Indice - moby.mib.infn.itmoby.mib.infn.it/~sala/double_well.pdf3 Cenni sul path-integral 6 ......

INDICE 1

Indice

1 Introduzione 2

2 Descrizione del sistema fisico 32.1 Aspetti fondamentali del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Simmetrie del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Rottura spontanea di simmetria . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Invarianza traslazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Cenni sul path-integral 63.1 Primi passi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Dimostrazione dell’equivalenza fra la formulazione diFeynman e quella di Schroedinger . . . . . . . . . . . . 6

3.1.2 Tempo euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.3 Ampiezza di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Istantoni 104.1 Caso di un singolo istantone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Contributi da n-istantoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Tecniche di calcolo 135.1 Sviluppo semiclassico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Zero modes e metodo delle coordinate collettive . . . . . . . . 15

6 Applicazione al sistema 176.1 La formula finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.1.1 La norma di xcl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.1.2 L’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.1.3 Calcolo del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.2 Il risultato (quasi) finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Contributo da n istantoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 L’Approssimazione WKB 22

8 Una breve conclusione 25

1 INTRODUZIONE 2

1 Introduzione

Lo scopo di questo elaborato e lo studio delle caratteristiche degli stati divuoto degeneri nel caso particolare di un potenziale quartico del tipo detto “adoppia buca”. Classicamente, tale sistema presenterebbe due ground-state,uno per ogni minimo del potenziale: tali stati sarebbero degeneri in quantoil fenomeno di penetrazione di una barriera e puramente quantomeccanico, enon presenta un analogo classico.

L’introduzione di tale fenomeno operata dalla meccanica quantistica creale condizioni necessarie alla rimozione della degenerazione in questione: difatto, se una particella e nel ground-state della buca sinistra, esiste una pro-babilita non nulla che essa passi nella buca gemella. Il ground-state classico(dove la particella puo esser in una buca o nell’altra) viene cosı trasfor-mato in una situazione dove nel singolo minimo del potenziale la funzioned’onda descrivente la particella e in realta una combinazione lineare deglistati |destra〉, |sinistra〉 (combinazione che puo essere simmetrica o antisim-metrica): e come se la particella fosse contemporaneamente in entrambe lebuche. Questa nuova situazione quindi rimuove completamente la degenera-zione classica, e introduce il problema di calcolare lo splitting energetico chene consegue. Tale problema viene qui affrontato tramite due tecniche dif-ferenti: l’integrale sui cammini di Feynman e l’approssimazione di Wentzel,Kramers e Brillouin (alla quale si fara riferimento come WKB).

Nel caso del path-integral di Feynman, l’approccio usato e quello di rica-vare l’ampiezza di transizione fra i due stati descritti sopra, e di considerarepoi tale transizione in un intervallo temporale [−T,+T ] con T → ∞, in mododa poter estrarre dall’ampiezza di transizione i due livelli energetici cercati.Durante tale trattazione si incontreranno particolari soluzioni dell’equazionedel moto classico nel tempo euclideo (cosı e chiamata la continuazione ana-litica che porta t′ → −it) che, senza aver bisogno di considerazioni di tipoquantomeccanico, sono del tipo particle-like: piu precisamente, esse sono benlocalizzate e posseggono azione finita.

Parlando invece dell’approssimazione WKB, verra usata nella sua formu-lazione standard (ovvero, quella implicante formule di connessione lineari [3]):inoltre, tenendo conto che nei pressi del suo minimo il potenziale e ben ap-prossimabile con quello dell’oscillatore armonico, si e ritenuto di inserire unacorrezione riguardo all’energia zero di questi.

Verranno inoltre introdotte alcune particolarita del sistema fisico, primafra tutte l’invarianza sotto traslazioni della soluzione classica, che richiederaun’attenzione particolare nel corso dei calcoli effettuati con la tecnica delpath-integral, e l’invarianza sotto parita (che in teoria dei campi provoca unarottura spontanea di simmetria). Riguardo a quest’ultima, infatti, bisogna

2 DESCRIZIONE DEL SISTEMA FISICO 3

notare che in teoria dei campi la degenerazione energetica non viene rimossa(contrariamente a quanto avviene in meccanica quantistica): l’energia ditunnelling e infatti proporzionale al volume dello spazio considerato, chesolitamente e infinito. Tale situazione implica la scelta di uno stato di vuoto,provocando cosı la rottura della precedente simmetria del sistema.

2 Descrizione del sistema fisico

2.1 Aspetti fondamentali del sistema

Si consideri quindi un potenziale detto “a doppia buca”, rappresentatodalla seguente lagrangiana

L =1

2

(

∂x

∂t

)2

− V (x)

=1

2

(

∂x

∂t

)2

− λ

4

(

x2 − µ2

λ

)2

µ2, λ > 0

(1)

Figura 1: Il potenziale V(x)

Si puo facilmente ricavarne l’azione e l’equazione del moto classico, attra-verso il principio della minima azione


S(x) =

∫ T

−T

dt

[

1

2x2 − λ

4

(

x2 − µ2

λ

)2]

(2a)

δS = −∂2xcl

∂t2− V ′(xcl) =

= −∂2x

∂t2− µ2x + λx3 = 0

(2b)

