FACOLT DI SCIENZE STATISTICHECORSO DI LAUREA IN SCIENZE STATISTICHE, DEMOGRAFICHE E SOCIALITESI DI LAUREAilRelatore CandidatoChiar.mo Prof. Giorgio DallAglioRiccardo Lampariellomatricola 04031320Anno Accademico 1998/9927 ottobre 1999Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloI Descrizione del gioco.....................................................................................................................................2II Vincita media per un singolo concorso.........................................................................................................3III Estrazione combinazione vincente: sestine incomplete e assenza del numero jolly...................................4IV Lestrazione dei numeri: probabilit esatte e probabilit approssimate......................................................5V Probabilit di realizzare il 5+1 quando nessuno fa il 6.................................................................................7VI Estrazioni difettose......................................................................................................................................8VI.1Il gioco dellEnalotto ..........................................................................................................................8VI.2 Numeri pi frequenti............................................................................................................................9VI.3 Ipotesi di distribuzione non uniforme.................................................................................................11VII Vincitori attesi e vincitori osservati.........................................................................................................12VII.1 Modelli di scelta................................................................................................................................15VII.2 Modelli di scelta allestero................................................................................................................15VII.3 Combinazioni preferite......................................................................................................................16VIII Conclusioni.............................................................................................................................................17IX APPENDICI..............................................................................................................................................18 APPENDICE A : Lestrazione in blocco al Super Enalotto..........................................................................19 APPENDICE B: Distribuzione di probabilit...............................................................................................22 Distribuzione di probabilit.......................................................................................................................24 APPENDICE C: Adozione di una nuova distribuzione................................................................................31Calcolo della probabilit di uscita di una sestina al Super Enalotto.....................................................31 Valutazione probabilistica per la nuova distribuzione...........................................................................34 APPENDICE D: il SUPER ENALOTTO e gli INTERNATIONAL LOTTO GAMES...............................36 The UK National Lottery...........................................................................................................................37Resto dEuropa.........................................................................................................................................43 USA...........................................................................................................................................................44 gli Internet Lotto games".........................................................................................................................49Keywords: Jolly il numero determinato dalla ruota di VeneziaCombinazione estratta (o anche combinazione vincente) linsieme dei sette numeri selezionati dalle sette ruote del LottoSestina estratta la combinazione estratta escluso il jollyJackpot linsieme dei montepremi precedenti non riscossiLotto games il nome inglese generico per descrivere giochi simili al Super EnalottoIntroduzioneIl contenutodi questolavorotrattointegralmente dallatesi di RiccardoLamparielloILSUPERENALOTTO presentata in data 27 ottobre del1999 presso lUniversit agli studidi Roma La Sapienza nella Facolt diScienze Statistiche. Largomento riportato secondo due livelli di lettura. Un primo discorsivo che occupa interamente la parte principale del lavoro ed un secondo tecnico riportato nelle appendici- che spiega in modo esaustivo quanto detto nella parte centrale. I Descrizione del gioco Il gioco del Super Enalotto consiste nel pronosticare correttamente una combinazione di sei 6 numeri pi unodettojolly: intotalesettenumeri estratti casualmentesu90. Vienepremiatochi indovinalintera sestina (6) o cinque numeri della sestina ed il jolly (5+1), o 5 o 4 o 3 numeri della sestina. E possibile solo Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 2Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lamparielloun tipo di giocata: una combinazione di sei numeri al costo fisso di 800 lire. Si partecipa contemporaneamente a tutte e cinque le categorie di vincita.Il Super Enalotto un gioco diverso dal tradizionale Lotto, da cui per strettamente dipendente, dove lo scommettitore stabiliscequanti numeri giocare, quanto scommettere e su qualepunteggio(ambo,terno, ecc.).Il montepremi totalespartitoinmodougualefralecinquecategoriedi vincitaeinfinedivisofrai vincitori della stessa categoria.Se nessuno realizza il 6 e/o il 5+1, allora la quota della categoria non vinta accantonata per il concorso successivoneljackpotper lastessacategoria. Il montepremi della categoria viene accumulatoconil montepremi della stessa categoria nel concorso successivo, e cos fino al concorso nel quale realizzata la vincita con punti 6 e/o con punti 5 pi il numero complementare1.Nel vasto scenario internazionale, il Super Enalotto si caratterizza per i seguenti punti:- la bassissima probabilit di realizzare almeno una vincita: 1 su 318 contro una media di 1 su 40.- la forte iniquit ovvero solo il 34.6% dellincasso riservato al montepremi. Ci corrisponde alla vincita media del gioco.