Insieme

Teoria degli Insiemi prof. M. Ciardulli

1

In tutto quanto segue si assumecome primitivo

il concetto di insieme.Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole:

A, B, X, Y, … ,gli elementi degli insiemi con lettere minuscole:

a, b, x, …

Insieme


2

Il simbolo di appartenenza: x X

si legge "x appartiene ad X".Per negare questo predicato

si utilizza la seguente scritturaxX

si legge "x non appartiene ad X".

Simboli


3

Rappresentazione di un insiemeUn insieme X si può rappresentare

specificando una proprietà caratteristicarelativa agli elementi dell'insieme

elencando una ed una sola voltatutti gli elementi appartenenti all'insieme

Esempio:X = {x : x è una vocale della parola aiuole}

in modo visivo mediantei cosiddetti diagrammi di Eulero-Venn

Esempio:

Esempio: X = {a, i, u, o, e}


4

Insieme vuoto : Insieme privo di elementi

Insiemi uguali : A = BDue insiemi A e B sono uguali

se e solo sehanno gli stessi elementiA = B (x A x B)


5

Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive B A (oppure A B)e si legge B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B")se ogni elemento di B è un elemento di A x B : x ASi osservi cheA = B se e solo se (A B e B A) A (qualunque sia A)Un sottoinsieme B di A diverso da A e dall'insieme vuotosi dice sottoinsieme proprioe si scrive B A (oppure A B)

:Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha:

A A (proprietà riflessiva)se A B e B A allora A = B (proprietà antisimmetrica)

se A B e B C allora A C ( proprietà transitiva)

B sottoinsieme di A

Proprietà della relazione inclusione


6

Insieme delle partiL'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A,

compresi l'insieme vuoto ed A stesso,si dice

insieme delle parti di A (o potenza di A)e si indica

EsempioSia A = {a, b, c}, si ha

= { ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}Se A contiene n elementiallora

contiene 2n elementi


7

L'unione di due insiemi A e Bè l'insiemedi quegli elementi che appartengonoad almeno uno dei due insiemi A e BL'unione di A e B si scriveA B = {x : x A o x B }EsempioA = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8}A B = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8}

Unione


8

L'intersezione di due insiemi A e Bè l'insieme

di quegli elementi che appartengonosia ad A che a B

L'intersezione di A e B si scriveA B = {x : x A e x B }

EsempioA = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8}

A B = {1, 2}

Intersezione


9

La differenza di due insiemi A e Bè l'insieme

di quegli elementi che appartengonoad A e che non appartengono a B

La differenza di A e B si scriveA B = A \ B = {x : x A e x B }

EsempioA = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8}

A \ B = {0, 3}

Differenza


10

La differenza simmetrica di due insiemi A e Bè l'insieme

di quegli elementi che appartengonoad A e che non appartengono a B edi quegli elementi che appartengonoad B e che non appartengono ad A

La differenza simmetrica di A e B si scriveA B = (A \ B) (B \ A)

EsempioA = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8}A \ B = {0, 3}, B \ A = {5, 7, 8}

A B = {0, 3, 5, 7, 8}

Differenza simmetrica


11

Sia A un insieme,sia B un sottoinsieme di A (ossia B )

si definisce il complementare di B rispetto ad Al'insieme differenza di A e B e si scrive

EsempioA = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}, B = {1, 2, 5, 7}

Complementazione


12

Proprietà di idempotenza

Proprietà

Unione A A = A

Intersezione A A = A

Proprietà commutativaUnione A B = B A

Intersezione A A = B A

Unione (A B) C = A (B C)

Intersezione (A B) C = A (B C)Proprietà associativa

Unione A (B C) = (A B) (A C)

Intersezione A (B C) = (A B) (A C)Proprietà distributiva

Unione A (A B) = A

Intersezione A (A B) = AProprietà assorbimento

Proprietà di De Morgan

Proprietà involutoria


13

Siano X e Y insiemi.L'insieme di tutte le coppie ordinate

che hanno il primo elemento appartenente ad Xed il secondo elemento appartenente a Y

si diceprodotto cartesiano

e si scriveX ´ Y = {(x, y) : x X, y Y}

EsempioSiano:

X = {a, b}, Y = { , , }X ´ Y = {(a, ), (a, ), (a,), (b, ), (b,), (b, )}

Prodotto cartesiano

Insieme

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