Tale equazione e identica a quella di una particella di massa unitaria chesi muove in un potenziale V(x): la sua energia

E =1

2

(

∂xcl

∂t

)2

+ V (x) (3)

e quindi una costante del moto. Parlando invece del potenziale, esso ha dueminimi cosı descritti:

V (±a) = 0

a =µ√λ

(4)

2.2 Simmetrie del sistema

2.2.1 Rottura spontanea di simmetria

Il sistema fisico considerato possiede una simmetria sotto parita, ovverosotto la trasformazione

x(t) → −x(t)in quanto i termini in x della lagrangiana sono solo di potenze pari. Classi-camente, quindi,i due ground-state in ±a sono degeneri: la nostra particellapuo esser indifferentemente in una o nell’altra “valle” del potenziale V(x)senza che vi siano delle variazioni nella sua energia. Questo poiche nellameccanica classica non puo esserci un fenomento di tunnelling della barrierache separa i due vuoti

In meccanica quantistica questa degenerazione viene rimossa proprio dalfenomeno di tunnelling: esiste una probabilita non nulla per la particellanella buca di sinistra di passare in quella di destra, e viceversa. Questomeccanismo provoca uno shift fra le due possibili energie di ground-state.

In teoria dei campi questa degenerazione si ripresenta. In una teoria(d+1), dove con d si indicano le dimensioni spaziali mentre la dimensionetemporale e uno, l’energia necessaria per la penetrazione della barriera e


proporzionale al volume dello spazio considerato, che solitamente e infinito:si torna quindi alla situazione della barriera impenetrabile (energia di pe-netrazione infinita). Questo caso si chiama rottura spontanea di simmetria,nel senso che esiste una simmetria del sistema non visualizzabile negli statidi vuoto. Infatti, in una buca (1+1), questo discorso si realizzerebbe nellanecessita di scegliere uno dei due vuoti, rompendo la simmetria sotto parita.In generale, ogni rottura spontanea di simmetria globale in teoria dei campie associata alla degenerazione degli stati di vuoto [4].

Un esempio visuale molto efficace per la comprensione di tale fenomenoe riportato su [4]. Consideriamo una sedia: le equazioni degli atomi che lacompongono sono invarianti per rotazioni, ma la sedia, ovvero la soluzionedi tali equazioni, non lo e, come ben evidente dal senso comune (escluse,naturalmente, alcune ardite soluzioni architettoniche). Anche se non si statrattando di sedie ma di stati di vuoto, il concetto e visualizzato abbastanzabene: inoltre, viene resa bene anche la condizione che il sistema debba essere,per lo meno a livello di modellizazione, infinitamente esteso.

In questa elaborato l’analisi verra limitata al modello quanto-meccanicodel sistema.

2.2.2 Invarianza traslazionale

Si supponga che la soluzione dell’equazione (2b) sia invariante per trasla-zioni (assunto che verra dimostrato nel paragrafo 3.1). Sia inoltre xcl(t) unasua soluzione: allora anche xcl(t+ t0) risolvera l’equazione del moto (2b) ∀t0.Se si considera nel particolare una traslazione infinitesima

xδ cl = xcl(t+ δt0)

= xcl(t) + δt0dxcl(t)

dt

(5)

e la si sostituisce nell’equazione del moto, ne risultera

0 + δt0

[

+d2

dt2

(

dxcl

dt

)

− V ′′(xcl)dxcl

dt

]

= 0 (6)

Si noti che l’operatore all’interno delle parentesi quadre altri non e cheδ2S(x), ovvero la variazione seconda dell’azione classica. Possiamo quindiscrivere

[δ2S(x)]xcl = 0 (7)

3 CENNI SUL PATH-INTEGRAL 6

Quindi xcl e soluzione del problema agli autovalori δ2S(x)φn = λnφn conλ0 = 0. Questa conseguenza dell’invarianza traslazionale del sistema porteranotevoli conseguenze sulle tecniche di calcolo discusse nella sezione 4.

3 Cenni sul path-integral

3.1 Primi passi

Feynman, partendo da considerazioni di meccanica classica, ritiene che icontributi all’azione totale non provengano solamente da quella estremizzantel’azione classica (principio della minima azione), ma che ogni traiettoria conpunti fissi a,b contribuisca alla stessa maniera con fasi diverse: tale fase el’azione calcolata lungo quel percorso in unita dell’azione quantomeccanicah. Feynman quindi afferma che la probabilita di transizione fra due punti(xa, ta) e (xb, tb) sia il modulo quadro dell’ampiezza totale di transizione

〈xb|e−i

hH(tb−ta)|xa〉 = K(b, a) =

∑

tutti i percorsi

φ[x(t)]

dove φ[x(t)] = Aei

hS[x(t)]. E’ evidente che nel limite classico, dove S(x) >> h,

percorsi che differiscono di quantita infinitesime provocano grandi oscillazioninel fattore di fase, causando quindi l’annullarsi di tali contributi.

Per poter eseguire tale sommatoria (che coinvolge un numero infinito dipercorsi), l’idea e quella di suddividere l’intervallo temporale in n sezioniinfinitesime, e di definire tale somma come un integrale per tutti i valoridi xi, escludendo i due punti estremali fissi per ipotesi. E possibile quindiscrivere

K(b, a) = limε→0

Nε

∫

...