- la dipendenza da un altro gioco dato che il Super Enalotto non possiede una propria ruota per lestrazione ma usufruisce dellestrazione dalle ruote del gioco del Lotto.Lavincita del singologiocatore ovviamente unavariabile aleatoria. Questa dipende dal numerodi giocatori partecipanti, inquantoformanoil montepremi, dai vecchi partecipanti, inquantoformanoi jackpot, e dal numero totale di vincitori,in quanto si dividono i premi.E quindi possibile classificare il Super Enalotto come un Gioco con probabilit oggettiva con vincita aleatoria dipendente dalla partecipazione dei giocatori al concorso in atto e a quelli passati. II Vincita media per un singolo concorso La vincita media generale fissa e corrisponde alla quota non trattenuta dal banco, vale a dire 0.346 lire per ogni lira giocata.La vincita media per un singolo concorso la calcoliamo invece come il rapporto fra il totaledei premi distribuiti eil totalescommessoinquel determinatoconcorsoedil suovalorenon costante.Questo varia poich non sempre il totale dei premi viene distribuito ma in caso di non vincita riversato nel jackpot. Il sistema dei jackpot non equo. Chi gioca regolarmente ma non lo fa in caso di accumuli dei jackpot perde dei dirittifinanziari e comunque, chi si limita a giocare solamente in presenza di jackpot elevati guadagna dei diritti (vincita media pi elevata) a discapito deigiocatori che,nei concorsi precedenti, hanno permesso il gonfiarsi dei premi. Pi equo 1 Fino allestrazione del 29 settembre 99 non esistevano limiti allaccumulo del jackpot. Successivamente stata introdotta una regola restrittiva a tale accumulo che, per, ha effetto solo quando i jackpot del 6 e del 5+1 raggiungono la quota, rispettivamente, di 50 e 25 miliardi. Superati tali valori, in caso di mancata vincita, il montepremi della categoria n questione non pi accumulato per intero nel jackpot, bens solo una sua parte: il 20%. Il rimanente ridistribuito nelle categorie minori. Il freno al jackpot presente anche in molti paesi allestero con modalit diverse.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 3Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariellosarebbe distribuire sempre il montepremi non riscosso fra i vincitori di altre categorie, ma ci renderebbe il gioco meno attraente.Teoricamente con laccumulo del jackpot si potrebbe arrivare ad un gioco favorevole, ossia in cui la vincita media superiore a 1, ma questo finora non mai accaduto.La figura 1mette in luce landamento della vincita media nei primi mesi del 1999. Figura 1: trend del rapporto fra la quantit di premi distribuiti (jackpots compresi) e lammontare dellincasso totale nei concorsi fra il 13/1/99 e 14/4/990,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0I valori massimi raggiunti non hanno mai superato lunit.Se tale valore fosse uguale a 1, lo svantaggio dovuto al banco verrebbe annullato ed il gioco diverrebbe equo;se fosse superiore a 1il gioco sarebbe addirittura favorevole per il giocatore e converrebbe partecipare.Unipotetica semplice strategia vincente consistere nel partecipare al gioco solo quando il rapporto fra il valore dei premi distribuiti e totale giocato uguale o superiore ad 1. La difficolt di siffatta strategia di non sapere con assoluta certezza quando la vincita media del concorso superer lunit.Infatti quando i jackpotcrescono,come conseguenza,aumenta lattrattiva al gioco e quindi il volume delle scommesse e quando cresce il numero delle scommesse cresce anche lammontare trattenuto e quindi lo svantaggio. Lo scommettitore pu quindi solamente stimare lafflusso al gioco e dunque decidere se partecipare.Difatti, lelevata quota trattenuta dal banco rende limplementazione di questa strategia impraticabile per il Super Enalotto. Al contrario, esistono dei Lotto games stranieri e in particolare alcuni gestiti solo su Internet, dove per il montepremi riservato oltre il 70% dellintero incasso e ci rende pi frequenti le occasioni in cui il gioco sia equo se non favorevole. III Estrazione combinazione vincente: sestine incomplete e assenza del numero jolly Il Super Enalotto genera la propria combinazione estratta dai risultati di sette ruote del Lotto: Bari, Firenze, Milano, Napoli, Palermo, Roma e Venezia. La ruota di Venezia individua il numero jolly. Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 4Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloIn ordine alfabetico ciascuna ruota apporta un numero allacombinazione estrattadel Super Enalotto:in generale il primo estratto Se il primo estratto di una ruota coincide con uno dei numeri gi selezionati dalle ruoteinordinealfabeticoprecedenti alloravienesceltoil secondoinordinedestrazione; selastessa situazione si presentaancheper il secondouscitoalloravieneselezionatoil terzo, ecos via. Questa procedurasi applicaanchenei confronti del numerojollychequindi semprediversodagli elementi componenti la sestina estratta.Poichogni ruotadluogoasoli cinquenumeri mentrelacombinazione estrattanerichiedesettenon uguali, sipuverificarecheunoe/odueelementi dellacombinazione(il sestoeil settimo) nonsiano determinabili.Qualora non sia possibile selezionare un numero dalla ruota di Roma, la combinazione estratta composta da soli cinque elementi; in questo caso la realizzazione del 6 impossibile e quella dei punteggi minori pi difficile. Il montepremi della I categoria viene automaticamente accumulatoneljackpotdel concorso successivo. Qualora manchi il contributo della ruota di Venezia, la combinazione estratta sarebbe priva del numero jolly: in questo caso il 5+1 non sarebbe realizzabile.Lecombinazioni estrattepossibili sonodi quattrotipi elatabellasottostante mostraleprobabilit di ognuna. Tab 1: Tipi di estrazione possibili e relative probabilit.evento valoreprob.tcasi favorevol i su possibi l isestina completa e con jolly 0.999999841 1: 1,000000159sestina incompleta e con jolly 2.2753510-81: 43.949.269sestina completa e senza jolly 1.3652110-71: 7.324.878sestina incompleta e senza jolly 5.1772210-161:1.931.538 miliardiLa probabilit che lacombinazione estratta(6 numeri + jolly) non sia completa per mancanza del sesto elemento e/o del jolly 710 46 0 ..IV Lestrazione dei numeri: probabilit esatte e probabilit approssimate I Lotto games stranieri estraggono, da una stessa ruota, tutti i numeri per la combinazione vincente uno dopo laltro senza ripetizione. Una procedura simile per definizione unestrazione in blocco e la sua distribuzione di probabilit la distribuzione ipergeometrica. Segue quindi che la probabilit di realizzare Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 5Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lamparielloun punteggio x in un Lotto game (indicata con px) quando si scelgono k numeri su un totale di N possibili uguale a

,_

,_

,_

