Indice - iTutorPavia · 1 Notazioni Le lettere in grassetto sono riservate alle quantit a in R2 o...

Esercizi (con soluzioni) per il tutorato di

Analisi Matematica II

Laurea Magistrale in Ingegneria Edile-Architettura

Universita di Pavia, a.a. 2016/2017

Prof. Laura Spinolo

Tutor: Giovanni Stagnitto

Queste pagine raccolgono gli esercizi svolti durante il tutorato dell’a. a. 2016/2017, fornitemi dalla

prof. Spinolo oppure presi da prove d’esame degli anni passati (reperibili alla pagina del prof. Gianazza,

http://arturo.imati.cnr.it/˜gianazza/anmat2.html). E presente anche una parte finale con al-

cuni richiami di teoria, utili per la risoluzione degli esercizi (ringrazio Nicolo Valle per questa sezione).

Sono grato a tutti coloro che vorranno segnalare gli eventuali errori (sicuramente) presenti nella stesura.

Ultimo aggiornamento: 1 settembre 2017

Indice

1 Notazioni 2

2 Esercizi 3

2.1 Equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Curve e integrali di linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Derivate parziali e direzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Massimi e minimi liberi e vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Integrali doppi e tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Divergenza e rotore, campi conservativi e potenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.7 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Soluzioni 10

A Alcuni richiami di teoria 15

A.1 Tavola delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

A.2 Equazioni differenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

A.3 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

A.4 Derivate direzionali e piani tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A.5 Operatore ∇ in coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A.6 Classificazione dei punti critici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

A.7 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

A.8 Teorema della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

A.9 Tecniche di integrazione e cambio di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

A.10 Campi conservativi, circuitazione e flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

http://arturo.imati.cnr.it/~gianazza/anmat2.html

1 Notazioni

Le lettere in grassetto sono riservate alle quantita in R2 o R3. Con i, j, k o con x, y, z indichia-

mo la base canonica di R3, versori paralleli agli assi coordinati. Percio un vettore generico sara scritto

indistintamente nelle tre forme

(a, b, c) ai + bj + ck ax + by + c z

Se ad esempio f e una funzione da R3 in R e chiamiamo (x, y , z) le variabili di R3 indicheremo la

derivata parziale di f rispetto alla seconda variabile con una delle notazioni:

∂f (x, y , z)

∂yDy f (x, y , z) D2f (x, y , z)

Talvolta si omette l’argomento: ad esempio di scrive D2f per indicare la funzione derivata parziale e si

scrive D2f (x0, y0, z0) per indicare il valore che essa assume nel punto (x0, y0, z0). La derivata direzionale

nella direzione del versore u sara indicata con

∂f (x, y , z)

∂uDuf (x, y , z)

e la matrice jacobiana con

J f (x, y , z)

Per le derivate seconde le notazioni sono ovvie. La matrice hessiana si indica con

Hf (x, y , z)

I simboli · e × sono usati rispettivamente per il prodotto scalare in Rn e il prodotto vettoriale in R3.

L’elemento di lunghezza per gli integrali curvilinei sara indicato con ds e l’elemento di area per gli

integrali di superficie con dS. La scrittura dr negli integrali di circuitazione significa che r e il nome scelto

per la parametrizzazione della curva e dr = t ds dove t e il versore tangente alla curva.

2

2 Esercizi

2.1 Equazioni differenziali

1. Calcolare l’integrale generale dell’equazione y ′ = sin t.

2. Determinare la soluzione del problema di Cauchy:y ′ =t

1 + t2

y(0) = 2

3. Determinare la soluzione del problema di Cauchy:y′ =

t

y2

y(0) = 1

e determinare l’intervallo massimale sul quale la soluzione e definita.

4. Determinare la soluzione del problema di Cauchy:y ′ =

√1− y2et

y(0) = 1/2

5. Trovare l’integrale generale di y ′ = 2y + t2.

6. Risolvere il problema di Cauchy: y ′ = −2y + 1

y(0) = 4

7. Mostrare come il problema di Cauchy: y ′ = h(y)

y(0) = 0

con

h(y) =

−1 y ≥ 0

1 y < 0

non abbia soluzione.

8. Determinare l’integrale generale di y ′′ = cos t e risolvere il problema di Cauchy:y ′′ = cos t

y(0) = 1

y ′(0) = 0

9. Determinare l’integrale generale di y ′′ = −10y ′ − 26y + t2 e la soluzione del problema di Cauchy

associato con condizioni iniziali y(0) = 0 e y ′(0) = 1.

10. Determinare l’integrale generale di y ′′ = 2y ′ − 4y + et e la soluzione del problema di Cauchy

associato con condizioni iniziali y(0) = 1 e y ′(0) = 1.

3

11. Determinare l’integrale generale di y ′′ = −6y ′ + 7y + t2 − 1.

12. Determinare l’integrale generale di y ′′ = −2y ′ − 3y + et + 2t + 1 e la soluzione del problema di

Cauchy associato con condizioni iniziali y(0) = 0 e y ′(0) = 0.

13. Determinare l’integrale generale di y ′′ = −2y ′ − y + et cos(t).

14. Il problema ai limiti: y ′′ = 2y ′ − 5y

y(0) = 0

y(π/2) = 0

ammette soluzione? Motivare la risposta.

15. (Appello del 01/09/2016, esercizio 3)

Determinare l’integrale generale dell’equazione a variabili separabili:

y ′ = xe−y

2

y.

2.2 Curve e integrali di linea

16. Tracciare un disegno approssimativo della superficie di equazione:

x2 + y2 = z

e della curva:

r : [0, 4π]→ R3, r(t) = (t cos t, t sin t, t2).

17. Calcolare la lunghezza della curva r : [0, 1]→ R3, definita da r(t) = (t3/2, cos t, sin t).

18. Siano

r : [0, 4π]→ R2, r(t) = (cos t, sin t); f : R2 → R, f (x, y) = x2.

