Indice · Ritornando sulla figura 1è evidente che il concetto di sistema di riferimentoè alla...

Indice

0 Considerazioni preliminari 5

0.1 scalari, vettori e tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.1.1 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.1.2 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.1.3 Rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.1.4 Due importanti teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Generalita sui fluidi 11

1.1 definizione di fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 concetto di continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 densita ed espansione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 comprimibilita di un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 viscosita e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 tensione di vapore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 tensione superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7.1 ∗ effetto della curvatura della superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.2 capillarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Statica dei fluidi 31

2.1 pressione in un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 distribuzione di pressione in un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 variazioni di pressione in un fluido in quiete . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 atmosfera standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 forze di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.1 pressione costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2 distribuzione lineare di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.3 forze di pressione su una superficie curva . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6 spinta di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7 galleggiamento e stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8 misuratori di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

2 INDICE

3 Cinematica dei fluidi 57

3.1 descrizione lagrangiana ed euleriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 traiettorie, linee di corrente e streaklines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 derivata materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4 ∗ accelerazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5 ∗ funzione di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.6 analisi del moto nell’intorno di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6.1 caso bidimensionale semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6.2 ∗ caso generale tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Dinamica dei fluidi 73

4.1 teorema del trasporto di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 equazione di conservazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.1 forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.2 forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3 equazione di bilancio della quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.1 forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


4.3.3 applicazione dell’equazione di bilancio della quantita di moto . . . . 80

4.4 equazione di conservazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4.1 forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


4.4.3 applicazione dell’equazione di conservazione dell’energia . . . . . . . 85

4.5 ∗ forma differenziale vs forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.6 ∗ il tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.7 ∗ relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.8 equazioni di Navier–Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.9 ∗ varie forme dell’equazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5 Equazione di Bernoulli 101

5.1 seconda legge della dinamica per un fluido ideale . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2 ∗ equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3 ∗ teorema di Crocco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4 tubo di Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.5 tubo di Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6 ∗ Dinamica della vorticita 117

6.1 equazione del trasporto della vorticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2 teorema di Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3 teoremi di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

INDICE 3

7 Soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes 1277.1 flusso tra lastre piane e parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2 flusso di Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.3 flusso di Hagen–Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8 ∗ Flussi potenziali 1378.1 teoria del potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.2 soluzioni tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.2.1 sorgente e pozzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.2.2 doppietta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.3 sovrapposizione di soluzioni tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3.1 il semicorpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3.2 la sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.4 soluzioni bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.4.1 sorgente e pozzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.4.2 doppietta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.3 vortice libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.5 sovrapposizione di soluzioni bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.5.1 il semicorpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.5.2 il cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.5.3 il cilindro rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9 Strato Limite 1619.1 equazioni di Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.2 separazione dello strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.3 ∗ soluzione simile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.4 equazione integrale dello strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10 ∗ Turbolenza 17910.1 fenomenologia della turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.2 equazioni di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810.3 viscosita turbolenta e lunghezza di mescolamento . . . . . . . . . . . . . . 19210.4 turbolenza omogenea ed isotropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

11 Forze fluidodinamiche e similitudini 20111.1 teorema di Buckingham ed analisi dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . 20311.2 similitudine dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20611.3 similitudine distorta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21011.4 Studio di flussi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

11.4.1 Flusso intorno a corpi immersi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21211.4.2 Flussi con superficie libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21811.4.3 Flusso nelle macchine rotanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

11.5 Flusso in circuiti chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22411.6 Legge di Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

4 INDICE

11.6.1 tubi a sezione non circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22811.6.2 perdite concentrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

11.7 forze aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

12 ∗ Cenni sui flussi comprimibili 25312.1 propagazione di piccole perturbazioni e velocita del suono . . . . . . . . . . 25312.2 Flusso quasi unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

13 Alcuni personaggi storici della fluidodinamica 267

14 Bibliografia e letture consigliate 281

Capitolo 0

Considerazioni preliminari

0.1 scalari, vettori e tensori

Nel campo scientifico, cosı come nella vita quotidiana, accade spesso di definire dellequantita per mezzo di un numero (di solito reale) seguito da un’unita di misura e questainformazione da sola e sufficiente a caratterizzare completamente la grandezza in oggetto.Se, per esempio, si dice che la temperatura in un certo punto dello spazio vale T = 373.15 Knon c’e piu alcuna ambiguita sul valore della temperatura in quel punto. E bene precisareche la temperatura intesa come grandezza fisica esiste in quel punto indipendentementedalle unita in cui viene espressa; al contrario la sua misura assume significato solo nel-l’ambito di un sistema di unita specificato. Si puo per esempio dire che la temperaturaT = 373.15 K sara T = 100 oC, passando dall’unita Kelvin ai gradi centigradi (Celsius)mentre scrivere T = 50 senza alcuna unita e un’espressione priva di significato. Le quan-tita caratterizzate da un unico numero seguito da unita di misura prendono il nome discalari: il valore della resistenza elettrica di un conduttore, la viscosita cinematica di unfluido o la densita di un solido sono tutte grandezze scalari.

Ci sono altre quantita per le quali un solo valore (con unita di misura) non e sufficientea caratterizzare la grandezza. Se per esempio si dice che una persona, partendo da unpunto prefissato, si e spostata di 5 metri non e possibile dire dove e finita la persona ameno di specificare anche, la retta lungo cui e avvenuto lo spostamento, ossia la direzione,ed il senso di percorrenza della retta, il verso. In uno spazio a tre dimensioni, definiretutte queste informazioni richiede l’assegnazione di 3 quantita scalari, tutte seguite daunita di misura, che, nell’esempio in oggetto, sono tre spostamenti lungo tre direzioniprefissate.

Riferendoci alla figura 1a, le direzioni sono definite da tre assi mutuamente ortogonali(x, y, z) mentre i versi e le unita di misura sono dati da tre segmenti orientati su ognunodegli assi (versori) che definiscono gli spostamenti unitari in ogni direzione. In questocontesto si puo scrivere s = sxx+syy+sz z oppure s = (sx, sy, sz) con sx = 1 m, sy = sz =√

2 m, caratterizzando cosı completamente lo spostamento di 5 metri precedentementeintrodotto. Anche in questo caso e utile precisare che lo spostamento in quanto tale nondipende ne dal sistema di riferimento ne dalle unita di misura mentre i tre numeri sx, sy ed

5

6 CAPITOLO 0. CONSIDERAZIONI PRELIMINARI

z

x y

x y

z

s s

s

s

x

y

z

k

m

n

k

m

n

s

^

^

^^ ^

^

x y

z

xk

a) b)

θ

Figura 1: Vettore s e sue componenti in due sistemi di riferimento.

sz dipendono da entrambi. Per esempio, usando lo stesso sistema di riferimento di figura1 ma passando dai metri ai pollici (inches) risulterebbe sx = 39.37 in, sy = sz = 55.67 in.Al contrario se si continuasse ad usare i metri ma si descrivesse lo spostamento s nellaterna di figura 1b risulterebbe s = skk + smm + snn con sk = sm = 0 m ed sn = 5 m.

Come e evidente dal confronto tra le figure 1a e 1b le due terne di riferimento hannol’origine in comune e gli assi formano tra loro degli angoli. Detto cij il coseno dell’angoloche uno degli assi della prima terna (i = x, y, z) forma con uno degli assi della secondaterna (j = k,m, n) da semplici costruzioni geometriche si ricava

x = cxkk + cxmm + cxnn ed analoghe per y e z, (1)

k = ckxx + ckyy + ckzz ed analoghe per m ed n. (2)

Se le grandezze sx, sy ed sz nel cambiamento di riferimento si trasformano in sk, sm

ed sn (o viceversa) seguendo le relazioni (1), (2) allora lo spostamento s si dice che e unvettore e la terna di valori (in tre dimensioni) che lo definiscono in qualunque sistemadi riferimento sono le sue componenti. La velocita di un oggetto in qualunque istante,l’accelerazione di gravita o il campo magnetico in un punto sono dei vettori mentre unaterna di numeri contenente l’eta del sottoscritto, la temperatura odierna a Budapest e ladistanza media terra–luna non e evidentemente un vettore in quanto cambiando sistemadi riferimento non si trasforma secondo le leggi (1), (2).

Ritornando sulla figura 1 e evidente che il concetto di sistema di riferimento e alla basedella definizione di vettore e non c’e alcun obbligo nello scegliere uguali le unita di misuralungo gli assi, i versori mutuamente ortogonali o il loro orientamento costante nello spazio.In linea di principio, infatti, qualunque terna di funzioni vettoriali funzioni dello spazio chenon risultino in alcun punto complanari puo essere utilizzata come sistema di riferimento

0.1. SCALARI, VETTORI E TENSORI 7

in uno spazio tridimensionale. Ci sono infatti casi in cui risulta impossibile scegliere deiversori il cui orientamento si mantenga costante (si pensi alle coordinate cilindriche osferiche) oppure situazioni in cui le unita di misura sono diverse a seconda della direzione(nel caso delle traiettorie dei velivoli in cui gli spostementi lungo la superficie terrestrevengono misurate in kilometri mentre le variazioni di quota in metri). Se tuttavia si usanole stesse unita di misura per i tre assi ed i versori, mutuamente ortogonali, mantengono illoro orientamento costante nello spazio, allora si parla di sistema di riferimento Cartesianoe molti argomenti possono essere introdotti in maniera notevolmente semplificata. Poichelo scopo di questi appunti e solo quello fornire qualche rudimento da questo punto in poilimiteremo la discussione ai sistemi di riferimento Cartesiani ed a quantita ivi definite; sirammenti pero che tale scelta oltre a non essere l’unica possibile in qualche caso non enemmeno la piu naturale ne la piu conveniente.

F F F

SSS

n

n

n

Figura 2: Varie configurazioni di forza applicata alla stessa superficie con diversiorientamenti

Dopo aver introdotto le grandezze scalari ed i vettori osserviamo che esistono dellequantita che necessitano di maggiori informazioni dei vettori per poter essere caratteriz-zate. Si pensi allo stato di sforzo nell’intorno di un punto: poiche uno sforzo e una forza(quantita vettoriale) divisa per una superficie, saremmo tentati di pensare che una voltaassegnato il vettore forza e l’area della superficie anche lo sforzo e definito. Dagli schemi difigura 2, tuttavia, e evidente che con la stessa forza e la stessa area si possono immaginareinfinite situazioni differenti a seconda dell’orientamento relativo tra la forza e la normalealla superficie. Contemplando tutte le possibili combinazioni tra le componenti della nor-male alla superficie (3) e le componenti della forza (3) si conclude che lo stato di sforzoe caratterizzato da nove quantita che sono le sue componenti (in tre dimensioni). Anchein questo caso vale l’osservazione che lo sforzo in quanto entita fisica va distinto dalle suecomponenti che assumono significato solo nell’ambito di un sistema di unita di misuraed una terna di riferimento. Le singole componenti dello sforzo possono essere indicateda un simbolo seguito da due pedici (per esempio il primo riferito alla componente delleforza ed il secondo alla normale alla superficie su cui agisce) Tij, i, j = x, y, z e possonoquindi essere raccolte, in tre dimensioni, in una matrice 3× 3. Analogamente ai vettori le


singole componenti si devono trasformare sotto un cambiamento di riferimento seguendoregole del tipo

Txy = cxicyjT∗ij i, j = k,m, n ed analoghe per le altre componenti (3)

T ∗km = cikcjmTij i, j = x, y, z ed analoghe per le altre componenti (4)

in cui Tij e T ∗ij sono, rispettivamente, le componenti dello sforzo nei sistemi x, y, z e

k,m, n. Tutte le grandezze con proprieta analoghe a quelle dello sforzo le cui componentisi modificano in un cambiamento di riferimento secondo le relazioni (3), (4) vengono dettitensori del secondo ordine. Cio implica che una qualunque matrice 3 × 3 in generale nonsara un tensore a meno che non soddisfi le relazioni (3), (4).

Un modo alternativo per pensare alla definizione di tensore e riconsiderare la definizio-ne di sforzo come una forza divisa per una superficie ed associare alla superficie un vettoreS diretto come la sua normale. Si sarebbe quindi tentati di calcolare il tensore degli sforziT come T = f/S; purtroppo in algebra vettoriale l’operazione di divisione tra due vettorinon e definita e quindi l’espressione T = f/S e priva di significato. Tuttavia a livello dischema mentale si puo immaginare che i tensori del secondo ordine siano quantita definiteproprio per risolvere l’ambiguita introdotta dall’operazione di divisione tra due vettori.

L’operatore ∇, detto nabla, riveste un’importanza particolare nell’algebra dei vettori edei tensori in quanto puo essere ‘applicato’ ad entrambi (oltre che agli scalari) elevandoneo diminuendone l’ordine tensoriale generando cosı vettori da scalari, tensori da vettori eviceversa.

0.1.1 Divergenza

Dato un vettore s di componenti (sx, sy, sz) la divergenza di tale vettore si indica con ∇·se da come risultato una quantita scalare definita come

∇ · s =∂sx

∂x+

∂sy

∂y+

∂sz

∂z. (5)

In modo analogo si puo calcolare la divergenza di un tensore T il cui risultato sara unvettore di componenti

∇ · T =

(∂Txx

∂x+

∂Txy

∂y+

∂Txz

∂z,

∂Tyx

∂x+

∂Tyy

∂y+

∂Tyz

∂z,

∂Tzx

∂x+

∂Tzy

∂y+

∂Tzz

∂z

). (6)

Da questi esempi si puo notare come l’operatore divergenza diminuisca di un’unital’ordine tensoriale della quantita a cui viene applicato per cui restituisce uno scalare seapplicato ad un vettore ed un vettore se applicato ad un tensore del secondo ordine.

0.1. SCALARI, VETTORI E TENSORI 9

0.1.2 Gradiente

Consideriamo ora uno scalare p che sia funzione dello spazio; le variazioni di p lungo le 3direzioni ortogonali saranno date dal vetttore

∇p =∂p

∂xx +

∂p

∂yy +

∂p

∂zz, (7)

che costituisce il gradiente di p.Se applichiamo il gradiente ad un vettore s = (sx, sy, sz) otteniamo una quantita con

9 termini

∇s =

∂sx

∂x∂sx

∂y∂sx

∂z∂sy

∂x∂sy

∂y∂sy

∂z∂sz

∂x∂sz

∂y∂sz

∂z

(8)

che ha le proprieta di un tensore. Di nuovo da questi esempi concludiamo che l’appli-cazione del gradiente ad una grandezza restituisce una quantita con un ordine tensorialeaumentato di una unita.

0.1.3 Rotore

Un ulteriore modo per ‘applicare’ l’operatore nabla e moltiplicarlo vettorialmente con unvettore. Il risultato sara anch’esso un vettore definito nel seguente modo:

∇× s =

(∂sz

∂y− ∂sy

∂z,

∂sx

∂z− ∂sz

∂x,

∂sy

∂x− ∂sx

∂y

). (9)

Tale operazione prende il nome di rotore ed il risultato, essendo un vettore, ha lo stessoordine tensoriale dell’elemento su cui agisce.

0.1.4 Due importanti teoremi

Il maggior vantaggio nell’introduzione di vettori e tensori (e di tutti gli operatori ad essiapplicabili) e di rendere le relazioni tra grandezze del tutto indipendenti dal sistema diriferimento e quindi molto piu maneggevoli e generali. Cio apparira chiaramente quandoverranno introdotte le equazioni di conservazione e di bilancio per un fluido oppure quandose ne vogliano scrivere le relazioni ottenute in un particolare sistema di riferimento.Nelladerivazione delle equazioni mesionate si ricorre a due teoremi che vengono qui brevementericordati. Sia V un determinato volume e sia S la superficie che lo delimita con n lanormale uscente dalla superficie e definita in ogni punto di essa. Se a e un vettore o untensore si definisce flusso di a su S la quantita

∫S a · ndS. Se la superficie e regolare (o

puo essere decomposta in un numero finito di superfici regolari) e se a e differenziabilecon derivate continue allora risulta∫

V∇ · adV =

∫Sa · ndS. (10)


Questa relazione e molto utilizzata per trasformare integrali di volume in integrali disuperficie o viceversa quando cio possa semplificare la trattazione. L’espressione (10) vasotto il nome di teorema della divergenza o teorema di Green o di Gauss o di Ostrogradsky(o di qualche combinazione di questi nomi presi a coppie) e puo anche essere applicato aduna funzione scalare f nella forma

∫V ∇fdV =

∫S fndS.

Sia ora S una superficie delimitata da un contorno chiuso C e sia C orientato inmodo tale che percorrendolo nel verso positivo si abbia sempre S a sinistra. Sia inoltren la normale alla superficie e sia diretta dalla parte dell’osservatore che percorrendo Cin verso positivo la vede puntare dalla sua parte. Se di nuovo S e regolare (o puo esseredecomposta in un numero finito di superfici regolari) e se a e un vettore differenziabilecon derivate continue su S allora vale la seguente relazione

∫S(∇× a) · ndS =

∮C

a · dl, (11)

in cui dl e l‘elemento di C orientato nel verso positivo. La relazione (11) e detta teo-rema di Stokes o teorema della circuitazione (o teorema della circolazione, in ambitofluidodinamico) e viene usato per trasformare degli integrali di superficie in integrali dilinea.

Capitolo 1

Generalita sui fluidi

1.1 definizione di fluido

La fluidodinamica e quella branca della meccanica del continuo che studia la dinamicadei fluidi. Sebbene a livello euristico ognuno di noi intuisce che acqua ed aria sono deifluidi, mentre un blocco di marmo o un cubo di acciaio non lo sono, la definizione difluido non e un concetto ben definito in quanto si basa piu sulla risposta del materialealle sollecitazioni esterne piuttosto che sulla struttura della materia.

Per vie molto generali si possono schematizzare i solidi come dei materiali in cui gliatomi o le molecole occupano delle posizioni ben definite (figura 1.1a) e vengono mantenutiin tali posizioni da forze che divengono fortemente repulsive appena la distanza tende adiminuire ed attrattive quando aumenta (figura 1.2). In tale situazione gli atomi vibranocon oscillazioni di piccola ampiezza senza tuttavia modificare la struttura del legame.

a) c)b)

Figura 1.1: Disegno schematico della struttura di solidi a), gas b), e liquidi c).

Al contrario nei gas (figura 1.1b) gli atomi o molecole non hanno una posizione definitae si muovono di un moto casuale (agitazione termica) variando in continuazione direzionea causa degli urti tra le varie molecole. La distanza media percorsa tra un urto ed ilsuccessivo e detta libero cammino medio (λ) e nei gas questa distanza e molto piu grandedella distanza d di equilibrio tra forze attrattive e repulsive. Cio giustifica la grande facilitache hanno i gas di cambiare volume quando viene variato lo spazio a loro disposizione.

11

12 CAPITOLO 1. GENERALITA SUI FLUIDI

distanza

forz

a

d

(repulsione)

(attrazione)

Figura 1.2: Diagramma indicativo delle forze tra molecole al variare della loro distanza.

I liquidi hanno una struttura intermedia tra i solidi ed i gas in quanto sono formati damolecole la cui distanza reciproca e mediamente dell’ordine di d ma non sono vincolatea mantenere una posizione fissa (figura 1.1c). Da questa struttura ne consegue che unliquido varia la propria forma con estrema facilita mentre per avere variazioni di volumeservono sollecitazioni esterne estremamente elevate.

Per fare degli esempi tangibili, si puo pensare ad una particella di un solido come adelle sferette collegare tra loro tramite molle molto rigide; applicando delle forze esternesi possono far variare le distanze relative tra le sferette ma al cessare delle sollecitazionila disposizione iniziale viene ristabilita. Un semplice modello di gas si potrebbe realizzarecon una ventola che tiene in costante agitazione delle palline di polistirolo all’interno diun sacchetto di plastica. Se si varia il volume del sacchetto, le palline tendono comunquea vagare all’interno dell’intero volume messo a disposizione mentre applicando delle forzeesterne e possibile variare tanto il volume quanto la forma dell’involucro. Un liquido,infine, si puo pensare come ad un sacchetto di plastica pieno di biglie; applicando dellesollecitazioni tangenziali si puo deformare il sacchetto a piacimento, se invece si prova acomprimere l’involucro si ottengono variazioni di volume praticamente nulle 1.

Finora abbiamo descritto alcune proprieta dei materiali guardando alla loro strutturamicroscopica, cercando cioe di dedurre le loro proprieta in base alla disposizione dei loroatomi o molecole. Abbiamo cosı visto come gas e liquidi siano accomunati dalla caratte-

1Questa descrizione vuole avere uno scopo puramente introduttivo ed e ben lungi dal dare una visionecompleta della struttura della materia. Infatti, esistono sostanze dette solidi amorfi (come il vetro) che puravendo una struttura simile ad un liquido hanno tutte le caratteristiche esterne dei solidi. Analogamenteesistono delle sostanze che si comportano come dei solidi fino ad un certo valore della sollecitazione esternae come dei fluidi per sollecitazioni oltre il valore di soglia (fluidi di Bingham). Infine le caratteristiche diun materiale dipendono dalle condizioni esterne di pressione e temperatura e spesso in prossimita delletransizioni da un stato all’altro si hanno dei materiali ambigui con caratteristiche contemporanee di solidie liquidi o liquidi e gas.

1.2. CONCETTO DI CONTINUO 13

ristica di cambiare facilmente forma quando sono soggetti ad un’azione esterna di taglio.In base a questa proprieta definiremo fluido come un materiale in grado di deformarsiindefinitamente quando sottoposto ad una sollecitazione tangenziale esterna ed al cessaredi tale azione non recupera la sua forma iniziale. In altre parole, in condizioni di quiete,un fluido resiste solo agli sforzi normali. Bisogna notare come queste definizioni sianodi tipo fenomenologico, in quanto prescindono dalla struttura intima del materiale maconsiderano solo la sua risposta ad azioni esterne.

1.2 concetto di continuo

Come abbiamo visto in precedenza la definizione di fluido implica la reazione macrosco-pica di un materiale a delle azioni esterne e richiede quindi la valutazione di quantita suscala estremamente piu grande rispetto a quella molecolare; cio conduce in modo naturalealla definizione del concetto di continuo. Si consideri una qualunque grandezza q (pres-sione, temperatura velocita, energia, etc.) e si valuti la sua dipendenza dall’estensionedel volume sul quale viene misurata. In generale si otterra un andamento come quello infigura 1.3 dove si possono osservare tre regioni distinte. Nella regione I si hanno variazio-ni discontinue della grandezza misurata dovute alla insufficienza statistica dei campionicontenuti nel volume di misura; se infatti si misurasse la temperatura o la pressione in unvolume di misura cosı piccolo da contenere 12, 57 o 200 molecole, la media di q risulte-rebbe fortemente dipendente dal numero di campioni e quindi dall’estensione del volumestesso. Nella regione II si ha invece un valore stabile di q in quanto il volume di misuracontiene un numero elevato di atomi o molecole (> O(106)) e quindi la media di q risultaindipendente dall’estensione del volume stesso. Nell’ultima parte del grafico, infine (re-gione III) si hanno nuovamente delle variazioni di q questa volta pero legate al fatto chele quantita sono delle funzioni dello spazio ed il loro valore varia quindi da punto a punto.

Abbiamo cosı stabilito che per poter parlare di continuo, bisogna avere all’interno delproprio volume di misura un numero sufficientemente elevato di atomi o molecole in mo-do da avere delle medie indipendenti dal numero di elementi contenuti nel volume stesso.Rimane quindi da stabilire quanto piccolo si puo assumere un elemento in modo da man-tenere valide le ipotesi di continuo per capire se i fenomeni che avvengono comunementepossono essere studiati utilizzando questa assunzione oppure se si deve considerare la di-namica delle singole molecole. Per fare una stima di massima, si puo valutare il volumeoccupato da una mole di gas in condizioni normali (temperatura T = 15oC e pressionep = 1atm) che e di circa 22.4 litri; d’altra parte una mole di gas contiene un numero dimolecole pari al numero di Avogadro n 6.02 · 1023 da cui si deduce facilmente che in unvolume di un dm3 ci sono 2.5 · 1022 molecole, in un mm3 ce ne sono 2.5 · 1016 mentre inun µm3 (ossia in un cubo di un millesimo di millimetro di lato) ce ne sono circa 2.5 · 107.

Questo semplice esempio numerico ci fa capire come nella pressoche totalita dei flussiincontrati nella vita quotidiana, l’ipotesi di continuo sia ampiamente soddisfatta potendocosı parlare di proprieta del fluido senza considerare le caratteristiche delle singole mole-cole appartenenti alla particella fluida. L’esempio precedente, tuttavia, ci fa anche capire


q

volume

II IIII

Figura 1.3: Variazione del valore misurato di una grandezza q in relazione alle dimensionidel volume di misura.

come la validita o meno dell’ipotesi di continuo dipenda fortemente dalle condizioni ester-ne di pressione. Se per esempio ci si trovasse in un ambiente con una pressione di 10−5atmalla temperatura di T = 0oC un volume di un mm3 conterrebbe ‘solo’ 4.08 · 106 molecoleponendo in dubbio l’ipotesi di continuo per dimensioni piu piccole. In tale situazione sitrova sicuramente la navetta spaziale ‘space shuttle’ quando orbita alla quota di 100kmintorno alla terra. L’indice di rarefazione di un gas viene misurato dal numero di KnudsenKn definito come il rapporto tra il libero cammino medio λ delle molecole e la dimensioneL dell’oggetto intorno a cui si considera il flusso. Per poter utilizzare l’ipotesi di continuodeve risultare Kn −→ 0 dovendo cioe risultare le dimensioni macroscopiche del flussoincomparabilmente piu grandi della scala di lunghezza delle collisioni intermolecolari. Alcontrario per Kn ≥ 1 le due lunghezze sono comparabili ed in queste condizioni si parladi ‘gas rarefatti’ per i quali bisogna ricorrere a schematizzazioni differenti. Tralascian-do tuttavia questi casi molto particolari possiamo affermare che la fluidodinamica trattiessenzialmente dei modelli continui e nello specifico noi ci limiteremo alla trattazione diquesti ultimi.

1.3 densita ed espansione termica

La densita di un fluido misura la quantita di massa contenuta nell’unita di volume e vienegeneralmente indicata con il simbolo ρ. La sua unita di misura nel Sistema Internazionale(SI) e Kg/m3 ed il valore dipende sia dalle condizioni esterne di temperatura che da quellepressione. Mentre nei gas si possono ottenere variazioni considerevoli di densita cambiandopressione o temperatura, nei liquidi queste sono normalmente di entita modesta anche sein entrambi i casi i loro effetti sono di straordinaria importanza. Un fluido riscaldato,infatti, si espande e diminuisce di densita, se quindi il riscaldamento avviene su una

1.3. DENSITA ED ESPANSIONE TERMICA 15

porzione limitata di fluido, questo avra una densita minore dell’ambiente circostante etendera a salire. Questo fenomeno e la causa dei moti atmosferici ed oceanici e vieneutilizzato in innumerevoli applicazioni pratiche.

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 20 40 60 80 100

0.999

0.9995

1

0 4 8 12

T ( C)o

ρ (Kg/m )3

10-32H O

ρ .10-3

2H Oρ .

ρaria

Figura 1.4: Variazione della densita con la temperatura per aria ed acqua; nella figura asinistra e riportato uno zoom dell’anomalia di variazione per l’acqua.

In figura 1.4 e riportata la variazione di densita per aria ed acqua, alla pressione diuna atmosfera, in funzione della temperaura dove si nota che in entrambi i casi la densitadiminuisce al crescere T . Appare chiaro che le variazioni sono di natura non lineare anchese, per piccole variazioni di temperatura si puo approssimare la curva con una relazionedel tipo

ρ − ρ0

ρ0

= α(T − T0), oppure∆ρ

ρ0

= α∆T, (1.1)

in cui ρ0 e il valore della densita alla temperatura T0 e ρ0α e la pendenza locale dellacurva. α e generalmente negativo (densita decrescente per temperatura crescente) ma diparticolare rilevanza risulta l’anomalia dell’acqua che la porta ad avere la sua massimadensita alla temperatura di T = 4oC. Questo comportamento e infatti responsabiledella sopravvivenza delle forme di vita in acqua, in quanto non permette ad acqua ditemperatura inferiore a T = 4oC di occupare gli strati piu profondi. Se supponessimo alcontrario che l’acqua si comportasse come l’aria (e come la pressoche totalita dei fluidi)allora la densita diminuirebbe in modo monotono con la temperatura e l’acqua piu freddasi disporrebbe al di sotto di quella piu calda. Al contrario sul fondo degli oceani e deilaghi alpini l’acqua si trova costantemente alla temperatura di T = 4oC ed in base aldiagramma di figura 1.4 non c’e modo per acqua piu fredda di prendere il suo posto,garantendo cosı la sopravvivenza di flora e fauna.


1.4 comprimibilita di un fluido

Un’importante proprieta di un fluido e la sua comprimibilita, ossia quanto facilmentevaria percentualmente il proprio volume conseguentemente a variazioni di pressione. Sup-ponendo di avere inizialmente un fluido che occupa un volume V si avra che dopo averapplicato una differenza di pressione dp il volume iniziale sara variato di una quantita dVda cui si puo definire il modulo di comprimibilita come

E = − dp

dV/V, (1.2)

le cui unita di misura sono le stesse della pressione (Pa) ed il segno negativo tiene inconto il fatto che per variazioni di pressione positive si hanno diminuzioni di volume,ossia dV negativi. In alcuni casi viene usato l’inverso di E che e chiamato coefficiente dicomprimibilita β = 1/E. Ricordando che la massa m e data dal prodotto di densita pervolume e differenziando logaritmicamente la relazione m = ρV si ottiene dV/V = −dρ/ρda cui di ottiene

E =dp

dρ/ρ. (1.3)

Nel caso dei liquidi E assume dei valori estremamente elevati, (E = 2.15 · 109Pa perl’acqua, E = 2.85 · 1010Pa per il mercurio, E = 1.3 · 109Pa per la benzina) indicando cheper variazioni di pressione limitate si hanno variazioni di volume praticamente trascurabili,da cui la considerazione dei liquidi come incomprimibili.

Per quanto riguarda i gas, evidentemente il valore di E rimane indeterminato fino aquando non si specifica la natura della trasformazione che lega p a ρ (o a V ). Se peresempio si considera la politropica p/ρk = const. si ha:

ρkdp − kpdρρk−1 = 0,dp

dρ/ρ= kp, da cui E = kp. (1.4)

Dalla relazione di sopra si vede che se per esempio la trasformazione e isoterma p/ρ =const. (k = 1) allora si avra E = p mentre per una isentropica p/ργ = const. (k = γ =Cp/Cv rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costante) risulta E = γp 2 .

2Volendo mettere insieme i risultati di questa sezione e della precendente per le variazioni di densitasi puo scrivere

dρ =(

∂ρ

∂T

)p=const.

dT +(

∂ρ

∂p

)T=const.

dp = ραpdT +ρ

ETdp, (1.5)

dove si e indicato con αp il coefficiente di espansione termica a pressione costante e con ET il modulo dicomprimibilita del fluido a temperatura costante. Nel caso in cui il fluido in esame sia un gas che rispettala legge di stato dei gas perfetti si avra, αp = −1/T ed ET = p da cui si ottiene

dρ

ρ= −dT

T+

dp

p, (1.6)

come si sarebbe potuto ottenere direttamente per differenziazione logaritmica della legge di stato dei gasperfetti.

1.5. VISCOSITA E SFORZI 17

ESEMPIO

Sia dato un fluido di volume iniziale V0. Sapendo che dopo aver aumentato lasua pressione di ∆p il suo volume diminuisce della percentuale %V calcolare ilsuo modulo di comprimibilita. ∆p = 8GPa, %V = 24.47.

Soluzione

Dalla definizione di modulo di comprimibilita

E = − dp

dV/V,

si ottiene per integrazione

dV

V= −dp

E=⇒ log

Vf

V0

= −∆p

E,

essendo Vf il volume finale. Ma risulta Vf/V0 = 1 − %V/100 e quindi E =2.85 · 1010 Pa (il fluido e cioe mercurio).

1.5 viscosita e sforzi

Si consideri una particella fluida inizialmente a forma di parallelepipedo e si applichi su unasua superficie S una forza F diretta come in figura 1.5a. La particella fluida verra quindisottoposta ad uno sforzo di taglio τ = F/S che la deformera come mostrato in figura1.5b. Poiche stiamo considerando un fluido, questo si deformera con continuita sottol’azione dello sforzo costante τ , quindi invece di determinare la deformazione dovremodeterminare la velocita di deformazione. Assumendo che la superficie superiore si muovacon una velocita costante U , in un tempo ∆t percorrera una distanza U∆t producendouna deformazione angolare tg(∆γ) = U∆t/b ∆γ. Per la velocita di deformazioneangolare si puo scrivere γ = lim∆t→0 ∆γ/∆t = U/b = dU/dy 3.

Se effettuassimo un numero elevato di questi esperimenti con diversi valori di τ scopri-remmo che la velocita di deformazione angolare γ risulta sempre proporzionale allo sforzoapplicato attraveso una costante µ che dipende solamente dal tipo di fluido considerato edalla sua temperatura. Si potra cosı scrivere τ = µγ ossia

τ = µdU

dy, (1.7)

che permette di calcolare lo sforzo generato internamente ad un fluido nota la sua velocitadi deformazione. Le relazione che lega linearmente la velocita di deformazione con gli sforzie caratteristica di una classe di fluidi detti ‘fluidi newtoniani’. Sebbene la relazione (1.7)

3Cio risulta vero solo se si suppone che una tale configurazione produca una distribuzione lineare dispostamenti all’interno della particella fluida. La fondatezza di tale assunzione e le ipotesi di validitaverrano dimostrate rigorosamente in seguito.


S

F

b γ

τy

U∆t

∆

a) b)

Figura 1.5: Schema delle deformazione di una particella fluida.

sia la piu semplice che si possa immaginare, tutti i fluidi di uso piu comune obbedisconoabbastanza fedelmente alla relazione appena descritta. Acqua ed aria sono i fluidi piuimportanti ma anche i vari gas in condizioni non critiche, gli idrocarburi ed il mercurioobbediscono in modo altrettanto fedele alla relazione lineare di sopra.

dU/dy (s )−1

(N/m

)2τ

0

1

2

3

100 200 300 400

water

Bingham fluid

oil

blood

τ 0

Figura 1.6: Diagramma di sforzo vs shear per vari fluidi newtoniani e non.

Ci sono, tuttavia, diverse eccezioni al comportamento lineare che rivestono una no-tevole importanza nella vita quotidiana. Il sangue, ad esempio, reagisce con sforzi cheaumentano meno che linearmente con γ (figura 1.6) permettendo cosı al cuore di pom-pare, a parita di portata con minore sforzo. Questi fluidi appartengono alla categoria“shear–thinning” e sono caratterizzati da un comportamento pressoche newtoniano perbassi valori della velocita di deformazione (come il sangue che fluisce nell’aorta) mentrenegli altri casi (sangue nei capillari) hanno un comportamento non newtoniano. Una dif-ferente classe di fluidi e costituita da quelli che non danno luogo ad alcuna deformazioneper valori dello sforzo di taglio al di sotto di un certo valore limite (τ0) mentre presen-tano una relazione lineare del tipo τ − τ0 = µγ per τ ≥ τ0. Questi fluidi sono detti diBingham (figura 1.6) e se si pensa alle dune di sabbia si ha una chiara dimostrazione di


questo fenomeno; sui lati della duna, infatti, agisce la componente tangenziale della forzadi gravita che tuttavia produce uno sforzo minore del τ0 caratteristico di quella particolaresabbia. Se pero cambia la pendenza (per esempio a causa del vento) allora gli strati disabbia cominciano a ‘scivolare’ gli uni sugli altri fino a ristabilire valori di τ al di sotto diquello di soglia. La trattazione dei diversi tipi di fluido e studiato dalla disciplina chia-mata reologia ed esula comunque dallo scopo delle presenti note che hanno un carattereprevalentemente introduttivo.

Per comprendere in che modo la viscosita agisce in un fluido, riconsideriamo l’esempiodi figura 1.5 in cui un elemento di fluido inizialmente a forma di parallelepipedo vienedeformato in seguito al moto traslatorio di una superficie superiore con velocita U (figura1.7). Immediatamente dopo l’inizio della traslazione (t = 0+) solamente le molecole difluido a contatto con la superficie in moto verranno trascinate con essa mentre gli stratiinferiori di fluido permarranno nel loro stato di quiete. A causa del moto di agitazionetermica, tuttavia, le molecole in moto trasferiranno parte della loro quantita di moto aquelle statisticamente ferme che a loro volta inizieranno a muoversi (figura 1.8a). Que-sto processo raggiungera un equilibrio quando si bilancera l’azione degli strati superioridi fluido che tenderanno a far muovere tutto l’elementino con velocita U e quelli dellasuperficie inferiore che tendono ad arrestare gli strati fino ad una velocita U = 0 (figura1.8b).

U

t tt tt0 1 2 3 4

Figura 1.7: Trasferimento di quantita di moto ad istanti successivi tra strati di fluidoinizialmente in quiete.

Seguendo l’esempio precedente appare evidente come il moto caotico delle molecolecausi la diffusione di quantita di moto all’interno di un fluido; questa attitudine alladiffusione viene misurata dalla viscosita µ le cui dimensioni possono essere facilmentericavate dalla relazione (1.7) e sono N · s/m2 4.

Il meccanismo microscopico che genera la viscosita giustifica anche il fatto che que-sta quantita sia fortemente dipendente dalla temperatura; al crescere di questa infatti,aumenta il moto caotico di agitazione delle molecole e quindi diventera piu efficiente la

4E interessante notare come nel linguaggio quotidiano il concetto di viscosita venga spesso confusocon quello di densita. Si sente infatti spesso dire ‘un liquido molto denso’ per indicare una sostanzaviscosa. Tuttavia densita e viscosita non sono affatto legate visto che la prima indica la quantita dimassa contenuta nell’unita di volume mentre la seconda indica la facilita che ha un fluido a diffonderela quantita di moto; per esempio l’olio e piu viscoso dell’acqua ma meno denso come possiamo osservaredal galleggiamento di quest’ultimo sull’acqua.


U

U

y

U

y tt t

t

t 4

3

210

a) b)

Figura 1.8: a) schema di diffusione di quantita di moto tra due strati di fluido inizialmentein moto (particelle nere) e fermo (particelle bianche). b) evoluzione temporale del profilodi velocita nell’esempio di figura 1.7.

diffusione secondo quanto precedentemente descritto. Cio si osserva a livello macrosco-pico nei gas con una viscosita che cresce con la temperatura. Nei liquidi questo effettodeve competere con uno opposto, cioe l’indebolirsi del legame che tiene le molecole vicine.All’aumentare dela temperatura si verifica cioe una maggiore mobilita delle molecole chetende a far diminuire la viscosita. Quest’ultimo effetto prevale sul primo con la conse-guenza che nei liquidi la viscosita diminuisce con la temperatura. Un esempio quotidianodi tale fenomeno si osserva quando in cucina si mette dell’olio in una padella. Inizialmentel’olio si muove con difficolta aderendo al fondo della padella e fluendo molto lentamen-te nonostante si disponga la superficie verticalmente; non appena si accende la fiamma,al contrario, si osserva che l’olio fluisce con maggiore facitita e, quando e ben caldo, sicomporta ‘come se fosse acqua’.

Un grafico della variazione di µ per aria ed acqua e riportato in figura 1.9 dove si puonotare il comportamento opposto al crescere della temperatura caratteristico per gas eliquidi. La pressione ha generalmente un effetto assai ridotto sulla viscosita e viene disolito trascurato.

Si vedra nel seguito che ricorrera spesso la quantita

ν =µ

ρ, (1.8)

le cui dimensioni sono m2/s, che prende il nome di viscosita cinematica per distinguerladalla viscosita dinamica µ. Dall’equazione (1.8) si puo notare che comparendo la densitanella definizione di ν quest’ultima ha una dipendenza dalla pressione. Infatti, se unfluido viene compresso la sua densita aumentera e conseguentemente diminuira la viscositacinematica. Questo effetto e molto importante per i gas mentre si puo generalmentetrascurare nel caso dei liquidi.


0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

0 20 40 60 80 100

µH O2103.

µair 105.

N s/m2.( )

T ( C)o

µ

Figura 1.9: Variazione della viscosita con la temperatura per aria ed acqua.

ESEMPIO

Sia dato il flusso d’acqua tra due laste piane e parallele come in figura in cui laparete superiore si muove con velocita U . Sapendo che il profilo di velocita tra ledue lastre e lineare e che la parete inferiore, vincolata ad una molla con costanteelastica K, viene spostata di una quantita x, determinare il valore di U .

Ul

h

k

h = 4 mm l = 1 mx = 0.25 cm K = 103 N/mb = 1.3 m

b e la dimensione nella direzioneortogonale al foglio

Soluzione

Dalle indicazioni del testo (si vedra in seguito che questa e una soluzione esattadelle equazioni del moto) si ha che il profilo di velocita tra le due lastre e datoda: u(y) = Uy/h (se y e la coordinata ortogonale alle due lastre con origine sullalastra ferma). La risultante delle forze viscose sulla parete inferiore si ottieneintegrando lo sforzo di parete τw = µ(∂u/∂y)y=0 = µU/h sulla superficie dellaparete F =

∫S τwdS = µUbl/h e questa forza deve eguagliare la reazione della

molla F = kx. Da questa relazione si ricava il valore di U = kxh/(µbl) =6.86 m/s.


1.6 tensione di vapore

Se riconsideriamo per un istante la schematizzazione di liquido data in figura 1.1c possia-mo osservare che le varie molecole pur nel loro moto caotico di agitazione termica sonotenute insieme da delle forze di coesione. A livello statistico, tuttavia, ci saranno dellemolecole con energia cinetica maggiore che potranno quindi ‘abbandonare’ la particellafluida. Questo fenomeno si traduce nell’osservazione comune che se un recipiente vieneparzialmente riempito di liquido e nello spazio rimanente viene fatto il vuoto si osservala progressiva formazione di vapore, ossia di molecole di liquido allo stato gassoso, finoal raggiungimento di una condizione di equilibrio (figura 1.10). A livello microscopico,questo equilibrio esprime il bilanciamento statistico tra le molecole che lasciano la faseliquida per entrare in quella gassosa e quelle che seguono il percorso inverso. Il valore diequilibrio della pressione del vapore viene detto tensione di vapore ed il suo valore sarafortemente dipendente dalla temperatura. Come ci si aspetta, infatti, a temperature mag-giori le molecole saranno animate da un moto di agitazione termica piu intenso e quindiun maggior numero avra energia cinetica sufficiente a lasciare la fase liquida. La tensionedi vapore sara quindi una funzione crescente della temperatura e quando questa pressioneuguaglia la pressione esterna si verifica l’ebollizione del liquido 5.

t

pv

pv

T

Figura 1.10: Schema di formazione della fase gassosa al di sopra di un liquido.

Questo fenomeno trova un posto di particolare rilevanza nella tecnologia in quanto,come si vedra in seguito, all’interno di un fluido in moto si producono delle zone di bassapressione dove la velocita e elevata. Se localmente la pressione scende al di sotto dellatensione di vapore, il liquido bolle formando delle sacche di gas che quando si richiudonoimplodono violentemente generando intenso rumore e causando ingenti danni alle strut-ture. Questo fenomeno e noto come cavitazione ed e particolarmente noto ai costruttoridi turbine che sono costretti alla periodica sostituzione delle palette a causa della lorousura (vedi figure 1.11 e 1.12).

5Questo e il motivo per cui in alta montagna non si riesce a cucinare la pasta al dente. Si verificainfatti che siccome la pressione ambiente diminuisce con la quota, la tensione di vapore dell’acqua bilanciala pressione ambiente a temperature inferiori a T = 100oC (per esempio alla quota di 3000m l’acqua bollea 90oC) e la pasta cuocendo in acqua a temperatura bassa perde la sua consistenza.

1.7. TENSIONE SUPERFICIALE 23

Figura 1.11: Visualizzazione della formazione di zone di cavitazione nel flusso intorno adun’elica per propulsione navale in acqua.

Figura 1.12: Usura della superficie di pala di un’elica navale prodotta dal fenomeno dellacavitazione.

1.7 tensione superficiale

Nella sezione 1.1 abbiamo visto che nei liquidi ci sono delle forze coesive che tendono amantenere le molecole a ‘contatto’ tra loro; cio implica che, al contrario dei gas che si


espandono fino ad occupare l’intero volume messo a loro disposizione, i liquidi formanodegli agglomerati compatti in modo da rendere minima la superficie esposta per un datovolume 6. Questo fenomeno si osserva comunemente quando si formano delle goccied’acqua su una superficie grassa o sulla carta oleata, oppure quando si dispone del mercuriosu un piano. In altre parole, in prossimita di un’interfaccia tra un liquido ed un gas otra liquidi immiscibili, le forze intermolecolari non sono bilanciate in tutte le direzioni egenerano un sistema di tensioni che ha lo stesso effetto di una ‘pellicola superficiale’. Lapresenza di questa ‘pellicola’ puo essere evidenziata osservando alcuni insetti in grado dicamminare sulla superficie degli stagni come se si muovessero su una membrana elastica,cosa evidentemente impossibile in assenza delle tensioni di suerficie.

Le carateristiche di queste tensioni dipendono dalla natura dei due fluidi a contatto edalla temperatura (oltre che dal grado di purezza dei fluidi) e possono essere sia di naturaattrattiva che repulsiva.

E bene osservare che le forze coesive tra molecole sono presenti in tutti i punti del fluido,sia all’interno che all’interfaccia; nel primo caso, tuttavia queste avranno risultante nullain quanto si bilanceranno tra loro (figura 1.13a). Nelle zone di interfaccia, al contrario, lemolecole non sono circondate dallo stesso fluido su ogni lato e la risultante delle forze dicoesione e diversa da zero (figura 1.13b). Cio implica che le molecole all’interno del fluidopossono muoversi in qualunque direzione senza che le forze coesive oppongano alcunaresistenza. Viceversa se si prova a spostare una molecola all’interfaccia ulteriormente aldi fuori della particella fluida le forze coesive si opporrano generando una tensione allostesso modo di una membrana elastica.

a) b)

Figura 1.13: Forze di coesione agenti in un liquido su una molecola interna a) edall’interfaccia b). Con la linea e riportata la configurazione con l’interfacciadeformata.

6In assenza di perturbazioni esterne questa superficie e quella sferica. Nella realta, tuttavia, il fluidoe sottoposto anche all’azione della gravita che tende a deformare la superficie. Comunque per goccieparticolarmente piccole, poiche le forze di volume tendono a zero piu rapidamente di quelle superficiali,la forza peso si puo trascurare e le superfici sono effettivamente delle sfere.


1.7.1 ∗ effetto della curvatura della superficie

Le azioni di tensione superficiale all’interfaccia tra due fluidi immiscibili genera delle forzetangenti alla superficie stessa che, nel caso di un’interfaccia non piana, induce anche unaforza normale e quindi una differenza di pressione tra i fluidi. Per mettere in relazionequesta differenza di pressione con le caratteristiche geometriche della superficie, conside-riamo lo schema in figura 1.14 in cui viene isolato un elemento di superficie con i latidl1 e dl2 ortogonali e raggi di curvatura, rispettivamente, r1 ed r2. Detta σdl2 la forzaortogonale al lato dl2 si ha che la componente in direzione normale risulta

dF2 = σdl2dθ = σdl1dl2

r1

(1.9)

con un’espressione analoga per la forza ortogonale al lato dl1; dF1 = σ(dl1dl2)/r2. Questeforze sono bilanciate dalla differenza di pressione tra i fluidi, ottenendo

∆pdl1dl2 = σdl1dl2

(1

r1

+1

r2

)=⇒ ∆p = σ

(1

r1

+1

r2

)(1.10)

con la pressione maggiore dal lato convesso della superficie.

E utile osservare che la quantita 1/r1 + 1/r2, che e il doppio del raggio di curvaturamedio della superficie, e un invariante geometrico indipendente dal sistema di riferimentoscelto e cio torna intuitivamente con il fatto che la differenza di pressione che si genera al-l’interfaccia tra i due fluidi deve chiaramente essere indipendente dal sistema di riferimentoche si sceglie per descrivere il fenomeno.

dθ

dθ

σdl2dθ

r

r

dl

σσ

1

2

2

dldl21

dl1

2

Figura 1.14: Sistema di forze generate dalla tensione superficiale su una superficie curva.


La situazione appena illustrata si riferisce ad un’unico fluido circondato da un gasoppure da un fluido circondato unicamente da un altro fluido 7. La configurazione diventanotevolmente piu complessa nel caso in cui ci siano piu fluidi a contatto sia con un gas checon una superficie solida. Presa come esempio la situazione in figura 1.15 si ha chiaramenteche deve risultare

σ13 − σ23 = σ12 cos α (1.11)

in cui l’angolo di contatto dipende dai valori delle tensioni superficiali dei materiali acontatto. Quando risulta α > π/2 (ossia σ23 > σ13) si ha che il fluido 2 non bagna ilmezzo 3 (per esempio mercurio su vetro). Se invece | σ13 −σ23 |>| σ12 | l’equazione (1.11)non puo evidentemente essere soddisfatta per alcun valore di α implicando che non epossibile raggiungere una configurazione di equilibrio come quella riportata in figura 1.15.

Questa e la situazione che tipicamente si verifica quando sull’interfaccia aria–acqua sideposita qualche goccia di olio che tende a spandersi uniformemente fino a formare unsottile velo uniforme.

α

3

1 2

σ12

σ σ13 23

Figura 1.15: Sistema di forze generate dalla tensione superficiale nel punto di contattotra tre mezzi diversi (di cui almeno uno sia un liquido).

Una situazione comune in cui la tensione superficiale ha un ruolo determinante enell’impatto di un corpo con un’interfaccia tra fluid immiscibili. In questo caso, infatti,l’impatto produce una deformazione della superficie con linee a piccolo raggio di curvatura.In queste regioni la tensione superficiale ha un effetto dominante sulle altre forze e tendea generare delle piccole goccie che minimizzano la superficie esposta rispetto al volume difluido contenuto (figura 1.16).

Questo e lo stesso motivo per cui quando si lascia scendere dal rubinetto un ‘filino’d’acqua questo prima o dopo si frantuma in piccole gocce. Le particelle fluide, infatti, acausa della forza di gravita tenderebbero ad aumentare indefinitamente la loro velocita ela vena fluida, per conservare la portata, dovrebbe diventare infinitamente sottile. Accadequindi che la distanza tra punti diametralmente opposti della superficie del getto divienetanto piccole da permettere alla tensione superficiale di diventare efficace e rompere lavena continua in molteplici gocce (figura 1.17).

7In questo caso la tensione superficiale σ e il valore di un fluido rispetto all’altro.


Figura 1.16: Deformazioni della superficie libera e frammentazione conseguenteall’impatto di una goccia d’acqua con un’interfaccia acqua/aria.

Figura 1.17: Rottura di un getto d’acqua a sezione circdolare di diametro d = 4 mmindotta dalla tensione superficiale.

1.7.2 capillarita

Consideriamo infine la combinazione di effetti di tensione superficiale e forza di gravita ilcui fenomeno piu noto e quello della capillarita. In figura 1.18 sono riportati due esempidi comportamento per le interfacce tra aria–acqua–vetro e aria–mercurio–vetro da cui sipuo vedere che non solo i fenomeni di tensione superficiale dipendono dalla natura deidue fluidi ma anche dalle forze di adesione dei fluidi con il solido. Nell’esempio specificoe rappresentato un capillare (un tubicino di sezione O(1)mm) in vetro immerso in unrecipiente contenente del fluido. A seconda dei casi, l’interfaccia aria–fluido puo salire oscendere rispetto al livello esterno e per il calcolo dell’altezza h si procede semplicementeeffettuando un bilancio di forze. Se σ esprime il valore della tensione superficiale (in unitaN/m) la forza totale esercitata dall’interfaccia sara pari al perimetro della circonferenzamoltiplicata per il valore della tensione ossia 2πRσ orientata come in figura 1.18c. Questaforza, proiettata nella direzione verticale dovra bilanciare il peso della colonna di fluidosollevata (o abbassata); risultera quindi:

2πRσ cos θ = ρghπR2, ⇒ h =2σ cos θ

ρgR, (1.12)

dove si osservi che h e la quota media dell’interfaccia.


Il valore dell’angolo θ e determinato dal bilancio tra le forze di adesione tra il fluido edil capillare e le forze di coesione all’interno delle molecole del fluido. Se un fluido tende a‘bagnare’ una superficie allora le forze di adesione superano quelle di coesione e l’angoloθ sara minore di 90o. Sa al contrario il fluido non aderisce al capillare allora sarannole forze di coesione a prevalere su quelle di adesione e l’angolo θ risultera maggiore di90o. La determinazione di θ viene effettuata per via sperimentale ed acqua e mercuriosono due prototipi di fluido per i comportamenti precedentemente descritti risultando,rispettivamente θH2O 0o e θHg 130o.

R

h

θ

π R hgρ2

2πRσ

c)b)a)

Figura 1.18: Esempi di tensione superficiale all’interfaccia tra aria–acqua–vetro a), aria–mercurio–vetro b). Bilancio tra forza peso e tensione superficiale c).


ESEMPIO

Assumendo che la linfa salga dalle radici alle foglie di un albero per capillaritacalcolare il raggio dei vasi linfatici (supposti circolari) per un albero di altezzah = 15 m.

Soluzione

Come e stato detto, i fenomeni di tensione superficiale dipendono sia dal fluido edal suo grado di purezza sia dal materiale con il quale viene a contatto. Tuttavia,volendo attenere una stima di larga massima, si possono assimilare le proprietadella linfa a quelle dell’acqua ed i vasi linfatici ad un capillare in vetro. In talcaso, ricorrendo alla formula (1.12) avendo posto θ 0 e σ = 7.34 · 10−2 N/m siottiene

R =2σ cos θ

ρgh= 9.97 · 10−7 m.

Il presente valore (∼ 1µm) risulta estremamente piccolo ed e poco probabile cheall’interno di un tronco si possa realizzare un condotto, privo di imperfezioni delraggio di 1µm per tutta la sua lunghezza.Nella realta il meccanismo che porta la linfa alle foglie e l’osmosi, in quantoevaporando l’acqua attraverso le foglie si creano concentrazioni maggiori di saliin alto che attirano l’acqua dalle radici.

Capitolo 2

Statica dei fluidi

Una categoria importante di problemi della fluidodinamica e costituita da quei fenomeniin cui il fluido si trova in quiete oppure si muove senza generare degli sforzi di taglio;sebbene questa condizione possa sembrare estremamente restrittiva, ci si rendera contoche riguarda una vasta gamma di problemi pratici. Il dimensionamento di una diga, lasollecitazione generata in un serbatoio in pressione, la forma della superficie libera di unliquido in rapida rotazione o il sollevamento in volo di una mongolfiera sono solo alcuniesempi tra molti che incontriamo nella realta quotidiana. In tutti questi casi le uniche forzepresenti sono forze di pressione e forze di volume, la determinazione della cui risultante elo scopo di questa parte della fluidodinamica.

2.1 pressione in un fluido

Volendo determinare la risultante delle forze di pressione su una superficie immersa inun fluido, ci si deve porre immediatamente la domanda di come la pressione dipendadall’orientamento dell’elemento di superficie su cui agisce. Consideriamo a tale scopo unfluido in quiete dal quale si tolga un elemento a forma di prisma e si consideri il diagrammadi corpo libero per tale elemento (figura 2.1).

x

zy

ρgdxdydz

dz

pydzdx

dxθ

dy

pdyds

2

ds

2

Figura 2.1: Diagramma di corpo libero per un elemento di fluido in quiete.

31

32 CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

Essendo l’elemento di fluido in quiete, la risultante delle forze applicate dovra esserenulla; considerando quindi l’equilibrio nella direzione verticale z e nella x si ottiene

pzdxdy − pdyds cos θ = ρgdxdydz/2, pxdydz = pdyds sin θ, (2.1)

da cui osservando che ds sin θ = dz e ds cos θ = dx, si ha: pz − p = ρgdz/2 e p = px.D’altra parte, essendo interessati alla pressione in un punto, possiamo far tendere a zero ledimensioni del prisma mantenendone invariata la forma da cui risulta per dx, dy, dz −→ 0

pz = p, px = p, (2.2)

ossia la pressione in un punto ha lo stesso valore indipendente dal valore dell’angolo θ. Seora ricordiamo che tanto il valore di θ quanto l’orientamento del prisma sono stati scelti inmodo del tutto arbitrario arriviamo alla conclusione di validita generale che il valore dellapressione in un punto e indipendente dalla direzione in cui agisce, questa affermazione enota come Legge di Pascal.

Questo esempio ci da anche lo spunto per riflettere su un’altra questione molto impor-tante in fluidodinamica. Indicando con dl l’ordine di grandezza dei lati del prisma si hache le forze di pressione sono proporzionali a dl2 mentre la forza peso e proporzionale adl3. Questa stima e generale e si puo applicare a tutte le forze di superficie e di volume.Cio implica che al diminuire delle dimensioni di un corpo, le forze di volume e di superficienon diminuiscono nello stesso modo ma le prime perdono sempre piu importanza mentrele seconde diventano preponderanti. Questo effetto si chiama effetto scala ed e il motivoper cui quando si costruisce un aeromodello non basta ridurre in scala tutte le dimensionima bisogna anche cambiare la curvatura dei profili alari per avere un giusto bilanciamentotra il peso dell’aeromodello e la forza di sostentamento (portanza) 1.

2.2 distribuzione di pressione in un fluido

Dopo aver stabilito che la pressione in un punto agisce in ugual modo in tutte le direzionibisogna ora capire in che modo la pressione varia all’interno di un fluido in quiete o inmoto ma sempre sotto la condizione che non siano presenti degli sforzi tangenziali internial fluido.

In modo simile all’esempio precedente, si consideri un elemento di fluido a forma diparallelepipedo (figura 2.2) e si applichi la seconda legge della dinamica F = ma.

Indicando con p il valore della pressione al centro dell’elemento ed utilizzando losviluppo in serie di Taylor si avra per le pressioni sulle facce perpendicolari all’asse yp−∂p/∂y(dy/2) e p+∂p/∂y(dy/2) da cui, detta ρ la densita del fluido ed ay la componentedell’accelerazione lungo la direzione y si puo scrivere l’equilibrio dell’elemento:(

p − ∂p

∂y

dy

2

)dxdz −

(p +

∂p

∂y

dy

2

)dxdz = ρdxdydzay, ⇒ −∂p

∂y= ρay. (2.3)

1Un altro esempio si ha negli impatti dei corpi; se cade a terra un cucciolo di elefante o un elefan-te adulto l’effetto sulla struttura ossea certamente non sara lo stesso anche se i due animali possonocertamente essere considerati in scala.

2.2. DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO 33

ρgdxdydzx

zy

dxdz dxdzp+ δpδy

dy2

dy

p

dz

dx

p- δpδy

dy2

Figura 2.2: Equilibrio delle pressioni per un elemento di fluido.

L’equilibrio si scrivera in modo del tutto analogo nella direzione x mentre per ladirezione verticale z bisognera includere tra le forze il peso:

(p − ∂p

∂z

dz

2

)dxdy −

(p +

∂p

∂z

dz

2

)dxdy − ρdxdydzg = ρdxdydzaz, (2.4)

ossia

−∂p

∂z− ρg = ρaz.

Se ora osserviamo che il gradiente della pressione (in un sistema di coordinate cartesiane)fornisce l’espressione

∇p =∂p

∂xx +

∂p

∂yy +

∂p

∂zz, (2.5)

dove x, y e z sono i versori degli assi, ed indicando con f il vettore contente tutte le densitadi forze di volume (nell’esempio in questione f = −gz), l’equilibrio dell’elemento di fluidosi scrive

−∇p + ρf = ρa (2.6)

che ha validita generale qualunque siano f ed a. L’unica restrizione all’applicazione diquesta relazione resta quindi l’assenza di sforzi viscosi all’interno del fluido.


ESEMPIO

Un camion trasporta del liquido che riempie per 2/3 il cassone a forma di paral-lelepipedo, aperto in superficie e con le sponde laterali di altezza H. Se percorreuna curva circolare di raggio R alla velocita costante U , calcolare la massimavelocita con cui puo percorrere la curva prima che fuoriesca il liquido.