6Nx 6k Nxkpx.Al contrario, lestrazione del Super Enalottoavviene conil contributodi 7ruote diverse; assomiglia allestrazioneinbloccomanedifferisce, comeappenavisto, inquantosi potrebbenonavereil sesto numeroe/oil numerojolly. Siccome laprobabilit checiaccadamoltobassa, dal puntodi vista numericoladistribuzione di probabilit del Super Enalottocoincide alla distribuzione ipergeometrica mentre dal punto di vista teorico sono ben diverse.Se dalla ruota di Roma fossero estratti almeno 6 numeri, si dimostra (vedi appendice B) che lestrazione di sei numeri da sei ruote diverse equivale esattamente allestrazione di 6 numeri da ununica urna. Poich la sestina estratta non completa con probabilit 1, la vera distribuzione di probabilit del Super Enalotto non ha la distribuzione ipergeometrica bench se ne avvicini molto. Distingueremo quindi le probabilit esatte, che sono quelle proprie del Super Enalotto, dalleprobabilit approssimateche derivano dallapprossimazione del gioco ad un'estrazione in blocco.Latabella2riportai valori delleprobabilitesatte(vedi appendiceBper leformule) di ottenereun punteggio xcon una sestina qualunque. I valori delleprobabilit approssimatenon sono riportati poich coincidono con quelli esatti entro le cifre considerate. Le differenze numeriche fra i valori delle probabilit esatte e quelle approssimate per ogni punteggio hanno tutte valore negativo ad eccezione per il punteggio 0 che pi facile da ottenere nel caso esatto. Piuttosto sono mostrati i valori sia esatti sia approssimati dei rapporti fra casi favorevoli e possibili. Tabella 2: probabilit esatta di totalizzare un punteggio x con una sestina. Valori esatti e approssimati (allestrazione in blocco) del rapporto fra casi favorevoli su casi possibili. puntiprobabilit esattacasi favorevoli su casi possibilivalori esatti valori approssimati6 1,60613 10-91: 622.614.644,2 1: 622.614.630,05+1 9,63678 10-91: 103.769.121,1 1: 103.769.105,05 7,99853 10-71: 1.250.230,2 1: 1.250.230,24 8,39845 10-51: 11.907,0 1: 11.907,03 0,00306077 1: 326,7 1: 326,72 0,04648544 1: 21,5 1: 21,51 0,29750681 1: 3,4 1: 3,40 0,65286218 1: 1,5 1: 1,5Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 6Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloLa probabilit di vincere almeno un premio una su 317.9.V Probabilit di realizzare il 5+1quando nessuno fa il 6 Allindomani di una vincita di prima categoria e nessuna di seconda, il montepremi del 5+1 sar pi elevato di quello del 6 per effetto del meccanismo del jackpot. La presenza di due jackpots indipendenti porterebbe dunque ad un paradosso: chi realizza il 5+1 vince pi di chi fa il 6. Per evitare ci il regolamento prevede cheinnessuncasolavincitadi unadeterminata categoriapossaessereminore di unavincitadi una categoria pi facile da pronosticare e stabilisce che i montepremi delle categorie in questione devono essere fusi e distribuiti fra il totale dei vincitori delle due categorie inferiore2. Quindi seinunconcorsoil montepremi del 5+1maggioredi quellodel 6, chi realizzail 5+1deve auspicarsi che nessuno contemporaneamente faccia il 6 in quanto cos potrebbe tenersi il suo montepremi pi cospicuo.Questo caso preso in considerazione qui di seguito. Infatti possibile ottimizzare la scelta della propria sestina conoscendo le preferenze degli scommettitori. Utilizzando la terminologia adottata dal prof. Giorgio Letta (1997), definiamo una sestina come-vergine se alla chiusura del concorso non stata giocata da nessuno-contigua ad una sestina se ha in comune con questa esattamente 5 elementi.Inoltre, definiamo i seguenti eventi R- la combinazione estratta formata da una sestina estratta completaV- la combinazione estratta possiede il numero jolly.I simboli R e V sono notazioni mnemoniche: derivano da Roma e Venezia. Dipende, infatti, dalle ruote di Roma e Venezia la completezza della sestina estratta e la presenza del jolly.Sia S la nostra sestina giocata ed Hi una generica sestina vergine e contigua a S. Affinch S realizzi il 5+1 e Hi il 6 si devono verificare i seguenti due eventi:1) Hi deve coincidere con la sestina estratta C e in tal caso nessuno realizzer il 6 dato che Hi vergine2) il sesto elemento di S, non in comune con Hi (quindi con C), deve coincidere con il numero jolly al fine di realizzare il 5+1 con S.2Una situazione del genere, in effetti, capita spesso sebbene non per lo stesso concorso: cio accade che il premio per un 5+1 in un concorso pu essere pi cospicuo del premio per un 6 in un altro concorso. Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 7Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloIl primo evento ha probabilit p6 (realizzare il 6 con una sestina qualsiasi) mentre il secondo ha probabilit 841) R | V ( P in quanto il sesto numero diSha una possibilit su 84 di coincidere con il numero jolly, condizionata alluscita della sestina estratta completa.La probabilit, denotata con , che la sestina giocata S totalizzi 5+1 punti e una sestina vergine e contigua a S, cio Hi, totalizzi 6 .841 1R) | P(V P(R) 6 , 90 CLa realizzazione del5+1, con la sestina S, senza vincitori di I categoria possibile anche in altri modi. Tutte le sestine che sono vergini e contemporaneamente contigue a S (cio che permettono a S di realizzare il5+1) sono favorevoli allevento richiesto: ciascuna con la stessa probabilit . Se indichiamo con nil numero di queste sestine, la probabilit di realizzare il 5+1 quando nessuno fa il 6 diventa n.Un ultimo caso favorevole quando Cnon completa:in nessun modo pu essere realizzato il6ed quindi sufficiente che S totalizzi 5+1 punti.Indefinitivalaprobabilitcercatadatada6 , 90 6 , 901 ) R | P(V ) R P( 841 1R) | P(V P(R) nC C + (1). Si noti che n non un valore fisso ma variabile. Infatti le sestine estratte vergini e contigue a S possono essere nessuna oppure fino ad un massimo nmax. Per individuarenmaxdobbiamo ritornare nellottica delle settine. Le settine utili alla realizzazione del 5+1 con S sono C6,584; se sono tutte vergini, allora nmax=504. Nel caso nmax=n il primo addendo della (1) alla probabilit di realizzare il 5+1 quando C completa. Al fine di massimizzare il valore di n, si deve quindi scegliere una sestina impopolare. Poich ogni sestina ha la stessa probabilit duscita, scegliendo una sestina del tipo {61, 62, 63, 64, 65, 66} che da molti considerata meno probabile, in caso di realizzazione del5+1si avrebbero maggiori possibilit di riscuotere lintero jackpot senza che questultimo venga fuso con quello del 6.VI Estrazioni difettose VI.1Il gioco dellEnalotto Il meccanismo di selezione di pescaggio del Lotto difettoso e pertanto lestrazione dei numeri non esattamente casuale. In questo paragrafo mostreremo il perch.Analizziamo come avviene unestrazione del Lotto per una qualsiasi ruota.La ruota una gabbia metallica ellissoidale inclinata. I numeri sono stampati su fogli di carta e inseriti in palline metalliche. Limbussolamento avviene in ordine crescente cos che i numeri alti entrano per ultimo. Una persona gira la ruota con tutte le palline per tre volte in avanti e tre volte indietro,poi un bambino bendato ne preleva una che generalmente proviene da quelle che si trovano in superficie. La pallina viene Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 8Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariellosubito identificata e messa