INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Centro de Innovaci on y ... · topología de mecanismos planos para...

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Centro de Innovacion y Desarrollo Tecnologico en Computo

(CIDETEC)

Sıntesis optima de la topologıa de mecanismos

planos para seguimiento de trayectoria.

TESIS:

QUE PARA OBTENER EL GRADO DEDOCTOR EN INGENIERIA DE SISTEMAS ROBOTICOS Y MECATRONICOS

Alumno:Eric Santiago Valentın

Directores de tesis:Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores

Dr. Efren Mezura Montes

Mexico D.F., 2018

INSTITUTO PO LITE CNICO NACIO]VAL

sECRETAni.q ng INVESTIGAcTów Y PqSGRADo

CARTA CESIO]V DE DERECHOS

En la Ciudad de México el día 19 del mes de Diciembre del año 2018, el (la) que suscribe

Eric Santiago Valentín, alumno (a) del Programa de Doctorado en Ingeniería de Sistemas

Robóticos y Mecatrónicos con número de registro A160883, adscrito al Centro de

Innovación y Desarrollo Tecnológico en Cómputo, manifiesta que es autor (a) intelectual

del presente trabajo de Tesis bajo la dirección de Dr. Edgar Alfredo Flores Portilla y del Dr.

Efrén Mezura Montes cede los derechos del trabajo intitulado Síntesis óptima de la

topología de mecanismos planos para seguimiento de trayectoria, al Instituto Politécnico

Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráf,rcas o datos del

trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido

escribiendo a las siguientes direcciones [email protected], [email protected],

emezura@)uv.mx. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento

correspondiente y citar la fuente del mismo.

Eric Santiago Valentín

3

Dedicado a:Esta tesis se la dedico a mi familia que me impulsaron alcanzar una mas de mis

metas y a Dios por darme la salud y fuerza para lograrlo.

III

Agradecimientos

A mis Abuelos, Tıos, Primos por confiar en mı, por su apoyo incondicional y susconsejos.

A mis Padres Sr. Genaro Abraham Santiago Paz y Sra. Isabel Valentın Cruz porconfiar en mı, y su apoyo incondicional y por su amor.

A mis hermanos Erendira, Genaro y Paulina, por quererme mucho y por su apoyo.

Al Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores por brindarme la oportunidad de trabajarcon el, por su apoyo, por su direccion, por compartir sus conocimientos y especial-mente por brindarme su amistad y consejos.

Al Dr. Efren Mezura Montes por sus consejos y motivacion.

A la Dra. Paola Andrea Nino Suarez por su motivacion y amistad.

A los Doctores Maria Barbara Calva Yanez, Eduardo Vega Alvarado, Jorge Ale-xander Aponte Rodrıguez, por su amistad y apoyo.

A mis companeros del CIDETEC Martin, Noemi, Miguel Angel, Valentin, Edgar,Mario, Joel, Vladimir por su amistad y aliento.

A todos mis amigos que siempre estuvieron pendientes de que cumpliera con obli-gaciones de estudiante, especialmente a Irwing, Diego,Juan Carlos, Irandis, Eduardo,Itzel, Delia, Fernando, Jorge y Liliana gracias por todo.

A los maestros Edgar Alfredo Martınez de la Lanza y Omar Castelan Villagranpor confiar en mı.

A todos mis maestros y personal del CIDETEC.

Al CONACYT por la beca otorgada para la realizacion de los estudios del docto-rado. A la secretaria de Investigacion y Posgrado del Instituto Politecnico Nacionalpor las becas BEIFI otorgadas.

IV

Resumen

El proposito de esta investigacion es el desarrollo de una metodologıa para eldiseno de mecanismos para el seguimiento de trayectorias predeterminadas, en don-de se manejen de manera simultanea tanto la seleccion del tipo (topologıa) como lasıntesis dimensional en un esquema de diseno concurrente. Para ello se implementouna representacion matricial de mecanismos planos a partir de la teorıa de grafos,la cual contiene la informacion necesaria del mecanismo para su reproduccion. Larepresentacion tambien permite el analisis y manejo de los mecanismos medianteel planteamiento de problemas de optimizacion, que en este caso consisten en mi-nimizar el error en el seguimiento de la trayectoria preestablecida. La metodologıapropuesta produce tanto el tipo de mecanismo como sus dimensiones apropiadas pa-ra el seguimiento de cualquier trayectoria requerida, siempre y cuando esta se hayadefinido por un conjunto de puntos de precision.

Los problemas de optimizacion generados se resuelven utilizando el algoritmometaheurıstico de Evolucion Diferencial, en una version modificada para manejarrestricciones y variables mixtas. Los individuos en el algoritmo corresponden a losdiferentes mecanismos siendo optimizados, formulados mediante la representacionmatricial propuesta; en ellos es necesario determinar el numero de barras que tendrael mecanismo y el tipo de juntas entre ellas, usando variables enteras, mientras quelas dimensiones se representan por variables continuas.

El diseno en mecatronica puede incluir tantos elementos como areas conformana dicha disciplina: mecanica, electronica, computacion, control, entre otras. En esesentido, el metodo desarrollado en este trabajo realiza diseno concurrente, el cual asu vez involucra herramientas de inteligencia artificial, por lo que dicho metodo esde naturaleza mecatronica.

V

Abstract

The purpose of this research is the development of a methodology for the designof planar mechanisms for the tracking of predetermined trajectories, where both theselection of the type (topology) and the dimensional synthesis are handled simul-taneously in a concurrent design scheme. A matrix representation is implementedfrom the graph theory, containing all the mechanism information that is necessaryfor its reproduction. This representation is a tool for the analysis and handling ofmechanisms by means of optimization problems, that in this case correspond to theerror minimization in the tracking of the prestablished trajectory. The proposedmethodology generates both the mechanism type and its appropiate dimensions fortracking any required trajectory, if such trajectory has been previously defined by aset of precision points.

The optimization problems are solved by applying a metaheuristic algorithm,Differential Evolution, in a modified version to handle constraints and mixed va-riables. The individuals in the algorithm correspond to the different mechanismsbeing developed, formulated by the proposed matrix representation; for them, it isnecessary to determine the number of bars in the mechanism, as well as the type ofjoints between them by using integer variables, while the dimensions are representedas continuous values.

Mechatronic design includes as many elements as areas conforming that disci-pline: mechanics, electronics, computing, control, among others. In this sense, thedeveloped method carries out concurrent design, that in turn involves artificial in-teligence tools. For that reason, this method has a mechatronic nature.

VII

Indice general

Lista de figuras XI

Lista de tablas XIII

1. Introduccion 11.1. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Aporte de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Organizacion del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Marco teorico 92.1. Mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Sıntesis de tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2. Sıntesis de numero (topologica) . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3. Sıntesis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Teorıa de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1. Tipos de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Representacion de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3. Grafos equivalentes (isomorfos) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1. Funcion objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2. Variables de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3. Restricciones de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Metodos de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1. Metaheurısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2. Evolucion diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Representacion matricial de mecanismos planos 253.1. Metodologıa de TSAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Medologıa Santiago-Portilla(MSP) representacion matricial de meca-

nismo planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.1. Identificacion de tipo de uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2. Identificacion de las barras de tierra, entrada/s y salida . . . . 293.2.3. Dimensiones de las barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

IX

3.2.4. Dimensiones del punto acoplador . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.5. Localizacion del mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.6. Identificacion de tipo de eslabon . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.7. Descripcion de la representacion matricial . . . . . . . . . . . 343.2.8. Implementacion practica de la Metodologıa Santiago-Portilla 35

4. Metodologıa Santiago-Portilla-Mezura de diseno optimo de meca-nismos planos para seguimiento de trayectoria 394.1. Representacion topologica de mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Analisis cinematico de mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1. Cinematica del mecanismo de cuatro barras manivela-biela-balancın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.2. Cinematica del mecanismo manivela-biela-corredera . . . . . . 454.2.3. Cinematica del mecanismo manivela-corredera . . . . . . . . . 48

4.3. Restricciones de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.1. Restricciones de diseno asociadas con la cinematica . . . . . . 494.3.2. Restricciones de diseno asociadas con la topologıa . . . . . . . 50

4.4. Estrategia de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5. Casos de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5.1. Trayectoria de lınea recta (caso 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5.2. Trayectoria de la marcha (caso 2) . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5.3. Variable de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5.4. Planteamiento del problema de optimizacion . . . . . . . . . . 564.5.5. Complejidad computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5. Resultados y analisis 615.1. Implementacion computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3. Analisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6. Conclusiones 67

Anexos 69

A. Productividad 71

B. Simulaciones del caso de estudio 1 73

C. Simulaciones del caso de estudio 2 81

X

Indice de figuras

1.1. Metodologıas para la sıntesis de mecanismos planos . . . . . . . . . . 3

2.1. Eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Tipos de juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. Puentes Konisgberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Grafo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Tipos de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6. Grafo ponderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7. Grafo no dirigido y representacion matricial . . . . . . . . . . . . . . 142.8. Dıgrafo y representacion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9. Grafo no dirigido y representacion matricial de incidencia . . . . . . 152.10. Grafos isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.11. Representacion matricial de grafos isomorfoss . . . . . . . . . . . . . 162.12. Esquema general de un algoritmo bio-inspirado . . . . . . . . . . . . 202.13. Operador de mutacion del algoritmo de ED . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1. Representacion de mecanismos utilizando la metodologıa de Tsai. . . 263.2. Representacion de mecanismos planos utilizando la metodologıa de

Tsai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Representacion de mecanismos con matriz de adyacencia . . . . . . . 283.4. Identificacion de tipo de uniones en la matriz de adyacencia. . . . . . 303.5. Identificacion de la barra de tierra y entrada. . . . . . . . . . . . . . . 313.6. Identificacion de la barra de salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.7. Asignacion de dimensiones de los elementos. . . . . . . . . . . . . . . 323.8. Asignacion de disensiones del punto acoplador. . . . . . . . . . . . . . 323.9. Ubicacion en el espacio del mecanismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.10. Eslabon ternario con dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.11. Representacion matricial del mecanismo de seis barras tipo Watt. . . 343.12. Matriz general para la representacion de mecanismo planos generada

a partir de MSP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.13. Representacion matricial de un mecanismo de seis barras Watt I. . . . 37

4.1. Metodologıa Santiago-Portilla-Mezura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Proceso general de MSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3. Representacion de la configuracion del mecanismo utilizados . . . . . 424.4. Mecanismo de cuatro barras manivela biela balancin . . . . . . . . . . 434.5. Mecanismo de cuatro barras manivela biela corredera . . . . . . . . . 46

XI

4.6. Mecanismo de cuatro barras manivela corredera . . . . . . . . . . . . 484.7. Generacion de solucion aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.8. Evaluacion de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.9. Implementacion del algoritmo de optimizacion . . . . . . . . . . . . . 544.10. Variables de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1. Soluciones encontradas usando la metodologıa SPM, caso 1 . . . . . . 635.2. Soluciones encontradas realizando sıntesis dimensional caso 1 . . . . . 645.3. Comportamiento de los individuos factibles, caso 1 . . . . . . . . . . 655.4. Comportamiento de la funcion objetivo, caso 1 . . . . . . . . . . . . . 665.5. Solucione encontradas usando la metodologıa SPM caso 2 . . . . . . 66

XII

Indice de tablas

2.1. Parametros de ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Tipo de uniones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Funcion de barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1. Signo del radical y tipo de mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Parametros de ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1. Tabla de estadısticas caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2. Tabla de vector de variables de diseno de la mejor solucion, caso 1 . . 625.3. Tabla de estadısticas del metodo SPM, caso 2 . . . . . . . . . . . . . 65

B.1. Tabla de simulaciones manivela biela balancın caso 1, parte 1. . . . . 73B.2. Tabla de simulaciones manivela biela balancın caso 1, parte 2. . . . . 74B.3. Tabla de simulaciones manivela biela corredera caso 1, parte 1. . . . . 75B.4. Tabla de simulaciones manivela biela corredera caso 1, parte 2. . . . 76B.5. Tabla de simulaciones manivela corredera caso 1, parte 1. . . . . . . . 77B.6. Tabla de simulaciones manivela corredera caso 1, parte 2. . . . . . . 78B.7. Tabla de resultados obtenida utilizando el metodo SPM para el caso

1, parte 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79B.8. Tabla de resultados obtenida utilizando el metodo SPM para el caso

1, parte 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

C.1. Tabla de resultados obtenida utilizando el metodo SPM para el caso2, parte 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82



XIII

Capıtulo 1

Introduccion

El proceso de diseno es una serie de pasos que parte desde la concepcion de unproblema hasta la produccion del sistema que lo resuelva; cuando en dicho procesoel resultado es un mecanismo que satisfaga las necesidades planteadas, el ingenierode diseno requiere seleccionar el tipo de dicho mecanismo y determinar sus dimen-siones. Muchas veces la seleccion del tipo, se basa en la experiencia, y por ello enmuchos casos no se consideran algunas configuraciones, que pueden solucionar conmayor facilidad la tarea requerida.

En el contexto de los sistemas mecanicos, especialmente cuando son consideradoscomo sistemas de cuerpo rıgido, el ingeniero debe llevar a cabo un proceso para sudiseno en el cual se destacan tres etapas principales [1] :

1. Definicion del problema: en ella se establecen los requerimientos de funciona-bilidad, ası como de la topologıa del mecanismo en estudio; esto es, se debedefinir la funcionabilidad deseada, el comportamiento cinematico, la comple-jidad del mecanismo, los grados de libertad, las restricciones funcionales y elespacio de trabajo, y finalmente si el mecanismo es plano o espacial.

2. Sıntesis de topologıa: aquı deben definirse claramente el numero de cuerpos,el numero y tipo de articulaciones, la conectividad entre los elementos y lasarticulaciones, los elementos de referencia o tierra, ası como los elementosimpulsores del mecanismo.

3. Sıntesis dimensional del mecanismo resultante de las dos primeras etapas, estoes, se determinan las dimensiones para llevar a cabo el funcionamiento reque-rido.

Si bien el analisis basado en la simulacion y optimizacion de parametros se en-cuentra en los trabajos del estado del arte de los sistemas multi-cuerpo, la sıntesisde topologıa aun se considera como un proceso basado en la intuicion y experienciadel disenador. La seleccion adecuada de la topologıa de mecanismos ofrece mayoresalternativas de solucion para problemas de ingenierıa, en donde se requiere una es-tructura mecanica para cumplir una tarea especıfica [2]; sin embargo, dicha seleccionse realiza de manera empırica, a partir de la experiencia del ingeniero de diseno, lo

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que representa una vision particular o sesgada del producto a desarrollar. Por ello,la idea del diseno optimo de la topologıa de un mecanismo, es un problema abiertoen el marco del diseno asistido por computadora [3], que consiste en aplicar tecnicasde optimizacion desde la etapa temprana de dicha sıntesis topologica con el fin deencontrar nuevos candidatos de diseno y eliminar topologıas “inferiores” del meca-nismo para etapas de diseno posteriores.

Existen al menos dos enfoques identificados en la literatura para la sıntesis sis-tematica de tipo en mecanismos; ambos enfoques se muestran en la 1.1. El primerenfoque es el considerado como tradicional y consiste en crear catalogos de meca-nismos en donde se agrupan de acuerdo con su funcion. Ası, se parte como primerpaso de una geometrıa del mecanismo (topologıa) que depende en gran medida enla experiencia del ingeniero de diseno; como segundo paso se realiza la sıntesis di-mensional, por lo cual el proceso de diseno se desarrolla de manera secuencial, talcomo se observa en la Figura 1.1.A. El segundo enfoque se basa en una representa-cion abstracta de la topologıa, permitiendo de esta forma la aplicacion de algunosesquemas de busqueda automatizada para la enumeracion de las posibles cadenascinematicas basicas para el mecanismo en estudio. En trabajos recientes [2], [3] sepropone la integracion de una metodologıa de diseno, en la cual se realicen las sınte-sis topologica y dimensional de un mecanismo al mismo tiempo ( Figura 1.1.B) pararealizar una tarea requerida.

El presente trabajo se basa en el segundo enfoque y se propone llevar a cabo deforma simultanea la sıntesis de topologıa y la sıntesis dimensional de un mecanismoplano, con el proposito de encontrar el mecanismo optimo, considerando la tareageneral de seguimiento de trayectoria. Por lo que se requiere establecer un problemade optimizacion, el cual incluya una funcion discreta para la sıntesis del tipo y unafuncion continua real para la sıntesis dimensional del mecanismo en estudio. Estoes, se debe obtener el numero de elementos, uniones y tipo de las mismas; ası comodeterminar las dimensiones del mecanismo en una sola etapa del proceso de diseno.El problema tendrıa una funcion objetivo correspondiente a la topologıa del meca-nismo en estudio, definida en terminos de variables discretas, y otra funcion objetivoque ayude a determinar el tamano de los eslabones del mecanismo (variables conti-nuas) sin perder de vista el proposito final del sistema, que es el seguimiento de unatrayectoria preestablecida con el mınimo error posible.

Por otra parte, dado que los problemas resultantes al llevar a cabo el diseno deeste tipo de sistemas son complejos o del tipo duro, se propone la utilizacion deun algoritmo metaheurıstico para su solucion. En especial uno de los casos de es-tudio que se utilizara para llevar a cabo este trabajo, es un mecanismo plano paraseguimiento de trayectoria del tobillo, en el ciclo de la marcha humana; que puedaservir como base para sistemas de rehabilitacion. En medicina de rehabilitacion, unasesion de fisioterapia uiliza caminadoras, donde el paciente se sujeta a si mismo conun pasamano o con ayuda de un arnes, hidroterapias y herramientas roboticas, entreotros. En la era actual el uso de la robotica ha experimentado un desarrollo impor-tante y continua haciendolo, con herramientas que permiten estudiar: aprendizaje,

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Figura 1.1: Metodologıas para la sıntesis de mecanismos planos

la valoracion global numerica, ası mismo los distintos parametros de la fase de lamarcha y velocidad de la misma.

1.1. Estado del arte

La sıntesis topologica de mecanismos es un area de desarrollo reciente, dondela mayor parte de trabajos en la literatura estan enfocados al diseno estructural,desde el punto de vista de la ingenierıa civil. Entre los desarrollos relacionados conla sıntesis topologica de mecanismos destacan.

P. Papalambros [4] en 2002 realizo el diseno estructural de una bicicleta parasoportar un peso determinado, partiendo de cuatro funciones objetivo. Despuesde una serie de consideraciones el problema se transforma para manejar sola-mente dos funciones objetivo, una de control y la otra para diseno topologico.

K. Sedlac et al. [1] en 2005 presentaron la sıntesis topologica de un mecanismo

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plano de cuerpo rıgido para generar un movimiento de salida y una trayectoria.Para obtener la topologıa del mecanismo se hace el uso de la teorıa de gra-fos, determinando el numero y tipo de eslabones, numero y tipo de uniones,ası como la relacion que hay entre el eslabon de entrada y el de salida. Lasıntesis dimensional para el seguimiento de trayectoria se realiza a partir de lacinematica del mecanismo, utilizando un Algoritmo Genetico para su solucion.Se incluye la solucion de tres casos de estudio, en dos de los cuales se obtieneun error de posicion despreciable con respecto a la trayectoria deseada.

