integrali_multipli

7/30/2019 integrali_multipli

1/17

Esercizi su integrali multipli

Calcolare lintegrale doppio

A

dydxxy

dove ( ) 22 20,20:, xxyxRyxA =

Soluzione

Anche se non occorre per la risoluzione dellesercizio, disegniamo il dominio A

Impostiamo lintegrale doppio

=

2

0

2

0

2

dxdyxydydxxyxx

A

risolviamo lintegrale interno

( ) =

=

==

20

22

2

22

2

0

22

0

2

0

222

xxxyxdyyxdyxy

xx

xxxx

2

44

2

44 543432 xxxxxxx

+=

+=

sostituiamo nellintegrale esterno e risolviamo lintegrale

( ) =

+=+=

+

2

0

6542

0

543

2

0

543

65

4

4

4

2

144

2

1

2

44 xxxdxxxxdx

xxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

+=

++=

6

64

5

128

4

64

2

1

6

0

5

04

4

04

6

64

5

324

4

164

2

1

15

8

60

32

60

320768480

6

32

5

64

4

32==

+=+=

ESERCIZI SVOLTI SU INTEGRALI MULTIPLI - www.riccardogalletti.com/appunti_gratis 1


2/17

-----------------

Si calcolino 1 seguenti integrali doppi con due metodi, considerando il dominio di integrazione prima

normale rispetto allasse , poi normale rispetto allasse :

A. A dydxx

B.( )( ) ++

B

dydxyx

y211

soluzione

Primo integrale con dominio normale rispetto a x

Linsieme A formato da tutti e soli i punti che hanno lascissa compresa tra 0 e 1. Per quantoriguarda lordinata, prendiamo lequazione cartesiana in forma implicita della circonferenza e lacerchiamo.

122

=+ yx 22

1 xy = 2

1 xy =

il punto dordinata massima sar21 xy = , mentre quello dordinata minima 21 xy =

allora linsieme pu essere scritto con la seguente definizione



3/17

( )

= 222 11,10:, xyxxRyxA

passiamo allintegrazione

=

1

0

1

1

2

2

dxdyxdydxxx

xA

svolgiamo lintegrale interno

[ ] [ ] 22211

1

1

12112

2

2

2

xxxxxyxdyxx

x

x

x

=+==

poi lintegrale esterno che ci da il risultato

( ) ( ) ( )3

201

3

211

3

21

3

212 2

3

2

31

0

2

32

1

0

2 =

+=

= xdxxx

Primo integrale con dominio normale rispetto a y

Linsieme A , in questo caso, formato da tutti e soli i punti che hanno lordinata compresa tra 1 e 1,cerchiamo lascissa passando come in precedenza per lequazione implicita della circonferenza.

122 =+ yx 22 1 yx = 21 yx = questa volta scegliamo direttamente il segno positivo perch, come si vede in figura, non appartengono a

dei punti con ascissa negativa.Definiamo linsieme

( )

= 22 10,11:, yxyRyxA

impostiamo lintegrale doppio

=

1

1

1

0

2

dydxxdydxx

y

A

risolviamo prima quello interno

2

1

2

21

0

21

0

22

yxdxx

yy

=

=

sostituiamo

=

=

+=

==

3

22

2

1

3

11

3

11

2

1

32

11

2

1

2

11

1

31

1

2

1

1

2 yydyydy

y

3

2

3

11 ==

Secondo integrale con dominio normale rispetto a x

Per quanto riguarda il dominio B , prima di tutto vediamo che fanno parte d questinsieme tutti e soli ipunti che hanno ascissa compresa tra 0 e 1, mentre i punti hanno ordinata massima 1 e si trovano tutti al

disopra di xy = . Quindi possiamo definire

( )

= 1,10:, 2 yxxRyxB

impostiamo al solito lintegrale

( )( ) ( )( )