da parte. Si effettuano ulteriori rotazioni e si preleva una nuova pallina e cos fino ad avere 5 palline estratte.Il meccanismo incriminato limbussolamento fatto in maniera ordinata . Il rimescolamento che precede la prima estrazione non sufficiente. Accade quindi che le ultime palline inserite quelle con il numero pi alto- rimangono in superficie, ossia dove di solito il bambino bendato pesca.Lidea di analizzare le frequenze passate dei numeri del Lotto ci stata suggerita da una diceria diffusa fra gli scommettitori del vecchio gioco dellEnalotto3. I giocatori dellEnalotto ritenevano, senza saperne spiegare il motivo, che il segno 2 appariva nella colonna vincente in media pi volte del segno 1 e del segno x, e pertanto suggerivano di puntare soprattutto sul 2.Questa diceria ha dato il via, da parte nostra, ad uninvestigazione rigorosa sui risultati passati dellEnalotto. Il lasso di tempo considerato compreso fra il primo gennaio 1988 e il 15 maggio 1999, per un totale di 708 estrazioni. Poich il gioco dellEnalotto cessato prima di maggio 99, gli ultimi risultati sono ricavati appositamente per questo studio.Nellanalisi non sono presi inconsiderazione isecondi estrattidalle ruote di Roma e Napoli, che componevanolacolonnavincentedellEnalotto, inquantolipotesi di uninsufficienterimescolamento riguardaprincipalmenteinumeri cheappaionocomeprimi estratti. Si ottienechesuuntotaledi7080 segni, 32.8% sono segni 1, 31.4% segni x e 35.7% segni 2.Il test del Chi-quadro, cheverificalipotesi nulladi distribuzione uniforme, effettuatosui tresegni altamente significativo con un livello di fiducia pari a 4.98 10-5. statoeseguitoancheuntest sullaproporzione del segno2. Il test usaton) p 1 ( pp p2 22 2 dove 31p2 , 70802325p 2e n=7080. risulta pari a 7.97 10-6.Per il vecchio Enalotto dunque era effettivamente consigliabile giocare sul 2come gli appassionati scommettitori del gioco suggerivano.VI.2 Numeri pi frequentiSi osservi ora la distribuzione degli estratti ripartiti in nove decine 1-10, 11-20, , 81-90. La frequenza dei primi estratti riportata nella tabella 3 per il periodo 1/1/88 15/5/99. 3 Il gioco dellEnalotto ormai scomparso con la nascita del Super Enalotto. Esso era abbinato ai numeri primi estratti di ogni ruota e ai secondi estrattidella ruota di Roma e di Napoli: in totale 12 numeri. Ognuno di questi dava origine adun segno: se il numero era compreso nellintervallo {1, , 30} si attribuiva il segno 1, se in {31, , 60} il segno x e altrimenti il segno 2. La sequenza dei segni 1, x,2posti in ordine alfabetico rispetto alla ruota di provenienza pi i due segni dei secondi estratti di Roma e di Napoli originava la colonna dei segni vincente.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 9Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloTabella 3: frequenza delle 9 decine nelleestrazioni dei numeriprimi estrattiperciascuna ruota nelperiodo 1/1/88 15/5/99. Totale primi estratti = 7.080, frequenza prevista =787 per decina.1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90738 805 789 752 723 748 795 824 906Grafico 1: discostamento delle frequenze relative osservate dal valore atteso di 1 0..frequenze relativedistanza dal valore atteso0,10,12frequenze 0,1042 0,1137 0,1114 0,1062 0,1021 0,1057 0,1123 0,1164 0,128001-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90Si osservi che:- La decina 81-90 ha una frequenza relativa elevata rispetto alle attese. - Luscita dei numeri centrali e di quelli della prima decina sembra svantaggiata. - I numeri delle decine confinanti a quella centrale41-50diventano sempre pi frequenti allontanandosi da questa. Il test del Chi-quadro sulle frequenze delle nove decine altamente significativo con unlivellodi significativit =9.36 10-5. Nel grafico 1 sono mostrate le distanze delle frequenze relative osservate dal valore atteso di1 091. . Escludendo dallo stesso test la decina 81-90 (per un totale di 7 gradi di libert) si perviene ad un livello di fiducia 1- = 0.894. Questo mette in luce luniformit delle restanti otto decine.Al fine di verificare se alcuni numeri o decine escono con maggiore frequenza abbiamo eseguito il test sulla proporzione per ciascuna delle nove decine e la tabella 4 riporta i livelli di significativit trovati.Tabella 4: livelli di significativit per i test sulla proporzione di ciascuna decina. n=7080. p=1/9. Livelli di significativit ottenuti.1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-900.066 0.488 0.930 0.190 0.016 0.144 0.753 0.158 6.40 10-6Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 10Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloIl test sulla decina81-90 fortemente significativo,quello sulla decina41-50un po meno.Sembra, dunque, che solo la decina 81-90 abbia effettivamente una probabilit duscita maggiore di quella attesa e la decina 41-50minore. Nella tabella che segue viene riportato la frequenza dei numeri raggruppati per decina- apparsi in 7.080 estrazioni e la loro frequenza relativa secondo lordine destrazione.Il totale dei numeri considerati di 35.400. Il valore assoluto atteso da ogni decina di 787 apparizioni.Tabella 5: conteggio apparizioni di ogni decina per ciascun ordine di estrazione nel lasso di 7.080 concorsi . Valore atteso 787 per un ordine qualsiasi e 3933 per il totale. In parentesi, sono riportate le frequenze relative (valore atteso =1 0.).81-90 71-80 61-70 51-60 41-50 31-40 21-30 11-20 01-10primi 906 824 795 748 723 752 789 805 738(0,128) (0,116) (0,112) (0,106) (0,102) (0,106) (0,111) (0,114) (0,104)secondi 854 822 804 803 773 777 724 781 742(0,121) (0,116) (0,114) (0,113) (0,109) (0,110) (0,102) (0,110) (0,105)terzi 848 811 826 764 751 738 772 808 762(0,120) (0,115) (0,117) (0,108) (0,106) (0,104) (0,109) (0,114) (0,108)quarti 824 853 741 767 726 798 789 768 814(0,116) (0,120) (0,105) (0,108) (0,103) (0,113) (0,111) (0,108) (0,115)quinti 826 790 762 764 814 831 781 741 771(0,117) (0,112) (0,108) (0,108) (0,115) (0,117) (0,110) (0,105) (0,109)tutti 4258 4100 3928 3846 3787 3896 3855 3903 3827(0,120) (0,116) (0,111) (0,109) (0,107) (0,110) (0,109) (0,110) (0,108)Einteressantenotarecheledecine81-90e71-80hannounafrequenzadi apparizione, perciascun ordine di estrazione,sempre superiore al valore atteso.Nel caso opposto si trova la decina41-50i cui elementi hanno una frequenza molto bassa per i primi 4 ordini.Allalucedei dati analizzati (gennaio1988-maggio1999) lestrazione del Lottoappareeffettivamente viziata.VI.3 Ipotesi di distribuzione non uniformeTenendo conto delle osservazioni finora riportate, si deciso di fare delle ipotesi per una nuova distribuzione, non pi uniforme ma asimmetrica, per i numeriprimi estratti al Lotto e di studiare come la distribuzione di probabilit al gioco del Super Enalotto ne viene modificata. Si scomponga lo spazio degli elementi in due sottoinsiemi: = {81, 82, 83, , 