Interpretazione degli Spettri Stellari

Cecilia Payne[-Gaposchkin] (1925, PhD) applicò I risultati della meccanica quantistica agli spettri stellari e dimostrò l'importanza della temperatura nella formazione di uno spettro; inoltre mostrò che le stelle sono costituite principalmente da idrogeno ed elio con tracce di altri elementi.

Spettro delle Stelle

Le tre leggi di Kirkhoff

La struttura della materia

Nel XVIII secolo Lavoisier e Dalton verificano sperimantalmente l’ipotesi della struttura atomica della materia.

1868 : Mendeleev produce la sua tavola periodica degli elementi conosciuti fino allora (63). Nel 1896, il numero degli elementi era salito a 77. Tutti in accordo con lo schema proposto da Mendeleev

Gli atomi erano considerate “particelle elementari” cioè privi di parti interne.

La struttura della materia

Nel 1895 Wilhelm Röntgen scopre I raggi X.

Nel 1896 Becquerel scopre la radioattività dell’uranio cercando di capire la natura dei raggi X.

1898 – Pierre Marie Curie stabilisce che la radioattività è una proprietà dell’atomo.

Rutherford (1899)

Non si può determinare quando avverrà un decadimento radiativo

Nei processi radioattivi avviene emissione spontanea di particelle e gli atomi di una specie si trasformano in quelli di un’altra specie.

Scoperta dell’elettrone e Atomo di Thompson

Nel 1897 J.J. Thomson esegue un’esperimento per dimostrare l’esitenza dell’elettrone e misura il rapporto e/m.

L’elettrone è la prima particella sub-atomica scoperta

Nel 1899 Thomson determina la carica e (cloud chamber) e la massa ≈ 1/2000 mH dell’elettrone.

Atomo a “plum pudding” di Thompson

Spettro Continuo (Planck 1900 Legge del corpo nero)

In condizioni di equilibrio termodinamicola radiazione emessa da un corpo nero dipende solo dalla temperatura (T).

Equilibrio Termodinamico:

#emisssioni/s = #ssorbimenti/s

Legge del corpo nero:

Nell’interazione tra materia e radiazione di frequenza la materia può assorbire o emettere solo quantità discrete di energia multiple di :

E= hh [Js] = quanto d’azione Quantizzazione della materia

Effetto Fotoelettrico (Einstein 1905 – Nobel prize 1921)

Solo se > 0

La scoperta di questo effetto si deve ad Hertz nel 1887 (anche se Il termine fotoelettrico fu introdotto da Augusto Righi 1888).

Anomalia: la corrente misurata proporzionale alla frequenza della radiazione incidente e non alla sua intensità (teoria classica). Aumentando l’intensità della radiazione aumentava solo il numero degli elettroni non l’energia cinetica con cui venivano emessi.

Einstein nel 1905 introduce la quantizzazione della radiazione. Tratta l’effetto fotoelettrico assumando che la radiazione sia costituita di particelle aventi energia E=h. Einstein propose che:

½ mev2=h –energia di estrazione)

Nel 1916 Millikan verifica la correttezza della relazione di Einstein.La radiazione ha un comportamento duale:Ondulatorio nella propagazione (v. interferenza)Corpuscolare nell’interazione con la materia

Effetto Compton: natura corpuscolare della luce

Esperimento eseguito nel 1922da Arthur Compton (Nobel 1927)

Questo esperimento dimostra che nell’urto elastico con l’elettrone (a riposo prima dell’urto) la radiazione si comporta come una particella.

Esperimento e Atomo di Rutherford

I risultati indicano:

-esistenza di un nucleo di piccole dimensioni (atomo vuoto)-elettricamente carico (“positivo”)

-elettroni in numero sufficiente da rendere neutro il sistema. 2 problemi:-Come mai gli elettroni non emettono radiazione?-Come si spiegano le righe negli spettri degli elementi?

1911 Ernest Rutherford studia lo scattering di particelle alfa (nuclei di He)

3) Gli elettroni possono assorbire o emettere energia, sotto forma di un fotone, solo passando da un’orbita stazionaria ad un’altra. Tale energia deve essere uguale alla differenza di energia tra le due orbite quantizzate.

h = (Ef – Ei)Il segno + vale se Ef>Ei, il segno - nel caso opposto.

Niels Bohr nel 1913 propose un modello rivoluzionario dell’atomo

1) Gli elettroni ruotano attorno al nucleo,ma solo su alcune orbite ben determinate (orbite stazionarie), sulle quali non emettono energia.

1bis) per gli elettroni sulle orbite stazionarie valgono le leggi della meccanica classica.