Calcolare l’integrale di linea di f lungo r.


Dato l’arco Γ di equazioni parametriche (x(t), y(t)) = (t cos t, t sin t) con t ∈ [π

4,π

3], calcolare∫

Γ 2 arctan( yx ) ds.

2.3 Derivate parziali e direzionali

20. Calcolare ∂f∂x ,

∂f∂y ,

∂f∂z di f (x, y , z) =

xy2z3

x2 + y2 + 1.

21. Calcolare i gradienti delle seguenti funzioni:

f (x, y) = y arctan(x2 + y2);

g(x, y , z) = sin(xy + z) + 5z cos z.

4

22. Utilizzando la definizione, calcolare ∂f∂x (0, 0) e ∂f

∂y (0, 0) quando:

f (x, y) =

3x3 + xy

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

La funzione f e continua in (0,0)?

23. Calcolare il piano tangente al grafico di f (x, y) = cos(x2y) nel punto (0, π, f (0, π)).

24. Data f (x, y , z) =cos(zx)

y2 + z4 + 2e r = (

1√3

;−1√3

;1√3

), calcolare ∂f∂r .

25. Sia f (x, y , z) = x2yz . Calcolare l’iperpiano tangente al grafico di f in (1, 1, 1, f (1, 1, 1)).

26. Sia f (x, y , z) = y cos x + z . Determinare la direzione di massima e minima crescita di f in (0, 1, 2).

27. Sia f (x, y) = arctan(xy). Calcolare tutte le derivate di ordine 2 di f .

28. Calcolare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 delle seguenti funzioni:

(a) f (x, y) = arctan(xy) in (0,1);

(b) f (x, y , z) = x2 + y3z in (1,1,1).

2.4 Massimi e minimi liberi e vincolati

29. Sia g(x, y) = x(x2 − 2) + y(y2 − 3). Determinare eventuali massimi e minimi relativi liberi della

funzione f (x, y) = eg(x,y) su R2.

30. Determinare eventuali massimi e minimi relativi liberi della funzione f (x, y) = xye2x+3y in R2.

31. Dire se i seguenti insiemi sono aperti:

(a) A = (x, y) ∈ R2 : x 6= 0(b) A = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < 1− x2(c) A = (x, y , z) ∈ R3 : 2 ≤ x < 3

32. Determinare e classificare i punti critici delle seguenti funzioni:

(a) f (x, y) = x4 − x2 + y2

(b) f (x, y) = sinh(x2)− y2 + y

(c) f (x, y) = cos(πx) + sin(πy)

33. Calcolare massimo e minimo di f : A → R, ove A = (x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 1 − x e

f (x, y) = x2 − x + y2 + y .

34. Calcolare massimo e minimo assoluti di f sotto al vincolo g(x, y) = 1:

(a) f (x, y) = sinh(3x2 + 2y), g(x, y) = x4 + y2;

(b) f (x, y) = x3 + 2y2, g(x, y) = 2x2 + y2.

35. Determinare massimo e minimo assoluti di f (x, y) = ln(1 + x2 + y2), nel compatto K = (x, y) :

−1 ≤ y ≤ 1−x2

2.

5

36. Determinare massimo e minimo assoluti di f (x, y) = e9x2+4y2, nel compatto K = (x, y) : 4x2 +

9y2 ≤ 1.

37. Descrivere f : R2 → R3 con f(ϕ,ϑ) =

sinϕ cosϑ

2 sinϕ sinϑ

3 cosϕ

38. Descrivere f : R2 → R3 con f(r, t) =

r cos π6r sin π

6

t

39. Calcolare la matrice jacobiana di f : R2 → R3 con f(x, y) =

arctan(xy)

sinh x

cosh y

40. Calcolare la matrice jacobiana di f : R3 → R4 con f(x, y , z) =

x2y

z − cos x

y + z

exz

41. Testare le ipotesi del Teorema della funzione inversa se:

f : R3 → R3, f(ρ, ϑ, z) =

ρ cosϑ

ρ sinϑ

z

42. Testare le ipotesi del Teorema della funzione inversa se:

f : R2 → R2, f(x, y) =

(ex cosϑ

ex sinϑ

)

2.5 Integrali doppi e tripli

43. Calcolare:

(a)s

[1,2]×[−1,0]

x2y dx dy .

(b)s

[0,π]×[0,1]

y2 sin x dx dy .

(c)s

[0,1]×[0,2]

y sinh(xy) dx dy .

44. Calcolare: x

E

1

1 + x2dx dy , E = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ x.

45. Calcolare il volume di:

A = (x, y , z) : 0 ≤ y ≤ 1,−y2 ≤ x ≤ y2, 0 ≤ z ≤ y.

46. Calcolare l’area di:

E = (x, y) : 0 ≤ y ≤ 2π,−y4 ≤ x ≤ | sin y |.

6


Sia Ω il trapezio di vertici (nell’ordine) A(2,0), B(-2,0), C(-1,-1) e D(1,-1). Calcolare:∫Ω

(x2 + y2) dx dy .


Sia Ω = (x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 2, |x | ≤ y. Calcolare:

x

Ω

x2y dx dy .

49. Calcolare il baricentro di una lastra rettangolare individuata da [0, 1]× [0, 2] e con densita δ(x, y) =

xy2 + 1.

50. Calcolare massa e baricentro dell’ellissoidex2

4+y2

9+ z2 ≤ 1, avente densita δ(x, y , z) = z2 + 1.

51. Calcolare l’integrale di f (x, y , z) = z2 sul volume E = (x, y , z) : 0 ≤ x ≤ 1, z2 + y2 ≤ x2.


Si consideri il dominio Ω = (x, y) ∈ R2 : y ≥√

3x, (x − 2)2 + y2 ≤ 4. Utilizzando le coordinate

polari, calcolare ∫Ω

y dx dy


Dato l > 0, sia Q = [0, l ]× [0, l ] una lamina quadrata di densita µ(x, y) = x2 + y2. Determinarne

il baricentro.


