*exp(i*pi/6)y =

6.9282 + 4.0000i

Assegnazione (forma esponenziale o polare):y=8ei(π/6)

Modulo:


>> abs(y)ans =

8

Argomento (in radianti):

>> angle(y)ans =

0.5236

4

Esercizi con i numeri complessi1. Convertire i seguenti numeri dalla forma algebrica a quella polare

j355−j43+ j66 −−

2. Convertire i seguenti numeri dalla forma polare a quella algebrica

6/je6 π 4/je27 π− 3/2je10 π


5

e6 e27 e10

3. Eseguire le seguenti operazioni:

( )( )j64j37 +− ( ) ( )j31/j42 −+ ( ) ( )jj +−+ 532

Esercizi con i numeri complessi4. Esprimere la corrente i(t) in termini di fasore

5. Dati i seguenti fasori:

6/1 10 πjeV = 6/

2 10 πjeV −= 3/3 5 πjeV =

( ) ; 4

sin50 Atti

−= πω ( ) ; 3

cos210 Atti

−= πω ( ) ; 4

cos250 Atti

+= πω


6

1 10eV = 2 10eV = 3 5eV =

rappresentare su grafico le tensioni corrispondenti ai fasori

21 VV + 21 VV − 31 VV −

utilizzando la seguente trasformazione fasoriale:

( ) ( )αα +=⇔= tVtveVV Mj

M 500sin

EsercizioLa rete di figura è a regime sinusoidale. Ricavare l’intensità di correntenell’induttore, tracciarne il grafico in un intervallo di tempo pari a 2 volte ilperiodo T, calcolare la potenza media erogata dal generatore di tensione e1

R1

A

( ) ( ) ( )s

rad800 ;

6sin50 ; sin40 ;4.0 ;2 ;5 2121 =

−====Ω== ωπωω VtteAttemFCmHLRR


L

R1

C

+- e1(t)

B

+-

R2

e2(t) il(t)

7

Adottiamo il metodo simbolico:

ZL

ZR1

ZC

+- E1

A

IL

IE1

+-

ZR2

E2

IE2


B

IL

( )( )

=+−=+−

=++

1LE1

2LE2

LE2E1

EII

EII

0III

LCR

LCR

ZZZ

ZZZ

1

2E risolviamo il sistema:

8

% Assegnazione datiR1=5;R2=5;L=2e-3;C=0.4e-3;w=800;E1=40*exp(j*0);E2=50*exp(-j*pi/6);ZR1=R1; ZR2=R2;XL=w*L; ZL=j*XL;

Assegniamo i dati del problema:


XL=w*L; ZL=j*XL;XC=1/(w*C); ZC=-j*XC;

% Scrittura sistema di equazioni% Matrice A dei coeff. delle incogniteA=[1 1 1;0 ZR2 -(ZC+ZL);ZR1 0 -(ZC+ZL)];% Vettore colonna dei termini notiNoti=[0;E2;E1];

Scriviamo il sistema da risolvere:

9

I=inv(A)*Noti;% Calcolo del fasore della corrente ILIL=I(3);% Valore massimo di ILILmax=abs(IL)% Fase di ILILfase=angle(IL)

Ricaviamo la corrente iL(t)

Ricaviamola potenzamediaerogatadaE1

iL(t)=14.8 sin(800t-2.88) A


% Calcolo della potenza complessa erogata da E1IE1=I(1);PcE1=0.5*E1*conj(IE1);% Potenza media erogata da E1PE1=real(PcE1)

Ricaviamola potenzamediaerogatadaE1

PE1=137 W

10

% Tracciamo il grafico di iL(t)% Calcolo del periodoT=2*pi/w;% Definizione dell'asse dei tempit=[0:T/100:2*T];% Calcolo della il(t)iL=ILmax*sin(w.*t+ILfase);

Grafico di iL(t):


iL=ILmax*sin(w.*t+ILfase);% Grafico di iL(t)plot(t,iL);xlabel('tempo [s]');ylabel('corrente [A]');title('Corrente nell''induttore');

11

0

5

10

15

corr

ente

[A

]

Corrente nell'induttore

Grafico della corrente nell’induttore:


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-15

-10

-5

0

tempo [s]

corr

ente

[A

]

12

Metodo sistematico

La matrice di incidenza completa AC definisce univocamente il grafo della rete

Dato un grafo orientato con N nodi e L lati la matrice AC haN righe e L colonne e il generico elemento aik della matricedi incidenza completa è così definito:


di incidenza completa è così definito:

1 se il lato k esce dal nodo i

1 se il lato k entra nel nodo i

0 se il lato k non interessa il nodo iika

+= −

13

[ ] =CA I 0

111 12 1

2

0.. ..

0.. ..

L

ia a a

ia a a

Indicato con I il vettore colonna delle correnti di lato,la matricedi incidenza completa ci permette di scrivere in forma compatta

matriciale le LKC a tutti gli N nodi della rete:


221 22 2

1 2

0.. ..

.. 0.. .. ..

.. 0.. ..

0

L

ii ik

N N NLL

ia a a

a a

a a ai

=

Eliminando una qualsiasi delle N equazioni ai nodi, le (N-1)equazioni rimanenti sono linearmente indipendenti.