2) Sono stazionarie solo le orbite per le quali il momento angolare L vale: Ln = nh/2π n = 1,2,3… n è

detto “numero quantico (principale)” (h ha le dimensioni di un momento angolare)

Atomo di Bohr

€

F =k(Ze)(e)

r2=ma=m

v2

r

kZe2

rn2

=mv2

rn

€

L = mvrn = nh

2π

v =nh

2πmrn

rn =kZe2 4π 2mrn

2

n2h2

rn =n2h2

4π 2mkZe2

Atomo di Bohr

€

r1 = 0.529 ×10−10cm

rn =n2

Zr1

Atomo di Bohr

€

U = −eV = −kZe2

r

En =1

2mv 2 − k

Ze2

rn

En = −2π 2Z 2e4mk 2

n2h2

E1 = −13.6 eV En = −E1

n2

ΔE = hv =hc

λ= Eh − E l

1

λ=

E1

hc

1

nl2 −

1

nh2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟⇒ Formula di Balmer

n = numero quantico principale

Per n = , E = 0 è l’energia minima di un elettrone libero (Continuo)

Diagramma energetico delle transizioni tra i livelli atomici dell’Idrogeno

IL PRINCIPIO DI CORRISPONDENZA

Nello sviluppare le nuove idee Bohr tenne sempre fisso un principio

Secondo tale principio la sua teoria (poi definita Teoria Quantica ) non poteva essere né in contrasto con la Meccanica Classica (MC) né costituire una teoria totalmente separata.

Quindi ipotizzò che per h (Costante di Planck) tendente a zero i risultati della TQ dovevano ridare quelli, ben noti, della MC.

Es: E = h, ma se h = 0, non c’è più quantizzazione dell’energia.

Ecc., ecc.

Atomo di Bohr

Sebbene la teoria di Bohr riuscisse a spiegare con successo vari aspetti sperimentali dell'atomo di idrogeno, essa era molto specifica e non poteva essere generalizzata al caso di atomi con più elettroni.

Dualita’ onda-particella per la materia (De Broglie 1923)

De Broglie propose che le particelle di materia, come i fotoni potessero manifestare proprietà ondulatorie. In analogia con la luce postulò che una particella di massa m e velocità v ha una lunghezza d'onda associata

Si noti che per una particella macroscopica la lunghezza d'onda associata ha un valore così piccolo da non permettere di osservare alcuna proprietà ondulatoria

Un'onda circolare attorno al nucleo contiene un numero intero di lunghezze d'onda.

mv

hλ

Fenomeni di diffrazione di un fascio di elettroni da parte di un cristallo furono osservati proprio come per i raggi X (Compton) che sono classicamente descritti come onde con lunghezze d'onda dell'ordine dell'angstrom (1927 Davisson e Germer, Thomson).

Dualita’ onda-particella per la materia conferma sperimentale

Come conseguenza della natura ondulatoria delle particelle microscopiche esiste una limitazione sulla determinazione simultanea della posizione e della velocità di tali particelle: in altre parole non è possibile conoscere con esattezza sia la posizione che la velocità della particella (no traiettoria)

In particolare Heisemberg derivò l'omonimo principio di indeterminazione secondo il quale il prodotto dell'incertezza sulla posizione e di quella sulla quantità di moto (massa x velocità) di una particella è maggiore o uguale alla costante di Planck divisa per 4

In cui x è l'incertezza sulla coordinata x della particella, vx quella sulla velocità nella direzione x e m la sua massa.

4π

h)v x)(m( x

Principio di indeterminazione di Heisenberg (1927)

Meccanica Quantistica ondulatoria

Schrödinger formulò nel 1926 una teoria nota come meccanica quantistica o meccanica ondulatoria che permette di descrivere matematicamente le proprietà ondulatorie delle particelle microscopiche ed in particolare dell'elettrone.In particolare la meccanica quantistica cambia il modo stesso di concepire il moto delle particelle che è basato sulla meccanica classica e sul concetto di traiettoria.

Invece di una traiettoria, Schrödinger associò all'elettrone una funzione detta funzione detta funzione d'onda (x,y,z) tale che il suo quadrato |(x,y,z)|2 dà la probabilità di trovare la particella nel punto dello spazio di coordinate (x,y,z).

Orbitali atomici e numeri quantici

In accordo con la meccanica quantistica ogni elettrone in un atomo è descritto da una funzione d'onda (x,y,z) che dà la probabilità di trovare l'elettrone nei vari punti nello spazio.

Una funzione d'onda di un elettrone in un atomo è chiamata orbitale atomico e può essere descritto qualitativamente come la regione dello spazio attorno al nucleo dove è maggiore la probabilità di trovare l'elettrone.