M. Grossard et al. en 2009 [5] desarrollaron el diseno optimo de un micro-mecanismo plano, realizando el diseno estructural mediante la topologıa demecanismos utilizando la herramienta de MATLAB Flexln, la cual trabajacon bloques.

E.A. Merchan-Cruz et. al. [6] 2011 disenan una protesis policentrica de rodillala cual se basa en un mecanismo de seis barras tipo Watt, realizo la sınte-sis dimensional del mecanismo propuesto como un problema de optimizacion,donde se requiere seguir la trayectoria de la rodilla durante un ciclo normal demarcha, la herramienta utilizada es un algoritmo genetico.

En [2], G. H. Yoon et al. (2012) presentaron una nueva metodologıa deno-minada constraint force design method, para realizar la sıntesis topologica ydimensional agregando restricciones de fuerza ligadas a la masa de los eslabo-nes. El objetivo de su trabajo es encontrar un mecanismo capaz de seguir unatrayectoria propuesta, planteando un problema de optimizacion multi-objetivoconvertido a mono-objetivo. Utilizando la teorıa de grafos para determinar elnumero de eslabones ası como determinar la dimension del mecanismo; ademasse aplica un Algoritmo Genetico para encontrar el numero barras. Los autoresmencionan que, si fuera posible descubrir topologıas optimas para trayectoriasoptimas, serıa mas facil satisfacer el seguimiento de trayectorias complejas;en [7] (2014) presentan con mayor detalle la metodologıa propuesta para lasıntesis topologica.

F. Yang et. al [8] en 2012 presentan una metodologıa con dos algoritmos paradetectar isomorfismo de grafos. En el primer algoritmo se aplican condicionesnecesarias para saber si existe isomorfismo, la cuales deben cumplir dos con-diciones: la primera referida a las matrices de incidencia de dos grafos, siendosus determinantes iguales, la segunda condicion debe tener el mismo numerode vertices y aristas en ambos grafos. El segundo algoritmo utiliza una ma-triz de adyacencia y se aplican condiciones de suficiencia, encontrando unacorrespondencia inicial (que tengan las mismas etiquetas y numero de ellas),posteriormente se hace un renombramiento a cada uno de los grafos para ver siexiste similitud y poder concluir si existe isomorfismos entre ellos. Los autoresconcluyen que su metodologıa es simple y eficiente para detectar isomorfismo.

Ortiz et. al. [9] (2013) presenta el algoritmo de Evolucion Diferencial sinparametros de control, aplicados a la sıntesis dimensional de mecanismos de

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cuatro y seis barras los cuales deben seguir diferentes trayectorias, los parame-tros del algoritmo son auto-adaptativos esto es, con la finalidad de evitar elestancamiento en mınimos locales, ademas se agrega un operador de muta-cion. La propuesta es aplicada para encontrar las dimensiones adecuadas decada uno de los mecanismos mencionados para seis diferentes trayectorias, elautor destaca que esta propuesta tiene mejoras significativas comparadas conlas encontradas en la literatura.

H. Ding et. al.[10] en (2013) proponen una metodologıa para la sıntesis au-tomatica de cadenas cinematicas planas fraccionadas con dos y tres grados delibertad, con la finalidad de poder disenar robots hıbridos y robots con estruc-turas fraccionadas. Para lograr dicha sıntesis se utiliza teorıa de grafos pararepresentar los mecanismos, ademas se toma en cuenta que no se tenga iso-morfismo en las soluciones. Por otro lado, en las representaciones de cadenascinematicas solo toma en cuenta un tipo de union (revoluta). En su metodo-logıa solo se requiere ingresar el numero de barras y el numero de grados delibertad, como resultado entrega todas las posibles combinaciones de cadenascinematicas no fraccionadas.

E. Vega-Alvarado et. al. [11] en 2014, realizan la sıntesis dimensional de unmecanismo de cuatro barras para seguimiento de una trayectoria con seis pun-tos de precision, las cuales forman una lınea recta, el cual es planteado comoun problema de optimizacion mono-objetivo con restricciones, utilizando comoherramienta de solucion el algoritmo de Evolucion Diferencial.

H. Yan et. al. [12] en 2014 Proponen una mejora para el metodo de construc-cion sistematica de cadenas cinematicas generalizadas, que incluyen cadenascinematica y rıgida. Dicha mejora se basa en dos algoritmos denominados cut-links checking y Kuratowski, la representacion de los mecanismos se basa enuna matriz de adyacencia que es la union de los dos algoritmos. Dicha me-todologıa requiere el numero de barras y el numero de uniones permitidas,dando como resultado un atlas con el mismo numero de uniones y eslabonesproporcionados. Todas las soluciones son diferentes entre sı y cada una delas cadenas cinematicas puede tener diferentes combinaciones de eslabones loscuales pueden ser binarios, ternarios, cuaternarios, etc.

Y. Shoa et. al. [13] en 2016 realizan el diseno y sıntesis dimensional de unmecanismo de siete barras con dos grados de libertad con manivela deslizante,para rehabilitacion de marcha humana. los autores proponen un problemade optimizacion, la funcion objetivo es propuesta basada en los criterios yrestricciones de rendimiento cinematico, como metodo de solucion utilizan unalgoritmo genetico, que es aplicado a dos trayectorias de marcha. Los autoresdestacan que las generadas por el mecanismo coinciden con las deseadas y porlo tanto es viable la metodologıa.

A. Muller et. al.[14] en 2017 hacen mencion que en el proceso de diseno de me-canismos es importante tener en cuenta la movilidad, para lo que presentan unametodologıa que considera las restricciones cinematicas como esenciales para

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determinar la movilidad topologica y ası mismo considerar diferentes unionesentre los eslabones para mecanismos planos y espaciales. Esta metodologıase basa en la teorıa de grafos para generar las topologıas mediante un grafogenerico que permite hace una presentacion unica, en donde toma en cuentalos eslabones y multiples uniones entre ellos, determinando los grados de liber-tad mediando dos metodos de los cuales uno de ellos se basa en criterios dedimensionamiento.

C. Tian et. al. [15] en 2017 presentan una sıntesis estructural de manipuladoresparalelos con acoplamiento de sub-cadenas, en la cual se usa teorıa de grafosrelacionandolo con ecuaciones de Euler, mediante permutaciones se identificaisomorfismo en las soluciones. Ademas, se hace el proceso de fraccionamiento ysimplificacion de grafos para los manipuladores. Los autores utilizan la teorıagrafos para generar un atlas con diferentes topologıas y para verificar que noexista isomorfismo se utiliza matriz de adyacencia de cada grafo.

Calva-Yanez et. al. [16] en 2017 presentan un procedimiento para disenar unmecanismo de entrenamiento para rehabilitacion de la marcha humana paraninos con paralisis cerebral, en donde el dispositivo disenado es reconfigurablepara ninos de diferentes edades. Para lograr esto, se plantearon tres proble-mas de optimizacion, en los cuales se requiere encontrar las dimensiones delmecanismo de cuatro barras para seguir tres diferentes trayectorias. Dichosproblemas son resueltos con un algoritmo heurıstico denominado EvolucionDiferencial, ademas los autores realizan una comparacion con el algoritmo deprogramacion cuadratica secuencial.

En la mayorıa de los trabajos anteriores solo se realiza sıntesis dimensional paraseguimiento de trayectoria, el cual parte de un mecanismo predefinido y en otrosse lleva acabo solo la sıntesis topologica para alguna aplicacion en especıfico o sim-plemente la generacion de cadenas cinematicas tomando en cuenta que no existaisomorfismo entre las soluciones generadas. Por otra parte, en pocos trabajos se lle-va a cabo la sıntesis topologica y dimensional en pasos separados; primero se realizala eleccion de la geometrıa del mecanismo y despues se calculan las dimensionespara una tarea especıfica. Sin embargo, en la referencia [8] se realizan a la par, con-virtiendo el problema multi-objetivo a uno mono-objetivo, reduciendo numero desoluciones posibles. En el presente trabajo se propone realizar las sıntesis topologicay dimensional simultaneamente, para lograr esto se plantea una representacion demecanismos basada en teorıa de grafos, el cual es modificado para contener toda lainformacion esencial que lo describa. Dicha sıntesis se propone como un problemade optimizacion en donde se requiere encontrar el tipo y dimensiones del mecanismoque pueda seguir una trayectoria prescrita con el menor error posible.

1.2. Planteamiento del problema

El proceso de diseno de un mecanismo para una tarea requerida se basa en unaserie de etapas separadas, en donde se selecciona el tipo (topologıa) utilizando la

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experiencia del disenador, para despues realizar la sıntesis dimensional. Frecuente-mente las soluciones obtenidas no cumplen con los requerimientos del problema, porlo cual es necesario regresar a la seleccion del mecanismo, en un proceso donde laretroalimentacion entre las etapas de diseno es muy limitada. Si las fases del procesode diseno se realizan de manera simultanea, es posible resolver el problema en unmenor tiempo, considerando un mayor numero de combinaciones posibles topologıa-dimensiones para cubrir el espacio total de solucion, dado el caracter dinamico quetendrıa esta metodologıa.

1.3. Hipotesis

Dada la complejidad que presenta el diseno de mecanismos, especialmente cuandose integran las etapas de sıntesis topologica y dimensional, una metodologıa paradiseno optimo basada en el uso de herramientas de inteligencia artificial que consideresimultaneamente ambas sıntesis en un solo paso facilitarıa el proceso de diseno,reflejandose en una reduccion de tiempo y costos computacionales en la obtencionde soluciones que presenten un desempeno igual o mejor a las reportadas en laliteratura.

1.4. Objetivo general

Desarrollar las sıntesis topologica y dimensional de un mecanismo plano de formaconcurrente, utilizando algoritmos meta-heurısticos con el proposito de encontrar unmecanismo altamente competitivo considerando la tarea general de seguimiento detrayectoria, para un sistema de rehabilitacion de miembro inferior.

1.4.1. Objetivos especıficos

1. Identificar los metodos de sıntesis topologica y dimensional de mecanismo pla-nos, con el fin de llevarlos a cabo de forma simultanea, utilizando tecnicas deinteligencia artificial.

2. Analizar los conceptos basicos de la biomecanica de la marcha humana con lafinalidad de establecer un espacio de trabajo para un mecanismo mediante elseguimiento de la trayectoria del tobillo.

3. Analizar el problema de diseno concurrente topologıa-dimensiones propuestocomo un problema de optimizacion numerica, para seguimiento de trayectoriadel tobillo.

4. Analizar e implementar algoritmos bio-inspirados para resolver el problemapropuesto.

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1.5. Aporte de la tesis

La aportacion principal de este trabajo es proponer una metodologıa para lasıntesis optima de topologıa-dimensionamiento de mecanismos planos denominadoMetodologıa Santiago-Portilla-Mezura, al establecer un problema de optimizacionnumerica con restricciones y la solucion al mismo utilizando tecnicas de inteligen-cia artificial. Como caso de estudio se utilizara este proceso de diseno topologıa-dimensionamiento para la obtencion de un mecanismo para seguimiento de trayec-toria del tobillo, que cumpla con los requerimientos de la cinematica de la marchahumana siguiendo la trayectoria correspondiente. Sin embargo, es importante desta-car que el metodo permite resolver cualquier problema relacionado con el seguimientobi-dimensional de trayectorias. Otro de los aportes importantes es la propuesta de laMetodologıa Santiago-Portilla para la representacion de mecanismo planos, la cualincluye la informacion necesaria para describirlos, dicha metodologıa puede es unaherramienta de ingenierıa computacional para el diseno de mecanismos

1.6. Organizacion del documento

La organizacion del presente trabajo es la siguiente: en el Capıtulo 2, se describenlos conceptos basicos de los mecanismos, teorıa de grafos, optimizacion y metodos desolucion.En el capıtulo 3 se describe la Metodologıa Santiago-Portilla utilizada pararepresentar mecanismo planos. En el Capıtulo 4, se describe el problema a resolveren el cual se presenta la cinematica de los mecanismos a utilizar, ası como la Meto-dologıa Santiago-Portilla-Mezura. Las simulaciones de los mecanismos, estadısticasy analisis de resultados, los cuales son obtenidos a partir de la metodologıa utili-zada, se muestran en el Capıtulo 5 y finalmente en el Capıtulo 6 se enumeran lasconclusiones del trabajo.

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Capıtulo 2

Marco teorico

Para desarrollar esta tesis es necesario conocer la teoria de los mecanismos pla-nos y su representacion en forma de grafos, como base para el planteamiento deproblemas de optimizacion. Por ello, en este capıtulo se describen algunos conceptosbasicos de mecanismos y sus clasificacion, teorıa de grafos, ası como la clasificacionde los tipos de problemas de optimizacion y algunas herramientas para su solucion.

2.1. Mecanismos

Un mecanismo se puede definir como un dispositivo que transfiere un movimientoy/o fuerza a una salida [17] , el cual puede analizarse cinematicamente sin consi-derar las fuerzas asociadas [18]. Los eslabones (barras) son secciones basicas de losmecanismos, teniendo por los menos dos nodos que sirven como puntos de union, laclasificacion de estos elementos se muestra en la Figura 2.1 [18]

Figura 2.1: Eslabones [18]

La conexion entre dos eslabones se conoce como una articulacion (junta), estaanade al menos una restriccion de movimiento. El contacto de dos elementos se co-noce como par, junta o union; existen diversos tipos de pares, los cuales se muestranen la Figura 2.2 [18].:

La movilidad de un mecanismo se puede clasificar dependiendo del numero degrados de libertad (GDL) que tenga. Los grados de libertad son necesarios para

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Figura 2.2: Tipos de juntas (uniones) [18]

realizar el analisis y sıntesis de un mecanismo [19], ya que corresponden al numeromınimo de parametros (medidas) independientes para encontrar la posicion en elespacio en cualquier instante de tiempo.

El movimiento del mecanismo puede clasificarse en tres tipos [19] :

Movimiento plano: el movimiento de los elementos del mecanismo esta res-tringido a planos paralelos, las juntas revolutas y prismaticas son las unicasque pueden generar movimientos planos.

Movimiento esferico: el movimiento de todos sus elementos es esferico; aeste tipo se le conoce como mecanismo esferico, el cual tiene un punto fijo sedenomina centro esferico.

Movimiento espacial: puede tener varios movimientos planos paralelos entresı, o tener diferentes tipos de movimiento.

Si el movimiento de los eslabones de un mecanismo esta restringido a planos parale-los, a este se le conoce como mecanismo plano, el cual pude ser dibujado en el planoy solo puede usar uniones planas.

2.1.1. Sıntesis de tipo

Se refiere a la determinacion de un tipo de mecanismo que pueda desempenaruna tarea, donde el disenador, propone tantos tipos diversos de mecanismos comosea posible y se decide por el que cumple mejor la tarea deseada. [20]]

2.1.2. Sıntesis de numero (topologica)

Consiste en determinar el numero de elementos y de nodos de cada uno, lasuniones entre ellos, el tipo de movimiento, incluyendo requisitos tales como la con-

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figuracion geometrica para soportar una carga o bien para el seguimiento de unatrayectoria.

En esta sıntesis el disenador asegura que el mecanismo tenga el numero correctode elementos; tambien implica determinar el numero de estructuras cinematicasfactibles. A este tipo de sıntesis tambien se le conoce como sıntesis de estructuras osıntesis topologica [20] [21].

2.1.3. Sıntesis dimensional

Determina las dimensiones (longitudes) de los elementos de un mecanismo, ne-cesarios para lograr una tarea predeterminada. Para la resolucion de problemas desıntesis de mecanismos, en seguimiento de trayectoria existe una gran variedad deherramientas, siendo las mas simples los metodos graficos, los cuales funcionan bienhasta un maximo de cinco posiciones; en una mayor cantidad se requieren metodosnumericos de sıntesis [18]

2.2. Teorıa de grafos

La teorıa de grafos, tambien denominada teorıa de graficas tiene diversos camposde aplicacion como ciencias de la computacion, quımica, investigacion de operacio-nes, ingenierıa electrica, manufactura, linguıstica y economıa. Esta tecnica fue intro-ducida en 1936 por el matematico suizo Leonhard Euler, para resolver el problemade los puentes de Konisgberg, en Prusia Oriental durante el siglo XVIII [22] , [23].Dicho lugar se encuentra dividido en cuatro partes por el rio Pregel, en esa epocase tenıan siete puentes que interconectaban las cuatro partes como se muestra en laFigura 2.3, donde las personas intentaban recorrer cada uno de los puentes una solavez y regresar al lugar de partida.

Figura 2.3: Puentes Konisgberg [24]

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Euler represento las cuatro partes con puntos (a, b, c, d) y los puentes con lıneas,como se puede observar en la Figura 2.4, a esa figura le llamo grafo. Las graficas sepueden interpretar con puntos y lıneas, las cuales se denominan vertices (puntos) yaristas (lıneas o arcos).

Figura 2.4: Grafo de Euler

2.2.1. Tipos de grafos

Existen dos tipos de grafos los cuales son [22]:

Un grafo no dirigido G, tiene un conjunto V de vertices (nodos o uniones opuntos) y un conjunto E de aristas (arcos o lıneas), tal que cada arista e ∈ Eesta ligado con un par no ordenado de vertices (ver Figura 2.5 a).

Un grafo dirigido (digrafo) G, tiene un conjunto V de vertices y un conjuntoE de aristas, tales que cada arista e ∈ E esta asociada con un par ordenadode vertices, si hay una arista unica e asociada con el par ordenado (v ,w)de vertices, se escribe e =(v,w) (ver Figura 2.5 b); graficamente las aristasdirigidas son representadas por flechas.

Se dice que una arista e, en una grafica (no dirigida o dirigida) que se asocia con el parde vertices v y w es incidente sobre v y w, y se dice que v y w son incidentes sobre e .

Si G es un grafo (no dirigido o dirigido), con vertices V y aristas E, se puedeescribir de la siguiente manera: G =(V ,E), donde V contiene un numero definido devertices, de igual manera E contiene un numero definido de aristas, como se observaen al ecuacion (2.1):

V = v1, v2, v3, v4, v5 y E = e1, e2, e3, e4, e5, e6 (2.1)

Retomando la Figura 2.6a, con los vertices V y las aristas E antes mencionadasse puede visualizar la asociacion existente, por ejemplo: la arista e1 esta asociadacon un par de vertices no ordenado v1, v2, la arista e2 se denota por v1, v4 o v4, v1,las aristas e4 y e5 se asocian con el par de vertices v2, v5, y se le conoce como

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Figura 2.5: Tipos de grafos

aristas paralelas. La arista e6 esta asociada a un mismo vertice v4, v4, a este tipose le denomina lazo; hay que tomar en cuenta que para algunos autores no estanpermitidos los lazos o las aristas paralelas. Por otra parte, al vertice v0 que no estaasociado con alguna arista se le llama vertice aislado. Un grafo simple no cuentacon algun lazo ni aristas paralelas (Figura 2.6), al posicionarse en el vertice v1 yrealizar el recorrido a diferentes vertices (v1, v2, . . . , vn), hasta llegar al vertice vn,a este recorrido se le conoce como trayectoria o ruta de v1 a vn. Por otro lado, siun grafo contiene numeros en la arista se le nombra grafo ponderado (Figura 2.6),comunmente en este tipo de grafos la longitud de una ruta es la suma de los pesosde las aristas de las rutas.