Si consideri la regione piana Ω = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0, (x −2)2 + y2 ≤ 4. Utilizzando

le coordinate polari, calcolare ∫Ω

(x2 + y2) dx dy

2.6 Divergenza e rotore, campi conservativi e potenziali

55. Calcolare il rotore di f nei tre seguenti casi:

(a) f (x, y , z) = (y2z, arctan(xyz), sinh x)

(b) f (x, y , z) = (−y2, x3 + 1, cos(xz))

(c) f (x, y , z) = (xy3, xyz, xz2)

56. Calcolare la divergenza di f nei tre seguenti casi:

(a) f (x, y) = (cos x, sin2 y)

(b) f (x, y , z) = (cosh(yz), exy , z2)

(c) f (x, y , z) = (z3 + 1, xy , xyz)

57. Determinare se i seguenti campi sono conservativi, e in caso affermativo trovare un potenziale U:

(a) f (x, y) = (sin y + x2, x cos y + y)

7

(b) f (x, y , z) = (yz3, xz3 + 2yz, 3xyz2 + y2)

(c) f (x, y) = (sin(xy), cos(xy) + y2)

(d) f (x, y , z) = (xyz, xz, z)

58. Calcolare il lavoro dei seguenti campi f lungo le curve parametrizzate dalle rispettive r(t) nei domini

indicati oppure descritte a parole:

(a) f (x, y) = (y2, 2xy)

r(t) = (3 cos t, sin t), t ∈ [0, π/2]

(b) f (x, y , z) = (y , x, z)

r(t) = (cos t, sin t, t), t ∈ [0, 3π/2]

(c) f (x, y) = (xy2, x + y)

perimetro del rettangolo [−1, 1]× [0, 1] percorso in senso orario

(d) f (x, y) = (y sinh(xy), x sinh(xy) + y2)

circonferenza di raggio 2 e centro (1,1), percorsa in senso orario

59. Calcolare l’integrale di superficie∫

Σ f dS se:

(a) Σ e parametrizzata da g(x, y) = (x, y , x2 + y) con (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1] e f (x, y , z) = xy2.

(b) Σ e parametrizzata da g(ϕ,ϑ) = (cosϑ sinϕ, sinϑ sinϕ, cosϕ) con (ϕ,ϑ) ∈ [0, π] × [0, 2π]

e f (x, y , z) = x2.


Sia Σ la superficie di equazione z = xy con (x, y) ∈ K = 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x. Calcolare:∫Σ

z√1 + x2 + y2

dS


Si consideri la superficie Σ di equazione x2 + y2 + z2 − 16 = 0. Verificare che i versori normali alla

superficie Σ nei punti P1(0, 2√

2,−2√

2) e P2(4, 0, 0) sono ortogonali.


Si consideri il seguente campo con parametro α ∈ R:

ω(x, y) =

(α3x

(x2 + y2)3,

y

(x2 + y2)3

)Determinare per quale valore di α il campo e conservativo in x > 0 e in corrispondenza di tale

valore calcolare il potenziale che si annulla in (2,0).


Si consideri il seguente campo definito in R2\(0, 0):

ω(x, y) =

(−16x3

(x4 + y2)2,−8y

(x4 + y2)2

)Verificare che il campo e conservativo nel suo dominio e calcolare il potenziale che si annulla in

(1,1).

8

64. Sia Σ la calotta sferica parametrizzata da g(ϕ,ϑ) = (R sinϕ cosϑ,R sinϕ sinϑ,R cosϕ) con R >

0, ϕ ∈ [0, 2π/3], ϑ ∈ [0, 2π]. Sia n la normale a questa superficie orientata verso l’interno e

f(x, y , z) = (x, x, z3). Calcolare: ∫∫Σ

(∇× f(x, y , z)) · n dS,

utilizzando il teorema della divergenza, oppure il teorema di Stokes oppure con un calcolo diretto.

2.7 Serie di potenze

65. Determinare gli intervalli di convergenza semplice e assoluta delle seguenti serie di potenze:

(a) (Appello del 18/09/2014, esercizio 5)

∞∑n=0

xn+1

(2n + 1)(2n + 3)

(b) (Appello del 03/09/2015, esercizio 4)

∞∑n=1

(x − 2)n

n3 ln2(n + 1)

(c) (Appello del 17/09/2015, esercizio 4)

∞∑n=1

(x − 1)2n

4nn2

(d) (Appello del 27/01/2016, esercizio 5)

∞∑n=2

16−n(x − 6)4n

n − 1

(e) (Appello del 05/04/2016, esercizio 5)

∞∑n=2

(x − 2)2n

n2 + sin n

9

3 Soluzioni

1. ê y(t) = − cos t + k , k ∈ R.

2. ê y(t) = 12 ln(1 + t2) + 2.

3. ê y(t) = 3

√32t

2 + 1. Intervallo massimale e tutto R.

4. ê y(t) = sin(et + π/6− 1).

5. ê y(t) = ae2t + (−12t

2 − 12t −

14 ), a ∈ R.

6. ê y(t) = 72e−2t + 1

2

7. ê Il grafico della funzione, passando per l’origine, non puo sempre decrescere nel semipiano superiore

e sempre crescere nel semipiano inferiore.

8. ê y(t) = − cos t + 2.

9. ê y(t) = 14394 [−37e−5t cos(t) + 4339e−5t sin(t) + 169t2 − 130t + 37].

10. ê y(t) = et [ 23 cos(

√3t) + 1

3 ].

11. ê y(t) = c1e−7t + c2e

t − 17t

2 − 1249t −

37343 , c1, c2 ∈ R.

12. ê y(t) = − 118e−t cos(

√2t)− 4

9e−t sin(

√2t) + 1

6et + 2

3t −19 .

