...UN PÒ DI DEFINIZIONI

IL VALORE ATTRIBUITO ALL’INCOGNITA CHE RENDE VERA L’UGUAGLIANZA SI CHIAMA SOLUZIONE

DUE EQUAZIONI SI DICONO EQUIVALENTI QUANDO HANNO LA STESSA SOLUZIONE.

IN UN’EQUAZIONE: 532 x

LA x È CHIAMATA INCOGNITA,

IL 2 È CHIAMATO COEFFICIENTE DELL’INCOGNITA,

IL 3 E IL 5 SONO CHIAMATI TERMINI NOTI

IN BASE ALLA POSIZIONE DELL’INCOGNITA LE EQUAZIONI SONO:

INTERE SE L’INCOGNITA È PRESENTE SOLO NEI NUMERATORI

ESEMPIO: xx 2213 OPPURE xx 37

2

FRATTE SE L’INCOGNITA È ANCHE NEI DENOMINATORI

ESEMPIO: 12

24

x

x OPPURE 1

111

xxx

IN BASE AI COEFFICIENTI LE EQUAZIONI SONO:

NUMERICHE SE I COEFFICIENTI SONO TUTTI NUMERI xx 2213

LETTERALI SE COMPAIONO ALTRE LETTERE OLTRE L’INCOGNITA axax 23

IN UNA EQUAZIONE L'ESPRESSIONE SCRITTA A SINISTRA DEL SEGNO = PRENDE IL NOME DI PRIMO MEMBRO,

MENTRE QUELLA SCRITTA A DESTRA DEL SEGNO = PRENDE IL NOME DI SECONDO MEMBRO.

LE EQUAZIONI SI DISTINGUONO IN DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI

EQUAZIONE DETERMINATA (O POSSIBILE)

L’EQUAZIONE DETERMINATA E' L'EQUAZIONE VERA CHE AFFERMA CIOE' UN FATTO VERO ED UNICO:

AMMETTE UNA SOLA SOLUZIONE

ESEMPI:

x + 1 = 2 SOLUZIONE x = 1

x3 = 9 SOLUZIONE x = 3

x - 5 = 0 SOLUZIONE x = 5

EQUAZIONE IMPOSSIBILE

E' L'EQUAZIONE CHE AFFERMA UN FATTO FALSO,

NON AMMETTE NESSUNA SOLUZIONE.

ESEMPI:

y + 1 = y - 1 NON ESISTE NESSUN VALORE CHE, SOSTITUITO ALLA Y, FA SÌ CHE SOMMANDO AD Y IL VALORE 1 OTTENIAMO IL VALORE DI Y - 1.

x2 = - 4 NESSUNA POTENZA DI INDICE PARI PUÒ ESSERE UN NUMERO NEGATIVO.

EQUAZIONE INDETERMINATA

E' L'EQUAZIONE CHE AFFERMA UN FATTO VERO

AMMETTE INFINITE SOLUZIONI

ESEMPI:

3X - 2 = 3X -2 E' EVIDENTE CHE TALE EQUAZIONE È VERIFICATA QUALUNQUE VALORE DIAMO ALLA X.

IN PRATICA, L’EQUAZIONE INDETERMINATA CORRISPONDE ALL’IDENTITÀ

QUANDO IMPAREREMO A SVOLGERE SCOPRIREMO CHE SE LA

SOLUZIONE TROVATA SARÀ: :

x = NUMERO EQUAZIONE DETERMINATA (O POSSIBILE)

0 = NUMERO EQUAZIONE IMPOSSIBLE

0 = 0 EQUAZIONE INDETERMINATA (O IDENTITÀ)

SE SI AGGIUNGE O SI SOTTRAE LO STESSO NUMERO AI DUE MEMBRI DI UN’EQUAZIONE, SI OTTIENE UN’EQUAZIONE

EQUIVALENTE.