89, 90} e = {1, 2, , 79, 80}esi attribuiscaai duesottoinsiemi lemassedi probabilitottenute dallalorofrequenzaosservatanel periodo considerato,vale a dire 0.128 a e 0.872 a . Ne deriva che la probabilit per un numero xdi Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 11Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lamparielloeseere estratto come primo da una qualsiasi ruota Z non uniforme ma assume i valori ' x per 0.0109x per 0.0128x) P(Y1 , Z(2)Per le estrazioni degli altri quattro numeri si usi la distribuzione uniforme e si ipotizzi che la combinazione estratta abbia probabilit 1di essere completa. Si adotti quindi la2come lanuova distribuzione di probabilit dei numeri al gioco del Lotto.A questo punto,premesse le ipotesi appena citate,si deriva la nuova distribuzione al Super Enalotto (vedi appendice D).La tabella 6 riporta i valori delle probabilit di realizzare un punteggio x con la sestina {81, 82, 83, 84, 85,86}4nel casoladistribuzione sia uniforme oasimmetrica. Se la distribuzione asimettrica, la probabilit di almeno una vincita con la sestina {81,82,83,84,85,86}diventa una su 214 rispetto a una su 318 precedente, con un sensibile miglioramento.Tabella 6: distribuzione di probabilit di uscita della sestina {81,82,83,84,85,86} secondo lipotesi di estrazione uniforme o non uniforme. Nellultima colonna riportato il rapporto fra le due probabilit.puntidistribuzione non uniformedistribuzione uniformexxp' p(*)6 3,7510-91,6010-92.345+1 2,2210-89,6310-92.315 1,6210-67,9910-72.034 1,4410-48,3910-51.723 4,5310-33,0610-31.48tot 4,6810-33,1410-31.49(*) p rappresenta la probabilit della distribuzione asimmetrica 2 e p con la distribuzione uniformeVII Vincitori attesi e vincitori osservati Fissatoil numerodi schedine giocate, si puprevedere, concerte ipotesi, il numerodi vincitori per ciascuna categoria. Si ipotizzi, per il momento,che ogni schedina sia giocata in modo indipendente dalle altre ossia che la scelta delle sestine da parte dei giocatori avvenga in modo del tutto casuale. Sia Xi la v.a. cheindicailnumerodiscommettitori cherealizzanopuntii. Laprobabilitchecisianoesattamentek vincitori con punti i data (ribadendo lipotesi di indipendenza) da k - niki iq pkn) k X ( P

,_

dove n il numero totale di schedine giocate e pi la probabilit di totalizzare i punti con una sestina. La probabilit 4 Le considerazioni per {81, 82, 83, 84, 85, 86} valgono per qualsiasi combinazioni di 6 numeri appartenenti a .Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 12Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariellodiavereuncertonumerodivincitori datadalladistribuzionediBernoulli. Sianpostougualea100 milioni, la probabilit P(X6 0)= 0.??? e P(X6>4)=0.00 .Per le categorie minori (III, IV e V) a causa degli elevati valori di n, molti elaboratori elettronici non sono in grado di calcolare le combinazioni Cn,k ed necessaria unapprossimazione della distribuzione binomiale B(n, pi) alla normale N(npi , nqipi)5. Fissato un livello di fiducia 1-, sotto lipotesi di indipendenza nelle scelte, si pu trovare un intervallo di confidenza [k1,k2] in cui atteso il numero di vincitori per ogni categoria, cio 1 ) k X k ( P2 i 1. Connipotizzatouguale a100milioni abbiamocalcolatogli intervalli di confidenza (99.9%) per le categorie minori, e confrontato questi con i concorsi del 9/01/99 e del 20/02/99 quando furono giocate circa 100 milioni di combinazioni: per lesattezza 100.335.545 nel il primo e 100.060.067 nel secondo. La tabella 7 riporta il confronto.Tabella7: numerodi vincitori osservati indueconcorsi incui si ebberocirca100ml di schedine giocate. Confronto con gliintervalli di confidenza.6 5+1 5 4 3intervallo di confidenza per 100.000.000 giocate(=0.001)0 - 2 0 - 4 37 -1237.954-8.843303.398-308.756vincitori del 9 gen100.335.545 giocate0 2 79 10.170 357.825vincitori del 20 feb100.060.067 giocate0 0 61 5.831 224.726I vincitori osservati per il4e il3cadono ben al di fuori degli intervalli previsti: il 9 gennaio i vincitori sono molto pi numerosi, il 20 febbraio molto meno. Tale risultato pu essere spiegato solo dal comportamento non casuale degli scommettitori. Lipotesi di scelta indipendente non valida. Di conseguenza il tipo disestina estrattainfluisce profondamente sullammontare dei vincitori e le ripercussionisul valore dei premi sono visibili. I singoli numeri, cos come combinazionifra questi, non sono giocati in modo casuale ed esistono fra gli scommettitori dei numeri e delle sestine pi popolari. Unaulteriorefontedi noncasualitdatadallestesapopolaritdellegiocatedoveunoopinumeri vengonotenuti fissi ealtri fatti ruotare cos dagenerare combinazioni chehannodiversi elementi in comune.Se la combinazione estratta composta da numeri popolari,come nel concorso del 9 gennaio 1999, le realizzazionidei punteggi minorisaranno superioria qualsiasi attesa.Si visto che a parit di giocatori partecipanti, il numero di vincitori dipende esclusivamente dal tipo di combinazioni vincenti. Ad esempio, negli otto concorsi dove lafflusso al gioco fu compreso fra 27.2 e 27.9 milioni di giocate, la vincita del 5 vari fra 81 e 189 milioni, quella del 4 fra 520 mila e 1.3 milioni, quella del 3 fra 15 e 33 mila lire.5Tale approssimazione risulta idonea quando soddisfatto il criterio euristico np>15. Qui il criterio pienamente soddisfatto in considerazione dellelevata affluenza al gioco. Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 13Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloPer i punteggi maggiori, questoaccadeconminoreevidenzainquantolapossibilitfracui scegliere combinazioni di 6elementi assai piampia equindi le preferenze si sparpagliano inmodopi omogeneo rendendo la scelta pi casuale. Purtroppo non si hanno le distribuzioni esatte sulle preferenze degli scommettitori del Super Enalotto, ma alcune analisi statistico descrittive sul Super Enalotto e studi condotti allestero su giochi simili (in diversi paesi ledistribuzioni esatte sonoaccessibili) confermanolanoncasualit dellasceltaetraccianodei modelli di scelta.Relativamente al periodo fra il 9 settembre 1998, entrata in vigore del nuovo regolamento,e il 14 aprile 1999 stata eseguita unanalisi descrittiva del gioco dalla quale si evidenzia che- la media delle colonne giocate di 93 milioni.- il massimo di colonne giocate si ebbe in occasione del jackpot di 86 miliardi il 6 febbraio 1999. In taledata si giunse ad un totale di 150 miliardi in palio per un solo concorso.- le quote del 3, del 4 e del 5 sono soggette a consistenti variazioni lungo il tempo. La causa di questa intensa variabilit non dovuta, alla variabilit dellafflusso di gioco, n dal giorno della settimana in cui si giocato, n dal valore deljackpotoritardo. Le quote delle categorie minori nonsono assolutamente influenzate da fattori esterni, ma la variabilit dipende dalle scelte dei giocatori che si orientano verso certe combinazioni e certi numeri rispetto ad altri. Quando la combinazione estratta si compone di numeri o combinazioni pi popolari i vincitori a parit di giocatori sono pi numerosi e dunque le vincite pi basse.