14

La matrice che si ottiene dalla matrice di incidenzacompleta eliminando la generica k-esima riga è la matrice diincidenza ridotta A

Le (N-1) equazioni indipendenti esprimenti la LKC verranno pertanto espresse in forma matriciale come:

[ ] =A I 0


Per la LKT, basta ricordare che essa è identicamentesoddisfatta se si esprimono le tensioni di lato in funzionedei potenziali nodali. Per semplicità è opportuno fissare unnodo a potenziale zero di riferimento. La scelta piùsemplice è quella di adottare come nodo di riferimento ilnodo k-esimo per il quale non si è scritta la LKC

15

[ ] T =A v V

Detto V il vettore delle tensioni di lato e v il vettore degli (N-1)potenziali nodali, è possibile scrivere la relazione:

In conclusione le equazioni topologiche della rete sono:


[ ] [ ] e T

v = =A V A I 0

Per completare il sistema di equazioni non rimane ora che esprimere le caratteristiche di lato

16

Al fine di rendere sistematica e automatizzata le scritturadelle equazioni di lato è necessario che le equazionicaratteristiche assumano la forma più generale possibile

Per bipoli controllabili in tensione, ci viene incontro ilteorema del generatore equivalente di Norton

I k


J k

Gk Vkk k k kI J G V= +

17

In simboli matriciali, le caratteristiche di lato possonoessere espresse dalla relazione:

[ ] = +I J G V

in cui il vettore J di dimensione L è rappresentativo deigeneratori di corrente e la matrice G è detta matrice dellaconduttanze di lato ed è una matrice diagonale (Gii≠0) di


conduttanze di lato ed è una matrice diagonale (Gii≠0) didimensione L×L.

Moltiplichiamo a sinistra l’espressione per la matrice A:

[ ] [ ] [ ][ ] = +A I A J A G V

18

[ ] [ ][ ] = −A J A G V

[ ] [ ][ ][ ] T= −A J A G A v

Per la LKC si ha:

Utilizzando i potenziali nodali otteniamo:


[ ] [ ][ ][ ]T=NG A G A

[ ] =NJ A J

[ ] = −N NJ G v

da cui:

è la matrice conduttanza di nodo

è il vettore delle correnti impresse di nodo

19

[ ] 1−= − N Nv G J

Il vettore incognito dei potenziali di nodo si ottiene da:

Proprietà della matrice GN:

1. Il termine diagonale gii è la somma delle conduttanze


iidi tutti i lati collegati al nodo i, ed è detta autoconduttanzadel nodo i;

2. Il termine gik è la cosiddetta mutua ammettenza tra il nodoi ed il nodo k; essa è l’opposto della somma di tutte leconduttanze di tutti i lati che collegano il nodo i al nodo k.

20

Il generico elemento JN (i) del vettore JN è pari allasomma algebrica delle correnti impresse nel nodo i. Lecorrenti sono pesate con il segno + se il riferimento dicorrente è entrante nel nodo i, altrimenti sono pesate conil segno -.

Proprietà del vettore JN:

Noto il vettore dei potenziali di nodo, si ricavano le


[ ] T =A v V

[ ] = +I J G V

tensioni di lato:

E, infine, anche le correnti:

21

R1 R2

R4

I I

R1

J1

R2

J2

R4J4

J5

EsercizioRisolvere con Matlab la rete di figura:


+-

E4

R3

J5J6

R5

IIIII

IV

J6

IIIIIIV

R5

J5

R3

J3

22

1) Trasformare ogni lato nel suo equivalente di Norton2) Assegnare i dati del problema3) Scrivere la matrice di incidenza Ac e A4) Scrivere la matrice delle conduttanze di lato G5) Scrivere il vettore delle correnti impresse di lato J6) Ricavare la matrice delle conduttanze di nodo GN7) Ricavare il vettore delle correnti impresse di nodo JN

Procedere secondo i seguenti passi:


N

8) Risolvere il sistema:

9) Ricavare le tensioni di lato:

10) Ricavare le correnti di lato:

23

[ ] 1−= − N Nv G J

[ ] T =A v V

[ ] = +I J G V

% Forma matriciale delle equazioni nei potenziali ai nodiclear all; clc;

N=4; %numero di nodiL=6; % numero di lati

% resistenze di latoR1=10;R2=5;R3=8;R4=10;


R4=10;R5=5;

% sorgentiJ5=10;J6=4;E=100;

% Matrice di incidenza completa AcAc=[-1 1 0 -1 0 0;0 -1 -1 0 -1 0; 0 0 0 1 1 -1; 1 0 1 0 0 1];

24

% Matrice di incidenza ridotta AA=Ac(1:N-1,1:L);

% Matrice delle conduttanze di lato GG=zeros(L,L);G(1,1)=1/R1;G(2,2)=1/R2;G(3,3)=1/R3;G(4,4)=1/R4;G(5,5)=1/R5;G(6,6)=0;


% Vettore delle correnti impresse di lato JJ=zeros(L,1);J(1,1)=0;J(2,1)=0;J(3,1)=0;J(4,1)=E/R4;J(5,1)=J5;J(6,1)=J6;

25

% Matrice delle conduttanze di nodo GnGn=A*G*A';

% Vettore delle correnti impresse di nodo JnJn=A*J;

%%%%%%%% RISOLUZIONE DEL SISTEMA %%%%%%%%%%%%%%


% Vettore dei potenziali di nodo vv=-inv(Gn)*Jn;

% Vettore delle tensioni di latoV=A'*v;

% vettore delle correnti di latoI=J+G*V;

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