(OVVERO L’EQUAZIONE OTTENUTA AVRÀ LA STESSA SOLUZIONE)

ESEMPIO:

x - 6 = 0 SOLUZIONE: x = 6

AGGIUNGO +2 A ENTRAMBI I MEMBRI

OTTENGO

x - 6 + 2 = 0 + 2

x - 4 = + 2 SOLUZIONE: x = 6

GRAZIE AL 1° PRINCIPIO È POSSO USARE QUESTA REGOLA:

POSSO TRASPORTARE UN TERMINE DA UNA PARTE ALL'ALTRA DELL'UGUALE, MA CHI SALTA L'UGUALE

CAMBIA DI SEGNO

HTTP://LNX.SINAPSI.ORG/WORDPRESS/2011/01/12/EQUAZIONI-RISOLTE-CON-LA-BILANCIA/

HTTP://LNX.SINAPSI.ORG/WORDPRESS/2009/11/04/IMPARA-LE-EQUAZIONI-CON-LA-BILANCIA/

1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

DAL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DERIVANO CONSEGUENZE MOLTO UTILI PER LA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI: REGOLA DELLA SOPPRESSIONE DEI TERMINI UGUALI: SE NEI DUE TERMINI DI UN’EQUAZIONE

FIGURA UNO STESSO TERMINE ESSO PUÒ ESSERE SOPPRESSO.

ESEMPIO: 2X + 2 – 5X = 10 – 5X REGOLA DEL TRASPORTO DEI TERMINI: IN UN’EQUAZIONE È POSSIBILE TRASPORTARE UN TERMINE

DA UN MEMBRO ALL’ALTRO PURCHÉ SI CAMBI DI SEGNO.

ESEMPIO: 5X + 3 = 4 DIVENTA 5X = 4 - 3

MOLTIPLICANDO O DIVIDENDO PER LO STESSO NUMERO I DUE MEMBRI DI UN’EQUAZIONE, SI OTTIENE

UN’EQUAZIONE EQUIVALENTE

(OVVERO L’EQUAZIONE OTTENUTA AVRÀ LA STESSA SOLUZIONE)

ESEMPIO:

3x = 6 SOLUZIONE: x = 2

DIVIDO PER 3 ENTRAMBI I MEMBRI

OTTENGO: 3x = 6 3 3 x = 2 SOLUZIONE: x = 2

2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

DAL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DERIVANO CONSEGUENZE MOLTO UTILI PER LA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI: REGOLA DEL CAMBIAMENTO DI SEGNO: CAMBIANDO IL SEGNO A TUTTI I TERMINI DI

UN’EQUAZIONE, SI OTTIENE UN’ EQUAZIONE EQUIVALENTE. ESEMPIO: 1043 x È EQUIVALENTE A 1043 x

REGOLA DELLA SOPPRESSIONE DEI DENOMINATORI NUMERICI: MOLTIPLICANDO CIASCUN TERMINE

DELL’EQUAZIONE PER IL M.C.M. DEI DENOMINATORI SI OTTIENE UN’EQUAZIONE EQUIVALENTE, MA SENZA DENOMINATORI.

ESEMPIO: 243

xx

MOLTIPLICO CIASCUN TERMINE PER 12 CHE È IL M.C.M. TRA I DENOMINATORI

122214

213

3

1

4

1

xx

2434 xx

LAVORIAMO SU UN ESEMPIO: HO L'EQUAZIONE

2X - 4 = 8

PER RISOLVERLA DEVO TRASFORMARLA IN :

ax = b

IN TERMINI MATEMATICI, SI DICE “RIDURRE LA FRAZIONE IN FORMA NORMALE”

QUANDO LA FRAZIONE È “RIDOTTA IN FORMA NORMALE”

ax = b

DIVIDO ENTRAMBI I MEMBRI PER a:

(2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA)

DA CUI:

LA SOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE RIDOTTA IN FORMA NORMALE