Figura 2.6: Grafo ponderado

2.2.2. Representacion de grafos

Los grafos pueden ser representados en matrices con la finalidad de ser interpre-tados por las computadoras y servir de herramienta para resolver diversos problemasen diferentes areas. Existen dos formas de representar los grafos, mediante las matri-ces de adyacencia y de incidencia. Para interpretar un grafo de forma de una matriz

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de adyacencia se siguen los siguientes pasos:

1. Seleccionar el orden de los vertices; por ejemplo, se toman los vertices v1, v2, v3, v4, v5de la Figura 2.7.

2. Se determina el tamano de la matriz nxn donde n es el numero vertices delgrafo, para este ejemplo n = 5.

3. Se etiquetan los renglones y columnas de la matriz con los vertices ordenados.

4. Se rellena la matriz dependiendo del numero de aristas incidentes en i y j, sii = j, el elemento es dos veces el numero de ciclo que incide en i v4, v4 ( verFigura 2.7 y Figura 2.8).

La representacion matricial de adyacencia de un grafo no dirigido es una matrizsimetrica, como se puede observar en la Figura 2.7. Para el caso de un dıgrafo enlugar de tener una matriz simetrica se tiene una matriz con unos y ceros (matrizbinaria) como en la Figura 2.8; por otro lado, si el grafo que se interpreta es simpleentonces la matriz de adyacencia es binaria y la diagonal principal esta compuestaunicamente por ceros.

Figura 2.7: Grafo no dirigido y representacion matricial

Figura 2.8: Dıgrafo y representacion matricial

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En la representacion anterior se tiene una matriz cuadrada, mientras que enla representacion de la matriz incidencia se tiene una matriz de dimension n x m,donde n es numero vertices y m el numero de aristas. De igual manera, se ordenan losvertices y las aristas, se etiquetan las filas con los vertices y columnas con las aristas;el elemento de fila v y la columna e es 1 si e es incidente en v, en caso contrario un0 (Figura 2.9). En este tipo de interpretacion se tiene una matriz binaria, debido aque una arista incide exactamente en dos vertices y por lo tanto cada columna solotiene dos 1′s; la cantidad de 1′s que tiene una fila determina el grado del vertice.

Figura 2.9: Dıgrafo y representacion matricial

2.2.3. Grafos equivalentes (isomorfos)

En algunos casos cuando se resuelven problemas utilizando teorıa de grafos seproponen diferentes soluciones, donde dichas soluciones a simple vista se apreciandiferentes o iguales; esto puede ser por el orden en el que se nombran los vertices ylas aristas [23], como se aprecia en la Figura 2.10.

Figura 2.10: Grafos isomorfos

En este caso los dos grafos mostrados en la Figura 2.10, se ven diferentes a simplevista al realizar su respectiva representacion con una matriz de adyacencia, como se

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muestra en la Figura 2.11.a y b; pero si se renombran los vertices se puede visualizarque los dos grafos son iguales, para este caso se renombra el grafo G2 (Figura 2.10b)y se presenta en su forma matricial (Figura 2.11c). Los grafos G1 y G2 son isomorfossi tienen el mismo numero de vertices y aristas, ası como el mismo grado de cadavertice. Esto es, dado un grafo G y un vertice v de G, se pude definir el grado dev como gr(v), el cual indica el numero de arcos que inciden en v; si Dk(G) es elnumero de vertices V que tienen grado a k, se puede determinar la sucesion Dadala ecuacion 2.2:

D0(G), D1(G), D2(G), .., Dk(G) (2.2)

Figura 2.11: Representacion matricial de grafos isomorfos

Tomando en cuenta la Figura 2.11 y lo antes mencionado, se determina el gradode cada vertice: gr(v3) = gr(v4) = 2,gr(v1) = gr(v2) = 3, gr(v5) = 4, por lo tantoD0(G) = D1(G) = 0,D2(G) = 2,D3(G) = 2 ,D4(G) = 1. La sucesion de grado delgrafo G1 es:

0, 0, 2, 2, 1

Calculando el grado para el grafo G2 se tiene que gr(w3) = gr(w4) = 2,gr(w1) =gr(w5) = 3,gr(w2) = 4, de donde se observa que la sucesion de grados es la misma:

0, 0, 2, 2, 1

Otra forma de comprobar que son equivalentes es renombrando los vertices delG2 y generar una tercera matriz de adyacencia para visualizarlo mejor; si se tomaG′1 = G2 entonces v

′1 = w1, v

′5 = w2, v

′4 = w3, v

′3 = w4, v

′2 = w5; con esta nueva

asignacion se puede visualizar que son isomorfos (ver Figura 2.11a y Figura 2.11c).

2.3. Optimizacion

Un problema de optimizacion, es el planteamiento de una situacion, donde serequiere encontrar una solucion de calidad bajo ciertas circunstancias [25], [26]. Eningenierıa, cuando se habla de un proceso de diseno optimo se hace referencia a lasıntesis de un sistema, que cumpla con todas las restricciones derivadas de su fun-cionamiento y comportamiento, considerando la eficiencia requerida.

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Los problemas de optimizacion se caracterizan por tener tres elementos basicos[27]:

Variables de decision: Valores a elegir para el problema que se pretende resol-ver.

Funcion objetivo: Expresion matematica que evalua la calidad de las variablesde decision.

Restricciones: Ecuaciones o desigualdades que representan los lımites del pro-blema.

Los problemas de optimizacion en ingenierıa pueden agruparse en dos clases [25]:

Optimizacion combinatoria: Se busca el orden o secuencia optima de un con-junto de elementos, para obtener un maximo o mınimo de una o mas funcionesobjetivo.

Optimizacion numerica: Se trata de encontrar el conjunto de valores de varia-bles de decision de rango continuo, que maximicen o minimicen una o variasfunciones objetivo.

Los problemas de optimizacion numerica se pueden clasificar por [26]:

Tipo de funcion: lineales y no lineales.

Numero de funciones objetivo: mono-objetivo (una sola funcion) y multi-objetivo (varias funciones).

Restricciones: con o sin restricciones.

Tipo de variables: discretas (valores numericos enteros preestablecidos) y con-tinuas (las variables toman numeros reales).

Diferenciabilidad: diferenciables (la funcion puede ser derivable al menos unavez) y no diferenciables (no se puede derivar).

En su forma matematica, los problemas de optimizacion con restricciones se repre-sentan de la siguiente manera:

minimizar /maximizar f(~X)

(2.3)

Sujeto a:

gi

(~X)≤ 0 i = 1, 2, . . . , p (2.4)

hj

(~X)

= 0 j = 1, 2, . . . , q (2.5)

donde ~x es el vector de variables de diseno de dimension n, f(~x) es la funcionobjetivo, gi(~x) es el conjunto de p restricciones de desigualdad, y finalmente hj(~x)es el conjunto de q restricciones de igualdad [28]. El numero de variables de disenodebe ser mayor al numero de restricciones de igualdad; en caso contrario el problemaesta sobre descrito. Es importante mencionar que los problemas de optimizacion eningenierıa son frecuentemente problemas mono-objetivo y con restricciones.

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2.3.1. Funcion objetivo

La funcion objetivo, es la expresion donde se evalua el conjunto de valores delvector de variables de diseno para cuantificar el desempeno del sistema, y ası deter-minar si son valores competitivos que maximizan/minimizan el problema [28].

2.3.2. Variables de diseno

Al conjunto de elementos que describen el sistema, donde cada variable propor-ciona una caracterıstica mınima, se le conoce como vector de variables de diseno.Dichas variables son establecidas por el disenador al realizar el analisis del sistema,al mismo tiempo que se determina el rango de valores que puede tomar cada variable[29].

2.3.3. Restricciones de diseno

En los problemas duros de ingenierıa se tienen limitaciones asociadas al desem-peno esperado de diseno, que se convierten en lo que genericamente se conoce comorestricciones de diseno asociadas al problema de optimizacion.

Las restricciones de diseno asociadas a limitaciones fısicas tales como la disponi-bilidad, facilidad de fabricacion, transportabilidad, son conocidas como restriccionesgeometricas. Las que estan asociadas al desempeno o funcionamiento se denominanrestricciones funcionales o de comportamiento [30].

2.4. Metodos de optimizacion

En muchas aplicaciones de ingenierıa es esencial el manejo de cotas y restriccio-nes; en este sentido, la optimizacion permite encontrar una solucion cumpliendo lascotas y restricciones para disenar un mecanismo o sistema. Dentro de las tecnicasde optimizacion se encuentran [31]:

A Metodos tradicionales:

Tecnicas de variable simple: divididas en metodos directos (utilizan la fun-cion a optimizar para guiar la busqueda) y de gradiente (utilizan informaciondel gradiente), las cuales manejan una sola variable.

Tecnicas multi-variable: divididas en metodos directos y de gradiente; reali-zan busquedas en multiples dimensiones.

Tecnicas para problemas con restricciones: realizan busquedas en espaciosrestringidos, utilizando tecnicas iterativas.

Tecnicas especializadas: metodos para problemas particulares tales como losde programacion entera (variables que solo toman valores enteros).

B Metodos no tradicionales: Metodos que incorporan conceptos heurısticos paramejorar la busqueda.

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2.4.1. Metaheurısticas

Este proyecto de investigacion se enfoca en la implementacion de metodos notradicionales, para el diseno optimo de mecanismos planos. Normalmente se pretendeque un algoritmo de optimizacion resuelva de forma exacta los problemas dondese aplique; esto es, que encuentre el valor optimo. Sin embargo, en muchos casosdel mundo real y en especial en ingenierıa solo se requiere una solucion facilmentealcanzable y suficientemente buena para ser fabricada. Las caracterısticas generalesde una metaheurıstica son [11]: 1) puede usar componentes estocasticos (variablesaleatorias); 2) esta inspirada en procesos naturales o artificiales; y 3) necesita unaserie de parametros que deben ajustarse (sintonizarse) de acuerdo con el problema aresolver. Dentro de las metaheurısticas se encuentran los algoritmos bio-inspirados,que parten de una metafora biologica y permiten resolver problemas de optimizacion[32]].

Las metaheurısticas se clasifican como:

Metaheurısticas basadas en una sola solucion: parten de una solucion unicadurante el proceso de busqueda y a partir de ella trazan una trayectoria hastala solucion final. Ejemplos: Recocido Simulado (Simulated Annealing, SA),Busqueda Tabu (Tabu Search, TS).

Metodos basados en poblacion: en estos se tiene un conjunto de soluciones(poblacion) que se optimizan de forma simultanea durante la busqueda. Estosmetodos tienen como ventaja el explorar varias areas simultaneamente en elespacio de busqueda.

Por su parte, las metaheurısticas basadas en poblacion se agrupan en:

Algoritmos evolutivos: basados en el principio del Neodarwinismo, emulan laevolucion natural (recombinacion, mutacion y seleccion) con la finalidad demejorar las soluciones. Algunos de estos algoritmos son: Algoritmos Geneti-cos (AG), Estrategias Evolutivas, Programacion Evolutiva (PE) y EvolucionDiferencial (ED) [32].

Inteligencia colectiva: inspirados en el comportamiento colectivo de sociedadesde animales, algunas de estos algoritmos son: Optimizacion mediante Coloniade Hormigas, Optimizacion mediante Cumulo de Partıculas, Colonia Artificialde Abejas, Optimizacion mediante Forrajeo de Baterıas, entre otros [32].

En general, los algoritmos evolutivos y de inteligencia colectiva trabajan de lasiguiente manera (ver Figura 2.12) [[31]]:

Se genera un conjunto de soluciones (poblacion) al problema.

Se evalua cada solucion (individuo) en la funcion objetivo a optimizar.

Se seleccionan las mejores soluciones con base en el valor de la funcion objetivo.

Se generan nuevas soluciones a partir de las mejores utilizando operadores devariacion.

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Se evaluan las nuevas soluciones.

Se escogen las soluciones que formaran parte de la siguiente iteracion (genera-cion).

Una vez que se tienen tanto el conjunto de soluciones actuales como el de lasrecien generadas, se utilizan mecanismos para seleccionar aquellas que formaranparte de la poblacion para la siguiente generacion.

Figura 2.12: Esquema general de un algoritmo bio-inspirado [33]

2.4.2. Evolucion diferencial

El algoritmo de ED original se muestra en el Algortimo 2.4.1 surgio en 1994 de losintentos de Price y Storn, para resolver el problema polinomial de Chebychev [26].Este algoritmo ha demostrado ser efectivo, eficiente y robusto en una gran variedadde problemas no diferenciables, no lineales y multimodales. Las etapas del algoritmoED son las siguientes:

1. Se genera aleatoriamente la poblacion inicial, donde los vectores estan unifor-memente distribuidos en el espacio de busqueda dentro de los lımites definidos.

2. Se utiliza la mutacion y la recombinacion para producir un solo vector hijo(trial) por cada vector Xg

i de la poblacion. Para la generacion del vector hijose requiere primero llevar a cabo el proceso de mutacion, el cual consiste en:

a) Seleccionar aleatoriamente tres individuos (vectores), (Xgr0, X

gr1 y Xg

r2), conr0 6= r1 6= r2 6= i, donde (r0, r1, r2) ∈ [1, NP ] .

b) Restar dos de ellos

(Xgr1 −X

gr2) (2.6)

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c) Aplicar a la diferencia un valor dado por el factor de escalamiento F > 0

F ∗ (Xgr1 −X

gr2) (2.7)

d) Sumar la diferencia escalar al tercer individuo para obtener el vector llama-do de mutacion; la mutacion en ED es el principal mecanismo para generarnuevas direcciones de busqueda:

V gi = Xg

r0 + F (Xgr1–X

gr2) (2.8)

Posteriormente, se hace la cruza o recombinacion entre el vector padre Xgi y el

vector de mutacion V gi con el proposito de generar un vector hijo U g

i

U gi

if (randj ≤ Cr) or (jrand = j) pasa V g

i

else Xgi

(2.9)

Cr es el factor de cruza, que es una variable de decision acotada entre [0,1] y conla cual se decide que valor se hereda al hijo si el del padre o el del vector mutacion.Para evitar que el vector hijo sea un duplicado del vector padre se utiliza la condi-cion de jrand = j (Figura 2.13 [26]).

Todos los vectores de la poblacion seran seleccionados solo una vez como padresindependientemente del valor de la funcion objetivo. Despues de obtener el vectorhijo, se evalua en la funcion objetivo del problema y se compara con el vector padre ycon base en dicha evaluacion; el mejor individuo pasa a formar parte de la poblacionde la siguiente generacion. Si el vector padre aun es mejor se conserva en la siguientegeneracion, de la forma siguiente (asumiendo minimizacion) [26].

Xg+1i

if f (U g

i ) ≤ f (Xgi ) pasa U g

i

else Xgi

(2.10)

En ED los procesos de mutacion, recombinacion y seleccion se repiten hasta llegara un criterio de terminacion especificado por el usuario (Tabla 2.1), en este caso elnumero maximo de generaciones (iteraciones) Gmax. ED maneja pocos parametrosde control, los cuales son especificados por el usuario: NP,Gmax,Cr y F . [26].

En este capıtulo se abordaron temas relacionados a mecanismo y teorıa de grafos,los cuales son esenciales para proponer una representacion de mecanismos de formamatricial, y que se puede simbolizar diferentes tipos de mecanismos. En ella sedefine el numero de eslabones y el tipo de juntas del mismo, cabe mencionar queesta propuesta solo es para mecanismos planos, ademas se mencionan conceptos deoptimizacion que son fundamentales para poder identificar el tipo de problema quese resuelve y ası mismo la herramienta a utilizar, en esta caso se describe el algoritmode ED particularmente como herramienta de solucion.

21

Tabla 2.1: Parametros de ED

Nombre Sımbolo Descripcion

Poblacion Np Numero de soluciones (vectores) en la poblacion.Generaciones Gmax Numero de ciclos que se ejecuta todo el procedimeinto.Escala F Factor de escalamineto de la mutacionCruza Cr Factor de cruza

Algoritmo 2.4.1: Evolucion Diferencial ED/rand/1/bin

1 inicializar los parametros del algoritmo (Gmax, F,Cr,Np);2 generar aleatoriamente X0

i , i = 1, ..., Np;

3 evaluar cada individuo de la poblacion en f(X0

i

), i = 1, ..., Np;

4 for (g = 0; g < Gmax; g++) do5 for (i = 1; i ≤ Np; i++) do6 seleccionar aleatoriamente r0, r1, r2 ∈ [1, Np], donde r0 6= r1 6= r2 6= i7 seleccionar aleatoriamente jrand ∈ [1, D]8 for (j = 1; j ≤ D; j++) do9 generar aleatoriamente randj ∈ [0, 1]

10 if (randj ≤ Cr) or (jrand = j) then11 Ug

i,j = Xgr0,j + F (Xg

r1,j–Xgr2,j)

12 else13 Ug

i,j = Xgi,j

14 end

15 end16 evaluar solucion candidata f (Ug

i )17 if f (Ug

i ) < f (Xgi ) then

18 Xg+1i = Ug

i

19 else

20 Xg+1i = Xg

i

21 end

22 end

23 end

22

Figura 2.13: Operador de mutacion del algoritmo de ED

23

Capıtulo 3

Representacion matricial demecanismos planos

Para realizar la sıntesis topologica y dimensional es necesario tener una represen-tacion en donde se pueda contener toda la informacion. En esta seccion se proponela Metodologıa Santiago- Portilla (MSP) la cual es capaz de representar mecanismosplanos y contiene la informacion necesaria para describirlos, que es:

Topologıa: numero de elementos, tipo de uniones.

Geometrıa: dimensiones de cada uno de los elementos.

Datos adicionales: posicion y orientacion en el plano, funcion de cada barra.

Toda la informacion mencionada anteriormente esta contenida en una sola ma-triz, la cual puede ser utilizada como herramienta computacional para el diseno deingenierıa. Dicha propuesta esta basada en teorıa de grafos. La teorıa de grafos hatenido una gran cantidad de aplicaciones durante la historia como: geologıa [34], eco-nomıa [35], computacion [36], [37]], entre otros, de la misma manera la metodologıapropuesta esta basada en teorıa de grafos.

Un grafo es la representacion de puntos (vertices) que estan relacionados entre sıpor medio de lıneas (aristas) [22], las cuales son utilizadas para resolver problemaslogicos. Existen dos tipos de grafos denominados dirigidos y no dirigidos [20], dondesu principal diferencia es que uno de ellos cuenta con una orientacion definida grafi-camente por una flecha, mientras que el otro no, como se puede ver en la Figura2.5, dos de las formas en que los grafos pueden ser interpretados son : la matriz deincidencia, adyacencia es cuadrada y su tamano depende del numero de vertices quecontenga el grafo, en este arreglo tanto las filas como las columnas identifican a losvertices, y cada posicion de este corresponde a una arista (conexion que existe entrevertices (v)). Para llenar la matriz se localizan los vertices relacionados asignandolesel valor de uno; en caso de no existir relacion la posicion toma un valor de cero,como se muestra en la Figura 2.9.