++=

++

1

0

1

22 1111dxdy

yx

ydydx

yx

y

xB

risolviamo per primo lintegrale interno



4/17

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

++=

++=

++

1

2

1

2

1

2 1

2

12

1

11

1

11 xxx dyy

y

xdyy

y

xdyyx

y

( )( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )

++=++

+=+

+=

xxx

xy

xx

1

2ln

12

11ln11ln

12

11ln

12

1 12

andiamo a sostituire e risolviamo quello esterno

( ) ( )=

++=

++ 1

0

1

01

2ln

1

1

2

1

1

2ln

12

1dx

xxdx

xx

( ) ( ) =

+

++

++=

1

0

1

01

2

2

11ln

2

1

1

2ln1ln

2

1dx

xx

xx

xx

facciamo una piccola digressione

( ) ( ) ( ) =

++

++=

++

01

2ln01ln

11

2ln11ln

1

2ln1ln

1

0x

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 02ln1ln1ln2ln1

2ln1ln

2

2ln2ln ==

=

anche per il fatto che ( ) 01ln = allora tornando al nostro integrale

( )( )

( )( )

=+

+=

+

++=

1

0

1

0

21

1ln

2

1

1

2

2

11ln

2

1dx

x

xdx

x

xx

( ) ( )( )( )( )

=

+=++=

1

0

21

02

1ln

2

11ln1ln

2

1 xxdx

( )( ) ( )( ) ( )( )4

2ln

2

1ln

2

2ln

2

1222

=

=

Secondo integrale con dominio normale rispetto a y

Consideriamo ora il dominio B normale rispetto a y . Fanno parte dellinsieme tutti e soli i punti che

hanno ordinata compresa tra 0 e 1, ascissa compresa tra 0 e 2y , quindi il nostro insieme

( )

=

22 0,10:, yxyRyxB

impostiamo il calcolo

( )( ) ( )( )

++=

++

1

0 0

22

2

1111dydx

yx

ydydx

yx

yy

B

al solito svolgiamo lintegrale interno

( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

2

22

02

0

2

0

21ln

11

1

111

yyy

xy

ydx

xy

ydx

yx

y+

+=

++=

++

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]=+++=++= 01ln1ln11ln12

202

2

yy

y

xy

y y

( )( )2

2

1

1ln

y

yy

+

+=

e andiamo a sostituire per svolgere quello esterno



5/17

( )( ) ( )( ) =+ +=

++ 1

0

2

21

0 0

2 11ln

11

2

dyyyydydx

yxy

y

( )( )

( )( ) =+

+=+

+=

1

0

2

2

1

0

2

21ln

1

2

2

11ln

1dyy

y

ydyy

y

y

( )( )

( ) ( )=++=

++=

1

0

22

1

0

2

2 1ln1ln2

1

1

21ln

2

1ydydy

y

yy

( )( ) ( )( ) ( )( )4

2ln

2

11ln

2

1

2

1ln

2

122

1

0

22

=

+=

+=

y



6/17

---------------------


[ ]T

dydxy2exp

dove T il triangolo chiuso del piano xy di vertici nei punti di coordinate ( )0,0 , ( )1,0 , ( )1,2 .

Soluzione

Disegniamo il triangolo nel piano cartesiano

Il triangolo dominio rappresentato pu essere considerato normale rispetto a entrambi gli assi coordinati,

lunico lato del triangolo che varia rispetto a entrambi gli assi coordinati quello che congiunge il vertice

( )0,0col vertice

( )1,2. Il lato in questione si trova sulla retta di equazione

02 = yx

normale rispetto a x

definiamo linsieme come normale rispetto a x , quindi esplicitiamo la retta rispetto a y :

2

xy =

( )

= 12

,20:, 2 yx

xRyxT

applichiamo le formule di riduzione

[ ] [ ]

=

2

0

1

2

22 expexp dxdyydydxyxT

calcoliamo lintegrale interno

[ ] =1

2

2expx

dyy

e in questo modo ci blocchiamo per mancanza di una funzione conosciuta che faccia da primitiva a quella

integranda.