È UGUALE AL QUOZIENTE TRA IL TERMINE NOTO E IL COEFFICIENTE DELL’INCOGNITA

EQUAZIONI RIDOTTE IN FORMA NORMALE

UNA FRAZIONE SI DICE RIDOTTA LA FRAZIONE IN FORMA NORMALE” QUANDO RISULTA DEL TIPO: ax = b

ab

aax

abx

INCOGNITATE_DELL'COEFFICIENTOTERMINE_NOx

RISOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE DI PRIMO GRADO AD UNA INCOGNITA

TORNIAMO ALLA NOSTRA EQUAZIONE

2X - 4 = 8

PER RISOLVERLA DEVO TRASFORMARLA IN ax = b

QUINDI IL PRIMO TERMINE DA ELIMINARE É - 4

PER FARLO APPLICO LA REGOLA DEL TRASPORTO DEI TERMINI

2x = 8 + 4

2x = 12

ADESSO LA FRAZIONE È “RIDOTTA IN FORMA NORMALE” 2X = 12 DIVIDO ENTRAMBI I MEMBRI PER 2: (2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA) OVVERO:

E' POSSIBILE CONTROLLARE SE HAI RISOLTO CORRETTAMENTE UN'EQUAZIONE.

L’UGUAGLIANZA È VERA SOLO SE AL POSTO DELLA x METTO LA SOLUZIONE CORRETTA.

QUINDI POSSO FARE LA VERIFICA SOSTITUENDO NELL'EQUAZIONE DI PARTENZA LA SOLUZIONE TROVATA AL

POSTO DELLA X.

PROVIAMO A VERIFICARE LA SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE PRESA IN ESAME:

ATTRIBUIAMO ALL’INCOGNITA IL VALORE 6:

2X - 4 = 8

2·6 - 4 = 8

12 - 4 = 8

8 = 8

L'UGUAGLIANZA E' VERA QUINDI HO RISOLTO CORRETTAMENTE L'EQUAZIONE.

VERIFICA DELLA SOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE

TECOEFFICIENNOTOTERMINE_

x2

12x 6x

RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE CON SOLI TERMINI INTERI

HO L'EQUAZIONE

PER RISOLVERLA DEVO TRASFORMARLA IN : ax = b

QUINDI DEVO ELIMINARE I DENOMINATORI

PER FARLO APPLICO LA “REGOLA DELLA SOPPRESSIONE DEI DENOMINATORI NUMERICI”

CALCOLO IL MINIMO COMUNE MULTIPLO DEI DENOMINATORI:

m.c.m. = (3;4)=12

MOLTIPLICO CIASCUN TERMINE PER 12

OTTENGO UN’EQUAZIONE EQUIVALENTE, MA SENZA DENOMINATORI.

RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE CON TERMINI FRAZIONARI

243

xx

122214

213

3

1

4

1

xx

2434 xx

24x

http://www.matematicamenit/esercizi_svolti/equazioni/55_esercizi_svolti_su_equazioni_e_pro

blemi_di_primo_grado_200903235223/

http://www.mathubi.com/equazioni/EquazioniSenzaFrazioni_MathUbi.pdf

http://www.mathubi.com/equazioni/test/equazioni.htm

PROVA A TROVARE L’EQUAZIONE RISOLUTIVA E SVOLGERE I SEGUENTI PROBLEMI

1. TROVA UN NUMERO CHE SOMMATO AI SUOI 3/2 DIA 50

2. TROVARE UN NUMERO SAPENDO CHE LA SOMMA DEI SUOI 2/3 CON IL NUMERO 15 E' UGUALE AI 3/2 DEL NUMERO STESSO

3. TROVARE IL NUMERO TALE CHE AGGIUNGENDO 40 AI SUOI 3/5 DA' PER SOMMA IL DOPPIO DEL SUO ANTECEDENTE 4. SI TOGLIE 20 DA UN NUMERO ED ALLA META' DELLA DIFFERENZA SI AGGIUNGE LA QUARTA PARTE DEL NUMERO, SI

OTTIENE COSI' LO STESSO NUMERO DIMINUITO DI 25. QUAL'E' IL NUMERO?

