Z

X Y

Iniziamo con la rappresentazione Iniziamo con la rappresentazione dell’architettura…dell’architettura…

… … e se l’edifico è complesso?e se l’edifico è complesso?

Abbiamo quindi 2 problemi:

• la scelta della superficie di riferimento

GEODESIAvediamo qual è la miglior superficie per rappresentare la terra

• lo sviluppo sul piano di tale superficie

CARTOGRAFIAsviluppiamo sul piano questa superficie

La rappresentazione è in prima approssimazione La rappresentazione è in prima approssimazione una proiezione ortogonaleuna proiezione ortogonale

• in quale sistema di riferimento?in quale sistema di riferimento?• c’è un sistema nazionale/internazionale c’è un sistema nazionale/internazionale unico?unico?

Forma della terra

La terra è tonda e liscia come una palla da biliardo (irregolarità dell’ordine di 1/1000)

GEOIDEGEOIDEIl Geoide è quella superficie che è sempre Il Geoide è quella superficie che è sempre perpendicolare alle linee di forza del campo perpendicolare alle linee di forza del campo gravitazionale. gravitazionale.

Assumiamo il Geoide come riferimento delle quoteAssumiamo il Geoide come riferimento delle quoteQuota di P è la distanza di P dal Geoide, considerata sulla verticale.Quota di P è la distanza di P dal Geoide, considerata sulla verticale.

GeoideGeoide

PP

qqP’P’

maremareverticaleverticale

•I raggi del Sole si considerano paralleli in quanto I raggi del Sole si considerano paralleli in quanto provenienti provenienti ~~ dall’ dall’•A Siene (S), nel giorno del Solstizio d’estate, il Sole A Siene (S), nel giorno del Solstizio d’estate, il Sole illumina il fondo dei illumina il fondo dei pozzi: è allo Zenit pozzi: è allo Zenit•E’ possibile misurare E’ possibile misurare ad Alessandria (A)ad Alessandria (A)•AS è misurato (a passi di cammello!)AS è misurato (a passi di cammello!)

Un po’ di storia…………..Un po’ di storia…………..

Eratostene 220 a.c.Eratostene 220 a.c.ipotesi: Terra sferica non ipotesi: Terra sferica non animata da motianimata da moti

verticale diretta nel verticale diretta nel centrocentro

Errore dell’ordine del 10% !!!Errore dell’ordine del 10% !!!

Come determinarne il Come determinarne il RAGGIO?RAGGIO?

v

RR

AA

SS

AS=R*AS=R*

AS=R*AS=R*

Copernico, Galileo, Keplero,…Copernico, Galileo, Keplero,…

Scoprirono i moti terrestri:la Scoprirono i moti terrestri:la Terra non è una sfera : è Terra non è una sfera : è schiacciataschiacciata

Mac Laurin (1700): ELLISSOIDE DIMac Laurin (1700): ELLISSOIDE DI ROTAZIONEROTAZIONE

ca

Sorse il problema di come Sorse il problema di come determinare valori per determinare valori per aa e e cc, , ovvero ovvero =(a-c)/a=(a-c)/a

Campagne per la misura del grado a diverse latitudini:CASSINI – meridiano di FranciaPERU’ - LAPPONIA (1737-1743)

1/3001/300

Ellissoide

Geoide

Bessel 1841 6 377 397 1/299.2 prime rappresentazioni

cartografiche italiane

Clarke 1880 6 378 243 1/293.5

Hermert 1906 6 378 243 1/298.3

Hayford 1909 6 378 388 1/297.0 adottato come ellissoide

internazionale

Krassowsky 1942 6 378 245 1/298.3

WGS84 (GRS80)

1988 6 378 137 1/298.257 GPS

CONSIDERAZIONI SUL GEOIDECONSIDERAZIONI SUL GEOIDE

sudsud

nordnordzz

yy

xx

PPrr

QQ

FORZE AGENTI SULL’ELEMENTO FORZE AGENTI SULL’ELEMENTO PP

Ogni particella della Ogni particella della Terra è animata nel Terra è animata nel cosmo da un cosmo da un movimento che deve movimento che deve essere considerato essere considerato risultante di moti risultante di moti elementari.elementari.Ai fine del calcolo Ai fine del calcolo della gravità è della gravità è sufficiente, per i sufficiente, per i nostri scopi nostri scopi considerare il considerare il moto di rotazione moto di rotazione (precessione, (precessione, nutazione, .. sono nutazione, .. sono ininfluenti)ininfluenti)La velocità angolare La velocità angolare di rotazione di rotazione è è costante e vale costante e vale rad/sec rad/sec

susudd

nordnordzz

yyxx

PPrrQQ

Attrazione newtoniana: Attrazione newtoniana: sul punto sul punto PP, , dovedove è è concentrata la massa concentrata la massa mm, la , la massa massa M,M, concentrata in concentrata in Q Q esercita la forzaesercita la forza

dove:dove:•l l è la distanza tra P e Qè la distanza tra P e Q•G costante newtoniana 6.67 10G costante newtoniana 6.67 10--

