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Indicatori di Posizione e di Variabilità

Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLEPROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE

Statistica Medica

Indici Sintetici

Consentono il passaggio da una pluralità di informazioniad un’unica misura numerica;Sintetizzano l’intera distribuzione in un singolo valore,consentendo così confronti nel tempo, nello spazio o tracircostanze differenti;In alcuni casi, consentono di verificare se le conseguenzedi una determinata azione abbiano prodotto il risultatodesiderato, in quale direzione e con quale intensità.

Indici Sintetici di Posizione: la media aritmetica

µ = 19.4+14.0+16.8+...+17.720 = 305.9

20 =15.3 mmHG

Esempio: PressioneOculare

Osservazione 1 19.4Osservazione 2 14.0Osservazione 3 16.8Osservazione 4 14.5Osservazione 5 12.0Osservazione 6 12.0Osservazione 7 13.7... ...Osservazione 19 19.7Osservazione 20 17.7

Se i dati sono organizzati in forma di serie,

x1, x2, ..., xn essa si ottiene sommando tutti i valori

osservati e dividendo per il numero di osservazioni:

µ =

∑ni=1 xi

n

La Media artimetica, di seguito indicata con µ, è quel valore che,sostituito a tutte le osservazioni, lascia invariata la loro somma.


Esempio: EtàEtà Frequenza20 421 322 323 324 325 4Totale 20

Se i dati sono organizzati in forma di distribuzione

di frequenza, (x1, n1), (x2, n2), ..., (xk , nk ) essa si

ottiene moltiplicando ciascun valore per la

corrispondente frequenza, sommando tutti questi

prodotti e dividendo quindi per la somma delle

frequenze:

µ =

∑kj=1 xj × nj∑k

j=1 nj



µ = (20×4)+(21×3)+...+(25×4)(4+3+...+4)

= 45020 =22.5 anni

Esempio: EtàEtà Frequenza20 421 322 323 324 325 4Totale 20

Se i dati sono organizzati in forma di distribuzione

di frequenza, (x1, n1), (x2, n2), ..., (xk , nk ) essa si

ottiene moltiplicando ciascun valore per la

corrispondente frequenza, sommando tutti questi

prodotti e dividendo quindi per la somma delle

frequenze:

µ =

∑kj=1 xj × nj∑k

j=1 nj



Proprietà della Media aritmeticaLa media aritmetica è sempre compresa tra il minimo e ilmassimo della distribuzione osservata;La media aritmetica è espressa nella stessa unità dimisura dei dati originali;La somma algebrica degli scarti di ciascuna osservazionedalla media aritmetica è nulla;La media aritmetica è una sintesi di tutti i valori ed è quindiinfluenzata da outliers; è cioè un indicatore poco robusto;La media aritmetica può essere calcolata solo per variabiliquantitative.

Indici Sintetici di Posizione: la mediana

N.B. Nel caso in cui n è pari e quindi esistono due posizioni mediane, se si è in pre-senza di variabili quantitative la mediana è ottenuta come semi-somma dei due valoricorrispondenti; se la variabile è qualitativa ordinale allora si dice che la distribuzioneè caratterizzata da due valori mediani.

Calcolo della mediana1 Si ordina la distribuzione in modo non decrescente;

2 Si determina la posizione medianaSe il numero di osservazioni n è dispari allora PosMe = n+1

2Se il numero di osservazioni n è pari allora PosMe =

˘ n2 ,

n2 + 1

¯3 Si osserva il valore che occupa la posizione mediana

La Mediana, di seguito indicata con Me, è il valore assunto dall’unitàstatistica che occupa la posizione centrale della distribuzione ordinata inmodo non decrescente; quel valore cioè che lascia alla sua sinistra il50% delle osservazioni più piccole e alla sua destra il 50% delleosservazioni più grandi


Un esempio: n dispari

Valore Posizione19 122 225 326 427 5


PMe = n+12 = 5+1

2 = 3




PMe = n+12 = 5+1

2 = 3

Me = 25




Un esempio: n pari

Valore Posizione19 122 225 326 427 541 6

PMe = n+12 = 5+1

2 = 3

Me = 25




PMe ={n

2 = 3, n2 + 1 = 4

}Un esempio: n pari


PMe = n+12 = 5+1

2 = 3

Me = 25




PMe ={n

2 = 3, n2 + 1 = 4

}Me = 25+26

2 = 25.5

Un esempio: n pari


PMe = n+12 = 5+1

2 = 3

Me = 25




Assenza di dolore

0

Dolore Insostenibile

100

La VAS è una rappresentazione grafica della gravità del dolore che unpaziente crede di avvertire. È costituita da una linea orizzontale di 100millimetri con barre verticali alle due estremità che rappresentanol’assenza di dolore (0 mm) ed un dolore insostenibile (100 mm). Ilpaziente indica il punto che ritiene identifichi il suo stato algico. Ladistanza di questo dal punto di assenza di dolore, misurata in millimetricorrisponde al punteggio dolorifico


