Il Tractatus in cinque minuti e qualche

proposizione

R.V. Vincelli - ReimOne@Gmail.com

4 novembre 2014

1 Dalla 4.211 con furore

Con le preposizioni atomiche esiste la collisione: BLT RLT non puo` essere.Questo fatto e` spiegato in Some remarks on logical form, unica pubblicazione diW., la potete trovare qui: http://www.uni.edu/boedeker/logicalform.pdf.Ma partiamo dallinizio. La succitata proposizione recita: Un segno della pro-posizione elementare e` che nessuna proposizione elementare puo` essere in con-traddizione con essa. E questo ci piace, semplicemente pensando alla logicaproposizionale: definito linsieme delle proposizioni P = {A,B,C, ...} a ciascu-na di esse assegno un valore di verita`, ed e` al variare di questo per le proposizioniche la costituiscono che una formula viene ad essere una contraddizione. Orail nostro sappiamo bene che era interessato alla logica s`, ma in relazione allapercezione della realta` tramite essa da parte della mente, come testimonia lagenialita` del cosiddetto isomorfismo naturalistico. Si prenda una funzione pro-posizionale che sia vera per un solo valore del proprio argomento, ad esempioun predicato di arita` uno che indichi il colore che percepiamo in un determinatopunto ad un preciso istante, chiamato PT (c), dove c e` la costante colore (W.chiama il predicato xPT ). Ora al variare di c nellinsieme dei colori C otte-niamo una serie di predicati semplici, cioe` proposizioni, ed a livello di sistemaformale, astraendo dal significato del predicato giacche esso e` concetto assolu-tamente estraneo al sistema in se`, posso benissimo pensare ad una proposizionecome: PT (rosso) PT (blu) ed ottenerla vera se si fissa la verita` di entrambele proposizioni a vero. Tale formula e` semplice esempio di non contraddizione alivello puramente formale, seppure connotando il predicato di significato osser-viamo che si perde si significato: un punto cui guardiamo o e` di un colore o e`di un altro, in un preciso istante. Wittgenstein ci dice che qui la relazione dadefinire e` quella di esclusivita`, che supera, concettualmente, ma e` formalmen-te differente, da quella di contraddizione. Definita questa nuova prospettiva lospazio delle formule si puo` partizionare in nuovo modo quindi: la proposizionedi sopra e` realizzabile da una parte, sicche e` vera se entrambe le costituentilo sono, e` irrealizzabile dallaltra, proprio perche questassegnamento e` illeci-to. In 5.101 Ludovico ci propone una molto semplice notazione per le tabelledi verita` contraddittorie; ovviamente quelle desclusione avranno una colonnain meno: immaginiamo di prendere una contraddizione, essa e` falsa anche setutte le proposizioni sono vere in quanto contraddizione, ma con formule comequella di sopra non ha senso considerare il caso in cui tutte sono vere, sicche ce`esclusivita`. Nei Remarks L. ammette che una sintassi migliore e` necessaria.

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2 ab-funzioni (da Note sulla logica)

Un grande sogno: una notazione per scrivere in un unico modo proposizioniequivalenti. Mr. W. lamenta il fatto che si possano avere cose come A A.Ricordiamo per curiosita` che leliminazione della doppia negazione vale in logi-ca classica ma non in altre, come lintuizionistica. Ora quel che non va giu` alnostro e` che questo simbolismo classico, cioe` quello di Frege, permette formuledove la semantica dei simboli e` relativa, perde dimportanza giacche da` mododi costruire ben formate arbitrariamente diverse ma con lo stesso senso, dovesenso e` ovviamente da intendersi come comportamento, tabella di verita`. Quelche manca e` una proprieta` che, se condivisa da due formule allora si possa direche sono equivalenti. E questa e` la priorita` della Nuova logica di Witt, quellanuova roba logica dogni sorta cui parla a Russell. Il problema dellEquivalen-za e` percio` dato nei seguenti termini: definire la notazione ed una proceduratale per cui formule equivalenti abbiano assegnato un medesimo simbolo in unnumero finito di passi. E molto importante osservare che quando parliamo diformule tautologiche o contraddittorie in realta` i singoli assegnamenti proprionon importano: giacche sono tautologie e contraddizioni appunto comunque siasaranno sempre vere o false. Una notazione unificante assume valore anche inquesto senso. La risposta di W. e` la ab-notazione. Ora questa notazione inmodo chiaro egli stesso mai lha spiegata, la cosa gli risultava assai noiosa, indi-cibilmente, come diceva a Russell ancora. Questa notazione e` successivamenteriferita da Wittgenstein come VF-schema. La natura verofunzionale di questanotazione e` quindi gia` chiara, ma vediamo un esempio per capire un attimo diche si tratta. Prendiamo latomo p; intendendo a e b i due poli di verita`, inab-notazione essa e` ap b, il che ci dice che p puo` essere polarizzata a oppureb. La notazione simbolica si accompagna ad una grafica anchessa originale daW., con la quale e` chiara la natura di soddisfacibile.