13. ê y(t) = c1e−t + c2te

−t + 425e

t sin(t) + 325e

t cos(t), c1, c2 ∈ R.

14. ê Sı, ammette infinite soluzioni. Imponendo il passaggio per il punto (0,0) la soluzione diventa y(t) =

c1et sin(2t), con c1 ∈ R. La funzione, indipendentemente dal valore di c1, passa gia per il punto

(π/2, 0), quindi la terza condizione non aggiunge nulla di nuovo. Per fissare il valore di c1 occorre

imporre una condizione sulla derivata.

15. ê y(x) = ±√

ln(x2 + ey(0)2).

16. ê

-4-2

0 2

4-4

-2 0

2 4 0

5

10

15

20

25

x**2+y**2

-10-5

0 5

10 -10-5

0 5

10 0 20 40 60 80

100 120 140 160

(t cos(t), t sin(t), t2)

17. ê

∫ 1

0

1

2

√4 + 9t dt =

1

27(13√

13− 8).

18. ê 2π.

19. ê

∫ π/3

π/4

2t√

1 + t2 dt =2

3(t2 + 1)3/2 da valutarsi tra gli estremi.

10

20. ê∂f

∂x=y2z3(−x2 + y2 + 1)

(x2 + y2 + 1)2,∂f

∂y=

2x(x2 + 1)yz3

(x2 + y2 + 1)2,∂f

∂z=

3xy2z2

x2 + y2 + 1.

21. ê ∇f =

(2xy

(x2 + y2)2 + 1,

2y2

(x2 + y2)2 + 1+ arctan(x2 + y2)

)∇g = (y cos(xy + z), x cos(xy + z), cos(xy + z)− 5z sin(z) + 5 cos(z)).

22. ê fx(0, 0) = 3, fy (0, 0) = 0. Per essere continua, e necessario che il limite per (x, y) → (0, 0)

sia sempre nullo, qualunque successione di punti nel piano io scelga. Prendendo per esempio

x = y (ci stiamo avvicinando all’origine lungo la bisettrice del I-III quadrante), calcoliamo il limite

limh→0 f (h, h) = 1/2 e quindi f non e continua.

23. ê z = 1.

24. ê∂f

∂r=

1√3(y2 + z4 + 2)2

[cos(zx)(2y − 4z3)− sin(zx)(x + z)(y2 + z4 + 2)

].

25. ê t = 2x + y + z − 3.

26. ê massima crescita: v =

(0,

1√2,

1√2

). massima decrescita: −v.

27. ê Hf =

−2xy3

(x2y2 + 1)2

1

x2y2 + 1−

2x2y2

(x2y2 + 1)2

1

x2y2 + 1−

2x2y2

(x2f = y2 + 1)2−

2x3y

(x2y2 + 1)2

28. ê a) p(x, y) = xy . b) p(x, y) = x2 + 3y2 + 3yz − 6y − 2z + 3.

29. ê punto di massimo:

(−√

23 ,−1

). punto di minimo:

(√23 , 1

). sella:

(−√

23 , 1

);

(√23 ,−1

).

30. ê punto di massimo:(−1

2 ,−13

). sella: (0, 0).

31. ê a) aperto, b) aperto, c) ne aperto ne chiuso.

32. ê a) sella: (0, 0). punti di minimo:(± 1√

2, 0)

.

b) sella:(

0, 12

).

c) punti di minimo: (k, t + 12 ) con k e t dispari. punti di massimo:

(k, t + 1

2

)con k e t pari. punti

di sella:(k, t + 1

2

)con k pari e t dispari o viceversa.

33. ê Mediante il gradiente, si trova il punto critico ( 12 ,−

12 ) che pero non fa parte dell’insieme A e quindi

non e da prendere in considerazione. Valendo il Teorema di Weierstrass, in quanto la funzione e

continua e l’insieme A e chiuso e limitato, abbiamo la certezza che in A la funzione f presenta

massimo e minimo assoluti, che si troveranno inevitabilmente sul bordo (se ci fosse stato un punto

critico interno ad A, sarebbe risultato dal calcolo del gradiente). Nel tratto sull’asse y la funzione

ha un punto di massimo in (0, 1) in cui vale 2 e un punto di minimo in (0, 0) in cui vale 0 (si vede

banalmente ponendo x = 0 nell’espressione della funzione). In modo analogo ci si puo convincere

che lungo l’asse x la funzione ha un minimo in ( 12 , 0) in cui vale −1

2 . Dall’esame degli estremi

vincolati sulla retta y = 1− x mediante il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, troviamo il punto

(1, 0) in cui la funzione vale 0. Pertanto, confrontando i vari punti trovati sul bordo, concludiamo

che (0, 1) e punto di massimo assoluto e ( 12 , 0) e punto di minimo assoluto.

11

34. ê a) [possiamo trovare punti di massimo e minimo di 3x2 +2y dato che sinh e una funzione monotona]

massimo assoluto = sinh(√

13) nel punto (x, y) =

( √3

4√

13,

2√13

). minimo assoluto = −2 nel punto

(x, y) = (0,−1). b) massimo assoluto = 2 nei punti (x, y) = (0,±1). minimo assoluto = −1

2√

2

nel punto (x, y) =

(−

1√2, 0

).

35. ê massimo assoluto = ln(6) nei punti (x, y) = (±2,−1). minimo globale = 0 nel punto (x, y) = (0, 0).

36. ê massimo assoluto = e9/4 nei punti (x, y) =

(±

1

2, 0

). minimo globale = 1 nel punto (x, y) = (0, 0).

37. ê ellissoide con rx = 1, ry = 2, rz = 3 (vedi disegno sotto).