∫

dx1...dxN−1ei

hS(b,a)

= N

∫ b

a

[dx(t)]ei

hS

(8)

ove [dx(t)] indica l’integrazione funzionale.

3.1.1 Dimostrazione dell’equivalenza fra la formulazione di Feyn-man e quella di Schroedinger

Si inizi a scrivere l’ampiezza di transizione nella formulazione di Schroe-dinger e di Heisenberg


K(b, a) = 〈b, tb|e−i

hHt|a, ta〉

= 〈b, tb|a, ta〉H(9)

con H un’hamiltoniana della forma H = p2/2m + V (x) e con t = tb − ta, esi discretizzi l’intervallo temporale in N intervalli di ampiezza ε, definendol’n-esimo intervallo

tn = ti + nε

Introducendo una completezza per ogni punto intermedio, si ottiene

K(b, a) = limε,N→∞

∫

dx1 ... dxN−1〈xN , tN |xN−1, tN−1〉H ... 〈x1, t1|x0, t0〉H

Il calcolo dell’n-esimo prodotto intermedio all’interno dell’integrale puoesser sviluppato, sfruttando il fatto che il commutatore fra x e p sia unacostante, tramite la formula di Baker-Hausdorff

〈x′|eαX+βP |x〉 = 〈x′|eαX

2 eβP eαX

2 |x〉

=

∫

dp 〈x′|eαX

2 eβP |p〉〈p|eαX

2 |x〉

=

∫

dp

2πhe−

i

hp(x−x′)e

α(x+x′)

2+βp

(10)

dove con X,P si indicano gli operatori. Ricordando che

〈xn|V (X)|xn−1〉 = V

(

xn + xn−1

2

)

δ(xn − xn−1)

si puo quindi scrivere

〈xn, tn|xn−1, tn−1〉H = 〈xn|e−i

h(tn−tn−1)H |xn−1〉

= 〈xn|e−i

hεH|xn−1〉

=

∫

dpn

2πhexp

i

h

[

pn(xn − xn−1) −p2

n

2m− V

(

xn + xn+1

2

)]

(11)

Sostituendo all’interno dell’ampiezza di transizione


K(b, a) = limε,M→∞

∫(

∏

1,M−1

dxn

)(

∏

1,M

dpn

2πh

)

expi

h

M∑

1

[

pn(xn − xn−1) −p2

n

2m− V

(

xn + xn+1

2

)]

(12)

L’integrale sui pn e di tipo gaussiano, e risulta

(

m

2πihε

)12

exp

{

imε

2h

(

xn − xn−1

ε

)2}

(13)

Reinserendo il termine nell’equazione

K(b, a) = limε,M→∞

(

m

2πihε

)M

2∫

∏

dxn

exp

{

iε

h

M∑

1

[

m

2

(

xn − xn−1

ε

)2

− V

(

xn + xn+1

2

)]}

(14)

= N

∫

[x(t)]ei

hS(x)

con N indipendente dalla dinamica del sistema. Cosı resta dimostrata l’equi-valenza fra la formulazione quantomeccanica di Schroedinger-Heinsenberg equella di Feynman.

3.1.2 Tempo euclideo

L’integrando cosı ricavato e un esponenziale oscillante, calcolabile tramitei metodi di analisi complessa. Tuttavia, esiste una tecnica piu raffinata eversatile: il calcolo dell’integrale nel cosiddetto ’tempo euclideo’. Si trattasemplicemente della continuazione analitica nel tempo immaginario, ovverouna rotazione di π

2nel piano complesso da Re t a Im t

t −→ t′ = −itRicordando che l’azione classica e data dalla formula


S =

∫ tb

ta

dtL(x, t)

=

∫ tb

ta

dt

(

1

2[∂tx(t)]

2 − V (x)

) (15)

allora l’azione nel tempo euclideiano si scrivera

SE =

∫

1

2[∂tx(t)]

2 + V (x) (16)

e come verra scritta d’ora in avanti, omettendo il pedice E. L’integrale cosıottenuto e ben definito, in quanto l’integrando e esponenzialmente decrescen-te.

L’ampiezza di transizione secondo Feynman di conseguenza sara

K(b, a) = N

∫

[dx(t)]e−Scl

h (17)

Tutti i calcoli svolti all’interno della tecnica del path integral verrannoeseguiti tenendo conto di questa imposizione, salvo dove indicato diversa-mente.

3.1.3 Ampiezza di transizione

Lo scopo prefissato, come gia evidenziato in precedenza, sara quello dicalcolare lo splitting energetico causato dalla presenza dell’effetto tunnel. Sisviluppi allora l’ampiezza di transizione nel tempo euclideo come di seguito

〈b|e− 1h

Ht|a〉 =∑

n

〈b|φn〉〈φn|a〉e−1h

Ent (18)

dove semplicemente e stata inserita una completezza. Nel limite per grandit, la sommatoria e dominata dal contributo del ground-state.