5. DIVIDERE IL NUMERO 36 IN DUE PARTI TALI CHE LA PRIMA SUPERI DI 6 IL DOPPIO DELLA SECONDA

6. TROVARE DUE NUMERI CONSECUTIVI SAPENDO CHE LA SOMMA DELLA META' DEL MINORE COL DOPPIO DEL MAGGIORE E' 27

7. DUE NUMERI DIFFERISCONO DI 5; DIVIDENDO LA LORO SOMMA PER 6 SI OTTIENE COME QUOZIENTE 4 E COME RESTO 1 . TROVARE I DUE NUMERI

8. IL RAPPORTO DI DUE NUMERI E' 2/3; DIVIDENDO LA LORO SOMMA PER 10 SI OTTIENE LO STESSO RISULTATO CHE SOTTRAENDO 15 DAL MINORE. TROVARE I DUE NUMERI

9. LA SOMMA DEL NUMERATORE E DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE E' 8, AGGIUNGENDO 15 AD ENTRAMBI SI OTTIENE UNA FRAZIONE EQUIVALENTE A 10/9. QUAL'E' LA FRAZIONE DI PARTENZA?

10. IN UN NUMERO DI DUE CIFRE LA CIFRA DELLE DECINE SUPERA DI 2 IL DOPPIO DELLA CIFRA DELLE UNITA'. SCAMBIANDO LE CIFRE FRA LORO SI OTTIENE UN NUMERO INFERIORE DI 36 AL NUMERO DATO. TROVARE IL NUMERO

11. IN UNA FAMIGLIA DI 4 PERSONE IL PADRE E LA MADRE HANNO LA STESSA ETA', CHE E' TRIPLA DI QUELLA DEL FIGLIO; LA SORELLINA E' NATA 5 ANNI DOPO IL FIGLIO, DETERMINARE LE ETA' ATTUALI DEI COMPONENTI DELLA FAMIGLIA SAPENDO CHE FRA DUE ANNI LA SOMMA DELLE LORO ETA' SARA' 83 ANNI.

12. IN UN CORTILE CI SONO POLLI E CONIGLI: IN TOTALE CI SONO 40 TESTE E 130 ZAMPE. QUANTI SONO I POLLI E

QUANTI I CONIGLI? 13. IN UN SALVADANAIO CI SONO 20 MONETE, ALCUNE DA UN EURO ED ALCUNE DA DUE EURO; SE CI FOSSERO

QUATTRO MONETE DA UN EURO IN PIU', IL VALORE DELLE MONETE DA UN EURO SAREBBE LO STESSO DI QUELLO DELLE MONETE DA DUE EURO. QUANTE SONO LE MONETE DA UN EURO E DA DUE EURO?

14. DOBBIAMO RIPARTIRE LA SOMMA DI 2000 EURO FRA TRE PERSONE, IN MODO CHE LA PRIMA ABBIA 100 EURO PIU'

DELLA SECONDA E LA SECONDA 200 EURO PIU' DELLA TERZA. TROVA LE TRE SOMME 15. CON UNA CERTA QUANTITA' DI VINO SI POSSONO RIEMPIRE 4 RECIPIENTI UGUALI, OPPURE 6 RECIPIENTI UGUALI,

DELLA CAPACITA' DI 12 LITRI INFERIORE AI PRECEDENTI. TROVARE LA QUANTITA' DI VINO

16. POLICRATE, TIRANNO DI SAMO, AVENDO CHIESTO A PITAGORA QUANTI ALUNNI AVESSE, EBBE QUESTA RISPOSTA: "META' STUDIA LA MATEMATICA, LA QUARTA PARTE STUDIA I FENOMENI DELLA NATURA E LA SETTIMA PARTE MEDITA IN SILENZIO, INOLTRE VI SONO TRE DONNE". QUANTI ERANO GLI ALLIEVI?