R

U

H

h

l

l = 2.5 m H = 2 mR = 200 m (h = 2H/3)

SoluzioneIn un sistema di riferimento solidale con il ca-mion, sul fluido agiranno la forza peso e quellacentrifuga per cui, preso un sistema d’assi comein figura, le equazioni per la statica del fluidosaranno:

−∂p

∂z− ρg = 0, −∂p

∂r+ ρ

U2

R= 0,

rispettivamente per le componenti verticale eradiale. D’altra parte per il differenziale dellapressione si puo scrivere

dp =∂p

∂zdz +

∂p

∂rdr = −ρgdz + ρ

U2

Rdr.

Essendo la superficie libera una superficie iso-pressione risulta pero dp = 0 da cui si ricava perla superficie libera

dz

dr=

U2

Rg, =⇒ z(r) =

U2r

Rg+ C.

La costante C si determina in base al volu-me iniziale di fluido. La condizione critica siha quando z(r = l) = H e per conservare lamassa deve risultare h1 = 2h − H che risul-tera anche il valore di C = z(r = 0). Dacio si ricava H = U2l/(Rg) + 2h − H ossia

U =√

2Rg(H − h)/l = 32.34 m/s.

hH

h1

z

r O

g

2.3. VARIAZIONI DI PRESSIONE IN UN FLUIDO IN QUIETE 35

2.3 variazioni di pressione in un fluido in quiete

La relazione (2.6) permette, come caso particolare, di determinare la variazione di pressio-ne con la quota per un fluido soggetto solamente al peso proprio. In questo caso risulteraa = 0 ed orientando l’asse z nella stessa direzione ma verso opposto rispetto alla gravitaf = −gz si ottiene dalla (2.6)

dp

dz= −ρg. (2.7)

Evidentemente l’integrazione di questa relazione fornisce risultati differenti a seconda chela densita si possa considerare indipendente o meno dalla coordinata z. Nel caso dei liquidiabbiamo visto che il modulo di comprimibilita ha valori estremamente elevati (O[GPa])e la variazione di densita puo essere sicuramente trascurata ottenendo cosı

p(z) = p(0) − ρgz, (2.8)

in cui p(0) e il valore della pressione alla quota z = 0 scelta come riferimento. Nel casodell’acqua (ρ = 1000Kg/m3) la relazione (2.8) ci dice che ogni 10 metri di profondita(z = −10m) si ha una variazione di pressione ∆p = 98000Pa ossia circa un’atmosfera.Questo fatto dovrebbe essere ben noto a tutti quelli che fanno immersioni in quanto ilcontinuo aumento di pressione con la profondita costringe a frequenti compensazioni trala pressione interna dell’orecchio e quella esterna che agisce sul timpano durante la fasedi immersione.

Se invece dei liquidi consideriamo i gas, le variazioni di densita con la quota non sa-ranno piu trascurabili e l’integrazione dell’equazione (2.7) deve tenere conto della formaspecifica di ρ(z). Un caso semplice e costituito da uno strato di gas che obbedisca al-l’equazione di stato dei gas perfetti e che sia isotermo risultando cosı ρ = p/(RT ) conil fattore 1/(RT ) costante in z e dipendente solo dalla temperatura e dal gas specificoconsiderato. Questa relazione, sostituita nella (2.7) fornisce

dp

dz= − gp

RT, ⇒ dp

p= − g

RTdz, (2.9)

da cui si ottiene per integrazione

logp(z)

p(0)= − g

RTz, ⇒ p(z) = p(0)e−

gRT

z, (2.10)

da cui si vede che la diminuzione di pressione con la quota e un esponenziale decrescente.Cio implica che pur salendo in quota, prendendo dei ∆z costanti si ottengono dei decre-menti di pressione sempre piu piccoli; questo effetto si puo comprendere intuitivamenteosservando che gli strati inferiori dell’atmosfera sono compressi dal peso degli strati supe-riori e questo peso diminuisce con z per due fattori ı) lo spessore di fluido e minore ıı) ilfluido ha una densita sempre minore perche meno compresso.

E comunque importante notare che dato il basso valore di densita dei gas, le variazionidi pressione dovute al peso proprio diventano importanti solo per variazioni di quota


dell’ordine delle centinaia o migliaia di metri. Per provare questa asserzione si puo, peresempio applicare la relazione (2.10) all’aria a temperatura ambiente osservando che peruna variazione di quota di z = 50m si ha una variazione relativa di pressione di solo lo0.59%.

2.4 atmosfera standard

Tra i problemi di determinazione di variazioni di pressione con la quota, quello dell’atmo-sfera riveste una particolare rilevanza pratica a causa di tutte le applicazioni di trasportoaereo, meteorologia e geofisica. Purtroppo le cause che determinano le variazioni di pres-sione nell’atmosfera sono molteplici e complesse 2 e cio ha reso necessaria la definizione divalori standard applicabili ovunque ed in qualunque momento dell’anno in modo da averedei valori di riferimento.

z (Km)

0

100

60

40

20

80

278208158

stratopausa

mesosfera

mesopausa

ionosfera

tropopausatroposfera

stratosfera

T (K)

Figura 2.3: Distribuzione della temperatura con la quota nell’atmosfera.

Queste condizioni di riferimento sono state fissate mediando i valori in un anno di tuttoil globo alla latitudine 40o nord il che fornisce una temperatura al suolo di T (0) = 288.15K(15oC) ed una pressione di p(0) = 101330Pa. Per le variazioni di temperatura con la quotae stato provato che nella zona compresa tra 0 ed 11000m (troposfera) si ha una diminuzionelineare di temperatura con gradiente costante pari a τ = 0.0065K/m (ossia 6.5 gradi ogniKm di quota) da cui si ottiene

T (z) = T (0) − τz. (2.11)

Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti si possono quindi mettere in relazione pe ρ con la quota

2Se ci limitiamo solamente a considerare la pressione al suolo, possiamo gia notare che questa variacon la latitudine e con le condizioni meteorologiche di ‘alta’ o ‘bassa pressione’ risultando cosı funzionedel tempo oltre che dello spazio.

2.5. FORZE DI PRESSIONE 37

p

ρ= RT,

p

ρ= R(T (0) − τz), ρ =

p

R(T (0) − τz), (2.12)

che sostituita nella (2.7) diventa

dp

dz= − pg

R(T (0) − τz),

dp

p= − g

R

dz

T (0) − τz,

p(z)

p(0)=

(T (0) − τz

T (0)

) gτR

. (2.13)

Infine, dalle funzioni T (z) e p(z) si ricava facilmente dall’equazione di stato la funzioneper ρ(z).

Al di sopra della troposfera c’e uno strato dello spessore di circa 2Km caratterizzatoda un gradiente termico di circa 0.002K/m che e detto tropopausa. Per quote ancorasuperiori e fino a circa 50Km c’e invece la stratosfera caratterizzata da temperatura cheinizialmente e pressoche costante (fino a circa 20Km) mentre successivamente aumentadapprima lievemente e poi in modo piu marcato. A quote ancora superiori si entra nellamesosfera dove si osserva una nuova diminuzione di temperatura fino alla quota di 80Km.Al di sopra dei 90Km si ha infine la ionosfera con una temperatura crescente; in questaregione, tuttavia, il valore estremamente basso di densita e la ionizzazione dei gas presenti(a causa della radiazione solare) non permette piu di utilizzare l’ipotesi di continuo e nonverra quindi descritta in questa sede.

2.5 forze di pressione

Possiamo a questo punto calcolare il sistema delle forze di pressione che un fluido in quieteesercita su una superficie di forma qualunque il che generalmente richiede il calcolo delllasua risultante F e della coppia M.

Si consideri allo scopo una superficie S (figura 2.4) e, isolato l’elemento d’area dS,si calcoli la forza elementare agente su tale superficie dF = −pndS dove n e la nor-male orientata dal lato in cui il fluido ‘bagna’ la superficie. Per la forza totale si avrasemplicemente:

F =∫

S−pndS. (2.14)

Preso invece un polo O e detto x il vettore che unisce il polo con la forza infinitesima dFsi ha

M =∫

S−px × ndS. (2.15)

Bisogna notare che sebbene dal punto di vista teorico la soluzione di questo problemasia elementare e si risolva utilizzando elementi classici della teoria dei vettori, la possibi-lita pratica di calcolare effettivamente gli integrali (2.14 e 2.15) e alquanto limitata e, nelcaso generale, quasi mai possibile per via analitica. Le difficolta possono derivare sia dallacomplessita della superficie e dall’orientazione della sua normale ma anche dalla distri-buzione della pressione che in linea di principio potrebbe essere una funzione complicatadello spazio; in questi casi si procede ad una soluzione del problema per via numerica in


Sd n

dF=-pn dS

yx

z x

O

Figura 2.4: Forza di pressione agente su una superficie.

cui la superficie viene discretizzata in tanti elementi sui quali la pressione si possa ritenerecostante e gli integrali divengono delle sommatorie discrete.

Ci sono tuttavia numerose applicazioni pratiche in cui la pressione e costante o varialinearmente con la quota (rispettivamente, nei gas per variazioni di quota limitate o neiliquidi) e le superfici in esame sono piane o si possono decomporre in un numero limitatodi superfici piane, in tal caso e possibile risolvere gli integrali trovati per via analitica etrovare delle formule risolutive di grande utilita per le applicazioni pratiche.

2.5.1 pressione costante

Iniziamo con il considerare il caso in cui la superficie sia piana e la pressione risulti costantecome negli esempi raffigurati nelle figure 2.5 e 2.6. Analizziamo in dettaglio l’esempio difigura 2.5; riprendendo l’espressione (2.14) si ha che la normale e orientata sempre nellostesso modo su tutta la superficie e la pressione non varia ottenendo cosı F = −pSn 3.La pressione sul fondo del contenitore sara data dalla somma della pressione atmosfericap0 piu la componente idrostatica risultando p = p0 + ρgh.

Per il calcolo della retta d’applicazione consideriamo la direzione x e notiamo che nel-l’espressione (2.15) la normale e costantemente ortogonale al braccio x mentre la risultante

3E utile evidenziare che, come e noto dalla meccanica razionale, essendo questo un sistema di vettoriparalleli, e possibile ricondurre le forze di pressione ad un unico vettore risultante senza la necessita dicalcolarne il momento. In particolare il ‘trinomio invariante’ T = M×F e identicamente nullo, in quantoM ed F sono ortogonali, e cio implica che per caratterizzare il sistema di forze e sufficiente calcolarne larisultante F ed un appropriato punto d’applicazione tale da bilanciare il momento delle forze dato dalla(2.15).


x

y

p0

x

z

y

Fh

rp

dF

x

Figura 2.5: Forza di pressione generata da un liquido agente su una superficie orizzontale.

=(pI - p

0)F S

p0

S

pI > p

0

Figura 2.6: Forza di pressione generata da una gas agente su una superficie piana.

F dovra essere normale al braccio rx. Esplicitando quindi l’integrale in (2.15) si ha

p∫

SxdS =| F | rx, =⇒ p

∫S

xdS = pSrx, =⇒ rx =

∫S xdS

S. (2.16)

Lo stesso ragionamento puo essere effettuato in modo del tutto analogo per determinare ilpunto di applicazione della risultante nella direzione y ottenendo l’espressione ry

∫S ydS/S

per cui in forma vettoriale

r =

∫S xdS

S, (2.17)

da cui si vede che in tali circostanze la retta d’applicazione viene determinata esclusiva-mente dalle caratteristiche geometriche della superficie. L’integrale in (2.17) e un integralenoto nella geometria ed r corrisponde esattamente alla definizione di centroide di una fi-gura. In conclusione si puo quindi affermare che nel caso in cui la superficie sia pianae la pressione abbia un valore costante su tale superficie, il sistema di forze di pressionee equivalente ad un’unica forza il cui modulo e dato dal prodotto della pressione per lasuperficie mentre il punto d’applicazione si trova nel centroide della superficie stessa 4.

4Nell’esempio di figura 2.5 e stata calcolata la forza di pressione come F = −pSn dove essendo


2.5.2 distribuzione lineare di pressione

Come e stato mostrato nella sezione 2.3 il caso di una pressione linearmente crescenteo decrescente con la quota, concerne tutti quei problemi in cui e presente un fluido lacui densita possa essere considerata costante (generalmente tutti i liquidi). Cerchiamoora di determinare la risultante delle forze di pressione su una superficie piana immersain tale fluido e comunque orientata. A tale scopo consideriamo la figura 2.7 e notiamoche la pressione alla generica quota z′ sara la somma di quella atmosferica p0 piu ilcontributo ρgz′ essendo ρ la densita del fluido in esame. La forza dovuta alla pressioneatmosferica (che e costante su tutta la superficie S) si determina come mostrato nellasezione precedente e non verra considerata ulteriormente nel presente esempio.

Utilizzando la (2.14) la componente di pressione linearmente crescente con la quota,dara luogo ad una forza pari a

F = −ρgn∫

Sz′dS = −ρgn cos θ

∫S

zdS = −ρg cos θzCSn = −ρgz′CSn, (2.18)

dove con zC si e indicata la coordinata del centroide di S e con z′C la coordinata corri-spondente sull’asse z′. Per la retta d’applicazione, si possono invece uguagliare i momentirispetto all’asse x delle forze di pressione e della risultante; per le prime, seguendo la(2.15), si scrive

M =∫

Sz × dF = −

∫S

pz × ndS = −ρgz × n∫

Sz′zdS = (2.19)

ρgn × z∫

Sz′zdS = ρg cos θx

∫S

z2dS = ρg cos θxIx,

essendo Ix il momento d’inerzia 5 di S rispetto all’asse x e z e x, rispettivamente i versoridegli assi z ed x.

Per il momento della risultante si avra invece

M = zR × F = ρgzC cos θSzRz × n = ρg cos θzCSzRx, (2.20)

p = p0+ρgh si e considerato anche il contributo della pressione atmosferica. Non bisogna pero dimenticareche c’e un’ulteriore forza che e quella prodotta dalla pressione atmosferica che agisce sulla stessa superficieesternamente al sebatoio. Seguendo un ragionamento identico ai precedenti si avra una nuova forzaF0 = −p0Sn avente esattamente lo stesso punto di applicazione di F ma verso opposto. Ne conseguirache la forza totale applicata ad S sara Ftot = −ρghSz.

5La quantita Ix e indicata con il nome di momento d’inerzia e cio puo trarre in inganno un quantoc’e un’altra grandezza definita come IV =

∫V

ρr2dV (con V volume, ρ densita ed r distanza del volumeelementare dV rispetto ad un generico punto O) che viene pure chiamata momento d’inerzia. Tuttavial’analisi delle dimensioni delle due quantita permette di fare un minimo di chiarezza in quanto la prima(Ix) dimensionalmente e una lunghezza alla quarta potenza mentre la seconda e una massa per unalunghezza al quadrato. In altre parole Ix e una quantita puramente geometrica e consistentementeentra in gioco quando si fanno considerazioni di statica. Al contrario IV (contenendo la massa) e unaquantita dipendente dall’inerzia dell’oggetto sotto esame e deve essere considerato nell’analisi di quantitadinamiche. In alcuni testi la quantita Ix viene chiamata momento di figura per evitare la confusione conIV .


z

dS

θS

dF = -pndS

’z

x

0p

Figura 2.7: Forza di pressione generata da un liquido agente su una superficie generica.

per cui uguagliando gli ultimi membri di (2.19) e (2.20) si ottiene

zR =Ix

zCS(2.21)

che ci fornisce la coordinata z in cui e applicata la risultante delle forze di pressione.Il momento d’inerzia Ix sara chiaramente differente a seconda dell’asse x rispetto

al quale si valuta ed in linea di principio andrebbe calcolato caso per caso. Tuttavia,utilizzando un noto teorema della meccanica razionale e possibile, una volta noto Ix perun generico asse x calcolare Ix′ rispetto a qualunque asse x′. Detto allora Ixc il momentod’inerzia di S rispetto ad un asse parallelo ad x ma passante per il centroide di S si puoscrivere

Ix = Ixc + z2CS (2.22)

per cui dalla (2.21)

zR = zC +Ixc

zCS. (2.23)

La quantita Ixc ha il vantaggio di essere gia calcolata per la maggior parte delle figuregeometriche regolari per cui in base alla (2.23) risulta banale il calcolo del punto diapplicazione della risultante delle pressioni. In figura 2.8 vengono riportati i valori di Ixc

per alcune figure geometriche regolari.Osservando inoltre l’espressione (2.23) si nota che il secondo termine a secondo membro

e certamente definito positivo per cui deve risultare zR > zC , ossia il punto di applicazionedella risultante delle forze e piu in basso rispetto al centroide. E altrettanto interessanteosservare che la differenza tra zR e zC non e costante ma dipende dalla quota di immersioneattraverso zC stesso (che e determinato rispetto ad un asse la cui origine coincide con la


Figura 2.8: Caratteristiche geometriche di alcune figure regolari.

superficie libera del fluido). In particolare, all’aumentare della profondita a cui e immersaS, zC aumentera mentre sia S che Ixc rimarranno costanti da cui ne consegue che zR → zC

(figura 2.9). Il motivo fisico di cio e che se zC → ∞ la variazione della pressione sullasuperficie diventera sempre piu piccola rispetto alla pressione media e la risultante tenderaa comportarsi come se la pressione fosse costante (e quindi applicata nel centroide).

Per quanto riguarda il punto di applicazione della risultante nella direzione x si puoseguire esattamente lo stesso ragionamento applicato alla direzione z per arrivare allaformula xR = xC + IxzC/(SxC) in cui IxzC e il momento misto calcolato rispetto ad unasse parallelo all’asse z e passante per il centroide. La derivazione dell’espressione per xR

viene lasciata al lettore come facile esercizio, mentre e bene notare che se la superficie S esimmetrica rispetto ad un asse parallelo all’asse z e passante per il centroide il momentomisto IxzC e identicamente nullo e la risultante delle forze risulta applicata alla stessa xdel centroide.


zz

p

p

min

max

cr

p= gzρ

z

z

p

p

min

max

czr

Figura 2.9: Variazione del punto di applicazione della risultante delle forze di pressionecon la quota di immersione z.

Riassumendo possiamo concludere affermando che: presa una superficie piana immersain un fluido la cui pressione vari linearmente con la quota e preso un sistema d’assi x− zcon l’origine su pelo libero del fluido ed orientato come in figura 2.9 si ha che la risultantedelle forze di pressione sara pari al prodotto della superficie S per la pressione valutataalla quota del centroide z′C ed orientata come −n. Tale risultante sara applicata in unpunto di coordinate (xC , zR) in cui xC e la coordinata x del centroide e zR e un punto piuin basso del centroide definito in (2.23).


ESEMPIO

Una paratia come in figura si trova sotto il livello dell’acqua ed e incernierata inC. Determinare il minimo valore di P per impedire la fuoriuscita di liquido. (Sitrascuri il peso proprio della paratia e l’attrito della cerniera. La dimensione b eortogonale al foglio.)

P

h

h

l

1

2

1

C

h1 = 7.m h2 = 5 ml1 = 3 m b = 6 m

Soluzione

Dall’equilibrio dei momenti intorno allacerniera C si ha: F1b1 +F2b2 = Ph2 con,F1 = ρg(h1 + h2/2)bh2 = 2795850 N,F2 = ρg(h1 + h2)l1b = 2118960 N,b1 = yR − h1 = h2/2 + bh3

2/(12bh2[(h1 +h2/2)] = 2.719 m e b2 = l1/2. Dall’e-quilibrio dei momenti si ricava, quindi:P = 2156071 N.

P

l1

C

h2

h1

F

F

1

2

b

b

1

2


ESEMPIO

Data la configurazione nell’illustrazione calcolare l’intensita della forza F perevitare l’apertura dello sportello incernierato in C.

l

l

l

F

1

2

θC

l = 1.2 m l1 = 1.4 ml2 = 2 m b = 1.5 mθ = 45o fluido:acqua

b e la dimensione dello sportellonella direzione ortogonale al foglio.

SoluzioneSul tratto inclinato dello sportello agirauna forza F1 = ρgh1cA1 = 27677 N, es-sendo h1c = (l + l1/2) sin θ = 1.3435 m.Questa forza e applicata nel punto y′

1R =1.986 m misurato sull’asse y′ con originein O′. Nello stesso modo, sul tratto ver-ticale agira una forza F2 = ρgh2cA2 =83536.4 N con h2c = (l + l1) sin θ +l2/2 = 2.838 m applicata nel puntoy2R = 2.955 m misurato sull’asse y conorigine in O.Dall’equilibrio dei momenti intorno allacerniera C si ha: F1b1 + F2b2 = FbF conb1 = yR1 − l = 0.786 m, b2 = y2R −l sin θ = 2.1064 m e bF = l1 sin θ + l2 =2.99 m da cui si ricava F = 66126 N.

l

l1

θ

C

bF

b

F

F

2

2 1

1

Fl2

y

y’

OO’

b

2.5.3 forze di pressione su una superficie curva

Nelle due sezioni precedenti abbiamo considerato problemi in cui la superficie in esamepoteva essere interamente contenuta in un piano e questo ha permesso di ottenere delleformule generali per il calcolo della risultante delle forze di pressione. Ci sono tuttaviadelle applicazioni in cui questa ipotesi non puo essere applicata e cio nonostante e possi-bile calcolare la risultante delle forze di pressione senza ricorrere al calcolo esplicito degliintegrali (2.14) e (2.15). Si consideri allo scopo la figura 2.10 in cui si voglia calcolare la


forza risultante sulla superficie esterna che delimita la regione di fluido piu scura 6. Sesi isola il volume di fluido delimitato da tale superficie e dalle superfici piane orizzontalie verticali interne al fluido si puo tracciare il diagramma di corpo libero per tale volumee determinare le reazioni che la superficie esterna esercita sul fluido. Utilizzando le for-mule ricavate precedentemente si ricavano facilmente Fy ed Fx da cui dall’equilibrio allatraslazione in x ed y si ha

Frx = Fx, Fry = Fy + W, (2.24)

essendo W il peso del volume di fluido racchiuso nella zona evidenziata in figura 2.10. Ilvettore della forza risultante avra quindi modulo Fr e formera con l’asse x un angolo αcosı determinati:

Fr =√

F 2rx + F 2

ry, α = tan−1 Fry

Frx

. (2.25)

x

y

F

Fx

y

WF

F

Frry

rxGr

α

Figura 2.10: Forze di pressione su una superficie curva.

Per determinare la retta di applicazione di Fr basta infine equilibrare i momenti delleforze rispetto ad un punto. Se, per esempio si sceglie il baricentro, detti r, rx ed ry,rispettivamente, i bracci di Fr, Frx ed Fry rispetto a G si ricava dall’equilibrio alla rotazione

Frr + Frxrx − Fryry = 0, (2.26)

6Si noti che anche in questo caso il sistema di forze e equivalente solo ad una risultante applicata in unpunto opportuno in quanto, in ogni sezione, tutte le forze sono contenute in un piano (quello del foglio).Nel caso piu generale la riduzione del sistema di forze richiederebbe il calcolo di una risultante e di unmomento rispetto ad un polo.

2.6. SPINTA DI ARCHIMEDE 47

da cui si ricava r.

ESEMPIO

Determinare F in modo che lo sportello non si apra sotto la spinta dell’acqua.

h

h/2

h/2l/5

4l/5l

G

(sportello incernierato in O)

Suggerimento:O

Supporre il baricentronella posizione indicata

F

h = 3 m b = 2 m

Soluzione

Sul sistema agiranno le 4 forze disegna-te in figura e determinate secondo leseguenti formule: F1ρg3h/4 · bh/2 =66217.5 N, F2ρgh/4 · bh/2 = 22072.5 N,F3 = ρgh/2 · bh/2 = 44145 N, F4 =b(h2/4 − πh2/16)ρg = 9473.6 N, aventibraccio rispetto ad O r1 = 3h/4+h/36 =2.333 m, r2 = h/3 = 1 m, r3 = h/4 =0.75 m, r4 = h/10 = 0.3 m. Dall’e-quilibrio dei momenti intorno ad = 0,Fh/2 = F1r1 + F2r2 + F3r3 − F4r4 siricava F = 137897.8 N.

h/2

O

F

h

F

FF

F1

2

3 4

2.6 spinta di Archimede

Vogliamo ora calcolare la forza esercitata da un fluido che circonda un corpo a causadella variazione di pressione. Riferendoci alla figura 2.11 consideriamo un corpo di formagenerica immerso in un fluido e consideriamo il perimetro massimo che circoscrive il corpoin un piano orizzontale 7 indicando con S la superficie delimitata. Se per ogni elemento dScostruiamo un cilindro elementare contenuto nel solido, possiamo calcolare la risultantedelle forze di pressione esercitate su tale cilindro che saranno

dF = (pl − pu)dSz, (2.27)

che per integrazione su tutta la superficie S ci fornisce la risultante. Essendo la pressionecostante su piani orizzontali possiamo utilizzare la relazione (2.7) per calcolare la differenza

7In realta esistono forme solide per le quali non si puo determinare tale perimetro; e pero possibiledecomporre tali forme in un numero finito di corpi per i quali l’operazione descritta e definita quindi laprocedura ha validita generale.


(pl − pu); risulta infatti dp = −ρgdz e quindi

(pl − pu) = −∫ zu

zl

dp =∫ zu

zl

ρgdz, (2.28)

che sostituita in (2.27) diventa

F =∫

S(pl − pu)dSz =

∫S

∫ zu

zl

ρgdzdSz =∫

VρgdV z, (2.29)

da cui, essendo ρ la densita del fluido, ne consegue che la forza esercitata dal fluido sulcorpo e una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido spostato dal corpo 8.

dS

-p n dS

-p n dS

l

u

h(x,y) S

x

z

yz

zu

l

Figura 2.11: Forze di pressione su corpo immerso in un fluido.

Gli stessi ragionamenti fatti per un corpo immerso in un solo fluido, possono essereripetuti per un corpo immerso parzialmente in un fluido e parzialmente in un altro fluidoa densita differente (figura 2.12). Se la configurazione risulta stabile, ossia se ρ1 ≥ ρ ≥ ρ2allora il corpo si disporra in una posizione intermedia all’interfaccia tra i due fluidi in modoche la spinta di Archimede bilanci il suo peso. Naturalmente ogni fluido contribuisce allaspinta per la porzione di fluido spostato per cui detti rispettivamente V1 e V2 le frazionidi volume del corpo immerse nei fluidi a densita ρ1 e ρ2 e V il volume totale del corpo(con V = V1 + V2) dovra risultare∫

V1

ρ1gdV +∫

V2

ρ2gdV = ρgV, (2.31)

8L’espressione (2.27) assume una forma particolarmente semplice se la pressione ha una variazionelineare con la quota in quanto risulta pl = pu − ρg(zl − zu) = pu + ρgh e la (2.27) diventa

dF = ρghdSz, da cui F = ρgh

∫S

hdSz = ρgV z, (2.30)

essendo V il volume del solido in esame.

2.6. SPINTA DI ARCHIMEDE 49

oppure nel caso di fluidi incomprimibili

ρ1V1g + ρ2V2g = ρgV. (2.32)

A rigore questo ragionamento andrebbe applicato anche quando i due fluidi sono acqua edaria come per esempio nel caso di una nave; tuttavia avendo l’aria una densita di 600−800volte minore di quella dell’acqua si capisce immediatamente che il contributo alla spintadell’aria risulta trascurabile rispetto a quello dell’acqua e di solito non si considera 9.

ρ1

ρ2

V1

V2ρ

Figura 2.12: Galleggiamento per un corpo in equilibrio tra due fluidi a differente densita.

9Uno dei primi esperimenti di cui si abbia traccia scritta sul galleggiamento di un corpo tra due fluidia differente densita e descritto da Galileo Galilei nel 1630 che riporta:“...Nel fondo di un recipiente homesso dell’acqua salata e sopra di essa uno strato di acqua pura; ho quindi mostrato che la palla (di cera)rimaneva in equilibrio all’interfaccia tra i due fluidi e quando veniva spinta verso il fondo o sollevata versol’altro non rimaneva in nessuna delle due posizioni ma ritornava nella posizione iniziale”.


ESEMPIO

Dato il cono a base circolare in figura, determinare l’altezza della porzione disolido immerso nel fluido a densita ρ0.

h

ρ

ρ

ρh

0

1

0

ρ = 1.15 Kg/dm3 ρ0 = 1.2 Kg/dm3

ρ1 = 0.98 Kg/dm3 h = 0.4 m

SoluzioneDal principio di Archimede si ha ρ0gV0+ρ1gV1 = ρgV (essendo, rispettivamenteV0 e V1 le frazioni di volume del corpoimmerse nei fluidi a densita ρ0 e ρ1, e Vil volume totale del corpo). RisultandoV1 = V −V0 l’equilibrio al galleggiamen-to si puo scrivere come V0(ρ0 − ρ1) =V (ρ − ρ1). D’altra parte i volumi sonodati da V = πd2h/12 e V0 = πd2

0h0/12mentre dalla similitudine tra i triangolisi puo scrivere d/h = d0/h0 per cui laprecedente relazione diventa:

πd20h0

12(ρ0−ρ1) =

πd2h

12(ρ−ρ1), =⇒ h3

0 =ρ − ρ1

ρ0 − ρ1

h3,

da cui si ricava h0 = 0.367 m.

h h0

ρ

d

0d

ρ0

ρ1

2.7 galleggiamento e stabilita

Nella sezione precedente abbiamo visto come calcolare la risultante delle pressioni eserci-tate da un fluido in cui e immerso un corpo. Tale risultante prende il nome di spinta diArchimede e si calcola in modo identico anche nel caso in cui il corpo sia solo parzialmenteimmerso nel fluido. In quest’ultimo caso, nascono questioni di stabilita visto che il pe-so del corpo e applicato nel suo baricentro (ed e quindi indipendente dall’immersione delcorpo) mentre la spinta di galleggiamento e applicata nel baricentro della regione di fluidospostata (detto centro di spinta) ed e quindi funzione della posizione del corpo rispettoalla superficie libera del fluido. Nel caso di figura 2.13 si puo vedere che per un’oscil-lazione contenuta del corpo, il punto di applicazione della spinta si sposta in modo tale

2.8. MISURATORI DI PRESSIONE 51

da formare con il peso una coppia stabilizzante che tende cioe a riportare il corpo nellaposizione iniziale.

GS

MGS

Figura 2.13: Schema di stabilita alla rotazione.

Nel caso di corpi simmetrici, il punto di intersezione tra la retta contenente la spintae l’asse di simmetria del corpo e detto metacentro e si puo immaginare che il corpooscilli intorno ad un asse ortogonale al piano del foglio e passante per il metacentro 10;si puo vedere che la configurazione sara stabile fino a quando il baricentro si trova aldi sotto del metacentro mentre nel caso opposto si ha una configurazione instabile. Eutile osservare che mentre la spinta ed il suo punto di applicazione dipendono unicamentedall’immersione del corpo, la posizione del baricentro dipende dalla dislocazione dellemasse con la conseguenza che la stabilita puo essere aumentata o diminuita spostando deipesi all’interno del corpo. Come esempio si consideri un piccolo natante con sei personea bordo; se tutte le persone si alzano in piedi, si avra un innalzamento del baricentroche, avvicinandosi al metacentro, diminuira la stabilita del natante. Se infine come casoestremo si immagina che tutte le persone, salendo su una scala, si portino ad un’altezzadi 2 − 3 metri si puo avere facilmente il ribaltamento della barca.

2.8 misuratori di pressione

In questo paragrafo verranno illustrati alcuni dispositivi di misura della pressione soffer-mandosi in particolare sul loro principio di funzionamento. Iniziamo con il considerare ildispositivo di figura 2.14a che, per il suo impiego nella misurazione della pressione atmo-sferica, e anche detto barometro. Preso un tubo chiuso ad un estremo e riempito di fluido,si pone il lato aperto in un recipiente contenente lo stesso fluido; si osserva allora che lacolonna di fluido nel tubo scende fino ad un’altezza h dalla cui misura si puo risalire alvalore di pressione che insiste sulla superficie libera del fluido nel recipiente. In particolarese questa pressione e quella atmosferica ed il fluido manometrico e mercurio, in base alla(2.8) si ottiene:

patm = ρHggh + pHg, (2.33)

10Questo in realta e vero solo nel caso in cui siano assenti movimenti di beccheggio, per un corposimmetrico rispetto al piano del foglio e per piccoli valori dell’angolo di rollio.


in cui pHg e la tensione di vapore del mercurio alla temperatura di esercizio. Data labassa volatilita del mercurio si puo porre pHg 0 da cui ne consegue il valore ben notoh = 759mm 11.

patm

pHg

Hg

h

h

p

p

p

p

a

a

b b

h1

h2ρ1

ρ2

a) b) c)

ρm

Figura 2.14: Schema di funzionamento di dispositivi per la misurazione della pressione:a) barometro, b) manometro, c) manometro ad U.

Il dispositivo in figura 2.14b e simile al precedente ma ha l’estremita del tubo aperto;dette quindi pa e pb le pressioni alle due estremita del tubo risultera

pa = ρmgh + pb, (2.34)

per cui si puo misurare il valore della pressione pb noti pa ed h oppure la differenza dipressione pa − pb conoscendo solamente h. Questo strumento pur essendo molto sempliceha notevoli limitazioni che ne rendono l’uso abbastanza limitato. Innanzi tutto il fluidomanometrico ed il fluido di cui bisogna misurare la pressione devono essere immiscibili, ilfluido nel tubo deve essere un liquido e la pressione pb non puo scendere al di sotto di unvalore limite se si vuole evitare la fuoriuscita del fluido manometrico dal tubo.

Lo strumento riportato in figura 2.14c risolve alcuni dei problemi appena citati. Seinfatti il tubo ha la forma di U e tra il fluido a densita ρ1 e quello ambiente viene inseritoun terzo fluido a densita ρ2 non e piu necessario che i primi due fluidi siano immiscibili.Inoltre dall’equilibrio delle pressioni si ha:

pa + ρ1gh1 = ρ2gh2 + pb, (2.35)

da cui si vede che la massima differenza di pressione pa−pb non dipende piu ora solamentedalla lunghezza del tubo ma anche dal valore di ρ2 che puo essere quindi variato peraumentare la sensibilita o la portata dello strumento.

11Questa esperienza fu effettuata per la prima volta da Evangelista Torricelli (1608–1647) che fu al-lievo di Galileo Galilei. La descrizione del dispositivo e dell’esperimento sono contenute in ‘LezioniAccademiche’ in cui sono riportate una serie di conferenze tenute da Torricelli all’Accademia della Crusca.


pa

h1

h2ρ1

ρ2

c)

pb

2l

θ

Figura 2.15: Schema di funzionamento del manometro inclinato.

Dagli esempi precedenti e evidente che il principio di funzionamento di tutti i mano-metri discussi si riduce alla conversione di una lunghezza h in un valore di pressione unavolta nota la densita del fluido manometrico ρm. Dalla relazione ∆p = ρmgh si vede quin-di che per aumentare la sensibilita del manometro bisogna rendere massima h a paritadi ∆p. A prima vista sembrerebbe che si possa agire solo su ρm, cercando cioe dei fluidimanometrici con bassa densita (alcool, benzina); ad un esame piu attento, tuttavia si notache h e la lunghezza della colonna di fluido nella direzione di g e se quindi si inclina il tubosi ottengono valori assoluti di lunghezza l che possono crescere a piacimento diminuendol’inclinazione del tubo. In figura 2.15 e raffigurato uno di tali dispositivi dal cui equilibriodelle pressioni si ha:

pa + ρ1gh1 = ρ2gl2 sin θ + pb. (2.36)

I misuratori descritti in questa sezione hanno il vantaggio di essere estremamentesemplici ed economici ma non permettono la lettura di valori precisi, non consentono dimisurare pressioni elevate e, a causa dell’inerzia della colonna di fluido, non sono adatti amisure di pressioni rapidamente variabili nel tempo. Per questo motivo nelle applicazionipratiche vengono usati dei manometri il cui principio di funzionamento e la deformazionedi una superficie a causa delle forze di pressione comunicate dal fluido. Nel caso deimanometri meccanici questa superficie e generalmente una membrana che costituisce laparete di una camera stagna all’interno della quale c’e’ una pressione nota. Nel caso deitrasduttori elettronici, si sfrutta invece l’effetto piezoelettrico, la proprieta cioe che hannoalcuni cristalli (per esempio il quarzo) di generare una differenza di potenziale quandosottoposti a compressione in alcune particolari direzioni. Dalla lettura di questa differenzadi potenziale si risale quindi alla pressione per mezzo di un’operazione di taratura dellostrumento con delle pressioni note.


ESEMPIO

Dato il dispositivo in figura, calcolare la densita del fluido incognito. Comecambierebbero i livelli se tale dispositivo fosse trasportato sulla luna?

alcool

acqua

?h

hh

h1

2

4

3h1 = 40 cm h2 = 16 cm h3 = 32 cmh4 = 21 cm ρacqua = 1000 Kg/m3 ρalcool = 780 Kg/m3

Soluzione

Per l’equilibrio deve risultare:

gρalcool(h1 − h2) + gρh2 = gρacqua(h3 − h4) + gρh4,

poiche il termine g si semplifica a primo e secondo membro, la configurazionedi equilibrio e’ indipendente dal valore della gravita e quindi sulla luna noncambierebbe nulla. Dalla relazione precedente si puo calcolare ρ ottenendo ρ =1544 Kg/m3.


ESEMPIO

Dato il dispositivo in figura calcolare l’angolo θ in modo da avere all’equilibrionel tubo inclinato una colonna di fluido di lunghezza l.

h

h

l

θρ

ρ

1 1

2 2

B

h1 = 22 cm h2 = 86 cm

ρ1 = 10870 Kg/m3 ρ2 = 11030 Kg/m3

pB = 1.7 atm l = 0.6 m

Soluzione

Dall’equilibrio delle pressioni tra la superficie libera ed il punto B si scrive

p0 + ρ1gh1 + ρ2gh2 = l sin θρ2g + pb

da cui si ricava

θ = sin−1

(p0 + g(ρ1h1 + ρ2h2) − pB

lρ2g

)= 44o.62.

Capitolo 3

Cinematica dei fluidi

In questo contesto verrano definite alcune proprieta del moto di un fluido come posizione,velocita ed accelerazione indipendentemente dalle forze necessarie a generare il moto; cioccuperemo quindi della cinematica dei fluidi che riveste un’importanza fondamentale ol-tre che per la descrizione di un flusso anche per la sua visualizzazione sia in un esperimentodi laboratorio che in una simulazione numerica.

3.1 descrizione lagrangiana ed euleriana

Quando si analizza il moto di un solido si considera solitamente il moto del suo baricentroed il suo orientamento (angoli di Eulero) descrivendo la loro evoluzione nel tempo. Ladescrizione del moto di un fluido risulta in qualche modo piu ambigua in quanto il sistemae composto da particelle 1 fluide in continuo moto relativo e la sola informazione sulbaricentro e sugli angoli di Eulero non sono sufficienti a caratterizzare la distribuzionedel fluido nello spazio. Si pongono a questo punto due alternative, la prima consiste nelseguire il moto di tutte le particelle fluide nel tempo mantenendo separata la loro identitamentre nella seconda si descrive il moto del fluido considerando dei punti fissi nello spazioindipendentemente dalle particelle che li attraversano.

Per esempio, quando si seguono le evoluzioni di una rondine nel cielo si sta adottandoun punto di vista lagrangiano in quanto si fissa ad un certo istante un oggetto e lo si seguenel tempo. Al contrario, se si osserva il mare attraverso un foro nel ghiaccio praticato daglieschimesi per la pesca, la descrizione risulta euleriana considerando che si dispone di unpunto di osservazione fisso nello spazio attraverso cui passano in continuazione differentiparticelle di fluido.

Per chiarire meglio consideriamo la figura 3.1 in cui viene raffigurato il moto di dueparticelle fluide A e B; secondo il primo punto di vista, la descrizione del moto consiste

1Il concetto di ‘particella fluida’ non deve essere in alcun modo confuso con quello di atomo o mole-cola. La particella fluida infatti e un’astrazione concettuale che indica un’insieme abbastanza grande dimolecole di fluido da poter considerare valide le ipotesi di continuo ma allo stesso tempo la particella deveavere un’estensione in volume piccola abbastanza da essere caratterizzata da un’unico valore di velocitaaccelerazione, pressione, etc.

57

58 CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI

r (t)A

r (t+ t)∆A

x y

z

r (t+ t)∆B

r (t)B

B

∆A

P

u (t)

u (t+ t)

Figura 3.1: Traiettorie lagrangiane per due particelle fluide A e B e descrizione euleriananel punto P .

nel descrivere tutte le funzioni rA(t), rB(t), ..... per tutte le particelle fluide del sistemain esame. Nel secondo caso, al contrario si considera ogni punto P fisso nello spazio e sidescrive la variazione nel tempo delle grandezze. In particolare dalla figura 3.1 si notache la particella A passa per P al tempo t mentre la particella B ci passa al tempo t+∆trisultando uP (t) = uA(t) e uP (t + ∆t) = uB(t + ∆t).

La descrizione del moto delle singole particelle fluide viene detta descrizione lagran-giana mentre l’altra descrizione euleriana. Generalmente, essendo impossibile identificarele singole particelle fluide in un flusso, la descrizione lagrangiana non viene praticamentemai utilizzata anche se dal punto di vista teorico ha il vantaggio di fornire delle espressionidi piu immediata comprensione per molte grandezze fluidodinamiche.

3.2 traiettorie, linee di corrente e streaklines

Nella sezione precedente abbiamo parlato di traiettoria di una particella fluida senzatuttavia darne una definizione rigorosa; cio e importante in quanto vedremo che in unflusso si possono definire diverse ‘linee’, in generale non coincidenti, ognuna delle qualicon un diverso significato.

Possiamo definire la traiettoria di una particella fluida come il luogo geometrico deipunti occupati dalla stessa particella in istanti di tempo successivi. Riferendoci alla figura3.1 si ha quindi che le linee solida e tratteggiata sono rispettivamente le traiettorie delleparticelle fluide A e B. E evidente come il concetto di traiettoria sia lagrangiano in quantolegato all’identificazione ed al tracciamento di particelle singole.

3.2. TRAIETTORIE, LINEE DI CORRENTE E STREAKLINES 59

Definiamo invece linea di corrente una linea che sia in ogni punto tangente al vettorelocale di velocita. Se quest’ultima avra un’evoluzione non stazionaria, le linee di correntesaranno evidentemente diverse da istante ad istante. Un esempio di linee di corrente indue diversi istanti temporali e riportato in figura 3.2 dove si puo notare che nei punti diintersezione tra le linee le tangenti sono diverse in quanto la velocita e funzione del tempo.Il concetto di linea di corrente e evidentemente un concetto euleriano in quanto consideraper ogni istante temporale la distribuzione spaziale di velocita e, fissato un insieme dipunti, traccia la linea tangente al vettore velocita nei punti considerati. In ogni puntoper istanti differenti transiteranno particelle fluide diverse quindi in generale le traiettorieintersecheranno le linee di corrente.

x y

z

∆P

P

P

u (t)

u (t+ t)

Figura 3.2: Linee di corrente in due diversi istanti di tempo.

La definizione delle streaklines (talvolta tradotte in italiano come ‘linee di fumo’) einvece un concetto che riguarda principalmente gli esperimenti di laboratorio. Si definisceinfatti una streakline come il luogo dei punti occupato ad una dato istante da tutte leparticelle fluide che in un istante precedente siano transitate per una posizione stabilita.Questo concetto e particolarmente utile quando si considerano le visualizzazioni di labo-ratorio in quanto in questi casi si rilascia un tracciante (fumo, inchiostro, etc.) nel flussoda una posizione prefissata e si segue la traccia lasciata da questa emissione continua nellospazio. Nella figura 3.3 si vede come dalla sorgente S vengano rilasciate delle particellefluide P per tempi successivi t6 > t5 > ..... > t0 il cui luogo dei punti forma appunto lestreakline.

Da questo esempio si vede come la definizione di streakline sia essenzialmente operativae, a meno di casi speciali, queste linee non hanno un particolare significato fisico. Ilvasto utilizzo delle streaklines in campo sperimentale e dovuto al fatto che se il flussorisulta stazionario (ossia se la la velocita in ogni punto risulta indipendente dal tempo)le streaklines coincidono sia con le traiettorie che con le linee di corrente. In questo casole streaklines costituiscono un modo estremamente pratico ed economico per conoscere la


S

U

streakline

P(t )

P(t )P(t )

P(t )P(t )

P(t )P(t )0

4

1

2

3

56

Figura 3.3: Esempio di streakline.

direzione del vettore velocita in ogni punto e la traiettoria delle particelle fluide (figure3.4, 3.5).

Figura 3.4: Esempio di streaklines intorno ad un modello di camion in un tunnel ad acqua.

Per ottenere un’espressione matematica per le varie linee descritte riconsideriamo leloro definizioni: per le traiettorie abbiamo che presa una particella questa si muovera conla propria velocita che sara in generale funzione dello spazio e del tempo potendo cosıscrivere

dr

dt= u(r, t). (3.1)

L’integrazione di questa espressione fornira quindi il valore di r(t) che dipendera dal suovalore iniziale r(0), se quindi la particella fluida n–esima si trova a passare nella posizioner(0) al tempo t = 0 allora la curva r(t) descrivera la traiettoria della particella n.

Le linee di corrente sono invece definite come quelle linee in ogni punto tangenti al

3.3. DERIVATA MATERIALE 61

Figura 3.5: Esempio di streaklines intorno ad un modello di automobile in una galleriadel vento.

vettore velocita e questo si puo esprimere matematicamente nella forma

dr

| dr | =u

| u | , =⇒dx

u(r, t)=

dy

v(r, t)=

dz

w(r, t)(3.2)

in cui, rispettivamente dx, dy e dz sono le componenti cartesiane di dr e u, v e w lecomponenti di u.

La definizione matematica delle streaklines e piu macchinosa in quanto risulta essere illuogo geometrico di tutte le posizioni ri(t) delle particelle i che per un tempo ti ≤ t sonotransitate per una posizione r0: si tratta quindi di definire caso per caso, a seconda delcampo di velocita, tale luogo geometrico e descriverlo in forma parametrica r(l) (essendol il parametro) per ogni tempo t.

3.3 derivata materiale

Consideriamo la traiettoria della particella tracciata in figura 3.6 osservando che al tem-po t occupa la posizione r(t) mentre al tempo t + ∆t si trova in r(t + ∆t). Volendoquindi calcolare la velocita e l’accelerazione della particella al tempo t basta utilizzare ledefinizioni

v(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t) − r(t)

∆t, a(t) = lim

∆t→0

v(t + ∆t) − v(t)

∆t. (3.3)

In figura 3.6 queste quantita sono state calcolate per via grafica e si puo notare che le ve-locita sono tangenti alla traiettoria mentre l’accelerazione ha una componente centripetadovuta alla curvatura ed una componente tangenziale causata dall’aumento di velocita


lungo la traiettoria. E bene notare che le definizioni date sono delle definizioni lagran-giane in quanto seguono le variazioni di una particella fluida lungo la sua traiettoria.Abbiamo comunque accennato che in fluidodinamica risulta piu utile la descrizione eule-riana, vogliamo quindi vedere come si passa da una descrizione all’altra per le grandezzeconsiderate.

Per quanto riguarda la posizione r(t) non esiste chiaramente una controparte nelladescrizione euleriana in quanto in questo caso non ci sono particelle da seguire ma piuttostodelle ‘stazioni di osservazione’ fisse nel tempo.

x y

z

r(t)

r(t)

r(t+ t)∆

dr(t)

∆

∆

r(t+ t)∆a(t)

v(t) dv(t)

v(t)v(t+ t)

v(t+ t)

Figura 3.6: Posizione, velocita ed accelerazione lungo la traiettoria di una particella fluida.

La velocita sara invece definita in modo analogo nei due casi anche se il loro significatofisico e sostanzialmente differente; nella descrizione lagrangiana, infatti, la velocita sarasolamente funzione del tempo (v(t)) in quanto si tratta della velocita misurata da unosservatore ‘a cavallo’ sempre della stessa particella fluida durante il suo moto 2. Nelladescrizione euleriana, al contrario la velocita e misurata in punti di osservazione fissi quindiil suo valore sara funzione del tempo e della stazione di osservazione, ossia u(x, t). Questadifferenza puo sembrare sottile ma in realta cambia completamente il punto di vista delfenomeno e porta ad una profonda differenza nella definizione di accelerazione 3. Volendoinfatti definire quest’ultima grandezza da un punto di vista euleriano, bisogna considerarela variazione di velocita nel punto fisso x di una particella fluida la cui posizione al tempo

2Per comprendere meglio la descrizione lagrangiana, si immagini che ad un certo istante t si ‘congeli’il campo di moto e si identifichi ogni singola particella fluida (per esempio in base alla posizione al tempot, oppure assegnandole un colore particolare o applicandole un’etichetta). A questo punto ogni singolaparticella sara univocamente determinata durante tutta l’evoluzione dalla ‘marcatura’ ricevuta al tempo te potra essere caratterizzata ad ogni istante dai valori della posizione r(t), velocita v(t), accelarazione a(t),e qualunque altra grandezza (densita, temperatura, pressione, etc.). In questo contesto ogni grandezzae funzione unicamente del tempo che assume il significato di ascissa curvilinea lungo la traiettoria. Seinfatti si considerasse, ad esempio, la velocita v come una funzione sia del tempo t che della posizione r,risultando r = r(t), si avrebbe v[r(t), t] = v(t).

3Cio non deve far pensare che si tratti di concetti differenti, si tratta infatti solamente della stessaaccelerazione valutata da riferimenti differenti.

3.3. DERIVATA MATERIALE 63

t sia proprio x, ossia x ≡ r(t). Questa particella avra tuttavia una posizione x dipendentedal tempo per cui si avra per l’accelerazione

a(x, t) =dv(, t)

dt=

du(x(t), t)

dt=

∂u

∂t+

∂u

∂x

dx

dt. (3.4)

Osservando ora che dx/dt e la velocita della particella che si trova in x al tempo t, equindi anche la velocita euleriana nel punto fisso x, si ottiene dall’espressione precedente

a(x, t) =∂u

∂t+

∂u

∂x· u =

∂u

∂t+ u · ∇u =

Du

Dt, (3.5)

in cui D • /Dt = ∂ • /∂t + u · ∇• e chiamato operatore di derivata materiale 4.Per capire meglio quanto grandi siano le implicazioni di questa espressione, consideria-

mo un sistema di assi coordinati cartesiani ed indichiamo con ax, ay ed az le componentidi a e con ux, uy ed uz quelle di u. L’espressione (3.5) scritta per componenti risulteraquindi

ax =∂ux

∂t+ ux

∂ux

∂x+ uy

∂ux

∂y+ uz

∂ux

∂z, (3.6)

ay =∂uy

∂t+ ux

∂uy

∂x+ uy

∂uy

∂y+ uz

∂uy

∂z,

az =∂uz

∂t+ ux

∂uz

∂x+ uy

∂uz

∂y+ uz

∂uz

∂z.

Risulta subito evidente che le componenti di accelerazione possono esistere anche nel ca-so di velocita indipendente dal tempo (flusso stazionario) in quanto la curvatura dellatraiettoria e la dipendenza della velocita da punto a punto nello spazio sono responsabilidel termine u · ∇u che e detto accelerazione convettiva. Questo risultato non e affattosorprendente se ripensiamo al significato di a(x, t) che e l’accelerazione di una particellafluida che al tempo t occupa la posizione x; se questa particella si muovesse con velocitacostante lungo una traiettoria circolare, questa dovrebbe possedere l’accelerazione centri-peta prodotta dalla curvatura della traiettoria e questa accelerazione dovrebbe comparireanche nella descrizione euleriana.

L’altro risultato importante e che come si osserva dalle (3.6) nella componente di ac-celerazione ax entrano anche le componenti di velocita in y e z e lo stesso accade per lealtre direzioni; questo implica che le equazioni della fluidodinamica (che non sono altroche F = ma scritta per un fluido) sono accoppiate spazialmente, cioe non e possibileavere informazioni sull’evoluzione in una direzione senza conoscere cio che accade nellealtre direzioni. L’ultima informazione che possiamo estrarre dalle (3.6) e che l’accele-razione e una funzione non lineare delle velocita (e tali risulteranno quindi le equazionidella fluidodinamica). Questo fatto costituisce la maggiore difficolta alla soluzione deiproblemi fluidodinamici come si vedra nel seguito. Per il momento ci limiteremo a riferire

4La notazione u·∇u potrebbe sembrare inconsistente in quanto ∇u e un tensore mentre u e un vettoreed il prodotto “righe per colonne” non sembrerebbe possibile. L’espressione precedente va invece intesacome (u · ∇)u che e definito in modo corretto.


che a meno di problemi estremamente semplificati o di condizioni del tutto particolaril’espressione dell’accelerazione rende impossibile la soluzione analitica delle equazioni delmoto, limitando l’analisi di problemi complessi a soluzioni numeriche o esperimenti dilaboratorio.

3.4 ∗ accelerazione di Lagrange

In questa sezione mostreremo brevemente un’identita vettoriale che tornera utile per gliargomenti trattati successivamente. Riprendiamo la formula (3.5) per l’accelerazione diuna particella fluida

Du

Dt=

∂u

∂t+ u · ∇u, (3.7)

e notiamo che, detta ωωω = ∇× u la vorticita sussiste l’identita

u · ∇u =1

2∇u2 + ωωω × u, (3.8)

da cui si puo scrivereDu

Dt=

∂u

∂t+

1

2∇u2 + ωωω × u. (3.9)

L’identita (3.8) puo essere dimostrata come facile esercizio scrivendo ωωω e u per componentiin un sistema d’assi cartesiano.

3.5 ∗ funzione di corrente

Avendo definito le linee di corrente come quelle linee che sono in ogni punto tangenti alvettore velocita, risulta naturale introdurre la funzione di corrente come quella funzionele cui isolinee (in due dimensioni o isosuperfici in tre dimensioni) costituiscono le linee dicorrente. Limitandoci per semplicita al caso bidimensionale si puo porre dalla (3.2)

dx

ux

=dy

uy

, =⇒ uxdy − uydx = 0, (3.10)

ottenendo che lungo una linea di corrente la quantita uxdy − uydx non varia. Se alloraponiamo

dψ = uxdy − uydx (3.11)

avremo che nemmeno la funzione ψ varia lungo una linea di corrente che e quindi lafunzione cercata.

La funzione di corrente risulta particolarmente utile quando si voglia determinare laportata in volume tra due punti. Considerato infatti l’esempio di figura 3.7 detto dsl’elemento di lunghezza del segmento che unisce il punto A con B si ha per la portata

3.6. ANALISI DEL MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO 65

x

y

A

BUn

n

dx

dyds

U

ux

y-u

Figura 3.7: Determinazione della portata (in volume) tra due punti.

elementare dQ = u · nds = uxdy − uydx che, in base alla (3.11) e proprio uguale a dψ.Per la portata tra A e B si avra allora

Q =∫ B

AdQ =

∫ B

A(uxdy − uydx) =

∫ B

Adψ = ψB − ψA, (3.12)

per cui se si conosce la funzione di corrente per un flusso, la differenza di ψ tra duepunti qualunque ci fornice il valore della portata in volume (per unita di lunghezza nelladirezione ortogonale al foglio) che passa tra i due punti. L’espressione (3.12) ci dice ancheche questo valore della portata e indipendente dal percorso seguito per andare da A a Bper cui dψ deve essere un differenziale esatto. Notiamo infine che nel caso in cui A e Bvengano scelti su una linea di corrente allora risultera Q = 0. Cio e consistente con ilfatto che un linea di corrente e sempre tangente al vettore velocita e quindi si comportacome una superficie impermeabile da cui il valore nullo di portata.

3.6 analisi del moto nell’intorno di un punto

3.6.1 caso bidimensionale semplificato

Concludiamo lo studio della cinematica dei fluidi, considerando lo stato di moto nell’intor-no di un punto. Questa analisi ci permettera di comprendere in che modo una particellafluida si deforma durante la sua evoluzione e rendera piu semplice la definizione deglisforzi in un fluido quando se ne affrontera la dinamica.

Data una regione fluida inizialmente di forma rettangolare, immaginiamo che dopoun intervallo di tempo ∆t sia stata deformata dal campo di velocita come in figura 3.8.Osserviamo dalla figura 3.9 che la deformazione totale puo essere decomposta in tre motielementari che verranno ora illustrati.


Il primo consiste in una traslazione rigida in cui tutta la regione si muove con la stessavelocita u0 uniforme nello spazio. Il secondo moto e una dilatazione pura in cui l’elementofluido subisce una variazione di lunghezza dei suoi lati, senza tuttavia ruotare ne variarel’angolo tra i lati del rettangolo. Detta lx la lunghezza in x dell’elemento indeformato edl′x la lunghezza dello stesso lato dopo la deformazione si avra

l′x = lx +∂ux

∂xlx∆t, (3.13)

da cui si ricava per la velocita relativa di dilatazione εx in x

εx = lim∆t−→0

1

lx

∆lx∆t

= lim∆t−→0

l′x − lxlx∆t

=∂ux

∂x. (3.14)

Un’espressione del tutto analoga si ricava per la direzione y.

x

y

l

l

l

x

y

x

y’

’

lt

t+ t∆

Figura 3.8: Deformazione di un elemento fluido in un tempo ∆t.

Il terzo moto consiste contemporaneamente in una rotazione rigida ed una deformazio-ne angolare che possono essere quantificate calcolando gli angoli ∆α e ∆β di cui ruotano,rispettivamente, i lati lx ed ly nel loro moto. Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylortroncato al primo ordine si ha

∆α ∂uy

∂x

lx∆t

lx=

∂uy

∂x∆t, ∆β ∂ux

∂y∆t. (3.15)

Per calcolare la velocita di deformazione angolare si osserva semplicemente che risulta∆θ = π/2 + ∆α + ∆β da cui si puo porre

θ = lim∆t−→0

∆θ

∆t=

∂uy

∂x+

∂ux

∂y. (3.16)


x

y

l

x

y

l

lx

l y

0u

x

y

ly’

l’x

lx

ly

x

y

∆β

∆∆

αγ

∆θ

(a) (b) (c)

Figura 3.9: Decomposizione della deformazione di un elemento fluido in moti elementari.

Per la velocita di rotazione rigida, da considerazioni geometriche si ottiene ∆γ = π/4 −∆α − ∆θ/2 = (∆β − ∆α)/2 da cui si ha per la velocita di rotazione

γ = lim∆t−→0

∆γ

∆t=

1

2

(∂ux

∂y− ∂uy

∂x

). (3.17)

D’altra parte, dallo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine si puo scrivereper la velocita lungo x

ux = ux0 +∂ux

∂xx +

∂ux

∂yy, (3.18)

che contiene i termini precedentemente identificati quanto si riscriva nella forma

ux = ux0 +∂ux

∂xx +

(1

2

∂ux

∂y+

1

2

∂ux

∂y+

1

2

∂uy

∂x− 1

2

∂uy

∂x

)y = (3.19)

ux0 +∂ux

∂xx +

1

2

(∂ux

∂y+

∂uy

∂x

)y +

1

2

(∂ux

∂y− ∂uy

∂x

)y.

Con passaggi analoghi si ottiene per la componente y di velocita

uy = uy0 +∂uy

∂yy +

1

2

(∂uy

∂x+

∂ux

∂y

)x +

1

2

(∂uy

∂x− ∂ux

∂y

)x. (3.20)

Le espressioni (3.19) e (1.2) possono essere unificate nell’espressione vettoriale

[ux

uy

]=

[ux0

uy0

]+

∂ux

∂x12

(∂ux

∂y+ ∂uy

∂x

)12

(∂uy

∂x+ ∂ux

∂y

)∂uy

∂y

[xy

]+

0 1

2

(∂ux

∂y− ∂uy

∂x

)12

(∂uy

∂x− ∂ux

∂y

)0

[xy

],

(3.21)che, considerando le (3.14), (3.16) e (3.17) assume la forma:

[ux

uy

]=

[ux0

uy0

]+

[εx θ/2

θ/2 εy

] [xy

]+

[0 γ−γ 0

] [xy

]. (3.22)


Quest’ultima espressione mette in evidenza che lo stato di moto nell’intorno di unpunto e dato da una traslazione rigida, una rotazione rigida descritta da un tensoreantisimmetrico ed una dilatazione lineare con una deformazione angolare descritte da untensore simmetrico. Questi due tensori sono, rispettivamente, la parte simmetrica edantisimmetrica del tensore gradiente di velocita.