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3.1. Metodologıa de TSAI

La metodologıa fue desarrollada basandose en la representacion de Lung-Wen,la cual esta descrita en [20]. Dicho metodo posibilita ilustrar un mecanismo comoun grafo teniendo en cuenta el numero de elementos, tipo de union y el elementode tierra, caracterısticas que se interpretan en un esquema grafico tipo poligonal, endonde cada pieza del mecanismo corresponde a un vertice con la etiqueta del numerode la barra asociada. Las uniones entre elementos son denominadas aristas, las cua-les son nombradas con una R si el tipo de union es una revoluta, P si es una unionprismatica, G una union de engranes y Cp una union tipo leva; adicionalmente, elelemento de tierra se identifica por tener un circulo adicional en el vertice correspon-diente. Con este metodo se pueden representar diversos tipos de mecanismos, comose presenta en la Figura 3.1.

Figura 3.1: Representacion de mecanismos utilizando la metodologıa de Tsai.

En este trabajo, se tratan especıficamente mecanismos planos con barras, basando-se en la metodologıa antes mencionada, algunas de las diferentes configuraciones demecanismos se muestran en la Figura 3.2 [20], donde es posible observar como seconvierte la representacion esquematica del mecanismo (izquierda) en un grafo (de-recha), pudiendose tener grafos similares que difieren en las etiquetas de las aristaso en el orden de estas. En particular los dos mecanismos de cuatro barras con dosdiferentes configuraciones, vistos en forma de un grafo tienen la misma cantidad devertices y aristas, diferenciandose en la ubicacion de la barra de tierra y en que uno

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de estos tiene una union prismatica. En los mecanismos de seis barras se tienen doseslabones ternarios, donde el vertice uno es el eslabon de tierra para ambos grafosy los eslabones ternarios se situan en diferentes lugares, lo cual hace que los grafosasociados sean distintos.

Lung-Wen menciona que un grafo puede ser interpretado por medio de las matri-ces de adyacencia y de incidencia, pero no especifica como realizar una representacionmatricial de los mecanismos tomando en cuenta la informacion de los grafos en suforma grafica. Adicionalmente, las matrices solo pueden contener informacion sobreel numero de barras y uniones entre ellos (forma del mecanismo, topologıa) pero nodel tipo de union.

Figura 3.2: Representacion de mecanismos planos utilizando la metodologıa de Tsai.

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3.2. Medologıa Santiago-Portilla(MSP) represen-

tacion matricial de mecanismo planos

Los mecanismos se representan mediante una grafica y utilizando la matriz deadyacencia se pueden interpretar diversas topologıas de mecanismos con diferentesnumeros de elementos, como se muestra en la Figura 3.3. Al revisar la literatura sepresentan diferentes aplicaciones como son el caso de encontrar la estructura parauna tarea determinada tomando en cuenta no solo mecanismos planos sino tambienespaciales, ası mismo se ha logrado hacer atlas de mecanismos planos con diferentesnumeros de elementos, pero todos ellos con un solo tipo de union. En esta tesis lamatriz de adyacencia es modificada hasta obtener una representacion novedosa quefacilita el diseno de mecanismos.

Figura 3.3: Representacion de mecanismos con matriz de adyacencia.

La metodologıa propuesta tiene como finalidad facilitar el diseno de mecanismosplanos debido a que se incluye en la matriz el numero y tipo de eslabones, tipo dejuntas, dimensiones de las barras y el punto de acoplador, la posicion y orientacionespacial. Las primeras dos etapas que se describen a continuacion: la identificacionde los tipos de union y las funciones de barra es similar al enfoque presentado en[1], pero aplicando diferentes etiquetas.

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3.2.1. Identificacion de tipo de uniones

En la representacion grafica de mecanismos se tiene informacion sobre los tiposde uniones que existen entre los eslabones, por lo cual surge de la necesidad derepresentar los grafos que contienen diferentes etiquetas en las aristas, que a su vezcorresponden a mecanismos con diferentes tipos de uniones, el cambio se realiza ala matriz de adyacencia limitandola en este trabajo a mecanismos planos con barrascon dos tipos de uniones: tipo revoluta y prismaticas [18], las cuales se identifican apartir de una etiqueta con los numeros especificados en la Tabla 3.1, los cuales sonutilizados en la matriz para definir las uniones que tiene el mecanismo

Tabla 3.1: Tipo de uniones.

Tipo de union Etiqueta

Revolute 4

Prismatic 5

Mediante esta modificacion se pueden representar una mayor variedad de meca-nismos con el mismo numero de elementos y diferentes tipos de uniones. Como sepuede observar en la Figura 3.4, se tienen tres mecanismos de cinco barras, en tresconfiguraciones diferentes y representadas en una matriz, lo cual no era posible conla matriz de adyacencia original; esta modificacion permite saber especıficamenteque tipo de union existe entre eslabones y en consecuencia a que tipo de mecanismose esta refiriendo.

3.2.2. Identificacion de las barras de tierra, entrada/s y sa-lida

En un mecanismo es importante saber la funcion que desempena cada uno de suselementos, por lo cual es necesario agrega la informacion que describe cada eslabon,como son: la barra de tierra, la de entrada y la de salida; donde la barra de tierra serefiere al elemento que esta fijo. Un mecanismo puede tener uno o varios elementosque introducen el movimiento, los cuales son denominados entrada(s); la barra desalida es el componente que se encarga de transmitir fuerza o movimiento y enalgunos casos requiere geometrıas especiales, por ejemplo, para acomodar un puntoacoplador. Teniendo en cuenta la importancia de identificar estos elementos en lamatriz, surge la pregunta: ¿Como identificar la tierra, la entrada y la salida en lamatriz modificada? Esta incognita fue resuelta etiquetando dicha informacion y deesta forma poder identificarla en la matriz, segun la convencion mostrada en la Tabla3.2 . Las etiquetas son colocadas en la diagonal principal de la matriz, aprovechandoque estas posiciones usualmente contienen ceros en el arreglo original al representarmecanismos, debido a que un numero diferente en estas posiciones es relacionadocon conectar un componente consigo mismo, lo cual no es posible fısicamente, perosi en la representacion como grafo tradicional.

El proceso de asignacion de etiquetas es el siguiente: se identifica el tipo de labarra (fija, entrada o salida) y se asigna la etiqueta correspondiente en la diagonal

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Figura 3.4: Identificacion de tipo de uniones en la matriz de adyacencia.

Tabla 3.2: Funcion de barras.

Barra Etiqueta

Tierra 1

Entrada 2

Salida 3

principal en Ar,r , donde r es el numero de la barra o la etiqueta del vertice, esteproceso se repite para los tres casos, que son la barra de tierra, entrada y salida. Loanterior se ejemplifica con el mecanismo de 5 barras de las Figuras 3.5 y 3.6, de lasiguiente manera:

1. Se identifica la barra de tierra, la cual corresponde a r = 5 y se le asigna laetiqueta 1

2. Consiste en colocar la etiqueta en su lugar correspondiente en la matriz, porlo tanto se asigna A5,5 = 1.

3. Se asigna(n) la(s) entrada(s) que corresponde(n) a la etiqueta 2, para el caso delmecanismo de cinco barras es necesario tener dos entradas, las cuales puedenpresentarse de tres formas diferentes. En la Figura 3.5 solo se muestran dos deellas, estas dos combinaciones son: que las dos correderas sean entradas (r3 yr5) o que sea una rotacional (barra r2) y una corredera (r3 o r5).

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4. Paso cuatro: se elige el elemento que cumple la funcion de trasmitir el mo-vimiento o fuerza, en algunos casos es necesario agregar una pieza adicional,pero es importante conocer sobre que eslabon se ubica el elemento adicional oque eslabon sirve como salida, en este caso la pieza adicional se coloca sobrela barra r4, por lo tanto en la matriz se asigna A4,4 = 3 como se muestra en laFigura 3.6.

Figura 3.5: Identificacion de la barra de tierra y entrada.

Figura 3.6: Identificacion de la barra de salida.

3.2.3. Dimensiones de las barras

Otra caracterıstica importante que debe considerarse para describir un mecanis-mo, son las dimensiones de cada uno de sus elementos, hasta el momento la matrizutilizada es simetrica, en donde los datos de la matriz triangular superior e inferiorson iguales, que se refieren al tipo de union que existe entre cada elemento, al tenerla misma informacion en ambos lados de la diagonal se puede aprovechar y utilizaruno de los espacios, en este sentido se decide utilizar la matriz triangular inferior pa-ra colocar las dimensiones, lo cual consiste en remplazar las etiquetas de las uniones

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por las dimensiones de cada uno de los elementos, con esta modificacion se puederepresentar no solo el tipo de mecanismo, sino tambien las dimensiones del mismo.En la Figura 3.7 se muestra la evolucion de un mecanismo de cuatro barras generala uno con dimensiones especıficas, el cual es representado en una matriz de tamano4x4 que contiene la siguiente informacion:

Dimensiones de los eslabones: las destacadas en rojo.

Tipo de union: en este caso solo se tienen uniones del tipo revoluta.

Barra de tierra: es el elemento uno r1

Barra de entrada: corresponde a la barra r2.

Ubicacion del punto acoplador: esta situada en r3.

Figura 3.7: Asignacion de dimensiones de los elementos.

3.2.4. Dimensiones del punto acoplador

Cuando el mecanismo ya tiene una forma y dimensiones especıficas, se debeconsiderar si este requiere o no de una pieza adicional denominada punto acoplador,el cual sirve para transferir fuerza o movimiento. En caso de no ser necesaria seconsidera que sus dimensiones son cero; sin embargo, cuando este componente esrequerido se deben tener en cuenta sus medidas en x y y (rcx y rcy), informacionque se especifica en una columna que se adiciona en la parte derecha de la matriz,se destaca en color rojo en la matriz de la Figura 3.8.

Figura 3.8: Asignacion de disensiones del punto acoplador.

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3.2.5. Localizacion del mecanismo

Para algunas aplicaciones del mundo real se requiere que el mecanismo se encuen-tre desplazado y con un cierto angulo de rotacion respecto al sistema de referencia,por lo cual es necesario agregar esta informacion a la matriz de representacion, locual se logra adicionando una columna que contiene la informacion correspondientea la traslacion (x0, y0) y la rotacion (θ0). Con esta modificacion se puede colocarel mecanismo en cualquier parte del plano y ademas en cualquier posicion comose muestra en la Figura 3.9, en donde el mecanismo mostrado en la parte superiorizquierda esta situado en el origen, siendo desplazado y rotado con respecto a lascoordenadas (0,0), como se visualiza en la parte superior derecha. En la parte infe-rior se muestra su respectiva representacion matricial y ası mismo el ajuste realizadopara incluir la informacion adicionada, la cual es destacada en rojo.

Figura 3.9: Ubicacion en el espacio del mecanismo.

3.2.6. Identificacion de tipo de eslabon

La representacion matricial anteriormente propuesta, es eficiente para describirmecanismos que contengan eslabones binarios, pero existen mecanismos que contie-nen eslabones con mas de un par de nodos (ternarios, cuaternarios, etc.), como es elcaso de los mecanismos de seis barras tipo Watt, que contienen dos eslabones ter-narios. Para representar eslabones con mas de un par de nodos, se realiza la ultimamodificacion, en la cual se agregan m columnas adicionales a la matriz de acuerdocon la cantidad de eslabones que contengan mas de dos nodos.

El numero de datos, que se requieren para describir a un eslabon depende delnumero de nodos que contenga, si la cantidad k de nodos es mayor de tres, esnecesario tomar 2k − 1 datos para describirlo. Tomando en cuenta que un eslabonse puede representar como una figura geometrica, entonces es necesario conocer lasmedidas de cada uno de los k lados y los respectivos angulos de los cuales solo serequiere conocer k− 1 angulos, por ejemplo: para un eslabon cuaternario es esencialconocer las cuatro dimensiones y tres angulos; por otro lado, si se trata de una barracon tres nodos solo se requiere conocer 2 lados y un angulo, como se muestra en laFigura 3.10.

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Figura 3.10: Eslabon ternario con dimensiones.

Con esta modificacion, es posible representar cualquier mecanismo en forma ma-tricial cuando se cumple la condicion presentada en la ecuacion 3.1:

ne− (2k − 1) ≥ 0 (3.1)

Donde ne, es el numero de elementos del mecanismo y k representa la cantidadde nodos que contiene el eslabon con el mayor numero de nodos; por ejemplo, en laFigura 3.11 se tiene un mecanismo de Watt con dos eslabones ternarios, por lo quese agregan dos columnas adicionales a la matriz de representacion con la informacionde dichos eslabones.

Figura 3.11: Representacion matricial del mecanismo de seis barras tipo Watt.

3.2.7. Descripcion de la representacion matricial

Cualquier mecanismo plano se puede representar con una matriz generada porel metodo SP, especificando su forma y dimensiones, ademas de la traslacion y rota-cion de este en el plano, diferenciandose de las matrices reportadas en la literatura

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donde solo toman en cuenta la forma, (topologıa). En la Figura 3.12 se destacan lassecciones de la matriz propuesta, utilizando colores para diferenciar la informacioncontenida, tomando como ejemplo un mecanismo de cinco barras; sin embargo, eltamano de la matriz dependera del numero de elementos, como se presento en lassecciones anteriores.

Figura 3.12: Matriz general para la representacion de mecanismo planos generada apartir de MSP.

Tipo de union: revoluta (4), prismatica (5) (negro)

Funcion de las barras: tierra (1), entrada (2), salida (3) (azul)

Dimension de las barras (cafe)

Dimension del punto acoplador (amarillo)

Localizacion del mecanismo (rotacion y traslacion) (verde)

Dimensiones de las barras mayores a dos nodos (rojo)

3.2.8. Implementacion practica de la Metodologıa Santiago-Portilla

El proceso para generar la representacion matricial de un mecanismo plano usan-do la MSP se puede resumir de la siguiente forma :

1. Se identifica el mecanismo.

2. Se representa en forma de grafo (los vertices representan las barras y las aristaslas uniones).

3. El grafo se convierte a una matriz de adyacencia, donde los unos identificanlas conexiones entre las barras.

4. Determinar el tipo de union y se etiqueta en lugar de los unos correspondientes:revoluta 4, prismatica 5.

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5. Identificar la barra de tierra 1, la entrada 2 y la salida 3, estos valores secolocan en la diagonal principal. Ejemplo (v1, v1) es la barra de tierra y se leasigna la etiqueta 1.

6. Se asignan las dimensiones de cada barra, las cuales remplazan a las etiquetas4 y 5 que se encuentran en la matriz triangular inferior, esta etapa se detallaen el algoritmo 3.2.1; Antes de este paso, solo se consideraba la topologıa enla matriz de representacion, por lo que este algoritmo se encarga de procesarla geometrıa.

7. Se extiende la matriz para agregar las dimensiones del punto acoplador.

8. Se extiende nuevamente la matriz para incluir el desplazamiento y la rotaciondel mecanismo.

9. En caso de que el mecanismo contenga eslabones ternarios, cuaternarios, etc.se extiende la matriz una vez mas, agregando m columnas con la informacionde ese tipo de eslabones, donde m es el numero de eslabones que contenganmas de un par de nodos.

Algoritmo 3.2.1: Asignacion de dimensiones de elementos en MSP

1 iniciazar la tabla auxiliar en ceros de tamano ne;2 for (i = 1 to ne− 1) do3 for (j = i + 1 to ne) do4 Aj,i ← 0;5 if (Ai,j 6= 0) then6 aux1← j, aux2← i;7 if ((ri = 0 and rj = 0 and i < j) or (ri = 1 or rj = −1)) then8 aux1← i, aux2← j; // en la tabla auxiliar

9 end10 Aj,i ← sizebaraux1 // asignacion de dimension de la barra;11 raux1 ← −1; // en la tabla auxiliar;12 if (raux2 = 0) then13 raux2 ← 1 ; // en la tabla auxiliar

14 end

15 end

16 end

17 end

En la Figura 3.13 se muestra un mecanismo de seis barras, el cual es utilizado parailustrar la metodologıa desarrollada. Es importante destacar que con la metodologıapropuesta se pueden representar diferentes tipos de mecanismos planos de barras.

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Figura 3.13: Representacion matricial de un mecanismo de seis barras Watt I.

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Capıtulo 4

MetodologıaSantiago-Portilla-Mezura dediseno optimo de mecanismosplanos para seguimiento detrayectoria

En la presente seccion se detalla la metodologıa propuesta para el diseno optimode la topologıa de mecanismos planos denominada Metodologıa Santiago-Portilla-Mezura (MSPM), la cual se ilustra en la Figura 4.1. A continuacion, se describen losbloques correspondientes a la metodologıa, y en las secciones siguientes se aplicanpara la solucion de dos casos de estudio para el seguimiento de trayectoria de unalınea recta y de la marcha humana. En esta tesis se utiliza un algoritmo heurısticocomo herramienta para la solucion del problema de dieno, estas herramientas tienengrandes ventajas una de ellas es que no se necesita informacion adicional sobre elproblema como: no requerir derivadas.

1. Representacion de mecanismos: se genera una representacion general delos mecanismos a considerar para el diseno, conteniendo toda la informacionnecesaria: numero de barras, tipo de eslabones, dimensiones, etc. Este trabajoesta basado en la representacion de los mecanismos en forma de grafos [20], alque se le realizan modificaciones para agregar informacion adicional tal comolas dimensiones de los elementos, entrada y salida, rotacion y desplazamiento,dicha modificacion se explica en el capıtulo anterior y un breve resumen laseccion 4.1, en este caso se realiza la representacion para tres configuracionesdiferentes del mecanismo de cuatro barras.

2. Criterios de movilidad: se prueban las representaciones con el criterio deGrubler – Kutzbach para verificar que los mecanismos tengan movilidad yademas que se cuenta con toda la informacion esencial para realizar las ci-nematicas de los mecanismos a utilizar; en caso contrario se procede a sumodificacion.

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Figura 4.1: Metodologıa Santiago-Portilla-Mezura

3. Cinematica de mecanismo: a partir de una representacion valida se rea-liza el modelo general de cada mecanismo a utilizar; en este caso se modeloconsiderando la cinematica de cada mecanismo.

4. Planeamiento del problema de optimizacion para seguimiento de tra-yectoria: con los modelos cinematicos se plantea el problema de optimizacionmixto, el cual consiste en variables enteras y continuas, ademas se agregancriterios para relacionar el modelo de cada mecanismo con su respectiva repre-sentacion.

5. Aplicacion de la herramienta de optimizacion: se selecciona un algoritmode solucion, verificando si es capaz de manejar restricciones y variables mixtasdirectamente o debe ser modificado. Se aplica al problema de optimizacion,con la idea de generar un conjunto de soluciones factibles; para ello, mediante

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una simulacion se verifica el resultado.

6. Simulacion: se realiza el diseno en CAD de la solucion encontrada para ve-rificar el correcto funcionamiento del mecanismo: un correcto movimiento yseguimiento de trayectoria aceptable, ademas de encontrar posibles dificulta-des de manufactura. En caso de no obtenerse una solucion factible se regresa ala etapa 3 para revisar la cinematica de los mecanismos que se estan utilizando.