Si indichi quindi lo stato che indica la particella nella buca destra (sini-stra) con |R0〉 (|L0〉): lo stato di vuoto sara quindi

|0〉 =1√2

(|L0〉 + |R0〉) (19)

Siano inoltre |a〉, |b〉 due stati situati nei pressi dei due minimi con unadifferenza di energia rispetto al ground-state di ∆E/2: per T = tb − ta → ∞si potra quindi scrivere

4 ISTANTONI 10

〈b, tb|a, ta〉 = 〈b|0〉〈0|a〉e−2E0T

h sinh∆E

hT

' 〈b|L0〉〈R0|a〉e−2E0T

h sinh∆E

hT

(20)

essendo trascurabili i termini 〈b|R0〉, 〈a|L0〉. Si e quindi trovata una relazionefra l’ampiezza di transizione (ovvero la quantita che verra ricavata tramite ilpath-integral) e la separazione fra i livelli energetici.

4 Istantoni

4.1 Caso di un singolo istantone

Dalla definizione di tempo euclideo, risultera che il potenziale verra ribal-tato rispetto l’asse delle y.

Figura 2: Il potenziale V(x) nel tempo euclideo

Si consideri la soluzione classica dell’equazione (2b) rappresentante laparticella in −a al tempo −∞ e in a al tempo ∞ (si ricorda che l’intervallotemporale viene preso infinito per le considerazioni svolte nella 2.1.2). Vi-sualmente, la particella nel passato remoto e in cima al primo massimo delpotenziale, mentre nel lontano futuro e salita fino al secondo massimo. Siconsideri inoltre l’energia (3) calcolata nel tempo euclideo

E =

(

∂xcl

∂t

)2

− V (xcl) (21)

4 ISTANTONI 11

L’energia della soluzione tendera a zero nell’intervallo temporale infinitoqui considerato. Possiamo quindi scrivere

dx

dt=

√2V (22)

e quindi, tramite l’integrazione della formula, si ottiene

t− t0 = ±∫ x(T )

x(t0)

dx′√2V

= ±∫ x(T )

x(t0)

dx′[

√

λ

2

(

x2 − µ2

λ

)]− 12

(23)

Svolgendo l’integrale e invertendo, dopo aver centrato la soluzione sullex con l’imposizione x(t0) = 0, si ottiene

xcl(t) = ±(

µ2

λ

)12

tanhµ√2(t− t0) (24)

La soluzione e schematizzata nel grafico sottostante: si nota subito chela soluzione e invariante per traslazioni, in quanto un cambiamento di t0 siriflette semplicemente in uno shift della soluzione.

Figura 3: L’istantone

4 ISTANTONI 12

Si calcoli ora l’azione e la densita di energia corrispondente a tale soluzione:

Scl =

∫ T

−T

dt

[

1

2x2 +

λ

4

(

x2 − µ2

λ

)2]

= −√

2µ3

λ

[

−1

3tanh3

(

µT√2

)

+ tanh

(

µT√2

)]

−→ −2√

2µ3

3λ≡ −S0 T → ∞

(25)

L =1

2

(

∂x

∂t

)2

+ V (x)

=µ4

λsech4

[

µ(t− t0)√2

](26)

Figura 4: La lagrangiana

Queste soluzioni sono quindi ben localizzate, e vengono chiamate “istan-toni”, nome introdotto da ’t Hooft. Sono oggetti strutturati nel tempo(“istant”) simili alle soluzioni di un campo nello spazio di Minkowski, i soli-toni, di cui sono i “parenti” nello spazio euclideo. Essendo inoltre soluzioniparticle-like (concentrate nel senso della densita di energia), venne anche sug-gerito il nome di pseudoparticelle da Polyakov. La dimensione dell’istantonee dell’ordine di 1

µ, e quindi nell’approssimazione di weak-coupling µ2 >> λ

possiamo considerare l’istantone ben localizzato intorno al suo centro (t0).Per convenzione, solo la soluzione positiva viene chiamata istantone, mentrequella negativa viene chiamata anti-istantone.

4.2 Contributi da n-istantoni

Si e notato come il valore dell’istantone (24) varii in maniera considerevolein un intervallo largo 1

µ, per poi rimanere praticamente costante. Quindi, se si

5 TECNICHE DI CALCOLO 13

suddivide l’intervallo temporale [−T, T ] in sottointervalli [−T,−T +1]...[T −1, T ], possiamo considerare in ognuno di essi un singolo istantone centratoin (2T + 2n+ 1)/2, e fattorizzare di conseguenza l’integrale dell’ampiezza ditransizione. Infatti, fuori dall’intervallo dell’ordine 1

µcentrato in t0 l’istantone

diventa la soluzione banale. Si puo dunque scrivere in quasi tutti gli intervalli,

V ′′(xcl) ' (d2V/dq2)±a = ω2 = 2µ2 (27)

esclusi quelli in cui sono centrati gli istantoni e la cui dimensione, come giadetto, non dipende da t. Vale quindi la definizione (si veda anche [5],[6])

{contributo di n istantoni su[−T, T ]} ≡ {contributo banale}Kn (28)

con il K cosı definito costante sotto il limite per T → ∞. Si ricorda che taleragionamento e valido solo nel caso in cui le soluzioni siano ben distanziatefra di loro, ovvero che l’overlapping sia limitato alle regioni di soluzionebanale (approssimazione di gas diluito). Rimane ovvio il fatto che a unistantone debba necessariamente seguire un anti-istantone, e viceversa, e chela soluzione totale debba contenere un numero dispari di soluzioni totali:senza questa imposizione naturale, il moto non seguirebbe piu l’ipotesi delsemplice effetto tunnel da −a a a

5 Tecniche di calcolo

5.1 Sviluppo semiclassico

Date le definizioni, e ora di porre delle basi atte a calcolare l’ampiezzadi transizione data sopra. Innanzitutto, faremo uso dell’approssimazionesemiclassica, secondo la quale i contributi principali al sistema provengonoda traiettorie molto vicine a quella classica. Come gia detto in precedenza,questa affermazione comporta prendere un’azione molto grande in termini dih: l’esponenziale complesso dell’azione oscillera quindi violentemente rispettoa piccole variazioni.