Figura 3.10: Deformazione di elementi di fluido (marcati con un tracciante) durante illoro moto all’interno di un canale convergente.

Una visualizzazione sperimentale della deformazione di particelle fluide e riportata infigura 3.10 dove viene evidenziata una deformazione piu consistende delle particelle vicinealle pareti a causa dei gradienti di velocita prodotti dall’aderenza del fluido alla parete(strato limite).

3.6.2 ∗ caso generale tridimensionale

Piu in generale le stesse conclusioni si ottengono per il caso tridimensionale considerandouna particella fluida il cui baricentro al tempo t coincida con l’origine di un sistema diassi cartesiani ed immaginiamo che dopo un tempo ∆t la stessa particella si sia portata inuna posizione P sufficientemente vicina da poter ritenere accurato uno sviluppo in serie diTaylor troncato al primo ordine. Detto allora x lo spostamento della particella nel tempo∆t si potra scrivere

uP = uO + ∇u |O ·x + O(x2), (3.23)

in cui |O sta ad indicare che il gradiente ∇u e valutato nel punto O 5.

5Bisogna notare che ∇u e un tensore ed il temine ∇u · x, indicando il prodotto scalare tra un tensoreed un vettore fornisce come risultato un vettore. E consuetudine in fluidodinamica indicare il prodottoscalare tra un tensore ed un vettore con il simbolo “·” al contrario della meccanica dei solidi dove taleoperazione e denotata con ∇u x. Le due notazioni tuttavia indicano di fatto la stessa operazione.


x y

z P

Or(t)

r(t+ t)∆

x

Figura 3.11: Spostamento di una particella fluida in un tempo ∆t.

Essendo u un vettore, il termine ∇u sara un tensore che si puo quindi decomporre inuna parte simmetrica ed una antisimmetrica

∇u =1

2

(∇u + ∇uT

)+

1

2

(∇u −∇uT

)= E + ΩΩΩ, (3.24)

da cui, trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ottiene dalle espressioniprecedenti

uP = uO + E · x + ΩΩΩ · x. (3.25)

Poiche ΩΩΩ e un tensore a traccia nulla ed antisimmetrico si puo vedere che ΩΩΩ · x e untermine di rotazione rigida e, introdotta la vorticita come il rotore del campo di velocitaωωω = ∇× v risulta identicamente

ΩΩΩ · x =1

2ωωω × x. (3.26)

Per il temine E · x si dimostra invece che si tratta di una deformazione pura: cio eparticolarmente semplice osservando che essendo E un tensore simmetrico i suoi autovalorisaranno reali. Ponendosi quindi nella terna principale formata dagli autovettori di Equesto tensore diventa diagonale ed i termini della diagonale sono gli autovalori stessi.Se indichiamo quindi con x′, y′ e z′ le componenti del vettore x nella terna principalerisultera E ·x = λ1x

′x′ +λ2y′y′ +λ3z

′z′, dove λ1, λ2 e λ3 sono gli autovalori di E. In basea questa espressione, se quindi un punto si trova inizialmente su uno dei tre assi, esso virimarra indefinitamente confermando che il tensore E produce un moto di deformazionepura.

In conclusione possiamo quindi affermare che lo stato di moto nell’intorno di un puntopuo essere descritto nel seguente modo

uP = uO +1

2ωωω × x + E · x, (3.27)


in cui uO e una velocita di traslazione pura, il secondo termine costituisce una rotazionerigida con velocita angolare | ωωω | /2 mentre il terzo termine e una deformazione pura.

Si considereranno ora dei semplici campi di moto per mostrare in dettaglio la naturadei termini appena descritti. In figura 3.12a e riportato l’esempio di una rotazione puracon velocita angolare Ω costante intorno all’asse z da cui risulta θ = Ωt e quindi

x = r cos θ = r cos(Ωt), =⇒ ux = x = −rΩ sin(Ωt) = −Ωy, (3.28)

y = r sin θ = r sin(Ωt), =⇒ uy = y = −rΩ cos(Ωt) = Ωx,

mentre la componente di velocita lungo z e sempre nulla (uz = 0). Se ora calcoliamo glielementi Eij ed Ωij (con i, j = x, y, z) dei tensori E e ΩΩΩ in base alle definizioni (3.24)risultera (ponendo xx = x, xy = y ed xz = z):

Eij =1

2

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)≡ 0, (3.29)

Ωyx = −Ωxy = Ω, Ωij =1

2

(∂ui

∂xj

− ∂uj

∂xi

)= 0, per ij = xy, yx, (3.30)

da cui si puo confermare che un campo di rotazione pura ha tutti gli elementi di E nullimentre il tensore antisimmetrico ΩΩΩ risulta diverso dal tensore nullo.

Se infine dalla definizione ωωω = ∇× u si calcola la vorticita si ottiene

ωx = ωy ≡ 0, ωz =∂uy

∂x− ∂ux

∂y= 2Ω (3.31)

da cui si vede che in una rotazione rigida la vorticita e un vettore con stessa direzione everso del vettore rotazione e modulo doppio.

x y

z

rθ

Ω

x y

z∆x

x

x

y

Ο Α

Β

∆α

β∆

c)b)a)

l (t+ t)

l (t)

∆θ+π/2

Figura 3.12: Esempi di moto nell’intorno di un punto per una particella fluida: a)rotazione pura, b) dilatazione pura, c) deformazione angolare pura.

Nella figura 3.12b e rappresentato un esempio di dilatazione pura, un moto cioe incui non c’e ne rotazione ne deformazione angolare. In questo caso si ha banalmente


che, poiche le superfici inizialmente complanari con i piani coordinati rimarranno taliindefinitamente, le componenti di velocita (per esempio ux) devono risultare costanti o alpiu dipendere dalla sola coordinata corrispondente (x), risultando cosı ui = ui0 +aixi, i =x, y, z. In particolare nell’esempio di figura 3.12b si nota che il vertice del parallelepipedoinizialmente nell’origine degli assi rimane nell’origine anche dopo un tempo ∆t il cheimplica ui0 = 0, i = x, y, z e quindi

ux = axx, uy = ayy, e uz = azz. (3.32)

Da queste espressioni per le componenti di velocita si ricava che Ωij ≡ 0 o in modoequivalente ωi ≡ 0. Per il tensore velocita di deformazione risulta invece Eij = 0 per i = je Eii = ai da cui si vede che in assenza di deformazione angolare i termini fuori diagonaledel tensore E sono nulli 6.

Se infine indichiamo con li(t) la lunghezza dei lati del parallelepipedo al tempo tpossiamo calcolare il volume del solido V (t) = lx(t)ly(t)lz(t). Al tempo t + ∆t si avrainvece

li(t + ∆t) = li(t) + ui(li)∆t = li(t) + aili(t)∆t (3.33)

da cui si puo scrivere per il volume al tempo t + ∆t

V (t + ∆t) = lx(t + ∆t)ly(t + ∆t)lz(t + ∆t) = (3.34)

(lx + axlx∆t)(ly + ayly∆t)(lz + azlz∆t) =

= lxlylz + (ax + ay + az)lxlylz∆t + O(∆t2) ≈ V (t) + (ax + ay + az)V (t)∆t,

da cui si ricava che la variazione relativa di volume nell’unita di tempo e proprio pari allatraccia di E

1

V

dV

dt= lim

∆t→0

1

V

∆V

∆t= ax + ay + az = ∇ · u, (3.35)

essendo l’ultimo termine la divergenza del campo di velocita definita come ∇ · u =∂ux/∂x + ∂uy/∂y + ∂uz/∂z.

Riassumendo i risultati principali di questo esempio abbiamo trovato che in un motodi dilatazione pura, il tensore velocita di rotazione ΩΩΩ ha tutti i termini nulli mentre neltensore velocita di deformazione E sono nulli solo gli elementi fuori dalla diagonale cherappresentano quindi una velocita di deformazione angolare. Per i termini sulla diagonaledi E abbiamo invece visto che sono diversi da 0 e sono esattamente uguali alle variazionidi velocita lineare lungo gli assi (ai). La somma di tutti i termini sulla diagonale, infine, ela traccia del tensore E e ci fornisce la variazione relativa nell’unita di tempo del volumeconsiderato che e pari alla divergenza del campo di velocita. Se come caso particolaresi considerasse un flusso incomprimibile il volume di un suo qualunque elemento deve

6Chiaramente l’assenza di deformazione angolare dipende dal sistema di riferimento nel quale vienedescritto il moto. Se per esempio lo stesso problema venisse descritto in un sistema di riferimento congli assi coincidenti con le diagonali del parallelepipedo, allora il tensore E perderebbe la sua strutturadiagonale. In generale si puo dire che E risulta diagonale solo quando il sistema di riferimento coincidecon la terna principale, caso al quale e sempre possibile ricondursi data la simmetria del tensore E.


rimanere costante nel tempo e quindi in base alla (3.35) deve risultare ax + ay + az = 0da cui si vede che le ai non possono avere tutte lo stesso segno. Da un punto di vistafisico cio implica che se due lati si dilatano il terzo si deve accorciare o viceversa. Sempredalla (3.35) si nota che l’incomprimibilita implica ∇ · u = 0; questa relazione costituiscel’equazione di conservazione della massa in forma differenziale per i flussi incomprimibilicome verra ritrovato per altra via nei capitoli successivi.

Per completare il quadro delle possibilita ci rimane da considerare il caso di figura3.12c in cui il campo di moto induce una pura deformazione angolare. Se immaginiamoche inizialmente la forma dell’elemento fluido fosse rettangolare mentre dopo un tempo∆t l’elemento si e deformato in un rombo si puo allora scrivere utilizzando degli sviluppiin serie di Taylor per le velocita (troncati al primo ordine):

∆α ≈ tan(∆α) =AB

OA=

∂uy

∂xOA∆t

1

OA=

∂uy

∂x∆t, (3.36)

e analogamente

∆β ≈ tan(∆β) =∂ux

∂y∆t.

Da semplici considerazioni geometriche sulla figura 3.12c risulta inoltre ∆θ = (π/2+∆α+∆β) − π/2 per cui possiamo scrivere per la velocita di deformazione angolare

θ = lim∆t→0

∆θ

∆t= lim

∆t→0

∆α + ∆β

∆t=

∂uy

∂x+

∂ux

∂y= 2Exy = 2Eyx. (3.37)

Per tutti gli altri elementi di E si ha invece Eij = 0 cosı come risulta Ωij ≡ 0, confermandoquindi che gli elementi fuori diagonale di E sono legati alla velocita di deformazione ango-lare dell’elemento fluido. In particolare Eij e pari al doppio della velocita di deformazioneangolare misurata con i lati inizialmente paralleli agli assi i e j.

Capitolo 4

Dinamica dei fluidi

Dopo aver definito le proprieta fisiche, la statica e la cinematica dei fluidi, affrontere-mo ora il problema del moto dei fluidi come effetto di forze applicate, sia esternamenteche generate all’interno del fluido stesso. Questo argomento costituisce la dinamica deifluidi e comprende la derivazione delle equazioni di bilancio e conservazione (rispettiva-mente quantita di moto, massa ed energia) e la loro applicazione a volumi di fluido finiti(formulazione integrale) o infinitesimi (differenziale).

4.1 teorema del trasporto di Reynolds

Nel capitolo sulla cinematica dei fluidi abbiamo visto come nella descrizione di un fenomenosia possibile scegliere due punti di vista, uno legato alle singole particelle fluide (descrizionelagrangiana) e l’altro a posizioni fisse nello spazio (descrizione euleriana); abbiamo anchevisto come la derivata materiale permetta di valutare l’accelerazione di una particella flu-ida che ad un certo istante t passa in un punto fisso nello spazio. Se invece di considerareuna singola particella fluida si prende un sistema fluido (ossia un insieme di particelle)ci si pone un problema identico al precedente ma per un sistema finito piuttosto che in-finitesimo: il teorema del trasporto di Reynolds permette di legare le quantita calcolateper un sistema composto sempre dalle stesse particelle a quelle per un volume fisso nellospazio.

Prima di illustrare tale teorema daremo delle definizioni che ci permetteranno, inseguito, di procedere piu speditamente.

volume materiale e volume di controllo

Immaginiamo in un istante t1 di delimitare un volume V (t1) contenente delle particellefluide che identifichiamo in qualche modo. Se fossimo in grado di seguire il moto di tuttele particelle fluide, ad un tempo t2 > t1 avremo che il volume avra cambiato posizione eforma(V (t2)) e lo stesso accadra per un tempo successivo t3 > t2 (figura 4.1). Un volumecosı definito prende il nome di volume materiale (o sistema materiale o sistema fluido) edha la caratteristica di essere composto per qualunque tempo dalle particelle fluide che locomponevano inizialmente. Se al contrario si delimita un volume (fisso o mobile) V0 questopotra contenere o meno alcune delle particelle fluide del volume materiale, ma comunquenel tempo queste varieranno e si puo verificare (in figura 4.1 per t = t3) che il volume fissonon contenga alcuna particella del volume materiale. Il volume V0 e chiamato volume dicontrollo e puo essere scelto in modo del tutto arbitrario anche se, come si vedra nelle

69

70 CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

V (t )V (t )V (t )1 2 3V0

Figura 4.1: Evoluzione temporale di un volume materiale (disegnato in rosso) e posizionefissa di un volume di controllo.

applicazioni, una sua definizione in modo oculato semplifica notevolmente la soluzione deiproblemi pratici.

grandezze intensive ed estensive

Definiamo grandezza estensiva B (scalare, vettoriale o tensoriale) una quantita il cuivalore dipende dall’estensione del volume V considerato mentre una grandezza intensivab e una quantita indipendente dal valore di V .

Per esempio se si misura la temperatura di 1, 2 o 100 metri cubi d’aria questa sarasempre la stessa, quindi la temperatura e una grandezza intensiva. Al contrario se simisurasse la massa dei sistemi precedenti questa evidentemente crescera linearmente conil volume del sistema stesso,risultando quindi la massa una grandezza estensiva.

In particolare, detta b una grandezza intensiva si puo scrivere

B =∫

VρbdV, (4.1)

essendo ρ la densita del fluido nel volume V , e si dira che B e la grandezza estensivaconiugata a quella intensiva b. Per esempio la massa e la grandezza estensiva coniugataall’unita, la quantita di moto alla velocita. etc 1.

teorema del trasporto di Reynolds

Possiamo ora calcolare la variazione nel tempo di una grandezza estensiva B definita in(4.1). Consideriamo allo scopo un volume di controllo V0 fisso che al tempo t viene presocoincidente con il volume materiale V (t); dopo un tempo ∆t il volume materiale si saramosso come disegnato nella figura 4.2.

Per la variazione nel tempo di B possiamo scrivere

dB

dt=

d

dt

∫

V (t)ρbdV = lim

∆t−→0

∫

V (t+∆t) ρbdV − ∫

V (t) ρbdV

∆t. (4.2)

1In alcuni testi e possibile trovare una definizione leggermente differente di grandezza intensiva secondol’espressione B =

∫

VbdV La differenza tra questa definizione e la (4.1) e che la prima viene riferita al

volume infinitesimo dV mentre la seconda alla massa infinitesima ρdV La relazione tra b e b e comunquebanalmente b = ρb.

4.1. TEOREMA DEL TRASPORTO DI REYNOLDS 71

V

V

V

1

2n

n

u

u

dS

V0= V(t)=V+V1 V(t+ t)=V+V2

dV

∆

∆t

Figura 4.2: Moto relativo dopo un tempo ∆t tra un volume di controllo fisso ed un volumemateriale inizialmente coincidenti.

In base alla figura 4.2 possiamo scrivere V (t) = V + V1 e V (t + ∆t) = V + V2 da cui

dB

dt= lim

∆t−→0

∫

V (ρb)t+∆tdV +∫

V2(ρb)t+∆tdV − ∫

V (ρb)tdV − ∫

V1(ρb)tdV

∆t, (4.3)

in cui tutte le funzioni integrande sono calcolate al tempo relativo al volume di apparte-nenza. Notiamo ora che il primo e terzo integrale dell’equazione (4.3) sono valutati sullostesso dominio V ma gli integrandi sono calcolati in tempi differenti per cui si ha

lim∆t−→0

∫

V (ρb)t+∆tdV − ∫

V (ρb)tdV

∆t=∫

V0

∂ρb

∂tdV, (4.4)

avendo notato che per t −→ 0, V (t) −→ V0.Per gli altri due integrali osserviamo dalla figura 4.2 che, detto dS un elemento di

superficie del volume V0, n la sua normale ed u la velocita di traslazione risultera dV =u · n∆tdS per il volume V2 e dV = −u · n∆tdS per il volume V1. Il secondo e quartointegrale della (4.3) diventeranno allora

lim∆t−→0

∫

V2(ρb)t+∆tdV − ∫

V1(ρb)tdV

∆t=

= lim∆t−→0

(∫

S2

(ρb)t+∆tu · ndS +∫

S1

(ρb)tu · ndS)

=∫

S0

ρbu · ndS, (4.5)

dove si e indicata con Si la parte di superficie di V in comune con il volume Vi e si eutilizzato il fatto che per t −→ 0, S1 + S2 −→ S0.

Se ora mettiamo insieme i risultati delle (4.4) e (4.5) possiamo scrivere

dB

dt=∫

V0

∂ρb

∂tdV +

∫

S0

ρbu · ndS, (4.6)

con la quale abbiamo messo in relazione la grandezza B calcolata su un volume materialecon quantita calcolate su un volume di controllo e quindi di piu facile valutazione.


La relazione (4.6) ci dice che le variazioni di B hanno due cause, una interna al sistemastesso e quindi dovuta a variazioni di b all’interno del volume V . L’altra possibilita ecausata da scambi del sistema attraverso la sua superficie, ossia il flusso di b attraversoS.

Se la funzione ρbu e continua e differenziabile allora il secondo integrale della (4.6) sipuo trasformare utilizzando il teorema della divergenza e scrivere

dB

dt=∫

V0

∂ρb

∂tdV +

∫

V0

∇ · (ρbu)dV. (4.7)

Un’ultima precisazione e necessaria circa il significato fisico di u a seconda che V0 siafisso o in movimento. Nel primo caso, risultando nulla la velocita di S0 (e di dS) nonnascono dubbi e u e la velocita con cui si muove il fluido nel punto considerato. Se, alcontrario, V0 e in movimento, dovendo valutare il flusso di ρb attraverso dS non saremopiu interessati alla velocita assoluta del fluido ma piuttosto alla velocita relativa tra ilfluido e la superficie S0. Indicata allora con v la velocita del fluido e con ur quella di S0

risultera u = v − ur e quindi

dB

dt=

d

dt

∫

V0

ρbdV +∫

S0

ρb(v − ur) · ndS. (4.8)

4.2 equazione di conservazione della massa

4.2.1 forma integrale

Avremo ora modo di apprezzare la potenza della relazione (4.6) (e le sue forme derivate)nella determinazione delle equazioni di bilancio e di conservazione. Iniziamo dall’e-quazione di conservazione della massa, prendendo un sistema materiale e avendo, dallastessa definizione, che la sua massa M non varia nel tempo, ponendo quindi B = M neconseguira dalla (4.1) che b = 1 da cui la conservazione della massa si esprimera

dM

dt=

d

dt

∫

V (t)ρdV = 0, (4.9)

oppure in base al teorema del trasporto di Reynolds

∫

V0

∂ρ

∂tdV +

∫

S0

ρu · ndS = 0. (4.10)

L’espressione (4.10) esprime la conservazione della massa in forma integrale e risultaparticolarmente utile nelle applicazioni quando il fenomeno in esame e stazionario; inquesto caso infatti il primo termine risulta identicamente nullo mentre il secondo forniscesemplicemente il flusso di massa attraverso la superficie del volume di controllo:

∫

S0

ρu · ndS = 0. (4.11)

L’equazione (4.11) e particolarmente semplice da applicare nel caso in cui il volume dicontrollo selezionato abbia un numero finito di porzioni (N) attraverso le quali ci sia flussodi massa e su queste porzioni le caratterstiche del flusso (velocita e densita) possano essereconsiderate costanti. In tal caso, infatti, l’espressione (4.11) diviene

N∑

i=1

ρiui · niSi = 0, (4.12)

4.2. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA 73

che permette, tramite semplici relazioni algebriche, di determinare un flusso incognitonoti gli altri.

ESEMPIO

Una portata d’aria V entra in un sistema alla pressione p1 ed alla temperaturaT1 ed esce alla stessa temperatura ma alla pressione p2. Sapendo che le sezionidi ingresso ed uscita misurano S1 ed S2 calcolare le velocita di ingresso ed uscitadel flusso.

S S

n U

n

U

1

1 1

2

2

2

p p

T1

1

V V = 12 m3/s T1 = 188 Kp1 = 216 kPa S1 = 0.2 m2

S2 = 1.4 m2 p2 = 30 kPa

Soluzione

Dall’equazione di stato applicata alla sezione di ingresso si ricava ρ1 =p1/(RT1) = 4.003 Kg/m3 per cui risulta m = ρ1V = 48.039 Kg/s ed U1 =V /S1 = 60 m/s. Dalla conservazione della massa deve risultare −ρ1U1S1 +ρ2U2S2 = 0 (in quanto u1 · n1 = −U1 mentre u2 · n2 = U2) da cui si ricavaU2 = ρ1U1S1/(ρ2S2) = 61.714 m/s.

4.2.2 forma differenziale

Se il volume di controllo e fisso e sussistono le condizioni per l’applicazione del teoremadella divergenza la (4.10) si puo scrivere come

∫

V0

(

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρu)

)

dV = 0; (4.13)

dobbiamo a questo punto notare che la scelta del volume di controllo V0 e assolutamentearbitraria mentre la relazione (4.13) impone l’uguaglianza per qualunque scelta di V0. L’u-nica possibilita affinche cio si verifichi e che sia identicamente nulla la funzione integranda,ossia

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρu) = 0, (4.14)

che e l’equazione di conservazione della massa in forma differenziale. L’equazione (4.14)si puo anche scrivere

∂ρ

∂t+ u · ∇ρ + ρ∇ · u = 0, (4.15)

da cui emerge che nel caso particolare di flusso incomprimibile Dρ/Dt = 0 la (4.15) siriduce a

∇ · u = 0, (4.16)

relazione gia trovata per altra via quando si e considerata l’analisi del moto nell’intornodi un punto 2.

2Se la relazione (4.16) viene risostituita nella (4.15) si ottiene che la derivata materiale della densitae nulla,

∂ρ

∂t+ u · ∇ρ =

Dρ

Dt= 0.


4.3 equazione di bilancio della quantita di moto


Per derivare l’equazione di bilancio della quantita di moto Q, procediamo in modo analogoalla sezione precedente. Iniziamo con il definire Q =

∫

V0ρudV e, utilizzando il secondo

principio della dinamica possiamo scrivere:

dQ

dt= F, (4.17)

dove con F sono state indicate tutte le forze che agiscono sul volume materiale in esame. Ilprimo membro della (4.17) si puo esplicitare tramite il teorema del trasporto di Reynolds,mentre per esprimere F bisogna distinguere i vari tipi di forze che agiscono sul sistema.Senza elencare nel dettaglio tutte le possibili forze agenti sul volume materiale di fluido,possiamo distinguere tra le forze di contatto FS, quelle cioe che agiscono solo attraversoazioni di contatto sulla superficie S del volume materiale, e le forze di volume FV cheagiscono anche sulle particelle fluide interne al volume materiale. Tra le prime possiamoannoverare le forze di pressione e le forze viscose, mentre la forza peso, la forza centrifugae quella di Coriolis fanno parte della seconda categoria.

Tra le forze di contatto possiamo ulteriormente distinguere l’azione della pressione daquella delle altre forze (come l’attrito) e porre

FS = −∫

S0

pndS + F′

S, (4.18)

per cui dalla definizione di Q ed il teorema del trasporto di Reynolds si ottiene

∫

V0

∂ρu

∂tdV +

∫

S0

ρuu · ndS +∫

S0

pndS = F′

S + FV . (4.19)

Questa espressione trova largo uso nel caso di flussi stazionari e la sua applicazione erelativi esempi verranno trattati in §4.3.3.


Senza perdita di generalita poniamo

FS =∫

S0

T · ndS e FV =∫

V0

ρfdV, (4.20)

in cui f e la densita delle forze di volume (nel caso della sola forza peso f risulterebbe esserel’accelerazione di gravita) mentre T e il tensore degli sforzi di superficie. Anticipandoora un risultato che sara dimostrato successivamente, poniamo T = −pI + τττ in cui pe la pressione, I e il tensore identita e τττ e la parte deviatorica degli sforzi viscosi. Inquesta decomposizione il tensore degli sforzi di superficie T viene decomposto in unaparte isotropa dovuta alla pressione ed una parte deviatorica dovuta alla viscosita.

Ricordando che la derivata materiale indica la variazione misurata da un osservatore solidale con laparticella fluida, e evidente che la densita di una particella in un flusso incomprimibile non puo variare equindi la sua derivata materiale deve essere nulla.

4.3. EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA DI MOTO 75

Mettendo insieme la definizione di Q, le espressioni (4.17) e (4.20) ed il teorema deltrasporto di Reynolds si ottiene

∫

V0

∂ρu

∂tdV +

∫

S0

ρuu · ndS = −∫

S0

pI · ndS +∫

S0

τττ · ndS +∫

V0

ρfdV, (4.21)

che esprime il bilancio di quantita di moto in forma integrale.Se e possibile applicare il teorema della divergenza questa relazione puo essere trasfor-

mata in∫

V0

(

∂ρu

∂t+ ∇ · (ρuu)

)

dV =∫

V0

(−∇p + ∇ · τττ + ρf)dV, (4.22)

dove si puo osservare di nuovo che, dovendo sussistere l’identita dei due membri perqualunque scelta del volume di controllo V0, devono necessariamente risultare uguali lefunzioni integrande da cui

∂ρu

∂t+ ∇ · (ρuu) = −∇p + ∇ · τττ + ρf , (4.23)

che e l’equazione di bilancio della quantita di moto in forma differenziale.Come semplice esercizio si puo dimostrare che se all’equazione (4.23) viene sottratta

l’equazione (4.14) moltiplicata per u si ottiene

ρDu

Dt= −∇p + ∇ · τττ + ρf , (4.24)

che e un’altra forma differenziale dell’equazione di bilancio della quantita di moto.

4.3.3 applicazione dell’equazione di bilancio della quantita di

moto

Le relazioni (4.17)–(4.21) possono essere ridotte a forme piu maneggevoli per applicazionipratiche sotto alcune ipotesi semplificative. L’assunzione piu comune e quella di flussostazionario in cui tutte le variazioni temporali delle grandezze sono nulle. Bisogna osser-vare che nella pratica un flusso non e mai strettamente stazionario ossia ∂ • /∂t ≡ 0 malo e quasi sempre in senso statistico. Si verifica infatti che le fluttuazioni delle grandezzerispetto ad i valori medi siano generalmente contenute e cio consente di ipotizzare che iltermine contenente la derivata temporale della quantita di moto sia trascurabile rispettoagli altri.

Notiamo a questo punto che, detta S0 la superficie del volume di controllo avremoin certo numero di porzioni Si, i = 1, 2, ..., N attraverso le quali c’e flusso di massa e larimanente superficie S = S0 −

∑Ni=1 Si che o e impermeabile o soddisfa la condizione di

aderenza u = 0 e quindi avra un flusso di massa nullo. In tal caso ipotizzando che legrandezze siano costanti su ognuno dei tratti di S0 risultera:

∫

S0

ρuu · ndS =N∑

i=1

∫

Si

ρuu · ndS +∫

Sρuu · ndS =

N∑

i=1

ρuu · nSi. (4.25)

Distinguendo in modo analogo i contributi del termine di pressione scriviamo

∫

S0

pI · ndS =N∑

i=1

∫

Si

pI · ndS +∫

SpI · ndS =

N∑

i=1

pnSi + Fps (4.26)


dove con Fps si e indicata la risultante di tutte le forze di pressione che la superficie dicontrollo senza flusso di massa esercita sul fluido (per esempio le reazioni vincolari).

Con queste assunzioni l’equazione (4.21) diventa

N∑

i=1

(ρuu · n + pn)iSi = F (4.27)

avendo indicato con F la risultante di tutte le forze di volume, quelle viscose e quelle dipressione esercitate dalle porzioni di S0 attraverso cui non transita massa.

ESEMPIO

Dell’acqua fluisce nell’ugello in figura dalla sezione 1 alla 2 dove scarica in at-mosfera. Determinare modulo e verso delle forze orizzontali e verticali necessariea mantenere l’ugello fermo. Il peso dell’ugello vuoto e W ed il volume d’acquacontenuta e V . L’ugello smaltisce una portata Q.

S p

S

g

α

1

2

1

Q

α = 40o Q = 0.1 m3/sW = 13 Kg V = 0.015 m3

S1 = 0.025 m2 S2 = 0.008 m2

p1 = 1.5 bar (pressione assoluta)

Soluzione

Dall’equazione di bilancio della quantita di moto, preso il fluido all’interno delcondotto come volume di controllo e dette 1 e 2, rispettivamente le sezioni diingresso ed uscita si ottiene

Fy = −ρU 21 S1 − (p1 − p0)S1 + ρU 2

2 sin αS2 + ρgV = −699.61 N

Fx = ρU 22 cos αS2 = 957.55 N

avendo preso l’asse x orizzontale e l’asse y verticale ed orientato verso l’alto. Ivalori per U1 = 4 m/s ed U2 = 12.5 m/s sono stati ricavati dalla portata Q e lasuperficie S delle sezioni. Infine, poiche l’ugello vuoto pesa gia W = 127.53 N laforza aggiuntiva verso il basso sara Fy = −588.273 N.

4.3. EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA DI MOTO 77

ESEMPIO

In un canale piano, come in figura, e presente un flusso stazionario che entrauniformemente con velocita U ed esce con profilo parabolico. Sono note le pres-sioni p1 e p2 uniformi sulle sezioni iniziali e finali ed il fluido e acqua. Essendoil canale posto verticalmente, calcolare la risultante delle forze viscose per unitadi profondita b.

b

lh

u(y)

U

p1

yp

2

h = 0.2 m l = b = 1 mU = 0.5 m/s

p1 = 1.15 · 105 Pa p2 = 105 Pa

Soluzione

Si utilizza l’equazione di bilancio della quantita di moto in forma integrale perflussi stazionari. Proiettando l’equazione lungo la direzione verticale positiva siottiene:

−ρU 2bh + ρb∫ h

0u2(y)dy + bh(p2 − p1) + ρgbhl = Fx.

In questa relazione c’e ancora come incognita u(y) che deve avere una formaparabolica e deve preservare la massa:

∫ h

0u(y)dy = Uh, =⇒ u(y) = 6U

[

y

h−(

y

h

)2]

,

da cui∫ h0 u2(y)dy = 6U 2h/5 e di conseguenza Fx = −1030 N.


ESEMPIO

Un flusso stazionario d’acqua entra nella sezione 1 con portata Q ed esce dopoaver compiuto una curva di 1800 dalla sezione 2. La pressione (media) in 1 e P1

mentre quella in 2 e p2 (p2 < p1) a causa delle perdite. Sapendo che il tubo hasezione costante S e che e orizzontale, calcolare le forze Fx ed Fy necessarie amantenere fermo il tubo.

1

2

y

x

S = 7.854 · 10−3 m2 Q = 7.854 · 10−2m3/sp1 = 6 atm p2 = 4.5 atm

Soluzione

Dall’equazione di bilancio della quantita di moto in forma integrale si ha:

Fx = 0, Fy = −ρu21S1 − ρu2

2S2 − p1S1 − p2S2 = −9924 N,

essendo u1 = u2 = Q/S = 10 m/s.

4.4 equazione di conservazione dell’energia


Per la formulazione dell’equazione di conservazione dell’energia per un fluido, partiamodal primo principio della termodinamica che sancisce, di fatto, l’equivalenza tra le varieforme di energia. Indicando con E il contenuto totale di energia del volume materiale, econ L e Q rispettivamente il lavoro fatto sul sistema ed il calore introdotto nel sistema,entrambi per unita di tempo, scriviamo

dE

dt= L + Q. (4.28)

Se ora indichiamo con E l’energia totale specifica, ossia la grandezza intensiva coniu-gata ad E possiamo scrivere

dE

dt=

d

dt

∫

VρEdV = L + Q (4.29)

e quindi usando il teorema del trasporto di Reynolds

∫

V0

∂ρE∂t

dV +∫

S0

ρEu · ndS = L + Q, (4.30)

che e l’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale. L’espressione (4.30) e difondamentale importanza per le applicazioni anche se necessita di maggiori dettagli nelledefinizioni di L e Q per poter essere utilizzata. Tali dettagli con esempi verranno fornitiin §4.4.3

4.4. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA 79


In modo analogo alle forze precedentemente introdotte, dividiamo anche L e Q nei con-tributi di volume e superficie e per il lavoro fatto dalle forze di volume e superficieabbiamo

LS =∫

S0

(T · n) · udS e LV =∫

V0

ρf · udV. (4.31)

Per il calore, poniamo q il calore per unita di volume generato internamente al sistema(per esempio per processi chimici o assorbimento di radiazione) e K il flusso di calore perunita di superficie che entra nel sistema attraverso la superficie esterna. Risultando inbase al postulato di Fourier K = −λ∇T (essendo λ la conducibilita termica del materialee ∇T il gradiente di temperatura) possiamo porre

QS = −∫

S0

K · ndS =∫

S0

λ∇T · ndS e QV =∫

V0

ρqdV. (4.32)

Vogliamo brevemente commentare i vari segni negativi che compaiono nella definizionedi QS; quello nella definizione di K deriva dal fatto che naturalmente il calore va da puntia temperatura maggiore a punti a temperatura minore, ossia si muove in verso oppostorispetto al gradiente di temperatura. Il segno negativo in QS = − ∫S0

K · ndS e invececausato dall’orientamento di n che e positiva se punta esternamente al sistema. PoicheK e positivo se entrante nel sistema il prodotto K · n risulterebbe negativo, per flussi dicalore entranti nel sistema, da cui il segno negativo.

Utilizzando ora le espressioni (4.29) e (4.30) possiamo scrivere

dE

dt=

d

dt

∫

VρEdV = LS + LV + QS + QV , (4.33)

e quindi usando le definizioni (4.31) e (4.32) ed il teorema del trasporto di Reynolds∫

V0

∂ρE∂t

dV +∫

S0

ρEu ·ndS = −∫

S0

p(I ·n) ·udS +∫

S0

(τττ ·n) ·udS +∫

V0

ρf ·udV + (4.34)

+∫

S0

λ∇T · ndS +∫

V0

ρqdV,

che e l’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale. Usando nelle soliteipotesi il teorema della divergenza si possono ridurre tutti i termini ad un integrale divolume ed ipotizzando un volume di controllo fisso si ha

∫

V0

(

∂ρE∂t

+ ∇ · (ρEu)

)

dV = (4.35)

=∫

V0

(−∇ · (pu) + ∇ · (τττ · u) + ρf · u + ∇ · (λ∇T ) + ρq) dV.

Anche in questo caso noteremo che data l’assoluta arbitrarieta del volume di controllo V0

devono risultare uguali le funzioni integrande a primo e secondo membro della (4.35) dacui ne consegue l’equazione di conservazione dell’energia in forma differenziale

∂ρE∂t

+ ∇ · (ρEu) = −∇ · (pu) + ∇ · (τττ · u) + ρf · u + ∇ · (λ∇T ) + ρq. (4.36)

Analogamente a quanto fatto per il bilancio della quantita di moto notiamo che seall’equazione (4.36) sottraiamo l’equazione (4.14) moltiplicata per E otteniamo

ρDEDt

= −∇ · (pu) + ∇ · (τττ · u) + ρf · u + ∇ · (λ∇T ) + ρq, (4.37)

che e un’ulteriore forma dell’equazione di conservazione dell’energia in forma differenziale.


4.4.3 applicazione dell’equazione di conservazione dell’energia

Similmente al bilancio della quantita di moto, l’applicazione delle equazioni (4.28)–(4.34)risulta notevolmente semplificata nel caso in cui si possano fare alcune assunzioni chevengono verificate in numerosi casi pratici.

sistemi chiusi

Se il sistema e chiuso, ossia non c’e flusso di massa attraverso la sua superficie, le equazioni(4.28)-(4.29) possono essere messe in una forma particolarmente utile dal punto di vistaapplicativo. Infatti, se nell’energia totale specifica E si contempla un contributo cineticou2/2, uno potenziale gh ed uno di energia interna e l’equazione (4.29) assume la forma

d

dt

∫

Vρ

(

u2

2+ gh + e

)

dV = L + Q. (4.38)

Con l’ulteriore ipotesi che il sistema sia caratterizzabile da un unico valore di u, h ede (per esempio considerandone i valori mediati sul volume e la quota del baricentro),essendo la massa m =

∫

V ρdV costante, la relazione (4.38) si trasforma in

m

(

u2

2+ gh + e

)

fin

−(

u2

2+ gh + e

)

ini

= ∆L + ∆Q (4.39)

che mette in relazione gli stati iniziali e finali del sistema quando siano note le quantitadi lavoro e calore fatti sul sistema durante il lasso di tempo trascorso tra i due stati.

sistemi aperti

Se, invece il sistema e aperto ma il flusso e stazionario (o statisticamente stazionario)il termine contenente la derivata temporale scompare nella (4.34) che possiamo scriverecome:

∫

S0

ρEu · ndS = −∫

S0

p(I · n) · udS + Q + LM . (4.40)

Q indica gli ultimi due termini della (4.34) mentre con LM si e indicato il lavoro meccanicosul sistema (rappresentato dal terzultimo e quartultimo termine della (4.34)) che si edistinto dal lavoro delle pressioni

∫

S0p(I · n) · udS. E importante notare che quest’ultimo

e diverso da zero solo su quelle porzioni della superficie di controllo dove si ha flusso dimassa in quanto negli altri casi la velocita o e ortogonale ad n (contorno impermeabile)o risulta identicamente nulla (parete con condizione di aderenza).

Con le ulteriori ipotesi che il sistema abbia una sola sezione di ingresso (Sin) ed unasola di uscita (Sout) e che le grandezze possano considerarsi costanti su tali sezioni gliintegrali si semplificano in

∫

S0

ρEu · ndS = E∫

S0

ρu · ndS = m(Eout − Ein), (4.41)

∫

S0

p(I · n) · udS =∫

S0

ρp

ρn · udS = m

[(

p

ρ

)

out

−(

p

ρ

)

in

]

,

dopo aver osservato che risulta mout ≡ min = m per la conservazione della massa.


Con la stessa definizione per l’energia totale specifica E fatta nella sezione precedentel’equazione (4.40) assume la forma

m

[(

u2

2+ e +

p

ρ+ gh

)

out

−(

u2

2+ e +

p

ρ+ gh

)

in

]

= Q + LM . (4.42)

I termini e + p/ρ sono per definizione l’entalpia h = CpT che puo talvolta essere nota iningresso e/o in uscita.


ESEMPIO

Un cilindro circolare di raggio R contiene dell’aria alla temperatura iniziale T0 eda pressione atmosferica. Se un pistone, inizialmente ad una distanza h comprimecon una forza F il sistema fino all’equilibrio quale sara la temperatura finaledell’aria nel cilindro? Considerare il fenomeno isentropico.

R

h

T

p0

0

F

R = 0.2 m T0 = 290 Kh = 0.5 m F = 4000 N

Soluzione

Dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale per sistemi chiusisi scrive:

m

[(

e1 +u2

1

2+ gz1

)

−(

e0 +u2

0

2+ gz0

)]

= ∆L + ∆Q.

Nella relazione appena scritta risulta gz0 = gz1 ed u0 = u1 = 0 e ∆Q = 0.Dall’equazione di stato dei gas perfetti ρ0 = p0/(RT0) = 1.217 Kg/m3 per cuila massa del sistema e m = ρ0πR2h = 0.0764 Kg. Per determinare la quantitadi lavoro fatta sul sistema basta osservare che il pistone comprimera l’aria finoa quando la pressione interna bilancera la forza esterna (somma della forza ap-plicata e di quella esercitata dalla pressione atmosferica) pI = p0 + F/(πR2) =133146 Pa. D’altra parte essendo la trasformazione isentropica dovra risultarep0/pI = (ρ0/ρI)

γ da cui ρI = 1.479 Kg/m3 (con γ = 1.4) e dalla costanza del-la massa ρ0h = ρI(h − ∆h) da cui ∆h = 0.088 m. Il lavoro fatto sul sistemasara quindi ∆L = (F + p0πR2)∆h = 1481.97 J. Infine, essendo e = CvT dal-l’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale per sistemi chiusi siricava T1 = T0 + ∆L/(Cvm) = 317 K.


ESEMPIO

In una camera di combustione c’e un flusso di massa di combustibile M . Calco-lare la temperatura di uscita del gas utilizzando i dati in figura ad essumendoche il combustibile bruci totalmente tra le sezioni 1 e 2 con potere calorificoinferiore P . (Trascurare il calore scambiato dalla camera di combustione conl’esterno, trascurare la variazione di portata in massa dovuta all’introduzione dicombustibile e considerare il gas come perfetto e con le caratteristiche dell’aria).

lS S

up

T

u

1

1

1

1 2

2

S1 = S2 = 0.1 m2 P = 14000 Kcal/Kg

M = 0.1 Kg/s u1 = 16 m/su2 = 60 m/s p1 = 7 atmT1 = 270 K

Soluzione

Dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale per sistemi apertisi scrive:

m

[(

e2 +u2

2

2+

p2

ρ2

+ gz2

)

−(

e1 +u2

1

2+

p1

ρ1

+ gz1

)]

= Lm + Q.

Nella relazione appena scritta risulta gz2 = gz1, Lm = 0 e Q = PM . Dal-l’equazione di stato dei gas perfetti si ricava ρ1 = p1/(RT1) = 9.153 Kg/m3 equindi m = ρ1S1u1 = 14.645 Kg/s. Note queste quantita si puo calcolare T2

dall’equazione di sopra:

T2 =

[

MP

m+ (CV + R)T1 +

u21

2− u2

2

2

]

/(CV + R) = 666.64 K.


ESEMPIO

A causa delle infiltrazioni nel terreno dell’acqua fluisce in modo stazionario daun lago in quota ad uno piu in basso di una quota h. Calcolare l’aumento ditemperatura dell’acqua causata dal passaggio da una bacino all’altro.

280 m

Soluzione

Dall’equazione di conservazione dell’energia applicata tra i peli liberi dei duebacini (u1 = u2 = 0, p1 = p2 = p0), essendo nulli lavoro e calore trasmessi alsistema si ha

m[(CT + gh)2 − (CT + gh)1] = 0, ∆T = gh/C = 0.656 K,

essendo C = 4186.8 J/(Kg K).

4.5. ∗ FORMA DIFFERENZIALE VS FORMA INTEGRALE 85

ESEMPIO

Una portata d’aria V entra in un compressore alla pressione p1 ed alla temperatu-ra T1 ed esce alla pressione p2. Calcolare la potenza assorbita dal compressoresapendo che le sezioni di ingresso ed uscita misurano S1 ed S2 e supponendol’intero processo isentropico.

S

p

T

p

S2

1

1

1

2VV = 20 m3/s T1 = 288.15 Kp1 = 124 kPa S1 = 1.2 m2

S2 = 0.4 m2 p2 = 630 kPa

Soluzione

Dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale

m

[

h2 − h1 +u2

2

2− u2

1

2+ gz2 − gz1

]

= Q + Lm,

in cui risulta z1 ≈ z2 e Q = 0.Dall’equazione di stato applicata alla sezione di ingresso si ricava ρ1 =p1/(RT1) = 1.499 Kg/m3, m = ρ1V = 29.988 Kg/s ed U1 = V /S1 = 16.666 m/s.L’equazione isentropica tra le sezioni 1 e 2 fornisce T2 = T1(p2/p1)

(γ−1)/γ =458.468 K e dall’equazione di stato ρ2 = p2/(RT2) = 4.788 Kg/m3. Dallaconservazione della massa U2 = m/(ρ2S2) = 15.657 m/s e quindi

Lm = [Cp(T2 − T1) + (U 22 − U 2

1 )/2] = 5.13 MW.

4.5 ∗ forma differenziale vs forma integrale

Nelle tre sezioni precedenti abbiamo derivato le equazioni di conservazione della massa edell’energia e di bilancio della quantita di moto presentando per ogni equazione una formaintegrale ed una differenziale. Ci chiediamo ora quale sia la differenza sostanziale tra ledue forme di equazione ed in quali applicazioni utilizzare l’una o l’altra forma; cercheremodi chiarire questo punto mediante due semplici esempi.

Nel dispositivo di figura 4.3 vengono a contatto due correnti a velocita costante U1 edU2 e, se il tubo (cilindrico) ha lunghezza sufficiente, con buona approssimazione la correntein uscita ha velocita uniforme; ci chiediamo quale sia il valore della velocita di uscita Udata la geometria assialsimmetrica di figura. Il problema puo essere semplicemente risoltoconsiderando l’equazione di conservazione della massa in forma integrale (4.10) che, datala stazionarieta del flusso si riduce a

∫

S0

ρu · ndS = 0. (4.43)

Preso allora il volume di controllo indicato in figura con una linea tratteggiata si ha cheil mantello cilindrico laterale non da alcun contributo in quanto u · n ≡ 0 mentre dai


r

r

U

U

U

1 1

2

2r

u

n

n

n

Figura 4.3: Dispositivo per il miscelamento di correnti a diversa velocita.

contributi delle superfici di destra e di sinistra risulta

∫

S0

ρu · ndS = −U1S1 − U2S2 + US = 0, =⇒ U =U1S1 + U2S2

S, (4.44)

risultando S1 = πr21, S2 = π(r2 − r2

2) e S = πr2.Come secondo esempio consideriamo un campo bidimensionale di velocita e densita

tali che in un intervallo temporale compreso tra t1 = 1s e t2 = 2s e nell’intorno delpunto x = (1, 1/2) possano essere descritti dalle espressioni ρu = (ρux, ρuy) = (6xt2 +4t, 4y2t + 8xt + 12t2)Kg/(m2s); sapendo che nel punto x al tempo t1 = 1s la densita valeρ = 25Kg/m3 calcolare il valore della densita nello stesso punto al tempo t2 = 2s.

Poiche questa volta si tratta di determinare il valore locale di una quantita bisognerausare una relazione differenziale. Presa in particolare l’equazione (4.14) possiamo scrivere

∂ρ

∂t= −∇ · (ρu), con ∇ · (ρu) = 6t2 + 8yt, (4.45)

da cui si ottiene per integrazione tra i tempi t1 e t2

∫ t2

t1

∂ρ

∂tdt = −

∫ t2

t1(6t2 + 8yt)dt, =⇒ ρ(t2) = ρ(t1) − [2t3 + 4yt2]t2t1 = 1Kg/m3. (4.46)

Dagli esempi discussi possiamo riassumere dicendo che se in un problema siamo inter-essati a valori o variazioni puntuali di grandezze fluidodinamiche allora bisogna ricorrerealle relazioni differenziali che forniscono una soluzione estremamente dettagliata (funzionidello spazio e del tempo) a costo di una notevole complessita (piu spesso impossibilita)di soluzione del problema. Se al contrario, l’obiettivo dell’indagine e una grandezza glob-ale come un profilo medio di velocita o la risultante di forze allora le relazioni in formaintegrale sono piu utili in quanto permettono sotto opportune condizioni semplificative dideterminare le grandezze sul contorno del volume di controllo senza conoscere cio che ac-cade al suo interno. Per esempio nel precedente dispositivo di miscelazione, la zona subitoa valle dell’inflow, dove le due correnti vengono a contatto, sara una regione caratteriz-zata da intense fluttuazioni e disomogeneita del flusso (figura 4.4), per analizzare le qualibisogna senz’altro ricorrere a relazioni di tipo differenziale. Se tuttavia si e interessatisolo a quello che accade nella sezione di uscita del dispositivo allora si puo trascurare la

4.6. ∗ IL TENSORE DEGLI SFORZI 87

mixing zone

Figura 4.4: Esempio di flusso all’interno del dispositivo di miscelamento. La linea spezzatatratteggiata e un esempio di volume di controllo inappropriato.

dinamica del flusso al suo interno e considerare il miscelatore come una scatola nera nellaquale entra un flusso con certe caratteristiche ed esce con altre caratteristiche.

La figura 4.4 ci da anche lo spunto per discutere la scelta del volume di controllo perla soluzione di un problema. Da un punto di vista teorico, infatti non esistono volumidi controllo sbagliati visto che le relazioni utilizzate sono valide per qualunque V0. Lasoluzione dell’esempio precedente, tuttavia ha mostrato che l’uso delle relazioni in formaintegrale implica la valutazione di integrali di superficie e la scelta della superficie S0 puorisultare determinante per l’effettiva possibilita di valutare i suddetti integrali. Se peresempio invece del primo volume di controllo si fosse scelto quello indicato con la lineatratteggiata in figura 4.4, la valutazione del flusso di massa lungo S0 avrebbe richiesto deidati non disponibili dal problema.

Vogliamo infine notare che tutte le equazioni in forma integrale, risultano realmentesemplici da risolvere solo quando si riducono alla valutazione di integrali di superficiein quanto in caso contrario, il calcolo degli integrali di volume richiede ugualmente laconoscenza delle quantita all’interno del volume di controllo. Cio e particolarmente veroper il termine non stazionario d/dt

∫

V0ρbdV per la valutazione del quale occore conoscere

la distribuzione della grandezza intensiva b nel volume V0. Nelle applicazioni pratiche,purtroppo, il flusso non e quasi mai stazionario e cio sembrerebbe diminuire fortementel’utilita delle relazioni integrali.

Possiamo comunque osservare che se un flusso ha delle fluttuazioni a media nulla, ossiase le grandezze fluidodinamiche oscillano nel tempo intorno ad un valore medio che ri-mane costante, allora il flusso si considera statisticamente stazionario e si puo nuovamentetornare ad usare le relazioni integrali per flussi stazionari.

4.6 ∗ il tensore degli sforzi

Quando sono state derivate le equazioni di bilancio della quantita di moto e di conser-vazione dell’energia e stato introdotto il tensore delle forze di superficie T senza specificarecome esso sia legato allo stato di moto nell’intorno di un punto; in questa sezione verradata la forma esplicita di T e verranno discusse le ipotesi fisiche che determinano la re-lazione tra sforzi viscosi e campo di velocita. Come primo punto bisogna giustificare perT la forma di tensore ed a tale scopo consideriamo le due situazioni disegnate in figura4.5.


Nella prima (figura 4.5a) vogliamo determinare le caratteristiche delle azioni di super-ficie relativamente ad un contorno piano la cui normale abbia una sola direzione. Possi-amo osservare che in questa particolare situazione una forza F applicata alla superficieS generera tre sforzi che possiamo definire come sx = Fx/S, sy = Fy/S ed sz = Fz/S.Proseguiamo l’analisi di s osservando che e definito come le azioni di superficie che il fluidoesternamente al sistema esercita sul sistema stesso, la distinzione tra esterno ed internoe fornita dalla normale il cui verso positivo e quello uscente. Per il terzo principio delladinamica si ha che l’azione di superficie esercitata dal sistema sull’esterno sara punto perpunto uguale ed opposta dovra quindi risultare s(−n) = −s(n), ossia s e una funzionedispari di n.

Nell’esempio precedente abbiamo visto come si comportano gli sforzi s su una superficiecon normale n essendo assegnata una forza F; ricordiamo ora che il nostro scopo e invecequello di caratterizzare le azioni di superficie (T) per un elemento fluido generico inmodo da poter determinare s conoscendo T ed n. Cominciamo con l’osservare che unasuperficie avra un orientamento generico determinato dalla sua normale n = (nx, ny, nz)e su di essa agira un forza F = (Fx, Fy, Fz) da cui si evince che la determinazione delleazioni di superficie necessita di due informazioni di direzione. Questa osservazione ciporta ad immaginare T = T(F,n) che giustificherebbe per gli elementi di T un formaTij con i, j = x, y, z. Bisogna notare, tuttavia, che il fatto che gli elementi di T abbianodue indici non implica necessariamente che T sia un tensore, visto che per affermare ciobisogna verificare che cambiando sistema di riferimento T si trasformi seguendo le regoledei tensori.

x y

z

x y

zF

F F

Fz

x y

S

dS

n

a) b)Figura 4.5: Definizione del tensore degli sforzi.

Prendiamo ora un elemento di fluido a forma di tetraedro (figura 4.5b) e calcoliamonel’equilibrio sotto l’azione di forze di volume e di superficie; indicando con x, y ed z iversori degli assi si avra

s(n)dS + s(−x)dSx + s(−y)dSy + s(−z)dSz = ρdV (a − f). (4.47)

D’altra parte, per le proprieta geometriche del tetraedro possiamo scrivere dSx = dSx·n elo stesso per le altre superfici, da cui notando che il volume del tetraedro si puo esprimere

4.6. ∗ IL TENSORE DEGLI SFORZI 89

come dV = dSh/3, con h l’altezza del tetraedro relativa alla base dS abbiamo

s(n) − (s(x)x + s(y)y + s(z)z) · n =h

3(a − f). (4.48)

Se ora si fa tendere a zero il volume del tetraedro mantenendone invariata la forma, siha che le forze di volume tendono a zero piu rapidamente di quelle di superficie (effettoscala) e poiche il tetraedro si contrae in un punto si ottiene la relazione

s(n) = (s(x)x + s(y)y + s(z)z) · n (4.49)

che ci dice come calcolare lo stato di tensione in un punto di una superficie con normalen note le tensioni in altre tre direzioni ortogonali. Poiche la relazione (4.49) si puoscrivere per componenti nella forma s = Tn oppure per componenti si = Tijnj (risultandoTij = (si(x)xj+si(y)yj+si(z)zj)) possiamo effettivamante affermare che per caratterizzarele azioni di superficie in un punto e necessario un tensore, cosı come precedentementeipotizzato.

y

dx

dy

TT

T

TT

T

xx

xy

yyx y

n n

tt

Ox

Figura 4.6: Equilibrio alla rotazione per un elemento fluido sottoposto alle azioni disuperficie.

Avendo stabilito che le forze di superficie in un punto sono caratterizzate da un tensore(del secondo ordine) ne consegue che per ogni punto abbiamo bisogno di 9 informazioni(Tij, per i, j = x, y, z); ci chiediamo ora se le 9 componenti del tensore sono tutte inipen-denti o se c’e un legame tra loro che permetta di diminuire il numero delle incognite.Consideriamo la figura 4.6 e calcoliamo l’equilibrio alla rotazione intorno all’origine degliassi per l’elemento fluido 3. Indicando con dz la dimensione dell’elemento nella direzione

3In realta nell’equilibrio alla rotazione dell’elemento fluido andrebbero considerate anche le foze divolume, tuttavia se i momenti delle forze di superficie sono infinitesimi di ordine dl3 quello delle forze divolume sono di ordine dl4 e quindi contraendo il prisma lasciandone invariata la forma i momenti delleforze di volume tendono a zero piu rapidamente di quelli relativi alle forze di superficie. Questo e di nuovol’effetto scala che rende trascurabili le prime forze rispetto alle seconde per elementi fluidi infinitesimi.


ortogonale al foglio si ha

Tyxdydzdx

2− Txydxdz

dy

2= 0, =⇒ Txy = Tyx, (4.50)

da cui si vede che il tensore degli sforzi e simmetrico e quindi le sue componenti indipen-denti sono solo 6.

4.7 ∗ relazioni costitutive

Dopo aver determinato la forma tensoriale di T vogliamo ora metterlo in relazione con lostato di moto nell’intorno di un punto.

Notiamo subito che nel caso di fluido fermo, le azioni viscose saranno identicamentenulle e l’unica forza di superficie sara la pressione, risultando identicamente T = −pI,essendo I la matrice identita. In generale tuttavia il fluido sara in movimento ed il tensoredegli sforzi avra anche i termini deviatorici risultando cosı

T = −pI + τττ . (4.51)

Vogliamo ora determinare come il tensore τττ dipende dal campo di velocita, o meglio,dalla deviazione della velocita rispetto ad una corrente uniforme visto che in questo casogli sforzi viscosi sono nulli. A tale scopo facciamo due ipotesi giustificate dall’evidenzasperimentale: (ı) τττ dipende solo dalla distribuzione istantanea del campo di velocita ossiala storia di u non influenza il valore di τττ , (ıı) il fluido in esame e isotropo, ossia τττ eindipendente dall’orientamento dell’elemento di fluido 4. Nelle suddette ipotesi, la formapiu generale che puo assumere τττ e (scritta per componenti):

τij = Aijkl∂uk

∂xl

+ O[(∇u)2]. (4.52)

Aggiungiamo l’ulteriore ipotesi che ∇u sia ‘piccolo’ abbastanza da poter trascurare itermini O[(∇u)2] e superiori cosı da poter scrivere

τij = Aijkl∂uk

∂xl

. (4.53)

Notiamo che τττ , e quindi Aijkl, non possono dipendere esplicitamente da u per l’invarianzaGalileiana e nemmeno da derivate temporali di u in quanto siamo nell’ipotesi di fluidisenza effetto memoria. Aijkl puo dipendere dallo stato del fluido (per esempio dalla tem-peratura) e persino dagli invarianti del tensore ∇u (ma non dal tensore stesso). Notiamoinfine che, essendo τττ simmetrico in i e j, tale deve risultare anche il tensore A da cui neconsegue che la forma piu generale che puo assumere e

Aijkl = aδijδkl + bδikδjl + cδilδjk, (4.54)

4Queste ipotesi sono valide per la quasi generalita fluidi ma non sono applicabili ad alcuni materialidi straordinaria importanza pratica. Esistono infatti fluidi che presentano fenomeni di isteresi e quindiτττ dipende anche dalla storia del moto. Ci sono inoltre fluidi anisotropi in cui il valore di τττ dipendedall’orientamento della particella fluida. Il sangue, le vernici e le soluzioni polimeriche sono solo alcuniesempi tra molti.

4.8. EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES 91

essendo δij il delta di Kronecker. Osservando che questa espressione, oltre che in i e j,risulta simmetrica anche in k ed l, ne segue b = c. Se ora decomponiamo ∇u nella suaparte simmetrica ed antisimmetrica (∇u|i,j = Eij + Ωij), scopriamo che quando vienemoltiplicato per A sopravvive solo la parte simmetrica in quanto anche A e simmetrico.Come ultimo passo ricordiamo che τττ e solo la componente deviatorica di T deve quindirisultare identicamente τii ≡ 0 da cui ne consegue

τij = aδijEkk + 2bEij. (4.55)

Avevamo comunque detto che deve valere τii ≡ 0 e se nella (4.55) si pone i = j si ottiene

3a∇ · u + 2b∇ · u = 0, =⇒ a = −2

3b, (4.56)

per cui si e passati da un tensore Aijkl del quarto ordine con 81 componenti incognite allasola incognita b.

Per collegare b alle proprieta del fluido si ricorre a prove sperimentali; se per esempioabbiamo un flusso con velocita solo nella direzione x che varia lungo la direzione y si hasperimentalmente τyx = µdux/dy essendo µ la viscosita del fluido, da cui si puo conget-turare b = µ. Con questa posizione il legame tra τττ e lo stato di moto nell’intorno di unpunto diventa

τττ = −2

3µ(∇ · u)I + 2µE (4.57)

che e la relazione costitutiva per fluidi Newtoniani.