-4-2

0 2

4-4

-2 0

2 4

-10

-5

0

5

10

r*cos(pi/6), r*sin(pi/6), t

-1-0.5

0 0.5

1 -2-1.5

-1-0.5

0 0.5

1 1.5

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

sin(phi)*cos(theta), 2*sin(phi)*sin(theta), 3*cos(phi)

38. ê piano verticale: le prime due coordinate individuano una retta nel piano xy - ricordarsi che r puo

anche essere negativo in questo caso - mentre t spazza verticalmente ogni punto della retta (vedi

disegno sopra).

39. ê J f =

y

(1 + x2y2)

x

(1 + x2y2)cosh x 0

0 sinh y

40. ê J f =

2xy x2 0

sin x 0 1

0 1 1

zexz 0 xexz

41. ê Il Teorema della funzione inversa e applicabile in tutti i punti con ρ 6= 0, dal momento che in questo

caso si annulla lo jacobiano della funzione. Il punto (0, 0, 0) e immagine di tutti i punti del tipo

(ρ = 0, ϑ qualsiasi, z = 0) e quindi la funzione non e iniettiva, e quindi non invertibile in un intorno

di questi punti.

42. ê Il Teorema della funzione inversa e applicabile in tutti i punti.

43. ê a) −7/6 b) 2/3 c) sinh(2)− 2

44. ê ln(26)/2.

45. ê 1/2.

46. ê 4 + 32π5/5.

12

47. ê

∫ 0

−1

∫ y+2

−y−2

(x2 + y2) dx dy =10

3.

48. ê

∫ 3π/4

π/4

∫ √2

1

ρ4 cos2 ϑ sinϑ dρ dϑ =1

30(8−

√2).

49. ê M =10

3. (xb, yb) =

(17

30,

6

5

)' (0.57, 1.2).

50. ê M =

∫ π

0

∫ 2π

0

∫ 1

0

6ρ2 sinϕ(ρ2 cos2 ϕ+ 1) dρ dϑ dϕ =48π

5. (xb, yb, zb) = (0, 0, 0) [guardando la

densita notiamo subito che non compaiono la x e la y, quindi il baricentro deve essere sull’asse z;

osservando poi la dipendenza da z la densita e simmetrica rispetto al piano xy e quindi il baricentro

e l’origine].

51. ê

∫ 1

0

∫ x

0

∫ 2π

0

ρ(ρ sinϑ)2 dx dρ dϑ =π

20.

52. ê

∫ π/2

π/3

∫ 4 cosϑ

0

ρρ sinϑ dρ dϑ =1

3.

53. ê M =2l4

3. (xb, yb) =

(5

8l ,

5

8l

)[il centro di massa ha xb = yb poiche la retta x = y e un asse di

simmetria del sistema].

54. ê

∫ π/2

π/3

∫ 4 cosϑ

0

ρ(ρ2) dρ dϑ+

∫ π/3

0

∫ 2

0

ρ(ρ2) dρ dϑ = 8π

3+π

16−

7

64

√3.

55. ê a)

(−

xy

1 + x2y2z2, y2 − cosh x,

yz

1 + x2y2z2− 2yz

)b)(

0, z sin(xz), 3x2 + 2y)

c)(−xy ,−z2, yz − 2xy2

)56. ê a) − sin x + 2 sin y cos y ; b) xexy + 2z ; c) x + xy

57. ê a) conservativo, U(x, y) = x sin y +x3

3+y2

2+ costante

b) conservativo, U(x, y) = z3xy + zy2 + costante

c) non conservativo

d) non conservativo

58. ê a) campo conservativo con U(x, y) = xy2 + costante, lavoro = U(r(π/2))− U(r(0)) = 0

b) campo conservativo con U(x, y) = xy +z2

2+ costante, lavoro =

9

8π

c) campo non conservativo, lavoro = −2 (per parametrizzare ogni lato del rettangolo usare per

esempio r(t) = (x0 + t(x1 − x0), y0 + t(y1 − y0)) con t ∈ [0, 1], e (x0, y0) e (x1, y1) sono rispetti-

vamente le coordinate del punto di partenza e del punto di arrivo)

d) campo conservativo con U(x, y) = cosh(xy) +y3

3+ costante, lavoro = 0 poiche campo

conservativo e circuito chiuso

59. ê a)1

3

(√3

2−

1

3√

2

); b)

4

3π

13

60. ê 1/6

61. ê Superficie sferica di raggio 4 e centro (0,0,0). Usando la parametrizzazione in coordinate sferiche

g(ϕ,ϑ) = (4 cosϕ sinϑ, 4 sinϕ sinϑ, 4 cosϑ) con ϕ ∈ [0, 2π] e ϑ ∈ [0, π], il versore normale alla

superficie in ogni punto e diretto verso l’esterno e dato da v = (cosϕ sinϑ, sinϕ sinϑ, cosϑ),

ovvero la sfera centrata nell’origine ha la proprieta che la direzione che individua un punto sulla

superficie sferica coincide con la direzione normale alla superficie in quel punto. I due punti indicati

corrispondono alle coordinate ϕ(P1) = π/2, ϑ(P1) = 3π/4, mentre ϕ(P2) = 0, ϑ(P2) = π/2:

sostituendo in v si verifica facilmente l’ortogonalita.

62. ê α = 1, U(x, y) =1

4

(1

16−

1

(x2 + y2)2

)63. ê U(x, y) =

4

x4 + y2− 2

64. ê3

4πR2. Usare il teorema della divergenza porta ad affermare che il flusso attraverso la calotta sferica

e opposto al flusso attraverso la base circolare della calotta - che e piu facile da calcolare - dopo

aver trovato un’opportuna parametrizzazione (per esempio utilizzando una coordinata ρ radiale e

l’angolo ϑ). Usare il teorema del rotore invece permette di ridurre il calcolo del flusso al calcolo

della circuitazione lungo la circonferenza a base della calotta: anche in questo caso e necessario

parametrizzare opportunamente questa curva per esempio attraverso l’angolo ϑ.