normale rispetto a yprima di tutto esplicitiamo la retta in modo opposto

yx 2= in questo modo linsieme

( ) yxyRyxT 20,10:, 2 =



7/17

impostiamo di nuovo il calcolo

[ ] [ ]

=

1

0

2

0

22 expexp dydxydydxy

y

T


[ ] [ ] [ ] [ ]22022

0

2 exp2expexp yyxydxyy

y

==

sostituiamo e andiamo a calcolare lintegrale esterno

[ ] [ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ][ ] 10exp1expexpexpexp2 1021

0

22

1

0

2 ==== eyydydyyy



8/17

------------------------


( ) S

dydxyx

dove S il semicerchio di centro lorigine, raggio r, contenuto nel semipiano delle y positive.

Soluzione

Disegniamo dapprima linsieme

Primo metodo

Consideriamo linsieme normale rispetto allasse .I punti che fanno parte dellinsieme sono tutti e soli quelli che hanno le ascisse comprese tra r e r.Mentre ci ricaviamo lordinata dallequazione implicita della circonferenza.

ryx =+ 22 il luogo dei punti che hanno distanza dallorigine uguale a r, esplicitando rispetto a y troviamo

222 ryx =+ 222 xry = 22 xry =

ovviamente prendiamo in considerazione solo la funzione22

xry = .possiamo definire linsieme

( ) 222 0,:, xryrxrRyxS =


( ) ( )

=

r

r

xr

S

dxdyyxdydxyx

22

0


( ) [ ] =

===

22

22

2222222222

0

2

0

000002

1

xr

xrxrxrxrxrxr

yyxdyydyxdyydyxdyyx

[ ]2222

2222

2222

0

2

0

22

22 xrxrx

xrxrx

yyx

xr

xr+=

=

sostituiamo e risolviamo lintegrale esterno

( )

+=+r

r

r

r

r

r

r

r

dxx

dxr

dxxrxdxxrxrx22

22222222

risolvendo singolarmente i tre integrali



9/17

( ) ( ) ( )( )0333

2

3

222

3

222

3

22

22

=

=

=

rrrrxr

dxxrx

r

r

r

r

[ ] ( )[ ] 32222

221

22rrr

rx

rdx

rdx

r rr

r

r

r

r

====

33332

6

2

6662r

rrxdx

xr

r

r

r

=

+=

=

rimettendo insieme

3333

3

2

6

4

6

2rrrr ==+

secondo metodo

proviamo a cambiare linsieme in coordinate polari.

Linsieme formato da tutti i punti che hanno distanza dal centro compresa tra 0 e r, langolo polare

compreso tra 0 e .

Definiamo unapplicazione22*: RSRS , dove *S il semicerchio in coordinate polari.,

che a ogni coppia ( ), associa un punto ( )yx, del semicerchio in coordinate cartesiane

( )( )( )

( )( )

=

=

sen

cos

,

,,

2

1

sappiamo che vale luguaglianza( ) ( ) =

*

21,,SS

ddJfdydxyxf

quindi cerchiamo lo Jacobiano

( ) ( )( ) ( )

=

=

cossen

sencos

22

11

J

ne cerchiamo il determinante

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )=+==

22

sencossensencoscosJ ( ) ( )( ) =+= 22 sencos


( ) ( ) ( )

=

0 0

21 sencos,*

ddddJf

r

S


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =

==

rrr

dd

0

3

0

2

03

sencossencossencos

( ) ( )( ) 3sencos

3r

=

sostituiamo nellintegrale esterno e risolviamo

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =

==

00

3

0

3

0

3

sencos3

sencos33

sencos ddr

dr

dr



10/17

( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) =+== 0coscos0sensen3

cossen3

3

00

3

rr

[ ] ( )[ ]( ) [ ]( ) 333

3

211

31100

3r

rr=+=+=

i conti tornano.