Sviluppando intorno all’azione classica si ottiene

S(x) = S(xcl) + δ2S(η) (29)

con

{

x = xcl + η

δ2S(x) = 12

∫

dt(

−η ∂2η

∂t2+ ∂2V

∂x2 η2) (30)


tenendo conto che la traiettoria classica e estremale per l’azione e i contributidi ordine 3 e superiori sono trascurabili. Si puo scrivere lo sviluppo dell’azioneanche nel seguente modo:

S(x) = S(xcl) +1

2(η, Aη) +O(η3) (31)

dove con A indichiamo l’operatore quadratico

A = − ∂2

∂t2+

(

∂2V

∂x2

)

xcl(t)

(32)

Il passo successivo consiste nell’esprimere la funzione di sviluppo η tramitela seguente discretizzazione

ηn = η(tn)

η =∑

0

cnηn

L’operatore A e hermitiano (e un operatore reale), e quindi e diagonaliz-zabile da una matrice unitaria U

UAU † =

λ1 0 0 .0 λ1 0 ..0 . . λn

Definendo

ξ = Uηsi ottiene quindi

(η, Aη) =∑

0

λnc2n

in quanto gli ξn son ortogonali per costruzione. Ricordando la definizionedella misura dell’integrale di Feynman (si veda la sezione 2.1), e immediatoscrivere (la h puo esser benissimo eliminata ridefinendo gli η)

K(b, a) = N e−S(xcl)

h

∫

∏

dcn eP

λnc2n

= N e−S(xcl)

h

(

1∏

λn

)12

= N e−S(xcl)

h

(

1

detA

)12

(33)


Quindi il problema del calcolo dell’integrale funzionale si e quindi ridottoal calcolo del determinante dell’operatore A.

5.2 Zero modes e metodo delle coordinate collettive

A questo punto sorge un nuovo problema: dalla formula (7) sappiamo chel’operatore A possiede sicuramente un autovalore zero a causa dell’invarianzatraslazionale dell’istantone, e dunque la formula (33) risulta divergente. Diconseguenza e necessario trovare il modo di isolare la coordinata invarianteall’interno dell’integrale (33), in modo da eliminare il modo zero (ovvero,l’autovalore con valore zero dell’operatore).

Lo scopo e quello di eliminare l’integrazione sulla misura dc0, magari uti-lizzando un cambiamento di base. In tal senso si cambi l’espansione intornoalla soluzione classica inserendo, al posto di c0, il parametro t0 che identifical’invarianza spaziale del nostro sistema (si veda [7]).

x(t) = xc(t− t0) + η(t− t0)

η(t) =∑

1

c′nη′n(t) (34)

Una variazione infinitesima di t0 provoca la comparsa di un fattore pro-porzionale a xcl da aggiungere a x(t): affinche quindi la nostra nuova base{t0, c′n} sia composta da variabili indipendenti, e necessario introdurre lanuova condizione che xcl e η′n sian ortogonali.

∫

dtxcl(t− t0)η′n(t− t0) = 0 (35)

Ora t0 non e piu semplicemente un grado di liberta del nostro sistema,ma un elemento della base da noi considerata. Da notare che, facendo taleipotesi, la coordinata c0 e sparita: t0 viene chiamata coordinata collettiva, inquanto riunisce i gradi di liberta del sistema.

Riprendendo l’equazione (33), vi si sostituisca all’interno la nuova espan-sione di x(t) (si suppongano normalizzate le ηn)

K(b, a) = N Je−S(xcl)

h

∫

dt0

∫

∏

1

dc′n eP

1 λnc2n

= N J2T√2πh

e−S(xcl)

h

(

1∏

1 λn

)12

= N J2T√2πh

e−S(xcl)

h

(

1

det′A

)12

(36)


det′A indica il determinante calcolato in assenza dell’autovalore zero,mentre J lo jacobiano del cambiamento di coordinate effettuato. Il fattore2T/

√2πh deriva dall’integrazione su dt0 e dal fatto che, eliminando di fatto

il modo zero dall’esponenziale, abbiamo effettuato un integrale gaussiano inmeno rispetto a (33)1.