Prima di concludere la trattazione delle relazioni costitutive si vuole chiarire un puntoche non dovrebbe essere sfuggito ad un lettore attento. Nel passare della relazione (4.51)alla (4.53) abbiamo detto di assumere che il gradiente di velocita ∇u risulti ‘piccolo’.Naturalmente in fisica piccolo o grande risulta del tutto privo di significato se non si dicerispetto a cosa. Per costruire quindi un termine di confronto riconsideriamo la naturamolecolare del fluido esposta all’inizio del testo e risaliamo al meccanismo microscopico cheproduce gli sforzi viscosi. Abbiamo visto che questi sforzi sono generati dalla diffusione diquantita di moto delle singole molecole attraverso delle collisioni tra molecole a differentevelocita. Considerata la velocita con cui si muovono le molecole e lo spazio percorso trauna collisione e la successiva (libero cammino medio) si ha che il tempo medio tra duecollisioni successive e, per i gas a pressione e temperatura ambiente O(10−10s). D’altraparte l’inverso del gradiente di velocita e dimensionalmente un tempo quindi richiedere che∇u sia piccolo significa richiedere che la scala temporale associata agli sforzi macroscopicisia molto grande rispetto ai tempi caratteristici microscopici. Nei liquidi i fenomeno sonocomplicati dalla presenza di legami labili tra le molecole, appare comunque ragionevoleassumere che qualunque fenomeno microscopico sia incomparabilmente piu rapido rispettoalle variazioni macroscopiche e quindi l’assunzione in (4.53) risulta giustificata.

4.8 equazioni di Navier–Stokes

Dopo aver determinato la relazione tra il tensore degli sforzi viscosi e lo stato di mo-to nell’intorno di un punto e finalmente possibile chiudere l’equazione di bilancio dellaquantita di moto che, nella forma data dalla (4.24), aveva una dipendenza da τττ rimasto


incognito. Se ora sostituiamo la relazione costitutiva (4.57) precedentemente trovata nella(4.24) otteniamo

ρDu

Dt= −∇p + ρf − 2

3∇ · [(µ∇ · u)]I + 2∇ · (µE), (4.58)

che e chiamata equazione di Navier–Stokes. Nel caso in cui si possa assumere che laviscosita del fluido non e funzione della posizione allora si puo scrivere

∇ · (µ∇ · u)I = µ∇(∇ · u), 2∇ · (µE) = µ∇2u + µ∇(∇ · u), (4.59)

che risostituiti nella (4.58) danno

ρDu

Dt= −∇p + ρf +

µ

3∇(∇ · u) + µ∇2u, (4.60)

che e l’equazione di Navier–Stokes per flussi a viscosita costante nello spazio.Se infine si aggiunge l’ulteriore ipotesi che il flusso sia incomprimibile, per cui l’e-

quazione di conservazione della massa diventa ∇ · u = 0, allora l’equazione di Navier–Stokes si scrive

ρDu

Dt= −∇p + ρf + µ∇2u. (4.61)

Vedremo ora come il numero di equazioni da utilizzare per la soluzione di un problemafluidodinamico dipenda dalla natura del flusso. Infatti se un flusso e incomprimibile la suadensita sara costante e quindi non entra tra le incognite del problema. Questo implica chele incognite sono solamente la velocita (3 componenti scalari) e la pressione (1 scalare)che ha il solo ruolo cinematico di assicurare l’incomprimibilita del flusso. In questo casoabbiamo 4 incognite e dobbiamo quindi utilizzare 4 equazioni che si ottegono dalla (4.61)(1 equazione vettoriale =⇒ 3 equazioni scalari) e dalla conservazione della massa ∇·u = 0(1 equazione scalare). Nella soluzione dei flussi incomprimibili, quindi, non e necessarioutilizzare la conservazione dell’energia in quanto la conservazione della massa ed il bilanciodella quantita di moto costituiscono un sistema chiuso in cui il numero di equazioni e parial numero delle incognite.

Al contrario nel caso di flussi comprimibili, la densita e una variabile del problema equindi bisogna usare anche l’equazione di conservazione dell’energia (1 equazione scalare).Questa equazione tuttavia introduce come ulteriore incognita la temperatura e quindirichiede l’uso di un’altra relazione per chiudere il problema. Questa relazione e costituitadall’equazione di stato del fluido considerato che, mettendo in relazione densita pressionee temperatura senza introdurre incognite aggiuntive, pareggia il bilancio tra incognite edequazioni.

4.9 ∗ varie forme dell’equazione dell’energia

L’equazione di conservazione dell’energia si presta a varie interpretazioni fisiche che per-mettono di distinguere l’origine ed il bilancio dei vari termini sorgente. Come primopunto ricordiamo che E e la densita di energia totale di una particella fluida che avra unaparte cinetica u2/2 ed una parte di energia interna e. D’altra parte, l’equazione di bilan-cio per la sola componente cinetica dell’energia si puo ottenere facilmente moltiplicandoscalarmente per u l’equazione di bilancio della quantita di moto (4.24) da cui si ricava

ρD

Dt

(

u2

2

)

= −u · ∇p + u · ∇ · τττ + ρf · u. (4.62)

4.9. ∗ VARIE FORME DELL’EQUAZIONE DELL’ENERGIA 93

Se questa equazione viene sottratta alla (4.37), con la posizione E = u2/2 + e, si ottienel’equazione di bilancio dell’energia interna

ρDe

Dt= −p∇ · u + τττ · E + ∇ · (λ∇T ) + ρq (4.63)

in cui i termini sorgente hanno sia natura termodinamica che meccanica. In particolareil termine ρq tiene in conto la variazione di energia interna a causa di produzione dicalore interna alla particella fluida mentre ∇ · (λ∇T ) e il contributo dovuto al calore cheentra nella particella dall’esterno. −p∇ · u e invece un termine meccanico e rappresental’energia interna immagazzinata dal sistema sotto forma di lavoro di pressione. Il temineτττ · E e infine la parte di energia meccanica trasformata in calore a causa degli sforziviscosi. Questo termine deriva da τττ · ∇u che e la contrazione di due tensori (anche dettodoppio prodotto scalare); ricordando pero che τττ e simmetrico e che ∇u si puo decomporein parte simmetrica ed antisimmetrica ne consegue che nel prodotto sopravvive solo laparte simmetrica di ∇u da cui il termine τττ ·E. Sostituendo a τττ ed E le loro espressioni infunzione del gradiente di velocita si puo dimostrare che il temine τττ ·E e definito positivoed e omogeneo di grado 1 in µ potendo cosı scrivere τττ · E = µφ. Il fatto che questotermine sia sempre positivo ci dice che la trasformazione di energia meccanica in caloreda parte dei termini viscosi puo andare in un solo verso e non si puo mai verificare ilcontrario. Questa osservazione introduce la questione della reversibilita dei vari processidi trasformazione dell’energia da una forma all’altra.

Per comprendere meglio questo punto, ricordiamo alcune definizioni della termodi-namica

de = δQ − pd

(

1

ρ

)

, dS =δQ

T=⇒ TdS = de + pd

(

1

ρ

)

(4.64)

essendo S l’entropia e Q il calore entrante nel sistema 5.Dall’ultima delle (4.64) si ottiene

ρDe

Dt= ρT

DS

Dt+

ρp

ρ2

Dρ

Dt= ρT

DS

Dt− p∇ · u, (4.65)

avendo notato che per la conservazione della massa risulta Dρ/Dt + ρ∇ · u ≡ 0.Sostituendo l’uguaglianza di sopra nella (4.63) si arriva quindi all’equazione di bilancio

dell’entropia

ρTDS

Dt= µφ + ∇ · (λ∇T ) + ρq, (4.66)

in cui non compare piu il termine −p∇ · u che e quindi di tipo reversibile.Nel caso particolare in cui il flusso abbia gli effetti viscosi, la conducibilita termica e

la produzione interna di calore trascurabili, allora l’equazione (4.66) si riduce a

DS

Dt= 0, (4.67)

che, ricordando il significato della derivata materiale, afferma la costanza dell’entropiadi una particella fluida durante la sua evoluzione. Se infine il flusso e anche stazionariola (4.67) diventa u · ∇S = 0 che e equivalente ad affermare che le variazioni di entropiaavvengono solo in direzione ortogonale alle linee di corrente, oppure l’entropia lungo unalinea di corrente rimane costante.

5In queste definizioni si e usata la convenzione di indicare con d i differenziali esatti e con δ le semplicivariazioni infinitesime. Per esempio dS e un differenziale esatto mentre δQ e una variazione infinitesimae sussistendo la dS = δQ/T si ha che 1/T e il fattore integrante.

Capitolo 5

Equazione di Bernoulli

In questo capitolo verranno integrate alcune relazioni esposte precedentemente che as-sumeranno una forma particolarmente semplice, sia per le applicazioni, che per l’interpre-tazione fisica.

5.1 seconda legge della dinamica per un fluido ideale

In questa sezione si considera il moto di una particella fluida in un flusso non viscoso estazionario nel caso in cui sia soggetta alle sole forze di pressione e di gravita. Si vuoleanalizzare, in particolare, la forma che assume la seconda legge della dinamica in talecontesto in quanto puo essere posta in una forma particolarmente semplice ed utile per leapplicazioni fluidodinamiche.

Si assuma, per semplicita, che il campo di moto sia anche bidimensionale e che unalinea di corrente sia come quella in figura 5.1, se s e la coordinata che corre lungo lalinea di corrente ed R(s) il raggio di curvatura locale, la generica particella fluida che altempo t = t si trova nel punto s = s con velocita U(s) avra le componenti di accelerazionetangenziale e normale alla linea di corrente

as =dU

dt=

∂U

∂s

ds

dt= U

∂U

∂s|s=s e an =

U2

R|s=s , (5.1)

dove la prima espressione si ottiene semplicemente dalla regola di derivazione di unafunzione composta mentre la seconda e l’espressione dell’accelerazione centrifuga.

Si consideri ora una particella fluida di dimensioni ds e dn, rispettivamente, nelledirezioni tangenti e normali alla linea di corrente nel punto s = s, e calcolino le risultantidelle forze Fs ed Fn nelle due direzioni.

Detta p le pressione nel baricentro della particella, nella direzione s agiranno le forzedi pressione

Fsp = [ps1−ps2]dn =

[(

p − ∂p

∂s|s=s

ds

2

)

−(

p +∂p

∂s|s=s

ds

2

)]

dn = −∂p

∂s|s=s dsdn (5.2)

e, procedendo analogamente per la direzione normale, si ottiene

Fnp = −∂p

∂n|s=s dsdn. (5.3)

95

96 CAPITOLO 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI

x

z

sR(s)

U(s)s=s

Figura 5.1: Disegno schematico di linee di corrente.

Oltre alle forze di pressione sulla particella fluida agisce la gravita che, formando unangolo π − θ con la normale alla linea di corrente, fornisce le due componenti di forzapeso:

Fsg = −ρg sin θ |s=s dsdn e Fng = −ρg cos θ |s=s dsdn, (5.4)

dove ρdsdn e la massa della particella. E posibile a questo punto scrivere la seconda leggedella dinamica F = ma per la particella fluida proiettandone le componenti nelle direzionitangenziale e normale alla linea stessa. Utilizzando le espressioni (5.1), (5.2) e (5.4) perle accelerazioni e le forze si ottiene

ρdsdnU∂U

∂s|s=s = −∂p

∂s|s=s dsdn − ρg sin |s=s θdsdn (5.5)

oppure∂

∂s

(

ρU2

2

)

|s=s +∂p

∂s|s=s + ρg

∂z

∂s|s=s , (5.6)

dove si e utilizzata l’ipotesi ρ = cost. e l’identita sin θ|s=s ≡ ∂z/∂s|s=s in cui cui z euna coordinata misurata su una asse con origine arbitraria ed orientato in verso oppostorispetto alla gravita.

L’espressione (5.6) puo essere integrata nella forma

∂

∂s

[

ρU2

2+ p + ρgz

]

s=s

= 0. (5.7)

che, quando si osservi che s e un punto qualunque sulla linea di corrente, implica che laquantita tra parentesi quadre deve essere costante lungo una linea di corrente,

ρU2

2+ p + ρgz = cost. lungo una linea di corrente (5.8)

che e una forma particolare dell’equazione di Bernoulli.Procedendo in modo analogo per la direzione normale si scrive

ρdsdnU2

R|s=s = −∂p

∂n|s=s dsdn − ρg cos θ |s=s dsdn (5.9)

5.2. ∗ EQUAZIONE DI BERNOULLI 97

s=s

p

p

p

pps1

s2

n1

n2

g

dn

ds

z

dndsθ θdz

dz

Figura 5.2: Forze sulla particella fluida.

che utilizzando le stesse ipotesi precedenti puo essere scritta come

∫

ρU2

Rdn + p + ρgz = cost. lungo la normale ad una linea di corrente (5.10)

La relazione sancisce che, nelle ipotesi in cui ci siamo posti, il budget energetico di unaparticella fluida rimane costante e durante il suo moto puo solo convertire, in modoreversibile, i vari contributi (cinetico, di pressione e potenziale) nell’una o nell’altra formasenza aumentare o diminuire l’energia totale. L’interpretazione fisica della relazione (5.9)e invece meno immediata ed e legata al cambio di direzione del moto di una particella incui la forza centrifuga deve essere bilanciata da una combinazione di gradiente normaledi pressione e forza peso. La sua forma integrata e data in (5.10) ed e comunque di minorinteresse applicativo rispetto alla (5.8).

5.2 ∗ equazione di Bernoulli

L’equazione di bilancio della quantita di moto (o, in modo equivalente, l’equazione diconservazione dell’energia) assume una forma particolarmente semplice ed utile nelle ap-plicazioni quando si facciano alcune ipotesi semplificative. E bene anticipare che questeipotesi potrebbero sembrare troppo restrittive, limitando fortemente l’applicabilita deirisultati ottenuti; si vedra al contrario che, con buona approssimazione, queste ipotesivengono verificate da molti problemi pratici riuscendo cosı a ricavare facilmente delleinformazioni sul comportamento del sistema.

Si consideri l’equazione di bilancio della quantita di moto nella forma (4.58) cheriportiamo di seguito

ρ∂u

∂t+ ρu · ∇u = −∇p + ρf − 2

3∇(µ∇ · u) + 2∇ · (µE), (5.11)

e riprendiamo la formula dell’accelerazione di Lagrange secondo cui possiamo scrivere

u · ∇u = ∇u2

2+ ωωω × u. (5.12)


Supponiamo inoltre che il vettore f contenga solo forze di massa conservative cosı chesi possa porre f = −∇G dove G e una funzione potenziale indipendente dal tempo 1.Indicando inoltre con F (µ) una funzione omogenea di grado 1 in µ contenente tutti itermini viscosi, possiamo porre l’equazione (5.11) nella forma

∇u2

2+ ∇G +

∇p

ρ= −∂u

∂t− ωωω × u +

F (µ)

ρ. (5.13)

Dall’espressione (5.13) possiamo notare che il primo e secondo termine del primo membrosono gia in forma di gradiente mentre il terzo termine non lo e. Se pero ipotizzassi-mo l’incomprimibilita del flusso potremmo scrivere ∇p/ρ = ∇(p/ρ) e potremmo porrel’equazione (5.13) nella forma

∇(

u2

2+ G +

p

ρ

)

= −∂u

∂t− ωωω × u +

F (µ)

ρ. (5.14)

L’ipotesi di incomprimibilita del flusso puo essere rilassata considerando una densitadipendente unicamente dalla pressione; in tali ipotesi, infatti e possibile porre ∇p/ρ =∇ ∫

dp/ρ. Per dimostrarlo basta osservare che se J(p) =∫

dp/ρ, presa una generica curvas deve risultare

dJ

ds=

∂J

∂p· dp

ds=

1

ρ

dp

ds. (5.15)

Se notiamo ora che dJ/ds e dp/ds sono rispettivamente ∇J · s e ∇p · s, ossia le proiezionidei gradienti lungo la direzione tangente ad s allora risultera in generale ∇J = ∇p/ρ chee la tesi 2.

Se la densita non e costante ma dipende unicamente dalla pressione il flusso si dicebarotropico e l’equazione (5.13) si puo porre nella forma

∇(

u2

2+ G +

∫ dp

ρ

)

= −∂u

∂t− ωωω × u +

F (µ)

ρ. (5.16)

Queste relazioni diventano di particolare utilita pratica quando le azioni viscose possonoconsiderarsi trascurabili (F (µ) = 0) ed il flusso stazionario (∂u/∂t = 0) 3. In tali ipotesi,infatti, il secondo membro delle (5.14) e (5.16) si riduce a −ωωω×u che si annulla in tre casi:ı) il flusso e irrotazionale (ωωω = 0), ıı) vorticita e velocita sono allineate (ωωω × u ≡ 0, flussidi Beltrami), ııı) le equazioni (5.14) e (5.16) vengono valutate lungo una linea di corrente.Quest’ultima condizione risulta piu evidente se si considera che il prodotto vettore ωωω × u

sara un vettore ortogonale sia a ωωω che a u e tale dovra risultare il vettore a primo membrodelle (5.14) e (5.16); se ci si muove lungo una linea di corrente questa dovra essere puntoper punto tangente alla velocita e quindi ortogonale al vettore ωωω × u da cui ne consegueche si puo scrivere

(

u2

2+ G +

p

ρ

)

= const., (5.17)

1L’indipendenza di G dal tempo non e un’ipotesi aggiuntiva ma e condizione necessaria per la conser-vativita del campo di forze. Infatti se cosı non fosse si potrebbe percorrere un circuito chiuso partendo edarrivando nello stesso punto in due istanti diversi ed ottenere due valori diversi del potenziale. In tal casoil lavoro delle forze descritte da G sarebbe dipendente dal percorso seguito e cio e contrario alle ipotesidi partenza.

2Maggiori ragguagli sul significato fisico di flusso barotropico verranno dati quando si parlera delladinamica della vorticita.

3In realta l’ipotesi di stazionarieta del flusso potrebbe essere rilassata introducendo il potenziale divelocita. Tuttavia l’espressione risultante ha scarsa utilita pratica a non viene qui considerata.


per un flusso incomprimibile, oppure l’equivalente derivata dalla (5.16) per un flussobarotropico. Questa relazione ci dice che se ci troviamo nei primi due casi precedente-mente elencati la quantita a primo membro della (5.17) deve rimanere costante in tuttoil flusso, nel terzo caso deve rimanere costante lungo una linea di corrente ossia, datala stazionarieta del flusso, per una particella fluida lungo il suo moto. Naturalmente lostesso ragionamento si potrebbe ripetere per un linea che risulta in ogni punto tangente alvettore ωωω; queste linee sono dette linee vorticose ed anche lungo questi percorsi la quantitain (5.17) rimane costante.

Risulta utile osservare che l’equazione (5.17) non afferma altro che la costanza dell’en-ergia di una particella fluida. Per esempio se nel potenziale c’e solo quello dovuto allagravita g risulta G = gh, essendo h la quota fissata rispetto ad un riferimento arbitrario;in questo caso l’equazione (5.17) afferma che l’energia di una particella fluida lungo lasua evoluzione non puo ne aumentare ne diminuire ma puo solo convertisi tra le formecinetica, potenziale e di pressione in modo tale che il budget totale rimanga costante.

ESEMPIO

Dal carrello in figura fuoriesce dell’acqua da un foro circolare di diametro d.Assumendo il deflusso perfetto e orizzontale e che, sia le variazioni di massadel sistema sia le variazioni di quota del livello siano inizialmente trascurabili,calcolare la legge oraria del carrello che parte da fermo.

h

U

θd

h = 6 m d = 10 cmθ = 15o

Massa del sistema m = 200 Kg.

Soluzione

Applicando l’equazione di Bernoulli tra il pelo libero del serbatoio e l’uscita delgetto si ha che il getto d’acqua fuoriesce con una velocita orizzontale U =

√2gh =

10.844 m/s. D’altra parte, applicando il bilancio di quantita di moto in formaintegrale al volume d’acqua contenuta nel carrello si ha che, se quest’ultimo simuove con una velocita V (t) parallela al piano inclinato, il getto produce unaspinta orizzontale pari a F = ρU(U − V (t) cos θ)πd2/4. Applicando quindi ilsecondo principio della dinamica nella direzione parallela al piano inclinato siottiene: F cos θ − mg sin θ = ma, e risolvendo questa equazione si determina lalegge oraria s(t). In particolare, ponendo s(t) = V (t) e s(t) = a, l’equazionediventa

s − As = B, A =πd2ρU cos2 θ

4m, B = g sin θ − πd2ρU2 cos θ

4m

la cui soluzione e

s(t) =B

A2

(

eAt − 1)

− Bt

A.


ESEMPIO

Il recipiente cilindrico in figura e pieno d’acqua fino all’orlo. Calcolare il temponecessario al suo svuotamento se effettuato con un tubo di diametro d con effettiviscosi trascurabili. Calcolare la situazione finale nel caso in cui ci siano perditeper attrito nel tubo e siano assimilabili ad una differenza di pressione costantepf .

R

h

h

d

1

h = 2 m h1 = 2 mR = 0.5 m d = 2 cm

pf = 23053 Pa

Soluzione

Indicando, con A e B gli estremi del tubo, rispettivamente, nel contenitore edall’esterno, si puo scrivere l’equazione di Bernoulli risultando UA = 0, pA = ρgh,

UB = 4Q/(πd2), pB = p0 ed hA−hB = h1 da cui UB =√

2g(h + h1) = 4Q/(πd2).Osserviamo ora che la quota del fluido nel recipiente varia nel tempo in quantoil livello diminuisce, detto quindi dV il volume infinitesimo di fluido che transitanel tubo in un tempo dt risulta

dV = Qdt =πd2

4UBdt =

πd2

4

√

2g(h + h1)dt = −πR2dh,

essendo dh la variazione di livello del liquido nel recipiente. Integrando gli ultimidue membri dell’uguaglianza precedente si ottiene il tempo di svuotamento delserbatoio T ,

∫ T

0dt =

(

R

d

)2 4√2g

∫ h

0

dh√h + h1

, =⇒ T =8√2g

(

R

d

)2

[√

h + h1−√

h1] = 661.24 s.

Nel caso in cui ci siano delle perdite per attrito, all’equilibrio si arrestera il flusso,per cui, dall’equazione di Bernoulli generalizzata, si avra l’equilibrio quando h =pf/(ρg) − h1 = 0.35 m.


ESEMPIO

Nel condotto in figura entra dell’acqua nella sezione S1 a velocita u1 ed escenell’ambiente attraverso la sezione S2. Sapendo che gli effetti viscosi sono nulli(trascurabili) calcolare le forze in x ed y necessarie a mantenere il condotto fermo.

SS

x

y

θ

12

u1

S1 = 0.12 m2 S2 = S1/3u1 = 7.2 m/s θ = 30o

Suggerimento: notare che le sezioniS1 ed S2 sono alla stessa quota.Trascurare la forza peso.

Soluzione

Dalla conservazione della massa trale sezioni 1 e 2 si ha ρu1S1 =ρu2S2 ⇒ u2 = 3u1 = 21.6 m/s. Es-sendo gli effetti viscosi trascurabili, trale sezion 1 e 2 si puo anche applicarel’equazione di Bernoulli: p1/ρ + u2

1/2 =p2/ρ + u2

2/2 ⇒ p1 = p0 + 4ρu21 =

308660 Pa (avendo tenuto conto dellaconservazione della massa, che i termi-ni gravitazionali non ci sono in quan-to le sezioni sono alla stessa quota, eche p2 = p0 = 101300 Pa perche il get-to e immesso in atmosfera libera). Ap-plicando ora l’equazione di bilancio del-la quantita di moto proiettata nelle di-rezioni x ed y si ottiene rispettivamente:Fx = ρu2

2S2 cos θ − [ρu21 + (p1 − p0)]S1 =

−14941.88 N e Fy = −ρu22S2 sin θ =

−9311.2 N. (Da notare che in questasoluzione non si e considerata la forzapeso. Considerando anche quest’ultimaverrebbe un risultato differente per laFy).

SS

x

y

θ

12

u2p

1

u1

p2

n n1 2


ESEMPIO

Da un ugello piano di larghezza D e profondita b (nella direzione ortogonale alfoglio) esce verticalmente un getto d’acqua ad una velocita U . Ad una distanzaH e posto un semicilindro di diametro d e profondita b che rimane in equilibriosospeso dalla spinta del getto. Calcolare il peso del guscio semicilindrico sapendoche il volume di fluido costantemente in transito nel semicilindro (volume delim-itato dalla linea tratteggiata in figura) e 1/4 del volume del semicilindro stesso.(Si trascurino le azioni viscose tra fluido e superficie del semicilindro).

H

d

U

D

D = 5 cm d = 50 cm U = 5 m/sH = 40 cm b = 25 cm

Soluzione

Dall’equazione di Bernoulli tra le sezioni 1 e2 si ha u2

1/2+p1/ρ+gh1 = u22/2+p2/ρ+gh2

ossia u2 =√

(U 2 − 2gH) (in quanto P1 e p2

sono entrambe uguali alla pressione atmos-ferica in quanto la vena fluida non e confina-ta). D’altra parte, dalla conservazione dellamassa tra le sezioni 1 e 2 si ottiene la re-lazione ρbDU = ρbd2u2 da cui si ricava lospessore della vena fluida nella sezione 2.Poiche le sezioni 2 e 3 sono alla stessa quo-ta ed alla stessa pressione, essendo le azioniviscose trascurabili, deve essere necessari-amente | u2 |=| u3 | (dall’equazione diBernoulli). Dalla conservazione della massa(essendo la densita costante) ne conseguirache anche le sezioni della vena fluida in 2 e 3devono essere uguali S2 = S3. Infine, appli-cando il bilancio della quantita di moto nelladirezione verticale al volume di fluido con-tenuto nel solido si avra: −ρu2

2S2 − ρu23S3 =

−ρgV + Fx, Fx = −454.7 N. Il peso delguscio sara quindi −Fx.

H

d

U

D1

3 32

5.3 ∗ teorema di Crocco

Sfruttando alcune definizioni della termodinamica e l’equazione dell’energia in termini dientropia introdotta nel precedente capitolo si puo porre l’equazione di Bernoulli in unaforma utile nei casi in cui si debbano calcolare le variazioni di temperatura in un flusso.

5.4. TUBO DI PITOT 103

Differenziando infatti la definizione di entalpia h = e + p/ρ ed utilizzando le relazioniintrodotte in (4.64) si ottiene

∇p

ρ= ∇h − T∇S. (5.18)

Questa uguaglianza, sostituita nella (5.13) con le ipotesi di flusso stazionario e non viscoso,da

∇(

u2

2+ G + h

)

= T∇S − ωωω × u, (5.19)

dove si noti che non e stata usata l’ipotesi di barotropicita del flusso.L’utilita dell’espressione (5.19) appare evidente qualora si ricordi che se alle presenti

ipotesi si aggiungono quelle di conducibilita termica trascurabile ed assenza di produzioneinterna di calore l’equazione dell’entropia diventava u · ∇S = 0. Poiche questo implicache il gradiente di entropia lungo una linea di corrente e nullo ma tale risulta anche laproiezione del vettore ωωω × u ne consegue che

u2

2+ G + h = const., (5.20)

lungo una linea di corrente. La relazione (5.19) puo anche essere interpretata con un’otticainvertita rispetto alla precedente, ossia in base alla (5.20) lungo una linea di corrente ilprimo membro della (5.19) deve essere nullo e quindi deve valere la

T∇S = ωωω × u, (5.21)

implicando che un flusso stazionario ed isentropico (ossia con S =const. lungo una linea dicorrente) avra l’entropia uniforme nello spazio (flusso omentropico) solo se risulta ωωω ≡ 0(flusso irrotazionale) o nel caso particolarissimo di ωωω parallela ovunque ad u (flusso diBeltrami). Questo risultato e particolarmente interessante quando si osservi che mette inrelazione la vorticita la cui definizione e puramente cinematica con l’entropia che e unagrandezza termodinamica.

5.4 tubo di Pitot

Un’applicazione importante dell’equazione di Bernoulli si ha nelle misure di velocita allequali si puo risalire da differenze di pressione. Si consideri infatti il dispositivo disegnato infigura 5.3 investito da una corrente uniforme a velocita U . Presi i punti 1 e 2 come in figurasi ha che in 1 la vena fluida viene arrestata (punto di ristagno) e, in base all’equazionedi Bernoulli, tutta la sua energia cinetica viene convertita in energia di pressione. Alcontrario, la vena fluida lambisce il punto 2 senza essere perturbata 4 mantenendo quindila stessa velocita e pressione del flusso all’infinito. La pressione misurata in 2 e dettapressione statica in quanto non contiene alcun contributo cinetico, la pressione misuratain 1 e invece chiamata pressione totale perche e comprensiva anche di tutto il contributocinetico ρU 2/2 che e detto pressione dinamica.

Applicando quindi l’equazione di Bernoulli tra i punti 1 e 2 si ha

U22

2+ gh2 +

p2

ρ=

U21

2+ gh1 +

p1

ρ, =⇒ U =

√

2(p1 − p2)

ρ, (5.22)

4In realta sono presenti fenomeni di strato limite di cui si parlera in seguito. Per i ragionamenti sullapressione, comunque, la vena fluida si comporta come se fosse effettivamente indisturbata.


12

p1p

2

U

Figura 5.3: Disegno schematico di un tubo di Pitot.

essendo U2 = U , U1 = 0 ed avendo trascurato la variazione di quota h1 − h2 in quantopiccola. Dalla relazione (5.22) si vede quindi che pur non conoscendo il valore assolutodi pressione e sufficiente misurare la differenza di pressione tra 1 e 2 per risalire al valoredella velocita U . La misura di pressione puo essere effettuata tramite un manometrodifferenziale applicato alle estremita dei due tubi concentrici disegnati in figura 5.3.

Questa tecnica di misura e particolarmente utile negli aerei sia perche non possono uti-lizzare sistemi simili a quelli delle automobili, sia perche per il sostentamento aerodinamicoe rilevante solo la velocita rispetto all’aria piuttosto che quella rispetto al suolo.

Il tubo di Pitot deve essere allineato perfettamente con la direzione della corrente perrendere effettivamente il punto 1 un punto di ristagno (U1 = 0) poiche in caso contrario simisura una velocita minore di quella reale. Per questo motivo le misure di velocita devonoessere effettuate ‘spazzando’ il settore angolare nell’intorno della direzione presunta diallineamento in modo da trovare la posizione nella quale si rileva la massima differenza dipressione. Uno svantaggio di questo strumento e che a causa dell’inerzia delle colonne difluido contenuto nei condotti concentrici puo misurare solo pressioni costanti o lentamentevariabili nel tempo.

5.5 tubo di Venturi

In figura 5.4 e riportato uno schema di un misuratore di portata detto tubo di Venturi il cuiprincipio di funzionamento e basato sull’equazione di Bernoulli. Notando infatti che tra lesezioni 1 e 2 e presente una piccola variazione di diametro si avra un’accelerazione del flussoin corrispondenza della sezione 2 per mantenere costante la portata Q = U1A1 = U2A2.Dall’equazione di Bernoulli segue che deve prodursi una differenza di pressione tra lesezioni 1 e 2 in modo da compensare la variazione di velocita ossia, in formule, si ottiene

U22

2+ gh2 +

p2

ρ=

U21

2+ gh1 +

p1

ρ, (5.23)

e dovendo essere U1A1 = U2A2

Q = U2A2 = A2

√

√

√

√

2(p1 − p2)

ρ[1 − (A2/A1)2](5.24)

5.5. TUBO DI VENTURI 105

che permette di misurare la portata nota la geometria del condotto e la differenza dipressione tra le sezioni 1 e 2.

A1 A2

h

U

Figura 5.4: Disegno schematico di un tubo di Venturi.

Se per esempio si misura la variazione di pressione con un tubo ad U, detta ρm ladensita del fluido manometrico ed h la differenza di quota tra i due menischi risultap1 − p2 = ρmgh da cui leggendo la quota h si risale alla portata.

Analogamente a quanto e stato visto per i manometri, anche per questo strumentosi puo variare la sensibilita cercando di rendere massima la differenza di pressione peruna data portata. Cio si puo ottenere facilmente agendo sulla strozzatura in 2 anchese considerazioni energetiche, suggeriscono di limitare a qualche percento la variazionedi sezione. Il motivo fisico di tale limitazione sara compreso con lo studio dei fenomenidi strato limite, in questa sede si accennera solo al fatto che nella sezione divergentedel condotto si possono verificare dei distacchi della vena fluida dalla parete laterale cheprovocano delle perdite di energia (figura 5.5).

Molti dispositivi di uso quotidiano utilizzano un tubo di Venturi anche se questo nonviene utilizzato per misure di portata ma per generare differenze di pressione all’internodi un condotto. Su questa differenza di pressione si basa per esempio il funzionamento del(ormai vecchio) carburatore a farfalla, dell’aerografo e dei vaporizzatori per profumi. Seinfatti in corrispondenza della sezione di gola si mette un condotto che pesca del liquido daun sebatoio questo viene aspirato nel condotto dove incontrando una corrente ad elevatavelocita viene nebulizzato (figura 5.6).


pρ

U2

2

total energy

x

E

a)

pρ

x

E

separated flow region

2

2U

total energy energy loss

b)

Figura 5.5: Andamento del flusso e di energia cinetica e di pressione in un tubo di Venturi:a) in assenza di separazione, b) con separazione del flusso.

ESEMPIO

Calcolare la portata in massa sapendo che nel condotto scorre del petrolio (ρo =800 Kg/m3 e che nel tubo ad U c’e acqua.

h

21

h = 4 cm A1 = 0.8 m2 A2 = 0.6 m2

Soluzione

Applicando la conservazione della massa tra le sezioni 1 e 2 ρV1S1 = ρV2S2

e l’equazione di Bernoulli (lungo la linea di corrente tracciata con una lineatratteggiata) p1 + ρu2

1/2 = p2 + ρu22/2 si ottiene:

u1 =

[

2(p2 − p1)

ρ[1 − (A21/A

22)]

]1

2

= 1.123 m/s, con p2 − p1 = ρH2Ogh.

Nota u1 si ricava la portata in massa M = ρu1A1 = 718.76 Kg/s.

5.5. TUBO DI VENTURI 107

Figura 5.6: Principio di funzionamento del vaporizzatore per profumi.

ESEMPIO

In una galleria del vento viene posto un tubo di Pitot. Se la velocita media dellacorrente e U , la densita del gas in galleria del vento e ρ e la differenza di quotanel tubo ad U tra i due menischi del fluido manometrico e h, determinare ladensita del fluido manometrico. Determinare, inoltre la portata in volume nellasezione della galleria supponendo che sia rettangolare con i lati l1 ed l2.

1l

h

U

U = 28 m/s ρ = 0.632 Kg/m3 h = 3.6 cml1 = 0.3 m l2 = 0.4 m

Soluzione

Per calcolare la differenza di pressione tra i due rami del tubo di Pitot, bas-ta ricordare che un ramo misura la pressione statica mentre l’altro, arrestandocompletamente la vena fluida, misura la pressione totale per cui dall’equazione diBernouilli si ottiene ∆p = p1−p2 = ρU 2/2 che combinata con la legge di Stevino∆p = ρmgh = ρU 2/2 fornisce ρm = 702.2 Kg/m3. Per la portata in volume si hainfine Q = UA = 3.36 m3/s.

Capitolo 6

∗ Dinamica della vorticita

6.1 equazione del trasporto della vorticita

Nei paragrafi precedenti abbiamo visto come la vorticita ωωω = ∇×u abbia un ruolo fonda-mentale nella determinazione delle caratteristiche cinematiche e dinamiche di un flusso.Per esempio dall’equazione di Bernoulli abbiamo visto che l’energia totale si mantienecostante in tutto il campo solo se risulta ωωω = 0 ovunque mentre in base al teorema diCrocco un flusso irrotazionale sara anche omentropico (aggiungendo anche altre ipotesi).

In base a questi esempi appare evidente che la comprensione della generazione, dinami-ca ed evoluzione della vorticita risulta fondamentale nello studio della fluidodinamica. Cioe ancora piu vero se si considera che, come si vedra successivamente, l’analisi di un flussoirrotazionale puo essere trattato con molte semplificazioni rispetto al caso generale.

Per derivare un’equazione di evoluzione della vorticita basta ricordare la sua definizionee fare quindi il rotore dell’equazione di bilancio della quantita di moto. Prima di pro-cedere con tale operazione, ricordiamo che il termine convettivo dall’accelerazione puoessere scritto utilizzando l’accelerazione di Lagrange e che il rotore di un gradiente eidenticamente nullo da cui

∇× (u · ∇u) = ∇×(

∇u2

2+ ωωω × u

)

= +∇× (ωωω × u). (6.1)

Utilizzando un’identita vettoriale si puo porre ulteriormente

∇× (ωωω × u) = u · ∇ωωω − ωωω · ∇u − u∇ · ωωω + ωωω∇ · u, (6.2)

in cui gli ultimi due termini sono nulli, il primo in quanto la divergenza di un rotore eidenticamente nulla, il secondo perche ipotizziamo per semplicita il flusso incomprimibile.

Se a questo punto si applica il rotore all’equazione (4.61) si ottiene

∇× ∂u

∂t+ ∇× (u × ωωω) = −∇× ∇p

ρ+ ∇× f + ν∇× (∇2u), (6.3)

essendo ν = µ/ρ la viscosita cinematica supposta costante. Sfruttando le proprietacommutative dei vari operatori e le relazioni appena derivate si puo scrivere

∂ωωω

∂t+ u · ∇ωωω = ν∇2ωωω + ∇× f +

∇ρ ×∇p

ρ2+ ωωω · ∇u (6.4)

109

110 CAPITOLO 6. ∗ DINAMICA DELLA VORTICITA

che e l’equazione del trasporto della vorticita. I termini a primo membro della (6.4) sonoquelli della derivata materiale di ωωω e quantificano la sua variazione per una particellafluida, misurata da un osservatore che si muove con la particella stessa. I termini asecondo membro sono invece le cause della variazione ed il primo termine rappresenta ladiffusione, analogamente all’equazione della quantita di moto 1.

Il secondo termine rappresenta la generazione di vorticita prodotta dalle forze di mas-sa; osserviamo comunque che se queste forze sono conservative e possono essere quindiespresse da un gradiente f = −∇G allora risulta ∇ × ∇G ≡ 0, ossia le forze conser-vative non contribuiscono in alcun modo alla generazione della vorticita. Un caso checapita frequentemente e costituito dalla forza peso che, essendo conservativa, non generavorticita.

Il terzo temine, detto termine baroclino, produce la vorticita nel caso in cui il gradientedi densita non sia allineato con quello di pressione. Nel caso in cui ρ =const., il gradientedi densita e nullo ovunque ed il termine baroclino non e presente. Una possibilita piugenerale e invece quella di flusso barotropico in cui la densita non e costante ma risultaρ = ρ(p). Abbiamo infatti visto in §5.2 che in tale caso il gradiente di ρ e collineare conquello di p ed il termine baroclino risulta identicamente nullo.

<<

∆

ρ

ρ ρ1 2<

ωρ

2

ρ1

p∆

a) b) c)Figura 6.1: Schema di generazione di vorticita baroclina per differenza di densita.

Nelle figure 6.1 e 6.2 sono riportati due esempi di generazione di vorticita prodotta daltermine baroclino. Nel primo caso si hanno fluidi a differente densita (per esempio acquaed olio) tenuti separati verticalmente da un setto. In questa configurazione il gradientedi pressione e verticale (pressione idrostatica) mentre quello di densita e orizzontale elocalizzato all’interfaccia tra i due fluidi. Nell’istante in cui il setto viene tolto il fluidopiu pesante tendera a scivolare verso il basso prendendo il posto del fluido piu leggeroche si disporra negli strati superiori; cio induce una rotazione nell’intero sistema cheproduce appunto la vorticita nella direzione ortogonale al foglio. Se il sistema non avesseperdite viscose il fluido oscillerebbe indefinitamente convertendo in ogni periodo energiapotenziale in cinetica e viceversa. Al contrario per ogni oscillazione parte dell’energiaviene convertita in modo irreversibile in calore e per tempi lunghi il sistema assume laconfigurazione stabile mostrata in figura 6.1c.

1Il termine viscoso e anche un termine sorgente per la vorticita nel caso in cui siano presenti delle paretidove il fluido deve soddisfare la condizione di aderenza. Questo punto sara visto in maggior dettaglionell’analisi dei fenomeni di strato limite.

6.1. EQUAZIONE DEL TRASPORTO DELLA VORTICITA 111

1T

>

<

ω

T2

Figura 6.2: Schema di generazione di vorticita baroclina per differenza di densita indottada variazioni di temperatura.

Un secondo esempio di generazione baroclina di vorticita e quello dei termosifoni.L’aria a contatto con il termosifone, infatti, aumenta di temperatura e per dilatazionetermica diventa piu leggera e sale. Dell’aria fredda viene quindi aspirata dal basso eportata a contatto con il radiatore che di nuovo la scalda e cosı via. Riferendoci allo schemadi figura 6.2 si nota che in questo modo viene generata una circolazione a grande scala checontiene della vorticita nella direzione ortogonale al foglio, come indicato dall’equazione(6.4).

Abbiamo detto in precedenza che per non avere produzione baroclina di vorticita none necessario avere una distribuzione di densita costante ma e sufficiente che il flusso siabarotropico ossia ρ = ρ(p). Il fatto che la densita debba essere funzione solo della pressionesi puo comprendere fisicamente con il seguente esempio: consideriamo una particellasferica di fluido con densita non costante e concentriamoci solo sulle forze di massa equelle di pressione. Dalla seconda legge della dinamica possiamo scrivere

a = −1

ρ∇p. (6.5)

Il vettore accelerazione a e applicato nel baricentro della sfera la cui posizione dipendedalla distribuzione di densita all’interno della stessa. Al contrario, la risultante delle forzedi pressione sara applicata al centro della sfera in quanto risultante di vettori normalialla superficie ed e indipendente dalla distribuzione delle masse nella sfera. D’altra partel’equazione (6.5) ci dice solamente che le due forze sono uguali e che la loro risultante enulla ma cio non preclude la possibilita che venga generato un momento sulla particellastessa. Questa coppia in generale esiste e provoca la rotazione della particella fluida, inaltre parole genera la vorticita, a meno che ∇ρ e ∇p non siano allineati (flusso barotrop-ico). In questo caso, infatti anche se i vettori sono applicati in punti differenti essi hannola stessa retta d’applicazione ed il loro momento e nullo. Questo e il caso dell’atmosfera(calma) in cui la densita aumenta con il diminuire della quota ed il suo gradiente e quindiallineato con il gradiente della pressione idrostatica.

L’ultimo termine a secondo membro dell’equazione (6.4) che ci rimane da analizzare eωωω · ∇u; prima di considerare il suo significato, comunque, vogliamo riassumere i risultati


OG

∆

pρ1

a

∆

p

∆

ρ

O

G

a

p

∆1ρ p

∆ρ∆

a) b)

Figura 6.3: Coppia baroclina su una particella fluida: a) flusso non barotropico, b) flussobarotropico.

finora trovati. Abbiamo descritto il significato fisico dei termini sorgente di vorticita nella(6.4) trovando dei casi in cui questi termini sono nulli; in particolare se il flusso e nonviscoso (ν = 0), le forze di massa sono conservative e il flusso e a densita costante oppurebarotropico allora i tre termini precedentemente descritti si annullano e l’equazione (6.4)si scrive

∂ωωω

∂t+ u · ∇ωωω = ωωω · ∇u. (6.6)

Una prima importante considerazione e che tutti questi termini sono omogenei nella vor-ticita se quindi inizialmente risulta ωωω = 0 si otterra ∂ωωω/∂t = 0 ed il flusso rimarrairrotazionale indefinitamente.

Una seconda considerazione riguarda il termine ωωω ·∇u che, indipendentemente dal suosignificato fisico, risulta identicamente nullo in due dimensioni. Cio si verifica in quanto lavorticita e un vettore ortogonale al piano mentre la velocita deve necessariamente esserecontenuta nel piano. L’equazione (6.6) implica quindi che per un flusso bidimensionalecon viscosita trascurabile forze di massa conservative e flusso barotropico la vorticitaobbedisce a

∂ωωω

∂t+ u · ∇ωωω =

Dωωω

Dt= 0 (6.7)

ossia la vorticita di una particella fluida rimane invariata durante il suo moto.Nel caso piu generale di flusso tridimensionale il termine ωωω · ∇u non e invece nullo

ed ha un ruolo fondamentale nella dinamica della vorticita. Per capirne meglio il suosignificato, scriviamone una componente in un sistema di assi cartesiani ed analizziamo ivari termini:

(ωωω · ∇u) · x = ωx∂ux

∂x+ ωy

∂ux

∂y+ ωz

∂ux

∂z. (6.8)

Il primo termine agisce quando c’e un gradiente di velocita nella stessa direzione dellavorticita ed avra quindi un’azione di stiramento (vortex stretching). Riferendoci alla figu-ra 6.4 vediamo che se un tubo fluido viene allungato, per la conservazione del momentoangolare la sua velocita di rotazione deve aumentare e di conseguenza la vorticita. Questomeccanismo e quindi di autoamplificazione a causa dei gradienti di velocita e senza ne-cessita di sorgenti esterne. Gli altri termini tendono invece a ruotare parte della vorticita

6.2. TEOREMA DI KELVIN 113

preesistente da una componente all’altra a causa di gradienti trasversali di velocita (vortextilting). Sempre riferendoci alla figura 6.4 vediamo infatti che in presenza di un gradientedi ux nella direzione y una struttura contenente unizialmente solo ωy dopo un certo tempocambia direzione convertendo parte della sua ωy in ωx.

x

y

< <

x

y

<

<

δuxδ x

x

y

<

<

x

y

ux

ωx ωx

< <u x

δuxδ y

ωy

ω

ω

ωy

x

a)

b)

Figura 6.4: Schema del meccanismo di azione del termine di vortex streching: a) vortexstretching, b) vortex tilting.

6.2 teorema di Kelvin

Avendo mostrato l’equazione di trasporto della vorticita ed il significato fisico dei suoi ter-mini, sara ora semplice dimostrare alcuni teoremi sui vortici 2 e comprenderne la rilevanzafluidodinamica.

Iniziamo con il definire l’intensita di un vortice ,Γ, come la circuitazione del suo campodi velocita lungo un percorso chiuso contenente interamente il vortice oppure (in base alteorema di Stokes) come il flusso di vorticita attraverso la superficie racchiusa (figura 6.5):

Γ =∫

∂Su · dl =

∫

Sωωω · ndS (6.9)

la quantita Γ e detta circolazione.

Se ora immaginiamo di tracciare una linea chiusa nel fluido come in figura 6.5 e diidentificare tutte le particelle attraversate si possono seguire nel tempo le singole particellee quindi l’evoluzione temporale della linea (detta linea materiale). Il teorema di Kelvindice che in un fluido barotropico, con forze viscose trascurabili e soggetto a forze di massa

2Il termine vortice e un concetto che ognuno di noi possiede a livello piu o meno intuitivo. Per i nostriscopi e sufficiente definire un vortice come una regione compatta a vorticita non nulla e con delle lineedi corrente chiuse (in un riferimento solidale al vortice stesso). Questa definizione, cosı come tutte quellefinora proposte in letteratura, puo tuttavia essere invalidata con dei controesempi.


x

z

n

dl

ωy

Figura 6.5: Calcolo della circolazione di una regione vorticosa (indicata in rosso).

conservative, la circolazione calcolata lungo una linea materiale chiusa e costante neltempo

dΓ

dt= 0. (6.10)

dl’= − u t∆ +dl +u’ t∆

dldl’

u’ t

∆

∆

u t

Figura 6.6: Calcolo della derivata materiale per una linea materiale.

Dalle definizioni si ha infatti:dΓ

dt=

d

dt

∫

∂Su · dl =

∫

∂S

Du

Dt· dl +

∫

∂Su · Ddl

Dt; (6.11)

e nelle presenti ipotesi dall’equazione di bilancio della quantita di moto si ha (ponendo Gil potenziale delle forze di massa conservative)

∫

∂S

Du

Dt· dl = −

∫

∂S

(

∇∫ dp

ρ+ ∇G

)

· dl ≡ 0, (6.12)

in quanto si tratta di differenziali esatti integrati su un circuito chiuso. Per il secondointegrale si ha invece considerando il circuito materiale in figura 6.6

Ddl

Dt= lim

∆t−→0

dl′ − dl

∆t= lim

∆t−→0

(u′ − u)∆t + dl − dl

∆t= du, (6.13)

6.3. TEOREMI DI HELMHOLTZ 115

da cui si ottiene per il secondo integrale

∫

∂Su · Ddl

Dt=∫

∂Su · du =

∫

∂S

du2

2≡ 0, (6.14)

di nuovo in quanto differenziale esatto integrato su un circuito chiuso. I risultati delle(6.13) e (6.14) dimostrano la tesi ((6.10).

6.3 teoremi di Helmholtz

Come conseguenza del teorema di Kelvin appena dimostrato si hanno tre teoremi che siapplicano a delle strutture vorticose che ora definiamo. In analogia con le linee di correntesi possono introdurre le linee vorticose come quelle linee che in ogni punto sono tangential vettore vorticita. Preso allora un circuito chiuso C consideriamo le linee vorticoseattraversate da C che costituiranno una superficie detta superficie vorticosa mentre ilvolume di fluido all’interno e definito tubo vorticoso (figura 6.7).

C

ωωω

S

ωω

Figura 6.7: Definizione di tubo vorticoso.

I teorema di Helmholtz: nelle stesse ipotesi del teorema di Kelvin (flusso nonviscoso, barotropico e forze di massa conservative) la circolazione in un tubo vorticoso simantiene costante lungo il tubo stesso.

Per dimostrare tale affermazione osserviamo che la divergenza della vorticita e identi-camente nulla (in quanto ωωω = ∇× u) e applicando quindi il teorema della divergenza alvolume delimitato dal tubo vorticoso come in figura 6.8 si ottiene

0 ≡∫

V∇ · ωωωdV =

∫

Sωωω · ndS =

∫

S1

ωωω · ndS +∫

S2

ωωω · ndS +∫

Sl

ωωω · ndS. (6.15)

Osserviamo ora che risulta∫

S1ωωω · ndS = −Γ1,

∫

S2ωωω · ndS = Γ2 e

∫

Slωωω · ndS ≡ 0 in

quanto ωωω e n sono ortogonali sulla superficie laterale. Dall’equazione (6.15) ne conseguequindi Γ1 = Γ2 ma data l’arbitrarieta delle sezioni 1 e 2 lo stesso ragionamento si puoripetere per qualunque altra sezione il che dimostra che la circolazione Γ si mantienecostante lungo il tubo vorticoso.

II teorema di Helmholtz: nelle stesse ipotesi precedenti le particelle fluide contenuteall’interno di un tubo vorticoso vi permangono indefinitamente o, in altre parole, un tubovorticoso e un tubo materiale.


Se prendiamo infatti la superficie laterale di un tubo vorticoso deve risultare identica-mente

∫

Slωωω · ndS ≡ 0; se per assurdo una particella interna al tubo vorticoso (e quindi

contenente della vorticita) attraversasse la superficie laterale verrebbe violata nell’istantedell’attraversamento tale relazione il che e impossibile.

III teorema di Helmholtz: l’intensita di un tubo vorticoso si mantiene costante neltempo.

Dal primo teorema di Helmholtz si ha infatti che la circolazione e costante lungo iltubo vorticoso ma cio non preclude che essa sia una funzione del tempo. Cio e esclusotuttavia dal teorema di Kelvin in quanto per ogni sezione deve risultare dΓ/dt = 0 chedimostra la tesi.

S1

S2

S l

n

nn2

1

l

ω

ωω

Figura 6.8: Flussi di vorticita in un tubo vorticoso.

Capitolo 7

Soluzioni esatte delle equazioni di

Navier–Stokes

Nei capitoli precedenti abbiamo visto come in generale il moto di un fluido abbia una com-ponente di accelerazione non stazionaria ed una convettiva. La seconda implica la nonlinearita delle equazioni di Navier–Stokes rendendo praticamente impossibile la soluzioneanalitica. Ci sono tuttavia alcuni casi speciali in cui a causa di particolari condizioni in-iziali ed al contorno i termini non lineari sono identicamente nulli e le equazioni di Navier–Stokes ammettono una soluzione analitica. Vedremo nel dettaglio che queste soluzionisono fisicamente ammissibili solo per valori molto limitati del numero di Reynolds il cherende la loro applicabilita a fenomeni reali praticamene nulla. Cio nonostante questesoluzioni hanno un grande interesse fluidodinamico in quanto permettono di comprenderealcuni meccanismi che sono presenti anche in flussi piu complessi.

7.1 flusso tra lastre piane e parallele

Consideriamo il flusso tra due lastre piane e parallele, poste ad una distanza h come infigura 7.1 ed assumiamo che data la particolare geometria delle piastre il fluido si muovaunicamente nella direzione x ossia uy = uz ≡ 0. Assumiamo, inoltre che il flusso siaincomprimibile per cui dall’equazione di conservazione della massa si ricava

∂ux

∂x+

∂uy

∂y+

∂uz

∂z= 0, =⇒ ∂ux

∂x= 0, (7.1)

il che implica per la ux di non avere variazioni nella direzione della corrente. Essendole lastre infinitamente estese nella direzione z e lecito aspettarsi che il flusso non abbiavariazioni in questa direzione per cui possiamo affermare che la componente di velocitaux sara funzione solo della direzione y.

Se alle ipotesi fatte si aggiunge quella di stazionarieta le equazioni di Navier–Stokes siriducono a

0 = −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂y2, (7.2)

0 = −∂p

∂y− ρg,

0 = −∂p

∂z,

117

118CAPITOLO 7. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES

rispettivamente nelle direzioni x, y e z. E bene notare che risultando ux indipendenteda x, nell’equazione (7.2) deve essere indipendente da x anche il termine ∂p/∂x; infatti,se cosı non fosse, tutta l’equazione (7.2) dipenderebbe da x e quindi anche la velocitaux il che e impossibile in base all’equazione di conservazione della massa. Integrandola seconda delle (7.2) si ottiene per la pressione p = −ρgy + f(x) da cui si vede chela pressione varia idrostaticamente nella direzione y mentre il suo comportamento in xdipende dalla f incognita. Cio significa che il gradiente di pressione in x ∂p/∂x dipendeunicamente dalla f che possiamo pensare come un dato del problema. Integrando allorala prima delle (7.2) si ottiene:

∂ux

∂y=

1

µ

∂p

∂xy + A, ux(y) =

1

µ

∂p

∂x

y2

2+ Ay + B, (7.3)

dove le costanti A e B dipendono dalle condizioni al contorno ed essendo il gradientedi pressione sia costante in x (il che implica che f sia al piu una funzione lineare dellavariabile x). Dovendo il flusso soddisfare le condizioni di aderenza alle piastre, dovrarisultare u(0) = 0 ed u(h) = 0 da cui si ottiene

ux(y) =1

2µ

∂p

∂x(y2 − yh). (7.4)

h g uy u(y)

x∆p

l

Figura 7.1: Schema di flusso tra due lastre piane e parallele.

Abbiamo cosı visto che il profilo di velocita e parabolico e la velocita massima si haquindi al centro (y = h/2) essendo

(ux)max = ux

(

h

2

)

= − 1

2µ

∂p

∂x

h2

4. (7.5)

Bisogna notare che la velocita e negativa se il gradiente di pressione e positivo; infatti∂p/∂x > 0 indica che la pressione e crescente nella direzione x e consistentemente il flussosi muove nella direzione opposta. D’altra parte dall’analisi e noto che il valore medio diuna funzione parabolica e pari ai 2/3 del valore massimo per cui risulta per la velocitamedia nel condotto:

ux =2

3(ux)max = − 1

3µ

∂p

∂x

h2

4. (7.6)

7.1. FLUSSO TRA LASTRE PIANE E PARALLELE 119

Volendo infine calcolare la portata in volume che attraversa il condotto (per unita diprofondita nella direzione ortogonale al foglio) si ha semplicemente

Q = uxh = − 1

3µ

∂p

∂x

h3

4, (7.7)

dove si osservi che allo stesso risultato si perviene integrando il profilo parabolico (7.4)su tutta l’altezza del canale. Questa integrazione viene lasciata al lettore come facileesercizio.

Se indichiamo con l la lunghezza di un tratto di canale e ∆p la differenza di pressioneapplicata ai suoi estremi possiamo scrivere ∂p/∂x = ∆p/l da cui vediamo che le velocitae la portata sono direttamente proporzionali alla differenza di pressione applicata ed in-versamente proporzionali alla lunghezza del canale. Cio potrebbe indurre a pensare che sipuo aumentare a piacimento tanto la portata quanto la velocita facendo crescere il gradi-ente di pressione; nella pratica oltre un certo valore non si osserva piu il comportamentoprevisto dalla teoria in quanto il flusso cessa di essere piano (uy 6= 0, uz 6= 0) e stazionario.Questa soglia e fissata dal numero di Reynolds

Re =ρuxh

µ' 1400 (7.8)

che quando eccede il valore limite produce un flusso turbolento 1.

ESEMPIO

Tra due lastre piane e parallele infinitamente estese e poste ad una distanza hfluisce una portata in massa d’aria pari a m (per unita di profondita b). Sup-ponendo il flusso laminare, calcolare la differenza di pressione tra le due sezioniposte ad una distanza l nella direzione della corrente. Verificare che con i dati as-segnati sia valida l’ipotesi di flusso laminare (usare aria a 15 oC, ρ = 1.23 Kg/m3

e µ = 1.79 · 10−5 Ns/m2.)

b

h

l

x

h = 1.3cm l = 2.5 m M = 0.02 Kg/ms

Soluzione

Dalle soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes per il flusso tra due las-tre piane e parallele si ha: V = h2∆p/(12µl) ed M = ρhV da cui ∆p =12µlM/(ρh3) = 3.97 Pa. Il valore della velocita media e V = 1.25 m/s dacui risulta Re = V h/ν = 1116 < 1400.

1Sperimentalmente non si osserva un salto improvviso da flusso laminare a turbolento per il valoredel Re indicato. Il flusso infatti inizia a mostrare un comportamento dapprima non stazionario con laproduzione di regioni isolate con flusso fortemente tridimensionale fino a quando questa condizione nonviene raggiunta da tutto il flusso. Questo regime viene detto di transizione alla turbolenza e le suecaratteristiche dipendono oltre che dal flusso anche dalla presenza di disturbi esterni, dalle condizioni difinitura superficiale delle lastre etc.


7.2 flusso di Couette

Una facile estensione del precedente esempio e costituita dal caso in cui una delle duepareti si muova con velocita U , per esempio la parete superiore. Mettendoci nelle stesseipotesi del caso precedente si giunge quindi all’integrazione delle equazioni (7.2) ma conle condizioni al contorno ux(0) = 0 e ux(h) = U da cui si ottiene:

ux(y) =1

2µ

∂p

∂x(y2 − yh) + U

y

h. (7.9)

Da questa espressione si vede che la nuova soluzione e simile alla precedente ma con untermine aggiuntivo che tiene in conto la nuova condizione al contorno. In particolare seil gradiente di pressione e nullo il profilo di velocita e lineare ed unisce la parete inferioreferma alla parete superiore in moto con velocita U . In forma adimensionale il profilo (7.9)si puo scrivere come

ux(y)

U=

h2

2µU

∂p

∂x

(

y2

h2− y

h

)

+y

h= −Π(η2 − η) + η, (7.10)

in cui si nota che il profilo dipende dalla variabile η = y/h e dal gruppo adimensionaleΠ = −h2/(2µU) · ∂p/∂x; il profilo (7.10) per alcuni valori di Π e riportato in figura 7.2.

hy u(y)

x

U

Π=0Π>0

Π<−1

Π=−1

Figura 7.2: Profili di velocita per il flusso di Couette.

L’espressione adimensionale (7.10) permette di vedere immediatamente che per Π =−1 il profilo ha tangente verticale per y = 0 mentre per valori Π < −1 si ha l’inversionedel segno della velocita.

Naturalmente anche in questo caso la soluzione non e fisicamente realizzabile perqualunque valore dei parametri in quanto la transizione alla turbolenza invalida ben prestole ipotesi fatte inizialmente. Nel flusso di Couette, tuttavia non si puo trovare un semplicevalore di soglia del numero di Reynolds in quanto questo dipende sia da U che dal gradientedi pressione.