11/17

------------------


( ) +X

dydxybxa 2

ove a , b R e ( ) [ ] 1,1,1, 2 = yxRyxX

Soluzione

Disegniamo il dominio X

Impostiamo il calcolo piuttosto semplice

( ) ( )

+=+

1

1

1

22

2

dxdyybxadydxybxaxX


( ) =+=+=+ 11

2

11

2

1

2

22222 xxxxx

dyybdyxadyybdyxadyybxa

[ ] [ ] =

+=

+=

22

11

2

422

12

12

2

2

xbxxa

ybyxa

x

x

42442

2222x

baxa

bx

bbxaxa

++=+=

sostituiamo nellintegrale esterno e integriamo

=

++=

++

1

1

4

1

1

2

1

1

1

1

42

2222dxx

badxxadx

bdxx

baxa

b

[ ] =

+

+=

++=

1

1

51

1

31

1

1

1

4

1

1

2

1

152322

12

xba

xax

bdxx

badxxadx

b

( )[ ] =

++=

+

+=

252

32

22

51

51

231

3111

2baabbaab

bab

aab5

4

15

4

55

2

3

2+=+=



12/17

----------------------


( )A

dydxyxcos

ove

( ) [ ]{ }210:1,0, xyRyxA =

Soluzione

Disegniamo linsieme che abbiamo definito

Il dominio pu essere considerato normale rispetto a entrambi gli assi coordinati

Normale rispetto a x

Impostiamo il calcolo considerando il dominio normale rispetto allasse delle ascisse

( ) ( )

=

1

0

1

0

2

coscos dxdyyxdydxyx

x

A


( ) ( ) ( )[ ] ( )2101

0

1

0

1sensencoscos2

22

xxyxdyyxdyyxx

xx

===

sostituiamo il risultato e risolviamo lintegrale esterno

( ) ( ) ( ) ( )=== 1

0

22

1

0

2

1

0

2 11sen2

11sen2

2

11sen xdxdxxxdxxx

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )2

1cos

2

101cos11cos

2

11cos

2

1 10

2 === x

Normale rispetto a y

Invertiamo dapprima la parabola21 xy = 21 xy = yx = 12 yx = 1

ovviamente prendiamo in considerazione la funzione col segno positivo perch i punti che appartengono

al nostro insieme hanno tutti ascissa positiva.

( ) ( )

=

1

0

1

0

coscos dydxyxdydxyx

y

A




13/17

( ) ( ) ( ) ( ) =

=

==

21

cos2

coscoscos

1

0

21

0

1

0

yy

xydxxydxyx

yyy

( ) ( )2

cos

2

cos yy

y=

andiamo a sostituire in quello esterno

( ) ( ) ( ) ( )==

1

0

1

0

1

02

cos

2

cos

2

cos

2

cosdy

yydy

ydy

yy

y

( ) ( ) ( )=+

=

1

0

1

0

1

0 2

sen

2

sen

2

sendy

yyy

y

( ) ( ) ( )=

=

1

0

1

0

1

0 2

cos

2

sen

2

sen yyy

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1cos

2

1

2

0cos

2

1cos

2

1sen

2

1sen=+=

e i conti tornano.



14/17

-----------------

Calcolare gli integrali doppi.

(a)

A

dydxxy

(b)

{ }

0,0 yxA

dydxxy

dove A il dominio delimitato dallasteroide di equazioni parametriche ( )3cos= rx ,

( )

3

sen=

ry , con [ ]

2,0

.

Soluzione

(a)

sappiamo, per le formule di Gauss-Green che

( )( )

+

=AA

dyyxfdydxx

yxf,

,oppure

( )( )

+

=AA

dxyxfdydxy

yxf,

,

prima di tutto dobbiamo trovare la funzione ( )yxf , , quindi dobbiamo integrare y rispetto a , sedecidiamo di utilizzare la prima di Gauss-Green, rispetto a y se decidiamo di utilizzare la seconda.