Assenza di dolore

0

Dolore Insostenibile

10022

La VAS è una rappresentazione grafica della gravità del dolore che unpaziente crede di avvertire. È costituita da una linea orizzontale di 100millimetri con barre verticali alle due estremità che rappresentanol’assenza di dolore (0 mm) ed un dolore insostenibile (100 mm). Ilpaziente indica il punto che ritiene identifichi il suo stato algico. Ladistanza di questo dal punto di assenza di dolore, misurata in millimetricorrisponde al punteggio dolorifico


Prima Dopo Diff.61 32 2926 29 -356 56 030 35 -563 28 3568 10 5856 21 3531 37 -610 49 -3944 30 1469 14 5550 46 451 51 078 34 4450 54 -476 18 5847 34 1352 31 2137 18 19


Diff. Pos.-39 1-6 2-5 3-4 4-3 50 60 74 8

13 914 1019 1121 1229 1335 1435 1544 1655 1758 1858 19

Ordinamento

Prima Dopo Diff.61 32 2926 29 -356 56 030 35 -563 28 3568 10 5856 21 3531 37 -610 49 -3944 30 1469 14 5550 46 451 51 078 34 4450 54 -476 18 5847 34 1352 31 2137 18 19


n = 19

PMe = n+12 = 10

Diff. Pos.-39 1-6 2-5 3-4 4-3 50 60 74 8

13 914 1019 1121 1229 1335 1435 1544 1655 1758 1858 19

Ordinamento

Prima Dopo Diff.61 32 2926 29 -356 56 030 35 -563 28 3568 10 5856 21 3531 37 -610 49 -3944 30 1469 14 5550 46 451 51 078 34 4450 54 -476 18 5847 34 1352 31 2137 18 19


n = 19

PMe = n+12 = 10

Me = 14

Diff. Pos.-39 1-6 2-5 3-4 4-3 50 60 74 8

13 914 1019 1121 1229 1335 1435 1544 1655 1758 1858 19

Ordinamento

Prima Dopo Diff.61 32 2926 29 -356 56 030 35 -563 28 3568 10 5856 21 3531 37 -610 49 -3944 30 1469 14 5550 46 451 51 078 34 4450 54 -476 18 5847 34 1352 31 2137 18 19


Proprietà della MedianaLa mediana è sempre compresa tra il minimo e il massimodella distribuzione osservata;La mediana è espressa nella stessa unità di misura deidati originali;La mediana può essere calcolata sia per variabiliquantitative che per variabili qualitative ordinali (Attenzioneperò al caso in cui n è pari!)La mediana non risente della presenza di eventuali outliersperché si disinteressa di ciò che accade nelle code delladistribuzione dei dati;

Indici Sintetici di Posizione: I quartili

I quartili sono indicatori di posizione che, al pari della mediana, sicalcolano rilevando il valore assunto dalle unità statistiche cheoccupano posizioni cruciali nella serie ordinata (in senso nondecrescente) dei dati

Il primo quartile (di seguito indicato con Q1) è quel valore chelascia alla sua sinistra il 25 % delle osservazioni più piccole e allasua destra il 75 % delle osservazioni più grandi

Il secondo quartile è quel valore che lascia alla sua sinistra il 50 %delle osservazioni più piccole e alla sua destra il 50 % delleosservazioni più grandi. Esso quindi coincide con la Mediana

Il terzo quartile (di seguito indicato con Q3 è quel valore che lasciaalla sua sinistra il 75 % delle osservazioni più piccole e alla suadestra il 25 % delle osservazioni più grandi

Indici Sintetici di Variabilità

La variabilità di un fenomeno è la sua attitudine ad assumeredifferenti modalità.

Un indice di variabilità è una misura di tale attitudine, e dovrebbepossedere le seguenti caratteristiche:

1 Deve essere non negativo2 Deve essere nullo se e solo se tutte le unità presentano la

stessa modalità del carattere;3 Deve aumentare all’aumentare della diversità tra le unità.

La variabilità può essere calcolata rispetto ad un centro (misure didispersione) o valutando le differenze tra tutte le possibili coppie diunità osservate (misure di diseguaglianza)

Indici Sintetici di Variabilità: Varianza

X

µ

La Varianza (di seguito indicata con σ2) è una delle misure didispersione più utilizzate in statistica. Utilizza la Media aritmetica comevalore di riferimento e si basa sulle distanze di ciascuna osservazionedal centro assunto come riferimento.