4.1. Representacion topologica de mecanismos

Para la aplicacion de la metodologıa propuesta es necesario formar una base conla representacion topologica de los mecanismos a utilizar. Para ello, se propone elMetodo SP anteriormete mencionado, donde a traves de una matriz se tiene todala informacion necesaria: el tipo de configuracion del mecanismo, dimensiones delmismo en una matriz de adyacencia, coordenadas de desplazamiento, angulo y lasdimensiones del punto acoplador. En el tipo de configuracion se refiere al tipo deuniones de cada eslabon, para los mecanismos planos solo se tienen dos tipos deuniones las cuales son rotacional y prismaticas. El proceso para generar la matrizde representacion Metodo SP se puede resumir de la siguiente manera: (ver Figura4.2)

1. Se identifica el mecanismo.

2. Se representa en forma de grafo (los vertices representan las barras y las aristaslas uniones).

3. El grafo se convierte a una matriz de adyacencia, donde los unos identificanlas conexiones entre las barras.

4. Se determina el tipo de union y se etiqueta en lugar de los unos correspon-dientes: revoluta (4), prismatica (5).

5. Se identifica la barra de tierra (1), la entrada (2) y la salida (3), estos valoresse colocan en la diagonal principal. Ejemplo (v1, v1) es la barra de tierra y sele asigna la etiqueta (1).

6. Se asignan las dimensiones de cada barra, las cuales remplazan a las etiquetas(4) y (5) que se encuentran en la diagonal inferir la matriz.

7. Se extiende la matriz para agregar las dimensiones del punto acoplador.

8. Se extiende nuevamente la matriz para incluir el desplazamiento y la rotaciondel mecanismo.

En la Figura 4.4 se muestra la representacion de la configuracion de cada me-canismo en una matriz de adyacencia (paso 4), de esta manera se puede identificarel sistema y determinar la calidad de la solucion. A partir de la representacion delmecanismo se puede elegir una configuracion u otra.

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Figura 4.2: Proceso general de MSP

Figura 4.3: Representacion de la configuracion del mecanismo utilizados

4.2. Analisis cinematico de mecanismos

A continuacion, se describen las cinematicas de los mecanismos utilizados en elpresente documento, las cuales son requeridas una vez seleccionada la topologıa delmecanismo. En este trabajo se manejan tres configuraciones distintas del mecanismode cuatro barras, de las cuales se elige la que se adapte mejor a las necesidades delproblema especıfico.

4.2.1. Cinematica del mecanismo de cuatro barras manivela-biela-balancın

En la Figura 3.4 se muestra un mecanismo de cuatro barras de tipo manivela-balancın, este contiene los siguientes elementos: barra de referencia (r1), barra deentrada o manivela (r2), biela o acoplador (r3), y barra de salida o balancın (r4). Elproblema de optimizacion consiste en encontrar las dimensiones (r1, r2, r3, r4) quegaranticen el seguimiento de una trayectoria predefinida por un conjunto de puntos.

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Para establecer la cinematica se proponen dos sistemas de coordenadas: unode ellos corresponde al marco de referencia general o fijo, denominado 0XY y elotro es el sistema movil denominado 0XrYr donde (x0, y0) es la distancia entre losorıgenes de ambos sistemas coordenados, θ0 es el angulo de rotacion del sistemade referencia, θi en donde i = 1, 2, 3, 4 corresponde a los angulos de las barras delmecanismo, y el punto C es el acoplador determinado por las coordenadas (rcx, rcy),que debe pasar consecutivamente por un numero N de puntos predefinidos. Para elanalisis de posicion del mecanismo se establece la ecuacion de cierre de circuito dela expresion (4.1):

Figura 4.4: Mecanismo de cuatro barras manivela biela balancin

~r1 + ~r4 = ~r2 + ~r3 (4.1)

Aplicando notacion polar para cada termino en la Ec. (4.1) se obtiene la Ec.(4.2),

r1ejθ1 + r4e

jθ4 = r2ejθ2 + r3e

jθ3 (4.2)

Utilizando la ecuacion Euler sobre la Ec. (4.2) y agrupando terminos reales e ima-ginarios se genera el sistema Ec. (4.3):

r1 cos θ1 + r4 cos θ4 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3

r1 sin θ1 + r4 sin θ4 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3(4.3)

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Para obtener la posicion angular θ3, el lado izquierdo del sistema (4.2) se expresaen terminos de θ4, generando el sistema (4.4)

r4 cos θ4 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3 − r1 cos θ1

r4 sin θ4 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3 − r1 sin θ1(4.4)

Elevando al cuadrado el sistema (4.4) y sumando sus terminos se llega a laecuacion de Freudenstein en forma compacta , la cual se establece en (4.5) como:

A1 cos θ3 +B1 sin θ3 + C1 = 0 (4.5)

donde:

A1 = 2r3 (r2 cos θ2 − r1 cos θ1) (4.6)

B1 = 2r3 (r2 sin θ2 − r1 sin θ1) (4.7)

C1 = r21 + r22 + r23 − r24 − 2r1r2 cos (θ1 − θ2) (4.8)

El angulo θ3 pueden calcularse como una funcion de A1, B1, C1 y θ2. Dicha solu-cion puede ser obtenida al expresar sin θ3 y cos θ3 en terminos de tan (θ1/2) como:

sin θ3 =2 tan (θ3/2)

1 + tan2 (θ3/2), cos θ3 =

1− tan2 (θ3/2)

1 + tan2 (θ3/2)(4.9)

Por sustitucion en la Ec. (4.9) se obtiene una ecuacion lineal de segundo orden:

[C1 − A1] tan2

(θ32

)+ [2B1] tan

(θ32

)+ A1 + C1 = 0 (4.10)

A partir de la expresion (4.10), la posicion angular θ3 esta dada por la Ec. (4.11).

θ3 = 2 arctan

[−B1 ±

√B2

1 + A21 − C2

1

C1 − A1

](4.11)

Un proceso similar se sigue para calcular θ4. A partir del sistema (4.3) se obtienela ecuacion de Freudenstein que esta dada en forma compacta por:

D1 cos θ4 + E1 sin θ4 + F1 = 0 (4.12)

D1 = 2r4 (r1 cos θ1 − r2 cos θ2) (4.13)

E1 = 2r4 (r1 sin θ1 − r2 sin θ2) (4.14)

F1 = r21 + r22 + r24 − r23 − 2r1r2 cos (θ1 − θ2) (4.15)

Por lo tanto, la posicion angular θ4 esta dada por la Ec. (4.16)

θ2 = 2 arctan

[−E1 ±

√D2

1 + E21 − F 2

1

F1 −D1

](4.16)

El signo del radical se toma para θ3y θ2 con base en la configuracion del meca-nismo, tal como se indica en la Tabla 4.1.

44

Tabla 4.1: Signo del radical y tipo de mecanismo

Configuracion θ3 θ4

Abierta +√ −√

Cruzada −√ +√

El punto de interes en el acoplador es C , para determinar su posicion se estableceel sistema (4.17) en 0XrYr:

Cxr = r2 cos θ2 + rcx cos θ3 − rcy sin θ3

Cyr = r2 sin θ2 + rcx sin θ3 + rcy cos θ3(4.17)

En el sistema coordenado general el punto se expresa como[CxCy

]=

[cos θ0 − sin θ0sin θ0 cos θ0

] [CxrCyr

]+

[x0y0

](4.18)

Se observa que, las ecuaciones en (4.17) y (4.18), ası como las expresiones de lacinematica del mecanismo son lo unico que se requiere para calcular la posicion delpunto C, a lo largo de toda la trayectoria del mecanismo.

4.2.2. Cinematica del mecanismo manivela-biela-corredera

En la Figura 3.5 se muestra un mecanismo de cuatro barras en configuracion demanivela-biela-corredera, en esta configuracion la entrada se ubica en la manivelay la corredera puede tener diferentes posiciones, como se muestra en las figuras, deigual manera que la configuracion manivela biela balancın tambien se cuenta con unpunto acoplador. Para analisis de posicion del mecanismo se establece la ecuacion(4.19) de cierre de circuito:

~r1 + ~r4 = ~r2 + ~r3 (4.19)

Aplicando notacion polar para cada termino se obtiene la Ec. (4.19)

r1ejθ1 + r4e

jθ4 = r2ejθ2 + r3e

jθ3 (4.20)

Aplicando la ecuacion de Euler sobre la Ec. (4.20) y agrupando terminos reales eimaginarios:

r1 cos θ1 + r4 cos θ4 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3

r1 sin θ1 + r4 sin θ4 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3(4.21)

Para el primer caso donde la corredera se encuentra parte superior del eje x(primer cuadrante), tomando θ1 = 0 y θ4 = 90 y sustituyendo en la ecuacion(4.21) se obtienen las ecuaciones (4.22) y (4.23):

45

(a) Corredera arriba del eje xr (b) Corredera en el eje xr

(c) Corredera abajo del eje xr

Figura 4.5: Mecanismo de cuatro barras manivela biela corredera

r1 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3 (4.22)

r4 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3 (4.23)

Despejando la ecuacion (4.23) en terminos de θ3:

θ3 = arcsin

(r4 − r2 sin θ2

r3

)(4.24)

Para el segundo caso donde la corredera se encuentra en la parte inferior del eje x(cuarto cuadrante), se toma θ1 = 0 y θ4 = 270, sustituyendo en la ecuacion (4.21)se obtiene:

r1 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3 (4.25)

−r4 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3 (4.26)

Despejando la ecuacion (4.26) en terminos de θ3 se obtiene la Ec. (4.27):

θ3 = arcsin

(−r4 − r2 sin θ2

r3

)(4.27)

46

Para la configuracion de manivela corredera, donde la corredera se ubica en el ejede las x, se utiliza la ecuacion de cierre de circuito para analizar la posicion:

~r1 = ~r2 + ~r3 (4.28)

Utilizando notacion polar en la Ec. (4.28) :

r1ejθ1 = r2e

jθ2 + r3ejθ3 (4.29)

Aplicando Euler en la Ec. (4.29) y agrupando terminos reales e imaginarios:

r1 cos θ1 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3

r1 sin θ1 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3(4.30)

Tomando en cuenta que θ1 = 0 y sustituyendo en la Ec. (4.30):

r1 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3 (4.31)

0 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3 (4.32)

Despejando la Ec.(4.32) en terminos de θ3:

θ3 = arcsin

(−r2 sin θ2

r3

)(4.33)

Como se observa las ecuaciones (4.24), (4.27) y (4.33) son muy semejantes; ası,formulando una ecuacion para los tres casos, la cual dependa de la ubicacion de lacorredera (ver Figura 4.5), se obtiene la expresion (4.16):

θ3 = arcsin

(r4−r2 sin θ2

r3

)corredera arriba del eje(

−r2 sin θ2r3

)corredera en el eje(

−r4−r2 sin θ2r3

)corredera de bajo del eje

(4.34)

Para determinar la posicion del punto acoplador del mecanismo se establece en elsistema 0XrYr:



En el sistema de coordenado general el punto se expresa como:[CxCy

]=


] [CxrCyr

]+

[x0y0

](4.36)

47

Figura 4.6: Mecanismo de cuatro barras manivela corredera

4.2.3. Cinematica del mecanismo manivela-corredera

En la Figura 4.6 se visualiza el mecanismo de cuatro barras en configuracionmanivela corredera, en este caso la corredera puede estar en cualquiera de las dosposiciones mostradas.

Para la configuracion de manivela corredera donde la corredera se ubica en labarra r3, se utiliza la ecuacion de cierre de circuito (4.37) para analizar la posicion:

~r1 = ~r2 + ~r3 (4.37)

Utilizando notacion polar en la Ec. (4.37):

r1ejθ1 = r2e

jθ2 + r3ejθ3 (4.38)

Aplicando la ecuacion de Euler en la Ec. (4.38) y agrupando terminos reales e ima-ginarios:

r1 cos θ1 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3

r1 sin θ1 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3(4.39)

Tomando en cuenta que θ1 = 0 y sustituyendo en la Ec. (4.39):

r1 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3 (4.40)

0 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3 (4.41)

Despejando la Ec. (4.41) en terminos de r3

r3 =−r2 sin θ2

sin θ3(4.42)

Despejando la Ec. (4.40) en terminos de r3 cos θ3 y sustituyendo la Ec. (4.42):

(−r2 sin θ2

sin θ3

)cos θ3 = r1 − r2 cos θ2 (4.43)

48

Despejando la Ec. (4.43 )

−r2 sin θ2 =

(sin θ3cos θ3

)(r1 − r2 cos θ2) (4.44)

Despejando la ecuacion (4.45) en terminos de θ3

θ3 = arctan

(−r2 sin θ2

r1 − r2 cos θ2

)(4.45)

Para determinar la posicion del punto acoplador del mecanismo se establece enel sistema 0XrYr:



En el sistema de coordenado general el punto se expresa como:[CxCy

]=


] [CxrCyr

]+

[x0y0

](4.47)

4.3. Restricciones de diseno

A continuacion, se describen las restricciones necesarias para realizar el plan-teamiento del problema de optimizacion, algunas restricciones estan relacionadasespecıficamente con cada uno de los mecanismos y por otro lado, se tienen restric-ciones para determinar el movimiento del mismo.

4.3.1. Restricciones de diseno asociadas con la cinematica

Cuando se realiza la sıntesis dimensional de un mecanismo de cuatro barras enla configuracion de manivela biela corredera se debe cumplir la ley de Grashof paratener un correcto funcionamiento. En ella se establece que la suma de las longitudesmas corta y mas larga de los eslabones de un mecanismo de cuatro barras no puedeser mayor que la suma de las longitudes de los dos eslabones restantes, si se desea queexista una rotacion relativa continua entre dos elementos. Asignando s al eslabonmas corto, l al mas largo, p y q a las longitudes de los eslabones restantes, la ley deGrashof se establece como :

l + s ≤ p+ q (4.48)

Para este analisis la ley de Grashof esta dada por la Ec. (4.49 ) :

r1 + r2 ≤ r3 + r4 (4.49)

49

Para asegurar que el metodo de solucion cumpla la ley de Grashof se establecen lassiguientes restricciones.

r2 < r3 < r4 < r1 (4.50)

En la configuracion de manivela-biela-corredera se tiene que cumplir el siguientecriterio

r4 < (r3 − r2) (4.51)

Para el caso de la configuracion de manivela-corredera, de igual manera que en loscasos anteriores se debe asegurar la movilidad del mecanismo. Por ello:

r2 < r1 (4.52)

Al tenerse un problema de sıntesis para la generacion de trayectoria o movimientosin sincronizacion prescrita, es necesario asegurar que los valores de los angulos dela manivela sean ordenados. Si los angulos para el punto de precision i se denotancomo θi2, entonces se debe cumplir:

θ12 < θ22 < ... < θk2 (4.53)

donde k es el numero de puntos de presion.

4.3.2. Restricciones de diseno asociadas con la topologıa

Los mecanismos tienen que cumplir un conjunto de restricciones funcionales,las cuales estan relacionadas con criterios de movilidad para cualquier mecanismo,uno de los criterios es determinar los grados de libertad (GDL). El GDL define elnumero de parametros necesario para definir la posicion del sistema en el espacio encualquier instante de tiempo. Existen tres casos especiales de grados de libertad deun sistema los cuales son:

Si el numero de GDL es positivo, es mecanismo y las barras tendran movi-miento.

Si el numero de GDL es exactamente cero, es una estructura, las barras notienen movimiento.

Si el numero de GDL es negativo, es una estructura precargada.

Aplicando el criterio de Grubler – Kutzbach para los GDL o de movilidad (m)definido por la ecuacion (4.54), se puede determinar la movilidad del mecanismo:

m = 3 (n− 1)− 2J1 − J2 (4.54)

donde m es la movilidad (grados de libertad), n es el numero de eslabones, J1 sonpares de un grado de libertad y J2 son pares de dos grados de libertad. Si la movilidadde un mecanismo es m = 0 entonces el mecanismo no se mueve, en otro caso si m < 0entonces esta sobre restringido y de igual manera esta estatico. Para este caso de

50

estudio es fundamental que el mecanismo tenga movimiento, y para garantizarlo sedebe cumplir la restriccion en (4.55 ) :

−m < 0 (4.55)

4.4. Estrategia de optimizacion

Como se menciono anteriormente, el algoritmo seleccionado para resolver losproblemas propuestos es evolucion diferencial en su version ran/1/bin, el cual fuemodificado para el manejo de restricciones y de variables de tipo mixto y manejarmatrices. En la Figura 4.7 se presenta el proceso de generacion de cada individuoen la poblacion inicial, donde:

Figura 4.7: Generacion de solucion aleatoria

Generar un grafo: se determina aleatoriamente el numero n de barras conlas que contara el mecanismo, con el cual se genera una matriz cuadrada detamano nxn y se rellena la matriz con ”1” y ”0”, donde los 1 son la unionesde los vertices (union entre eslabones), esto se realiza de forma aleatoria solopara la diagonal superior de la matriz y dichos valores se reflejan en la diagonalinferior de la matriz, esto se realiza con la finalidad de que sea simetrica.

Determinar el tipo de uniones: Teniendo la matriz de adyacencia (pasoanterior), se procede a asignar los tipos de uniones con el que va a contar elmecanismo, se coloca el tipo de union remplazando los unos de la diagonalsuperior de la matriz por numeros que nombren un tipo junta la cual se asignade manera aleatoria.

51

Asignacion de tamanos de eslabones: se agregan las dimensiones de ca-da eslabon remplazando los unos de la diagonal inferior de la matriz, dichasdimensiones se generan de manera aleatoria con numeros positivos dentro delrango correspondiente.

Agregar informacion extra: parte de la informacion extra se refiere a defi-nir en donde se encuentra la barra de entrada (1), la barra de salida (2) dondeestara el punto acoplador, y la barra de tierra (3). Esta informacion se guar-da en la diagonal principal de la matriz, donde cada posicion se refiere a uneslabon; por ejemplo: supongase que se tiene una matriz A de nxn elementosy se denomina entrada a la barra (4), entonces a4,4 = 1 donde los subındicesindican la barra. Posteriormente se extiende la matriz agregando dos columnasa su derecha, en la primera de ellas se indica el punto acoplador y en la se-gunda columna se incluyen la coordenada de desplazamiento y la rotacion delmecanismo. Finalmente se agregan las dimensiones de los eslabones ternarioso cuaternarios, etc., adicionando las columnas requeridas.

Una vez generada la poblacion inicial se procede a evaluar las soluciones candi-datas, siguiendo el proceso de la Figura 4.8, el cual se describe a continuacion:

Tomar informacion de la matriz y reconstruir grafo: se toma la infor-macion necesaria para reconstruir el grafo (se extrae una matriz cuadrada)y se copia a una variable auxiliar para conservar el original. El proceso dereconstruccion del grafo es el siguiente:

1. Se elimina toda la informacion que se encuentra en las diagonales inferiory principal de la matriz auxiliar.

2. Se reemplazan todos los numeros diferentes a cero por unos, y se refleja ladiagonal superior en la diagonal inferior con la finalidad de obtener unamatriz simetrica.

Verificacion del grafo: se revisa que todos los vertices del grafo reconstruidotengan conexion y que esten asociados por lo menos con dos aristas; al cumpliresto se dice que el grafo tiene ciclos. Si no se cumplen las condiciones anteriores,se penaliza la suma de violacion de restricciones con un valor alto

Busqueda de isomorfismo: se determina el numero de barras de la solucioncandidata a partir de la matriz auxiliar generada, y el grafo se compara con labase de datos para saber si existe isomorfismo con alguno de los contenidos endicha base. En caso contrario se penaliza la suma de violacion de restricciones.