65. ê a) R = 1, in x = ±1 converge.

b) R = 1, in |x − 2| = ±1 converge.

c) definita y = (x−1)2

4 , per |y | ≤ 1 converge.

d) definita y = (x−6)4

16 , per |y | < 1 converge, in y = 1 non converge, mentre in y = −1 converge.

e) definita y = (x − 2)2, per |y | ≤ 1 converge.

14

A Alcuni richiami di teoria

In questi appendici riassumiamo i piu importanti risultati teorici e richiamiamo le formule piu significative.

B: per brevita, trascuriamo in alcuni casi le ipotesi matematiche necessarie che stanno alle spalle di

alcune formule. Il lettore resti sempre vigile, pronto a verificare di volta in volta l’effettiva applicabilita di

ogni espressione o procedimento.

A.1 Tavola delle derivate

Se letta da destra verso sinistra e una tavola delle primitive...

f (x) f ′(x)

f (x)g(x) f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)

f (g(x)) f ′(g(x))g′(x)

f (x)

g(x)

f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)

[g(x)]2

f −1(x)1

f ′(f −1(x))

xα+1 (α+ 1)xα

ex ex

ln(x)1

x

sin(x) cos(x)

cos(x) − sin(x)

tan(x) 1 + tan2(x) =1

cos2(x)

cosh(x) sinh(x)

sinh(x) cosh(x)

tanh(x) 1− tanh2(x) =1

cosh2(x)

arccos(x) −1√

1− x2

arcsin(x)1√

1− x2

arctan(x)1

1 + x2

15

A.2 Equazioni differenziali ordinarie

Presentiamo alcune categorie di equazioni con rispettivi metodi risolutivi.

• A variabili separabili: sono equazioni del tipo: y ′(t) = g(y) · h(t). Si risolvono uguagliando:∫ y(t)

y(c)

dy

g(y)=

∫ t

c

h(s) ds.

dove c e una generica costante arbitraria, che puo essere posta uguale a 0.

• Lineari di secondo grado a coefficienti costanti: sono equazioni del tipo:

a2y(2)(t) + a1y

(1)(t) + a0y(t) = f (t),

dove gli ai per i = 0, 1, 2 sono numeri reali, mentre f : I → R e una funzione continua su intervallo

aperto I assegnato.

Le soluzioni in generale possono essere scritte come soluzione dell’equazione omogenea (cioe quella

in cui f (t) = 0) piu una soluzione particolare della specifica equazione.

Per la soluzione omogenea, occorre considerare il polinomio caratteristico associato:

a2λ2 + a1λ+ a0 = 0.

A seconda del segno del determinante, le soluzioni si scrivono come combinazione lineare di specifici

termini, in base al seguente schema:

– ∆ > 0→ 2 soluzioni reali r1 e r2 → sol. om. della forma aer1t + ber2t ;

– ∆ = 0→ 1 soluzione reale r con doppia molteplicita → sol. om. della forma aer t + bter t ;

– ∆ < 0→ 2 soluzioni complesse r± = α±iβ→ sol. om. della forma aeαt cos(βt)+beαt sin(βt).

Per la soluzione particolare, si considera una yp di prova, che conterra alcuni parametri incogniti

ed assumera una forma diversa in base all’espressione esplicita della f (t). Inserendo la soluzione di

prova all’interno dell’equazione, si determinano i parametri incogniti della soluzione di prova. Alcuni

casi:

– f (t) = polinomio → yp(t) = at2 + bt + c ;

– f (t) ∝ eγt con γ non soluzione del polinomio caratteristico → yp(t) = ceγt ;

– f (t) ∝ eγ1t cos(γ2t) oppure f (t) ∝ eγ1t sin(γ2t) → yp(t) = eγ1t(a cos(γ2t) + b sin(γ2t))

[alternativamente yp(t) = cet(γ1+iγ2) e poi prendo parte reale oppure immaginaria a seconda

rispettivamente del coseno o del seno nel termine f (t)].

A.3 Serie di potenze

Assumendo noti le nozioni (in particolare quelle di convergenza semplice o assoluta), ricordiamo prima i

risultati piu importanti riguardanti le serie numeriche e in seguito i punti fondamentali necessari a risolvere

gli esercizi sulle serie di potenze.

• Criterio del confronto: considerate due serie∑ak e

∑bk a termini non negativi tali che ak ≤ bk , se

la maggiorante converge la minorante converge (e se la minorante diverge la maggiorante diverge).

• Criterio di Leibniz: se una successione monotona ak e decrescente e infinitesima, allora la

seguente serie converge:n∑k=0

(−1)kak .

16

• Criterio del rapporto: considerata una serie a termini positivi∑ak tale che esista il limite:

limn→∞

an+1

an= l ,

allora la serie converge se l < 1 e diverge se l > 1 (non si puo dire nulla se l = 1).

• Data la serie∑∞n=0 an (x − x0)n, esiste un unico numero R ≥ 0 (oppure R = +∞) tale che:

– la serie converge assolutamente per ogni x che verifica |x − x0| < R;

– la serie non converge per ogni x che verifica |x − x0| > R.

Tale numero e detto raggio di convergenza ed e dato, qualora esistano i limiti scritti, dalla seguente

formula:1

R= limn→∞

n√|an| (criterio della radice).

A.4 Derivate direzionali e piani tangenti

Sia f : Rn → R differenziabile e sia r = (r1, r2, . . . , rn) un versore (cioe un vettore con modulo unitario)

assegnato. Allora la derivata direzionale di f lungo la direzione di r si calcola come segue:

∂f

∂r= r1

∂f

∂x1+ r2

∂f

∂x2+ · · ·+ rn

∂f

∂xn,

dove ∂f∂xi

e la usuale derivata parziale rispetto alla i-esima componente.