7.2. FLUSSO DI COUETTE 121

ESEMPIO

Due lastre piane e parallele infinitamente estese distano tra loro h. Sapendoche la lastra superiore trasla in direzione x con una velocita U e che il liquidotra le lastre e olio, calcolare la forza che bisogna applicare ad una superficie didimensioni l e b per mantenere tale stato di moto.

b

h

l

U

x

l = 2 m U = 1.5 m/sb = 1.3 m h = 0.5 cm

ρ = 912 Kg/m3 ν = 4.2 · 10−4 m2/s

Soluzione

Dalle soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes per flussi piani sappiamoche tra le due lastre si sviluppera un profilo di velocita lineare u(y) = Uy/h equindi lo sforzo di parete sara dato da τw = µdu/dy|w = µU/h = 115N/m2. Laforza totale esercitata dal fluido sulla parete sara quindi F =

∫

s τwdS = τwS =299 N. (Per µ si e usato il valore µ = νρ = 0.383 Ns/m2.)


ESEMPIO

Tra due lastre piane parallele ed infinitamente estese scorre un flusso laminare,stazionario, piano e viscoso. La lastra inferiore si muove a velocita U mentrequella superiore e fissa. Sapendo che la portata in volume per unita di larghezza(nella direzione ortogonale al foglio) vale q, calcolare la differenza di pressione∆p che e necessario applicare su una lunghezza l per ottenere tale situazione.

h

l

U

q l = 6 cm h = 4 mmU = 2.4 m/s µ = 1.5 Ns/m2

q = 0.008 m2/s

Soluzione

Integrando la relazione dp/dx = µd2u/dy2 con le condizioni al contorno u(0) = Ued u(h) = 0 si ottiene

u(y) =1

2µ

dp

dx(y2 − hy) − Uy

h+ U.

Risultando d’altra parte q =∫ h0 u(y)dy = Uh/2 − dp/dxh3/(12µ) si ricava

dp

dx= −

(

q − Uh

2

)

12µ

h3= −9 · 105 Pa,

e quindi ∆p = dp/dx · l = −54000 Pa.

7.3 flusso di Hagen–Poiseuille

Consideriamo un tubo a sezione circolare di raggio R di lunghezza l alle cui estrem-ita e applicata una differenza di pressione ∆p, e cerchiamo di determinare il campo divelocita all’interno del tubo. Se assumiamo il flusso incomprimibile, stazionario e conun’unica componente di velocita allineata decondo l’asse del tubo, possiamo utilizzaredelle equazioni simili a quelle ricavate in §7.1. In questo esempio, pero, data la simmetriaassiale del problema conviene scrivere le equazioni in coordinate cilindriche ottenendo

0 = −ρg sin θ − ∂p

∂r(7.11)

0 = −ρg cos θ − 1

r

∂p

∂θ

0 = −∂p

∂x+ µ

1

r

∂

∂rr∂ux

∂r,

essendo gli assi orientati come in figura 7.3. L’integrazione delle prime due (7.11) ci diceche la pressione varia nella direzione verticale in modo idrostatico, mentre nella direzione

7.3. FLUSSO DI HAGEN–POISEUILLE 123

x la sua distribuzione dipende da una funzione incognita f che in generale sara un datodel problema:

p = −ρgr sin θ + f(x) = ρgy + f(x). (7.12)

e, di nuovo, risultando il gradiente di pressione ∂p/∂x indipendente da x (perche se cosınon fosse dalla terza delle 7.11 risulterebbe la ux dipendente dalla x) allora la terza delle(7.11) puo essere facilmente integrata ottenendo:

r∂ux

∂r=

1

2µ

∂p

∂xr2 + A, ux =

1

4µ

∂p

∂xr2 + A ln r + B (7.13)

essendo le costanti A e B determinate in base alle condizioni al contorno. Imponendo lacondizione di aderenza alla parete (ux(R) = 0) e che la soluzione rimanga finita all’asse(ux(0) 6= ∞) si ottiene

A = 0, B = − 1

4µ

∂p

∂xR2, ux(r) =

1

4µ

∂p

∂x(r2 − R2), (7.14)

che da un profilo parabolico di velocita in ogni sezione.

x

yz

rθ g

u

u(y)R

Figura 7.3: Flusso di Hagen–Poiseuille.

Dal profilo (7.14) si puo calcolare la velocita massima che si ottiene all’asse (r = 0)con

(ux)max = − 1

4µ

∂p

∂xR2 (7.15)

valendo le osservazioni fatte nei precedenti esempi circa il segno del gradiente di pres-sione. Per il calcolo della velocita media bisogna tenere in conto il fattore metrico r dellecoordinate cilindriche da cui

ux =1

S

∫ S

0ux(r)dS =

1

πR2

∫ R

0

∫ 2π

0ux(r)rdrdθ = − 1

8µ

∂p

∂xR2 =

(ux)max

2. (7.16)

Da queste espressioni si puo calcolare la portata in volume

Q = uxS =∫ S

0ux(r)dS =

πR4

8µ

∂p

∂x(7.17)

noto il gradiente di pressione ∂p/∂x = ∆p/l.Questa semplice soluzione rimane valida per valori del numero di Reynolds

Re =ρux2R

µ' 2100, (7.18)


mentre per valori maggiori si ha l’insorgere di un flusso transizionale e quindi della tur-bolenza. Questo valore di soglia e stato determinato per la prima volta da O. Reynoldsin un famoso esperimento del 1883 nel quale oltre ad osservare la dinamica transizionaledel flusso all’interno di un tubo e stato anche dimostrato che i parametri del flusso nonintervenivano separatamente ma come un gruppo adimensionale Re = ρux2R/µ.

ESEMPIO

Dato un tubo cilindrico di raggio R e lunghezza l sia applicata alle estremita deltubo una differenza di pressione ∆p. Se nel tubo fluisce acqua, determinare ilmassimo ∆p applicabile per mantenere valida la soluzione di Hagen–Poiseuille.Quanto vale la portata in massa in tali condizioni?

l

R

∆p

l = 3 m R = 0.5 cm

Soluzione

Dalle soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes per il flusso in un tubocilindrico si sa che vale la soluzione laminare per numeri di Reynolds Re =V 2R/ν ≤ 2100 = ReC . V e la velocita media nella sezione del tubo e valeV = R2∆p/(8µl). Combinando la verie relazioni si ricava ∆p = ReC4µlν/R3 =201.6 Pa. Per la portata in massa, basta calcolarla dalla definizione: M = ρQ =ρV πR2 = 1.65 · 10−2 Kg/s.

ESEMPIO

Dato il flusso in figura, calcolare la velocita massima e la risultante delle forzeviscose. Verificare a posteriori se e valida l’ipotesi di flusso laminare.

l

∆p

D d = 1 cm l = 3 m∆p = 12000 Pa ν = 10−1 cm2/sρ = 850 Kg/m3 fluido: olio.

Soluzione

Dalle soluzioni esatte dele equazioni di Navier–Stokes si ha che il profilo divelocita per un tubo cilindrico e dato da

u(r) =1

4µ

dp

dz(r2 − R2).

La velocita massima si ha quindi per r = 0 ottenendo umax = ∆pR2/(4lνρ) =2.94 m/s.La risultante delle forze viscose si ottiene integrando lo sforzo di parete τw =µ(du/dr)r=R = R(dp/dz)/2 sul mantello cilindrico del tubo F =

∫

S τwdS =2πRlτw = πR2∆p = 0.9424 N.Per verificare la laminarita del flusso bisogna valutare il numero di ReynoldsRe = uD/ν = 1470 < 2100; verificato!.

Capitolo 8

∗ Flussi potenziali

In questo capitolo verranno studiati dei particolari flussi nei quali gli effetti della viscositapossono essere trascurati. I flussi potenziali (o correnti euleriane) sono stati storicamentedi grande utilita in quanto possono essere ricondotti allo studio di equazioni lineari conla conseguente facilita di trattazione matematica. Con questa teoria e stato possibileottenere le prime informazioni sul campo di moto intorno a corpi piu o meno complessianche se la teoria non era in grado di calcolare le forze esercitate dal flusso sul corpo.

Di seguito verrano riportati prima alcuni fondamenti della teoria e quindi degli esempidi flussi bidimensionali e tridimensionali.

8.1 teoria del potenziale

Ci sono molte situazioni in fluidodinamica in cui il rapporto tra le forze d’inerzia e quelleviscose per un dato flusso e estremamente elevato; tale rapporto si misura con il numerodi Reynolds definito come Re = UL/ν essendo rispettivamente U ed L una velocita eduna lunghezza caratteristiche del fenomeno e ν la viscosita cinematica del fluido. Quandoquesto parametro e molto grande, l’effetto dei termini viscosi e confinato ad un sottilestrato di fluido in prossimita del corpo dove i gradienti di velocita sono estremamenteelevati mentre il resto del flusso ha una dinamica indipendente dalla viscosita. In talesituazione si possono verificare essenzialmente due eventualita: la prima e che il flussorimanga attaccato al corpo e quindi la regione in cui i termini viscosi sono rilevanti risultamolto piccola rispetto al campo esterno, la seconda e che il flusso si distacchi dal corpo equindi la regione di flusso influenzata dalla viscosita si estende anche lontano dal corpo.In quest’ultimo caso la distinzione tra regione interna ed esterna (cioe tra zona potenzialee zona viscosa) diventa meno chiara ed inoltre le due estensioni sono confrontabili. Nelprimo caso, al contrario, la zona potenziale e molto piu estesa di quella viscosa e lo studiodella prima puo fornire informazioni utili sul flusso intorno al corpo.

Se effettivamente l’effetto della viscosita e trascurabile supponendo le eventuali forze dimassa conservative ed il flusso barotropico (o incomprimibile) si puo applicare il teoremadi Kelvin che ci dice che la circolazione Γ calcolata su qualunque linea materiale chiusa Cnon varia nel tempo. In particolare se inizialmente risulta ωωω = 0 allora tale dovra rimanereanche per tempi successivi in quanto se per assurdo venisse prodotta una vorticita diversada zero, sarebbe possibile trovare un circuito materiale C ′ che la contiene ottenendoΓ 6= 0. Ma essendo inizialmente ωωω = 0 ovunque la circolatione calcolata sulla stessa lineamateriale C ′ al tempo t = 0 avrebbe dato Γ = 0 e cio e contro il teorema di Kelvin. Da

125

126 CAPITOLO 8. ∗ FLUSSI POTENZIALI

U U

Upotential

viscousregion

region

layerboundary

separatedregion

b)a)

wake

Figura 8.1: Flusso intorno ad un corpo: a flusso attaccato, b flusso separato. La zonaindicata in rosso e la zona ‘viscosa’.

cio si deduce che nelle ipotesi del teorema di Kelvin, un flusso inizialmente irrotazionalerimane tale indefinitamente.

Essendo ωωω = ∇× u ≡ 0, e allora possibile definire una funzione potenziale φ tale cheu = ∇φ in quanto risulta identicamente ωωω = ∇× u = ∇× (∇φ) ≡ 0. Se in aggiunta siconsidera per semplicita il flusso incomprimibile, allora l’equazione di conservazione dellamassa si scrive ∇ · u = 0, che, combinata con la definizione di potenziale fornisce:

∇2φ = 0. (8.1)

Questa equazione deve essere completata con le condizioni al contorno che sono

∂φ

∂n= v · n, sul corpo e φ = φ∞ all′∞, (8.2)

essendo la prima la condizione di impermeabilita con n la normale alla superficie del corpoe v la velocita del corpo e la seconda la condizione di congruneza del potenziale con lacorrente indisturbata.

Con queste condizioni e possibile risolvere l’equazione (8.1) che fornisce la funzionepotenziale φ in tutto lo spazio. Una volta noto φ si puo calcolare u e quindi dall’equazionedi Bernoulli, che per un flusso irrotazionale si scrive u2/2 + G + p/ρ = const., si puocalcolare la pressione 1.

Il vantaggio principale di questa formulazione e che la soluzione del flusso potenzialerichiede l’equazione differenziale (8.1) da cui si ricava il potenziale (e quindi la velocita) ela soluzione dell’equazione di Bernoulli per il calcolo della pressione. La prima equazionee lineare e, valendo il principio di sovrapposizione degli effetti, e possibile adottare tutte leprocedure di soluzione per serie note dall’analisi matematica e la costruzione di soluzioni

1Facciamo notare che come anticipato nel capitolo 5 per i flussi potenziali si puo rilassare nell’equazionedi Bernoulli l’ipotesi di flusso stazionario. Risultando infatti u = ∇φ risulta ∂u/∂t = ∇(∂φ/∂t) el’equazione (5.16), essendo ωωω ≡ 0 diventa:

u2

2+ G +

∫

dp

ρ+

∂φ

∂t= const. (8.3)

8.2. SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI 127

complesse mediante addizione di piu soluzioni semplici. L’equazione per la pressione einvece non lineare, ma la non linearita e di tipo algebrico e quindi non presenta partico-lari difficolta. A titolo di confronto, volendo risolvere lo stesso problema con le equazionidi Navier–Stokes per flussi incomprimibili bisognerebbe risolvere un’equazione differen-ziale non lineare vettoriale (tre equazioni scalari) piu la conservazione della massa che edifferenziale lineare.

Chiaramente tanta semplicita nella trattazione ha il prezzo di non poter calcolare leforze esercitate dal flusso sul corpo (paradosso di d’Alembert); esempi di tale paradossoverranno dati attraverso lo studio di flussi particolari.

8.2 soluzioni tridimensionali

8.2.1 sorgente e pozzo

Consideriamo un punto nello spazio in cui sia localizzata una sogente di massa, la cuiportata in volume sia Q; in assenza di forze esterne o altre correnti questa massa dovradistribuirsi equamente in tutte le direzioni, generando una velocita radiale ur uniformein un sistema di coordinate sferiche con origine nella sorgente (figura 8.2). Per la con-servazione della massa dovra risultare Q =

∫

S urdS che, essendo la velocita uniforme,diventa

Q = ur4πr2, =⇒ ur(r) =

Q

4πr2(8.4)

e per integrazione si ottiene la funzione potenziale

φ(r) = − Q

4πr+ c = −m

r+ c (8.5)

avendo posto m = Q/(4π) come intensita della sorgente. Lo stesso ragionamento puoessere ripetuto in modo identico per un pozzo giungendo a delle relazioni uguali alleprecedenti. Tutta la trattazione puo essere quindi unificata utilizzando la (8.5) sia per lasorgente che per il pozzo risultando nel primo caso m > 0 mentre nel secondo m < 0. Peraffermare che la (8.5) sia effettivamente una funzione potenziale bisogna dimostrare chesoddisfi l’equazione ∇2φ = 0; cio si ottiene facilmente notando che φ dipende solo dallacoordinata radiale e scrivendo quindi il laplaciano in coordinate sferiche risulta

∇2φ =1

r2

∂

∂rr2∂φ

∂r= − 1

r2

∂

∂rr2 ∂

∂r

(

m

r

)

≡ 0, (8.6)

che dimostra la tesi. Come facile esercizio si puo vedere che lo stesso risultato si ottieneutilizzando un sitema di assi Cartesiani.

8.2.2 doppietta

Si supponga ora di avere una sorgente ed un pozzo di uguale intensita m posti ad unadistanza ∆ lungo l’asse delle x e sia A un punto qualunque nello spazio. Per la proprietaadditiva il potenziale in A sara

φ = φS + φP = −m

rS

+m

rP

= mrS − rP

rSrP

= mr2S − r2

P

rSrP (rS + rP ), (8.7)


r

ur

Q

S

Figura 8.2: Schema di flusso generato da un sorgente in tre dimensioni.

avendo posto c = 0.

Se il sistema di riferimento e scelto in modo che l’origine coincida con la sorgenteallora risulta r2

S = x2 + y2 + z2 ed r2P = (x−∆)2 + y2 + z2 da cui r2

S − r2P = −∆2 + 2∆x.

Supponiamo ora di far tendere a zero la distanza ∆ facendo crescere progressivamente min modo che il prodotto m∆ = k rimanga costante, in tal caso si ottiene

lim∆−→0

φ = lim∆−→0

−k∆ + 2kx

rSrP (rS + rP )=kx

r3, (8.8)

in quanto per ∆ −→ 0 rS = rP = r.

Ci poniamo di nuovo la domanda se la soluzione trovata in (8.8) e soluzione dell’e-quazione del potenziale; la risposta e si in quanto ∂(−k/r)/∂x = kx/r3 e −k/r e soluzionedell’equazione. Si puo allora scrivere

∇2kx

r3= ∇2 ∂

∂x

−kr

=∂

∂x∇2−k

r≡ 0. (8.9)

Allo stesso risultato si poteva pervenire ricordando dall’analisi matematica che la derivatadi una funzione armonica e ancora una funzione armonica, se quindi il potenziale dellasorgente e soluzione dell’equazione di Laplace, lo deve essere anche quello della doppietta.

8.3 sovrapposizione di soluzioni tridimensionali

Come abbiamo detto in precedenza, uno dei vantaggi fondamentali della teoria poten-ziale e che l’equazione (8.1) e lineare quindi se φ1 e φ2 sono soluzioni della (8.1) dovranecessariamente risultarlo anche φ = φ1 + φ2. In questo modo si riescono a costruiredelle soluzioni intorno a corpi di forma relativamente complicata partendo dalle soluzionielementari precendentemente esposte. Nel seguito di questa sezione verranno mostratialcuni esempi classici, indicando la modalita per costruire soluzioni piu complesse.

8.3. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI 129

∆S P

A

rp

sr

x

y

z

Figura 8.3: Doppietta in tre dimensioni.

8.3.1 il semicorpo

Osserviamo preliminarmente che una corrente uniforme con velocita U diretta nella di-rezione positiva dell’asse delle x avra un potenziale φU = Ux e questa soluzione soddisfal’equazione (8.1).

In questo esempio viene considerata una corrente uniforme orientata nella direzionepositiva dell’asse delle x ed una sorgente posta nell’origine di un sistema di assi. Ilpotenziale per questa configurazione e

φ = Ux− m

r, (8.10)

da cui si ottiene per le velocita

ux =∂φ

∂x= U +

mx

r3, e uy =

∂φ

∂y=my

r3. (8.11)

Da queste espressioni si vede che il campo di velocita e simmetrico rispetto all’asse x percui basta studiare il flusso nel semipiano meridiano x–y con y ≥ 0. Se nella prima delle

(8.11) si annulla la ux si trova un punto di ristagno in x = −a = −√

m/U da cui si scrive

ux = U

(

1 +a2x

r3

)

e uy = Ua2y

r3. (8.12)

Da queste espressioni si deduce che all’approssimarsi della corrente al corpo questaviene frenata e le linee di corrente si allargano. Per calcolare quale sia la forma delcorpo, basta verificare la condizione di equilibrio tra le portate in volume della correntetraslazionale e della sorgente.

La portata totale della sorgente e QT = 4πm distribuita uniformemente su tuttol’angolo solido per cui una frazione di angolo solido Ω smaltira la portata Q/QT = Ω/4π.Dato allora un cono di semiapertura θ si ha

dΩ = 2π sin θdθ,=⇒ Ω =∫ θ

02π sin θdθ = 2π(1 − cos θ) (8.13)


U

rθ

a

2a

x

y

S z

Figura 8.4: Semicorpo potenziale tridimensionale.

da cui si ottiene Q = 2πm(1 − cos θ). Se invece consideriamo la portata dovuta al flussotraslazionale si otterra in generale Q = πy2U e le due portate saranno uguali quandoy2U = 2a2U(1 − cos θ)

y = a√

2(1 − cos θ) e x = −y cotg θ. (8.14)

Per θ = 0, si ottiene y = 0 mentre la x assume una forma indeterminata 0 · ∞; tuttaviasostituendo la prima delle (8.14) nella seconda ed utilizzando elementari trasformazionitrigonometriche si ottiene x = −

√2a cos θ/

√1 + cos θ che tende effettivamente a −a per

θ −→ 0. Notiamo inoltre che per θ −→ π, x −→ ∞ ed y −→ 2a da cui si vede che il corporimane aperto. Alla stessa conclusione si poteva giungere osservando che all’infinito tuttala portata della sorgente deve essere smaltita con una velocita ux = U quindi 4πm = πy2U=⇒ y = 2a.

Si ha in generale che se la somma delle intensita di sorgenti e pozzi non e nulla il corpodeve necessariamente rimanere aperto in quanto tutta la portata immessa dalle sorgentinon viene bilanciata da quella riassorbita dai pozzi.


ESEMPIO

Il semicorpo tridimensionale in figura e investito da una corrente uniforme d’ac-qua U nella direzione x. Sapendo che la pressione nel punto A e PA calcolare ilvalore della pressione nel punto B.

U

x

yB

A aU = 10 m/s pA = 175870 Pa

B = (0, 3), A = (−2, 0) | a |= 1.5 mCoordinate Cartesiane

espresse in metri.

Soluzione

Il potenziale del semicorpo tridimensionale edato da φ = −Ur cos θ−m/r+ c (per il sis-tema di riferimento polare in figura). Risul-

ta inoltre a =√

(m/U) da cui si ricava m =

22.5 m3/s. Per le componenti di velocita sap-piamo che ur = ∂φ/∂r = −U cos θ+m/r2 eduθ∂φ/∂θ = U sin θ da cui essendo A = (r =2, θ = 0) e B = (r = 3, θ = π/2) si ottieneuA = (−4.375, 0), uB = (2.5, 10) e quindi| uA |2= 16.14 ed | uB |2= 106.25 (velocitain m/s). Applicando infine, l’equazione diBernoulli tra i punti A e B si puo scrivere:pB = pA + ρ[(u2

A − u2B)/2 + g(hA − hB)] =

102995 Pa.

U

x

yB

A a

rθ

8.3.2 la sfera

Vogliamo ora vedere quale flusso possiamo ottenere dalla sovrapposizione di una correnteuniforme e di una doppietta nell’origine degli assi il cui potenziale φD e dato dalla relazione(8.8).

Per il potenziale totale si puo quindi scrivere

φ = Ux+kx

r3(8.15)

da cui si osserva che, essendo r =√x2 + y2 + z2 questo potenziale e simmetrico sia

rispetto all’asse y che all’asse z (cio si osserva sostituendo y a −y e z a −z), ossia il flussoe assialsimmetrico rispetto ad x. Questa circostanza suggerisce di utilizzare un sistemadi coordinate sferiche come in figura 8.5 da cui si ha x = −r cos θ e quindi

φ = −(

rU +k

r2

)

cos θ. (8.16)


U

x

y

r

D

A

θ z

Figura 8.5: Sezione meridiana della sovrapposizione di una corrente uniforme ed unadoppietta nell’origine.

Per il calcolo delle velocita radiale ed azimutale possiamo scrivere

ur = ∇φ · r =∂φ

∂r=

(

−U +2k

r3

)

cos θ, uθ = ∇φ · θ =1

r

∂φ

∂θ=

(

U +k

r3

)

sin θ. (8.17)

Da queste espressioni si vede che la velocita radiale e sempre nulla sulla superficie descrittada

2k

r3= U, ossia r =

(

2k

U

)1

3

= R, (8.18)

che e una sfera con centro nella doppietta e raggio dato dalla (8.18).Sostituendo il valore di R trovato nella seconda delle (8.17) si ottiene il profilo di

velocita azimutale sulla superficie della sfera stessa

uθ =

(

−U +kU

2k

)

sin θ =3

2U sin θ, (8.19)

che quindi assume il valore massimo per θ = π/2 u(θ) = 3U/2 ed il minimo per θ = 0 eθ = π con u(θ) = 0.

Per la distribuzione di pressione si utilizza l’equazione di Bernoulli scritta tra un puntoall’∞ nella corrente indisturbata e l’altro sulla superficie della sfera

U2

2+p∞ρ

+ gh∞ =u(θ)2

2+p(θ)

ρ+ gh(θ), (8.20)

da cui, trascurando le variazioni di quota si ottiene per il coefficiente di pressione

Cp =p(θ) − p∞ρU2/2

= 1 − u(θ)2

U2= 1 − 9

4sin2 θ. (8.21)

Da questa relazione si vede che la pressione massima si ha per θ = 0 e θ = π con Cp = 1(punti di ristagno) mentre la minima e nel punto θ = π/2 dove vale Cp = −5/4. Nei puntiin cui sin θ = 2/3 (θ ' 42o e θ ' 138o) si ha Cp = 0 ed u(θ) = U .

Gli andamenti descritti sono riportati nelle figure 8.6 e 8.7 da cui risulta evidente lasimmetria del coefficiente di pressione tra la parte frontale e la parte posteriore della sfera.


U

θr

C p

Figura 8.6: Distribuzione del coefficiente di pressione sulla superficie della sfera (flussopotenziale).

Questo significa che partendo dal punto di ristagno anteriore (θ = 0) dove la velocita e zeroe tutta l’energia cinetica e stata convertita in pressione, il flusso accelera costantementefino al punto θ = π/2 in cui si ha il massimo della velocita ed il minimo di pressione.Appena superato il punto θ = π/2 il flusso ricomincia a decelerare ed aumentare la suapressione e nel punto di ristagno posteriore su ha una situazione speculare rispetto alquello anteriore.

Mancando l’effetto dei termini viscosi, le uniche azioni che il fluido puo esercitare sulcorpo sono quelle normali di pressione che in questa configurazione hanno risultante nullaper tutte le componenti.

Questo e un caso particolare del paradosso di d’Alembert che si dimostra per corpi diforma qualunque in condizioni di flusso incomprimibile e stazionario.

Si vedra nei capitoli successivi che questo flusso e ideale e nella pratica non si realizza.Infatti le azioni viscose del flusso alla parete trasformano in modo irreversibile partedell’energia cinetica in calore e nella zona a valle del punto θ = π/2 il flusso non riesce a faraumentare la pressione fino al valore che aveva in θ = 0. Cio provoca uno sbilanciamentodella distribuzione di pressione e quindi una resistenza.


π/20 π θ

u( )θU

1

3/2 θ

π/20

C ( ) p

1

θ

−9/4

π

a) b)

Figura 8.7: Diagrammi della distribuzione di velocita e coefficiente di pressione sullasuperficie di una sfera. In figura e riportata solo la meta superiore, la meta inferiore siottiene per riflessione.

ESEMPIO

Una sfera di raggio R e investita da una corrente d’acqua a velocita costante Ue pressione della corrente indisturbata p∞. Sapendo che la sfera e composta dadue gusci poggiati come in figura ed utilizzando la teoria potenziale, calcolare laforza con cui la semisfera di sinistra spinge su quella di destra.

RU

R = 0.3 m U = 7 m/s p∞ = 101300 Pa

Soluzione

Dalla formula per il coefficiente di pressione peruna sfera cp = 1 − (9/4) sin2 θ si ricava la forzadi pressione nella direzione x

dFx = −pxndS =(

1

2ρU2cp + p∞

)

cos θ2πR2 sin θdθ,

da cui per la forza sulla semisfera si ha

Fx =∫ π/2

0sin(2θ)

(

p∞ +1

2ρU2 − 9

4sin2 θ

)

πR2dθ

Fx = πR2(

p∞ +1

2ρU2

)

− 9ρU2πR2

16= 27776 N.

Se si assume che la pressione all’interno dellasfera e p∞ allora risulta Fx = −πR2ρU2/16 =−865 N.

θ x

y

8.4. SOLUZIONI BIDIMENSIONALI 135

8.4 soluzioni bidimensionali

Seguendo dei ragionamenti del tutto analoghi a quelli precedentemente riportati per unospazio a tre dimensioni, si trovano le soluzioni potenziali in due dimensioni. Nel seguitone verrano riportate alcune a titolo di esempio con dei flussi di interesse pratico ottenutidalla loro sovrapposizione.

8.4.1 sorgente e pozzo

Si supponga di avere una sorgente di massa puntiforme da cui esce una portata volumetricaQ in uno spazio piano. La portata attraverso la circonferenza con centro nella sorgente eraggio r sara Q = 2πrur da cui ur = Q/(2πr). D’altra parte essendo ur = ∂φ/∂r si puoottenere per integrazione il potenziale

φ =Q

2πln r + c = m ln r + c, (8.22)

con la costante c che puo essere fissata arbitrariamente in quanto nella determinazionedelle velocita entrano solo i gradienti del potenziale.

S

r

x

y u r

Figura 8.8: Sorgente bidimensionale.

Naturalmente se la portata Q e negativa allora si avra un pozzo il cui potenziale saraφ = −m ln r + c.

8.4.2 doppietta

Data una sorgente ed un pozzo aventi la stessa intensita m e disposti come in figura 8.9si ha per il potenziale nel generico punto A

φ = m ln rS −m ln rP + c (8.23)

essendo rS =√x2 + y2 e rP =

√

(x− ∆)2 + y2. Ponendo senza perdita di generalitac = 0, con queste espressioni si puo scrivere

φ = m lnrS

rP

= m ln(

1 +rS − rP

rP

)

= m ln

(

1 +r2S − r2

P

rP (rS + rP )

)

. (8.24)


Assumendo che ∆ sia un parametro piccolo e ricordando che ln(1 + x) ' x + O(x2) la(8.24) si scrive

φ ' m∆(2x− ∆)

rP (rS + rP ); (8.25)

se ora si fa il limite per ∆ −→ 0 mantenendo costante il prodotto k = m∆ (intensita didoppietta) si ha che rP −→ rS −→ r e per il potenziale si ottiene

φ = lim∆−→0

m∆(2x− ∆)

rP (rS + rP )=kx

r2, (8.26)

che e il potenziale cercato.Con un calcolo diretto si puo agevolmente verificare che l’espressione (8.26) soddisfa

l’equazione del potenziale.

∆S P

A

rp

sr

x

y

Figura 8.9: Doppietta bidimensionale.

8.4.3 vortice libero

Immaginiamo di avere una vorticita ω distribuita uniformemente all’interno di una cir-conferenza di raggio R, questa avra una circolazione Γ = ωπR2. Se ora si fa tendere azero il raggio R della circonferenza, aumentando contemporaneamente l’intensita dellavorticita in modo che la circolazione Γ rimanga costante, si ottiene una singolarita nellavorticita di circolazione finita (figura 8.10a). Per calcolare il potenziale di questo flussobasta osservare che in base al teorema di Stokes la circolazione Γ puo essere calcolatamediante la circuitazione della velocita lungo un qualunque percorso chiuso contenentela singolarita. Se in particolare si sceglie una circonferenza con centro nella singolarita eraggio r si ha:

Γ = 2πruθ,=⇒ uθ =Γ

2πr(8.27)

da cui essendo

uθ =1

r

∂φ

∂θ,=⇒ φ =

Γ

2πθ + c. (8.28)

8.4. SOLUZIONI BIDIMENSIONALI 137

Questa soluzione essendo lineare in θ e sicuramente soluzione dell’equazione di Laplace ede quindi il potenziale cercato. Le linee equipotenziale sono delle rette uscenti dall’originee la velocita indotta e puramente tangenziale (velocita azimutale) (figura 8.10b).

xθ

ω

y

R

r uθ

r

x

y u θ

const.φ=

const.φ=

a) b)

Figura 8.10: a) Singolarita di vortice libero. b) Velocita tangenziale indotta e lineeequipotenziali.

ESEMPIO

Nei punti S, P, D vengono posti, rispettivamente, una sorgente di intensita mS,un pozzo di intensita mP ed una doppietta di intensita k (quest’ultima allineatacon l’asse x). Calcolare la differenza di pressione tra i punti A e B. Il corporisultante dalla sovrapposizione delle 3 soluzioni assegnate e aperto o chiuso?

mS = 0.3 m2/s mP = 0.3 m2/s k = 0.5 m3/s A = (0, 0)S = (−1,−1) B = (1, 2) D = (3, 0) B = (1, 1)

Coordinate in metri, flusso bidimensionale, flui-do:acqua (trascurare la gravita).

Soluzione

L’espressione del potenziale e Φ = m(ln rS − ln rP ) + k(x − xD)/r2D con ri =

√

(x− xi)2 + (y − yi)2, i = S,D, P . Per derivazione da queste espressioni siottiene:

ux =∂Φ

∂x= m

[

x+ 1

(x+ 1)2 + (y + 1)2− x− 1

(x− 1)2 + (y − 2)2

]

+ ky2 − (x− 3)2

[(x− 3)2 + y2]2,

uy =∂Φ

∂= m

[

y + 1

(x+ 1)2 + (y + 1)2− y − 2

(x− 1)2 + (y − 2)2

]

− k2y(x− 3)

[(x− 3)2 + y2]2.

Sostituendo ad x ed y i valori delle coordinate in A e B si ottiene u2A =

0.0967 m2/s2 ed u2B = 0.20725 m2/s2. Applicando quindi l’equazione di Bernoulli

si ha pA − pB = ρ(u2B − u2

A)/2 = 55.255 Pa.


8.5 sovrapposizione di soluzioni bidimensionali

8.5.1 il semicorpo

Seguendo l’esempio riportato in §8.3.1, ma utilizzando le soluzioni singolari bidimension-ali, sovrapponiamo una corrente uniforme nella direzione positiva dell’asse delle x conuna sorgente posta nell’origine degli assi (figura 8.11). Abbiamo immediatamente per ilpotenziale

φ = Ux+m ln r, o φ = −Ur cos θ +m ln r, (8.29)

in un sistema di riferimento polare. Noto il potenziale si possono calcolare immediata-mente le velocita

ur =∂φ

∂r= −U cos θ +

m

r, uθ =

1

r

∂φ

∂θ= U sin θ. (8.30)

Da queste espressioni si nota che sull’asse x (θ = 0 e θ = π) risulta uθ ≡ 0 e gli eventualipunti in cui risultasse ur = 0 ci darebbero dei punti di ristagno. Dalla prima delle (8.30)si vede che la condizione ur = 0 non e mai verificata per θ = π mentre per θ = 0 si haun punto di ristagno per r = m/U = a (x = −m/U). Per calcolare il contorno del corposi procede in modo del tutto analogo al caso tridimensionale, si bilancia cioe la portataproveniente dalla corrente uniforme e quella uscente dalla sorgente su una generica lineaortogonale all’asse x. Le due portate saranno in equilibrio quando

Uy = 2πmθ

2π(8.31)

da cui, utilizzando la definizione di a, si ottiene per x ed y

y = aθ e x = y cotg θ. (8.32)

U

r

a x

y

S

aπ

θ

Figura 8.11: Semicorpo potenziale bidimensionale.

Essendo la sorgente nell’origine l’unica sorgente di massa (che non e bilanciata da alcunpozzo) ci aspettiamo che il corpo trovato debba rimanere aperto. Si ha infatti che per

8.5. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI 139

Figura 8.12: Visualizzazione sperimentale tramite l’analogia di Hele–Shaw delle linee dicorrente nel flusso potenziale bidimensionale intorno ad un semicorpo.

x −→ ∞, y −→ πa ossia all’infinito tutta la portata della sorgente deve essere smaltitacon una velocita ux = U quindi 2πm = 2yU =⇒ y = πa.

Analogamente al caso tridimensionale per θ −→ 0 si ottiene una forma indeterminataper la x; tuttavia sostituendo l’espressione per la y nella x si ottiene x = −a cos θ · θ/ sin θche tende a −a per θ −→ 0 (osservando che limx−→0(sin x/x) = 1).

8.5.2 il cilindro

Analogamente al caso tridimensionale, vogliamo ora sovrapporre una corrente uniformedi intensita U nella direzione positiva dell’asse delle x con una doppietta disposta comein §8.4.2.

U

x

y

r

D

A

θ

Figura 8.13: Sovrapposizione di una corrente uniforme ed una doppietta nell’origine (casobidimensionale).


Per il potenziale si puo quindi scrivere

φ = Ux+kx

r2, oppure φ = −

(

Ur +k

r

)

cos θ, (8.33)

se si prende un sistema d’assi polari come in figura 8.13. Dall’espressione del potenzialesi possono calcolare le componenti radiale ed azimutale della velocita ottenendo

ur =∂φ

∂r= −

(

U − k

r2

)

cos θ, uθ =1

r

∂φ

∂θ=

(

U +k

r2

)

sin θ. (8.34)

Da queste espressioni si vede che la velocita radiale risulta identicamente nulla per il

valore costante del raggio R =√

k/U per qualunque θ. Cio significa che la circonferenza

di raggio R si comporta come una superficie solida (impermeabile) nei confronti del flussoche quindi rappresenta il flusso intorno ad un cilindro.

Sulla superficie del cilindro il valore della velocita azimutale e

uθ = 2U sin θ (8.35)

da cui si vede che ci sono due punti di ristagno a θ = 0 e θ = π. I punti in cui la velocitae massima sono a θ = π/2 e θ = 3π/2 dove uθ = 2U ed infine la velocita vale U nei puntiθ = π/6 e θ = 5π/6 (ed i punti simmetrici rispetto all’asse x).

Applicando l’equazione di Bernoulli tra un punto all’∞ nella corrente indisturbata el’altro sul corpo possiamo calcolare il coefficiente di pressione sulla superficie del cilindro:

U2

2+p∞ρ

+ gh∞ =u(θ)2

2+p(θ)

ρ+ gh(θ), (8.36)

da cui, trascurando le variazioni di quota si ottiene

Cp =p(θ) − p∞ρU2/2

= 1 − u(θ)2

U2= 1 − 4 sin2 θ. (8.37)

Anche in questo caso si ha una simmetria della distribuzione di pressione sul corposia rispetto all’asse x che y con la conseguenza che tutti i coefficienti di forza risultanonulli. Di nuovo ci troviamo di fronte ad un caso particolare del paradosso di d’Alembertche vale per corpi di forma qualunque nell’ipotesi di flusso potenziale.

Dal confronto con le espressioni analoghe per la sfera si osserva che in corrispon-denza del punto θ = π/2 si ha una velocita maggiore nel cilindro rispetto alla sfera e,conseguentemente, una maggiore diminuzione di pressione. Cio si spiega facilmente osser-vando che a parita di diametro un cilindro crea un ‘bloccaggio’ del flusso maggiore di unasfera quindi, per la conservazione della massa, la velocita deve aumentare. Per esempio,se in un condotto a sezione rettangolare l × D viene posta una sfera di diametro D, lasuperficie a disposizione per il passaggio del flusso sara SS = lD−πD2/4 mentre nel casodi un cilindro si ha SC = lD −D2 da cui risulta SS > SC per πD2/4 < D2 che e sempreverificata.


U

C p

30o

Figura 8.14: Distribuzione del coefficiente di pressione sulla superficie del cilindro (flussopotenziale).

ESEMPIO

Lungo il perimetro di un cilindro sono praticati due fori a cui e collegato unmanometro ad U come in figura. Se la differenza di quota tra i due menischi eh ed il fluido manometrico e alcool (ρm = 780 Kg/m3) calcolare la velocita dellacorrente d’aria che investe il cilindro. (Trascurare gli effetti viscosi).

h

U

θ h = 2.06cm θ = 30o

Soluzione

Essendo gli effetti viscosi trascurabili il flusso intorno al cilindro sara potenzialee per il coefficiente di pressione sulla sua superficie si ha cp = 2(p− p∞)/(ρU 2).Per θ = 30o risulta cp = 0 mentre per θ = 180o cp = 1, di conseguenzap(30o) = p∞ e p(180o) = p∞ + ρU 2/2. Combinando questo risultato con lalegge di Stevino si ottiene ∆p = p(180o) − p(30o) = ρU 2/2 = ρmgh da cui diricava U = (2ρmgh/ρ)

1/2 = 16 m/s.


π/20 π θ

u( )θU 2

1

C ( ) p

π/20 θπ

−3

1θ

a) b)

Figura 8.15: Diagrammi della distribuzione di velocita e coefficiente di pressione sullasuperficie di un cilindro. In figura e riportata solo la meta superiore, la meta inferiore siottiene per riflessione.

8.5.3 il cilindro rotante

Come ultimo esempio di flusso bidimiensionale potenziale vogliamo studiare il cilindrorotante che si ottiene sovrapponendo una corrente uniforme con una doppietta ed unvortice libero, entrambi posti nell’origine degli assi. La peculiarita di questo flusso edovuta al fatto che pur essendo potenziale riesce a generare una forza sul corpo diversada zero; questa circostanza e dovuta ad una particolarita del flusso indotto dal vorticelibero che verra spiegata in dettaglio successivamente.

Aggiungendo il potenziale di vortice libero a quello del cilindro della sezione precedentesi ottiene, rispettivamente, per il potenziale e le velocita:

φ = −(

Ur +k

r

)

cos θ +Γ

2πθ, (8.38)

ur = −(

U − k

r2

)

cos θ, uθ =

(

U +k

r2

)

sin θ +Γ

2πr. (8.39)

Poiche la velocita radiale ur e rimasta invariata rispetto al caso senza rotazione, il flusso

sara ancora quello intorno ad un cilindro di raggio R =√

k/U . Al contrario, risultamutata la velocita azimutale che sulla superficie del cilindro vale

uθ = 2U sin θ +Γ

2πr. (8.40)

La prima conseguenza della rotazione e lo spostamento dei punti di ristagno avendo sullasuperficie del cilindro uθ = 0 per

sin θ = − Γ

4πRUossia θ = − sin−1

(

Γ

4πRU

)

, (8.41)

con la condizione che risulti Γ/(4πRU) ≤ 1. Quando questo fattore e proprio uguale ad1 i due punti di ristagno saranno coincidenti in un solo punto a θ = −π/2 e 3π/2 (perΓ > 0). Se infine risulta Γ/(4πRU) > 1 il punto di ristagno non sara piu sulla superficie


Figura 8.16: Visualizzazione sperimentale tramite l’analogia di Hele–Shaw delle linee dicorrente nel flusso potenziale bidimensionale intorno ad un cilindro.

del cilindro ma nel flusso sulla linea θ = −π/2 (dove comunque ur = 0) e per un valoredel raggio r tale che

U

(

1 +R2

r2

)

=Γ

2πr. (8.42)

Uno schema delle tre situazioni e riportato in figura 8.17.

Non e superfluo notare che la circolazione si puo determinare dalla velocita di rotazioneΩ del cilindro come Γ = 2πΩR2; tenendo fissa la velocita della corrente U e le dimensionidel cilindro R la posizione dei punti di ristagno puo essere determinata semplicementevariando la velocita di rotazione del cilindro.

Ω

θ

Ω

θ

Ω

a) b) c)

Figura 8.17: Schema delle linee di corrente per un cilindro rotante potenzialebidimensionale: a) Γ < 4πRU , b) Γ = 4πRU , c) Γ > 4πRU .

Dagli schemi di figura 8.17 e evidente che la rotazione del cilindro rompe la simme-tria rispetto al diametro orizzontale e questa dissimmetria dovra riflettersi anche nella


pressione. Dall’equazione di Bernoulli si ottiene infatti:

p(θ) = p∞ +1

2ρU2 − 2ρU 2 sin2 θ − ρΓ2

8π2R2− ρUΓ sin θ

πR, (8.43)

in cui l’ultimo termine, avendo una dipendenza lineare in sin θ, riflette proprio la mancanzadi simmetria.

Riferendoci alla figura 8.13, e ricordando che le forze di pressione hanno direzioneopposta alla normale uscente, possiamo scrivere per le componenti della forza

Fx =∫ 2π

0p cos θRdθ = 0, Fy =

∫ 2π

0p sin θRdθ = ρUΓ. (8.44)

Ai due risultati di sopra si perviene facilmente sostituendo la (8.43) nelle (8.44) ed osser-vando che l’unico termine ad integrale non nullo e l’ultimo della (8.43) moltiplicato persin θ. Lo svolgimento analitico degli integrali in (8.44) viene lasciato come facile esercizio.

Il risultato trovato sulla forza e un caso particolare del teorema di Kutta–Joukowskyche da come espressione della forza F = ρU×Γ in cui Γ e un vettore che ha la circolazionecome intensita e la stessa direzione e verso della vorticita associata. Il risultato piuimportante di questo teorema e che non e possibile generare una forza (di pressione) suun corpo se non si ha una circolazione netta. A questo punto appare chiaro l’effetto delvortice libero che generando una circolazione nel cilindro e in grado di produrre una forza,altrimenti impossibile nell’ambito della teoria potenziale.

La generazione della forza indotta dalla rotazione di un cilindro investito da unacorrente e anche nota come effetto Magnus che ha notevoli implicazioni nella balistica(moto di proiettili e missili in rapida rotazione, lanci e tiri ‘ad effetto’ nello sport, etc.).In passato si e anche provato a sfruttare questa forza per fini propulsivi come e mostratoin figura 8.18 con la ‘Flettner–rotorship’ un’imbarcazione ideata da Anton Flettner nel1922 in cui una spinta addizionale era fornita dai due cilindri rotanti che fungevano dafumaioli. Sebbene tale sistema non sia stato utilizzato successivamente si e comunquevisto che, in linea di principio, poteva essere vantaggioso.


Figura 8.18: Immagine dell’imbarcazione ideata da Flettner con sistema di propulsionebasato sull’effetto Magnus.

ESEMPIO

Dato un cilindro a sezione circolare di diametro D investito da una corrented’acqua uniforme a velocita U , quale deve essere la velocita di rotazione Ω delcilindro in modo da avere i due punti di ristagno come in figura? Quanto vale laforza per unita di lunghezza in tali condizioni?

U

P

Dθ θ

1 P2

θ = 300 U = 8 m/sD = 1. m

ipotizzare il flusso potenziale

Soluzione

Per il flusso potenziale intorno ad un cilindro circolare si ha che la velocitatangenziale sulla superficie del corpo e uθ = 2U sin θ + Γ/(2πR), la posizioneangolare dei punti di ristagno e quindi data da uθ = 0, ossia sin θ = −Γ/(4πUR).Essendo per le condizioni della figura i punti di ristagno a θ = −π/3 e θ = 7π/6si ricava Γ = 25.132 m2/s. Dovendo quindi risultare Γ = 2πRΩ ·R si ricava Ω =16rad/s. Infine dal teorema di Kutta–Joukowsky si ha F = ρUΓ = 201056 N/mdiretta verso l’alto.

Capitolo 9

Strato Limite

Come abbiamo visto nel capitolo precedente, sotto alcune ipotesi, il flusso intorno ad uncorpo puo essere analizzato con un modello di flusso non viscoso il che semplifica notevol-mente la trattazione conducendo alla formulazione potenziale. Sebbene questo approcciofornisca delle informazioni molto utili, esso presenta delle pesanti limitazioni come l’im-possibilita di calcolare le forze esercitate dal flusso sul corpo (paradosso di d’Alembert).Evidentemente, l’ipotesi di trascurare i termini viscosi dalle equazioni del moto non eapplicabile ovunque; in particolare, in un flusso reale il fluido a contatto con il corpodeve avere la stessa velocita del corpo (condizione di aderenza) che non coincidera con lavelocita potenziale. Questa differenza di velocita genera dei forti grandienti in prossimitadel corpo che renderanno non trascurabili gli sforzi viscosi. Il sottile strato di fluido adi-acente al corpo dove i termini viscosi non si possono trascurare (o piu precisamente dovei termini viscosi sono dello stesso ordine di grandezza di quelli inerziali nel bilancio dellaquantita di moto) viene detto strato limite (figura 9.1).

Uy

xδ

boundary layer

potential flow

LFigura 9.1: Flusso uniforme su una lastra piana: la zona indicata in rosso e la zona‘viscosa’ dove non puo essere applicata la teoria potenziale.

Per comprendere i punti essenziali della fisica di questo fenomeno, consideriamo il flussostazionario su una lastra piana ad incidenza nulla come in figura 9.1 ed ipotizziamo persemplicita tale flusso incomprimibile e bidimensionale. Dalle equazioni di conservazione

147

148 CAPITOLO 9. STRATO LIMITE

della massa e bilancio della quantita di moto si scrive

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (9.1)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

,

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+ ν

(

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)

,

avendo indicato, rispettivamente, con u e v le componenti di velocita ux e uy.Richiamando il concetto che nello strato limite i termini viscosi sono dello stesso ordine

di grandezza di quelli inerziali, possiamo quantificare il suo spessore δ. Riferiamoci allaseconda delle (9.1) che rappresenta il bilancio di quantita di moto nelle direzione dellacorrente x; detta L la lunghezza della lastra in x dovra risultare δ ¿ L da cui si intuisceche il secondo termine viscoso deve essere molto piu grande del primo. D’altra parte, deidue termini convettivi il primo ci da il trasporto di quantita di moto parallelamente allalastra che sara ostacolato appunto dai temini viscosi all’interno dello strato limite. Daqueste considerazioni ne segue che possiamo porre

u∂u

∂x≈ ν

∂2u

∂y2, =⇒ U2

L≈ ν

U

δ2(9.2)

da cui

δ ≈(

νL

U

)

1

2

=L√Re

, (9.3)

avendo assunto che la velocita parallela alla lastra sia dello stesso ordine di U e definendoil numero di Reynods Re = UL/ν (con ReÀ 1).

Noto lo spessore δ e possibile calcolare la relazione tra u e v. Dovendo infatti i duetermini dell’equazione di conservazione della massa essere dello stesso ordine di grandezzasi ha

∂u

∂x≈ ∂v

∂y, =⇒ U

L≈ v

δ≈ v

√Re

L, =⇒ v ≈ U√

Re= V, (9.4)

da cui si vede immediatamente che nello strato limite, oltre ad avere una dimensionemolto piu piccola dell’altra δ ¿ L si ha anche una velocita molto piu piccola dell’altrav ¿ u. Questa caratteristica fu intuita per la prima volta da Prandtl all’inizio del secoloche formulo la teoria dello strato limite basandosi sul fatto che il fenomeno avviene nelledue direzioni x ed y con scale differenti.

Volendo dare una stima sulle forze viscose si puo calcolare lo sforzo di parete

τw = µ

(

∂u

∂y

)

w

' µU

δ= µ

U

L

√Re =

√

µρU3

L(9.5)

da cui si vede che questo cresce come U 3/2 mentre diminuisce all’aumentare della lunghezzadella lastra L. Per il calcolo della resistenza totale si puo integrare lo sforzo di parete sututta la superficie della lastra per cui detta b la dimensione della lastra in figura 9.1 nelladirezione ortogonale al foglio si ha

D = b∫ L

0τdx = 2b

√

µρU 3L, (9.6)

9.1. EQUAZIONI DI PRANDTL 149

da cui emerge che la resistenza aumenta solo come√L. Cio e dovuto al fatto che lo

spessore dello strato limite cresce con la coordinata x e lo sforzo di parete diminuisce percui le regioni piu lontane dal bordo d’attacco contribuiscono meno alla resistenza rispettoa quelle piu vicine. Se vogliamo infine calcolare il coefficiente d’attrito possiamo scrivere

cf =D

12ρU2bL

= 4

√

ν

UL=

4√Re

. (9.7)

Bisogna notare che queste relazioni sono basate su considerazioni sull’ordine di grandez-za delle varie quantita quindi danno delle informazioni solo qualitative sul fenomeno. Peravere delle informazioni quantitative e necessario risolvere in qualche modo le equazioni(9.1) cercando di introdurre le semplificazioni delle ipotesi di strato limite.

9.1 equazioni di Prandtl

Abbiamo a questo punto a disposizione gli elementi per derivare le equazioni nelle ipotesi distrato limite. Le lunghezze nelle direzioni x ed y, verranno infatti scalate rispettivamentecon L e δ = L/

√Re mentre le velocita u e v con U ed U/

√Re. Introducendo allora delle

lunghezze e velocita adimensionali definite come

x∗ =x

L, y∗ =

y

δ=y

L

√Re, u∗ =

u

U, v∗ =

v

V=v

U

√Re (9.8)

si ottiene per sostituzione nelle (9.1)

U

L

∂u∗

∂x∗+

U√Re

√Re

L

∂v∗

∂y∗= 0, (9.9)

U2

Lu∗∂u∗

∂x∗+

U2

√Re

√Re

Lv∗∂u∗

∂y∗= −ρU

2

L

1

ρ

∂p∗

∂x∗+ ν

(

U

L2

∂2u∗

∂x∗2+URe

L2

∂2u∗

∂y∗2

)

,

U2

L√Re

u∗∂v∗

∂x∗+

U2

L√Re

v∗∂v∗

∂y∗= −ρU

2√Re

L

1

ρ

∂p∗

∂y∗+ ν

(

U√ReL2

∂2v∗

∂x∗2+U√Re

L2

∂2v∗

∂y∗2

)

.

Da queste relazioni, facendo il limite per Re −→ ∞ e ricordando che Re = UL/ν siricava

∂u∗

∂x∗+∂v∗

∂y∗= 0, (9.10)

u∗∂u∗

∂x∗+ v∗

∂u∗

∂y∗= −dp∗

dx∗+∂2u∗

∂y∗2,

∂p∗

∂y∗= O

(

1

Re

)

−→ 0,

dove l’ultima equazione deriva dall’osservazione che nella terza delle (9.9) il gradiente dipressione deve essere dello stesso ordine di grandezza degli altri termini (O(1/

√Re)) 1.

Dal confronto delle equazioni (9.10) con le (9.1) si vede che ci sono evidenti differenzecon notevoli semplificazioni delle seconde rispetto alle prime. Come prima osservazione

1Nello sviluppare tutti questi passaggi abbiamo anche supposto che la scala di adimensionalizzazionedelle pressioni sia P = ρU 2 ossia che il numero di Ruark ρU 2/P = Ru sia uguale ad 1. Cio si verificasempre a meno che nel problema non subentri una forzante di pressione imposta dall’esterno.


notiamo che la pressione ha variazione nulla nella direzione ortogonale alla corrente chequindi non varia attraverso lo strato limite: ∂p∗/∂y∗ = 0. Cio indica che la pressionenello strato limite e imposta dal campo esterno che puo essere facilmente determinatodalla teoria potenziale; inoltre il temine di pressione nella seconda delle (9.10) non solo euna derivata ordinaria perche dipendente solo da x ma non e nemmeno un’incognita delproblema visto che viene dal flusso esterno.

L’altra caratteristica importante e che la seconda delle (9.10) ha un solo termineviscoso avendo perso il termine di derivata seconda nella direzione x. Da un punto divista fisico questo significa che il flusso ad una certa coordinata x nella direzione dellacorrente dipende solo da cio che succede per x ≤ x al contrario delle (9.1) la cui soluzionein un punto dipende dal flusso in tutto il resto del campo. Matematicamente cio si esprimedicendo che le equazioni (9.10) sono paraboliche in x mentre le (9.1) sono ellittiche, avendoquesta distinzione anche profonde implicazioni nelle metodologie di soluzione che risultanomolto piu difficili per le seconde rispetto alle prime.

Un’altra caratteristica importante delle equazioni (9.10) e che la loro forma e indipen-dente dal numero di Reynolds. Cio implica che una volta trovata la soluzione questasara applicabile a tutte le situazioni geometricamente simili potendo poi trovare i valoridimensionali di velocita e lunghezze attraverso le definizioni (9.8).

9.2 separazione dello strato limite

Analizzando le equazioni di Prandtl per lo strato limite abbiamo visto che portano adelle notevoli semplificazioni pur fornendo tutta l’informazione necessaria all’analisi delflusso. Ci chiediamo ora fino a che punto possiamo usare le equazioni semplificate e qualefenomeno fisico ne precluda la validita. Ripercorrendo le ipotesi che ci hanno portato alleequazioni (9.10) notiamo che risulta essenziale la forte differenza di scala δ ¿ L; da unpunto di vista fisico, infatti cio ha implicato che tutte le variazioni in y fossero molto piuintense di quelle in x permettendo di trascurare alcuni termini. Si puo verificare tuttaviache, a causa dell’azione frenante dell’attrito, il flusso tenda a separare ed una particellafluida inizialmente in prossimita della parete venga trasportata lontano da essa; in questicasi l’approssimazione di strato limite cessa di essere valida.

Analizziamo piu in dettaglio lo schema di figura 9.2 osservando che a causa delladiffusione lo spessore dello strato limite δ cresce con la coordinata x nei primi 3 profili.Con la crescita di δ diminuisce progressivamente il gradiente di velocita alla parete finoad un punto in cui questo valore puo diventare nullo. Nella figura 9.2 cio accade in Sdove si osserva che, dovendo necessariamente il profilo di velocita recuperare il valore Uper y −→ ∞, il profilo in questo punto deve avere un cambio di concavita. Si osservi cheanche nel terzo profilo la concavita non e unica per cui il cambio di concavita non puoessere utilizzato come criterio per l’identificazione della separazione. Al contrario si puoaffermare che essendo un punto di separazione caratterizzato dalla condizione ∂u/∂y|w = 0il cambio di concavita nel profilo di velocita e condizione necessaria per la separazione.

Se utilizziamo il fatto che alla parete (y∗ = 0) la condizione di aderenza implicau∗ = v∗ = 0 la seconda delle (9.10) alla parete diventa

dp∗

dx∗=

(

∂2u∗

∂y∗2

)

w

, (9.11)

da cui si vede che la concavita del profilo di velocita alla parete dipende dal gradiente di

9.3. ∗ SOLUZIONE SIMILE 151

pressione imposto dal flusso esterno. In particolare se il gradiente di pressione e semprenegativo, ossia se il flusso e sempre accelerato, il profilo di velocita sara convesso e lasituazione illustrata in figura 9.2 non potra mai verificarsi.

x

y

U

S

Figura 9.2: Separazione dello strato limite su una lastra piana.

Al contrario se il flusso si muove da zone a pressione minore verso zone a pressionemaggiore il gradiente di pressione sara positivo e la concavita del profilo di velocita aparete sara positiva. In questo contesto, si puo verificare che in qualche punto il profiloraggiunga la condizione di gradiente nullo a parete e quindi il flusso separi.

Nelle figure 9.3 e 9.4 sono riportate due visualizzazioni di laboratorio di separazionidi strato limite. Nella prima la separazione avviene in un divergente a causa della dimin-uzione di velocita del flusso esterno e conseguente aumento di pressione. In figura 9.4viene mostrato, invece, che proprio a causa dell’effetto del gradiente di pressione sullostrato limite le situazioni di contrazione ed espansione non sono simmetriche verificandosiil distacco del flusso dalla parete solo nel secondo caso.

Evidentemente dall’insorgere della zona di separazione in poi non sara piu vero che levariazioni nella direzione y saranno piu grandi di quelle in x e quindi non si potranno piuusare le equazioni (9.10) ma piuttosto le (9.1).

Riguardo alla relazione (9.11) si deve notare che non e necessario conoscere effettiva-mente la pressione ma basta conoscere il campo esterno di velocita. Considerando infattila prima delle (9.1) e ricordando che il flusso esterno ha solo la componente di veloc-ita parallela al corpo e che i termini viscosi sono trascurabili si ottiene −(1/ρ)dp/dx =UdU/dx.

Osserviamo infine che la separazione dello strato limite e un fenomeno che si cerca dievitare nelle applicazioni pratiche in quanto provoca delle perdite di energia meccanica.Per esempio nell’aerodinamica esterna degli autoveicoli la presenza di bolle di separazioneaumenta il coefficiente di resistenza e quindi il consumo di carburante.

9.3 ∗ soluzione simile

Una delle possibilita per risolvere le equazioni (9.10) e di fare ricorso alle soluzioni simili.In particolare, poiche nella direzione x non c’e una scala di lunghezze assegnata si puo


Figura 9.3: Visualizzazione sperimentale della separazione dello strato limite all’inizio diun divergente.

ipotizzare che il profilo di velocita assuma un forma simile in x. Matematicamente cio siesprime dicendo che prese due coordinate x1 ed x2 ed il campo di velocita u(x, y) devevalere

u(

x1,y

h(x1)

)

g(x1)=u(

x2,y

h(x2)

)

g(x2), (9.12)

dove h e g sono due funzioni di forma. In altre parole la soluzione u(x, y) e simile see possibile far coincidere i profili di velocita per due sezioni qualunque introducendo unfattore di scala per la velocita e per la coordinata y. Dato il problema in esame, il fattoredi scala per la velocita e la velocita del flusso esterno U mentre la funzione con cui scalarela y sara lo spessore dello strato limite δ.

Se ora introduciamo la funzione di corrente possiamo porre per le velocita u = ∂ψ/∂ye v = −∂ψ/∂x per cui la seconda delle (9.10) (in forma dimensionale) diviene

∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2= U

dU

dx+ ν

∂3ψ

∂y3(9.13)

in cui si possono fare le seguenti posizioni

h(x) = δ(x) =

√

νx

U, η(x, y) =

y

δ(x)= y

√

U

νx, ψ(x, η) =

√νxUf(η) (9.14)

e per le velocita

u =∂ψ

∂y=∂ψ

∂η

∂η

∂y=

√νxUf ′(η)

√

U

νx= Uf ′, (9.15)

−v =∂ψ

∂x=

νU

2√νxU

f(η) −√νxUf ′(η)

y

2

√

U

νx3=

1

2

√

νU

x[f(η) − ηf ′(η)].