Per valutare lo jacobiano della trasformazione, si scrivano le vecchie va-riabili in funzione delle nuove:

cm =

∫

dt ηm(t)xcl(t− t0) +∑

1

c′n

∫

dt ηm(t)η′n(t− t0) (37)

J altri non e che il determinante della matrice

[

∂cm∂t0

,∂cm∂c′n

]

(38)

composta dalle seguenti quantita

∂cm∂t0

= −∫

dt ηm(t)xcl(t− t0) −∑

1

c′n

∫

dt ηm(t)η′n(t− t0)

∂cm∂c′m

=

∫

dt ηm(t)η′n(t− t0)

(39)

Si tralasci il contributo dato dalle c′m, in quanto sono derivate dal con-tributo di δ2S mentre interessa in questo caso lo sviluppo al primo ordine:siccome

{

xcl(t− t0)

‖xcl‖, η′n

}

e un set ortonormale, la matrice (38) e ortogonale a meno di una costantemoltiplicativa, che risulta esser la norma di xcl: lo jacobiano cercato e quindi

J = ||xcl||1Alternativamente, puo esser usato a tale scopo il metodo di Fadeev-Popov, derivato

dall’omonima tecnica in teorie di gauge: a tal scopo si vedano [1], [7]. In questo elaboratosi e preferito evitare tale metodo in quanto piu complicato da comprendere appieno senzala conoscenza del metodo originale

6 APPLICAZIONE AL SISTEMA 17

6 Applicazione al sistema

6.1 La formula finale

Dopo aver discusso le proprieta del sistema e le tecniche di calcolo dautilizzarsi, e giunto il momento di applicarle al nostro sistema. Si inizi con loscrivere la formula finale dell’ampiezza di transizione secondo Feynman neltempo euclideo:

K(b, a) = N2T√2π

J K e−Scl

h

[

1

det(−∂2t x(t) + ω2)

]12

= N

√

2

πT ||xcl(t)|| det[−∂2xcl(t) + ω]−

12

[

det(−∂2xcl(t) + ω2)

det′(−∂2xcl(t) + V ′′(x))

]12

e−Scl

h

(40)

In questa formula si e fatto uso della relazione (28)

K =

[

det(−∂2xcl(t) + ω2)

det′(−∂2xcl(t) + V ′′(x))

]12

e delle quantita ricavate nella sezione 5.2. Nei prossimi paragrafi si sviluppe-ranno le singole quantita fino ad arrivare al risultato finale.

6.1.1 La norma di xcl

Data la formula esplicita dell’istantone (24), si ha che:

xcl =µ2

√2λ

[

cosh

(

µt√2

)]− 12

(41a)

‖xcl‖2 =

[

µ2

√2λ

]2 ∫

dt

[

cosh

(

µt√2

)]−4

(41b)

Per calcolare la norma sara sufficente una integrazione per parti: ponendok = µ√

2


‖xcl‖2 =

(

µ√λk

)2 ∫

d[tanh(kt)]

cosh2(kt)

=µ2

λk2

{

tanh(kt)

cosh2(kt)

]T

−T

+ 2

∫

dtk sinh(kt) tanh(kt)

cosh3(kt)

}

= 0 +µ2

λ2k2

∫

tanh2(kt) d[tanh(kt)]

=µ2

λ2k2 tanh3(kt)

3

]+T

−T

=2√

2

3

µ3

λ= −Scl ≡ S0

(42)

6.1.2 L’oscillatore armonico

Il fattore

det(−∂2t x(t) + ω2) (43)

e il determinante dell’equazione di Schroedinger di un oscillatore armonico.Viene qui introdotta senza dimostrazione2 la seguente formula

det

[−∂2t +W (1) − λ

−∂2t +W (2) − λ

]

=ψ

(1)λ (T )

ψ(2)λ (T )

(44)

(−∂2t +W )ψλ = λψλ (45)

dove W e una generica funzione di t limitata e ψλ una soluzione di taleequazione con condizioni al contorno

ψλ(−T ) = 0

∂tψλ(−T ) = 1(46)

Di conseguenza e possibile quindi definire la seguente quantita

det(−∂2t +W )

ψ0(T )= N2hπ (47)

2La dimostrazione completa si puo esser trovata su [10], [9], e non viene qui riportataa causa della sua lunghezza. Tuttavia, si puo vedere che entrambe le parti dell’equazioneavranno per costruzione i medesimi zeri e poli


Tale imposizione su N assicura che il calcolo nel caso dell’oscillatore armo-nico restituisca il risultato corretto. Risolvendo allora l’equazione all’internodel determinante con le condizioni al contorno sopra definite, si ottiene:

ψ0 =sinh(ωt)

ω(48)

Quindi, tenendo conto che T viene considerato al limite infinito, si ottiene

N

[det(−∂2t + ω)]

12

=

(

ω

πh

)12

e−ωT (49)

6.1.3 Calcolo del determinante

L’ultima quantita rimasta da calcolare e

[

det(−∂2t x + ω2)

det′(−∂2t x + V ′′)

]

(50)

dove det’ indica il determinante calcolato escludendo l’autovalore 0 (si vedala sezione 5.2). La strada seguita sara quella di calcolare il determinante com-pleto per un intervallo finito [−T ′,+T ′], di dividere tale quantita per il suoautovalore piu piccolo e quindi far tendere l’intervallo considerato all’infinito.