Piano tangente. La formula generale per l’iperpiano tangente al grafico di una funzione f : Rn → Rdifferenziabile e passante per il punto (x, f (x)) e la seguente:

y − f (x) =

n∑i=1

∂f

∂xi(x)(xi − xi).

Casi particolari di questa formula sono i seguenti:

• f : R → R: il grafico della funzione e in 2 dimensioni e l’iperpiano e la retta tangente alla curva

grafico della funzione. Ci riconduciamo alla nota formula:

y − f (x) =df

dx(x)(x − x).

• f : R2 → R: il grafico della funzione e in 3 dimensioni e l’iperpiano e il piano tangente alla superficie

grafico della funzione. La formula diventa:

y − f (x1, x2) =df

dx1(x)(x1 − x1) +

df

dx2(x2 − x2).

A.5 Operatore ∇ in coordinate cartesiane

Il gradiente di una funzione f : R3 → R, la divergenza e il rotore di una funzione F : R3 → R3 si calcolano

per funzioni differenziabili come segue:

∇f =∂f

∂xi +

∂f

∂yj +

∂f

∂zk

∇ · F =∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

∇× F =

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Fx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣ = i

(∂Fz∂y−∂Fy∂z

)+ j

(∂Fx∂z−∂Fz∂x

)+ k

(∂Fy∂x−∂Fx∂y

)dove (x, y , z) ∈ R3 e F = (Fx , Fy , Fz).

17

A.6 Classificazione dei punti critici

Un punto x0 appartenente alla dominio di una funzione f : Rn → R e detto critico se:

∇f (x0) = 0

Dall’esame dell’hessiano della funzione si ricavano informazioni sulla natura del punto critico:

• Hf (x0) definito positivo (tutti gli autovalori sono strettamente positivi)

→ x0 punto di minimo relativo;

• Hf (x0) definito negativo (tutti gli autovalori sono strettamente negativi)

→ x0 punto di massimo relativo;

• Hf (x0) indefinito (esistono due autovalori con segno discorde)

→ x0 punto di sella (ne massimo ne minimo).

Negli altri casi occorre esaminare direttamente il comportamento della funzione nei pressi del punto critico

per determinarne la natura.

Ricordiamo che nel caso di matrici 2x2 e possibile ricavare informazioni sugli autovalori della matrice

in base alle regole seguenti:

• det < 0→ autovalori con segni discordi;

• det > 0 e Tr > 0 → autovalori concordi positivi;

• det > 0 e Tr < 0 → autovalori concordi negativi.

A.7 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Supponiamo di voler massimizzare una funzione f (x, y) sotto il vincolo g(x, y) = 0. Il metodo consiste

nel considerare il seguente oggetto, che dipende da un parametro λ reale (il moltiplicatore):

Λ(x, y , λ) = f (x, y) + λg(x, y).

Risolvendo il sistema di 3 equazioni che si ottiene ponendo ∇Λ(x, y , λ) = 0, troviamo i punti candidati

a essere estremi o punti di sella (andando a calcolare esplicitamente il valore della funzione in tali punti

oppure attraverso ragionamenti qualitativi nei dintorni di questi punti possiamo concludere qualcosa

riguardo alla loro natura).

A.8 Teorema della funzione inversa

Sia f : RN → RN differenziabile con derivate continue. Se esiste un punto x0 ∈ RN tale che detJ f (x0) 6=0, allora esistono un intorno U di x0 e un intorno V di f (x0) tali che la restrizione di f ad U, ovvero la

funzione f : U → V , sia invertibile con inversa g : V → U di differenziabile. Inoltre vale J g(f (x)) =

[J f (x)]−1 per ogni x ∈ U.

A.9 Tecniche di integrazione e cambio di variabile

Verranno elencate le principali formule, senza specificare tutte le ipotesi che le rendono valide.

18

• Ricordiamo il teorema fondamentale del calcolo e le formule di integrazione per parti e per sostitu-

zione in una dimensione. ∫ b

a

f ′(x) dx = f (b)− f (a) ≡ [f (x)]ba∫ b

a

f ′(x)g(x) dx = −∫ b

a

f (x)g′(x) dx + [f (x)g(x)]ba∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f (x) dx =

∫ b

a

f (ϕ(x))ϕ′(x) dx

• D dominio di R2 e T : R2 → R2 (iniettiva, con jacobiana invertibile...):∫∫T (D)

f (x, y) dx dy =

∫∫D

f (T (x, y)) |det [J T (x, y)]| dx dy

D dominio di R3 e T : R3 → R3 (si generalizza a Rn):∫∫∫T (D)

f (x, y , z) dx dy dz =

∫∫∫D

f (T (x, y , z)) |det [J T (x, y , z)]| dx dy dz

In particolare:

– Coordinate polari nel piano: T (ρ, θ) = (x(ρ, θ), y(ρ, θ)) = (ρ cos θ, ρ sin θ).∫∫T (D)

f (x, y) dx dy =

∫∫D

f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρ dθ

– Coordinate cilindriche nello spazio: T (ρ, θ, z) = (x(ρ, θ, z), y(ρ, θ, z), z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z).∫∫∫T (D)


∫∫∫D

f (ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dz

– Coordinate sferiche nello spazio: T (ρ, θ, ϕ) = (x(ρ, θ, ϕ), y(ρ, θ, ϕ), z(ρ, θ, ϕ)) =

(ρ sin θ cosϕ, ρ sin θ sinϕ, ρ cos θ).∫∫∫T (D)


∫∫∫D

f (ρ sin θ cosϕ, ρ sin θ sinϕ, ρ cos θ) ρ2 sin θ dρ dθ dϕ

• Integrale di linea. Detto x il punto sulla curva γ ⊂ Rn, e r : [a, b] → Rn la parametrizzazione

(regolare), ∫γ

f (x) ds =

∫ b

a

f (r(t)) |r′(t)| dt

– In particolare, se γ e curva grafico della funzione g : [a, b]→ R,∫γ

f (x, y) ds =

∫ b

a

f (x, g(x))√

1 + [g′(x)]2 dx

Per f ≡ 1 si ottiene la lunghezza di γ.