Figura 9.4: Visualizzazione sperimentale del flusso attraverso un’improvvisa contrazionee successiva espansione.

Figura 9.5: Profili di velocita a varie sezioni ed evoluzione della regione di separazioneper il flusso all’interno di un condotto divergente.

Sostituendo queste velocita nella (9.13) ed assumendo un gradiente esterno di pressionenullo (UdU/dx) si ricava

Uf ′

(

−U2f ′′η

x

)

+1

2

√

νU

x[ηf ′ − f ]Uf ′′

√

U

νx= νUf ′′′

U

νx(9.16)

che opportunamente semplificata si riduce a

f ′′′ +1

2ff ′′ = 0. (9.17)

Questa equazione e nota come equazione di Blasius che puo essere risolta con leseguenti condizioni al contorno

u(y = 0) = 0 ⇒ f ′(0) = 0, v(y = 0) = 0 ⇒ f(0) = 0, (9.18)

u(y −→ ∞) = U ⇒ f ′(η −→ ∞) = 1;


η f f ′ f ′′

0 0 0 0.3321 0.166 0.3298 0.3233 1.397 0.8461 0.1615 3.28 0.991 0.015917 5.28 0.99992 0.000228 6.279 1.0000 0.00001

Tabella 9.1: Valori tabulati per la funzione f e le sue derivate

abbiamo cosı un’equazione differenziale ordinaria non lineare del 3o ordine con 3 con-dizioni al contorno che permettono di risolvere il problema (per esempio per integrazionenumerica).

In figura 9.6 viene riportata una visualizzazione in acqua del profilo di strato limite diBlasius da cui si puo dedurre l’andamento della funzione f ′(η) al variare di η.

U

U f’( )

ηη

Figura 9.6: Visualizzazione sperimentale di un profilo di Blasius in acqua.

I valori di f sono di solito tabulati ed alcuni dati sono riportati nella tabella 9.1, dacui si possono fare alcune considerazioni. Il valore di f ′(η) (e quindi di u/U) parte da0 per η = 0 e tende asintoticamente ad 1; convenzionalmente si puo definire lo spessoredello strato limite come come la distanza dalla parete a cui la velocita u raggiunge il 99%

della U . Dalla tabella si vede che cio accade per η ' 5 per cui si ha δ ' 5√

νx/U . Ilvalore u = 0.99U e tuttavia arbitrario e se si scegliesse u = 0.999U si otterrebbe η ' 6


per cui nasce l’esigenza di una definizione piu oggettiva di spessore che prescinda dalladeterminazione di valori di soglia arbitrari.

Osserviamo a tal fine che a causa della condizione di aderenza, considerata una distanzah dalla parete tale che u ' U si ha che la portata in volume Q risulta piu piccola di quellache si avrebbe se il flusso fosse potenziale(figura 9.7). Ci si puo allora chiedere quale siala distanza dalla parete δ∗ tale che considerando il flusso tra δ∗ ed h costante ed uniformesi ottiene esattamente il flusso Q. Questa distanza si trova semplicemente imponendo che

U(h− δ∗) =∫ h

0udy,=⇒ Uδ∗ =

∫ h

0(U − u)dy,=⇒ δ∗ =

∫

∞

0

(

1 − u

U

)

dy, (9.19)

essendo stato esteso l’integrale all’infinito in quanto u/U = 1 per y > h. Usando lasoluzione di Blasius si puo quindi scrivere

δ∗ =∫

∞

0[1 − f ′(η)]dη

√

νx

U=

√

νx

U[η − f(η)]η−→∞ = 1.72

√

νx

U, (9.20)

ossia circa 1/3 di δ. Da un punto di vista fisico questa distanza ci dice di quanto dovremmospostare verso l’esterno il contorno del corpo in un’ipotetico flusso potenziale per com-pensare la perdita di flusso di massa dovuto alla condizione di aderenza; questa distanzae chiamata spessore di spostamento. Riferendoci alla figura 9.1 si tratta di trovare ladistanza δ∗ per cui le due aree indicate abbiano lo stesso valore.

U y

δ∗

Figura 9.7: Definizione di spessore di spostamento.

Sempre a causa della condizione di aderenza si ha una diminuzione di flusso di quantitadi moto per cui seguendo il ragionamento precedente si puo trovare uno spessore analogoθ (detto spessore di quantita di moto) tale che:

ρU2θ = ρ∫

∞

0u(U − u)dy =⇒ θ =

∫

∞

0

u

U

(

1 − u

U

)

dy =∫

∞

0f ′(η)[1 − f ′(η)]dη

√

νx

U(9.21)

che integrato numericamente da θ = 0.664√

νx/U .Al bordo dello strato limite la quantita ηf ′−f ∼ v e sempre positiva quindi la velocita

normale al bordo dello strato limite non e nulla. La linea y = δ(x) non e conseguentementeuna linea di corrente non essendo verificata la relazione v/u = dy/dx.


Per l’attrito di parete si ha

τw = µ

(

∂u

∂y

)

w

= µf ′′(0)

√

U3

νx= 0.332

√

ρµU3

x(9.22)

mentre per la resistenza

D = b∫ L

0τwdx = 0.332b

√

ρµU3

∫ L

0

d√x

= 0.664b√

ρµU3L. (9.23)

Per il coefficiente d’attrito si puo infine scrivere

cf =D

12ρU2bL

=1.328√Re

. (9.24)

Vogliamo ricordare che tutte queste considerazioni sono valide nel caso in cui il flussosia bidimensionale, stazionario ed in assenza di gradiente di pressione imposto dal flussoesterno. Queste condizioni sono eccessivamente restrittive per le applicazioni pratiche,tuttavia il fatto di disporre di una soluzione esatta ci permette di utilizzare lo stratolimite su una lastra piana come flusso test per validare eventuali metodi approssimati chepermettano di risolvere piu facilmente anche casi piu complessi.

Come ultima osservazione dobbiamo sottolineare che i risultati trovati valgono perflussi laminari, flussi cioe in cui il fluido scorre sopra la lastra come se fosse formatoda tante lamine parallele che scorrono una rispetto all’altra. Cio si verifica nella realtasolo per numeri di Reynolds minori di 2 · 105–5 · 105 ed il valore esatto dipende dalleperturbazioni nel flusso esterno e dalla rugosita della lastra. Per valori superiori delnumero di Reynolds si ha la transizione del flusso alla turbolenza condizione in cui il flussoe completamente tridimensionale e non stazionario. A questa condizione si accennera inun capitolo successivo.

ESEMPIO

Data la lastra in figura investita da un profilo di velocita UX(z), calcolare ladensita del fluido sapendo che la forza sulla lastra (considerata bagnata da unsolo lato) e F .

x

z

U (z)x

l

bUx(z) = 5z2 m/s l = 1 m b2 = 0.5 m

F = 6x N µ = 10−1 Ns/m2

Essendo il flusso laminare e non essendo prescritto alcun profilo di velocita ap-prossimato si possono usare le formule di Blasius che danno per lo sforzo di parete

τw = 0.332√

ρµU3/x, con x la coordinata nella direzione della corrente misurataa partire dal bordo d’attacco della lastra. Per la forza sulla lastra si avra quindi

F =∫ b

0

∫ l

0τwdxdz = 0.332

√

ρµ53

∫ b

0z3dz

∫ l

0

dx√x

= 0.332√

ρµ53b4

42√l.

Ricavando da questa relazione ρ si ottiene ρ = 26755 Kg/m3.


ESEMPIO

La resistenza di una lastra piana L1 ad incidenza nulla ed investita da una cor-rente a velocita U1 e pari a D1. Calcolare la resistenza di una seconda lastra L2

investita dallo stesso fluido della lastra precedente ma a velocita U2.

L

l

U

2

22

2bL

l

U

1

1 1b1 D1 = 290 N b1 = l1 = 1. m U1 = 20 cm/sb2 = 1.3 m l2 = 1.5 m U2 = 11 cm/s

Soluzione

Essendo il flusso laminare su lastre piane ad incidenza nulla (e non essendospecificato alcun tipo di profilo di velocita approssimato) si puo usare la soluzionedi Blasius che fornisce

τw = 0.332

√

ρµU3

x, D =

∫ b

0

∫ l

0τwdS = 0.664

√

ρµU3b√l.

Per la prima lastra si ha D1 = 0.664√ρµb1

√

l1U31 da cui si ricava

√ρµ. Per la

seconda lastra si potra quindi scrivere

D2 = 0.664√ρµb2

√

l2U32 = D1

(

U2

U1

)

3

2 b2b1

(

l2l1

)1

2

= 188.3 N.


ESEMPIO

La ‘ventola’ in figura ha due pale ad incidenza nulla e ruota in aria a velocitacostante Ω. Calcolare la potenza necessaria a mantenere la ventola in rotazionesupponendo il flusso laminare e localmente bidimensionale (ossia ogni striscia dipala parallela al lato h si comporta indipendentemente dalle altre).

h = 20 cm l = 0.5 m Ω = 150 giri/min

Soluzione

Prendendo un asse y allineato con il bordo d’attacco della pala ed un asse xortogonale, Essendo lo strato limite laminare e bidimensionale, risultera

dF = τdxdy = 0.332

√

ρµΩ3y3

xdxdy

con U(y) = Ωy la velocita che investe ogni striscia di pala ed x la distanza dalbordo d’attacco. Per il momento dispetto all’asse di rotazione risulta

dM = ydF, M =∫ l

0

∫ yh/l

00.332

√

ρµΩ3y5/2x−1/2dxdy =0.332

2

√

ρµΩ3h

ll4.

Considerando ora che ogni pala ha 2 superfici bagnate ed il rotare ha due palene risulta che la potenza sara data da

W = 4MΩ = 0.664√

ρµhΩ5/2l7/2 = 0.1232 W.

9.4 equazione integrale dello strato limite

Nella sezione precedente abbiamo visto un caso in cui l’equazione per lo strato limite puoessere risolta in modo esatto trovando la soluzione in ogni punto del campo. In generalequesta procedura non puo essere seguita in quanto la soluzione analitica presenta delledifficolta insormontabili. Una possibile alternativa consiste nel richiedere che l’equazionenon sia soddisfatta puntualmente ma che lo sia una sua media effettuata su tutto lo spes-sore dello strato limite. Partendo allora dalle equazioni per lo strato limite ed integrandoin direzione normale alla parete fino ad un’altezza h (essendo h grande abbastanza daessere per qualunque x al di fuori dello strato limite) si ottiene:

∫ h

0

(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y− U

dU

dx

)

dy =µ

ρ

∫ h

0

(

∂2u

∂y2

)

dy. (9.25)

Il secondo membro dopo l’integrazione puo essere immediatamente posto uguale a −τw/ρrisultando ∂u/∂y = 0 per y = h. Dall’equazione di continuita ricaviamo

∂u

∂x= −∂v

∂y=⇒ v = −

∫ y

0

∂u

∂xdy, (9.26)

9.4. EQUAZIONE INTEGRALE DELLO STRATO LIMITE 159

che possiamo sostituire nel primo membro della (9.25)

∫ h

0

(

u∂u

∂x− ∂u

∂y

∫ y

0

∂u

∂xdy − U

dU

dx

)

dy = −τwρ. (9.27)

Integrando il secondo termine per parti

∫ h

0

(

∂u

∂y

∫ y

0

∂u

∂xdy

)

dy = U∫ h

0

∂u

∂xdy −

∫ h

0u∂u

∂xdy =

∫ h

0

∂u

∂x(U − u)dy. (9.28)

Risostituendo l’espressione trovata nella (9.27), aggiungendo e sottraendo il termine ∂uU/∂xnell’integrale e combinando opportunamente i termini si ottiene

∫ h

0

∂

∂x[u(U − u)]dy +

∫ h

0

dU

dx(U − u)dy =

τwρ. (9.29)

Osserviamo ora che poiche h non dipende da x le derivazioni in x possono essere portatefuori dal segno di integrale. Inoltre per y > h tutte le funzioni integrande vanno a zeroquindi gli integrali si possono estendere fino all’∞ da cui, ricordando le espressioni per lospessore di spostamento e di quantita di moto si ottiene

dθU2

dx+ δ∗U

dU

dx=τwρ. (9.30)

Questa e l’equazione integrale dello strato limite anche detta equazione di von Karmanche mette in relazioni le grandezze integrali dello strato limite con lo sforzo di parete.

L’essenza della soluzione di questa equazione consiste nell’assumere un profilo di ve-locita che soddisfi le condizioni al contorno e la continuita con la soluzione esterna eprocedere con il calcolo di δ∗, θ e τw i cui valori saranno funzione della coordinata x edei parametri liberi assunti nel profilo di velocita. Sostituendo il risultato in (9.30) siotterra un’equazione differenziale dalla cui soluzione si ottengono le formule per δ∗, θ eτw e quindi per le quantita derivate.

A titolo di esempio consideriamo il flusso intorno ad una lastra piana ad incidenza nullaper il quale abbiamo la soluzione esatta di Blasius come termine di paragone. Risultandoil gradiente di pressione esterno nullo (dU/dx = 0) l’equazione integrale si riduce a

U2 dθ

dx=τwρ. (9.31)

Assumendo come profilo di velocita u/U = y/δ = η si ha che questo soddisfa la condizionedi aderenza alla parete (u = 0 per y = 0) e la continuita con la soluzione esterna (u = Uper y = δ). Dalle definizioni di θ e τw abbiamo

θ =∫

∞

0

u

U

(

1 − u

U

)

dy =∫ 1

0η(1 − η)δdη =

δ

6, τw = µ

(

∂u

∂y

)

y=0

= µU

δ, (9.32)

e sostituendo queste espressioni nella (9.31) si ottiene una semplice equazione differenzialein δ

U2

6

dδ

dx=µ

ρ

U

δ=⇒ δ =

√12

√

νx

U, (9.33)


che ci da l’espressione per lo spessore dello strato limite in funzione di x. Noto δ(x) epossibile procedere a ritroso e calcolare tutte le altre quantita

θ = 0.557

√

νx

U, δ∗ = 1.732

√

νx

U, τw0.288

√

ρµU3

x, (9.34)

mentre per il coefficiente d’attrito e la resistenza si ottiene

cf = 1.152

√

ν

UL, D = 0.576b

√

ρµU3L. (9.35)

Tutti questi valori vanno confrontati con la soluzione esatta di Blasius e dal confrontosi vede che nonostante il profilo u/U = η sia il piu semplice che si possa usare i valorinumerici non vengono troppo dissimili da quelli esatti. Valori ancora piu prossimi aquelli esatti si possono comunque ottenere utilizzando profili di velocita piu complicatiche replichino anche le caratterstiche di curvatura del profilo di Blasius (funzioni cubiche,seno oppure funzioni a tratti).

Vogliamo infine ricordare che se il contorno del corpo non e di forma semplice, se ilgradiente di pressione non e nullo o se il profilo non e simile la procedura di soluzione(concettualmente identica) si complica notevolmente e si deve ricorrere a diverse fun-zioni a seconda del gradiente di pressione. Alla fine si giunge comunque ad un’equazionedifferenziale per δ(x) dalla cui soluzione si ricavano δ∗, θ e τw.

9.4. EQUAZIONE INTEGRALE DELLO STRATO LIMITE 161

ESEMPIO

Data una lastra piana ad incidenza nulla investita da una corrente uniforme d’ariaa velocita U , considerando il flusso laminare ed assegnato l’andamento del profilidi velocita u(y), determinare l’andamento dello sforzo di parete in funzione di x

δu(y)

U

x

u(y)

U= −1

2

(

y

δ

)3

+3

2

(

y

δ

)

, δ ≥ y

u(y)

U= 1 δ < y

U = 1.5 m/s

Soluzione

Partendo dall’equazione integrale dello strato limite (nel caso di gradiente dipressione nullo) τw/ρ = U 2dθ/dx, per il profilo di velocita assegnato su ha τw =µdu/dy |y=0= 3µU/(2δ) e per θ

θ =∫

∞

0

u

U

(

1 − u

U

)

dy =39δ

280.

Questi valori risostituiti nell’equazione di partenza forniscono

3µU

2δ=

39ρU 2

280

dδ

dx=⇒ 140ν

13Udx = δdδ =⇒ δ =

√

280ν

13U

√x = 0.0145

√xm,

da cui

τw =

√

117ρµU 3

1120

√

1

x= 0.00284

√

1

x

Kg

s2m.


ESEMPIO

Su una lastra piana con un gradiente di pressione nullo scorre dell’acqua a velocitaU . Supponendo il profilo di velocita nello strato limite simile ed approssimabilecon due tratti rettilinei come in figura, calcolare lo spessore dello strato limitead una distanza l dal bordo d’attacco.

2/3 1

1/2

1

u/U

y/δ

l = 20 cm U = 2.7 m/s

Soluzione

Per il profilo di velocita si ha: u/U = 4y/(3δ) per 0 ≤ y ≤ δ/2 e u/U =(2y + δ)/(3δ) per δ/2 ≤ 1. Lo sforzo di parete e τw = µ4U/(3δ) mentre lospessore di quantita di moto sara θ = 0.1574δ. Dall’equazione integrale per lostrato limite si scrive

τwρ

= U 2 dθ

dy, δdδ =

4ν

3U0.1574dx, δ = 0.00177

√x,

da cui δ(0.2) = 1.12 mm.

Capitolo 10

∗ Turbolenza

10.1 fenomenologia della turbolenza

L’osservazione di flussi turbolenti e un’esperienza quotidiana che identifichiamo con ilmoto non stazionario, irregolare ed apparentemente caotico di un fluido. Le volute formatedal fumo di una sigaretta nel suo moto ascensionale, il miscelamento tra latte e caffeall’interno di una tazza o la scia irregolare di un fiume a valle del pilone di un ponte sonosolo alcuni esempi tra un’innumerevole quantita.

Sebbene il concetto di turbolenza sia abbastanza chiaro per ognuno di noi, non ealtrettanto chiaro l’effetto che ha la turbolenza sulle caratteristiche globali di un flusso.

Si consideri, per esempio l’accensione di una sigaretta all’interno di una stanza; eesperienza comune che dopo pochi secondi la presenza del fumo puo essere avvertita intutta la stanza, indicando che il fumo ha “diffuso” ovunque. Un’interpretazione ingenuapotrebbe indurre a pensare che la diffusione sia la causa di questo fenomeno ma unastima delle scale temporali esclude inequivocabilmente questo fattore. Detta infatti ν laviscosita cinematica dell’aria ed L la distanza percorsa dal fumo, il tempo impiegato dalfumo per percorrere tale lunghezza risulta Tν = L2/ν che, utilizzando i parametri dell’ariaed ipotizzando L = 4m fornisce Tν ' 1.07 · 106s (circa 12 giorni)! In realta il temporisulterebbe ancora maggiore in quanto per tale calcolo non bisognerebbe considerare νche da la diffusivita della quantita di moto ma la diffusivita κ del fumo in aria; potendoporre κ = νSc (essendo Sc il numero di Schmidt che vale circa Sc = 0.7 per l’aria) siotterrebbe Tν ' 17.7giorni.

Si potrebbe comunque osservare che poiche il fumo di sigaretta e piu caldo dell’ariacircostante, la convezione naturale ha un ruolo rilevante nella diffusione del fumo. Unastima dimensionale, tuttavia fornisce delle velocita dell’ordine dei cm/s che, combinatacon l’osservazione che il fumo caldo sale verso l’alto e non si propaga orizzontalmente,porta comunque a dei tempi di ore in netto contrasto, con l’esperienza quotidiana.

La ragione della discrepanza tra l’esperienza pratica e le due stime quantitative eche in entrambi i casi, si e trascurata la presenza della turbolenza. Le fluttuazioni divelocita indotte nel fluido dal moto turbolento, infatti, hanno la capacita di trasportareuna quantita (scalare o vettoriale) molto rapidamente anche in assenza di moto medio. Cioporta ad assimilare l’effetto della turbolenza con un notevole aumento della diffusivita delfluido che arriva ad essere anche due o tre ordini di grandezza maggiore rispetto al valoremolecolare. Un studio piu attento dei fenomeni turbolenti mostrera comunque che questo

163

164 CAPITOLO 10. ∗ TURBOLENZA

e solo l’effetto piu visibile di una dinamica molto complessa che coinvolge principalmentei termini non lineari delle equazioni di Navier–Stokes.

Per fornire un altro esempio sugli effetti macroscopici della turbolenza consideriamo laportata di un fluido attraverso un tubo a sezione circolare di raggio R e lunghezza L peruna data differenza di pressione ∆p. In base alla soluzione laminare di Hagen–Poiseuillesi potrebbe scrivere Q = πR4∆p/(8µL) indicando che sarebbe sufficiente una differenzadi pressione di un Pascal per ogni metro di lunghezza per avere in un tubo di raggioR = 0.5 m una portata d’acqua di Q ' 20 m3/s. Questo risultato sovrastima in modomolto grossolano la portata reale che risulta 1 invece Q ' 0.25 m3/s. Il motivo di taledifferenza e che il numero di Reynolds del flusso e Re ' 3 · 105 ossia molto al di sopra dellimite Re = 2100 di validita della soluzione laminare; in tali condizioni, il flusso all’internodel condotto non puo considerarsi ne stazionario ne tantomeno piano (ossia contenentela sola componente di velocita nella direzione della corrente) e le intense fluttuazionidi velocita “diffondono” la quantita di moto in modo molto efficiente comportando unapparente aumento degli sforzi viscosi.

Questo esperimento e stato descritto per la prima volta in modo sistematico da O.Reynolds nel 1883 il quale, conducendo degli esperimenti sul flusso all’interno di tubi asezione circolare, osservo che combinando la velocita media del flusso U , il diametro deltubo d e la viscosita cinematica del fluido ν nel fattore Ud/ν (che in seguito prese ilnome di numero di Reynolds) si poteva descrivere la dinamica del flusso in 3 categoriedifferenti. Per Re ≤ 2100 il flusso si manteneva stazionario e si comportava come sedelle lamine rettilinee (da cui il temine flusso laminare) scorressero le une sulle altreinteragendo solo attraverso degli sforzi tangenziali. Questo comportamento fu notatoosservando l’evoluzione di una “streakline” di inchiostro rilasciata da una posizione fissaall’interno del condotto; la linea di colorante, infatti, si manteneva rettilinea diffondendomolto debolmente mentre si allontanava dalla sorgente.

2100 < Re < 4000

Re > 4000

Re < 2100

Figura 10.1: Disegno schematico dell’esperimento di Reynolds.

Per 2100 ≤ Re ≤ 4000 la linea di colorante perdeva la sua stazionarieta e si propa-gava lungo una traiettoria ondulata con caratteristiche dipendenti dal tempo. In questo

1Questo risultato e stato determinato utilizzando il valore del fattore d’attrito f determinato daldiagramma di Moody ipotizzando una rugosita relativa delle superfici del tubo pari a ε/D = 10−3.

10.1. FENOMENOLOGIA DELLA TURBOLENZA 165

regime transizionale, tuttavia la traccia di colorante preservava la sua coerenza spazialerimanendo confinata in una linea sottile.

Al contrario, per Re ≥ 4000, dopo un tratto iniziale con oscillazioni di ampiezzacrescente la traccia d’inchiostro veniva diffusa vigorosamente in tutta la sezione trasversaledel tubo fino a distribuirsi omogeneamente in tutto il flusso. Quest’ultimo regime e dettoturbolento ed e caratterizzato da un moto disordinato, completamente tridimensionale enon stazionario e da delle fluttuazioni di velocita con caratteristiche non deterministiche.

Un tipico esempio di segnale turbolento di velocita e mostrato in figura 10.2 da cui sivede che la velocita oscilla intorno ad una valore medio senza alcuna frequenza specifica.Un’altra caratteristica comune a tutti i flussi turbolenti e che se si ripete lo stesso esperi-mento e si misura la stessa quantita nello stesso punto per lo stesso intervallo temporale siottengono dei segnali notevolmente differenti se confrontati istantaneamente mentre essihanno le stesse caratteristiche statistiche (valore medio, deviazione standard, etc.).

0.880.9

0.920.940.960.98

11.021.041.061.08

0 5 10 15 20 250.880.9

0.920.940.960.98

11.021.041.061.08

0 5 10 15 20 25

T T

u/U u/U

Exp.1 Exp.2

Figura 10.2: Segnali turbolenti di velocita per due realizzazioni successive dello stessoesperimento.

Questa osservazione sembra a prima vista inconciliabile con la natura delle equazioniche governano il fenomeno, cioe le equazioni di Navier–Stokes; essendo infatti le equazionidi tipo deterministico ed avendo condizioni iniziali ed al contorno definite si ha che anchela soluzione deve essere deterministica nello spazio e nel tempo. Questo dilemma e statorisolto da Lorentz che nel 1963 mostro che alcuni sistemi non lineari possono avere unatale sensibilita alle condizioni iniziali che perturbazioni inapprezzabili nei parametri dipartenza determinano rapidamente soluzioni completamente differenti 2.

A tale scopo si consideri il sistema di equazioni

x = σ(y − x), (10.1)

y = ρx− y − xz,

z = −βz + xy,

in cui i parametri valgono σ = 10, β = 8/3 e ρ = 35 con le condizioni iniziali x(0) = 0.5,y(0) = 0.1 e z(0) = 0.3; la soluzione di questo sistema e riportata in figura 10.3 dove

2Questo esempio e stato preso dal testo ‘Turbulent Flows’ by S.B. Pope, Cambridge Univ. Press,2000).


il tempo e il parametro lungo la curva si puo osservare il noto attrattore di Lorentz. Infigura 10.4, viene riportata invece con una linea continua l’andamento temporale per unadella variabile y(t) del sistema (10.1).

Se, lasciando tutto invariato, si considerano le condizioni iniziali x(0) = 0.5, y(0) =0.100001 e z(0) = 0.3 si nota che dopo un intervallo di tempo iniziale (in questo casot ≥ 15 ma il valore dipende dalle condizioni iniziali e dai parametri σ, β e ρ) le duesoluzioni differiscono nei valori istantanei e possono essere confrontate solo nei valorimedi e nell’ampiezza delle fluttuazioni (figura 10.4, linea tratteggiata).

-25-20-15-10 -5 0 5 10 15 20 -30-20

-100

1020

3040

010203040506070

x

y

z

initial condition

Figura 10.3: Attrattore di Lorentz nello spazio tridimensionale x–y–z.

Facendo un parallelo con le equazioni di Navier–Stokes possiamo annoverare tra iparametri iniziali sicuramente il campo di velocita, la pressione e la geometria del con-dotto, ma anche la distribuzione iniziale di temperatura (che determina la viscosita delfluido) la presenza di eventuali impurita e le condizioni di finitura superficiale del tubo.Questi ultimi parametri non possono essere controllati in modo arbitrariamente preciso ecio determina (attraverso la non linearita delle equazioni) la dinamica non deterministicaprecedentemente descritta. In altre parole, per quanto si cerchi di mantenere controllatitutti i parametri di un esperimento e impossibile che due relizzazioni successive dello stes-so fenomeno abbiano le condizioni iniziali replicate con una precisione infinita e cio portainevitabilmente a soluzioni divergenti nel tempo.

I termini non lineari sono anche gli artefici della produzione di fluttuazioni ‘locali’di velocita che comportano la generazione di strutture fluidodinamiche di piccola scala.Riconsiderando infatti l’esempio del flusso nel condotto, ci si convince facilmente che ladifferenza di pressione imposta ∆p fornisce energia solamente al moto medio, mentre ladispersione dell’inchiostro in tutto il flusso richiede l’azione di strutture piccole rispetto aldiametro del tubo in grado di miscelare localmente il colorante con il fluido non marcato;come viene trasferita l’energia dal moto a grande scala fino alle strutture piu piccole?

Per rispondere a questa domanda consideriamo l’equazione di Burgers, un’equazionemonodimensionale, che ha tutte le caratteristiche principali delle equazioni di Navier–


-30

-20

-10

0

10

20

30

0 10 20 30 40 50 60t

y(t)

Figura 10.4: Evoluzione temporale della variabile y(t) soluzione dell’equazione di Lorentz:condizioni iniziali originali, condizioni iniziali perturbate.

Stokes tranne il termine di pressione:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x= ν

∂2u

∂2x. (10.2)

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1.57 3.14 4.71 6.28-1

-0.5

0

0.5

1

0 1.57 3.14 4.71 6.28-1

-0.5

0

0.5

1

0 1.57 3.14 4.71 6.28

sin(3x)sin(x) sin(5x)

x x x

L L L1 3 5

Figura 10.5: Esempio di variazione di lunghezza d’onda Lk con il numero d’onda k.

Immaginiamo ora che l’intervallo di definizione della soluzione sia x ∈ [0, 2π) e che lasoluzione sia periodica in x con media nulla; con queste ipotesi e possibile espandere lau(x, t) con una serie di seni

u(x, t) =∞∑

k=1

Ak(t) sin(kx), (10.3)

in cui la dinamica della soluzione e tenuta in conto dai coefficienti Ak(t) mentre la basedi seni soddisfa automaticamente le condizioni al contorno. A titolo di esempio vengonoriportate in figura 10.5 le funzioni seno per k = 1, 3, 5 da cui si puo notare che la lunghezzadella singola onda (detta appunto lunghezza d’onda) e pari ad Lk = 2π/k e che il gra-diente della curva diventa tanto piu ripido quanto piu aumenta k. Con questo semplice


esempio abbiamo quindi imparato che l’indice k ci da l’informazione sulla dimensionedella struttura e sui gradienti spaziali che, rispettivamente, diminuiscono ed aumentanoal crescere di k.

Avendo fatto questa precisazione, possiamo utilizzare la sommatoria (10.3) per es-primere i singoli termini della (10.2) ed ottenere

∂u

∂t=

∞∑

k=1

Ak(t) sin(kx), (10.4)

∂u

∂x=

∞∑

k=1

Ak(t)k cos(kx),

∂2u

∂2x= −

∞∑

k=1

Ak(t)k2 sin(kx),

u∂u

∂x=

∞∑

l=1

∞∑

m=1

Al(t)Am(t)m sin(lx) cos(mx) =

∞∑

l=1

∞∑

m=1

Al(t)Am(t)m

2sin[(l +m)x] + sin[(l −m)x].

Questi termini possono essere risostituiti nell’equazione (10.2) che diventa

∞∑

k=1

Ak(t) sin(kx)+∞∑

l=1

∞∑

m=1

Al(t)Am(t)m

2sin[(l+m)x]+sin[(l−m)x] = −ν

∞∑

k=1

Ak(t)k2 sin(kx).

(10.5)Osservando ora la proprieta di ortogonalita delle funzioni seno

∫ 2π

0sin(px) sin(qx)dx = πδpq,

abbiamo che moltiplicando l’equazione (10.5) per sin(kx) ed integrando tra 0 e 2π siottiene

Ak(t)π +∞∑

l=1

∞∑

m=1

πAl(t)Am(t)m

2= −πνk2Ak(t), k = 1, 2, ....,∞,

essendo la doppia sommatoria ristretta ai soli m ed l tali che l+m = k ed l−m = k ossia

Ak +∞∑

m=1

m(

AmAk−m

2+AmAk+m

2

)

= −νk2Ak, k = 1, 2, ....,∞. (10.6)

L’equazione appena trovata indica che le variazioni nel tempo della quantita di motonel modo k–esimo (Ak) hanno due cause, una lineare ed una non lineare. Per compren-dere meglio l’effetto dei due termini sorgente immaginiamo per un istante di cancellaredall’equazione di partenza (10.2) i termini non lineari, ottenendo che la (10.6) diventa

Ak = −νk2Ak,=⇒ Ak(t) = Ak(0)e−νk2t, k = 1, 2, ....,∞, (10.7)

da cui si nota che ogni componente Ak decresce inesorabilmente nel tempo tanto piu rapi-damente quanto piu e viscoso il fluido e quanto piu e piccola la struttura (ossia quanto piugrande e k). L’altro risultato notevole e che in assenza di termini non lineari l’evoluzione


di ogni modo Ak e indipendente dagli altri; cio implica che una condizione iniziale checontenesse solamente un numero finito di Ak(0) (per esempio k = 1, 3, 8) evolverebbe uni-camente con i modi 1, 3, 8 ognuno decrescendo nel tempo indipendentemente dagli altrisecondo la soluzione appena ricavata. In figura 10.6 e riportata la soluzione in termini diu(x, t) e di Ak(t) dell’equazione (10.7) in cui si vede che effettivamente solo i coefficientiAk presenti nella condizione iniziale determinano la dinamica del fenomeno e che questidecrescono nel tempo tanto piu rapidamente quanto piu e grande k.

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1.57 3.14 4.71 6.280

0.25

0.5

0.75

1

0 2 4 6 8 10 12 14

kx

u(x) Ak

Figura 10.6: Evoluzione temporale dell’equazione di Burgers (senza i termini non lineari)ν = 10. A sinistra e’ riportata l’evoluzione temporale di u(x, t), rispettivamente per

t = 0, t = 0.5 e t = 1. A destra ci sono i coefficienti Ak per gli stessitempi.

Al contrario, la presenza dei termini non lineari modifica completamente la dinamicadel fenomeno, trasferendo quantita di moto dalla componente k alle componenti k − me k + m. Per illustrare piu in dettaglio questo concetto, immaginiamo che il numero ditermini della sommatoria (10.3) sia limitato a 3 invece che infinito. L’equazione (10.6)scritta per componenti risulterebbe allora:

A1 + (A1A0 + A1A2)1

2+ (A2A−1 + A2A3)

2

2+ (A3A−2 + A3A4)

3

2= −νA1, (10.8)

A2 + (A1A1 + A1A3)1

2+ (A2A0 + A2A4)

2

2+ (A3A−1 + A3A5)

3

2= −νA2,

A3 + (A1A2 + A1A4)1

2+ (A2A1 + A2A5)

2

2+ (A3A0 + A3A6)

3

2= −νA3,

e osservando che risulta Ap ≡ 0 per p ≤ 0 e p > 3 si riducono a

A1 +A1A2

2+ A2A3 = −νA1, (10.9)

A2 +A1A1

2+A1A3

2,= −4νA2

A3 +3A1A2

2= −9νA3.

Se ora consideriamo una condizione iniziale contenente solo A1 (per esempio un senocome il primo pannello di figura 10.7) si vede che a causa del termine A1A1/2 risultera


nell’istante iniziale A2 6= 0 indicando che parte della quantita di moto viene trasferitanella componente A2. D’altra parte, quando risulta A2 6= 0, anche il temine 3A1A2/2verra attivato nell’equazione per A3 e quindi anche la terza struttura verra interessatadal moto del flusso. Se ricordiamo quindi che al crescere di k diminuisce la dimensionedella struttura, abbiamo che i termini non lineari hanno come effetto quello di trasferire il‘moto’ (e quindi l’energia) dalle strutture grandi a quelle piu piccole 3 con un meccanismodetto di ‘cascata’ dai moti a grande scala verso quelli piu piccoli e locali.

In particolare se nell’esempio precedente invece di limitare a 3 il numero di termini neavessimo infiniti, avremmo un trasferimento di energia verso strutture sempre piu piccole(k grandi) in un tempo tanto piu lungo quanto piu distante risulterebbe k dal modo k = 1contenente energia nella condizione iniziale. Questa osservazione ci pone quindi un nuovointerrogativo e cioe se il trasferimento dell’energia procede indefinitamente fino a k = ∞oppure se interviene qualche meccanismo in grado di bloccare questa cascata.

La risposta e fornita dalla soluzione analitica (10.7) da cui si vede come la viscositadiminuisca rapidamente il contenuto energetico del modo k–esimo all’aumentare di k. Sein particolare questa diminuzione e sufficientemente rapida, si puo inibire il trasferimentodi energia verso numeri d’onda k elevati semplicemente perche l’energia viene dissipataprima ancora che riesca ad essere trasferita. In pratica la viscosita opera un ‘taglio’ sulladimensione minima della struttura che e possibile generare (o sul k massimo) in un flussoe questo taglio dipende sia dal valore della viscosita ν sia da quanto velocemente l’energiaviene trasferita da un modo all’altro; si potrebbe verificare, infatti, che il flusso di energiaverso le piccole scale e cosı rapido che la viscosita e costretta a ‘spostare’ il k di taglioverso valori maggiori dove puo agire piu efficientemente.

Le considerazioni appena fatte sono mostrate mediante due esempi in cui si riportala soluzione dell’equazione di Burgers, entrambe con la medesima condizione iniziale, macon due diversi valori di viscosita. Confrontando le figure 10.7 e 10.8 si nota come nelcaso a viscosita minore la curva presenti un gradiente piu ripido in corrispondenza delpunto x = π. Ragionando in termini di Ak abbiamo quindi che la soluzione con viscositapiccola conterra Ak con k piu elevati rispetto alla soluzione piu viscosa. Cio e confermatodai pannelli di destra delle figure 10.7 e 10.8 che riportano l’evoluzione temporale delladistribuzione degli Ak, consistentemente con gli argomenti precedentemente discussi.

Riconsiderando con quest’ottica l’esperimento di Reynolds per il flusso all’interno ditubi, si comprende che se il numero di Reynolds e piccolo (Re < 2100) gli effetti viscosiprevalgono su quelli inerziali (non lineari) e, essendo inibito ogni trasferimento di energia,il moto medio a grande scala non degenera in strutture piu piccole. Al contrario, quandogli effetti inerziali prevalgono su quelli viscosi (Re > 4000) il trasferimento tra i modi saraattivato ed il moto inizialmente uniforme produrra strutture fluidodinamiche piu piccole.

Queste ultime osservazioni costituiscono la base di partenza della teoria della turbolen-za tridimensionale che illustreremo brevemente in una sezione successiva.

3Cio non e vero nella turbolenza bidimensionale dove l’effetto combinato dei termini non lineari ed itermini viscosi crea un trasferimento in direzione opposta rispetto al caso monodimensionale e tridimen-sionale. Questo spiega la formazione di strutture di grande scala nell’atmosfera e negli oceani (grandicircolazioni e correnti).

10.2. EQUAZIONI DI REYNOLDS 171

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1.57 3.14 4.71 6.280

0.25

0.5

0.75

1

0 2 4 6 8 10 12 14

kx

u(x) Ak

Figura 10.7: Evoluzione temporale dell’equazione di Burgers ν = 10−1. A sinistra e’riportata l’evoluzione temporale di u(x, t), rispettivamente per t = 0, t = 0.5 e

t = 1. A destra ci sono i coefficienti Ak per gli stessi tempi.

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1.57 3.14 4.71 6.280

0.25

0.5

0.75

1

0 2 4 6 8 10 12 14

kx

u(x) Ak

Figura 10.8: Evoluzione temporale dell’equazione di Burgers ν = 10−3. A sinistra e’riportata l’evoluzione temporale di u(x, t), rispettivamente per t = 0, t = 0.5 e

t = 1. A destra ci sono i coefficienti Ak per gli stessi tempi.

10.2 equazioni di Reynolds

Nella sezione precedente abbiamo visto che in un flusso turbolento, anche con condizioni alcontorno e forzanti stazionarie, il campo di velocita e non stazionario con oscillazioni nondeterministiche intorno ad un valore medio che eventualmente puo dipendere anch’essodal tempo.

E utile chiarire immediatamente che questa dinamica cosı complessa e interamentecontenuta nelle equazioni di Navier–Stokes che sono in grado di descrivere il moto e l’in-terazione di tutte le scale di moto, fino alle piu piccole e dissipative. Purtroppo dal puntodi vista pratico, l’estremo dettaglio con cui queste equazioni descrivono il flusso costitu-isce al tempo stesso la debolezza del modello in quanto le risorse di calcolo necessarie perla risoluzione di queste equazioni crescono vertiginosamente con il numero di Reynolds(∼ Re3). Se si considera che nei problemi pratici si ha Re = 106 − 109 si capisce im-mediatamente che una soluzione del problema con un metodo ‘diretto’ e tecnicamenteimpossibile.

D’altra parte per alcune applicazioni pratiche la sola conoscenza delle grandezze medie


puo essere sufficiente per la soluzione del problema, ci si chiede quindi se sia possibile,partendo dalle equazioni di Navier–Stokes, derivare delle equazioni piu semplici per le solegrandezze medie.

A tal fine, iniziamo con l’osservare che dato un qualunque segnale dipendente daltempo (nella fattispecie la velocita) e possibile decomporlo in un valore medio ed unafluttuazione. Nel caso in cui il valore medio sia costante nel tempo allora si puo porre:

u(x, t) = U(x) + u′(x, t), (10.10)

risultando

U(x) =< u(x, t) >= limT−→∞

1

T

∫

T

0

u(x, t)dt e u′(x, t) = u(x, t) − U(x), (10.11)

in cui tutta la non stazionarieta del segnale e nella fluttuazione (figura 10.9). Dalledefinizioni risulta identicamente < u′(x, t) >≡ 0, proprieta che tornera utile nella decom-posizione delle equazioni del moto.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20

t t t

u + u’= U

Figura 10.9: Decomposizione di un segnale statisticamente stazionario in parte media eparte fluttuante.

Se la velocita media risulta invece anch’essa funzione del tempo allora l’operazione dimedia non va effettuata per un tempo infinito ma su un’intervallo finito che risulti moltogrande rispetto alle scale temporali delle fluttuazioni ma abbastanza breve se confrontatocon i tempi di variazione del campo medio 4 (figura 10.10).

La decomposizione appena illustrata puo naturalmente essere effettuata per la pres-sione p e per tutte le altre variabili dipendenti delle equazioni di Navier–Stokes e diconservazione della massa. Per semplicita tratteremo solo il caso ρ = const. (flussoincomprimibile omogeneo) per cui, l’equazione di continuita si puo decomporre in

∇ · u = ∇ · (U + u′) = 0, =⇒ ∇ · U = 0, e ∇ · u′ = 0, (10.12)

rispettivamente per la velocita media e quella fluttuante. La seconda delle (10.12) estata ottenuta dalla prima dopo aver affettuato un’operazione di media, aver notato che< u′ >≡ 0 e che l’operazione di media e di divergenza commutano (in quanto entrambioperatori lineari). La terza delle (10.12) e infine ottenuta semplicemente per sottrazionedella seconda dalla prima.

4Questa operazione e ben definita quando esiste una netta separazione tra i periodi delle piccolefluttuazioni e quelli del campo medio. In turbolenza questa eventualita si verifica assai raramente (ameno che non ci siano forzanti periodiche imposte esternamente) e la decomposizione in parte media eparte fluttuante puo presentare delle ambiguita.

10.2. EQUAZIONI DI REYNOLDS 173

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20

t t t

u + u’= U

Figura 10.10: Decomposizione di un segnale statisticamente non stazionario in partemedia e parte fluttuante.

Per decomporre in modo analogo le equazioni di Navier–Stokes

∂u

∂t+ ∇ · (uu) = −1

ρ∇p + ν∇2u, (10.13)

osserviamo che per tutti i termini, tranne quello non lineare possiamo porre

∂u

∂t=∂U

∂t+∂u′

∂t, ∇p = ∇P + ∇p′, ∇2u = ∇2U + ∇2u′. (10.14)

Il termine non lineare si decompone invece secondo

∇· (uu) = ∇· [(U+u′)(U+u′) = ∇· (UU)+∇· (Uu′)+∇· (u′U)+∇· (u′u′). (10.15)

Se ora sostituiamo i termini cosı decomposti nell’equazione (10.13) e ne facciamo la media,osservando che risulta < Uu′ >=< u′U >≡ 0 mentre < u′u′ >6= 0 si ottiene

∂U

∂t+ ∇ · (UU) + ∇ · (< u′u′ >) = −1

ρ∇P + ν∇2U, (10.16)

e sottraendo questa equazione dalla (10.13) si ricava l’equazione per le fluttuazioni

∂u′

∂t+ ∇ · (u′u′) + ∇ · (Uu′) + ∇ · (u′U) −∇ · (< u′u′ >) = −1

ρ∇p′.+ ν∇2u′, (10.17)

L’equazione (10.16) e la seconda delle (10.12) costituiscono le equazioni della dinamicadel campo medio e se non fosse per il termine ∇·(< u′u′ >) queste sarebbero identiche alla(10.13) e la prima delle (10.12) che sono le equazioni di partenza. La differenza potrebbesembrare marginale ma mentre il sistema originale di equazioni e chiuso (4 equazioni nelle4 incognite u e p) le equazioni del campo medio rimangono 4 a fronte di un numero diincognite che sale a 13, u , p ed il tensore 5 del secondo ordine < u′u′ >. Questo problemae noto come ‘chiusura’ della turbolenza e si presenta sempre con un numero di incognitesuperiore al numero delle equazioni ogni volta che si tenta di derivare un’equazione per laturbolenza. Una conferma di questa affermazione si puo ottenere ricavando l’equazioneper < u′u′ > dalla (10.17) dopo averla moltiplicata per u′ ed averne effettuato la media.Infatti, poiche l’equazione (10.16) introduce un’incognita aggiuntiva, potremmo esseretentati di ricavarne un’equazione per chiudere il problema.

5Notando evidenti proprieta di simmetria del tensore < u′u′ > il numero delle incognite si riduce a

10, non risolvendo comunque il problema della chiusura.


Purtroppo se effettivamente derivassimo questa nuova equazione noteremmo che l’evoluzionedi < u′u′ > introduce la nuova incognita < u′u′u′ > e la procedura potrebbe essere ripetu-ta all’infinito senza mai riuscire a bilanciare il numero di incognite con le equazioni. Siotterrebbe cioe una gerarchia di equazioni in cui le incognite sono sempre superiori ripettoalle relazioni disponibili rendendo impossibile la soluzione esatta del problema.

La via comunemente utilizzata e quindi quella di troncare il numero di equazioni ad uncerto ordine e modellare le incognite di ordine superiore con delle relazioni approssimate.Chiaramente maggiore e l’ordine a cui si tronca la gerarchia, maggiore sara il numerodelle incognite da modellare e conseguentemente la complessita del modello utilizzato.Lasceremo ai testi specialistici del settore la disamina dei numerosi modelli ed equazionidi ordine elevato mentre in queste note ci limiteremo al semplice caso in cui i termini< u′u′ > vengono modellati con una semplice ipotesi di ‘gradiente diffusivo’.

Per comprendere il significato fisico di tale approssimazione, riconsideriamo l’equazione(10.16) e riscriviamola nella forma

∂U

∂t+∇ · (UU) = −1

ρ∇P +∇ · (2νE− < u′u′ >), con E =

1

2(∇U +∇UT) (10.18)

da cui si osserva che i termini < u′u′ > possono essere considerati come degli sforziaggiuntivi (detti sforzi di Reynolds) che sottraggono energia al campo medio per trasferirlaalle fluttuazioni. Identificando queste fluttuazioni come la componente turbolenta delmoto, detta K l’energia cinetica turbolenta (per unita di massa) definita come

K =1

2(< u′xu

′

x > + < u′yu′

y > + < u′zu′

z >) =1

2Tr(< u′u′ >), (10.19)

si puo, analogamente al caso laminare, porre per la parte deviatorica degli sforzi diReynolds,

− < u′u′ > +2

3KI = 2νTE, (10.20)

in cui νT e la viscosita turbolenta ed e la nuova incognita del problema.Con questa posizione l’equazione (10.16) assume la forma

∂U

∂t+ ∇ · (UU) = −1

ρ∇P∗ + ∇ · (2ν∗E), (10.21)

che e identica all’equazione originale avendo usato la pressione modificata P ∗ = P +2K/3ed avendo definito una viscosita ‘totale’ ν∗ = ν + νT . Sebbene le espressioni (10.20) e(10.21) possano sembrare particolarmente attraenti data la loro semplicita, e bene sot-tolineare che nascondono diverse insidie, sia matematiche che fluidodinamiche. Infatti,mentre ν e una proprieta molecolare del fluido e nelle ipotesi ρ = const. e costante in tuttoil campo, νT e una proprieta del flusso il cui valore cambia in ogni punto del campo e neltempo (νT = νT (x, t)) ed il suo comportamento varia da problema a problema. Inoltre,anche se a prima vista la relazione (10.20) sembra solo aver spostato l’incognita < u′u′ >nell’incognita νT , dobbiamo osservare che la prima e un tensore del secondo ordine mentrela seconda e uno scalare. L’equazione (10.20) implica quindi che il primo e secondo mem-bro abbiano le stesse direzioni principali ossia che gli autovettori dei due tensori sianoparalleli. Questa proprieta non e giustificabile teoricamente ed infatti una verifica direttadella (10.20) attraverso simulazioni numeriche ed esperimenti di laboratorio ha mostratoche cio non e verificato per la maggior parte dei flussi; questo ‘disallineamento’ porta in

10.3. VISCOSITA TURBOLENTA E LUNGHEZZA DI MESCOLAMENTO 175

qualche caso a piccole differenze tra le soluzioni calcolate e quelle misurate, mentre altrevolte induce errori grossolani. Ricordiamo infine che, anche accettando in modo acriticol’equazione (10.20), il problema non risulta ancora chiuso in quanto le equazioni sonosempre 4 mentre le incognite sono ancora 5 (U, p e ν∗ oppure νT ).

A questo proposito abbiamo detto che νT dipende dal flusso, ossia a seconda che si stiastudiando un flusso a valle di un’ostacolo, uno strato limite o un getto turbolento, esistonoleggi empirico–euristiche (spesso con correzioni sperimentali o ad hoc) che permettono dicalcolare la νT dalla geometria del problema o dalle caratteristiche del flusso medio equindi di chiudere il sistema di equazioni. Anche in questo caso, la descrizione di tutti imodelli per la νT viene lasciata ai testi di modellistica della turbolenza mentre in questenote ci limiteremo a commentare un particolare modello algebrico basato sul concettodi lunghezza di mescolamento. Ricordiamo tuttavia che alcuni modelli possono esseretanto complicati da richiedere per il calcolo della νT un set di equazioni differenziali piucomplesse di quello per il calcolo del campo medio.

10.3 viscosita turbolenta e lunghezza di mescolamen-

to

Uno dei primi tentativi effettuati per la determinazione della viscosita turbolenta e statofatto costruendo un’analogia tra la turbolenza e la diffusione a livello molecolare dellaquantita di moto. Ricordiamo infatti brevemente che la diffusione molecolare avviene acausa degli urti casuali tra molecole dovuti al moto di agitazione termica. Dalla teoriacinetica dei gas ne consegue che, detta V la meta della velocita media delle molecole e λil libero cammino medio si ottiene ν ≈ Vλ.

Se allora si identificano i vortici piu piccoli del flusso come le ‘molecole’ della turbolen-za si puo immaginare che questi, dopo aver percorso una distanza ` ad una velocita V ,interagiscano mescolandosi tra loro e quindi diffondendo la quantita di moto. Il proble-ma della determinazione di νT si tradurra quindi nella valutazione di ` (detta appuntolunghezza di mescolamento) e di V .

In figura 10.11 e riportato uno schema di flusso (tipo strato limite) sul quale si possonoeffettuare semplici ragionamenti intuitivi per determinare l’andamento di ` e V . Perquesto flusso, infatti, la velocita media U sara prevalentemente orizzontale ed il suo profilodipendera dalla coordinata normale alla parete y. Immaginiamo quindi di posizionarcialla distanza y∗ dalla parete ed osservare in quel punto sia fluttuazioni di velocita versoil basso che verso l’alto. Nel primo caso, una particella inizialmente nella posizione y∗ + lverra trasportata in y∗ generando una fluttuazione di velocita orizzontale

u′+ ≈ ∆U+ = U(y∗ + l) − U(y∗) ' ldU

dy,

avendo troncato lo sviluppo in serie di Taylor per la velocita al primo ordine. Analoga-mente, le fluttuazioni verso l’alto porteranno una particella fluida inizialmente nellaposizione y∗ − l in y∗ inducendo una fluttuazione di velocita

u′−≈ ∆U− = U(y∗) − U(y∗ − l) ' −ldU

dy.


l

l

x

y

u

vy u* *

Figura 10.11: Schema di flusso per la definizione di lunghezza di mescolamento e viscositaturbolenta.

Statisticamente avremo quindi che le fluttuazioni di velocita orizzontale in y∗ avranno unmodulo pari a

u′ =1

2(|u′+| + |u′

−|) = l

∣

∣

∣

∣

∣

dU

dy

∣

∣

∣

∣

∣

.

Osserviamo ora che per la conservazione della massa, una variazione positiva di u (parti-cella che si muove da y∗ + l ad y∗) induce una fluttuazione negativa di v mentre l’oppostoaccade per una particella che si muove da y∗ − l ad y∗. Cio implica che si puo porrev′ ≈ −c1u′ con c1 costante di ordine uno e che il prodotto u′v′ deve essere sicuramentenegativo. Con queste ipotesi si puo scrivere

< u′v′ >= −c2|u′||v′| = −c1c2l2∣

∣

∣

∣

∣

dU

dy

∣

∣

∣

∣

∣

2

= −`2∣

∣

∣

∣

∣

dU

dy

∣

∣

∣

∣

∣

2

(10.22)

in cui c2 e ancora una costante di ordine uno, ` e la lunghezza di mescolamento e`|dU/dy| = V e la velocita cercata. Cio si evince facilmente confrontando la relazioneappena trovata con la (10.20) ed osservando che per questo semplice flusso risulta 2E12 =dU/dy da cui si ricava νT = `V = `2|dU/dy|.

L’ultimo punto che rimane da chiarire e come determinare ` in funzione della geometriadel flusso. Prandtl nel 1925 osservo che risultando alla parete (y = 0) u ≡ 0 anche glisforzi turbolenti dovranno essere nulli in quel punto; con questo vincolo l’assunzione piusemplice per la ` e

` = Ay. (10.23)

Prandtl suppose anche che, tranne che per gli strati di fluido immediatamente adiacentialla parete, gli sforzi turbolenti fossero molto piu grandi degli sforzi puramente viscosi, chequindi erano trascurabili, e che i primi si mantenessero di intensita costante. Indicandocon τT/ρ = − < u′v′ > gli sforzi turbolenti l’assunzione (10.23) implica quindi

τTρ

= `2∣

∣

∣

∣

∣

dU

dy

∣

∣

∣

∣

∣

2

, =⇒√

τTρ

= AydU

dy=⇒ U

√

ρ

τT=

1

Aln y + C, (10.24)

10.3. VISCOSITA TURBOLENTA E LUNGHEZZA DI MESCOLAMENTO 177

che fornisce l’andamento della velocita media U in funzione della distanza dalla parete.

D’altra parte, queste ipotesi non possono essere applicate alla parete dove, a causadella condizione di aderenza, il flusso deve essere laminare. In quella regione infatti sideve assumere che gli sforzi turbolenti siano trascurabili, mentre quelli viscosi sono ipiu rilevanti e sono approssimativamente costanti (che e equivalente ad ammettere cheil profilo di velocita alla parete sia linearizzabile). Indicando quindi lo sforzo viscoso diparete come

τwρ

= νdU

dy

∣

∣

∣

∣

∣

y=0

, (10.25)

e possibile definire delle scale di velocita e lunghezza uτ =√

τw/ρ e δτ = ν/uτ dette,rispettivamente velocita e lunghezza d’attrito, con le quali e possibile adimensionalizzarele quantita della turbolenza di parete. In particolare, la relazione (10.25) con τw costantepuo essere facilmente integrata

√

ρ

τwU =

√

τwρ

y

ν+ c =⇒ U+ = y+, (10.26)

dovendo risultare c = 0 per le condizioni alla parete ed avendo indicato

U+ =U

uτ

= U

√

ρ

τwe y+ =

y

δτ=y

ν

√

ρ

τw(10.27)

dette quantita di parete.

Allo stesso modo, uτ e δτ possono essere utilizzate per rendere adimensionale la (10.24)che assume la forma

U+ =1

αln y+ + β (10.28)

in cui α = 0.4 e β = 5.5 sono delle costanti in cui sono compresi tutti i fattori dinormalizzazione e risultano universali per tutti i flussi turbolenti di parete che ricadononella tipologia della figura 10.11.

Un andamento tipico della velocita normalizzata U+ in funzione delle coordinate diparete y+ e riportato in figura 10.12 da cui si nota che il flusso ha due comportamentidistinti. Il primo per y+ ≤ 5 in cui la U+ segue la legge (10.26); questa regione e dettasottostrato laminare ed e caratterizzata da sforzi puramente viscosi di intensita circacostante. La seconda regione per y+ ≥ 30 segue la legge riportata in (10.28) ed e dovutaa sforzi turbolenti di intensita costante. La regione intermedia (5 ≤ y+ ≤ 30) e unaregione di sovrapposizione dei due regimi in cui sia sforzi viscosi che turbolenti hannorilevanza sul fenomeno.

Il profilo di velocita di figura 10.12 mostra chiaramente che l’assunzione (10.23) perla lunghezza di mescolamento descrive in modo adeguato la dinamica della turbolenzadi parete. Questo risultato, tuttavia, non deve trarre in inganno in quanto una talesemplificazione funziona solo nel caso in cui nel flusso non ci sono separazioni, in assenzadi gradienti di pressione esterni e per geometrie piane. Nelle applicazioni pratiche lageometria del flusso e solitamente piu complicata e devono essere utilizzati modelli piucomplessi e con fisica meno intuitiva.


0

5

10

15

20

25

0.1 1 10 100 1000y+

U+

Figura 10.12: Andamento della velocita media in funzione della distanza dalla coordinatay (quantita di parete). Le linee indicano gli andamenti teorici, mentre i simboli sono valorimisurati.

10.4 turbolenza omogenea ed isotropa

L’esempio della soluzione di Burgers ha mostrato come nelle equazioni di evoluzione diun fluido ci sono i termini viscosi e quelli non lineari che hanno meccanismi di azionecompletamente diversi ed in competizione tra loro. I primi, infatti, sono dissipativi edhanno un’azione locale, interessano cioe singolarmente i vari modi senza implicare alcunainterazione. L’efficacia con cui viene dissipata l’energia cresce con il quadrato del numerod’onda k e quindi con l’inverso del quadrato della dimensione della struttura. I secondi,al contrario, data la loro natura non lineare sono responsabili del trasferimento di energiatra i vari modi senza alterarne il valore globale.

Sebbene le equazioni di Navier–Stokes abbiano una struttura piu complessa dell’e-quazione di Burgers, l’azione dei temini non lineari e di quelli viscosi e analoga a quellaappena descritta e questa dinamica ha dato spunto a molti scienziati del ventesimo secoloper ipotizzare lo scenario evolutivo della turbolenza. In particlare Richardson nel 1922immagino che l’energia entri nel flusso alle scale piu grandi e, attraverso meccanismi diinstabilita, vengano prodotti vortici piu piccoli che a loro volta generano vortici ancorapiu piccoli e cosı via fino a quando le dimensioni non sono talmente piccole che la viscositadissipa le strutture impedendo ogni ulteriore trasferimento 6. Questa descrizione implicaun trasferimento a cascata (essenzialmente non viscosa) dell’energia dalle scale piu gran-di del moto verso quelle sempre piu piccole fino alle scale dissipative dove la viscositatrasforma tutta l’energia in calore.

Lo scenario appena presentato descrive in modo abbastanza fedele cio che accadein un flusso turbolento anche se, senza ulteriori ipotesi, non e possibile quantificare ilfenomeno descritto; per esempio, quanto piccole sono le dimensioni a cui prevalgono glieffetti viscosi, e cosa succede tra le scale in cui l’energia viene immessa nel flusso e quelle acui viene dissipata? Questi quesiti hanno trovato una risposta solo recentemente quando

6L’asserzione di Richardson era:“Big whorls have little whorls, which feed on their velocity and littlewhorls have lesser whorls and so on to viscosity”.

10.4. TURBOLENZA OMOGENEA ED ISOTROPA 179

Kolmogorov nel 1941 ha pubblicato i risultati di una sua teoria applicabile alla turbolenzaomogenea ed isotropa 7.

E bene precisare subito che la turbolenza omogenea ed isotropa e un’astrazione con-cettuale e che non e mai riprodotta in modo esatto da alcun sistema fisico reale. Tuttaviala sua utilita per lo studio della turbolenza e duplice in quanto da un lato semplificaenormemente la trattazione teorica e permette quindi una migliore comprensione dellafisica, dall’altro si osserva che tutti i sistemi reali soddisfano ‘localmente’ le condizioni diomogeneita ed isotropia.