Si consideri allora l’equazione

[−∂2t + V ′′(xcl)]ψλ = λψ (51)

Di questa equazione si conosce gia una soluzione per λ = 0, e precisamente(si vedano le sezioni 2.2.2, 6.1.1)

x1 =1√Scl

xcl →1√Scl

4µ2

√2λ

e−ω|t| = Ae−ω|t| per t→ ±∞ (52)

La seconda soluzione dell’omogenea associata a (51) e quindi, nel limiteper t→ ±∞

y1 = ±Aeω|t| (53)

dove la normalizzazione e stata scelta per ottenere il wronskiano uguale a2ωA2

Si costruisca quindi ψλ con λ = 0, in modo che soddisfi le condizioni (46)

ψ0(t) =1

2ωA2[eωTx1 + e−ωT y1] (54)

Quindi ψ0(T ) = 1ω


Si puo scrivere la soluzione dell’equazione (51) come (si veda [5])

ψλ(t) = λ

∫

dt′ G(t, t′)ψλ(t′)

=λ

W

∫ t

−T

dt′ [x1(t)y1(t′) − x1(t

′)y1(t)]ψλ(t′)

' ψ0(t) +λ

2ωA2

∫ t

−T

dt′ [x1(t)y1(t′) − x1(t

′)y1(t)]ψ0(t′) +O(λ2)

(55)

che puo esser verificata tramite sostituzione3. Quindi, calcolando ψλ(T ) siottiene

ψλ(T ) =1

ω− λ

2ω2A2

∫ T

−T

dt′ [e2ωTx21 + e−2ωT y2

1]

=1

ω− λ

1

4ω2A2e2ωT

(56)

Si puo inoltre notare che l’operatore definito nell’equazione (51), operandosullo spazio delle funzioni che si annullano in ±T , avra un autovalore λn see solo se ψλn

(T ) = 0. Applicando questa proprieta alla formula appenaricavata si ottiene

0 =1

ω− λ0

1

4ω2A2e2ωT =⇒ λ0 = 4ω2A2 e−2ωT (57)

Quindi, nel solito caso di T grande, sostituendo si ottiene

det′(−∂2t + V ′′)

det(−∂2t + ω2)

=ψ0(T )

λ0 ψosc0 (T )

=1

2ωA2(58)

6.2 Il risultato (quasi) finale

Ora che tutte le quantita della formula risolutiva (40) sono state calcolate,non resta che operare una semplice sostituzione dei valori ricavati per ottenere

K(b, a) =

(

ω

πh

)12

e−ωT 2T√

S0 2ωA2 eS0h

=

[

(√

2µ

πh

)12

e−√

2µT

] {

4T√

2µ

(√

2µ3

πhλ

)12

exp−2√

2µ3

3λ

} (59)

3La funzione di Green puo esser ricavata tramite il metodo standard di “incollare” duesoluzioni dell’equazione omogenea, una per t > t

′ e l’altra per t < t′, in modo che la

soluzione presenti una discontinuita di 2 specie, ovvero un salto


dove fra parentesi quadre e indicata la parte derivata dalla soluzione banalementre il contributo vero e proprio dell’istantone e racchiuso fra le parentesigraffe.

6.3 Contributo da n istantoni

Come gia detto nella sezione 4.2, la nostra soluzione e costituita da unasuccessione di istantoni e anti-istantoni, ognuno di quali contribuisce con ilvalore calcolato nella formula (59).

Si e gia puntualizzato come la somma di tutte queste soluzioni debbaesser dispari: se si considera l’intervallo [−T,+T ] spezzato in n+1 intervalli,con tn rappresentante il centro di ogni istantone soddisfacente la condizione

−T ≤ tn ≤ ... ≤ t1 ≤ T

allora l’integrale sui centri degli istantoni risulta essere

∫ T

−T

d1

∫ t1

−T

dt2...

∫ tn−1

−T

dtn =(2T )n

n!

con n che rende conto delle possibili permutazioni. L’ampiezza di transi-zione (59) diventera quindi, tenendo conto delle possibili configurazioni an-istantoni.

K(b, a) =

(√

2µ

πh

)12

e−√

2µT∑

n dispari

1

n!

[

4T√

2µ

(√

2µ3

πhλ

)12

exp−2√

2µ3

3λ

]n

=

(√

2µ

πh

)12

e−√

2µT sinh

[

4T√

2µ

(√

2µ3

πhλ

)12

exp−2√

2µ3

3λ

]

(60)

dove n e un numero dispari. Confrontando questa formula con la (20) siricava immediatamente lo separazione energetica fra i due livelli energetici:

∆E = 4h√

2µ

(√

2µ3

πhλ

)12

exp−2√

2µ3

3λ(61a)

E0 =h√

2µ

2=hω

2(61b)

7 L’APPROSSIMAZIONE WKB 22

7 L’Approssimazione WKB

In questo paragrafo viene data per scontata la conoscenza dell’approssima-zione semiclassica WKB: testi dove e possibile trovarne un’ampia trattazionesono [8], [2], entrambi largamente usati per la stesura di questa sezione.