X

µ

X

µ



Razionale della Varianzan∑

i=1

(xi − µ)

n∑i=1

(xi − µ)2

∑ni=1(xi − µ)2

n= σ2 Media di scarti al quadrato




i=1

(xi − µ) Il risultato è sempre uguale a 0

n∑i=1

(xi − µ)2

∑ni=1(xi − µ)2





i=1

(xi − µ) Il risultato è sempre uguale a 0

n∑i=1

(xi − µ)2 Dipende dal numero di osservazioni

∑ni=1(xi − µ)2




Prima Dopo61 3226 2956 5630 3563 2868 1056 2131 3710 4944 3069 1450 4651 5178 3450 5476 1847 3452 3137 18


µprima =61 + 26 + ...+ 37

19= 50.3

µdopo =32 + 29 + ...+ 56

19= 33.0

Prima Dopo61 3226 2956 5630 3563 2868 1056 2131 3710 4944 3069 1450 4651 5178 3450 5476 1847 3452 3137 18


σ2prima =

(61 − 50.3)2 + (26 − 50.3)2 + ...+ (37 − 50.3)2

19= 298

σ2dopo =

(31 − 33)2 + (29 − 33)2 + ...+ (56 − 33)2

19= 173

µprima =61 + 26 + ...+ 37

19= 50.3

µdopo =32 + 29 + ...+ 56

19= 33.0

Prima Dopo61 3226 2956 5630 3563 2868 1056 2131 3710 4944 3069 1450 4651 5178 3450 5476 1847 3452 3137 18


ConclusioniPrima del trattamento, il grado di dolore percepito dai pazienti risulta in media maggiore (iltrattamento ha cioè prodotto benefici nel collettivo esaminato). Si è inoltre determinatauna riduzione della dispersione che è passata da 298 a 173; ciò indica che a seguito deltrattamento, i valori di dolore risultano concentrati in misura maggiore attorno al punteggiomedio. Vi è in altre parole un effetto stabilizzante. Cosa si sarebbe potuto concludere seinvece la dispersione dei dati fosse aumentata a seguito del trattamento???

σ2prima =

(61 − 50.3)2 + (26 − 50.3)2 + ...+ (37 − 50.3)2

19= 298

σ2dopo =

(31 − 33)2 + (29 − 33)2 + ...+ (56 − 33)2

19= 173

µprima =61 + 26 + ...+ 37

19= 50.3

µdopo =32 + 29 + ...+ 56

19= 33.0

Prima Dopo61 3226 2956 5630 3563 2868 1056 2131 3710 4944 3069 1450 4651 5178 3450 5476 1847 3452 3137 18


Dati in forma di serie

µ =

Pni=1 xi

n

σ2 =

Pni=1(xi − µ)2

n

Quando i dati sono espressi sotto forma di distribuzione è necessariotener conto delle frequenze con cui ciascun valore è stato osservato.Ricordando che la Varianza è una media di scarti al quadrato allora...


Dati in forma di distribuzione

µ =

Pkj=1 xj × njPk

j=1 nj


µ =

Pni=1 xi

n

σ2 =

Pni=1(xi − µ)2

n



Dati in forma di distribuzione

µ =

Pkj=1 xj × njPk

j=1 nj

σ2 =

Pkj=1(xj − µ)2 × njPk

j=1 nj


µ =

Pni=1 xi

n

σ2 =

Pni=1(xi − µ)2

n



σ2 =(26 − 28.6)2 × 5 + (27 − 28.6)2 × 3 + ...+ (30 − 28.6)2 × 14

40= 1.83 anni2

µ =(26 × 5) + (27 × 3) + ...+ (30 × 14)

40= 28.6 anni

Età Frequenza26 527 328 729 1130 14

Totale 40

Distribuzione di frequenza dell’età al primo parto per un collettivo di 40donne italiane.


Proprietà della VarianzaLa varianza non può assumere valori negativi;E’ nulla se e solo se tutte le osservazioni sono uguali tra diloro (e quindi la media coincide con esse);Attribuisce lo stesso peso ad osservazioni distanti dallamedia in una direzione piuttosto che nell’altra;E’ espressa in una unità di misura che è il quadrato diquella dei dati originali.

Indici Sintetici di Variabilità: Scarto quadratico medio

Lo s.q.m possiede le stesse caratteristiche della varianza ed ha in più ilvantaggio di misurare la variabilità di un fenomeno utilizzando la stessalingua dei dati

σ =√σ2 =

√∑ni=1(xi − µ)2

n

Al fine di riportare la misura di variabilità all’unità di misura originale siestrae la radice quadrata della Varianza ottenendo un indice noto comeScarto quadratico medio (abbreviato con s.q.m) o Deviazione standarde di seguito indicato con σ

Esercizio

Utilizzando gli opportuni indici di posizione e di variabilità confrontare ledue distribuzioni e commentare i risultati ottenuti.

Durata Prima Dopo60 6 1470 4 380 4 390 6 0

Totale 20 20

Distribuzione di frequenza del tempo (in secondi) impiegato per ilcompletamento di un test di lettura in un colletivo di 20 soggettidislessici prima e dopo lo svolgimento di una terapia logopedica.

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