Identificacion del mecanismo: seleccionar el modelo del mecanismo quese esta describiendo en el grafo tomando en cuenta el tipo de uniones en lasolucion.

Extraccion de informacion de la matriz: a partir de identificar el modelose extrae de la matriz la informacion requerida del mismo. Es importantemencionar que cada mecanismo es diferente, por lo tanto, el modelo tambien

52

Figura 4.8: Evaluacion de solucion

es diferente y en consecuencia la informacion cambia entre los diversos modelosde la base de datos.

Evaluar la calidad del mecanismo seleccionado: se remplaza la informa-cion extraıda en el modelo general y las restricciones, con lo cual se determinala calidad de solucion.

Penalizacion de la suma de violacion de restricciones: para este caso sepenaliza con un valor muy grande, mayor a 2000 cuando el grafo no contieneciclos y 1000 si el mecanismo no se encuentra en la base de datos; esto escon la finalidad de que primero se forme el mecanismo (cinematica cerrada) ydespues se asemeje a alguno en la base de datos.

El algoritmo ED se presenta en la Figura 4.9 y en el algoritmo 4.4.1, incluyendolas modificaciones realizadas. Los pasos correspondientes se detallan a continuacion:

1. Generar soluciones aleatorias: se genera un conjunto N de grafos (Figura 4.7) yN vectores con un tamano igual al numero de puntos de la trayectoria deseada,donde una matriz (un grafo) y un vector representan a un individuo.

53

Figura 4.9: Implementacion del algoritmo de optimizacion

2. Evaluacion de soluciones: se determina la calidad de las soluciones evaluandolasde acuerdo al proceso presentado en la Figura 4.8.

3. Generar nuevas soluciones candidatas con el algoritmo seleccionado: se apli-can los operadores de modificacion a las soluciones obtenidas previamente, sinimportar si las variables son enteras o continuas, en el caso de ED se usan losoperadores de cruza y mutacion.

4. Reparar soluciones candidatas: el proceso se lleva en dos fases, la primera con-siste en reparar las variables enteras que se encuentran en la diagonal superiorde la matriz redondeandolas a su numero mas proximo; el segundo paso esverificar las cotas de diseno del resto de la matriz, ası como los rangos de losvectores que contienen los angulos de posicion del mecanismo para cada puntodeseado.

5. Evaluaciones de soluciones: se evaluan nuevamente las soluciones candidatasreparadas.

6. Seleccion de soluciones: se realiza la comparacion entre el padre y el hijo,donde el individuo con mejor aptitud es el que pasa a la siguiente generacion,

54

mediante una seleccion basada en las reglas de Deb. El remplazo se efectua noimportando si los dos mecanismos (grafos) son diferentes, ya que solamente setoma en cuenta el valor de la funcion objetivo y de la suma de violacion derestricciones.

7. Verificacion del criterio de paro: cuando este se cumple por alcanzar el lımiteya sea del numero de evaluaciones o del numero de iteraciones, se termina laejecucion

Algoritmo 4.4.1: Modificacion del Algoritmo de Evolucion Diferencial

1 inicializar los parametros del algoritmo (Gmax, F,Cr,Np);2 generar aleatoriamente X0

i , i = 1, ..., Np;// Poblacion incial aleatoria, usando la MSP para representacion de

individuos;

3 evaluar cada individuo de la poblacion en f(X0

i

), i = 1, ..., Np;

4 for (g = 0; g < Gmax; g++) do5 for (i = 1; i ≤ Np; i++) do6 seleccionar aleatoriamente r0, r1, r2 ∈ [1, Np], donde r0 6= r1 6= r2 6= i7 seleccionar aleatoriamente jrand ∈ [1, D], krand ∈ [1, E]

// D y E son las dimensiones de la matriz

8 for (j = 1; j ≤ D; j++) do9 for (k = 1; k ≤ E; k++) do

10 generar aleatoriamente randj ∈ [0, 1]11 if (randj ≤ Cr) or (jrand = j and krand = k) then12 Ug

i,j,k = Xgr0,j,k + F (Xg

r1,j,k–Xgr2,j,k)

13 else14 Ug

i,j,k = Xgi,j,k

15 end

16 end

17 end18 reparar Ug

i

19 evaluar solucion candidata f (Ugi )

20 if f (Ugi ) < f (Xg

i ) // Usando reglas de Deb then

21 Xg+1i = Ug

i

22 else

23 Xg+1i = Xg

i

24 end

25 end

26 end

4.5. Casos de estudio

Para evaluar la funcionalidad de la metodologıa SPM se realiza la sıntesis to-pologica-dimensional de un mecanismo para seguir una trayectoria en lınea rectay como caso primordial para la generacion de la trayectoria de la marcha humanautilizando el metodo propuesto, tal como se describe a continuacion.

55

4.5.1. Trayectoria de lınea recta (caso 1)

Se requiere encontrar la configuracion del mecanismo de cuatro barras (entre lastres variantes consideradas) y las dimensiones de sus eslabones, para que el acopladorpase sobre los seis puntos de precision (k = 6) alineados en una trayectoria verticaldefinida por las siguientes coordenadas:

Ω =

(20, 20) , (20, 25) , (20, 30) , (20, 35) , (20, 40) , (20, 45)

(4.56)

4.5.2. Trayectoria de la marcha (caso 2)

Se toma el caso de estudio con base al trabajo de Calva-Yanes [[38]], en el cualse diseno un mecanismo para rehabilitacion de marcha para infantes con paralisiscerebral, para ello, se debe seguir la trayectoria de marcha por puntos, los cualesson definidos en [[16]] junto al diseno de un mecanismo de cuatro barras de tipobiela-balancın; sin embargo, la respuesta a estos problemas de diseno fue sobre unmecanismo establecido arbitrariamente determinando las dimensiones de sus ele-mentos. En esta propuesta, el problema se aborda considerando la topologıa paraseleccionar el mecanismo y la sıntesis dimensional de los eslabones de forma con-currente utilizando la Metodologıa Santiago-Portilla-Mezura. La trayectoria de lamarcha esta descrita por los puntos de precision mostrados en la expresion 4.57(k = 13 puntos):

Ω =

(64.74204103, 16.06501848) , (42.00886037, 18.08348493) , (26.18710764, 22.50893717) ,(19.33643289, 22.5634014) , (16.05298274, 20.03027145) , (16.39195057, 16.61596258) ,(19.63855086, 13.75429811) , (30.01157559, 10.73994506) , (41.58550555, 10.11693681) ,(51.88685237, 11.48846477) , (60.13896349, 13.88496143) , (66.5117356, 15.72773751) ,

(74.29081816, 18.80037745)

(4.57)

4.5.3. Variable de diseno

Para este caso particular de la sıntesis topologica y dimensional se hace uso dela matriz generada por el metodo SP donde se contiene la informacion necesariaque describe a un mecanismo, por otro lado para seguir una trayectoria es necesarioconocer los angulos de la barra de entrada para los puntos en especıfico que serequieren tocar, para esto se usa un vector adicional el cual contiene dichos angulos,tal como se presenta en la expresion (4.53) de seccion 4.3.1. Para este trabajo enparticular la representacion de solucion (variables de diseno) como se muestra en laFigura 4.10:

4.5.4. Planteamiento del problema de optimizacion

Para encontrar el mecanismo mas adecuado con sus respectivas medidas, se plan-tea un problema de optimizacion mono-objetivo, donde se desea minimizar el error

56

Figura 4.10: Variables de diseno

entre el punto acoplador y los puntos deseados, segun la ecuacion 4.58:

min f (~p) =k∑i=1

[(Cixd − Ci

x

)2+(Ciyd − Ci

y

)2]p ∈ Rk+16 (4.58)

Sujeto a:

gi (~p) = θi2 − θi+12 ≤ 0 i =

1, 2, ...k − 1

(4.59)

gk+1 (~p) = 1−m ≤ 0 (4.60)

gk+2 (~p) = r1 + r2 − r1 − r4 ≤ 0 (4.61)

gk+3 (~p) = r1 − r3 ≤ 0 (4.62)

gk+4 (~p) = r3 − r4 ≤ 0 (4.63)

gk+5 (~p) = r4 − r1 ≤ 0 (4.64)

gk+6 (~p) = |r4| − (r3 − r2) ≤ 0 (4.65)

gk+7 (~p) = r2 − r1 ≤ 0 (4.66)

con cotas:

r1, r2, r3, r4 ∈ [0, 60] (4.67)

rcx, rcy, x0, y0 ∈ [−60, 60] (4.68)

θ0, θi2 ∈ [0, 2π] i =

1, 2, ...k

(4.69)

u1, u2, u3, u4 ∈

0, 4, 5

(4.70)

t1, t2, t3, t4 ∈

0, 1, 2, 3

(4.71)

Las restricciones (4.59) a (4.60) se aplica a cualquier configuracion de los mecanis-mos, mientras que el resto se aplica dependiendo de la seleccion: para el mecanismomanivela-biela-balancın se utilizan de (4.61) a (4.64), para la configuracion manivela-biela-corredera se usa la ecuacion (4.83) y finalmente para manivela-corredera seaplica la expresion (4.66).

Para evaluar la calidad de los resultados obtenidos el mismo problema fue resueltopor separado con cada configuracion, utilizando los planteamientos presentados acontinuacion.

57

Mecanismo manivela-biela-balancın:

min f (~p) =k∑i=1

[(Cixd − Ci

x

)2+(Ciyd − Ci

y

)2]p ∈ R15 (4.72)

Sujeto a:

gi (~p) = θi2 − θi+12 ≤ 0 i =

1, 2, ...k − 1

(4.73)

g6 (~p) = r1 + r2 − r1 − r4 ≤ 0 (4.74)

g7 (~p) = r1 − r3 ≤ 0 (4.75)

g8 (~p) = r3 − r4 ≤ 0 (4.76)

g9 (~p) = r4 − r1 ≤ 0 (4.77)

con cotas:

r1, r2, r3, r4 ∈ [0, 60] (4.78)

rcx, rcy, x0, y0 ∈ [−60, 60] (4.79)

θ0, θi2 ∈ [0, 2π] i =

1, 2, ...k

(4.80)

Mecanismo manivela-biela-corredera:

min f (~p) =k∑i=1

[(Cixd − Ci

x

)2+(Ciyd − Ci

y

)2]p ∈ R14 (4.81)

Sujeto a:

gi (~p) = θi2 − θi+12 ≤ 0 i =

1, 2, ...k − 1

(4.82)

g6 (~p) = |r4| − (r3 − r2) ≤ 0 (4.83)

con cotas:

r2, r3 ∈ [0, 60] (4.84)

rcx, rcy, x0, y0, r4 ∈ [−60, 60] (4.85)

θ0, θi2 ∈ [0, 2π] i =

1, 2, ...k

(4.86)

Mecanismo manivela-corredera:

min f (~p) =k∑i=1

[(Cixd − Ci

x

)2+(Ciyd − Ci

y

)2]p ∈ R13 (4.87)

Sujeto a:

gi (~p) = θi2 − θi+12 ≤ 0 i =

1, 2, ...k − 1

(4.88)

g6 (~p) = r2 − r1 ≤ 0 (4.89)

58

con cotas:

r1, r2 ∈ [0, 60] (4.90)

rcx, rcy, x0, y0 ∈ [−60, 60] (4.91)

θ0, θi2 ∈ [0, 2π] i =

1, 2, ...k

(4.92)

4.5.5. Complejidad computacional

Un parametro de medicion del grado de complejidad de un problema es unarelacion entre la zona factible y el espacio de busqueda, definido por Michalewiczy Schoenauer como ρ = |F |/|S|, donde |S| es el numero total de soluciones y |F |es el numero de soluciones factibles dentro del total de soluciones [[39]], [[40]]. Amedida que el valor disminuye la complejidad de encontrar soluciones aumenta paralos algoritmos, por lo que el problema implica un mayor reto computacional. Parael problema de la trayectoria de lınea recta se dividen en cuatro casos: uno es elproblema general (seleccion de la configuracion y dimensiones del mecanismo) y enlos otros tres casos se determinan las dimensiones,el segundo problema solo se tieneuna caso. Para el calculo de ρ se genero aleatoriamente un millon de soluciones paracada caso, obteniendose los resultados mostrados en la Tabla 4.2:

Tabla 4.2: Parametros de ED

Topologıa Sıntesis manivelabiela balancın biela corredera corredera

ρ 0.006033 0.0043 0.105716 0.069693

59

Capıtulo 5

Resultados y analisis

5.1. Implementacion computacional

Despues de realizar una serie de pruebas preliminares para sintonizar los parame-tros del algoritmo metaheurıstico, se llevo a cabo un conjunto de treinta simulacionesindependientes para cada enfoque de solucion, aplicado al caso de estudio 1. Dichosenfoques fueron: a) la solucion del problema aplicando la metodologıa SPM desarro-llada en esta tesis, y b) la sıntesis dimensional para cada una de las tres topologıasseleccionada individualmente. De esta forma, para las dos estrategias mencionadas seimplementaron cinco soluciones basadas en el algoritmo ED, con la finalidad de vali-dar los resultados generados por la metodologıa propuesta. Para el caso 2 solamentese aplica la metodologıa SPM. Cada implementacion se ejecuto con los siguientesparametros de sintonizacion: poblacion NP = 100 individuos, numero de evalua-ciones EV AL = 500, 000, factor de escala aleatorio F = [0.3, 0.9] por generacion yfactor de cruza aleatorio CR= [0.8, 1.0] por corrida. La programacion se llevo a caboen Matlab R2013, en una plataforma computacional con las caracterısticas siguien-tes: memoria RAM de 8 Gb, procesador Intel Core [email protected] GHz y sistema operativoMicrosoft Windows 8.1.

5.2. Resultados

En las Tablas B.7 y B.8 que se encuentran en los anexos se presentan las mejo-res catorce soluciones obtenidas por el metodo SPM. Se obtuvieron ocho solucionesdiferentes que alcanzaron el valor optimo de la funcion objetivo, FO = 0, lo queindica que la trayectoria se cumple a la perfeccion y el problema es multimodal.Adicionalmente se encontraron seis mecanismos que siguen la trayectoria requeridacon un error de 1x10−28; desde el punto de vista de la manufactura este error no essignificativo, por lo cual tambien se podrıa considerar como un error cero. La Figura5.1, se muestra tres soluciones con FO = 0, de las cuales dos tienen la configuracionde manivela-biela-corredera (Figura 5.1 a, b) con diferentes medidas y posicion. Latercera solucion corresponde a una configuracion manivela-corredera (Figura 5.1c),que adicionalmente tiene un lazo de retorno diferente.En la Tabla 5.1, se muestran las estadısticas parametricas calculadas a partir de

61

los resultados obtenidos con cada una de las cuatro implementaciones, en donde sepude apreciar que las mejores soluciones encontradas corresponden a la metodologıapropuesta de topologıa-dimensionamiento y a la sıntesis dimensional de la configu-racion de manivela-biela-corredera, con FO = 0. En la Figura 5.2 se simula la mejorsolucion obtenida de cada una de las sıntesis individuales y sus dimensiones se vi-sualizan en la Tabla 5.2, cuyos resultados se reportan en el Anexo B, en las TablasB.1 - B.6. La Figura 5.2.b muestra el mejor resultado al tener una funcion objetivode cero, en cuanto a las dos figuras restantes se tiene un error de 1x10−28 fısicamenteno es perceptible. Una de las diferencias entre las configuraciones es el tamano delretorno.

Tabla 5.1: Tabla de estadısticas caso 1

MSPMSıntesis manivela

biela balancın biela corredera corredera

Mejor 0 1.26217744835E-29 0 1.009741956E-28Mediana 4.766944480E-21 3.192420253068E-05 8.8352421384E-29 0.8995672551389

Peor 1.170286930986 0.000388234639577 0.89958863769350 0.8995672613289Media 0.470986968835 0.000124542323771 0.09501262862560 0.5107321616912

Desviacionestandar

0.580908261975 0.000145915781199 0.27385593490488 0.4522526716269

Tabla 5.2: Tabla de vector de variables de diseno de la mejor solucion, caso 1

Manivela biela balancın Manivela biela corredera Manivela corredera

r1 32.5484604279470 - 13.5199479672895r2 8.0193019266091 14.0781355818929 7.22240073506057r3 26.1212921511724 26.6224766189845 -r4 32.4877163594636 10.5793199704342 -rcx 37.2935045434189 26.6224766189845 59.4581621925750rcy 16.1792116830584 2.1228526930E-13 5.7294060142E-13θ0 4.0463213239333 4.7123889803846 6.2831853071795x -10.2005968305781 9.4206800295655 -32.2359656758705y 57.3618225382127 58.3883632231295 32.5000000000032

FO 1.26217744835362E-29 0 1.0097419586829E-28

En la Figura 5.5 se Presenta la mejor solucion obtenida utilizando el metodo SPMpara resolver el seguimiento de trayectoria de la marcha, sus respectivos resultadosse encuentran en las Tablas C.1-C.3, cabe destacar que la metodologıa encuentravarias veces el mejor resultado. Por otra parte se encuentra un mınimo local dondequeda atrapado la gran mayorıa de las ecuaciones, por esta razon el valor de ladesviacion estandar es alta como se muestra en la Tabla 5.3.

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Figura 5.1: Soluciones encontradas usando la metodologıa SPM, caso 1

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(a) Manivela-biela-balancın (b) Manivela-biela-corredera

(c) Manivela-corredera

Figura 5.2: Soluciones encontradas realizando sıntesis dimensional caso 1

5.3. Analisis de resultados

En la Tabla 4.2, se observa que la mayor complejidad computacional corres-ponde a la sıntesis del mecanismo en la configuracion manivela-biela-balancın conρ=0.0043, siendo la segunda mas compleja, la solucion topologıa-dimensionamientocon ρ=0.00603. Las graficas en la Figura 5.3 corresponden a la convergencia de losindividuos en las soluciones implementadas; como se observa, en el comportamientogeneral correspondiente a la complejidad calculada para cada uno de ellos. Sin em-bargo, en el caso de topologıa-dimensionamiento, el algoritmo heurıstico requiere unmayor numero de evaluaciones de funcion objetivo, para que toda su poblacion entrea la zona factible. Ello obedece a que se requiere encontrar el mecanismo adecuadoy cumplir sus respectivas restricciones de movilidad.

En la Figura 5.4, se muestra la convergencia de la funcion objetivo para cada

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Figura 5.3: Comportamiento de los individuos factibles

Tabla 5.3: Tabla de estadısticas del metodo SPM, caso 2

Mejor 2.67819357366Media 8.01753113731

Mediana 9.33967714669Peor 9.339677146691

Desviacion estandar 2.689941223697

uno de los enfoques implementados. En las graficas se puede observar que para elcaso de topologıa, se tiene una convergencia mas rapida una vez que se tiene unindividuo factible, aunque una deficiencia de este comportamiento es que se puedecaer en mınimos locales. Este caso se puede ver en la Tabla 5.1 que si bien obtuvoel mejor resultado, tambien genero el peor, con la desviacion estandar mas alta.