- il ritardo medio del 6 di 8.0 concorsi.La matrice di correlazione mostra che- lafflusso delle giocate fortemente correlato con il valore del jackpot-esisteunaleggera, nonsignificativa, correlazionefrailnumerodicolonnegiocateeilgiornodella settimana. Ci accade poich il mercoled in media lafflusso minore.-Le quote del3, del4e del5sono incorrelate con il numero delle colonne giocate e con il valore del jackpot del 6. - Le quote del 3, del 4 e del 5 sono tra loro positivamente correlate. Se la scelta della sestina fosse fatta in modo del tutto indipendente e casuale, il numero dei vincitori attesi (da cui dipendono i valori dei premi) sarebbeproporzionaleallafflussodigioco(dacuidipendeilmontepremi)ealloraivalori deipremi rimarrebbero pressoch invariati.Le osservazioni,invece,mostrano che c una consistente variazione delle quote dei premi minori e una significativa correlazione fra le quote dei premi minori.Ci sono stati 8 concorsi in cui lafflusso fu pressoch costante e compreso fra 27.2 e 27.9 milioni di giocate. In questi otto concorsi si nota una forte correlazione fra i vincitori delle tre categorie minori.Lindice di correlazione fra i vincitori del 3 e del 4 uguale a 0.969, fra i vincitori del 5 e del 4 0.375 e fra il 5 e il 3 0.305.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 14Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloPoich una combinazione giocata non pu vincere pi di un premio, in caso di uniformit nella scelta delle sestineediafflussocostantecisiaspettachelacorrelazionebi-variatafrailnumerodivincitori nelle diverse categorie sia circa zero o leggermente negativa.Infatti se ci fossero pi realizzatoridel 3 allora menocombinazioni sarebberolasciate disponibili per realizzare unaltropunteggio. Di nuovoemerge limportanza del tipo di combinazione vincente nel determinare la vincita. Da questa constatazione nasce lesigenza di individuare un modello che rappresenti la scelta dei giocatori.Infatti, evitando i numeri popolari, in teoria, si pu avere un ritorno medio maggiore.VII.1 Modelli di sceltaSi identifichino due nuove variabili M e N. Sia M la variabile che, in ogni concorso, assume valore uguale alla somma dei valori dei sei numeri estratti. Sia Nla variabile che conta quanti fra questi sono minori o uguali a 31. Lintroduzione di N suggerita dalla considerazione che molti scommettitori puntano su date del calendario. M {21, 22, , 525}N {0, 1, ,6}.Sebbene lasolaanalisi dellacorrelazione nonsiaingradodi individuare unmodellodi sceltadello scommettitore, risulta che seMcresce, cresce anche il valore dei premi delle categorie minori. Sembrerebbe che lo scommettitore preferisca mediamente i numeri bassi (precedentemente avevamo visto che proprio questi numeri hanno frequenze osservate minori della media). Questo ragionamento appare confermatodallasignificativacorrelazione negativafralequotedei premi minori elavariabileN. Al crescere di N diminuiscono i valori dei premi. Lintervallo {1, 2, , 31} rappresenta i giorni del mese e sembrerebbe che i giocatori scelgano in base a ricorrenze, compleanni, date importanti, ecc. .VII.2 Modelli di scelta allesteroNumeri preferitiPer ilLotto game canadese(6 su 49) le frequenze marginali dei numeri scelti dai giocatori sono riportate settimanalmente sul periodico Luck. Ad esempio,nella tabella 8, mostrata quella riferita allestrazione del 6 novembre 1995. Ricordiamo che la frequenza attesa di ogni numero del 2.04%.Tabella 8: distribuzione marginale dei numeri scelti dagli scommettitori canadesi per il concorso del 6 nov. 1995. Valore medio: 2.04%Frequenza (%) numeri ( in ordine crescente di popolarit )[1.74 , 1.79] 4039[1.82 , 1.89] 4841204538463042 [1.90 , 1.99] 372936444935471534[2.00 , 2.09] 221433322628 431024212162523[2.10 , 2.19] 18119613412178[2.22 , 2.28] 312759311 2.65 7Ziemba e altri(1986) analizzando nel tempo la popolarit dei 49 numeriin Canada,concludono che le frequenze riportate in tabella 8 rimangono pressoch costanti. In generale, i numeri pi popolari risultano 7, Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 15Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello11, 25 e 27 (Joe, 1987) mentre i meno graditi sono nellordine 40, 39, 20, 30, 41, 38, 42, 46, 29, 49, 48, 32,10, 47, 1, 37, 28, 34 e 45 (Ziemba e altri, 1986).Per la National Lottery britannica(6 su 49) non sono disponibili dati relativi alle frequenze marginali dei numeri scelti dai giocatori ma diversi studi sono stati condotti per stimare le probabilit di scelta di ciascun numero. Queste stime si basano sugli andamenti degli ammontari delle vincite secondo il tipo di combinazione estratta. I risultati di Cox evidenziano che anche in UK il numero pi giocato il 7.Laricorrenzadi dateimportanti, il ritardodi alcuni numeri, il verificarsi di avvenimenti eccezionali o persinorisultati sportivi possonoavereuninfluenzasignificativasullasceltadi determinati numeri ma circoscritta in un breve periodo. Questi eventi non sono quindi sufficienti a spiegare preferenze costanti nel tempo.Zaman e Marsaglia (1990) e Ziemba e altri (1986) sostengono che la predilezione degli scommettitori verso alcuni numeri attribuibile alla disposizione graficadei numeri allinterno della schedina su cui si gioca. Rileggendo i numeri meno popolari in Canada e in UK, si nota infatti che sono tutti disposti lungo i margini della schedina.VII.3 Combinazioni preferiteMoltointeressanti sonoancheidati relativi allasceltadideterminatecombinazioni rispettoadaltre. Il contributo pi interessante viene da Riedwyl (1990) il quale ebbe accesso a tutte le 16.862.596schedine giocate nella sesta settimana del 1990 allo Swiss lotto(6 su 45). Anche per la Svizzera,linterpretazione grafica per le preferenze dei giocatori risulta convincente. Le combinazioni possibili sono circa 8 milioni e quindi in media ogni sestina dovrebbe essere scelta circa due volte,invece i valori osservati sono ben lontani dal valore previsto.Duesestinecorrispondenti alladiagonaleprincipaleesecondariadellamatricedellaschedinaelvetica, furono giocate ognuna pi di 24.000 volte e ben 5.754 altre sestine furono scelte ciascuna da pi di 50 persone. In particolare ci sono 28 combinazioni giocate ciascuna oltre 2.500 volte. Alcune di queste sono:-le 3 sestine corrispondenti alle altre tre diagonali complete di sei elementi-le 7 sestine delle 7 righe complete-le 11 sestine corrispondenti agli 11 modi di prendere 6 numeri consecutivi in una colonna-le 3 combinazioni vincenti nei precedenti concorsi-la combinazione vincente dellultima estrazione al lotto franceseLecombinazioniestrattedellannoprecedenteeranotuttegiocatealmeno295volte, unacombinazione estratta4anni primafugiocataben59volteinquelconcorso. Lacombinazione vincentedelconcorso precedente, comegidetto, futralepigiocate: 12.008volte, mafuronomoltogiocateancheledue combinazioni derivanti da questa aggiungendo e sottraendo ununit ai suoi elementi. Queste furono scelte rispettivamente 2.342 e 1.623 volte.RitornandoalLottogamecanadese, Haigh(1997) riportacheci sonostatenumeroseestrazioni incui nessun giocatore ha realizzato il 5+1 mentre in due occasioni se ne ebbero 78 e 75.