Si inizi a considerare le soluzioni dell’equazione di Schrodinger delle duebuche separate, ovvero in assenza di effetto tunnel fra i due vuoti. Avremoquindi

φ1(x) =1√2[φ0(x) + φ0(−x)]

φ2(x) =1√2[φ0(x) − φ0(−x)]

(62)

con x positivo. Scrivendo il sistema di equazioni e eseguendo opportunemanipolazioni

{

φ′′0 + 2m

h2 (E0 − U)φ0 = 0

φ′′1 + 2m

h2 (E1 − U)φ1 = 0(63)

{

[φ′′0 + 2m

h2 (E0 − U)φ0]φ1 = 0

[φ′′1 + 2m

h2 (E1 − U)φ1]φ0 = 0(64)

Sottraendo fra di loro queste equazioni e integrandole fra 0 e ∞ si ottiene:

∫ ∞

0

(φ1φ′′0 − φ0φ

′′1)dx =

∫ ∞

0

2m

h2 (E1 − E0)φ0φ1 (65)

Si noti inoltre che

(φ′0φ1)

′ − (φ0φ′1)

′ = φ1φ′′0 − φ0φ

′′1

e da (62) che

φ1(0) =√

2φ0(0)

φ′1 = 0

∫ ∞

0

φ0φ1 ≈1√2

(66)

Si ottiene, quindi, che la separazione di degenerazione vale

E1 − E0 = − h2

mφ0(0)φ′

0(0) (67)


Un simile discorso vale riguardo alla quantita E2 − E0, e si puo dunqueconcludere che

E2 − E1 =2h2

mφ0(0)φ′

0(0) (68)

Per l’approssimazione WKB la funzione d’onda all’interno della barrierae (si veda [8], [2])

φ(0) =

(

ω

2π|v(0)|

)12

exp

(

− 1

h

∫ a

−a

|p|dφ)

φ′(0) =mv(0)

hψ0

(69)

dove p e

p =√

2V =

{

2

[

λ

4

(

x2 − µ2

λ

)]}12

(70)

Sostituendo nella (68) si ottiene

∆E =2hω

πexp

{

− 2

h

∫

dx |p|}

(71)

Tuttavia quest’ultima equazione va corretta: infatti, se si approssima ognibuca come un’oscillatore armonico nei dintorni del minimo del potenziale,l’energia minima e

Emin =µh√

2(72)

e quindi l’equazione (70) andra corretta come segue

p =

{

2

[

λ

4

(

x2 − µ2

λ

)2

− µh√2

]}12

(73)

Anche il punto di inversione andra quindi corretto tramite queste consi-derazioni (si ricorda che la massa e considerata unitaria):


1

2ω2(x− a)2 = E0 =

hµ√2

⇒ x1 = a±√

h√2µ

1

2ω2(x+ a)2 = E0 =

hµ√2

⇒ x2 = −a±√

h√2µ

(74)

Quindi, il fenomeno di tunnelling fra una buca all’altra corrispondera al

tunnelling da −a+√

h√2µ

a a−√

h√2µ

Con le considerazioni svolte finora, si puo scrivere quindi

∫ x1

0

dx |p| =

∫ x1

0

dx

[

λ

2(x2 − a2)2 − µh

√2

]12

=

∫ x1

0

dx

√

λ

2(a2 − x2)

[

1 − 2√

2µh

λ(x2 − a2)2

]12

'∫ x1

0

dx

[

√

λ

2(a2 − x2) − ah

(a2 − x2)

]

=

√

λ

2

(

x3

3− a2x

∣

∣

∣

∣

x1

0

+h

2ln

(

a− x1

a+ x1

)

'√

2µ3

3λ− h

2+h

2ln

(

a− x1

a+ x1

)

+O(h31 )

=1

2S0 +

h

2ln

√

hλ

4√

2µ3e2+O(h

32 )

(75)

Sostituendo quindi nella (71) si ottiene

∆E =2hω

πexp

{

− 2

h

∫

dx |p|}

=4√

2µ

π

√√2µ3e2h

λe−

S0h

(76)

8 UNA BREVE CONCLUSIONE 25

8 Una breve conclusione

Si e giunti quasi alla conclusione: rimane solamente da calcolare il rapportofra le ∆E ricavate con le due differenti tecniche

∆EWKB

∆EP.I.

=e√π

(77)

Come si puo vedere su [1] 4, esistono degli studi che indicano l’approssi-mazione migliore nel calcolo effettuato tramite la tecnica del path-integral:tale conclusione e stata tratta dopo aver valutato il problema dell’oscilla-tore armonico tramite la WKB. La spiegazione di questo e il fatto che nelcalcolo con il path-integral (dove abbiamo comunque usato uno sviluppo se-miclassico) non e stata introdotta l’approssimazione dovuta alle funzioni diconnessione, necessarie nel metodo WKB. La tecnica del calcolo tramite gliistantoni si pone quindi come un ottimo metodo per valutare situazioni diquesto genere.

4Nell’articolo citato, il risultato dell’approssimazione WKB differisce da quello quiriportato a causa della differente tecnica di calcolo dell’integrale (75), che in [1] vienecalcolato con una approssimazione differente da quella utilizzata qui (derivata da [2])

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 26

Riferimenti bibliografici

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spectrum of a one-dimensional system, Phys. Rev D, vol 16, 2, 1977

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[3] E. Onofri, C. Destri, Istituzioni di fisica teorica, Carocci ed., 1998

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[5] S. Coleman, Aspects of symmetry, Cambridge, 1985

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[10] W. Dittrich, M. Reuter, Classical and Quantum Dynamics, Springer

[11] R.P. Feynman, A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integral,McGraw-Hill, 1965

[12] AA.VV., Instantons in gauge theories, World Scientific, 1994

[13] V. Rubakov, Classical Theory of Gauge Fields, Princeton press, 2002

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