Quest’ultima asserzione costituisce la prima ipotesi fondamentale di Kolmogorov ecioe “per numeri di Reynolds sufficientemente elevati le strutture fluidodinamiche piccolein un flusso turbolento sono statisticamente isotrope”. In questa affermazione ‘strutturefluidodinamiche piccole’ e inteso rispetto alle scale di moto in cui l’energia turbolentaviene immessa nel flusso e questa osservazione chiarisce anche perche vengano richiesti‘numeri di Reynolds sufficientemente elevati’. Cio infatti implica che gli effetti inerzialisiano di gran lunga piu importanti di quelli viscosi rendendo possibile un lungo processodi cascata dell’energia dalle strutture piu grandi alle piu piccole. Se si ipotizza che adogni passo della cascata le strutture perdano sempre piu memoria delle caratteristiche deivortici che hanno innescato la cascata, si conclude facilmente che le strutture piu fini diqualunque flusso turbolento hanno tutte le stesse caratteristiche. Si avra quindi che lepiccole scale generate dietro un cilindro o a valle di un getto hanno la stessa statisticanonostante le scale piu grandi abbiano una dinamica completamente differente.

La seconda ipotesi di Kolmogorov trae spunto dall’osservazione che la dinamica del-la turbolenza dipende da quanto rapidamente l’energia viene trasferita dalle grandi allepiccole scale e dal valore della viscosita che fissa il numero d’onda k a cui viene operatoil taglio nel trasferimento di energia. Se il fenomeno fluidodinamico e statisticamentestazionario, essendo la cascata dall’energia non viscosa, si deduce che, detta ε l’energiacinetica turbolenta (per unita di massa) prodotta nell’unita di tempo, questa sara anchel’energia dissipata nell’unita di tempo 8. Con questa osservazione si puo comprenderela seconda ipotesi di Kolmogorov che dice:“per numeri di Reynolds sufficientemente ele-vati, le caratteristiche delle piccole scale di tutti i flussi turbolenti sono universali e sonodeterminate dalla viscosita ν e dalla potenza dissipata ε.”

Questa osservazione potrebbe apparire di scarsa utilita per stime quantitative, tuttaviaconsiderazioni di tipo dimensionle ci portano a concludere che con ε e ν c’e un solo modoper costruire delle scale di lunghezza, velocita e tempo. In particolare, osservando che εe un’energia per unita di tempo e unita di massa si ottiene

η =

(

ν3

ε

)1/4

, uη = (νε)1/4, tη =(

ν

ε

)1/2

, (10.29)

7La turbolenza si definisce omogenea ed isotropa, rispettivamente, quando le sue caratteristiche statis-tiche non dipendono dalla posizione nello spazio e sono uguali in tutte le direzioni. Tecnicamente ladefinizione rigorosa richiede l’introduzione di variabili random; detta infatti u(x) una variabile randomfunzione della posizione x (per esempio la velocita) questa e definibile mediante tutti i suoi momentistatistici (media, deviazione standard, etc.) < u

m >=∫

f(x)umdu dove f(x) e la funzione densita diprobabilita. Un fenomeno si definisce omogeneo se la funzione f(x) e indipendente dalla posizione x. Ladefinizione di isotropia richiede invece che f(x) sia invariante sotto ogni rotazione e riflessione degli assiin x.

8Infatti, se cosı non fosse, l’energia si dovrebbe accumulare alle scale intermedie che, avendo uncontenuto di energia variabile nel tempo, non potrebbero essere statisticamente stazionarie.


rispettivamente per la lunghezza, velocita e tempo delle scale dissipative (le piu piccole).Ricordiamo ora, che per un processo stazionario ε coincide con la potenza immessa

nel flusso dalle scale di moto piu grandi; dette quindi U ed L, rispettivamente, la velocitae la lunghezza caratteristiche di queste scale, si ottiene da considerazioni dimensionaliε = U 3/L. E utile osservare che in questa stima dimensionale non e stata consideratala viscosita in quanto per le strutture piu grandi gli effetti viscosi sono trascurbili e lequestioni energetiche devono coinvolgere fattori puramente inerziali.

Dalla stima per ε e dalle relazioni (10.29), ricordando la definizione del numero diReynolds Re = UL/ν, si ottiene:

L

η= Re3/4,

U

uη

= Re1/4,T

tη= Re1/2, (10.30)

dove T = L/U e la scala dei tempi dei moti a grande scala.Queste relazioni permettono di stimare i rapporti tra le caratteristiche delle scale piu

grandi e quelle piu piccole in un flusso turbolento in funzione del solo numero di Reynoldsed hanno ripercussioni di straordinaria importanza pratica per le misure sperimentali, perle simulazioni numeriche e per la possibilita di predizione di un flusso turbolento.

Dopo aver messo in relazione le strutture piu piccole con le piu grandi, rimane daanalizzare la dinamica delle strutture intermedie con dimensione r tale che LÀ r À η.

In base a quanto visto finora, e facile convincersi che la viscosita avra un’influenzatrascurabile in quanto agisce solo alle scale piu piccole. D’altra parte l’energia viene im-messa nel flusso dalle scale piu grandi da cui ne consegue che le scale intermedie vedrannosolo un flusso di energia in transito, proveniente dai grandi vortici e trasferito verso ivortici dissipativi. In base a quanto detto, la terza ipotesi di Kolmogorov afferma che pernumeri di Reynolds sufficientemente elevati le caratteristiche (la statistica) delle strutturedi dimensione r (con LÀ r À η) sono universali e dipendono unicamente da ε (e quindisono indipendenti da ν).

Cio comporta che se ur e la velocita delle scale di dimensione r si ottiene

u3r

r= ε =

U3

L,=⇒ ur =

U

L1/3r1/3, e tr =

r

ur

=L1/3

Ur2/3. (10.31)

Queste stime indicano che le strutture con scale r intermedie tra L ed η hanno una velocitacaratteristica che cresce solo come r1/3 mentre i tempi caratteristici crescono come r2/3.La conseguenza di cio e che i vortici piu grandi hanno le velocita piu intense ed unadinamica piu lenta mentre per i gradienti di velocita ∇u ∼ ur/r ≈ r−2/3 si ha che quellipiu intensi sono alle scale piu piccole 9.

Notiamo a margine che dall’ultima ipotesi si deriva la famosa legge di potenza (k−5/3)per lo spettro di energia. Se infatti si definisce lo spettro come E(k) tale che

K =∫

∞

0E(k)dk, (10.32)

con K energia cinetica per unita di massa del flusso, dalla terza ipotesi di kolmogorov e daargomenti dimensionali si ottiene E(k) = Cε2/3k−5/3, in cui C e una costante universale10.

9Da questa stima sembrerebbe che i gradienti diventino infiniti per r −→ 0, mentre in realta bisognaricordare che le formule (10.31) valgono solo per L À r À η. Viceversa quando r −→ 0 risulta r dellostesso ordine di η ed il campo di velocita si ‘regolarizza’ essendo ur ∼ r con dei gradienti finiti.

10A questo risultato si giunge facilmente ricordando che dimensionalmente k e l’inverso di una lunghezza

10.4. TURBOLENZA OMOGENEA ED ISOTROPA 181

1e-111e-101e-091e-081e-071e-061e-051e-040.0010.010.1

0.01 0.1 1 10 100

E(k)

k

−5/3

rangeinerziale

Figura 10.13: Spettro della turbolenza omogenea ed isotropa. La linea e la legge dipotenza k−5/3 riportata per confronto.

da cui ne consegue che le dimensioni di E(k) sono una velocita al quadrato per una lunghezza (ossia quelledi un’energia cinetica per unita di massa moltiplicata per una lunghezza). D’altra parte nel range inerzialesi dispone solo di ε per poter soddisfare requisiti dimensionali per cui ponendo [E(k)] = C[εαkβ ] = [U2L]si ricava α = 2/3 e β = −5/3.

Capitolo 11

Forze fluidodinamiche e similitudini

Da un punto di vista ingegneristico, le grandezze di maggior interesse in uno studiofluidodinamico sono le forze che il fluido esercita sul corpo, sia localmente che integratesu tutta la struttura. Per esempio un aereo in volo si sostiene grazie alle forze di pressioneche il fluido esercita sui pannelli di rivestimento dell’ala; la determinazione delle forzelocali sara importante per dimensionare lo spessore dei pannelli di rivestimento ed iltipo di rivettatura mentre l’entita della forza integrata sezione per sezione servira per ildimensionamento della trave alare (longherone) (figura 11.1).

forze di pressione

forze sullatrave alare

locali

Figura 11.1: Schema di forze locali ed integrate su un’ala tridimensionale.

Come abbiamo visto nei capitoli precedenti, la soluzione per via analitica di problemifluidodinamici e relegata a casi estremamente semplici e di scarsissima applicabilita praticaper cui di regola si ricorre all’analisi sperimentale. In questo caso, tuttavia, ci si scontraimmediatamente con problemi pratici che risulteranno immediatamente evidenti con unesempio pratico.

Immaginiamo di voler determinare la forza di resistenza R alla quale e sottoposto uncilindro infinitamente lungo investito da un flusso ortogonale all’asse.

Identifichiamo le grandezze significative per studiare il problema in:

U, D, a, ρ, µ

con U velocita del flusso indisturbato, D diametro del cilindro, ρ densita del fluido, µviscosita dinamica del fluido ed a velocita del suono.

183

184 CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

Individuate le grandezze che influiscono sulla resistenza R si tratta quindi di deter-minare una funzione f tale che

R = f(U, D, a, ρ, µ), (11.1)

funzione che non possiamo definire teoricamente, ma solo tramite una prova sperimentale.Volendo procedere in modo sistematico, per valutare l’influenza di ogni parametro

sulla resistenza R, bisogna fissarne quattro e variare il rimanente per un numero discretodi valori; per esempio, fissati D, a, ρ e µ, eseguiamo le prove facendo variare la velocitaU . I dati che si ottengono formeranno una curva che sara tanto piu continua quanto piui valori di velocita per cui si sono effettuate le prove sono numerosi (figura 11.2).

DU

R Ra,D,µ,ρ µ,ρa,U,

Figura 11.2: Variazione della resistenza con la velocita ed il diametro lasciando invariatigli altri parametri.

Per ogni serie di prove si otterrebbero quindi dei grafici come quelli di figura 11.2applicabili sono per il set di valori fissati. Appare allora chiaro che se volessimo esplorarela dipendenza di R da U in modo completo dovremmo ripetere delle prove come quelleriportate in figura 11.2 per tutti i possibili valori dei parametri.

Si arriva quindi facilmente alla conclusione che in un problema cosı semplice, accon-tentandoci di avere ogni curva interpolata su dieci punti, bisogna effettuare 105 provesperimentali per conoscere la dipendenza di R dai parametri selezionati 1.

A parte l’impossibilita pratica di effettuare un cosı elevato numero di prove, sorgeimmediatamente il problema della fruibilita dei dati ottenuti: se immaginiamo infattidi organizzare i risultati come in figura 11.2 otterremmo 104 grafici la cui consultabilitasarebbe sicuramente problematica. C’e inoltre il problema dei costi del modello in quantofar variare D implica effettuare prove con cilindri di dimensioni diverse. Se invece delcilindro si immagina di dover fare delle prove su un modello in scala di un aereo, diun’automobile o di una nave (i cui modelli possono costare alcune decine di milioni) sicapisce immediatamente che c’e un solo modello a disposizione e da quello bisogna estrarretutta l’informazione necessaria.

Evidentemente c’e un metodo sperimentale piu semplice che permette effettuare unridotto numero di prove ed organizzare l’informazione in modo razionale; questo metodosi basa sulla teoria della similitudine dinamica che poggia le sue fondamenta sul teoremadi Buckingham.

1In realta le prove sono molte di piu in quanto ogni caso andrebbe ripetuto piu volte per potercalcolare un valore medio della resistenza e poter stimare l’errore di misura. Lasceremo comunque questeconsiderazioni al di fuori della presente trattazione.

11.1. TEOREMA DI BUCKINGHAM ED ANALISI DIMENSIONALE 185

La similitudine dinamica permette anche di rispondere ad un’altra domanda che ci sideve porre quando si effettua un esperimento: se si effettuano le prove sperimentali su unmodello in scala, come si utilizzano le informazioni ottenute sul fenomeno di dimensionireali? Sebbene il quesito potrebbe sembrare banale, la risposta e stata trovata solo nelsecolo scorso attraverso innumerevoli tentativi in diverse direzioni.

11.1 teorema di Buckingham ed analisi dimensionale

Il teorema di Buckingham si basa sull’assunzione che le relazioni utilizzate siano dimen-sionalmente omogenee, ossia che tutti i termini di un’equazione abbiano le stesse dimen-sioni. Se questa ipotesi e verificata si puo affermare che se un fenomeno e governato da Nparametri attraverso una relazione del tipo f(P1, P2, ..., PN ) = 0, , e questi N parametripossono essere descritti da K dimensioni fondamentali (K numero minimo), e allora pos-sibile studiare il fenomeno tramite N −K gruppi adimensionali Πj con una relazione deltipo g(Π1,Π2, ...,ΠN−K) = 0.

Per passare dalla funzione f alla funzione g si deve individuare una base di K variabiliPi che vengono utilizzate per adimensionalizzare le rimanenti e le K variabili devono averele seguenti caratteristiche:

1. contengano tutte le K dimensioni fondamentali;

2. siano tra loro indipendenti, cioe non devono da sole costituire un gruppo adimen-sionale.

Riconsideriamo ora il precedente esempio del cilindro e vediamo come procedere prati-camente:

Per prima cosa scriviamo le dimensioni relative alle grandezze che descrivono il fenomeno,indicando con L la lunghezza, M la massa e T il tempo

[R] = [MLT−2]

[U ] = [LT−1]

[ρ] = [ML−3]

[µ] = [ML−1T−1]

[D] = [L]

[a] = [LT−1]

da cui osserviamo che risulta K = 3 (M , L, T ) e N = 6 ( D, R,U , a, ρ, µ ) con N−K = 3si ha pertanto:


R = f(U, D, a, ρ, µ) ⇐⇒ Π1 = g(Π2, Π3).

Per trovare i gruppi adimensionali Π1, Π2, Π3, utilizziamo il metodo delle variabili ripetuteche consiste nell’isolare i K parametri in modo da far comparire tutte le dimensionifondamentali. Per esempio la terna ( U , D, a ) non e accettabile poiche in queste variabilimanca la dimensione M , mentre la terna ( U , D, ρ) va bene perche contiene tutte ledimensioni fondamentali M , L, T .

Consideriamo come K variabili D, U , ρ, assicurandoci che i parametri scelti siano traloro indipendenti, cioe la seguente equazione deve ammettere come unica soluzione quellabanale,

[D]α[U ]β[ρ]γ = M0L0T 0,

che equivalentemente si puo scrivere:

LαLβT−βMγL−3γ = M0L0T 0,

ed esplicitando i termini si ha:

α + β − 3γ = 0−β = 0γ = 0.

Il sistema, avendo determinante non nullo, ha come unica soluzione α = β = γ = 0e quindi la base e indipendente; inoltre se la base non sodisfacesse la condizione 1, lamatrice del sistema conterrebbe una colonna nulla e quindi non avrebbe rango massimo;di conseguenza la condizione 1 e condizione necessaria per soddisfare la condizione 2.

Determiniamo i parametri adimensionali imponendo le seguenti condizioni:

Π1 = UαDβργµ, Π2 = UαDβργa, Π3 = UαDβργR (11.2)

con α, β, γ costanti incognite, tali da rendere adimensionali i gruppi Πj, con j=1, 2, 3,costruiti affiancando al gruppo UαDβργ le variabili che non formano la base prese unaalla volta. Imponendo l’adimensionalita dei gruppi formati si ottiene:

[

M0L0T 0]

=[

ML−1T−1LαT−αLβMγL−3γ]

=[

M (1+γ)L(−1+α+β−3γ)T (−1−α)]

,

[

M0L0T 0]

=[

LT−1LαT−αLβMγL−3γ]

=[

MγL(1+α+β−3γ)T (−1−α)]

,[

M0L0T 0]

=[

MLT−2LαT−αLβMγL−3γ]

=[

M (γ−1)L(1+α+β−3γ)T (−2−α)]

,

da cui, ponendo l’uguaglianza fra gli esponenti dei termini omologhi si ottengono i seguentigruppi adimensionali:

Π1 =µ

UDρ, Π2 =

a

U, Π3 =

R

ρU2D2. (11.3)

Con questi gruppi adimensionali si giunge quindi ad una relazione del tipo

R

ρU2D2= g

(

µ

UDρ,a

U

)

, (11.4)

11.1. TEOREMA DI BUCKINGHAM ED ANALISI DIMENSIONALE 187

che e il risultato del teorema di Buckingham.Bisogna notare che la determinazione della funzione g richiede ancora delle prove sper-

imentali ma con evidente vantaggio rispetto alla relazione originale (11.1). Imponendoinfatti le stesse richieste sulla sperimentazione, cioe avere informazioni su curve ricavateinterpolando dieci punti, occorrono 102 esperimenti usando la funzione “g” contro i 105

necessari per determinare la funzione “f”. Analizzando l’espressione (11.4) scopriamo chela forza del teorema di Buckingham consiste nel riunire le variabili in gruppi adimensionalied escludere tutte quelle prove che danno lo stesso numero adimensionale. Per esempionella relazione (11.1) avremmo variato separatamente µ, U D e ρ ognuno indipenden-temente dall’altro mentre al contrario l’espressione (11.4) ci dice che questi parametriagiscono in modo combinato quindi qualunque set di valori di µ, U D e ρ che fornisca lostesso valore per il gruppo µ/(UDρ) dara lo stesso risultato in g.

A patto di soddisfare le ipotesi di completezza dimensionale ed indipendenza, qualunqueset di K variabili e corretto per la determinazione dei gruppi adimensionali. Nel casoprecedente, ad esempio, le terne (a, D, ρ) o (µ, ρ, U) potevano essere ugualmente uti-lizzate giungendo chiaramente ad una relazione finale diversa dalla (11.4) e contenentedifferenti gruppi adimensionali. Sebbene in linea di principio non ci sia una funzione gmigliore delle altre, praticamente e invalso l’uso di alcuni gruppi adimensionali per i qualie disponibile una maggiore esperienza sperimentale ed una letteratura piu vasta.

L’operazione precedente alla determinazione della funzione g, quindi, e quella di ren-dere piu ‘comoda’ la sua espressione, per cui solitamente si cerca di ottenere gruppi adi-mensionali noti. Notiamo a tal fine che da un punto di vista dimensionale un parametro sipuo moltiplicare per un fattore numerico, oppure usarne l’inverso o sostituire un suo ter-mine con uno dimensionalmente equivalente senza alterarne il significato. Chiaramentela funzione g assumera una forma completamente differente ma cio non costituisce unproblema visto che e ancora da determinare sperimentalmente. Riferendoci sempre all’e-sempio considerato osserviamo che i seguenti gruppi adimensionali sono largamente usatiin fluidodinamica

Re =UDρ

µ, M =

U

a, cD =

R12ρU2S

, (11.5)

dove S e la superficie frontale del cilindro esposta alla corrente fluida, Re e il numero diReynolds, M e il numero di Mach e cD e il coefficiente di resistenza.

La relazione (11.4) e quindi equivalente alla seguente

cD = h(Re, M), (11.6)

per la quale sono disponibili molti risultati in letteratura.La trasformazione di parametri adimensionali in una forma nota nasconde talvolta

delle insidie alle quali bisogna fare attenzione analizzando fisicamente le operazioni com-piute. Per esempio la sostituzione del primo membro della (11.4) con il termine cD implicala moltiplicazione per un fattore 2 e la sostituzione di D2 con S. Se con S si intende lasuperficie frontale del cilindro per unita di lunghezza allora l’operazione e lecita ma se, alcontrario, S = Dl e la superficie frontale allora si e introdotto involontariamente un altroparametro che e la lunghezza assiale del cilindro l e questo non e ammesso a meno chenon si introduca a secondo membro il nuovo gruppo adimensionale l/D.

La sostituzione di S con Dl non e ammessa in quanto nella (11.1) non era stata in-izialmente contemplata la lunghezza del cilindro l tra le variabili del fenomeno. Questa


osservazione pone in risalto il fatto che la selezione iniziale delle variabili e la fase piu del-icata di tutto il processo di analisi. La mancata inclusione di un parametro fondamentaleporterebbe infatti ad una relazione finale priva degli effetti fisici piu rilevanti. Al con-trario, considerare dei parametri ininfluenti produrrebbe delle relazioni finali inutilmentecomplicate che renderebbero troppo costosa o impossibile la sperimentazione.

11.2 similitudine dinamica

La relazione (11.6) da la risposta ad una delle prime domande di questo capitolo cioe:come utilizzare i risultati ottenuti su un modello per il fenomeno in dimensioni reali?Osserviamo infatti che nella (11.6) compaiono solo gruppi adimensionali e non c’e rifer-imento esplicito alle dimensioni del modello, questo implica che la funzione h si applicaugualmente al fenomeno reale ed a quello in scala ed i dati ottenuti per un caso possonoessere applicati all’altro. La relazione (11.6) dice in particolare che se sono uguali i gruppiadimensionali per fenomeno reale e fenomeno in scala allora saranno uguali anche i co-efficienti di forza ossia i due fenomeni avvengono in condizioni di similitudine dinamica.Se osserviamo poi che anche le equazioni della fluidodinamica possono essere espresse informa adimensionale allora si vede che i campi di moto saranno cinematicamente similiossia i valori adimensionali di velocita pressione densita etc. saranno gli stessi in punticorrispondenti.

Per riassumere possiamo dire che se due fenomeni sono geometricamente simili edhanno i gruppi adimensionali uguali allora avranno gli stessi coefficienti di forza ed uncampo di moto cinematicamente simile permettendo di trasferire informazioni da un casoall’altro.

U UD

m

m

ρ ν

fenomeno reale

fenomeno in scala

D R mR

νmρm

Figura 11.3: Esempio di similitudine dinamica per un edificio investito dal vento.

Riferendoci sempre all’esempio del cilindro immaginiamo che il fenomeno reale si svol-ga in aria a Re = 105, per un cilindro di diametro D = 1m e lunghezza l = 2m men-tre per modello in scala 1 : 20 in acqua in condizioni di similitudine dinamica vienemisurata una resistenza Rm = 8N. Vogliamo calcolare quale sara la forza di resisten-za sul prototipo. Come primo passo calcoliamo il coefficiente di resistenza del modellocD = 2Rm/(ρmU

2mSm), per il quale ci serve la velocita. Questa possiamo ricavarla dal-

l’uguaglianza dei numeri di Reynolds Re = Rem = 105, da cui, nota la viscosita cinemat-

11.2. SIMILITUDINE DINAMICA 189

Figura 11.4: Prova in galleria del vento di un modello di edificio e della sua interazionecon il centro abitativo circostante in determinate condizioni di vento.

ica dell’acqua si ricava Um = 2m/s. Dal calcolo del coefficiente di resistenza si ottienefacilmente cD = 0.8 per cui per il cilindro di dimensioni reali si avra R = ρU 2ScD/2 = 1.N.

ESEMPIO

In un fenomeno di fluidodinamica geofisica in aria, si stima che l’energia dissipataE e funzione della velocita di rotazione Ω del sistema, della velocita del fluidoU , della sua densita ρ, dell’accelerazione di gravita g e delle dimensioni carat-teristiche del fenomeno l. In un laboratorio si riproduce il fenomeno in acquain scala fS e si misura un’energia dissipata Em. Calcolare l’energia dissipata nelfenomeno reale. Se la velocita in laboratorio e Um quanto vale la U del fenomenoreale?

fs = 1 : 105 Em = 2.04 J Um = 0.003 m/s

Soluzione

La relazione e del tipo E = f(Ω, U, l, g, ρ) che, risultando N = 6 e K = 3, puoessere scritta con 3 parametri adimensionali Π3 = F (Π1,Π2). Dal metodo dellevariabili ripetute si ricava Π1 = U/(Ωl), Π2 = g/(Ω2l) e Π3 = E/(Ω2l5ρ).Dall’uguaglianza dei parametri adimensionali tra esperimento e fenomeno realesi ottiene: E = Emρ/(ρmf

4s ) = 2.5297 · 1017 J e U = Um/

√fs = 0.9486 m/s,

essendo fs = lm/l.


ESEMPIO

Lo scambio termico C di un dispositivo viene misurato dal rapporto tra la potenzatermica smaltita e la differenza di temperatura ([C] = W/K). Da un’analisipreliminare risulta che C = f(U, ρ, k,∆T, L) in cui U e la velocita, ρ la densitae k la diffusivita termica del fluido. ∆T e la differenza di temperatura applicataed L una dimensione del dispositivo. Se l’unica grandezza che varia e U e per unmodello di dimensione Lm lo scambio termico vale Cm, quanto vale C per un undispositivo di dimensione L?

Lm = 0.4 m Cm = 80 W/K L = 2 m

Soluzione

In base al teorema di Buckingham essendoci N = 6 variabili e K = 4 dimensionifondamentali il fenomeno puo essere descritto medianteN−K = 2 parametri adi-mensionali. Utilizzando il metodo delle variabili ripetute si ha una delle possibilisoluzioni:

C∆T

U3ρL2= g

(

k

UL

)

.

In condizioni di similitudine dovranno risultare uguali i gruppi adimensionali edessendo U l’unica grandezza che varia (oltre naturalmente ad L e C) si ottiene

k

UL=

k

UmLm

=⇒ U = UmLm

L,

C∆T

U3ρL2=

Cm∆T

U3mρL

2m

=⇒ C = CmU3L2

U3mL

2m

da cui C = CmLm/L = 16 W/K.

ESEMPIO

Il calore C che smaltisce un particolare dispositivo in aria a 15 oC e espresso dallarelazione C = f(g,∆T, α,H, ν, ρ) con g accelerazione di gravita, ∆T differenzadi temperatura, α coefficiente di espansione termica, H dimensione principale, νviscosita cinematica e ρ densita del fluido. Se un modello in scala fS funzionantein acqua alla temperatura di 20 oC per un dato ∆Tm smaltisce il calore Cm,quale sara il ∆T di funzionamento ed il calore smaltito dal dispositivo reale incondizioni di similitudine dinamica?

fS = 1 : 7 ∆Tm = 1.8 oC Cm = 280 J

Soluzione

Dal teorema di Buckingham, risultando N = 7 e K = 4 si ha che la relazionesi puo esprimere tramite 3 parametri adimensionali. Prendendo come variabiliripetute ∆T , H, ν e ρ si ottiene

C

Hρν2= F

(

gH3

ν2, α∆T

)

,

da cui si ricava facilmente ∆T = ∆Tmαm/α = 0.108 K e C =Cm(H/Hm)(ρ/ρm)(ν/νm)2 = 435.93 J (con i valori per α = 3.48 · 10−3 K−1

per l’aria e αm = 2.10 · 10−4 K−1 per ’acqua).

11.3. SIMILITUDINE DISTORTA 191

11.3 similitudine distorta

Nell’esempio del paragrafo precedente e stato in realta commesso un ‘errore’ che costi-tuisce praticamente la regola in campo sperimentale. Ricordiamo, infatti, che la con-dizione di similitudine dinamica prevede che tutti i gruppi adimensionali che governanoil fenomeno debbano essere gli stessi per poter applicare i risultati della simulitudine di-namica. Considerando che la velocita del suono in acqua e di circa 1500m/s si ha chese calcoliamo il numero di Mach di esperimento e fenomeno reale si ha, rispettivamenteMm = Um/am = 0.0013, M = U/a = 0.0044; poiche risulta M 6= Mm verrebbe daconcludere che la similitudine dinamica non e rispettata!

Prima di tirare delle conclusioni, vediamo mediante un esempio con parametri legger-mente differenti se e possibile mantenere la similitudine dinamica in qualche altro modo.Si consideri il problema del cilindro in cui siano assegnati i seguenti dati:

D = 1.5 m, U = 50 m/s, Dm = 30 cm

Abbiamo per i parametri adimensionali:

Re =Ud

ν=Udρ

µ; Rem =

ρmUmDm

µ

M =U

a; Mm =

Um

am

Un primo modo per avere lo stesso numero di Reynolds e quello di aumentare di cinquevolte la velocita del flusso lasciando invariate le altre grandezze. In questo modo si ottienelo stesso numero di Reynolds, ma diverso numero di Mach

M = 0.147, Mm = 0.7.

Proviamo allora a cambiare il fluido, considerando l’acqua al posto dell’aria, e utilizzi-amo una velocita per il modello tale da conservare la similitudine dinamica del numerodi Reynolds:

Re = Rem ⇒ Ud

νaria

=UmDm

νacqua

Um =νacquad

νariaDm

U

Um = 51

1050 = 25 m/s

Anche se la similitudine del numero di Reynolds e rispettata, non lo e quella del numerodi Mach; infatti

M = 0.147

Mm =Um

am

=25

1500= 0.016


Sembrerebbe che non ci sia via di uscita perche qualunque accorgimento si cerchi diadottare nasconde comunque degli inconvenienti dovuti al fatto che non si riescono afissare i parametri in conformita con le regole dell’analisi dimensionale 2.

In realta sebbene le due soluzioni proposte sembrano essere equivalenti in quantoportano entrambe ad un differenza nel numero di Mach da un punto di vista fluidodi-namico sono profondamente differenti e mentre la prima risulta inaccettabile, la secondacostituisce la procedura effettivamente adottata nei laboratori. E infatti noto nella flu-idodinamica che gli effetti della comprimibilita in un flusso divengono apprezzabili soloper numeri di Mach > 0.3 mentre al di sotto di questo valore di soglia il flusso si com-porta come incomprimibile. Questo implica che per M ≤ 0.3 il numero di Mach non eun parametro che governa il flusso e quindi puo essere trascurato. Alla luce di questorisultato appare allora chiaro che la prima soluzione che da Mm = 0.7 non fornira datiin similitudine dinamica in quanto il flusso sara influenzato da effetti di comprimibilitache sono assenti nel fenomeno reale. Al contrario la seconda soluzione con Mm = 0.016fornira dei risultati in perfetta similitudine dinamica nonostante la differenza tra i numeridi Mach. In questa categoria di flussi ricade anche l’esempio della sezione precedente icui risultati sono quindi corretti.

Questi esempi di similitudine vengono chiamati di similitudine distorta per distinguerlidalla similitudine esatta in cui tutti i parametri adimensionali sono uguali. In questocampo non ci sono delle regole fisse ma ci si affida piuttosto alla sensibilita ed esperienzadello sperimentatore che conosce quali paramentri puo trascurare e quali invece devepreservare fedelmente per ottenere risultati utilizzabili in pratica.

11.4 Studio di flussi particolari

In questa sezione mostreremo attraverso degli esempi tipici come si applica l’analisi di-mensionale a problemi applicativi. Rimane inteso che i seguenti esempi sono solo alcunitra i problemi piu comuni mentre, in generale, bisogna ricorrere alla teoria per trovare igruppi adimensionali di interesse.

11.4.1 Flusso intorno a corpi immersi

In questa categoria ricadono tutti i flussi in cui uno stesso fluido ‘bagna’ completamenteuno o piu corpi e non sono presenti fenomeni di superficie libera. Un vento in atmosferache investe un palazzo, un’automobile che corre in autostrada, un aereo in volo di crocierao un sottomarino in immersione profonda sono tutti flussi intorno a corpi immersi. Alcontrario, una nave in mare aperto o persino un sottomarino con il periscopio in emersione(ossia con lo scafo immerso di qualche metro) non possono essere analizzati nell’ambito di

2Una possibilita estrema e usare lo stesso fluido ma aumentarne la densita nell’esperimento ρM = 5ρ,mantenendo la velocita del modello pari a quella del prototipo e conservando l’uguaglianza del numero diMach. L’aumento della densita del fluido puo essere ottenuta, per esempio, aumentandone la pressionee contemporaneamente diminuendone la temperatura (per evitare l’aumento della velocita del suono)anche se questa soluzione risulta estremamente costosa e pericolosa per la presenza di gas in pressione. Inaggiunta questo stratagemma diventa tanto piu oneroso quanto piu diventa grande la scala del modelloe produce delle forze estremamente elevate sui modelli a causa della crescita con ρm della pressionedinamica.

11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI 193

questa schematizzazione in quanto i fenomeni di deformazione della superficie libera nonvengono contemplati nella scelta dei parametri di interesse.

Indicando con q una generica grandezza da determinare la relazione che si utilizza perquesta tipologia di problemi e la seguente:

q = f(L, l, ε, ρ, µ, U, a)

in cui L e la dimensione caratteristica del corpo, l tiene in conto le altre dimensioni(eventualmente l puo essere del tipo li i = 1, ....,M per corpi di geometria complessa), εcaratterizza la rugosita superficiale, ρ e la densita del fluido, µ la sua viscosita dinamica,U la velocita della corrente indisturbata ed a la velocita del suono. Un’ispezione delledimensioni dei parametri elencati rivela immediatamente K = 3 per cui se q non introducedimensioni aggiuntive la relazione di sopra si puo mettere nella forma

Πq = g

(

l

L,ε

L,ρUD

µ,U

a

)

.

Il primo parametro da le dimensioni dell’oggetto in forma adimensionale, il secondo e larugosita relativa, il terzo il numero di Reynolds ed il quarto il numero di Mach. Dallarelazione di sopra si puo osservare che, dando per scontata la similitudine geometrica (ilche include anche la condizione sulla rugosita superficiale), il parametro Πq dipende solodal numero di Reynolds Re e dal numero di Mach Ma.

Prendiamo come esempio un aereo la cui velocita di crociera sia U = 400Km/h ed unsuo modello in scala 1 : 10 e proviamo a calcolare il rapporto tra le forze di resistenza D.Supponendo rispettati i rapporti l/L ed ε/L, imponiamo preliminarmente la similitudinesul numero di Reynolds assumendo di utilizzare lo stesso fluido per cui µ = µm. Osservi-amo immediatamente che se pensassimo di aumentare la velocita del modello di un fattore10 per compensare il fattore di scala geometrico otterremmo una velocita Um = 4000Km/h' 1100m/s che e chiaramente inaccettabile in quanto in regime ampiamente supersonicoe quindi non renderebbe possibile nemmeno la similitudine distorta.

Se decidiamo allora di lasciare invariata la velocita della prova U = UM l’unica pos-sibilita che ci rimane e aumentare la densita del fluido del modello di dieci volte rispettoa quella del prototipo, preservando cosı tanto la similitudine in Re quanto quella in Ma.Ricordando ora che il coefficiente di resistenza e uguale per il modello e per il prototipo,possiamo scrivere per le forze:

cD = cDm

D12ρU2L2

=Dm

12ρmU2

mL2m

Dm =ρm

ρ

L2m

L2D

Dm =1

10D

con D e Dm forza di resistenza rispettivamente sul prototipo e sul modello.


Un modo sicuramente piu semplice per effettuare questa prova, consiste nel cambiaretipo di fluido ed utilizzarne uno con viscosita minore di quella dell’aria. In questo casosi deve quasi sicuramente rinunciare alla similitudine in Mach, tuttavia essendo il Machdel prototipo Ma ' 0.32 si e giusto al limite per poter trascurare gli effetti della com-primibilita ed un qualunque esperimento con un Mach minore del valore trovato darebberisultati simili.

Viene lasciato al lettore, come facile esercizio, lo studio della similitudine con un fluidodifferente.

ESEMPIO

In una galleria del vento viene posto un modello di sciatore durante un salto (scinordico) con una dimensione caratteristica di 40 cm ed investito da una velocitadi 67.5 Km/h in una corrente d’acqua. Sapendo che la resistenza e la portanzamisurate sul modello sono rispettivamente 4500 N e 5400 N, calcolare le forzecorrispondenti avvertite da uno sciatore con dimensione caratteristica di 2 m incondizioni di similitudine dinamica. Perche l’esperimento non e stato fatto inaria?

L

D

Soluzione

In condizioni di similitudine dinamica modello e sciatore devono avere lo stessonumero di Reynolds UmLm/νm = UL/ν, U = ν/νm · Lm/L · Um = 50. m/s. Icoefficienti di forza devono essere gli stessi risultando: cL = 2Lm/(ρmU

2mSm) e

quindi L = ρU 2ScL = 1190.4 N (avendo usato la relazione S/Sm = L2/L2m).

Procedendo analogamente per la resistenza si ha D = 992 N.Se l’esperimento fosse stato fatto in aria, per mantenere la similitudine sul numerodi Reynolds sarebbe stata necessaria una velocita Um = 281.2 m/s sconfinandocosı nel campo dei flussi comprimibili.


ESEMPIO

Un grattacielo alto h con una pianta quadrata di superficie S deve essere costruitoin una zona dove mediamente si hanno venti di velocita massima U con un profilocome in figura. Facendo le prove su un modello in scala fS in condizioni disimilitudine dinamica si ottiene un coefficiente di resistenza pari a CD (basatosul valore di velocita media). Calcolare il valore della resistenza del grattacieloe le condizioni per un esperimento in acqua.

a

h

U

h = 150 m CD = 0.85 a = h/3S = 900 m2 U = 15 m/s fS = 1 : 75

Per il calcolo della re-sistenza utilizzare lasuperficie frontale delgrattacielo.

Soluzione

La velocita media e data da:

U =1

h

∫ h

0Udy =

1

h

(

∫ a

0

Uy

ady +

∫ h

aUdy

)

=1

h

(

Ua

2+ U(h− a)

)

= 12.5 m/s.

Per la resistenza D = ρU2SFCD = 3.705 ·105 N (essendo SF la superficie frontale

del grattacielo pari a SF = 30 · 150 = 4500 m2.Per l’esperimento, dovendo uguagliare i numeri di Reynolds si avra UL/ν =UmLm/νm, Um = U · L/Lm · νm/ν = 62.5 m/s.


ESEMPIO

Per determinare la portanza di un aereo al decollo in atmosfera standard vieneeffettuato un esperimento in galleria del vento su un modello in scala fS e permantenere la similitudine dinamica viene pressurizzata la galleria del vento. Cal-colare la pressione di esercizio dell’esperimento sapendo che il rapporto tra lavelocita del prototipo e quella del modello e U/Um. Sapendo inoltre che sulmodello viene misurata una portanza Lm calcolare la portanza sul prototipo.

Ipotizzare uguali le temperaturedell’aria nell’esperimento e nelfenomeno reale.

fs = 1 : 20 U/Um = 1/3Lm = 90500 N

Soluzione

Un aereo al decollo ha velocita ancora contenute, il parametro fondamentale disimilitudine sara quindi il numero di Reynolds. Re = Rem implica che ρm/ρ =µmUL/(µUmLm) = 1 · U/Um · 1/fS = 6.66 ossia, essendo i due fenomeni allastessa temperatura (p/ρ = const.) pm = 6.66p0 = 6.66 atm.Dall’uguaglianza tra i coefficienti di portanza L = Lm · ρ/ρm(U/Um)2 · S/Sm =603340 N.

ESEMPIO

Misurando il coefficiente di resistenza di un albero mediante un modello in galleriadel vento in scala fs si ottiene un valore CD. Sapendo che l’albero viene investitoda un vento di velocita U calcolare le condizioni sperimentali per realizzare lasimilitudine. Se la superficie frontale dell’albero puo essere stimata come S =0.55H2 calcolare le forze di resistenza sull’albero e sul modello.

U

Hfs = 1 : 8 H = 16 mU = 12 m/s CD = 1.22

Soluzione

Affinche valga la similitudine dinamica ci deve essere l’uguaglianza tra i numeridi Reynolds per l’albero e per il modello in galleria del vento Re = Rem, ossiaUL/ν = UmLm/νm. Trattandosi per entrambi i casi di aria a pressione ambientesi ha ν = νm e quindi Um = UL/Lm = U/fS = 96 m/s (notare che non eimportante definire la grandezza L in quanto alla fine entra in gioco solo il fattoredi scala fS). Quindi dalla definizione di resistenza: D = ρU 2(0.55H2)CD/2 =15138 N e Dm = ρmU

2m(0.55H2

m)CD/2 = 15138 N.


ESEMPIO

Nel primo tentativo di volo con esito positivo (1903) i fratelli Wright usarono unaereo con superficie alare S, apertura alare L che, utilizzando una potenza P ,volo per alcune decine di secondi ad una velocita U . Calcolare il coefficiente diresistenza dell’aereo. Sapendo che la galleria del vento dei fratelli Wright nonpoteva contenere modelli piu grandi di Lm, dire se questi furono in grado dieffettuare esperimenti in similitudine dinamica.

S

L S = 57 m2 L = 13.44 mU = 60 Km/h P = 5100 WLm = 40 cm

Soluzione

Dalla relazione P = DU (con D la forza di resistenza) si puo scrivere P =ρU3SCD/2 da cui CD = 2P/(ρU 3S) = 0.0311. Per avere la similitudine dinamicamodello e prototipo devono avere lo stesso numero di Reynolds (per queste bassevelocita di volo), ne consegue che UmLm/νm = UL/ν ossia Um = UL/Lm =560 m/s. Questa velocita purtroppo a temperatura ambiente darebbe un valoredel numero di Mach pari a Ma = 1.64 il che invaliderebbe completamente irisultati dell’esperimento. (A parte il fatto che la galleria del vento dei fratelliWright non era in grado di raggiungere velocita cosı elevate, a quei tempi nonerano nemmeno noti gli effetti del numero di Reynolds sui coefficienti di portanzae resistenza. Infatti i fratelli Wright effettuarono le prove in galleria a numeridi Reynolds considerevolmente piu bassi di quelli di volo ottenendo dei risultatisolamente indicativi per le prestazioni del prototipo.


ESEMPIO

Un cartellone pubblicitario di superficie S viene investito da un vento costantedi velocita U e necessita di due pali di sostegno per contrastare l’azione dellacorrente. Se un cartellone geometricamente simile (anche nella lunghezza deipali) di superficie tripla venisse investito da una corrente a velocita doppia diquanti pali (identici ai precedenti tranne che per la lunghezza) si avrebbe bisognoper mantenere i pali in posizione?

US

Suggerimento: considerare in en-trambi i casi il flusso in regime diturbolenza sviluppata ed approssi-mare il numero dei pali all’intero piuvicino.

Soluzione

Sul cartellone agira una resistenza D =ρU2SCD/2 che generara un momento alla basedei pali 2Ml = M = Dl, con Ml il momento sop-portato da ogni singolo palo. Per il cartellonein scala si avra Mm = Dmlm = ρU 2

mSmCD/2lm,dove si e’ tenuto conto che il CD e lo stesso inentrambi i casi in quanto il flusso e in regime diturbolenza sviluppata. Ponendo Mm = nMl ericavando il CD dall’espressione di M si ottiene

n =(

Um

U

)

Sm

S

lml

2 = 4 · 3 ·√

3 ≈ 42,

avendo approssimato il risultato all’intero piuprossimo.

S D

11.4.2 Flussi con superficie libera

Quando un corpo si muove tra due fluidi immiscibili o, in modo equivalente uno dei duefluidi si muove in presenza o meno di un corpo, si ha inevitabilmente la deformazionedell’interfaccia tra i fluidi con la generazione di onde o comunque di fenomeni che coinvol-gono scambi tra energia cinetica e potenziale. Due esempi tipici di questi flussi sono unanave che produce delle onde durante la sua navigazione oppure dell’acqua che passa da unbacino idrico ad un fiume attraverso una diga. Su una scala piu piccola questi fenomenisi possono osservare anche in un bicchiere, mettendo sul fondo uno strato d’acqua ed insuperficie uno d’olio. Agitando il bicchiere si osserva la formazione di ‘onde interne’ lacui dinamica e appunto regolata da fenomeni di superficie libera.

Per questi flussi una qualunque quantita incognita q sara esprimibile tramite unarelazione del tipo:


q = f(µ, ρ, U, g, σ, ε, L, l)

in cui g e l’accelerazione di gravita e σ la tensione superficiale. In base al teorema diBuckingham, questa espressione e equivalente alla seguente forma:

Πq = h

(

l

L,ε

L,U√gL,ULρ

µ,ρLU2

σ

)

(11.7)

in cui compaiono i nuovi parametri

We =ρLU2

σe Fr =

U√gL,

che sono rispettivamente il numero di Weber ed il numero di Froude. Il primo tiene inconto tutti i fenomeni relativi alla tensione superficiale e sara importante per descriverela dinamica su piccola scala. Il numero di Froude, al contrario, esprime il rapporto trale forze d’inerzia e quelle di gravita ed e un parametro rilevante per tutti i fenomeni checoinvolgono bilanci di energia potenziale.

I parametri l/L ed ε/L sono gli stessi discussi nella sezione precedente e coinvol-gono la similitudine geometrica. Questi di solito si suppongono simili anche se man-tenere la similitudine sulla rugosita relativa puo alle volte risultare di difficile realizzazionesperimentale.

Il numero di Reynolds esprime al solito il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle viscosee la sua influenza sul fenomeno va valutata caso per caso. Nei flussi intorno a carene dinavi o dighe, il numero di Reynolds e solitamente dell’ordine delle centinaia di milioni omiliardi indicando che il flusso si trova in regime di turbolenza sviluppata. In questo casola dipendenza del flusso dal numero di Reynolds diventa trascurabile rispetto agli effettidegli altri parametri e puo essere semplificato dalla relazione (11.7). Questa operazione,tuttavia, nasconde un’insidia in quanto l’eliminazione di Re dalla (11.7) non implica chenel fenomeno non ci sono effetti viscosi ma solo che la loro entita non dipende dal valoredel numero di Reynolds; cio implica che quando si realizza l’esperimento in scala si deveessere sicuri che questo avvenga in regime di turbolenza sviluppata cosı come nel fenomenoreale.

Consideriamo come esempio il caso di una diga con dimensione caratteristica L = 20me portata pari a Q = 125 m3/s, il cui modello e in scala 1 : 15 da cui risulta che Lm =L/15 = 1.33 m.

La scala di velocita nella diga reale sara U = Q/cL2 con c costante che dipende dallageometria della diga e la portata del modello e quindi

Qm = cUmL2m.

Poiche in questo caso ne il numero di Weber ne quello di Reynolds contano, imponiamola similitudine sul numero di Froude:

Um√gmLm

=U√gL,

Um =

(

gm

g

)1/2 (Lm

L

)1/2 Q

cL2,


essendo g = gM . Dai calcoli fatti sulla scala delle velocita del prototipo e sulla portatasmaltita dal modello, risulta:

Um =1√15

Q

cL2,

Qm = c1√15

Q

cL2L2

m = 0.143 m3/s.

Vediamo cosa accade alla scala dei tempi:

TU

L=TmUm

Lm

,

Tm =ULm

UmLT =

QcL2

Qm

cL2m

Lm

LT,

Tm =Q

Qm

(

Lm

L

)3

T = 0.258T.

Il risultato ottenuto indica che l’analisi dimensionale permette di costruire modelli neiquali il fenomeno si sviluppa piu velocemente. Quindi se il fenomeno impiega 24 oreper svilupparsi nella diga, nel modello impiega solo 6 ore, per cui e possibile, per esem-pio, prevedere tempestivamente l’evoluzione di un incidente con una sperimentazione inlaboratorio.

ESEMPIO

Per un prototipo di nave lungo 200 m, del peso di 105 tonnellate e con velocitadi crociera di 18 nodi, viene realizzato un modello in scala fS = 1 : 30. Calcolarele condizioni sperimentali per una prova sul modello in similitudine dinamica.Quale dovra essere il peso del modello? Citare gli accorgimenti che dovrannoessere presi per gli eventuali parametri non in similitudine (similitudine distorta).

Soluzione

In questo problema, avendo la superficie libera un ruolo fondamentale bisognamantenere la similitudine in Froude U/

√gL = Um/

√gmLm, ed essendo le ac-

celerazioni di gravita identiche si ha Um = U√

Lm/L = U√fS = 3.286 nodi =

1.69 m/s.Se il rapporto di scala tra le dimensioni lineari e fS, il rapporto tra i volumi saraf 3

S e lo stesso dovra risultare per le forze peso. Quindi Pm = P/f 3S = 3703 Kg.

Per il numero di Reynolds, se si usa lo stesso fluido (ν = νm) si avra: Rem =

UmLm/νm = U√fS · LfS · 1/ν = Re · f 3/2

S . Essendo i numeri di Reynolds diversi(similitudine distorta) si dovra essere sicuri che entrambi i flussi siano nello stessoregime (turbolento).


ESEMPIO

Per studiare le caratteristiche di una diga ne viene realizzato un modello in scalaFS. Se la portata che smaltisce il modello e Qm, quale sara la portata smaltitadalla diga reale? Commentare le ipotesi fatte ed il tipo di similitudine ottenuta(esatta o distorta).

ricorda: dimensionalmente una por-tata in volume e data da una velocitaper una superficie.

fs = 1 : 200 Qm = 90 l/m

Soluzione

Essendo un fenomeno con superficie libera bisogna preservare la similitudine in

Froude. U/√

(gL) = UM/√

(gLM) da cui U = UM

√

(L/LM) = UM

√

(1/fS).

La portata sara Q = US = UM

√

(1/fS) · SM/f2S = QM/F

5/2S = 5.09 · 107 l/min

(848.5m3/s).

11.4.3 Flusso nelle macchine rotanti

Rispetto agli esempi precedentemente elencati, nelle macchine rotanti entra come parametrofondamentale la velocita di rotazione. Una qualunque grandezza q si puo quindi esprimeredalla relazione

q = f(L, l, ε, Q, µ, ρ,Ω, a)

essendo Q la portata smaltita dalla macchina ed Ω la sua velocita di rotazione. Si noterache non e stata inserita una scala di velocita U in quanto questa e ricavabile sia dalrapporto tra portata Q ed una superficie caratteristica (S ∼ L2) sia dalla velocita dirotazione attraverso U = ΩL. Ricorrendo al teorema di Buckingham la relazione appenascritta si riduce a:

Πq = g

(

l

L,ε

L,Q

ΩL3,ΩL2ρ

µ,ΩL

a

)

.

I parametri l/L e ε/L sono fissati dalla similitudine geometrica mentre il numero diReynolds Re = ΩL2ρ/µ puo essere trascurato se il regime di flusso tra prototipo e modelloe lo stesso. Per il numero di MachM = ΩL/a valgono le considerazioni fatte nei precedentiesempi, quindi si puo trascurare se prototipo e modello lavorano entrambi nel regimeM ≤ 0.3 altrimenti sara un parametro di similitudine da rispettare. Il rapporto Q/(ΩL2)e il coefficiente di flusso cQ ed e un parametro fondamentale per la similitudine.

Nelle macchine rotanti il parametro Πq puo essere il rendimento “η”, il coefficiente diprevalenza “cH” oppure il coefficiente di potenza “cP ”, definiti come segue:

η =PU

PI

, cH =gh

Ω2L2, cP =

PI

ρΩ3L5,

con PI potenza immessa, PU potenza utile ed h la prevalenza cioe l’altezza della colonnafluida equivalente alla differenza di pressione che la macchina puo creare (nel caso si trattidi una pompa).

Supponiamo di volere determinare le caratteristiche di una pompa che abbia dimen-sione L = 8inch, ed Ω = 1200rpm operante nelle condizioni di massima efficienza, notele caratteristiche di una pompa geometricamente simile con dimensione caratteristica diLM = 12inch funzionante alla velocita di rotazione ΩM = 1000rpm.


10

20

5

15

10080604020 0

0

1.4

2.8

4.2

5.6

0

h (m)

η

P (kw)Ι

10080604020 0

0 0

η

CΗ

.16

.21

.10

.05

.020

.015

.010

.05

0 0.025 0.050 0.075 0.10

C

C Q

P

0 0.063 0.126 0.189 0.252Q (m /s)3

efficienza

prevalenza

potenza

η

CΗ

C P

Figura 11.5: Curve caratterstiche di un pompa (curve dimensionali ed adimensionali).

Dalle curve caratteristiche con le quantita dimensionali si ricavano delle curve analogheper i parametri adimensionali come e mostrato in figura 11.5. Dal grafico (η, cQ) si ricavaper le condizioni di massima efficienza cQ = 0.0625, e dalla sua definizione il valore dellaportata Q = cQL

3Ω = 0.176 m3/s.

Conoscendo il valore di “cQ”, determiniamo dal grafico (cP , cQ) il valore del coefficientedi potenza pari a 0.015 e, ricordando che il fluido e acqua, calcoliamo la “PI” dalla seguenterelazione:

PI = cPρΩ3L5 = 10312 W

Infine dal grafico (cH , cQ) calcoliamo il valore di cH e, di conseguenza, quello di h comesegue:

h =(

cHL2Ω2

)

/g = 18.34m


ESEMPIO

Il salto di pressione attraverso una pompa di forma assegnata e ∆p =f(D,Ω, ρ, Q) essendo D una dimensione caratteristica, Ω la velocita di rotazione,ρ la densita del fluido e Q la sua portata. Un modello funzionante in acqua didiametro Dm, alla velocita angolare Ωm fornisce una curva come in figura. Sti-mare il ∆p per una pompa geometricamente simile di dimensione D operante inacqua alla velocita angolare Ω.

.015 .03 .045 .06

14

28

p (KPa)

Q (m /s)3

∆

42

56

Ωm = 40π rad/s Dm = 25 cmΩ = 60π rad/s D = 32 cm

Soluzione

Dalle relazioni fornite si nota che ci sono N = 5 grandezze in gioco descrittedimensionalmente da K = 3 dimensioni fondamentali. In base al teorema diBuckingham si ha che lo stesso fenomeno puo essere descritto da N − K =2 parametri adimensionali. L’applicazione del metodo della variabili ripetute(scegliendo come terna fondamentale D, Ω e ρ) fornisce Π1 = ∆p/(ρD2Ω2) eΠ2 = Q/(ΩD3). Noti quindi D ed Ω di modello e prototipo e possibile riscalarela curva in figura ed ottenere il ∆p per la pompa simile.


ESEMPIO

Si supponga che la prevalenzaH di una pompa sia esprimibile tramite la relazioneH = f(W,Ω, ρ, l, ν) in cui W e la potenza assorbita, Ω la velocita di rotazione,ρ e ν la densita e la viscosita cinematica del fluido di lavoro ed l una dimensionecaratteristica. Sapendo che un modello di dimensione lm con fluido acqua assorbeuna potenza Wm ed ha una prevalenza Hm, calcolare W ed H per una pompageometricamente simile in scala f = 2.3 : 1 (ossia il prototipo e 2.3 volte piugrande del modello) che lavora in olio in similitudine dinamica.

lm = 16 cm Hm = 21 m Wm = 6.1 kWf = 2.3 : 1 νolio = 10−5 m2/s ρolio = 850 Kg/m3

Soluzione

Applicando il teorema di Buckingham risulta N = 6 e K = 3 per cui si puoesprimere la relazione con 3 parametri adimensionali.

H

l= g

(

W

ρΩ3l5,ν

l2Ω

)

.

Uguagliando i parametri adimensionali si ottiene quindi H = Hml/lm = Hmf =48.3 m.

Ω = Ωm

(

lml

)2 (ν

νm

)

, W = Wmρ

ρm

(

l

lm

)5 (Ω

Ωm

)3

= Wmρ

ρm

lml

(

ν

νm

)3

= 1.604 Mw.

11.5 Flusso in circuiti chiusi

Nella classe dei flussi in circuiti chiusi rientrano tutti quei flussi in cui un fluido scorreall’interno di un sistema tubi, contemplando anche eventuali variazioni di sezione, gomiti,valvole, rubinetti etc., come in figura 11.6. Bisogna notare che l’aggettivo chiuso delcircuito non si riferisce al fatto che il circuito si chiuda su se stesso ma all’assenza disuperfici libere che vanno trattate come mostrato precedentemente.

In questa categoria di flussi, detta q la generica quantita da determinare possiamoscrivere

q = h(l, D, ε, ρ, µ, U),

che, applicando il teorema di Buckingham, puo essere ridotta alla forma

Πq = g

(

l

D,ε

D,ρUD

µ

)

. (11.8)

In questa relazione, al solito, il rapporto l/D descrive la geometria del sistema, la rugositarelativa ε/D esprime la natura della superficie dell’oggetto, mentre il numero di ReynoldsρUD/µ esprime il regime di moto del flusso nel condotto.

Come esempio consideriamo una valvola con una dimensione caratteristica D = 60cme supponiamo che smaltisca una portata Q = 0.1 m3/s. Ci chiediamo quale deve essere laportata di un modello in scala con dimensione Dm = 7.5cm.

11.6. LEGGE DI DARCY-WEISBACH 205

d

l

d1

1 l2

d2

l3

l4 3

U

Figura 11.6: Esempio di flusso in circuiti chiusi.

Osserviamo che, essendo un problema in scala, sono rispettati i rapporti l/D e ε/D,per cui rimane da verificare la similitudine sul numero di Reynolds.

Dalla portata della valvola, possiamo calcolare una scala di velocita per il prototipoU = Q/D2

quindi, imponendo l’uguaglianza del numero di Reynolds:

UD

ν=UmDm

νm

,=⇒ Um =Dνm

DmνU,

ed assumendo di utilizzare lo stesso fluido nell’esperimento e nel fenomeno reale (ν = νm),

Um =0.60 · 0.1

0.075 · 0.36 · 1 = 2.22 m/s.

Con questa velocita e con il diametro del modello siamo quindi in grado di calcolarela portata richiesta

Qm = UmD2m = 0.0125 m3/s.

11.6 Legge di Darcy-Weisbach

Sebbene la trattazione di questi flusso rientri a tutti gli effetti nell’ambito dell’analisidimensionale, la rilevanza pratica di circuiti per il trasporto di fluidi ha dato origine adelle formule empiriche di grande utilita nelle applicazioni pratiche.

Consideriamo un tubo a sezione circolare di lunghezza l e diametro costante D at-traverso cui passa una portata Q di un fluido viscoso; assumendo il flusso incomprimibilepossiamo mettere un relazione la velocita media nel tubo con la portata attraverso

Q =(πUD2)

4.

Per questo flusso, essendo gli effetti viscosi non trascurabili, non sarebbe possibileapplicare l’equazione di Bernoulli, tuttavia, aggiungendo un termine correttivo h che


tenga conto degli effetti viscosi si puo porre:

p1

ρ+U2

1

2+ gz1 =

p2

ρ+U2

2

2+ gz2 + gh. (11.9)

Dalla conservazione della massa si deduce che, essendo il diametro costante, le velocitanelle due sezioni sono uguali e quidi l’equazione di Bernoulli diventa:

p1

ρ+ gz1 =

p2

ρ+ gz2 + gh, (11.10)

e, se si suppone inoltre nulla la variazione di quota delle sezioni del condotto, si ha

p1

ρ=p2

ρ+ gh,=⇒ h =

p1 − p2

ρg. (11.11)

L’interpretazione fisica di questa relazione e che l’effetto dei termini viscosi e equiv-alente ad una sezione di uscita posta ad una quota piu alta di h rispetto alla sezionedi entrata oppure, in base alla (11.10), a parita di ∆p la presenza dei termini viscosidiminuisce di h la quota massima raggiungibile

z2 =∆p

ρg+ z1 − h.

Esplicitando invece la relazione precedente rispetto a z1 si nota che partendo dallaquota z2, ed arrivando alla quota z1 < z2, (mantenendo una portata Q) si genera undifferenza di pressione minore rispetto al caso non viscoso

ρgz1 = ρgz2 − ∆p+ ρgh.

In definitiva sia per portare in quota il fluido che per farlo tornare indietro occorre sempreuna differenza di pressione piu grande del caso non viscoso e cio esprime la dissipativitadel termine h in contrasto con la reversibilita della trasformazione dell’energia potenzialein energia cinetica nel caso ideale.

Per mettere ora in relazione le perdite dovute agli effetti viscosi con le grandezzeadimensionali osserviamo che possiamo esprimere la differenza di pressione alle estremitadel tubo come

∆p12ρU2

= φ

(

l

D,ε

D,UDρ

µ

)

.

In base ad innumerevoli osservazioni sperimentali e stato visto che l’effetto del parametrol/D interviene linearmente nella funzione φ il che implica fisicamente che le perdite perattrito in un tubo di lunghezza 2l saranno doppie rispetto ad un tubo identico ma di metalunghezza Questo risultato implica

∆p12ρU2

=l

DΦ

(

ε

D,UDρ

µ

)

per cui definendo il fattore d’attrito f

f =∆p

12ρU2

D

l= Φ

(

ε

D,UDρ

µ

)


Figura 11.7: Diagramma di Moody.

si ottiene

∆p12ρU2

=l

Df.