Integriamo rispetto a x

2

2yxdxxy =

allora per la prima di Gauss-Green applicata al nostro caso abbiamo

+

=AA

dyyx

dydxxy2

2

sostituiamo le equazioni parametriche della frontiera e svolgiamo lintegrale

( ) ( ) ( )( )== +

2

0

33622

sensencos2

1

2rdrrdy

yx

A

( ) ( ) ( ) ( ) ==

2

0

2362 cossen3sencos21 drrr

( ) ( ) ( ) ( ) ==

2

0

2274

sensensencos2

3d

r

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ==

2

0

2274

sencos1cos1cos2

3d

r

( ) ( )( ) ( ) ==

2

0

2274

sencos1cos2

3d

r

( ) ( ) ( )( ) ( ) =+=

2

0

427

4

sencoscos21cos2

3 dr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+=

2

0

1142

0

94

2

0

74

sencos2

3sencos3sencos

2

3d

rdrd

r



15/17

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=+=

2

0

1142

0

94

2

0

74

coscos2

3coscos3coscos2

3 drdrdr

( ) ( ) ( )=

+

=

2

0

1242

0

104

2

0

84

12

cos

2

3

10

cos3

8

cos

2

3 rr

r

[ ] [ ] [ ] 002

3030

2

3 444

=+=r

rr

ora passiamo allaltro integrale

(b)

per ragioni evidenti lunica cosa che cambia nel calcolo precedente sono gli estremi dintegrazione

{ } { }

( ) ( ) ( )( )=== +

2

0

3362

0,0

2

0,0

sensencos2

1

2

rdrrdyyx

dydxxyyxAyxA

( ) ( ) ( )=

+

=

2

0

1242

0

104

2

0

84

12

cos

2

3

10

cos3

8

cos

2

3

rr

r

=

+

=

12

10

2

3

10

103

8

10

2

3 444 r

rr

44444444

80

1

240

307245

24

3

10

3

16

3

24

3

10

3

16

3rr

rrrrrr

=

+

=+=+=



16/17

------------------------

Calcolare larea della regione A del piano x, delimitata dalla retta di equazione y = e dalla curva di equazioni parametriche

( )

+

+=

tt

ttt

4

2

[ ]1,0t

Soluzione

Controlliamo gli estremi della curva

( ) ( )0,000

000 =

+

+= , cio la curva ha inizio nellorigine degli assi e dato che

( ) ( )2,2

11

111 =

+

+= , finisce nel punto

( )2,2 , questo vuol dire che la porzione di piano di cui

dobbiamo calcolare larea compresa tra la curva in questione e il segmento di retta

( )

=

t

tts [ ]2,0t

prima di calcolare larea con le formule di Gauss-Green impostiamo il calcolo

tttt +=+ 42 per sapere se per qualche valore tra 0 e 1 la retta ha scissa e ordinata uguali e quindi interseca labisettrice.

tttt +=+ 24 024 = tt ( ) 0122 =tt si vede facilmente che tra 0 e 1 la curva non passa pi per la bisettrice. Possiamo impostare il calcolo su

tutta la frontiera.Ora vediamo se la curva si trova sopra o sotto la retta. Perch se si trova sotto, al crescere di t, la curva viene percorsa in senso antiorario (quindi positivo), se si trova sopra il contrario.

Diamo un valore intermedio a t,

=

+

+=

16

9,

4

3

2

1

16

12

1

4

1

2

1 , mentre la bisettrice, per ovvi motivi,

per4

3=x ha

4

3=y , dato che

yys > , cio per una stessa ascissa, lordinata della retta maggiore di

quella della curva cio la curva si trova completamente al di sotto della retta nellintervallo studiato.Allora possiamo impostare il calcolo

( ) ( ) ( ) =++== 2

0

1

0

42

2

0

1

0

dttttdttdyxdyxAm ss

( )( ) ( ) =+++=++= 2

0

1

0

245

2

0

1

0

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2

0

21

0

21

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31

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60

30

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2

1

3

1

5

4

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22

2

1

3

1

5

4

6

4

10

3

30

9

30

60

30

69 ===

Segue il grafico



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GRAFICO


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