11 11 mm33kgkg-1-1ss-2-2

ggff

FF

PPrrAccelerazione Accelerazione centrifuga: sul punto centrifuga: sul punto PP, , dovedove è concentrata la è concentrata la massa massa mm, il moto , il moto rotatorio della Terra rotatorio della Terra intorno all’asse polare intorno all’asse polare causa un’accelerazione causa un’accelerazione aa = = ² ² rr, dove:, dove:•rr è la distanza del generico è la distanza del generico punto punto PP dall’asse di rotazionedall’asse di rotazione è la velocità angolare del è la velocità angolare del moto di rotazione (2moto di rotazione (2/giorno /giorno siderale)siderale)L’accelerazione determina L’accelerazione determina una forza centrifuga pari a:una forza centrifuga pari a:

massima all’equatore, nulla ai massima all’equatore, nulla ai polipoli

2l

MmGF

r2mmaf

Non possiamo calcolare con la formula FF=(G M M m’m’)/l² l’attrazione che TUTTA LA TERRA esercita su PP

Decomponiamo la massa in elementi infinitesimi dMdM

Ciascun elemento infinitesimo esercita sul punto P

dF = G dM l2 La risultante F di tutte le forze

elementari è l’attrazione newtoniana esercitata da tutta la Terra su P

PddFF

g

fSu P agiscono in prima approssimazione f, dovuta al moto rotatorio, dF, dovuta all’attrazione newtoniana. Cioè

g= dF +fg è la forza di gravità

La forza di gravità g è La forza di gravità g è la composizione di la composizione di queste due forzequeste due forze

Ogni punto della Terra è soggetto allaOgni punto della Terra è soggetto alla forza di forza di

gravitàgravità ed ha un suo valore died ha un suo valore di ggLa gravità costituisce un campo di forze: La gravità costituisce un campo di forze: IL CAMPO IL CAMPO GRAVITAZIONALEGRAVITAZIONALE

POSSIAMO CONSIDEARE LE LINEE DI FORZA DELPOSSIAMO CONSIDEARE LE LINEE DI FORZA DEL CAMPO CAMPO GRAVITAZIONALEGRAVITAZIONALE

e cioè e cioè

LINEE CHE HANNO IN OGNI LORO PUNTO PER TANGENTE LA LINEE CHE HANNO IN OGNI LORO PUNTO PER TANGENTE LA DIREZIONE DELLA FORZADIREZIONE DELLA FORZALe linee di forzaLe linee di forza del campo gravitazionaledel campo gravitazionale sono sono curve curve gobbegobbe e si chiamano e si chiamano verticaliverticali

La tangente alla loro direzione in La tangente alla loro direzione in un punto è fornita dalun punto è fornita dal filo a filo a piombopiombo: : è facilmente è facilmente individuabileindividuabile

geoide

Siamo arrivati a dire che:Siamo arrivati a dire che:•esiste un campo di forze, il campo gravitazionaleesiste un campo di forze, il campo gravitazionale•le linee di forza del campo gravitazionale sono le linee di forza del campo gravitazionale sono inviluppate dalle verticaliinviluppate dalle verticali

gg = = dFdF + + ff

dm dm in in P P sia sia unitaria,unitaria, dm=1 dm=1

dMdM

dMdMdF dF = - G = - G ((xx--aa)² + ()² + (yy--bb)² + ()² + (zz--cc)²)²

f = = ² ² rr = = ²² ((xx² + ² + yy²)²)½½

Quando si dice che una funzione Quando si dice che una funzione vv = =vv(x,y,z) (x,y,z) ammette un potenziale ammette un potenziale (x,y,z) ?(x,y,z) ?

Quando Quando = = vvx x = = vvyy

= = vvzz

x x y y zz

gg

ff

FF

PPrr

sud

nordz

yx

a x

Q

bc

Pz

y

Le due funzioni Le due funzioni dFdF e e f f ammettono come potenziali ammettono come potenziali dVdV e e vv

v = = 11² (² (xx² + ² + yy²)²) = = 11 ²² rr²² 2 2 2 2

[([(xx--aa)² + ()² + (yy--bb)² + ()² + (zz--cc)²)² ] ½½

dmdmdV dV = G = G = G= G

dmdm

ll

Per i potenziali vale la proprietà additivaPer i potenziali vale la proprietà additiva

dm volume elementaredm volume elementare densitàdensitàa b c variabili di a b c variabili di integrazioneintegrazione

V V = G = G [([(xx--aa)² + ()² + (yy--bb)² + ()² + (zz--cc)²)² ] ½½

da db dcda db dc

IL POTENZIALE DELLA GRAVITÀIL POTENZIALE DELLA GRAVITÀ

W(W(xx, , yy, , zz) = ) = V V ((xx, , yy, , zz) + ) + v ( (xx, , yy) )

W(W(xx, , yy, , zz) = ) = costcostPonendo Ponendo

Troviamo l’equazioneTroviamo l’equazionedi una superficie il cui potenziale ha valore di una superficie il cui potenziale ha valore costante, cioècostante, cioèUNA SUPERFICIE EQUIPOTENZIALEUNA SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE

Facendo variare la Facendo variare la costante costante

inin W= W= ccii

si ottiene si ottiene UNA FAMIGLIA DI SUPERFICI,UNA FAMIGLIA DI SUPERFICI, superfici di livello,superfici di livello,che in ogni loro punto sono normali che in ogni loro punto sono normali

alla direzione della alla direzione della gravitàgravità

Linee di forzaLinee di forza

W=W= ccii

PP

P’P’

maremareverticaleverticale

GEOIDEGEOIDE

Quella particolare Quella particolare superficie di livellosuperficie di livello che che passa per un punto passa per un punto stabilito, e che definisce stabilito, e che definisce il livello medio del mare, il livello medio del mare, è il è il GEOIDEGEOIDE

W(W(xx, , yy, , zz) = ) = V V ((xx, , yy, , zz) + ) + v ( (xx, , yy) = ) = CC

Linee di forzaLinee di forza

W=W= ccii

W(W(xx, , yy, , zz) =) = GG [([(xx--aa)² + ()² + (yy--bb)² + ()² + (zz--cc)²)² ] ½½

da db dcda db dc + + 11 ²² rr²² 22

IL IL GEOIDEGEOIDE È L’ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA È L’ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA TERRATERRA

W=cW=c00

linea di forzalinea di forzala verticale la verticale le è tangentele è tangente

ggg g è la forza di gravitàè la forza di gravità

W(W(xx, , yy, , zz) =) = GG [([(xx--aa)² + ()² + (yy--bb)² + ()² + (zz--cc)²)² ] ½½

da db dcda db dc + + 11 ²² rr²² 22

IL IL GEOIDEGEOIDE È L’ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA TERRA È L’ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA TERRA

PERCHE’ NON UTILIZZIAMO L’ESPRESSIONE PERCHE’ NON UTILIZZIAMO L’ESPRESSIONE DEL DEL GEOIDE GEOIDE NEL PASSAGGIO NEL PASSAGGIO

superficie fisica della Terrasuperficie fisica della Terra

PROIEZIONE SUL PIANOPROIEZIONE SUL PIANO

GEOIDEGEOIDE

W(W(xx, , yy, , zz) =) = GG [([(xx--aa)² + ()² + (yy--bb)² + ()² + (zz--cc)²)² ] ½½

da db dcda db dc + + 11 ²² rr²² 22

QUESTA FORMULA NON E’ OPERATIVA QUESTA FORMULA NON E’ OPERATIVA PERCHE’ NON CONOSCIAMO IL VALORE DI PERCHE’ NON CONOSCIAMO IL VALORE DI

superficie fisica della Terrasuperficie fisica della Terra

PROIEZIONE SUL PIANOPROIEZIONE SUL PIANO

GEOIDGEOIDE E

ELLISSOIDEELLISSOIDE

A Torino differenza di ca. 50 m

A Torino scostamento di circa 50mA Torino scostamento di circa 50m

SISTEMI ASSOLUTI E RELATIVI

Coordinate geografiche (dipendono dal datum)

Latitudine () Paralleli

Longitudine () Meridiani

Y

X

Z

P

Parallelo

Meridiano

Normale

Geodetica: curva gobba di minima lunghezza che unisce due punti sull'ellissoide ( distanza)

P

y

Qx

s

O

Coordinate geodetiche polari e rettangolari

sfera osculatrice

Raggi principali di curvatura , N

Y

X

Z

P

Normale

R N

Teoremi della geodesia operativa

Formule di Puiseaux-Weingarten

Fino a lunghezze di archi di geodetica dell'ordine del centinaio di chilometri:

• gli angoli misurati fra sezioni normali (A) differiscono da quelli delle corrispondenti geodetiche () di quantità sicuramente inferiori alla massima precisione possibile nelle misure angolari

• la differenza di lunghezza fra un arco misurato di sezione normale ed il corrispondente arco di geodetica è sempre trascurabile per qualsiasi valore della lunghezza dell'arco medesimo

Q

P

A

geodetica

O

sez. normale

Semplificazioni della superficie di riferimento

ellissoide

sfera locale

tang alla geodetica

P1

P2Y

X

Z

O

A

Precisione 10-6

Livellazione trigonom.

Campo geodetico (di Weingarten)

Scostamenti ellissoide-sfera - PLANIMETRIA

s (km) 50 100 150 200

x (mm) 3.47 27.74 93.62 226.35

x/s 0.07 10-6 0.28 10-6 0.62 10-6 1.13 10-6

Scostamenti ellissoide-sfera - ALTIMETRIA

S (km)1 10 20 50 100

z (cm) 0.03 2.66 10.63 66.43 265.72

Scostamenti ellissoide-piano - PLANIMETRIA

s (km) 1 10 15 30 50

x (mm) 0.004 4 14 112 519

x/s 0.004 10-6 0.4 10-6 0.9 10-6 3.7 10-6 10.4 10-6

Scostamenti ellissoide-piano - ALTIMETRIA

s (km) 0.1 0.5 1 10 15

z (cm) 0.08 2.0 7.9 789 1775

Campo topograficoPrecisione 10-6

Livellazione geom.