(x,y,z)(x,y,z) èè una funzione d’onda che descrive la particella, una funzione d’onda che descrive la particella, ma ma in séin sé non ha un significato fisico, non ha un significato fisico, èè solo un artificio solo un artificio matematico.matematico.

Numeri quantici

L’equazione di Schroedinger per l’atomo di idrogeno è risolvibile esattamente. Le soluzioni includono tre parametri detti numeri quantici.

a) Numero quantico principale n. Può assumere tutti i valori interi positivi da 1 a ∞;

b) Numero quantico secondario o momento orbitale l. Per ogni valore di n può assumere tutti i valori interi positivi, da 0 fino a n – 1;

c) Numero quantico magnetico ml. Per ogni valore di l può assumere tutti i valori interi, positivi e negativi, zero compreso, compresi tra –l e +l.

Ogni funzione , definita da una terna di valori di n, l e ml è chiamata funzione orbitale o più semplicemente orbitale.

A ciascun orbitale viene attribuito convenzionalmente un simbolo costituito da un numero pari a n, una lettera dipendente da l (s, p, d, f….) e un pedice dipendente da ml.

In realtà la descrizione esauriente di un elettrone di un atomo richiede l’uso di un quarto numero quantico, il numero quantico di spin, ms che può assumere i valori ± 1/2.

Stati degeneri

Numeri quantici e Orbitali

Tavola periodica

Effetto Zeeman: Campo Magnetico

• In presenza di un campo magnetico (che definisce una direzione spaziale preferenziale) l’energia orbitale dipende da B e dal numero quantico ml

ml +1

0 -1

0

cmeB eπ4+

€

−eB 4πmec

em

eB

π

4=

Energie di Ionizzazione

Interpretazione degli Spettri Stellari

Per comprendere gli spettri che osserviamo nelle stelle, occorre quindi sapere:-Quali sono gli orbitali in cui è più probabile trovare un’elettrone-Qual’è la percentuale di atomi nei diffrerenti stati di ionizzazione

Per rispondere a queste domande dobbiamo far ricorso alla Meccanica Statistica. Un gas è composto da un numero enorme di particelle (atomi, ioni, protoni, elettroni, etc) e quindi è impossibile studiare ogni singola particella, ma è possibile studiare statisticamentelo stato del gas attraverso grandezze ben definite quali temperatura, pressione, densità.

Supponiamo di aver un gas in equilibrio termodinamico alla temperatura T. La distribuzione delle velocità delle particelle del gas (e quindi dell’energia cinetica delle particelle) è quella di Maxwell-Boltzmann.

Interpretazione degli Spettri Stellari

Equazione di Boltzmann

Gli atomi del gas, che hanno una distribuzione di velocità di Maxwell-Boltzmann, urtano tra di loro e quindi acquistano o perdono energia e quindi gli elettroni acquistano una ben definitaDistribuzione tra gli orbitali. Se A e B sono due diversi insiemi di numeri quantici, il rapportotra le probabilità ti trovare il sistema nello stato B e quella di trovarlo nello stato B è data da:

€

P B( )P(A)

=gBe

−EB /KT

gAe−EB /KT =

gB

gA

e−(EB −EA ) /KT

Dove gA e gB sono dei pesi statistici che tengono conto della degenerazione degli stati. Poichèle atmosfere delle stelle contengono un numero altissimo di atomi, il rapporto tral le probabilitàè uguale al rapporto tra il numero di particelle nello stato A e B:

€

N B( )N(A)

=gBe

−EB /KT

gAe−EB /KT =

gB

gA

e−(EB −EA ) /KT

Interpretazione degli Spettri Stellari

Equazione di Saha

In condizioni di equilbrio: numero delle ionizzazioni/s = Numero di ricombinazioni/s

Per un gas ideale (dominato dalle collisioni):

€

N i+1

N i

=2kTZ i+1

PeZi

2πmekT

h2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟3 / 2

e−χ i / kT

con

Z = g jj=1

∞

∑ e−(E j −E1 ) / kT Funzione di Partizione

Interpretazione degli Spettri Stellari

Combinando l’equazione di Boltzman e di Saha si possono interpretare gli spettri stellari

Modelli di atmosfere stellari

Lo spettro si forma in una piccola regioneEsterne della stella

http://www.as.utexas.edu/~chris/moog.html

Cammino libero medio

• Se abbiamo un gas avente densità n (#particelle/volume)

02a

( )202aπσ =•Sezione d’urto :

•Cammino libero medio: σn

l1

=

Opacità

€

κλρ =σ λn

κ λ =σ λ

μmH

• L’opacità (κ) è la sezione d’urto per unità di massa (m2/kg) di un materiale relativamente all’assorbimento di fotoni.

=peso molecolare medio.