Ricordando infine dalla (11.11) che h = ∆p/ρg si giunge alla legge di Darcy-Weisbach:

h =1

2

U2

g

l

Df, (11.12)

che consente di calcolare le perdite per effetti viscosi nota la geometria del condotto (l/D),la velocita media del flusso (U) ed il fattore d’attrito f .

Osservando criticamente la relazione (11.12) dovremmo concludere che non abbiamofatto alcun passo in avanti in quanto abbiamo espresso una quantita incognita h in funzionedel fattore d’attrito f che non e noto a priori. In realta il fattore d’attrito si determinafacilmente dal diagramma di Moody (figura 11.7) che consente, noto il valore di ε/Ded il numero di Reynolds del tubo, di determinare f . Questo diagramma e stato moltoutilizzato nel passato in quanto l’assenza di calcolatori elettronici rendeva problematico


l’utilizzo di formule implicite non lineari. Attualmente queste formule possono essereagevolemente impiegate anche con l’ausilio di una calcolatrice programmabile rendendopiu rapido il calcolo di f . Una di tali formule e quella di Colebrook

1√f

= −2 log10

(

ε/D

3.7+

2.51

Re√f

)

, (11.13)

che e stata ottenuta come fit empirico del grafico del diagramma di Moody.Vale la pena infine notare che se il flusso nel tubo e laminare, e quindi possiamo usare

la soluzione di Hagen–Poiseuille, il fattore d’attrito f puo eseere calcolato analiticamente.Risulta infatti

h =128Qµl

πD4ρg=⇒ 128Qµl

πD4ρg=

1

2

U2

g

l

Df =⇒ f =

64

Re, (11.14)

che nel diagramma logaritmico di figura 11.7 e appunto la retta a pendenza negativa cheda il valore di f per numeri di Reynolds minori di ∼ 2100.

11.6.1 tubi a sezione non circolare

In molte applicazioni pratiche i circuiti per il trasporto del fluido hanno sezione noncircolare (per esempio negli impianti di condizionamento dove i condotti hanno una sezionequadrata) ed in questi casi il diagramma di Moody non puo essere utilizzato nella formadescritta nella precedente sezione.

Evidentemente, si potrebbe ripetere una campagna di misure, cosiı come e stato fattoper i tubi a sezione circolare per ottenere un diagramma, analogo a quello di Moody,ma specifico per la particolare geometria di interesse. Data tuttavia la grande varietadi geometrie possibili questa procedura non viene seguita e si preferisce ricavare delleinformazioni, seppur approssimate, direttamente dal grafico di figura 11.7 anche se iltubo non e circolare. A tal fine si definisce il diametro idraulico Dh come il rapportotra l’area della sezione trasversale del tubo S divisa per un quarto del perimetro bagnatoP/4; in questo modo per un condotto a sezione quadrata il diametro idraulico e propriopari al lato, mentre per una sezione rettangolare Dh e il prodotto dei lati diviso per laloro media.

Dopo aver calcolato Dh per una data geometria, questo viene usato per valutare ilnumero di Reynolds Re = UDh/ν, la rugosita relativa ε/Dh da cui si ricava il fattored’attrito f dal grafico 11.7 e quindi la perdita di carico hf = f(l/Dh)U

2/(2g); la velocitamedia U viene calcolata dividendo la portata in volume Q di fluido che transita nelcondotto per la sua sezione S.

Questo tipo di approssimazione, permette di risolvere agevolmente problemi per i qualinon esiste un diagramma specifico per le perdite di carico oppure flussi in cui si hannotubi di geometria diversa in uno stesso circuito. Normalmente, per condizioni di flussoturbolento completamente sviluppato l’errore rimane contenuto intorno a valori del 15%:per quei problemi nei quali e richiesta un’accuratezza maggiore bisogna allora ricorrere adiagrammi specifici o prove sperimentali ad hoc.

11.6.2 perdite concentrate

L’assunzione che gli effetti viscosi siano proporzionali alla lunghezza l del condotto fun-ziona nel caso di condotti a sezione uniforme in cui il flusso sia in un regime di turbolenza


0 .25 .5 .75 1

.5.75

.25

1.

0 .25 .5 .75 1

.2

.4

.6

A /A2 1

A1 2A

K

A /A1 2

1A A2 h= k V2g

21h= k V

2g

22

Figura 11.8: Esempio di grafico per la determinazione delle perdite concentrate pervariazioni di sezione repentine.

A B

Figura 11.9: A: coefficiente di perdita Kc in un gomito a 90o in funzione del raggio dicurvatura e della finitura superficiale; B: perdite associate ad una variazione di direzionedel flusso con angoli retti (a) flusso senza ‘guide’, (b) flusso con guide.

completamente sviluppata. Riferendoci alla figura 11.6 appare evidente come ci siano deicomponenti, come i gomiti, il rubinetto e la variazione di sezione, in cui tale condizione none assolutamente verificata. L’analisi sperimentale mostra comunque che in corrispondenzadi tali tratti del circuito si verificano delle perdite di energia la cui entita puo superarequella nei tratti rettilinei. Chiaramente, l’entita delle perdite viscose dipende dalla formadei componenti, dal modo in cui sono accoppiati con i tratti rettilinei di tubo oltre chedalla portata che li attraversa. Queste perdite vengono dette perdite concentrate (hc) evengono quantificate attraverso dei coefficienti empirici Kc

hc = KcU2

2g.

L’effetto di ognuno di questi componenti e quindi assimililabile ad una perdita concentrataequivalente ad una quota parte dell’energia cinetica del flusso.

I valori numerici di Kc possono essere trovati sia in forma di tabella in cui e specificatala forma del componente, il materiale con cui e costruito ed il modo in cui e collegato con


A B

Figura 11.10: A: coefficiente di perdita Kc per differenti modalita di uscita del flusso: (a)Kc = 1., (b) Kc = 1., (c) Kc = 1., (d) Kc = 1.. B: coefficiente di perdita Kc per differentimodalita di ingresso del flusso: (a) Kc = 0.8, (b) Kc = 0.5., (c) Kc = 0.2, (d) Kc = 0.04.

i tubi rettilinei oppure in forma di grafico come gli esempi forniti nelle figure 11.8, 11.9,11.10.

ESEMPIO

Data la presente configurazione determinare la portata in massa di olio cheattraversa il condotto.

p

p

l

ld

1

2

2

1

p1 − p2 = 106 Pa d = 0.3 inchl1 = 10 m l2 = 6 m

ρolio = 840 Kg/m3 µolio = 0.01 Ns/m2

tubi commerciali gomito avvitatoStimare le perdite concentrate (as-sumendo valori opportuni dei Kj),giustificando le assunzioni fatte.

Soluzione

Dall’equazione di Bernoulli generalizzata scriviamo p1 + ρU 21 /2 + ρgh1 = p2 +

ρU22 /2 + ρgh2 + f(l1 + l2)U

2ρ/(2d) +∑

j KjρU2/2, essendo U la velocita nel

condotto e risultando U1 = 0, U2 = U . Osservando che h1 − h2 = l2 si ricava perU :

U2 =2

ρ

(p1 − p2) + ρgl21 + f(l1 + l2)/d+

∑

j Kj

,

dove∑

j Kj = K1 + K2 + K3 = 0.5 + 1.5 + 1. = 3. ottenute da tabelle per lastrozzatura in ingresso, per il gomito e per la sezione di uscita. Dalle tabelleper tubi commerciali ricaviamo ε/d = 0.0059 da cui iterando sul diagrammadi Moody tra f e Re = Ud/ν si ottiene U ' 4.78 m/s (ricordiamo che per laprocedura iterativa conviene partire da un valore di tentativo di f nella partepiatta del diagramma di Moody che per ε/d = 0.0059 fornisce f ' 0.032). Laportata in massa nel condotto sara quindi m = ρUπd2/4 = 0.183 Kg/s.


ESEMPIO

Dato il circuito in figura, calcolare la pressione pI nel serbatoio per avere unaportata Q uscente dal rubinetto.

0 .25 .5 .75 1

.5.75

.25

1.

0 .25 .5 .75 1

.2

.4

.6

A /A2 1

A1 2A

l

d

l1 2

h d2

l

2

d2 2d

pI

d

3

43

K

h1

A /A1 2

1A A2 h= k V2g

21h= k V

2g

22

C D

h1 = 2 m h2 = 4 ml1 = l2 = l3 = 3 m d2 = 5 cm

d3 = 15 cm d4 = 2.5 cmQ = 500 l/minFluido:acqua

Tubi commerciali a sezione circolare.Rubinetto con k = 2 basato sulla velocitanel tubo (in d2).Trascurare le perdite distribuitenel serbatoio.Raccordo serbatotio–tubo k = 0.5 basatosulla velocita nel tubo.Per le variazioni di sezione in C e Dvedi tabelle. Gomito avvitato.

Soluzione

Prendendo i due peli liberi dei serbatoi come sezioni A e B e scrivendo l’e-quazione di Bernoulli generalizzata si ottiene: pA = pI , uA = 0, pB = p0 euB = 4Q/(πd2

4) = 16.976 m/s, hA − hB = h1 + h2 e quindi:

pI = p0 − ρg(h1 + h2) + ρu2

B

2+ ρg

∑

i

filidi

u2i

2g+∑

j

kj

u2j

2g

.

Dalla costanza della portata si ha u2 = 4Q/(πd22) = 4.244m/s e u3 = 4Q/(πd2

3) =0.4715m/s. Dal diagramma di Moody con Re2 = u2d2/ν = 212206, ε/d1 =0.0009 e Re3 = u3d3/ν = 70570, ε/d2 = 0.0003 si ottiene rispettivamente f2 =0.021 ed f2 = 0.026 con cui si possono calcolare le perdite di carico distribuite.D’altra parte, noti i valori di kj si possono calcolare anche le perdite concentrateottenendo:

∑

i

filidi

u2i

2g= f2

h2 + l1 + l3d2

u22

2g+ f3

l2d3

u23

2g= 3.861 m,

∑

j

kj

u2j

2g= (0.5 + 1.5 + 2 + 0.8 + 0.5)

u22

2g4.82 m.

Note le perdite si calcola infine pI ottenendo pI = 271666 Pa.


ESEMPIO

Dato il circuito in figura, quale deve essere il livello dell’acqua H nel serbatoioper avere una portata Q?

DE

F

C

H

hh

l

l

dd

d

d

S

I

2

2

1

11

2

2

h1

p

h1 = 2 m h2 = 2.5 ml1 = 2.2 m l2 = 3 md1 = 1.5 cm d2 = 3 cmhS = 1 m Q = 100 l/min

ε = 0.1.5 mm pI = 150000 Pa

Tubi circolari in cementoTrascurare le perdite nei due serbatoi

D ed F gomiti avvitatiGomito in E con k = 1.8 basato sulla

velocita in d1. Raccordo in C con k = 0.5basato sulla velocita in d1

Attenzione: H viene molto grande(> 20m) ed il disegno non e in scala.

Soluzione

Prendendo i due peli liberi dei serbatoi come sezioni A e B e scrivendo l’equazionedi Bernoulli generalizzata si ottiene: pA = p0, uA = 0, pB = pI e uB = 0,hA − hB = H + h1 + h2 − hS e quindi:

H = hS − h1 − h2 +pI − p0

ρg+∑

i

filidi

u2i

2g+∑

j

kj

u2j

2g.

Dalla costanza della portata si ha u1 = 4Q/(πd21) = 9.431m/s e u2 = 4Q/(πd2

2) =2.358m/s. Dal diagramma di Moody con Re1 = u1d1/ν = 141471, ε/d1 =0.0066 e Re2 = u2d2/ν = 70735, ε/d2 = 0.0033 si ottiene rispettivamente f1 =0.034 ed f2 = 0.029 con cui si possono calcolare le perdite di carico distribuite.D’altra parte, noti i valori di kj si possono calcolare anche le perdite concentrateottenendo:

∑

i

filidi

u2i

2g= f1

h1 + l1d1

u21/2g + f2

h2 + l2d2

u22

2g= 44.94 m,

∑

j

kj

u2j

2g= (kC + kD + kE)

u21

2g+ kF

u22

2g= 17.67 m.

Note le perdite si calcola infine H ottenendo H = 64.08 m.


ESEMPIO

Nel dispositivo in figura transita una portata Q, calcolare il valore della pressionepA necessaria a mantenere il sistema in condizioni stazionarie.

0 .25 .5 .75 1

.2

.4

.6

A /A2 1

A1 2A

K

h= k V2g

22

l2

d2d

d3

D

C

l1

l 3

d3

1

B

ApA

θ

l1 = 4 m l2 = 3 m l3 = 8 md1 = 10 cm d2 = 3 cm d3 = 1 cmε = 0.12 mm Q = 27 l/min θ = 30o

raccordo in D k = 1 basato sullavelocita del tubo con diametro d3,rubinetto k = 2.

Soluzione

Scrivendo l’equazione di Bernoulli generalizzata tra A e B si ha

U2A

2+pA

ρ+ ghA =

U2B

2+pB

ρ+ ghB +

∑

i

filidi

U2i

2+∑

j

kj

U2j

2,

risultando: UA = 4Q/(πd21) = 0.0573 m/s, UB = 4Q/(πd2

3) = 5.7295 m/s,pB = p0 e hB − hA = −l3 sin θ = −4 m. Per i tre tratti si ha, rispettivamente,ε/d1 = 0.0012 e Re1 = 5116, ε/d2 = 0.004 e Re2 = 17051 e ε/d3 = 0.012 eRe3 = 47746 per cui dal diagramma di Moody si ottiene f1 = 0.038, f2 = 0.034e f3 = 0.04. Per le perdite concentrate e distribuite risulta quindi

∑

j

kj

U2j

2= 0.5

U22

2(1 + 2)

U23

2= 49.342 m2/s2,

∑

i

filidi

U2i

2= 525.92 m2/s2.

Dalla prima espressione si ricava quindi pA = 653734 Pa.


ESEMPIO

Il dispositivo in figura rappresenta un circuito di raffreddamento in cui entraacqua alla pressione pA a sinistra ed esce nell’ambiente dal rubinetto in B dopoaver attraversato il dispositivo da raffreddare schematizzato con una perdita dicarico concentrata con K = 20. Con i dati a disposizione, calcolare la portatad’acqua che smaltisce il circuito.

1

2

3

4A

l

l

l

l

R

k=20 B

d

l1 = 2 m l2 = 5 m l3 = 4 ml4 = 1 m R = 3 m d = 1.5 cm

ε = 0.02 mm pA = 4 atmtutti i diametri sono costanti, gomitiavvitati, rubinetto con k = 2.

Soluzione

Dall’equazione di Bernoulli generalizzata scritta tra A e B, risultando UA =UB = U , pB = p0 ed hA − hB = R− l2, si ottiene

U2 =2[(pA − p0)/ρ+ g(R− l2)]

f∑

i(li/d) +∑

j kj

ossia in termini numerici

U =

(

568.56

1218.88f + 26.5

)1/2

Dal valore di rugosita relativa ε/d = 0.0013 si ipotizza dal diagramma diMoody un valore per il fattore d’attrito f = 0.02 di primo tentativo e, iteran-do nell’espressione sopra si ottiene U = 3.125 m/s da qui si ricava la portataQ = Uπd2/4 = 5.522 · 10−4 m3/s = 0.552 l/s.Il valore f = 0.02 e stato ottenuto dalla parte piatta della curva del diagrammadi Moody. Dal valore f1 = 0.002 si e ottenuto rispettivamente U1 = 3.343 m/se Re1 = 44772. All’iterazione successiva con questi dati risultava f2 = 0.026,U2 = 3.125 m/s e Re2 = 41852. L’iterazione e stata a questo punto fermatanon potendo apprezzare, manualmente e su un grafico logaritmico, variazioni delnumero di Reynolds piu piccole di alcune centinaia.

11.7 forze aerodinamiche

Nella prima parte di questo capitolo abbiamo visto come la similitudine dinamica perme-tta di determinare delle grandezze di interesse per un problema mediante un esperimentoin scala ridotta. Questa tecnica, anche se estremamente potente da un punto di vistaquantitativo, non da alcuna informazione sui meccanismi fisici presenti nel flusso e quindinon permette di migliorare la comprensione fluidodinamica di un fenomeno. Cio e parti-colarmente importante quando si voglia progettare un dispositivo con certe caratteristichefluidodinamiche (per esempio un’automobile con basso coefficiente di resistenza) piuttostoche valutare il comportamento di un sistema gia esistente.

Tra le varie quantita fluidodinamiche le forze occupano un posto di particolare rilievo

11.7. FORZE AERODINAMICHE 215

in quanto da esse dipende sia il dimensionamento della struttura che il suo comportamentodinamico. Per esempio, nella progettazione di un ponte sopra un fiume si deve tener contosia della forza che la corrente del fiume esercita sui piloni, sia della forza che eventualiraffiche di vento esercitano sulla struttura sovrastante. In aggiunta, essendo queste forzenon stazionarie bisogna anche evitare che le frequenze proprie del ponte siano vicine allefrequenze delle forze in quanto l’instaurarsi di fenomeni di risonanza puo portare al collassodella struttura anche per forze di modesta entita.

In generale preso un corpo di forma qualunque ed isolato un suo elemento di superficiesi avra che la forza sara generata dall’azione della pressione che agisce normalmente allasuperficie e dagli sforzi viscosi che invece agiscono tangenzialmente (figura 11.11).

x

y

p

U

S

dS

τ

θ

- n

w

Figura 11.11: Schema di forze locali di pressione e viscose.

Dallo schema di figura appare chiaro che se dS e l’elemento infinitesimo di superficiedel corpo risultera dF = (−pn + τττw)dS da cui per integrazione si ottiene

F =∫

S(−pn + τττw)dS (11.15)

che e la forza cercata. A dispetto della sua semplicita l’espressione (11.15) non e pratica-mente mai calcolabile per via analitica in quanto la conoscenza della funzione integrandapresuppone la determinazione dei campi di pressione e velocita nell’intorno del corpo chea loro volta sono governati dalle equazioni di Navier–Stokes.

Data l’impossibilita di valutare esplicitamente la (11.15) consideriamo allora comesemplice esempio il flusso intorno ad un cilindro circolare e cerchiamo almeno di vederein che modo agiscono i due termini della funzione integranda ed in quali casi uno diventapreponderante rispetto all’altro.

Iniziamo con il ricordare che nel caso di flusso potenziale le linee di corrente sonocome in figura 11.12a e che a causa della loro simmetria tra la parte frontale e quellaposteriore del cilindro danno una risultante nulla delle forze di pressione. In aggiunta,nelle ipotesi di flusso potenziale le azioni tangenziali sono identicamente nulle da cui siconclude che il flusso esercita un sistema di forze a risultante nulla sul corpo (paradossodi d’Alembert). Nel caso reale le cose vanno in modo ben diverso come e schematizzato


a b

Figura 11.12: Linee di corrente per il flusso intorno ad un cilindro: (a) flusso potenziale,(b) flusso viscoso. (La zona marcata in rosso indica una bolla di ricircolazione con il flussoseparato).

nella figura 11.12b. Si osserva infatti che gia per numeri di Reynolds O(50) lo stratolimite separa immediatamente a valle della sezione massima generando una scia vorticosae non stazionaria.

E intuitivo che un primo effetto della viscosita e quello di generare degli sforzi viscosisulla superficie del cilindro che indurranno delle forze assenti nel caso potenziale. Ilconfronto tra le figure 11.12a e 11.12b mostra tuttavia che la viscosita produce un evidentefenomeno di separazione il cui effetto non si puo confinare ad un sottile strato di fluidoadiacente al corpo. La separazione dello strato limite si spiega facilmente ricordandoche la velocita tangenziale sul contorno del corpo calcolata secondo la teoria potenzialee uθ = 2U sin θ in cui U e la velocita della corrente all’∞ e θ la coordinata azimutalemisurata a partire dal punto di ristagno anteriore. Questa espressione ci dice che il flussoesterno accelera tra θ = 0 e θ = π/2 mentre deve decelerare tra θ = π/2 e θ = π.In base all’equazione di Bernoulli si ha quindi una pressione decrescente (gradiente dipressione favorevole) per 0 ≤ θ ≤ π/2 ed una pressione crescente (gradiente di pressionesfavorevole) per π/2 < θ ≤ π. Lo strato limite si trovera quindi nelle condizioni di separarenella seconda meta del cilindro e poiche parte dell’energia cinetica e stata dissipata pereffetti viscosi gia nella prima meta del cilindro la separazione si verifica inevitabilmente pernumeri di Reynolds maggiori di circa 50. La maggiore conseguenza di questa separazione eil mancato recupero della pressione a valle del cilindro che induce quindi una dissimmetriatra monte e valle come mostrato in figura 11.13. Evidentemente, questa dissimmetriaprodurra una forza di pressione la cui risultante e diretta come il flusso ed e quindi unaforza di resistenza; per il cilindro, e piu in generale per tutti i corpi tozzi, il terminedi pressione nella (11.15) risulta dominante rispetto a quello viscoso che per numeri diReynolds sufficientemente elevati diventa trascurabile.

Osservando la figura 11.13 potrebbe sembrare singolare il fatto che si ha un recuperodi pressione maggiore nel flusso a Re > 106 rispetto al quello a Re < 105. Questocomportamento e dovuto alla transizione dello strato limite da laminare a turbolento; inquest’ultimo caso, infatti, la diffusione di quantita di moto dal flusso esterno all’internodello strato limite risulta molto piu efficiente del caso laminare e, con una maggioreenergia cinetica, lo strato limite riesce a risalire piu a lungo la zona con gradiente avversodi pressione prima di separare 3 (figura 11.14).

3Questo fenomeno e ben noto ai costruttori di palle da golf i quali provocano artificialmente la tran-sizione alla turbolenza dello strato limite mediante delle irregolarita della superficie (dimples). In questo


C ( ) p

θ

−3

1θ

0π/2 π

flussopotenziale

Re < 105

Re > 106

Figura 11.13: Coefficiente di pressione per un cilindro bidimensionale: confronto tra flussopotenziale e flusso viscoso.

S S

a) b)

Figura 11.14: Schema di scia a valle di un cilindro bidimensionale: a) flusso laminare, b)flusso turbolento.

Una realizzazione di laboratorio della fenomenologia appena descritta e riportata infigura 11.15 dove si puo notare le minore estensione della zona di separazione nel flussoin regime turbolento rispetto al caso laminare.

L’evoluzione con il numero di Reynolds di tutti i fenomeni descritti viene riassunta nellafigura 11.16 in cui e riportato l’andamento del coefficiente di resistenza CD in funzione diRe. Ricordiamo che il coefficiente di resistenza e definito come

CD =2D

ρU2S(11.16)

modo si riesce a diminuire la resistenza della palla che puo quindi percorrere uno spazio maggiore, rispettoad una con superficie liscia, a parita di quantita di moto iniziale.


a) b)

c) d)Figura 11.15: Visualizzazione sperimentale del flusso intorno ad una sfera a) flusso lam-inare, b) flusso turbolento. I pannelli c) e d) riportano degli ingrandimenti delle zone,rispettivamente, di separazione e di transizione.

Figura 11.16: Coefficiente di resistenza per un cilindro bidimensionale.

dove D e il modulo della forza di resistenza ed S e la superficie frontale del cilindro.

Nel primo tratto, per Re < 1 si ha il coefficiente di resistenza che diminuisce comeRe−1 (CD ' 16π/Re) e quindi la resistenza D cresce linearmente con la velocita. Questocomportamento e tipico di tutti i flussi a numeri di Reynolds estremamente bassi e derivadal poter trascurare i termini inerziali nelle equazioni di Navier–Stokes; in questo regime(regime di Stokes) si ha quindi un semplice bilanciamento tra forze di pressione e forzeviscose e la resistenza e generata oltre che dalle azioni tangenziali anche dalla deformazionedel fluido intorno al corpo (che per bassi Re non e piu limitato ad uno strato sottileadiacente alla superficie stessa).

Da un punto di vista teorico questo comportamento puo essere facilmente compresoricorrendo all’analisi dimensionale. Per velocita del flusso estremamente ridotte, infatti,non solo gli effetti della comprimibilita ma anche quelli inerziali sono ininfluenti e per la


Figura 11.17: Coefficiente di resistenza per una sfera.

resistenza D del cilindro si puo porre D = f(U, d, µ). Il teorema di Buckingham ci diceche questa relazione deve essere governata da un solo parametro adimensionale, ossia

D

µdU= C,

o, in termini di coefficiente di resistenza CD,

CD =D

12ρU2S

=2CµdU

ρU2S=

2CRe

, (11.17)

essendo S = Ad2 (con A costante dipendente dal particolare corpo) e C = C/A: questarelazione rispetta l’andamento trovato nel primo tratto della curva in figura 11.16. Bisognanotare che il valore specifico di C dipende dal corpo considerato (per esempio per uncilindro si ha CD ' 16π/Re e quindi C ' 8π mentre per una sfera risulta CD = 24/Reossia C = 12) al contrario l’andamento CD ∼ 1/Re e caratteristico di tutti i flussi a numeridi Reynolds minori o uguali all’unita (flussi di Stokes).

Tornando alla figura 11.16, un secondo tratto interessante e quello in cui il numerodi Reynolds e compreso tra 2 · 104 e 3 · 105 dove il CD e costante e vale circa 1.2. Inquesto tratto i fenomeni di separazione sono ormai completi e la resistenza di pressioneda il contributo dominante alla resistenza totale; consistentemente il CD rimane costanteanche se con l’aumentare del numero di Reynolds aumentano gli sforzi viscosi alla parete.In base alla definizione (11.16) un coefficiente di resistenza costante implica una resistenzache cresce con U 2 e quindi molto piu rapidamente che nel caso precedente.

Per 5 · 105 ≤ Re ≤ 106 si verifica una brusca diminuzione del coefficiente di resistenzadovuto alla transizione da regime laminare a turbolento precedentemente discussa. Valela pena di notare che durante la transizione si ha una cosı brusca diminuzione del CD chepersino la resistenza D diminuisce lievemente. Per Re > 106 tuttavia, il coefficiente di


Figura 11.18: Il coefficiente di resistenza per corpi di varia forma.

resistenza si attesta nuovamente ad un valore costante (CD ' 0.6) e la resistenza ricom-incia a crescere come U 2. Purtroppo, a parte pochissime eccezioni, tutte le applicazionipratiche si trovano in questa condizione che implica un elevato dispendio di energia per



mantenere lo stato di moto.

Nel flusso intorno ad un cilindro si puo affermare che la forza di resistenza e generataessenzialmente dalla distribuzione di pressione sul corpo a sua volta determinata daifenomeni di separazione dello strato limite. Questa caratteristica e comune a tutti i flussi


d 10d

a) b)Figura 11.21: Il coefficiente di resistenza per un cilindro bidimensionale di diametro d eper un profilo alare di spessore 10d sono circa uguali.

intorno a corpi tozzi in cui si generano intensi gradienti sfavorevoli di pressione.Il comportamento del cilindro bidimensionale e caratteristico di tutti i corpi tozzi per

alcuni dei quali vengono riportati in tabella alcuni coefficienti di resistenza per il flusso inregime di turbolenza sviluppata (figure 11.18–11.20).

2 4 6 8 10 12 14 16 182 4 6 8 10 12 14 16 18

1.4

1.2

1.0

.8

.6

.4

.2

LC

α α

C D

00

.02

.04

.06

.08

.10

.12

.14 1.4

1.2

1.0

.8

.6

.4

.2

LC

.02 .04 .06 .08 .10 .12 .14

b) c)

C D

a)

Figura 11.22: Esempi di portanza a) e resistenza b) in funzione dell’angolo di incidenzaper un corpo affusolato, e polare del profilo c).

α=0 α>15o o

Figura 11.23: Visualizzazione sperimentale delle linee di corrente intorno ad un profiloalare bidimensionale (NACA 0012) a basso ed alto angolo di incidenza.

Se un corpo, al contrario, e affusolato i gradienti di pressione saranno piu deboli ed ifenomeni di separazione possono essere generalmente evitati. Un tipico esempio di corpoaffusolato e il profilo alare in cui la resistenza e quasi totalmente generata dagli sforziviscosi; le forze prodotte da questi ultimi, tuttavia sono di entita piu modesta rispettoalle forze di pressione e, per fare un esempio, il profilo in figura con dimensione trasversale10d ha lo stesso coefficiente di resistenza di un cilindro circolare di diametro d.


La distribuzione di pressioni su un corpo, comunque, non genera solo forze di resistenzama anche una forza ortogonale alla direzione della corrente detta portanza L. Questaforza viene prodotta quando la distribuzione di pressione sulla superficie del corpo nonha simmetria rispetto ad un piano orizzontale e puo essere quindi prodotta da corpiasimmetrici oppure da corpi simmetrici disposti asimmetricamente rispetto alla direzionedella corrente. Analogamente alla resistenza anche per la portanza si puo definire un suo

a) b)

LL

UU

Figura 11.24: Esempi di corpi in grado di generare portanza: a) corpo asimmetrico, b)corpo simmetrico disposto asimmetricamente nella corrente.

coefficiente

cL =2L

ρU2S,

per il quale possono essere applicati tutti i risultati della similitudine dinamica.

E intuitivo immaginare che detto α l’angolo di incidenza di un profilo rispetto allacorrente, al crescere di α crescera il coefficiente di portanza cL (in quanto aumenta ladissimmetria delle pressioni tra le superfici superiore ed inferiore) ma aumentera ancheil coefficiente di resistenza cD (perche aumenta la superficie frontale nella direzione or-togonale al flusso). Per i profili alari e usuale riportare in un unico grafico i coefficientidi resistenza e di portanza ponendo l’angolo di incidenza come parametro. L’andamentodi figura 11.22 e caratteristico dei profili alari e, piu in generale, dei corpi affusolati. Inparticolare si osserva che al crescere di α non si ha un aumento indefinito del cL ma dopouna valore limite dell’angolo di incidenza si ha un crollo improvviso del cL ed un bruscoaumento del cD. Cio si verifica quando si ha il distacco dello strato limite dal corpo che,in pratica, si comporta come un corpo tozzo (vedi figura 11.23). Questa condizione edetta di stallo ed e particolarmente indesiderata nei velivoli in quanto viene bruscamentea mancare la forza di sostentamento a fronte di un forte aumento di resistenza.


ESEMPIO

Una sfera d’acciaio di diametro d precipita in acqua alla velocita U . Con qualevelocita ‘precipiterebbe’ la stessa sfera immersa nel mercurio?

ρfe = 7800 Kg/m3 ρhg = 13600 Kg/m3

d = 15 cm U = 5.775 m/s

Soluzione

Dal bilancio tra spinta di Archimede e forza peso in acqua si ha

4

3πd3

8(ρFe − ρH2O)g =

1

2ρH2OU

2πd2

4CD,=⇒ CD = 0.4.

Da una relazione analoga per il mercurio

U = −√

√

√

√

4dg(ρFe − ρHg)

3ρHgCD

= −1.446 m/s,

(la sfera si muove verso l’alto). I numeri di Reynolds sono in entrambi i casi> 3 · 105 ed il CD e approssimativamente indipendente dal Reynolds.

ESEMPIO

Una vettura procede in autostrada alla velocita U1 impiegando una potenzaP1 con un consumo di carburante fc1. Assumendo trascurabili tutti i fattoritranne quelli aerodinamici e che il consumo di carburante varii linearmente conla potenza, quale sara il consumo di carburante alla velocita U2? Se il motorepuo erogare una potenza massima Pmax, quale e la velocita massima raggiungibiledall’automobile?

Pmax = 9.5P1 fc1 = 4.41 l/hU1 = 75 Km/h U2 = 130 Km/h

Soluzione

Se la vettura procede a velocita costante, la spinta del motore bilancera laresistenza aerodinamica (abbiamo supposto tutti gli altri fattori trascurabili)si avra quindi per la resistenza D e la potenza P , rispettivamente, D =12ρU2ScD, P = DU = 1

2ρU3ScD. Avendo assunto il consumo di carburante

linearmente dipendente dalla potenza si puo porre fc = A · P , essendo A unacostante. Utilizzando tutte le relazioni precedenti per le velocita U1 ed U2 edosservando che, in regime turbolento il coefficiente di resistenza diventa indipen-

dente dal Reynolds si ottiene: P1 = 12ρU3

1ScD, P2 = 12ρU3

2ScD = P1U3

2

U3

1

, e

fc1 = A · P1, fc2 = A · P2 = fc1P2

P1

= fc1U3

2

U3

1

= 22.96 l/h. Per la velocita

massima infine

Pmax =1

2ρU3

maxScD = P1U3

max

U31

=⇒ Umax = U1

(

Pmax

P1

)

1

3

= 159 Km/h.

orza aggiuntiva verso il basso sara Fy = −588.273 N.


ESEMPIO

Un corpo ha un andamento del coefficiente di resistenza con il numero di Reynoldscome riportato in figura. Il corpo ha una dimensione caratteristica L e, quandoviene investito da una corrente a velocita U1, fornisce un valore di resistenza D1.Sapendo che il fluido ha viscosita ν, calcolare il valore della resistenza quando lavelocita del fluido e U2.

DC

5 6 7

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Re

10 10 10 104

L = 0.25 m U1 = 3 m/sD1 = 1.35 N ν = 1.5 · 10−5 m2/sU2 = 90 m/s

Soluzione

Noti U1, L e ν si ricava Re1 = 50000 per cui dal grafico si ha cD1 = 1.2 edall’espressione D1 = ρU 2

1ScD1/2 si ricava ρS = 0.25 Kg/m. Dal valore di U2 sicalcola quindi Re2 = 1.5 · 106 e dal grafico cD2 = 0.35. Il valore di D2 risultaquindi D2 = ρU 2

2ScD2/2 = 354.375 N.

ESEMPIO

La formazione dei chicchi di grandine e dovuta a correnti ascensionali all’internodelle nubi che consentono il continuo accumulo di ghiaccio intorno ad un nucleofino a quando il peso proprio del singolo chicco diventa troppo grande e cade alsuolo. Per un vento ascensionale di 130 Km/h, quanto puo valere il diametro diun chicco di grandine? Fare tutte le assunzioni ritenute necessarie e giustificarle.

Soluzione

L’andamento del coefficiente di resistenza CD per una sfera in funzione del nu-mero di Reynolds presenta due “plateau”: il primo CD1 ' 0.4 per 103 ≤ Re ≤2 · 105 ed il secondo CD2 ' 0.2 per Re > 5 · 105.D’altra parte, dal bilancio tra resistenza, peso e spinta di Archimede, per unchicco di grandine supposto sferico risulta

1

2ρaU

2SCD =4

3πR3g(ρg − ρa)

con ρa la densita dell’aria, ρg = 920 Kg/m3 la densita del ghiaccio S = πR2 edR il raggio della sfera. Dall’espressione sopra si ricava

R =3ρaU

2CD

8g(ρg − ρa)

che, per CD1 = 0.2 fornisce R1 = 1.35 cm mentre per CD2 = 0.4 risulta R2 =2.7 cm. Per i numeri di Reynolds risulta invece Re1 = 64800 e Re2 = 129600 laseconda soluzione, quindi, R2 == 2.7 cm e quella giusta.

Capitolo 12

∗ Cenni sui flussi comprimibili

Nei capitoli precedenti abbiamo visto che in molte applicazioni pratiche la dinamica deiflussi si puo considerare incomprimibile anche se il fluido in questione e un gas. In parti-colare e stato accennato che se il numero di Mach e approssimativamente minore di 0.3i fenomeni associati alla comprimibilita si possono trascurare; questa assunzione tuttaviacessa di essere valida per i flussi ad ‘alta velocita’ o piu in generale quando si voglia tenereconto degli effetti di velocita di propagazione finita delle perturbazioni.

In questo capitolo verranno brevemente accennati alcuni di questi fenomeni lascian-done l’analisi piu approfondita ai testi specializzati di gasdinamica.

12.1 propagazione di piccole perturbazioni e velocita

del suono

Per comprendere in modo piu intuitivo il motivo per cui le perturbazioni si propaganonei fluidi con velocita finita conviene per un istante ricordare che una particella fluida ein realta composta da un elevatissimo numero di molecole 1 in continua collisione tra loroin quanto animate da un moto di agitazione termica. Cio implica che una perturbazioneapplicata in un punto di un fluido si propaga al suo interno a causa degli urti caotici tra lemolecole e giunge in un altro punto solo dopo un tempo finito che dipende dalla frequenzadelle collisioni tra molecole e quindi dalla temperatura del fluido stesso.

Se ora ritorniamo al nostro modello di fluido continuo, perdiamo l’identita delle singolemolecole ma manteniamo il concetto di velocita finita di propagazione dei disturbi, quindidelle perturbazioni di temperatura, densita etc. non saranno avvertite istantaneamenteovunque ma viaggeranno con una velocita propria a.

Per calcolare tale velocita supponiamo di avere un condotto di lunghezza L, sezione S, con L À

√S, nel quale e presente del fluido. Ad un’estremita del condotto e posto un

pistone che al tempo t1 = 0+ inizia a muoversi con una velocita infinitesima dU spostandoil fluido adiacente alla parete del pistone nella direzione del moto (che supponiamo versodestra).

Dopo un tempo t2 = t1 + dt il pistone si sara spostato trascinando nel suo moto

1Ricordiamo infatti che l’ipotesi di continuo si basa sul fatto che dei volumi di fluido di dimensioni‘infinitesime’ rispetto alle dimensioni caratteristiche del flusso [O(µm3)] contengono sempre un cosı ele-vato numero di molecole da poter definire velocita, densita, temperatura, etc. in modo statisticamentesignificativo.

227

228 CAPITOLO 12. ∗ CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI

a)

t1= 0+

dU

b)

dU

t2> t1

3

dU

t > t 2

c)Figura 12.1: Moto del fluido all’interno di un tubo in conseguenza della partenza impulsivadi un pistone.

le particelle fluide immediatamente adiacenti e modificandone le loro variabili di stato.Per esempio, riferendoci alla figura 12.1 si vede che nell’intervallo [t1, t2] le particelleinizialmente contenute nel volumetto di controllo tratteggiato sono ancora rimaste alsuo interno (in quanto la perturbazione di velocita non si e ancora propagata oltre talevolumetto) mentre e diminuito lo spazio a loro disposizione. In tale volume si avra quindiun aumento di densita, pressione e temperatura oltre che di velocita.

Per un tempo t3 > t2 (figura 12.1c) il fronte della perturbazione si sara spostatoulteriormente verso destra accrescendo la regione di fluido interessata dall’azione di com-pressione del pistone. Isolando una regione di fluido a cavallo dell’onda di compressionesi ha la situazione riportata in figura 12.2a, situazione chiaramente non stazionaria datala velocita di propagazione a dell’onda.

Se tuttavia si riconsidera la stessa configurazione in un riferimento solidale all’onda(ossia si somma al flusso una velocita pari ad a e diretta verso sinistra) si ottiene una situ-azione stazionaria che puo essere facilmente analizzata utilizzando il volume di controlloindicato dalla linea tratteggiata in figura 12.2b.

Dall’equazione di conservazione della massa in forma integrale per flussi stazionari siottiene:

12.1. PROPAGAZIONE DI PICCOLE PERTURBAZIONI E VELOCITA DEL SUONO229

up

a

1

1

T1

ρ1

==

==

0p

ρT

up

ρ

2

2

2

T2

==

==

p

Tρ

du

+dp

+dT+dρ

a)

up

1

1

T1

ρ1

==

==

p

ρT

up

ρ

2

2

2

T2

==

==

p

Tρ

+dp

+dT+dρ

b)

-a-a+du

S

Figura 12.2: a) Stato del fluido a monte e valle dell’onda di compressione, b) la stessasituazione precedente in un riferimento solidale all’onda.

ρaS = (ρ+ dρ) (a− du)S, (12.1)

che esplicitata e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo si scrive

adρ = ρdu.

Applicando quindi il bilancio della quantita di moto al volume di controllo risulta:

ρa2S − (ρ+ dρ)(a− du)2S + pS − (p+ dp)S = 0, (12.2)

che, dopo aver sostituito dalla (12.1) ρa = (ρ+ dρ)(a− du), diventa

ρadu = dp, (12.3)

e mettendo a sistema le equazioni (12.1) e (12.3) si ha:

adρ = ρduρadu = dp

⇒

du = adρρ

ρadu = dp⇒ a2 =

dp

dρ.

Osserviamo ora che, essendo la variazione di velocita del pistone infinitesima, si puoconsiderare con buona approssimazione la trasformazione e isentropica. Pertanto risultache la velocita del suono e calcolata dall’espressione:

a =

√

√

√

√

(

∂p

∂ρ

)

S

che e valida per qualsiasi fluido che subisce una trasformazione isentropica.Introducendo il modulo elastico del fluido, definito dalla seguente relazione:

∂p

∂ρ=E

ρ

si ha quindi:

a =

√

E

ρ.

I valori di E sono riportati nelle tabelle da cui si possono ricavare i valori di velocita dipropagazione delle piccole perturbazioni; nella seguente tabella vengono riportati alcuniesempi.


Benzina E = 1.3 · 109N/m ρ = 680Kg/m3 a = 1382m/s

Mercurio E = 2.85 · 1010N/m ρ = 13600Kg/m3 a = 1447m/s

Acqua E = 2.15 · 109N/m ρ = 1000Kg/m3 a = 1581m/s

Nel caso particolare in cui il fluido in questione sia un gas perfetto, si puo ricavaredalle relazioni per una trasformazione isentropica e l’equazione di stato:

p

ργ= C,

p

ρ= RT,

la velocita del suono per gas perfetto:

pργ = Cpρ

= RT

∂p∂ρ

= Cγργ−1

pρ

= RT⇒ ∂p

∂ρ= Cργ γ

ρ= γRT ⇒ a =

√

γRT .

Da questa espressione si nota che la velocita del suono in un gas dipende dalla natura delgas attraverso γ ed R e dalla sua temperatura; questa espressione conferma la descrizioneintuitiva data all’inizio di questo capitolo secondo cui la propagazione di un disturbo inun gas e dovuto all’interazione successiva delle sue molecole attraverso le collisioni indottedal moto di agitazione termica.

Nella seguente tabella si riportano a titolo di esempio le velocita del suono per alcunigas e per differenti temperature.

Argon γ = 1.666 R = 207.85J/(KgK) T = 293K a = 246.78m/s

Elio γ = 1.666 R = 2078.5J/(KgK) T = 293K a = 1005.45m/s

Aria γ = 1.4 R = 277.13J/(KgK) T = 293K a = 337.16m/s

Aria γ = 1.4 R = 277.13J/(KgK) T = 800K a = 557.12m/s

Supponiamo ora che la velocita del pistone subisca piu incrementi infinitesimi dU insuccessione. In base a quanto appena visto, ogni incremento di velocita dara luogo adun’onda di compressione la cui velocita dipende dalle condizioni termodinamiche del fluidoin cui si propaga. Osservando che in ogni compressione il fluido subisce un incrementodi temperatura, si ha che, dopo la prima, ogni onda si propaga in un fluido preriscaldatodall’onda che la precede e quindi con una velocita maggiore dell’onda che insegue e minoredell’onda che precede (figura 12.3). Cio implica che, dopo un tempo finito la coda deltreno di onde raggiungera la testa dando luogo ad un’unica perturbazione che si muove conuna velocita intermedia tra quella delle singole perturbazioni. Chiaramente la coalescenzadi piu perturbazioni di ampiezza infinitesima dara luogo ad un disturbo finito detto urto;e interessante notare che questo si propaghera con una velocita maggiore di quella delsuono a quella temperatura un quanto la velocita dell’urto e maggiore di quella dellaprima onda di compressione.

Un altro fatto interessante e che la fenomenologia non e simmetrica per un motodel pistone verso sinistra. Se infatti il pistone si muovesse verso sinistra, inizierebbe lapropagazione a destra di un’onda di espansione con velocita a1 =

√γRT , essendo T la

temperatura del fluido indisturbato. Il passaggio di quest’onda lascerebbe a valle un fluidoespanso e quindi piu freddo a temperatura T2 = T −dT ; un’onda di espansione successiva

12.2. FLUSSO QUASI UNIDIMENSIONALE 231

t1

aaa1 2 3a)

b)

t2> t1

3a2a1a

t > t3 2

c)a

Figura 12.3: Coalescenza di onde di compressione generate ad istanti successivi.

si dovrebbe quindi propagare in un fluido piu freddo con una velocita a2 =√γRT2 < a1.

Cio implica che un treno di onde di espansione inizialmente equispaziate tenderebbe sem-pre di piu a distanziarsi in quanto la ‘testa’ si propaga a velocita maggiore rispetto alla‘coda’ precludendo cosı la formazione di ‘urti di espansione’. Questa eventualita e peral-tro preclusa dal secondo principio della termodinamica in quanto un urto di espansionecomporterebbe una variazione di entropia negativa; questi argomenti rientrano tuttavianell’ambito della gasdinamica e vengono lasciati ai testi specializzati.

12.2 Flusso quasi unidimensionale

Dato un flusso all’interno di un condotto si avra in generale che le sue variabili sarannofunzione delle coordinate spaziali e del tempo. In qualche caso, tuttavia, e possibile chela dipendenza da alcune direzioni spaziali e dal tempo si possa trascurare semplificandonotevolmente il problema. Per esempio, nella geometria a sezione variabile come quelladi figura 12.4 la componente u di velocita lungo l’asse del condotto avra un profilo comequello rappresentato con la linea tratteggiata; tale profilo soddisfa la condizione di aderen-za alla parete mentre, fuori dallo strato limite, ha la distribuzione piatta caratteristicadei flussi turbolenti. Se il regime di flusso permane turbolento lungo tutto il condotto il


profilo di velocita si puo ragionevolmente assumere simile lungo tutta la lunghezza delcondotto, rendendo sufficiente la sola conoscenza della velocita media per caratterizzareil flusso. In molte applicazioni, inoltre (specialmente quelle aeronautiche), la lunghezzadi tali condotti e limitata, rendendo trascurabile tanto l’effetto dei termini viscosi quantogli scambi di calore e permettendo quindi l’uso del modello di fluido perfetto.

Notiamo a margine che in un modello di flusso senza termini viscosi la condizione diaderenza non puo essere soddisfatta alle pareti dove invece il vettore velocita e tangenteal contorno. In un condotto a sezione variabile cio comporta la generazione di una compo-nente di velcocita v ortogonale all’asse del condotto e se vogliamo che v risulti trascurabilerispetto ad u deve essere v = u tanα ≈ uα = udh/dx¿ u ossia dh/dx¿ 1. Questa con-dizione implica che il condotto abbia una sezione lentamente variabile ossia che le paretiformino un angolo piccolo con l’asse x.

x

y

u1 u2u

v

α

h(x)

Figura 12.4: Schema di condotto a sezione variabile con un flusso quasi monodimensionale.

Descriviamo quantitativamente il flusso quasi unidimensionale partendo dalle equazionidi conservazione della massa, della quantita di moto e dell’energia scritte in forma dif-ferenziale.

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρu) = 0

ρ

(

∂u

∂t+ u∇ · u

)

= −∇p+µ

3∇ (∇ · u) + µ∇2u + ρf

ρ

(

∂E∂t

+ u∇E)

= −u∇p+ µΦ + ρq + ∇ · (k∇T ) + u · f .

Se supponiamo che il flusso sia non viscoso: µ = 0 ed anche termicamente non condu-cente ∇ · (k∇T ) = 0, che le forze di volume siano trascurabili f = 0, e che la produzioneinterna di calore risulti nulla q = 0 le equazioni di conservazione diventano:


∂ρ

∂t+ ∇ · (ρu) = 0

ρ

(

∂u

∂t+ u∇ · u

)

= −∇p

ρ

(

∂E∂t

+ u∇E)

= −u∇p.

In forma integrale, su un volume di controllo V di superficie S, (figura 12.4) laconservazione della massa assume la forma

∫

V

∂ρ

∂tdV +

∫

Sρu · ndS = 0

ossia∂

∂t

∫

VρdV = −

∫

Sρu · ndS

∂

∂t

∫ x2

x1

(∫

SρdS

)

dx = −∫

Sρu · ndS

∂

∂t

∫ x2

x1

ρSdx = −∫

Sρu · ndS

essendo ρ = 1S

∫

S ρdS la densita media sulla sezione.

x

y

2h(x)x x1 2

1 2u1 u2

p

dh = dxdx12

S S

dS

dx

V

Sl

Figura 12.5: Bilancio su un volume di controllo in un condotto a sezione variabile.

Sia la densita che la velocita sono grandezze non costanti in y che possono esserescomposte nella somma di due contributi dei quali uno rappresenta il valore medio el’altro ne rappresenta lo scostamento; in quest’ottica quindi il prodotto ρu diventa:

ρu = (ρ+ δρ) (u + δu) = ρu + δρδu + uδρ+ ρδu.


Se ora si suppone che gli scostamenti rispetto alla media siano notevolmente piu piccolidella media stessa si puo porre:

ρu = ρ u

da cui ne consegue per la conservazione della massa

∂

∂t

∫ x2

x1

ρSdx = −∫

Sρu · ndS

oppure, notando che u e la componente lungo l’asse del condotto del vettore u,

∂

∂t

∫ x2

x1

ρSdx = − [(ρ · uS)2 − (ρ · uS)1]

∂

∂t

∫ x2

x1

ρSdx = −∫ x2

x1

∂

∂x(ρ · uS) dx

∫ x

x1

[

∂

∂t(ρS) +

∂

∂x(ρ · uS)

]

dx = 0 ⇒ ∂

∂t(ρS) +

∂

∂x(ρ · uS) = 0.

Introducendo la derivata materiale D/Dt = ∂/∂t+u∂/∂x (indicata con D per distinguerlada quella con la velocita u) l’equazione di conservazione della massa si puo scrivere come:

DρDt + ρ

∂u

∂x+ρ · uS

dS

dx= 0.

Procediamo ora in modo analogo per il bilancio della quantita di moto in forma integrale:

∫

V

∂

∂t(ρu) dV +

∫

Sρuu · ndS +

∫

SpndS = −

∫ s2

s1

(bp sinα) ds

∫

V

∂

∂t(ρu) dV +

∫

Sρuu · ndS +

∫

SpndS = −

∫ x2

x1

(bp sinα)dx

cosα

in cui il termine a secondo membro e la reazione vincolare (di pressione) data dallasuperficie laterale del condotto, b e la sua profondita nella direzione ortogonale al foglio.Notando inoltre che α e piccolo si ha tgα = sinα = α = dh

dxe considerando che S = 2hb

risulta dhdx

= 12b

dSdx

da cui

∫

V

∂

∂t(ρu) dV +

∫

Sρuu · ndS +

∫

SpndS = −

∫ x2

x1

2bp

(

− 1

2b

dS

dx

)

dx

ossia∫ x2

x1

∂

∂t(ρSu) dx+

∫ x2

x1

∂

∂t

(

ρSu2)

dx+∫ x2

x1

∂

∂t(pS) dx−

∫ x2

x1

(

p∂S

∂x

)

dx = 0

∂

∂t(ρSu) +

∂

∂t

(

ρSu2)

+∂

∂t(pS) − p

∂S

∂x∂

∂t(ρSu) +

∂

∂x

[(

ρ · u2 + p)

S]

− pdS

dx= 0

che, tenendo conto del’equazione di conservazione della massa scritta come S ∂ρ∂t

+ ∂∂x

(ρ · uS) =0, diventa

ρ

(

∂u

∂t+ u

∂u

∂x

)

+∂p

∂x= 0


In modo del tutto analogo si puo trattare l’equazione dell’energia che diventa

∂

∂t

[

ρ

(

e+u2

2

)

S

]

+∂

∂x

[

ρSu

(

e+u2

2+p

ρ

)]

= 0 (12.4)

e, tenendo conto dell’equazione della conservazione della massa e quella della quantita dimoto,

ρDeDt + p

∂u

∂x+u · pS

dS

dx= 0

Infine, calcolando il termine 1S

dSdx

dall’equazione della conservazione della massa scritta informa di derivata materiale dall’equazione dell’energia si ottiene :

DeDt + p

DDt

(

1

ρ

)

= 0 ⇔ DsDt = 0

Quest’ultima equazione indica che il flusso e isentropico cioe che l’entropia di ogniparticella non cambia lungo la sua traiettoria.

Per allegerire la notazione, da ora in poi ometteremo il simbolo · per denotare lequantita mediate; se facciamo l’ulteriore ipotesi che il flusso sia stazionario le equazionidi conservazione si semplificano in

d

dx(ρSu) = 0 =⇒ ρSu = cost (12.5)

d

dx

[(

ρu2 + p)

S]

− pdS

dx= 0 (12.6)

Se moltiplichiamo l’equazione (12.5) per u e la sottraiamo alla (12.6)

ρSudu

dx+ S

dp

dx= 0 =⇒ u

du

dx+

1

ρ

dp

dρ= 0 (12.7)

quindi l’equazione della quantita di moto in forma differenziale si scrive:

udu+dp

ρ= 0 (12.8)

Una forma utile dell’equazione di conservazione dell’energia si ottiene dalla (12.4)nell’ipotesi di stazionarieta dopo avere sottratto la (12.5) moltiplicata per E e la (12.6)moltiplicata per u

d

dx

(

e+u2

2+p

ρ

)

= 0 (12.9)

che sancisce la natura omoenergetica del flusso, ossia con energia costante ovunque e nonsolo lungo una linea di corrente.

Le relazioni appena trovate possono essere sfruttate in modo semplice per trovarel’andamento di grandezze fluidodinamiche e termodinamiche all’interno del condotto alvariare della sua sezione.

Per flusso isentropico si ha pρ−γ = C e differenziando entrambi i membri si ha

dp

ργ+ p (−γ) ρ−γ−1dρ = 0

dp

p= γ

dρ

ρdp =

γp

ρdρ


e, utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti p/ρ = RT e la definizione di velocitadel suono a2 = γRT ,

dp = γRTdρ dp = a2dρ (12.10)

L’equazione di conservazione della massa e ρuS = C e dalla differenziazione logarit-mica si ottiene

dρ

ρ+du

u+dS

S= 0. (12.11)

Mettendo a sistema la relazione (12.8) con la seconda delle (12.10) ricava una relazionedifferenziale tra la densita del fluido, la velocita del flusso ed il numero di Mach

dp = a2dρ

udu+ dpρ

= 0⇒ dρ

ρ= − u

a2du ⇒ dρ

ρ= −M 2du

u

Sostituendo l’ultima delle precedenti nella (12.11) si ottiene la relazione tra variazionedi velocita e variazione di sezione il cui comportamento dipende dal numero di Mach.dal sistema dell’equazione precedentemente trovata con l’equazione di conservazione dellamassa ricaviamo l’equazione differenziale tra la velocita del flusso e la sezione sulla qualeviene la velocita e calcolata ed il numero di Mach

dρρ

= −M 2 duu

dρρ

+ duu

+ dSS

= 0⇒(

1 −M2) du

u= −dS

S

du

u=

1

M2 − 1

dS

S(12.12)

il legame tra densita e sezione sulla quale e calcolata e il numero di Mach si trova dalseguente sistema

dρρ

= −M 2 duu

duu

= 1M2

−1dSS

⇒ dρ

ρ= − M2

M2 − 1

dS

S

Differenziando l’equazione dell’isentropica abbiamo visto che dpp

= γ dρρ

e dal seguentesistema troviamo la relazione tra pressione e sezione e numero di Mach.

dpp

= γ dρρ

dρρ

= − M2

M2−1

dSS

⇒ dp

p= −γ M2

M2 − 1

dS

S

differenziando l’equazione di stato dei gas perfetti risulta che dpp

+ dρρ− dT

T= 0

che accoppiata all’equazione differenziale dell’isentropica, dpp

= γ dρρ,fornisce la seguente

relazione:

dT

T= (γ − 1)

dρ

ρ

dT

T= − (γ − 1)M 2du

u


dT

T= − (γ − 1)

M2

M2 − 1

dS

S

Ricapitolando le equazioni ricavate sono:

du

u= − 1

M2 − 1

dS

S

dT

T= − (γ − 1)M 2du

u= (γ − 1)

M2

M2 − 1

dS

S

dρ

ρ= −M 2du

u=

M2

M2 − 1

dS

S(12.13)

dp

p= −γM 2du

u= γ

M2

M2 − 1

dS

S

Analizziamo la variazione delle grandezze temodinamiche al variare della sezione diun condotto attraversato da due tipi di flusso uno subsonico e l’altro supersonico.

M < 1 ⇒

dS > 0 → du < 0, dT > 0, dρ > 0, dp > 0dS < 0 → du > 0, dT < 0, dρ < 0, dp < 0

M > 1 ⇒

dS > 0 → du > 0, dT < 0, dρ < 0, dp < 0dS < 0 → du < 0, dT > 0, dρ > 0, dp > 0

Il fenomeno piu interessante da notare e che in base all’equazione (12.12) la velocitadi un flusso reagisce in modo opposto alle variazioni di sezione e seconda che il numerodi Mach sia maggiore o minopre di 1. In particolare se il flusso e subsonico (M < 1) peruna dS negativa si avra una du positiva e viceversa, ossia il flusso accelera se la sezionedel condotto diminuisce mentre decelera se la sezione si allarga. Al contrario, se il flussoe supersonico (M > 1) variazioni di sezione e di velocita avranno segno concorde e quindiil flusso accelera se la sezione cresce in x e decelera se la sezione si riduce. Il motivodi tale comportamento e dovuto al fatto che velocita e densita si comportano in modoopposto rispetto alle variazioni di sezione (confronta le equazioni 12.12 e 12.13) e mentreper M < 1 le variazioni di velocita superano quelle di densita nei flussi supersonici accadeil fenomeno opposto.

Un’altra importante osservazione e che la transizione di un flusso da subsonico a super-sonico o viceversa, in un condotto a sezione variabile puo avvenire solo in corrispondenzadi una gola dove dS = 0. Se infatti cio non accadesse, in corrispondenza di M = 1 siavrebbero variazioni infinite di tutte le quantita indicando l’impossibilita di far avvenireil fenomeno.


L’ultima questione che si vuole brevemente menzionare e la variazione di alcunegrandezze lungo l’asse di un condotto a sezione variabile nel caso in cui valgano le equazioni(12.5), (12.7) e (12.9).

Ricordando che l’entalpia per un gas perfetto e h = e+p/ρ = cpT con il calore specificoa pressione costante pari a cp = γR

γ−1riscriviamo l’equazione di conservazione dell’energia

tra due generiche sezioni del condotto ottenendo:(

cpT +u2

2

)

2

=

(

cpT +u2

2

)

1

, (12.14)

e, se in particolare si ha una sezione in cui la velocita e nulla si ottiene

cpT1 +u2

1

2= cpT0, (12.15)

dove T0 e detta temperatura totale e misura l’energia totale del sistema. Bisogna no-tare che la relazione sopra costituisce anche una definizione della temperatura totale chepuo essere calcolata indipendentemente dal fatto che nel condotto si verifichi o meno lacondizione u = 0 in qualche sezione.

Con qualche trasformazione la relazione 12.15 assume la forma

T0

T1

= 1 +u2

1

2cpT1

T0

T1

= 1 +γ − 1

2

u21

RγT1

T0

T1

= 1 +γ − 1

2

u21

a21

T0

T1

= 1 +γ − 1

2M2

1

se il flusso e isentropico valgono le relazioni:

p0

p1

=(

T0

T1

)

γ

γ−1

=(

1 +γ − 1

2M2

1

)

γ

γ−1

ρ0

ρ1

=(

T0

T1

)

1

γ−1

=(

1 +γ − 1

2M2

1

)

1

γ−1

con le quali e possibile definire la pressione e densita totali del flusso.In forma equivalente, utilizzando la definizione cp = γR/(γ − 1) ed introducendo la

velocita del suono si pu‘øporre l’equazione di conservazione dell’energia nella forma

γRT1

γ − 1+u2

1

2=γRT2

γ − 1+u2

2

2

a21

γ − 1+u2

1

2=

a22

γ − 1+u2

2

2

a21 +

(γ − 1)

2u2

1 = a22 +

(γ − 1)

2u2

2

e nuovamente e possibile definire la velocita del suono totale a0 ponendo in qualche sezioneu = 0.

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