Figura 1: ab-schema per un atomo

Lintera proposizione ha polarizzazione a se lunica sua componente assumevalore a, siamo ovviamente al caso base, e duale. Possiamo certo arricchirelespressione di sopra scrivendo aapb b, potete sbizzarrirvi a migliorareulteriormente la cosa, ma ci siamo capiti. Se prendiamo ora p e` lecito pensare diconsiderare p ed invertire la sua polarita`; W. scrive b a p b a intendendodire che se latomo e` polarizzato a la formula sara` polarizzata b e viceversa.Graficamente:

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Figura 2: Negazione

Se neghiamo unaltra volta otteniamo a b a p b a b, cioe`:

Figura 3: Doppia negazione, p; il grafo e` isomorfo a quello per p

Ora, intuitivamente, vediamo che i due grafi sono isomorfi, la notazione faemergere lequivalenza delle due formule. Sempre nelle Note Wittgenstein de-finisce, anche qui un poco vagamente, lessenza simbolica di due formule equi-valenti come fatto simbolizzante. Il fatto simbolizzante e` che i poli assoluti a eb appaiono in modo concorde rispetto al simbolo della proposizione: sia per pche per p il polo a a sinistra, b a destra. Vediamo ora a b:

Figura 4: a b

E chiaro come diversi ab-grafi si possano comporre a definire il simbolo diuna formula composta iterando il procedimento. Anche se non molto chiara-

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mente ed introducendo qualcosa che e` sostanzialmente come le tabelle di verita`,Wittgenstein ha in parte risposto a questa sua esigenza di notazione. Ce` dadire che le notazioni sono sempre state protagoniste nei suoi discorsi, vedi 4.011.

3 Interpretazione del 3.333

Con cio` si elimina il paradosso di Russell. W. non rifiuta la ricorsione o lacomposizione, semplicemente proposizioni che ne contengano altre, sempre dallostesso insieme. E come dice nella precedente, piu` in generale nessuna proposizio-ne puo` enunciare qualcosa sopra se stessa, ecco tutta la teoria dei tipi, intendendoche qualsiasi teoria degli insiemi deve essere libere da vizi del genere. Lesempioper eccellenza e` appunto la teoria degli insiemi moderna, ZFC, che supera il pa-radosso di Russell. Quello su cui riflette in questi passi il nostro e` alla fine sempreun paradosso di autoreferenza, concettualmente non lontano da quello greco delmentitore. La scrittura F (F (u)), dove F si intenda come predicato, cela sottolo stesso simbolo F , impropriamente, due differenti forme, (fx) e ((fx)), eproprio per questo debbono avere significati diversi. La contraddizione e` secondoil nostro ancor piu` evidente se si pone: : F (u) u = Fu.

4 Su quel che non si puo` dire...

Ok non stiamo parlando di quella famosa frase, ma del concetto di elementiindefinibili per mr. W. in logica. Lesempio classico sono i simboli per le variabiliproposizionali. Essi non interessano di per se` alla manifestazione logica essendoche non si possono definire attraverso altre proposizioni, sono atomi. NelleNote, egli introduce due sorte di indefinibili: nomi e forme. Questa distinzioneviene poi abbandonata nel Tractatus (vedi 3.202 dove si parla semplicementedi nomi). Con i primi in origine Ludovichello intendeva i simboli individuali,mentre con forma, per un predicato del tipo F (x, y) per esempio, la conoscenzache tale scrittura discrimina il comportamento di x rispetto ad y per quantoriguarda la relazione rappresentata dal nome F .

5 Carichi sospesi

Salire la scala e buttarla: W. spiega il suo pensiero con proposizioni insensate,cioe` ne` logiche ne` fattuali, il linguaggio naturale, fa cioe` quel che si dice filosofia.E la 6.54, che e` seguita dalla 7, la famosa, quel settimo giorno in cui L.W. siriposa, e dice: Su cio`, di cui non si puo` parlare, si deve tacere.

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Dalla 4.211 con furoreab-funzioni (da Note sulla logica)Interpretazione del 3.333Su quel che non si pu dire...Carichi sospesi