€

κλρds = −dIλIλ

€

Iλ ,0

€

ds

€

Iλ

seII ρκλλ

λ−= ,

Profondità ottica

• La profondità ottica è una grandezza adimensionale che esprime la quantità di radiazione assorbita lungo un dato percorso.

€

dτ = −κ λρds = ds / l

• quindi:

€

τ λ =τ λ, f − τ λ ,0

= − κ λρds0

s

∫€

l = cammino libero medio

λλ τλ

ρκλλ

−− == eIeII s0,0,

• La profondità ottica si può pensare come il numero di cammini liberi medi percorsi da un fotone prima di essere assorbito.

€

τ λ

€

s€

τ λ =0

Coefficiente di emissione

dsjdI ρλλ =

• Il coefficiente di emissione è l’opposto dell’opacità:

• Così in generale si ha:

dsjdsIdI ρρκ λλλλ +−=

• E la sua unità di misura è W/m/sr/kg

€

Iλ ,0

€

ds

€

Iλ

Trasporto radiativo e funzione sorgente

• Funzione Sorgente Wm-3sr-1

€

−1

κ λρ

dIλds

=dIλdτ λ

= Iλ −jλκ λ

= Iλ − Sλ

λ

λλ κ

jS =

Temendo conto della definizione di profondità ottica

• Per un sistema in equilibrio termodinamico (es. Corpo Nero):

λλλ

λ

BISds

dI

==

= 0

∫ −− +=0,

0,

0

0,)0(λ

λλ

τ

λτ

λτ

λλ τdeSeII

La soluzione generale è

Sorgenti di Opacità

Modelli di atmosfere stellari

Lo spettro si forma in una piccola regioneEsterne della stella

http://www.as.utexas.edu/~chris/moog.html

Sommario

• Dallo spettro di una stella si può ricavare:1. Composizione Chimica2. Distanza3. Temperatura efficace4. Velocità radiale5. Campo Magnetico

Parallasse SpettroscopicaDallo spettro si puòottenere la distanza

€

m − M = log(d(pc)) − 5

Effetto Doppler: velocità radiale

€

z =λ oss − λ lab

λ lab

=Δλ

λ lab

vr

c≈ z se z <<1

I Legge di Keplero:

I pianeti descrivono intorno al Sole delle orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Con questa legge cade il principio della circolarità dei moti planetari. Inoltre le orbite descritte dai pianeti acquistano identità fisica rispetto alle circonferenze tolemaiche, enti puramente geometrici.

Massa delle Stelle: Leggi di Keplero

II Legge di Keplero:

Le aree descritte dal raggio vettore di ciascun pianeta sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle; ossia, il raggio vettore di un pianeta descrive aree uguali in tempi uguali Come conseguenza un pianeta si muove più velocemente quando è più vicino al Sole ( perielio ) e più lentamente quando è più lontano (afelio). Questa legge segna la caduta del principio della uniformità dei moti planetari.

Massa delle stelle: Leggi di KepleroIII Legge di Keplero:

I quadrati dei tempi di rivoluzione dei pianeti intorno al Sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle rispettive orbite. Ne segue che la velocità media di un pianeta sulla propria orbita è tanto minore quanto più esso è lontano dal Sole.

La terza legge di Keplero viene precisata da Newton nella forma

con d che rappresenta il semiasse maggiore dell'orbita e la costante K = 4·π2/G, assumendo con m1 la massa di un pianeta e con m2 quella del Sole.

Stelle Binarie• 85% delle stelle della galassia si trovano in sistemi binari o

multipli

• Alcune binarie sono così vicine che sono a contatto

Binarie Visuali: Misura della massa• La massa di entrambe le stelle si può misurare se:

1. Entrambe le stelle sono visibili2. Hanno una velocità orbitale abbastanza alta da poterle seguire per un buon tratto della

oro orbita3. La distanza è nota (es. parallasse)4. Il piano orbitale è perpendicolare alla linea di vista

1

2

1

2

2

1

a

a

r

r

m

m==

( )21

322 4

mmG

aP

+=

π

€

a = a1 + a2

Binarie Visuali

• In generale il piano orbitale non giace sul piano del cielo

i

True

maj

or a

xis=

2a

2acosi

( )

33

2

2

2

32

2

32

21

cos

4

4

4

απ

απ

π

′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=

=+

i

R

GP

GP

R

GP

amm

Binarie Spettroscopiche (BS)

Linee di assorbimento di entrambe le stelle sono visibili

€

z =λ obs − λ rest

λ rest

=Δλ

λ rest

vr

c≈ z se z <<1

Binarie ad eclisse

Masse Stellari5.2ML ∝

5ML ∝

M=30MSun

M=MSun

M=0.2MSun