• Integrale di superficie. Sia Σ la superficie in R3 e r : R2 → R3 la parametrizzazione. Chiamiamo u

e v i due parametri.∫∫Σ

f (x, y , z) dS =

∫∫Ω

f (r(u, v))

∣∣∣∣∂r(u, v)

∂u×∂r(u, v)

∂v

∣∣∣∣ du dv

In particolare:

19

– Σ superficie grafico di una funzione g : Ω ⊆ R2 → R:∫∫Σ

f (x, y , z) dS =

∫∫Ω

f (x, y , g(x, y))√

1 + |∇g(x, y)|2 dx dy

Per f ≡ 1 si ottiene l’area di Σ.

– Σ superficie cilindrica immagine di r(θ, z) = (R cos θ, R sin θ, z), θ ∈ I1, z ∈ I2 (I1 e I2 unione

di intervalli): ∫∫Σ

f (x, y , z) dS =

∫∫I1×I2

f (R cos θ, R sin θ, z)R dθ dz

– Σ superficie sferica immagine di r(θ, ϕ) = (R sinϕ cosϑ,R sinϕ sinϑ,R cosϕ), ϕ ∈ I1, ϑ ∈ I2(I1 e I2 unione di intervalli):∫∫

Σ

f (x, y , z) dS =

∫∫I1×I2

f (R sinϕ cosϑ,R sinϕ sinϑ,R cosϕ)R2 sinϕ dϕ dϑ

Le tecniche di integrazione adottate devono ricondurre l’integrale al calcolo di piu integrali monodi-

mensionali per i quali si possa usare il teorema fondamentale. Un integrale in 3 dimensioni, ad esempio,

dovra essere ridotto ad un integrale triplo della forma (vi sono ovviamente diverse eccezioni, come quelle

in cui il significato geometrico di integrale permette di fornire un risultato senza procedere con il calcolo)∫I1

[∫I2(z)

(∫I3(y,z)

f (x, y , z) dx

)dy

]dz

In questo modo si integra prima rispetto ad x in un insieme che dipende da y e z , poi rispetto ad y

in un insieme che dipende da z e infine rispetto a z . Sono altrettanto valide le diverse forme ottenute

scambiando i ruoli delle tre variabili.

A.10 Campi conservativi, circuitazione e flusso

Un campo vettoriale F : A ⊆ R3 → R3 si dice conservativo se esiste un campo scalare U : A→ R (detto

potenziale) tale che ∇U = F. Condizione necessaria perche un campo sia conservativo e che il suo rotore

sia nullo. Sotto opportune ipotesi di regolarita per l’insieme A, l’irrotazionalita del campo diventa anche

una condizione sufficiente per l’esistenza di un potenziale.

Introduciamo il concetto di circuitazione (spesso nel caso delle applicazioni fisiche anche chiamato lavoro):

• Sia γ una curva in R3 (si generalizza in modo banale a Rn) e r : [a, b]→ R3 la sua parametrizzazione

(regolare). Sia t il versore che in ogni punto e tangente alla curva e orientato nella direzione data

da r: t = r′/|r′|. La circuitazione di F : R3 → R3 lungo γ si calcola come:∫γ

F(x, y , z) · dr ≡∫γ

F(x, y , z) · t ds =

∫ b

a

F(r(t)) · r′(t) dt

Si puo dimostrare che condizione necessaria e sufficiente perche un campo vettoriale F sia conservativo

e che la circuitazione lungo una qualsiasi linea chiusa γ sia nulla:∮γ

F · dr.

20

il che equivale a dire che l’integrale curvilineo non dipende dal cammino di integrazione, ma solo dai punti

di partenza e di arrivo. Questa formulazione consente di calcolare esplicitamente la differenza del valore

del potenziale del campo in due punti A e B:∫ B

A

F · dr = U(B)− U(A).

Introduciamo il concetto di flusso:

• Sia Σ una superficie regolare orientata in R3 e r : Ω ⊂ R2 → R3 la sua parametrizzazione. Sia n

il versore che in ogni punto e ortogonale alla superficie. Il flusso di F : R3 → R3 attraverso Σ si

calcola come: ∫∫Σ

F(x, y , z) · n dS =

∫∫Ω

F(r(u, v)) ·(∂r

∂u×∂r

∂v

)du dv

I teoremi del rotore (o di Stokes) e di Gauss si possono ritenere una generalizzazione a piu dimensioni

del teorema fondamentale del calcolo.

• Sia V un dominio di R3 e Σ = ∂V la superficie che lo delimita. n il versore ortogonale a Σ orientato

verso l’esterno. F : R3 → R3. Il teorema di Gauss, sotto ipotesi di regolarita (e necessario, ad

esempio, che tutte le quantita scritte esistano) afferma che∫∫∫V

∇ · F(x, y , z) dx dy dz =

∫∫Σ

F(x, y , z) · n dS

• Sia γ una curva chiusa orientata in R3 e Σ una superficie avente come profilo γ. n ortogonale

alla superficie orientato in modo che, vista dalla punta di n, γ risulti percorsa in senso antiorario.

F : R3 → R3. Il teorema del rotore, sotto ipotesi di regolarita (e necessario, ad esempio, che tutte

le quantita scritte esistano) afferma che∫∫Σ

∇× F(x, y , z) · n dS =

∮γ

F(x, y , z) · dr

E importante sottolineare che circuitazione e flusso, cosı come tutti gli integrali di linea e superficie,

sono quantita che coinvolgono solo le funzioni da integrare, gli insiemi di integrazione e la loro

circuitazione: pertanto esistono o non esistono ed hanno un particolare valore indipendentemente

dalla parametrizzazione della curva o superficie in gioco, purche l’orientazione non cambi.

21

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