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Figura 5.4: Comportamiento de la funcion objetivo

Figura 5.5: Soluciones encontradas usando la metodologıa SPM caso 2

66

Capıtulo 6

Conclusiones

Desde el punto de vista del diseno, la metodologıa SPM desarrollada en estainvestigacion presenta un buen desempeno en la solucion del caso de estudio, su-giriendo que puede ser una herramienta util para su aplicacion en otros problemasde ingenierıa del mundo real, en donde se disenen mecanismos. El hecho de que lastareas de diseno tanto topologico como dimensional se realicen de manera concu-rrente le proporciona una gran flexibilidad y autonomıa, ya que no se requiere laexperiencia del disenador para saber que configuracion se adapta mejor al problema.

El uso de un algoritmo metaheurıstico, permite que se obtengan diferentes alter-nativas de solucion, entre las cuales se puede seleccionar la que mejor se adecue a lasnecesidades, no solo de diseno sino tambien de implementacion, basandose en algunotro criterio tal como la manufactura, el ensamble o el costo. Aunque el algoritmoimplementado fue disenado para problemas con variables continuas, en este caso sedemuestra su eficiencia resolviendo un problema con variables mixtas. Sin embargo,una limitacion para su uso es que puede estancarse en algun mınimo local, como semuestra en las tablas de simulaciones y estadısticas, teniendo como causa posible elque no se tenga una buena sintonizacion de los parametros.

Una de las mayores dificultades presentadas durante el desarrollo de este tra-bajo fue encontrar las representaciones de los mecanismos con los que trabaja elalgoritmo, de tal forma que pudiese integrarse en la metaheurıstica de solucion, con-siderando que cada representacion tiene un numero de parametros propios.

La metodologıa SP propuesta en esta tesis es capaz de representar cualquiermecanismo plano que cumpla la restriccion establecida, en dicha tecnica toma encuenta la forma, tamano de los elementos, posicion, orientacion y la funcion quedesempena cada uno de sus elementos en una sola matriz, este metodo puede serutilizado como herramienta computacional de diseno de mecanismos planos, ası mis-mo en otras aplicaciones diferentes a las expuestas en este trabajo, en otras palabraspuede ayudar a elegir un mecanismo para cualquier tarea.

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Trabajos a futuro

Como trajo a futuro se propone ampliar la base de datos de los mecanismos yaplicar la metodologıa SPM para obtener soluciones aplicadas a diferentes tipos detareas. Tambien se plantea anadir modificaciones a la metodologıa SP para manejode cadenas cinematicas abiertas y cerradas empleadas en espacios tridimensionalesy adicionalmente realizar modificaciones a los operadores de variacion del algoritmode optimizacion utilizado, con la finalidad de encontrar soluciones.

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Anexos

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Anexo A

Productividad

Artıculos en revistas JCR.

1. A Graph-Theory Based Method for Topological and Dimensio-nal Representation of Planar Mechanisms as a Computational Toolfor Engineering Design. Eric Santiago-Valentın, Edgar Alfredo Portilla-Flores,Efren Mezura-Montes, Eduardo Vega-Alvarado, Maria Barbara Calva-Yanez, Mar-tin Pedroza-Villalba., en IEEE Access, 2018. DOI: 10.1109/ACCESS.2018.2885563registrada en ındice JCR Q1,

2. Truss Topology Optimization based on a Birth/Death Element Ap-proach. Martin Pedroza-Villalba, Edgar Alfredo Portilla-Flores, Eduardo Vega-Alvarado, Maria Barbara Calva-Yanez, Eric Santiago-Valentın, Enrique Alcala-Fazio.,en IEEE Access, 2018. DOI: 10.1109/ACCESS.2018.2881609, registrada en ındiceJCR Q1.

3. Hybrid Metaheuristic for Designing an End Effector as a Cons-trained Optimization Problem. Eduardo Vega-Alvarado, Edgar Alfredo Portilla-Flores, Maria Barbara Calva-Yanez, Gabriel Sepulveda-Cervantes, Jorge AlexanderAponte-Rodrıguez, Eric Santiago-Valentın, Jose Marco Antonio Rueda-Melendez.,en IEEE Access, vol. 5, pp. 6002-6014, 2017.DOI: 10.1109/ACCESS.2017.2691660,registrada en ındice JCR Q1.

4. Reconfigurable Mechanical System Design for Tracking an AnkleTrajectory Using an Evolutionary Optimization Algorithm. Maria Bar-bara Calva-Yanez, Paola Andrea Nino-Suarez, Edgar Alfredo Portilla-Flores, JorgeAlexander Aponte-Rodrıguez,Eric Santiago-Valentın., en IEEE Access, vol. 5, pp.5480-5493, 2017. DOI: 10.1109/ACCESS.2017.2692681, registrada en ındice JCRQ1.

5. On the Impossibility of Building a Thau Observer for a NonlinearModel of an Induction Motor. Perez Jose Humberto, Eric Santiago-Valentin,Maricela Figueroa, Jaime Pacheco, David Avila, Pedro Alejandro Tamayo, JuanaEloina Mancilla Tolama, Luis Armando Flores Herrera., en IEEE Latin AmericaTransactions, vol. 17, pp. 1870 - 1877, 2018. DOI: 10.1109/TLA.2018.8447351, re-gistrada en ındice JCR Q4.

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Artıculos en revistas indexadas.

1. Sıntesis optima de un mecanismo de cinco barras de 2-gdl utili-zando tecnicas de inteligencia artificial. Maria Barbara Calva-Yanez , PaolaAndrea Nino-Suarez, Jorge Alexander Aponte-Rodrıguez, Eric Santiago-Valentın ,Edgar Alfredo Portilla-Flores, Gabriel Sepulveda-Cervantes., en Research in Com-puting Science, No. 113, pp 105-118. 2016, ISSN: 1665-9899 registrada en ındiceLatindex DBLP y Periodica.

2. Optimizacion de Armaduras Reticulares Mediante Computo Evo-lutivo . Martin. Pedroza-Villalba, Eric. Santiago-Valentın, Eduardo Vega-Alvarado,Enrique Alcala-Fazio, Edgar Alfredo Portilla-Flores. Polibits (Aceptado)

Congresos Internacionales

1.Diseno Mecanico de un Dispositivo Robotico para Rehabilitacionde Muneca y Optimizacion de su Estructura. Jorge Alexander Aponte-Rodrıguez , Edgar Alfredo Portilla-Flores, Oscar Fernando Aviles-Sanchez, EricSantiago-Valentın, Maria Barbara Calva-Yanez., en 13º Congreso Iberoamericanode Ingenierıa Mecanica, Lisboa, Portugal, 23-26 de Octubre de 2017, pp. 1-11.

2. Un enfoque alternativo para la optimizacion topologica de es-tructuras reticulares. Martin Pedroza-Villalba, Eric Santiago-Valentın, EduardoVega-Alvarado, Edgar Alfredo Portilla-Flores, Enrique Alcala-Fazio., , IV CongresoInternacional sobre Tecnologıas Avanzadas de Mecatronica, Diseno y Manufactura- AMDM 2018.

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Anexo B

Simulaciones del caso de estudio 1

Tabla B.1: Tabla de simulaciones manivela biela balancın caso 1, parte 1.

N r1 r2 r3 r4 rcx rcy θ0 x0

1 32.54846 8.01930 26.12129 32.48771 37.29350 16.17921 4.04632 -10.200592 47.54823 4.81357 11.02600 41.35842 -5.92403 -19.81880 4.40210 35.871883 39.33433 8.87865 27.27681 39.15278 35.71020 16.56435 3.90044 -7.678834 38.15398 8.38833 28.32501 37.03551 37.91333 18.39544 3.96637 -10.383735 28.26272 7.42774 27.28047 27.57962 45.81798 19.41790 4.29752 -20.539296 40.02545 8.69533 28.36864 39.61244 37.31963 17.13804 3.92011 -8.958557 37.43192 8.30172 28.15183 36.19785 37.93102 18.56995 3.97989 -10.639568 34.99676 8.18236 28.85812 34.83173 41.86934 18.17976 4.07646 -14.499159 34.16777 7.93614 28.25655 33.10890 40.79521 19.22501 4.08468 -14.22571

10 39.72000 8.71614 28.12663 38.97444 36.87973 17.68446 3.92020 -8.9581011 46.61953 6.94532 18.92236 35.25246 -46.75622 1.60535 5.45927 59.8311812 39.73310 8.62230 28.51079 39.35001 37.71359 17.08284 3.93120 -9.2678513 36.49941 8.16395 28.12172 35.02952 38.24683 18.78416 4.00505 -11.1176814 59.98490 3.92882 16.97832 46.93619 17.16244 -30.19183 3.93026 50.8001815 33.70797 8.24331 27.82970 33.40998 40.00113 16.94534 4.07711 -12.3277416 59.63484 5.38506 20.17022 44.85578 12.93492 -43.18739 4.10809 59.6913217 33.31774 8.58100 27.22396 33.25986 38.86777 15.82392 4.06473 -10.7243018 23.35974 9.03054 23.32975 23.35505 44.96964 19.51144 4.38828 -20.9662419 19.70143 9.48757 19.70137 19.70138 44.72592 26.81748 4.43494 -26.4499320 22.71736 9.41881 22.07341 22.67985 43.07781 21.95211 4.35224 -21.0143721 59.99999 57.54076 59.99999 59.99999 8.47656 57.61223 3.58853 -59.9999922 52.43954 49.79492 52.39128 52.43947 6.94726 59.87642 3.64320 -58.1593323 52.12259 48.47730 51.11284 52.10674 5.73354 59.95500 3.64203 -58.1716824 58.16936 49.67073 52.07365 58.13255 -1.12019 56.40213 3.56380 -59.9733925 43.19002 9.682043 27.39747 43.17128 33.78519 12.93875 3.82073 -2.46769826 48.82129 38.34682 41.45078 48.81536 1.37419 59.92490 3.65124 -55.3056527 43.41437 9.83724 27.24920 43.39997 33.48914 12.89918 3.81245 -2.17963028 45.67722 9.86586 27.47680 45.65957 33.13874 12.35573 3.78003 -1.13503229 41.48202 10.38196 26.36610 41.47555 32.93102 14.26127 3.82374 -3.23787430 42.86711 10.31140 26.60698 42.86588 32.77916 13.57484 3.80453 -2.340350

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Tabla B.2: Tabla de simulaciones manivela biela balancın caso 1, parte 2.

N y0 θ12 θ22 θ32 θ42 θ52 θ2 6 FO

1 57.36182 1.71101 2.43769 2.96041 3.46688 4.02113 4.98379 1.2622E-292 30.78509 1.10587 1.48356 1.82739 2.16855 2.53156 2.96408 1.2622E-293 59.11054 1.67490 2.43550 2.94141 3.42729 3.95371 5.46480 3.7865E-294 59.94777 1.65703 2.43185 2.94864 3.44500 3.98865 5.18184 5.0487E-295 58.30492 1.81629 2.42942 2.91503 3.37924 3.86642 4.48543 1.3884E-286 59.93249 1.70838 2.45146 2.96031 3.45169 3.99126 5.27660 2.2719E-287 59.78050 1.64454 2.42668 2.94583 3.44395 3.98910 5.15725 3.9128E-288 59.86674 1.83506 2.48048 2.97597 3.45655 3.97940 4.76655 8.6776E-219 59.57780 1.73451 2.44010 2.95144 3.44301 3.97719 4.82838 1.0772E-20

10 59.91663 1.65978 2.43319 2.94263 3.43118 3.96268 5.36642 8.7025E-1311 15.33691 1.00714 1.21425 1.42949 1.66152 1.92385 2.24669 9.2760E-0912 59.99226 1.71392 2.45303 2.96343 3.45730 4.00173 5.19509 1.9073E-0713 59.81515 1.59427 2.40610 2.93042 3.43242 3.98195 5.04824 2.7074E-0614 38.82808 0.92368 1.39735 1.77099 2.10735 2.43001 2.75359 3.2840E-0615 59.63323 1.65371 2.38135 2.89048 3.37859 3.90382 4.62937 3.1924E-0516 46.06058 0.67200 1.06071 1.36547 1.63590 1.88978 2.13655 8.5276E-0517 59.66102 1.57812 2.32995 2.83415 3.31486 3.82622 4.47454 9.7716E-0518 59.99923 1.51064 2.11800 2.54951 2.93944 3.31083 3.67444 0.0001122919 59.99995 1.38385 2.02247 2.42503 2.77243 3.08684 3.37668 0.0001332220 59.98292 1.45464 2.09189 2.51553 2.89171 3.24371 3.58079 0.0001418721 60.00000 2.92387 3.00370 3.08211 3.15879 3.23356 3.30653 0.0002050422 59.98751 2.89031 2.97936 3.06604 3.14996 3.23100 3.30936 0.0002412423 59.99800 2.88239 2.97333 3.06160 3.14682 3.22888 3.30804 0.0002479224 58.85902 2.88681 2.97662 3.06328 3.14645 3.22615 3.30276 0.0002889425 59.98082 1.40493 2.34209 2.84231 3.32861 3.86934 4.63800 0.0003236726 59.94803 2.80934 2.92128 3.02741 3.12756 3.22202 3.31159 0.0003431127 59.98454 1.39684 2.33757 2.83290 3.31361 3.84587 4.57644 0.0003506528 59.97791 1.37607 2.35146 2.84863 3.33486 3.88190 4.69245 0.0003654129 59.99779 1.37523 2.31094 2.78210 3.23041 3.70594 4.26536 0.0003735630 59.95190 1.36804 2.32093 2.79725 3.25402 3.74594 4.34696 0.00038823

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Tabla B.3: Tabla de simulaciones manivela biela corredera caso 1, parte 1.

N r2 r3 r4 rcx rcy θ0 x0 y0

1 15.45507 53.73034 -7.05352 53.73034 1.900E-13 1.57080 12.94648 -17.659402 14.07814 26.62248 10.57932 26.62248 2.123E-13 4.71239 9.42068 58.388363 17.63554 27.38942 -7.32435 27.38942 1.666E-13 4.71239 27.32435 51.654074 12.55234 52.68655 -1.36760 52.68655 2.039E-13 1.57080 18.63240 -20.111815 13.98140 24.99574 7.16340 24.99574 4.815E-15 4.71239 12.83660 57.937256 14.05860 57.08991 -7.76249 57.08991 4.646E-13 1.57080 12.23751 -25.149727 9.78435 32.78298 22.64734 32.78298 8.039E-15 4.71239 -2.64734 54.708518 13.87270 59.77192 0.68217 59.77192 1.002E-12 1.57080 20.68217 -27.250759 30.39390 40.46096 0.51922 40.46096 1.290E-12 1.57080 20.51922 3.46238

10 50.47410 56.44198 -0.25971 56.44198 4.742E-12 4.71239 20.25971 59.9167811 18.38338 56.97530 -2.08845 56.97530 2.560E-12 1.57080 17.91155 -23.6070112 47.21586 53.40820 -0.00114 53.40820 6.590E-12 4.71239 20.00114 59.9868713 16.10671 53.17758 -6.74227 53.17758 2.454E-12 1.57080 13.25773 -21.8186214 33.91605 59.96899 13.12873 59.96899 9.575E-12 1.57080 33.12873 -7.1745515 43.40156 58.64714 4.66108 58.64714 2.933E-12 1.57080 24.66108 -3.5998416 45.20961 57.99430 -0.00415 57.99430 1.720E-11 1.57080 19.99585 -5.8697317 59.59349 59.81841 -18.63453 59.81841 4.504E-11 1.57080 1.36547 -12.5173618 13.19903 27.79951 -0.93513 27.79951 7.852E-13 4.71239 20.93513 59.8839419 13.95940 56.76430 -2.22116 56.76430 -1.161E-9 1.57080 17.77884 -24.5400620 51.17348 57.14764 -0.23228 57.14764 2.283E-8 4.71239 20.23228 59.9873421 15.74451 58.78868 0.19736 58.78868 6.307E-6 1.57080 20.19737 -26.7959322 53.87326 57.05832 2.75587 56.84223 0.11506 4.71238 16.99952 59.9181723 35.87339 44.59769 -0.04908 9.46855 28.24458 4.71230 -24.99950 59.9342224 47.24026 43.35766 3.75189 33.99545 59.88691 3.64470 -52.30154 -1.0409725 8.46796 32.11995 -16.79487 59.99435 59.97020 5.94997 -56.40610 42.1833026 50.21252 59.96820 -0.00968 13.78632 59.94342 4.84416 -57.74025 59.9939027 21.16659 21.98999 -0.00068 -30.73422 -59.38556 1.19564 -59.97011 24.3261328 0.00000 0.00000 1.598E-24 -53.93781 59.69488 4.01612 -60.00000 32.5000029 0.00000 0.00000 3.700E-14 -54.17095 -59.48340 2.27123 -60.00000 32.5000130 0.00008 0.00029 -2.513E-8 -59.68065 -53.95244 2.38775 -59.99998 32.50462

75

Tabla B.4: Tabla de simulaciones manivela biela corredera caso 1, parte 2.

N θ12 θ22 θ32 θ42 θ52 θ62 FO

1 3.04061 3.92673 4.34413 4.68580 5.00708 5.34981 02 0.55680 1.06487 1.42978 1.78883 2.19435 2.71374 03 0.77543 0.96286 1.14104 1.32583 1.54993 2.51985 04 3.09369 4.14329 4.60138 4.99657 5.41111 6.14164 05 0.37119 0.93695 1.29926 1.65124 2.05508 2.61090 06 3.69784 4.21099 4.59819 4.95403 5.33322 5.91667 07 1.00391 1.61591 2.09069 2.55805 3.05785 3.61724 08 3.66155 4.26084 4.65998 5.01424 5.38174 5.88493 1.26218E-299 4.29150 4.54507 4.72651 4.87625 5.01040 5.13739 3.78653E-29

10 1.32493 1.39772 1.47691 1.56719 1.67806 1.83289 3.78653E-2911 3.99012 4.36206 4.65816 4.92556 5.18942 5.47782 5.04871E-2912 1.30937 1.38784 1.47310 1.57022 1.68950 1.85615 5.04871E-2913 3.94924 4.35040 4.67951 4.98700 5.30904 5.72602 6.31089E-2914 4.31454 4.54665 4.71194 4.84823 4.96932 5.08213 7.57306E-2915 4.42042 4.58525 4.71221 4.81949 4.91543 5.00462 8.83524E-2916 4.43056 4.58057 4.70216 4.80739 4.90262 4.99167 1.00974E-2817 4.50556 4.60479 4.69413 4.77632 4.85336 4.92678 2.77679E-2818 0.31615 0.80691 1.15600 1.50054 1.91910 2.77965 1.19907E-2719 3.67596 4.24471 4.64034 4.99470 5.36468 5.88471 5.46783E-2320 1.33025 1.40231 1.48080 1.57038 1.68049 1.83428 7.04205E-2121 3.95366 4.38825 4.72570 5.03474 5.35381 5.75231 1.96764E-1422 1.34604 1.41599 1.49221 1.57903 1.68483 1.82858 2.18148E-0823 1.21855 1.38020 1.52674 1.66511 1.79857 1.92937 0.00118763224 4.03265 4.06788 4.09658 4.11793 4.13122 4.13591 0.00210611325 2.25037 2.53246 2.79192 3.05283 3.33579 3.67814 0.00325712126 1.72083 1.80980 1.89551 1.97841 2.05928 2.13883 0.01135301727 4.23702 4.30924 4.38388 4.46502 4.55970 4.69939 0.13375180228 1.97059 2.45953 2.80121 3.10675 3.40788 3.73201 0.89956725529 2.78420 2.97505 3.16266 3.35169 3.54712 3.75642 0.89956725930 2.59570 2.85239 3.09411 3.33420 3.58468 3.86449 0.899588638

76

Tabla B.5: Tabla de simulaciones manivela corredera caso 1, parte 1.

N r1 r2 rcx rcy θ0 x0 y0

1 13.51995 7.22240 59.45816 5.729E-13 6.28319 -32.23597 32.500002 13.60051 7.25978 59.82928 -1.550E-12 3.870E-14 -32.56970 32.500003 13.60866 7.26357 59.86685 -3.478E-12 8.754E-14 -32.60349 32.500004 13.44501 6.98180 59.82210 -0.57336 0.01423 -32.84231 30.851845 14.67003 5.58947 59.92509 22.10579 5.78308 -38.29229 44.641756 15.47818 5.45012 59.95577 -27.31738 0.60112 -40.41291 18.657727 16.74183 5.25174 59.99100 -34.48122 0.72594 -43.84043 16.485878 17.58431 5.28009 59.97794 -37.67867 0.78122 -45.38147 15.179219 19.48880 5.12924 59.99620 -45.70016 0.89919 -49.92622 12.52663

10 19.79159 4.92672 59.99979 -48.72588 0.93087 -51.97841 12.2096811 20.01816 4.72923 59.99634 -51.51722 0.95761 -53.94038 11.9653012 20.45286 4.84891 59.99107 -51.65583 0.96621 -53.84778 11.3692813 20.85622 4.68296 59.99736 -54.78096 0.99583 -56.05612 10.9582014 3.967E-14 1.043E-14 -59.24384 54.43284 3.92273 -60 32.515 2.610E-13 2.548E-13 -59.92326 53.68398 4.41081 -60 32.516 5.914E-14 1.178E-14 -59.21949 54.45933 3.90278 -60 32.5000017 2.317E-13 2.289E-13 -56.19612 57.57397 3.89933 -60 32.4999918 6.881E-14 1.776E-14 -58.80383 54.90789 3.83994 -60 32.519 7.296E-14 1.421E-14 -59.03568 -54.65853 2.39079 -60 32.520 5.123E-14 1.011E-14 -57.68921 -56.07782 2.37105 -60 32.521 3.341E-13 3.326E-13 -59.54641 54.10168 3.98174 -60 32.4999922 4.435E-14 1.026E-14 -53.69127 -59.91673 2.24311 -60 32.4999923 7.025E-14 1.807E-14 -57.49858 -56.27326 2.40770 -60 32.5000024 8.651E-14 3.092E-14 -59.55786 54.08907 3.87952 -60 32.525 1.488E-13 3.912E-14 -59.57676 54.06826 3.86416 -60 32.4999926 1.639E-13 4.510E-14 -59.28992 54.38264 3.92516 -60 32.4999927 1.275E-12 1.257E-12 -59.47571 -54.17940 2.53937 -60 32.4999928 1.338E-13 2.875E-14 -54.28238 -59.38173 2.32298 -60 32.529 9.996E-13 1.749E-13 -58.01309 -55.74269 2.36884 -60 32.4999930 7.038E-08 2.110E-08 -59.10883 -54.57941 2.37876 -60 32.50001

77

Tabla B.6: Tabla de simulaciones manivela corredera caso 1, parte 2.

N θ12 θ22 θ32 θ42 θ52 θ62 FO

1 2.21651 2.58625 2.95619 3.32700 3.69694 4.06668 1.0097E-282 2.22200 2.58955 2.95730 3.32589 3.69363 4.06119 1.5146E-283 2.22255 2.58988 2.95741 3.32577 3.69330 4.06063 2.2719E-284 2.32102 2.69358 3.06507 3.43609 3.80610 4.17872 1.0792E-055 1.73139 2.14475 2.52614 2.90729 3.30459 3.73461 0.001775126 2.53975 2.98159 3.38219 3.76416 4.14714 4.56831 0.002253867 2.51299 2.97202 3.37805 3.76227 4.14887 4.58323 0.002833918 2.51522 2.97953 3.38595 3.76915 4.15553 4.59215 0.003076619 2.48210 2.96768 3.38061 3.76756 4.15951 4.61456 0.00361204

10 2.44845 2.94502 3.36187 3.75187 4.14832 4.61404 0.0037792611 2.41569 2.92370 3.34496 3.73853 4.14014 4.61770 0.0039209912 2.42945 2.93604 3.35626 3.74841 4.14806 4.62232 0.0039461913 2.39689 2.91567 3.34007 3.73545 4.13931 4.62474 0.0041127414 2.13072 2.48788 2.80588 3.10893 3.40937 3.71842 0.8995672615 1.73372 1.85924 1.98599 2.11306 2.23948 2.36433 0.8995672616 1.92904 2.44010 2.84490 3.22351 3.60760 4.03682 0.8995672617 2.90968 3.03350 3.15876 3.28451 3.40977 3.53361 0.8995672618 2.63298 2.94269 3.24681 3.55696 3.88810 4.27580 0.8995672619 2.10734 2.57480 2.97335 3.35794 3.76133 4.24820 0.8995672620 2.08217 2.55084 2.94718 3.32751 3.72301 4.18848 0.8995672621 2.62515 2.74849 2.87326 2.99851 3.12327 3.24660 0.8995672622 2.61446 2.95396 3.28613 3.62837 4.00621 4.51170 0.8995672623 2.08817 2.46010 2.78618 3.09516 3.40081 3.71523 0.8995672624 2.53749 2.78152 3.02052 3.25801 3.49691 3.74073 0.8995672625 2.43862 2.75722 3.06062 3.36169 3.67153 4.00735 0.8995672626 2.15782 2.49682 2.80258 3.09494 3.38434 3.68006 0.8995672627 2.55404 2.67803 2.80344 2.92932 3.05470 3.17863 0.8995672628 2.09302 2.52635 2.89794 3.25266 3.61389 4.01260 0.8995672629 1.99474 2.54121 2.98050 3.40227 3.85511 4.48134 0.8995672630 2.52812 2.80855 3.08093 3.35247 3.62978 3.92239 0.89956726

78

Tabla B.7: Tabla de resultados obtenida utilizando el metodo SPM para el caso 1,parte 1.

Matriz

1 0 4 5 43.94 22.02 1 0 4 5 26.23 3.380 2 4 4 3E-13 -11.30 0 2 4 4 3E-15 49.79

42.10 43.94 3 0 2.13 1.57 12.12 26.23 3 0 1.42 4.712.39 13.46 0 0 0 0 16.78 9.59 0 0 0 0

Angulos 3.64 4.31 4.72 5.08 5.44 5.96 1.03 1.62 2.12 2.65 3.26 3.97FO 0 0

Matriz

1 0 4 5 17.46 19.99 1 4 0 5 43.06 14.970 2 4 4 4E-14 49.88 42.82 2 4 0 2 -13 -10.4

8.29 17.46 3 0 1.65 4.71 0 12.85 3 4 5.05 1.579E-3 12.5 0 0 0 0 5.33 0 43.06 0 0 0

Angulos 0.13 0.72 1.05 1.37 1.77 3.22 3.34 4.11 4.56 4.95 5.35 6.01FO 0 0

Matriz

1 0 4 5 47.71 18.47 1 4 0 4 49.95 -23.670 2 4 4 1E-13 -15.64 11.46 2 4 0 2E-15 32.5

22.39 47.71 3 0 5.87 1.57 0 6.28 3 5 0 1E-163.87 13.10 0 0 0 0 32.50 0 36.44 0 0 0

Angulos 3.57 4.24 4.66 5.04 5.43 6.12 2.05 2.49 2.92 3.36 3.80 4.23FO 0 0

Matriz

1 0 4 5 25.38 20.64 1 4 0 4 49.91 -23.630 2 4 4 2E-13 7.43 11.45 2 4 0 5E-14 32.5

13.10 25.38 3 0 1.69 1.57 0 6.28 3 5 0 6.280.64 12.83 0 0 0 0 22.87 0 2.37 0 0 0

Angulos 3.29 4.36 4.79 5.14 5.50 6.04 2.05 2.49 2.92 3.36 3.80 4.23FO 0 0

Matriz

1 4 0 5 49.76 18.50 1 4 4 0 48.84 -22.6632.65 2 4 0 7E-12 2.98 11.22 2 0 4 -1E-12 32.5

0 43.10 3 4 4.51 1.57 10.19 0 3 5 0 3E-141.52 0 49.76 0 0 0 0 6.17 39.90 0 0 0

Angulos 4.40 4.57 4.71 4.81 4.91 5.00 2.03 2.47 2.92 3.37 3.81 4.26FO 7.57306469012171E-29 1.13595970351826E-28

Matriz

1 4 0 4 49.78 -23.51 1 0 4 5 47.42 20.0211.42 2 4 0 -8E-13 32.5 0 2 4 4 5E-13 49.97

0 6.26 3 5 0 2E-14 28.12 47.42 3 0 5.86 4.7142.05 0 44.01 0 0 0 0.07 45.73 0 0 0 0

Angulos 2.05 2.48 2.92 3.36 3.80 4.24 1.30 1.36 1.44 1.52 1.63 1.86FO 1.13595970351826E-28 1.51461293802434E-28

Matriz

1 0 4 5 38.51 19.09 1 4 0 4 49.25 -23.030 2 4 4 -2E-13 49.97 11.31 2 4 0 -5E-14 32.5

48.77 38.51 3 0 2.65 4.71 0 6.21 3 5 0 1E-151.94 37.46 0 0 0 0 37.63 0 40.08 0 0 0

Angulos 1.23 1.31 1.40 1.50 1.63 1.89 2.04 2.48 2.92 3.36 3.81 4.25FO 1.89326617253043E-28 3.66031460022549E-28

79

Tabla B.8: Tabla de resultados obtenida utilizando el metodo SPM para el caso 1,parte 2.

Matriz

1 4 0 4 49.99 -23.70 1 4 0 4 -38.02 5011.47 2 4 0 -6E-9 32.5 50 2 4 0 32.79 22.79

0 6.28 3 5 0 1E-10 0 20.24 3 5 2.22 0.4333.68 28.22 0 0 0 37.30 0 36.78 0 0 0

Angulos 2.05 2.49 2.92 3.36 3.80 4.23 5.77 5.88 5.99 6.09 6.19 6.28FO 4.76694448053118E-21 0.00364436212576821

Matriz

1 4 0 5 49.99 -37.39 1 4 0 4 50 -5043.12 2 4 0 50 4.39 50 2 4 0 -29.80 -9.00

0 43.78 3 4 6.28 3.91 0 40.01 3 5 0 0.6449.99 0 39.20 0 0 0 31.56 0 12.13 0 0 0

Angulos 4.12 4.17 4.20 4.23 4.25 4.25 5.17 5.28 5.39 5.50 5.62 5.75FO 0.0040894896055626 0.0784320415072298

Matriz

1 4 0 4 -49.96 -50 1 4 0 4 -49.86 -507E-14 2 4 0 -49.76 32.50 6E-14 2 4 0 -49.85 32.5

0 4E-14 3 5 0 2.48 0 1E-14 3 5 0 2.359.16 0 38.68 0 0 0 13.75 0 33.75 0 0 0

Angulos 2.24 2.45 2.66 2.87 3.08 3.28 2.24 2.62 2.97 3.31 3.65 4.03FO 1.17028693098655 1.17028693098655

Matriz

1 4 4 0 -49.82 -50 1 4 0 4 -49.87 -505E-14 2 0 4 -49.89 32.50 5E-14 2 4 0 -49.85 32.4944.08 0 3 5 0 2.29 0 2E-14 3 5 0 2.28

0 1E-14 32.05 0 0 0 39.40 0 39.90 0 0 0

Angulos 2.57 2.92 3.26 3.61 3.98 4.46 2.82 3.04 3.27 3.50 3.74 3.98FO 1.17028693098655 1.17028693098656

Matriz

1 0 4 5 -49.81 -50 1 4 0 4 -49.79 -500 2 4 4 -49.911 32.5 4E-14 2 4 0 -49.92 32.49

30.89 5E-14 3 0 3.14 2.21 0 1E-14 3 5 0 2.338E-15 1E-14 0 0 0 0 36.64 0 37.24 0 0 0

Angulos 3.03 3.25 3.48 3.73 4.02 4.51 2.24 2.67 3.06 3.44 3.86 4.36FO 1.17028693098656 1.17028693098656

Matriz

1 4 0 4 -49.98 -50 1 4 4 0 -49.93 -507E-14 2 4 0 49.74 32.5 6E-14 2 0 4 49.79 32.50

0 1E-14 3 5 0 3.99 9.99 0 3 5 0 3.9132.03 0 18.11 0 0 0 0 1E-14 21.95 0 0 0

Angulos 1.80 2.28 2.65 2.99 3.33 3.67 2.26 2.65 3.01 3.36 3.73 4.14FO 1.17028693098656 1.17028693098656

Matriz

1 4 4 0 -49.84 -50 1 4 4 0 -49.94 -501E-13 2 0 4 49.88 32.50 6E-14 2 0 4 49.77 32.547.68 0 3 5 0 3.82 45.35 0 3 5 0 3.96

0 5E-14 34.34 0 0 0 0 1E-14 34.81 0 0 0

Angulos 2.92 3.14 3.37 3.60 3.84 4.08 1.93 2.39 2.77 3.12 3.48 3.85FO 1.17028693098657 1.17028693098656

80

Anexo C

Simulaciones del caso de estudio 2

81

Tabla C.1: Tabla de resultados obtenida utilizando el metodo SPM para el caso 2,parte 1.

Matriz (1)

1 4 0 5 13.10 26.60

Angulos

5E-16 0.68 1.19 1.49 1.8810.17 2 4 0 -50 58.79 2.22 2.47 2.93 3.35 3.70

0 14.88 3 4 0 0.20 4.01 4.27 4.690.42 0 27.18 0 0 0 FO 2.67819357366797

Matriz (2)

1 4 0 5 13.10 26.60

Angulos

1E-15 0.68 1.19 1.49 1.8836.45 2 4 0 -50 58.79 2.22 2.47 2.93 3.35 3.70

14.88 3 4 0 0.20 4.01 4.27 4.690.42 27.18 0 0 0 FO 2.67819357366798

Matriz (3)

1 0 4 5 13.10 26.60

Angulos

9E-16 0.68 1.19 1.49 1.880 2 4 4 -50 58.79 2.22 2.47 2.93 3.35 3.70

42.78 27.18 3 0 0 0.20 4.01 4.27 4.690.42 14.88 0 0 0 0 FO 2.67819357366798

Matriz (4)

1 4 0 5 13.10 26.60

Angulos

4E-15 0.68 1.19 1.49 1.8820.89 2 4 0 -50 58.79 2.22 2.47 2.93 3.35 3.70

0 14.88 3 4 0 0.20 4.01 4.27 4.690.42 0 27.18 0 0 0 FO 2.67819357366799

Matriz (5)

1 4 0 5 13.10 26.60

Angulos

6E-13 0.68 1.19 1.49 1.8814.41 2 4 0 -50 58.79 2.22 2.47 2.93 3.35 3.70

0 14.88 3 4 0 0.20 4.01 4.27 4.690.42 0 27.18 0 0 0 FO 2.67819357369063

Matriz (6)

1 0 4 5 13.75 26.72

Angulos

3E-15 0.68 1.19 1.49 1.870 2 4 4 -49.81 58.82 2.22 2.47 2.93 3.34 3.70

25.41 26.99 3 0 0 0.20 4.00 4.26 4.697E-15 14.80 0 0 0 0 FO 2.69187139075255

Matriz (7)

1 0 4 5 6.96 31.39

Angulos

8E-17 0.64 1.13 1.42 1.850 2 4 4 -50 59.06 2.14 2.36 2.79 3.18 3.51

33.69 21.06 3 0 0 0.29 3.78 4.01 5.910.02 12.65 0 0 0 0 FO 5.75836631403525

Matriz (8)

1 4 4 0 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.23

24.88 0 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.260 24.83 26.29 0 0 0 FO 9.33967714669164

Matriz (9)

1 4 4 0 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.23

2.23 0 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.260 24.83 0.90 0 0 0 FO 9.33967714669163

Matriz (10)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

9.07 0 41.31 0 0 0 FO 9.33967714669165

Matriz (11)

1 4 4 0 40.94 0.84 Angulos 0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.23

28.73 0 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.260 24.83 28.87 0 0 0 FO 9.33967714669163

Matriz (12)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

26.63 0 15.47 0 0 0 FO 9.33967714669164

Matriz (13)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

18.61 0 46.99 0 0 0 FO 9.33967714669165

82


Matriz (14)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

46.06 0 11.78 0 0 0 FO 9.33967714669164

Matriz (15)

1 4 4 0 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.23

16.49 0 3 5 0 0.139 4.50 4.70 6.260 24.83 46.58 0 0 0 FO 9.33967714669166

Matriz (16)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

3.73 0 35.89 0 0 0 FO 9.33967714669167

Matriz (17)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

25.41 0 48.40 0 0 0 FO 9.3396771466917

Matriz (18)

1 4 4 0 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.23

22.34 0 3 5 0 0.13 4.502 4.702 6.2620 24.83 25.36 0 0 0 FO 9.33967714669171

Matriz (19)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

14.45 0 49.79 0 0 0 FO 9.33967714669184

Matriz (20)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

35.46 0 14.05 0 0 0 FO 9.33967714669177

Matriz (21)

1 4 4 0 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.23

40.67 0 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.260 24.83 22.61 0 0 0 FO 9.33967714669289

Matriz (22)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

1.39 0 37.39 0 0 0 FO 9.3396771468688

Matriz (23)

1 4 4 0 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.23

27.13 0 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.260 24.83 23.54 0 0 0 FO 9.33967714709324

Matriz (24)

1 4 4 0 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.23

35.15 0 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.260 24.83 20.29 0 0 0 FO 9.33967714750529

Matriz (25)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

10.24 0 21.86 0 0 0 FO 9.33967714979297

Matriz (26)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

20.50 0 25.35 0 0 0 FO 9.33967715013681

83


Matriz (27)

1 4 4 0 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.23

18.57 0 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.260 24.83 1.90 0 0 0 FO 9.33967714719549

Matriz (28)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.26

22.02 0 39.83 0 0 0 FO 9.33967714719121

Matriz (29)

1 4 0 4 40.94 0.84

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.66 2.3650 2 4 0 -50 59.49 2.64 2.91 3.43 3.88 4.230 24.83 3 5 0 0.13 4.502 4.702 6.262

45.34 0 20.47 0 0 0 FO 9.33967716797073

Matriz (30)

1 4 4 0 40.93 0.85

Angulos

0.16 0.64 1.21 1.67 2.3650 2 0 4 -50 59.49 2.64 2.91 3.44 3.88 4.23

28.38 0 3 5 0 0.13 4.50 4.70 6.260 24.82 26.03 0 0 0 FO 9.33967793277979

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Referencias

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