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 16Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloPerilLotto game britannicoin17occasionisu 96 non ci fu neanche un vincitoredel6mentrein due occasioni si ebbero ben 133 e 57 realizzatori del 6.VIII Conclusioni Abbiamo mostrato nella tabella 6 come le probabilit di realizzare un punteggio x con la sestina {81, 82, 83, 84, 85, 86}6 nel caso di distribuzione asimmetrica siano superiori che nel caso simmetrico.Questi numeri sonoanchegeneralmenteignorati dallamassadegli scommettitori epertantoquandosi presentano nella combinazione vincente rendono i premi per ciascuna categoria in media pi elevati. Una valutazione accurata di tale perdita non pu essere ottenuta per mancanza di dati precisi sulla popolarit dei numeri giocati e dunque non possibile calcolare il valore dei premi esatti.Se si moltiplica la probabilit di realizzare un certo punteggio x con la sestina, per esempio {81, 82, 83, 84, 85, 86} per la corrispettiva vincita media di x, che si suppone per esempio maggiorata del 50%, e poi si sommano i cinque prodotti, si ottiene una valutazione della vincita media per la sestina giocata {81, 82, 83, 84, 85, 86} sotto la nuova distribuzione. Tale valore risulta di 542 lire su 800 giocate, producendo un ritorno medio del 68% che ben al di sopra del 34.6% solitamente ridistribuito per ogni lira spesa. Puntare su questi numeri, per, non assicura una vincita sicura, che comunque si sarebbe realizzata solo allinfinito, ma permette nel lungo termine di contenere la perdita certa. Una siffatta valutazione valida esclusivamente se si considera la quota media di vincita per ciascuna categoria come un valore esogeno; cio che gli scommettitori,ignari di una distribuzione non uniforme,continuino a giocare combinazionipi e meno probabiliindistintamente come fatto sinora e continuino anche a preferire i numeribassi. Allora il numero medio di vincitori continuerebbe ad essere lo stesso e di conseguenza le vincite medie per categoria. Oggi ci sono scommettitori che puntando sui numeri 81-90, beneficiano in media di un ritorno medio maggiore del 34.6%, altri che, puntando sui numeri 1-80, hanno un ritorno medio pi basso e altri ancora che, giocando numeri di entrambii gruppi,ricevono indietro un valore che in media intorno al 34.6%. Se la massa degli scommettitori si riversasse, invece, verso le combinazioni pi probabili allora il numero medio di vincitori aumenterebbe e di conseguenza le quote sarebbero in media pi basse cos da ritornare alla vincita media del 34.6%. Se solo il banco trattenesse una quota pi significativamente pi bassa, cio simile a quelle degli altri paesi, allora una strategia vincente sarebbe stata implementabile e questo lavoro non sarebbe stato mai scritto.6 Le considerazioni espresse per {81, 82, 83, 84, 85, 86} valgono e qualsiasi combinazioni di 6 numeri appartenenti a .Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 17Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloIX APPENDICIIntroduzione alle APPENDICINelle appendici sono sviluppati in maniera pi approfondita gli argomenti trattati nella parte centrale.Riportiamo di seguito la simbologia che verr ripresa nelle Appendici.Si identifichi con S la sestina pronosticata e con C la sestina estratta ricavata dai risultati del Lotto.Definiamo i seguenti eventi R- la combinazione estratta formata da una sestina estratta completaV- la combinazione estratta possiede il numero jolly.I simboli R e V sono notazioni mnemoniche: derivano da Roma e Venezia. Dipende, infatti, dalle ruote di Roma e Venezia la completezza della sestina estratta e la presenza del jolly.Si definisca quindi con R levento la sestina estratta manca del sesto numero, mentre con V il jolly assente.Si adottino le seguenti notazioni:- YZ,k indicante il k-simo numero estratto dalla ruota Z, dove Z {Ba, Fi, Mi, Na, Pa, Rm} e k {1, 2, 3, 4, 5}. Siccome il valore della P(YZ,k = y) non dipende dalla ruota in esame lo indicheremo spesso con P(Yk = y).- XZ indicante il contributo della ruota Z alla sestina estratta. Per esempio, la notazione P(YFi,3 = y) indica la probabilit che sulla ruota di Firenze il numero y esca alla terza estrazione e P(XBa = x1, XFi = x2, XMi = x3) indica la probabilit che il primo numero dellacombinazioneordinatadel SuperEnalottosiax1, ilsecondox2eilterzox3, ossiacheil contributo della ruota di Bari sia x1, di Firenze sia x2 e di Milano sia x3. - indichiamo con rk la probabilit condizionatax) Y x,..., Y | x (Y P r-1 k 1 k k il cui valore, per qualsiasi x, dato daScienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 18Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello1 k - 901rk+Si ha cos che, per qualsiasi x e da qualsiasi ruota, valgono i seguenti valori861r ,871r ,881r ,891r ,901r5 4 3 2 1 APPENDICE A : Lestrazione in blocco al Super EnalottoLestrazione dei numeriI Lotto games stranieri estraggono, da una stessa ruota, tutti i numeri per la combinazione vincente uno dopo laltro senza ripetizione. Una procedura simile per definizione unestrazione in blocco e la sua distribuzione di probabilit la distribuzione ipergeometrica. Segue quindi che la probabilit di realizzare un punteggio x, indicata con px, quando si scelgono k numeri su un totale di N possibili uguale a

,_

,_

,_

6Nx 6k Nxkpx(A.1)con x {0, 1, ,6}.Lestrazione del Super Enalotto avviene con il contributo di 7 ruote diverse; assomiglia allestrazione in blocco ma ne differisce in quanto si potrebbe non avere la sestina completa e/o il numero jolly. Ipotizziamo che lacombinazioneestrattasia completa conprobabilit1, allora dimostreremoche la tipologia destrazione al Super Enalotto uguale allestrazione in blocco.A tale scopo sufficiente far vedere che presa la sestina qualsiasiS {a, b, c, d, e, f} con a, b, c, d, e, f compresi fra 1e 90 e tra loro diversi, la sua probabilit di uscita (ossia che si realizzi il 6) data dalla (A.1) cio uguale a 6 , 90C1 e non dipende dai numeri scelti. Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 19Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloIl nostro scopo trovare la probabilit di estrazione della sestina non ordinata S : iniziamo a calcolare il valore della probabilit (vedi Introduzione alle Appendici per la simbologia)f) X e, X d, X c, X b, X a, P(XRm Pa Na Mi Fi Ba cio che esca la sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}, ossia che si verifichi lestrazione rappresentata nella figura A-1 appresso. Figura A-1: contributo di ogni ruota allindividuazione della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}Combinazione estratta ordinataruota Ba Fi Mi Na Pa Rmestratto(*) a b c d e f(*)Non si specifica lordine dellestratto. Si evidenzia solo il contributo di ciascuna ruota alla combinazione estrattaSi pu scrivere che f) X e, X d, X c, X b, X a, P(XRm Pa Na Mi Fi Bac) X b, X a, X | d P(X b) X a, X | c P(X a) X | b P(X a) P(XMi Fi Ba Na Fi Ba Mi Ba Fi Ba e) X d, X c, X b, X a, X | f d)P(X X c, X b, X a, X | e P(XPa Na Mi Fi Ba Rm Na Mi Fi Ba Pa (A.2).Laprobabilit a) P(XBa , ossiacheil numeroacorrisponda al contributodellaruotadi Bari alla combinazione vincente, equivale alla probabilita) P(YBa,1 , ossia che il numero a sia il primo estratto dalla ruota di Bari. Si ha dunque che 1 Ba,1r a) P(Y .Levento che b sia il contributo della ruota di Firenze pu verificarsi sotto due circostanze: il primo numero estratto dalla ruota di Firenze b oppure il primo numero estratto uguale a quello selezionato dalla ruota di Bari (cio a) e il secondo b, pertanto si pu scrivere che a) X | b P(XBa Fi. r r r b) Y a, P(Y b) P(Y )] b Y , a (Y b P[Y2 1 1 Fi,2 Fi,1 Fi,1 Fi,2 Fi,1 ,1 Fi+ + Sostituendo gli appropriati valori si ottiene che Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 20Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello891891901901a) X | b P(XBa Fi + Con simile ragionamento si ricava la probabilit condizionata di Milano b) X a, X | c P(XFi Ba Mi ) c Y , b Y , a Y ( ) c Y , b Y ( ) c Y , a Y ( c P[YMi,3 Mi,2 Mi,1 Mi,2 Mi,1 Mi,2 Mi,1 Mi,1. r r r r r r r r r r r ) c Y , a Y , b Y (3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 Mi,3 Mi,2 Mi,1+ + + + Per il contributo della ruota di Milano si ottiene dunque, sostituendo ai valori di rx 881b) X a, X | c P(XFi Ba Mi Allo stesso modo, per la ruota di Napoli, si ha che 871r r r r D r r r D r r D r c) X b, X a, X | d P(X4 3 2 1 3,3 3 2 1 3,2 2 1 3,1 1 Mi Fi Ba Na + + + dove )! k n (! nDk , n , ossia uguale alle disposizioni semplici di n elementi presi k alla volta.Per la ruota di Palermo si had) X c, X b, X a, X | e P(XNa Mi Fi Ba Pa 861r r r r r D r r r r D r r r D r r D r5 4 3 2 1 4,4 4 3 2 1 4,3 3 2 1 4,2 2 1 4,1 1 + + + + e infine per Romae) X d, X c, X b, X a, X | f P(XPa Na Mi Fi Ba Rm 851r r r r r r D r r r r r D r r r r D r r r D r r D r6 5 4 3 2 1 5,5 5 4 3 2 1 5,4 4 3 2 1 5,3 3 2 1 5,2 2 1 5,1 1 + + + + + (A.3)Si noti la presenza di r6 che corrisponde alla probabilit condizionata del numero x di apparire come sesto estratto. Nel caso reale, tale valore uguale a 0 poich i numeri estratti dalla ruota del Lotto sono in tutto 5. Se per ipotizziamo, come abbiamo fatto in questa dimostrazione, che la combinazione estratta sia sempre completa allora segue necessariamente che dalla ruota di Roma si estraggano almeno 6 numeri e che quindi 851r6Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 21Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloSostituendo i valori ottenuti nella (A.2) si ottiene la probabilit destrazione della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}.12 -Rm Pa Na Mi Fi Ba10 2,230736851861871881891901) f X e, X d, X c, X b, X a, X P( Dalle formule sovraesposte, si evince che la probabilit di una sestina ordinata non dipende dallordine dei suoi sei elementi; perottenerelaprobabilitduscitadellacombinazione{a,b,c,d,e,f}pertanto sufficiente moltiplicare il valore ottenuto per le 6! possibili sestine ordinate composte dai sei elementi. Si ottiene che ( ){ } 630 . 614 . 622185 86 87 88 89 90! 6) x , x , x , x , x , (x X Pf , e , d , c , b , a x6 5 4 3 2 1910 606129943 . 16901

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(A.3) c.d.d.Lestrazione al Super Enalotto coinciderebbe allestrazione in blocco solo se la combinazione estratta fosse completa con probabilit1. Perch ci si verifichi sufficiente che la ruota di Roma estragga almeno 6 numeri e quella di Venezia almeno 7.APPENDICE B: Distribuzione di probabilitProbabilit destrazione Se si considera la reale estrazione al gioco del Lotto,si ha che la distribuzione di probabilit di fare un punteggio x al Super Enalotto non pi la distribuzione ipergeometrica bench se ne avvicini molto. Leprobabilit checiascuna ruota fornisca undeterminatonumeroalla combinazione estratta sonole medesime di quelle trovate nellAppendice A: coincidono esattamente fino alla ruota di Palermo. Per Roma infatti si ha la seguente probabilit a5 4 3 2 1 5,4 4 3 2 1 5,3 3 2 1 5,2 2 1 5,1 1r r r r r D r r r r D r r r D r r D r + + + + (B.1).Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 22Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloLa probabilit nel caso reale (B.1) si distingue dal caso ipotetico precedente, in cui ci sono pi di cinque estratti per Roma,per lassenza dellultimo addendo 6 5 4 3 2 1 5,5r r r r r r D che assume valore 0nel caso reale in quanto non possibile estrarre un sesto numero dalla ruota di Roma.Deriva quindi che f) X e, X d, X c, X b, X a, P(XRm Pa Na Mi Fi Bae) X d, X c, X b, X a, X | f P(X e) X d, X c, X b, X a, P(XPa Na i M Fi Ba Rm Pa Na i M Fi Ba e) X d, X c, X b, X a, X | f P(X861871881891901Pa Na i M Fi Ba Rm 851861871881891901dove diviene il fattore di correzione che permette il passaggio dalla probabilit approssimata (nellipotesi di approssimazione allestrazione in blocco) alla probabilit vera (la combinazione estratta completa non un evento certo), ed pari a 7246 0,99999997851e) X d, X c, X b, X a, X | f P(XPa Na i M Fi Ba Rm (B.2)Il valore di coincide esattamente con la probabilit che la sestina estratta C sia completa. Valore calcolato precedentemente. Si ricava quindi che 851861871881891901) f X e, X d, X c, X b, X a, X P(Rm Pa Na Mi Fi Ba(B.3)sostituendo nella (B.3)il valore della (B.2)e svolgendo i calcoli si ha la probabilit destrazione della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}12Rm Pa Na Mi Fi Ba10 1 2,23073598 f) X e, X d, X c, X b, X a, P(X La probabilit duscita della combinazione non ordinata { a, b, c, d, e, f } data da Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 23Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello( ){ }9f , e , d , c , b , a x6 5 4 3 2 110 606129906 . 1690 630 . 614 . 622) x , x , x , x , x , (x X P

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(B.4)Si noter che la differenza, in termini numerici, fra la probabilit di estrazione della combinazione { a, b, c, d, e, f} nel caso approssimato (A.3)e quella reale (B.4), praticamente nulla. Si differenziano per una quantit minore di 10-16.Distribuzione di probabilit Distribuzione di probabilitBench la probabilit di avere la combinazione estratta (6 numeri + jolly) non completa molto vicina a 0, nel calcolare laprobabilitdi realizzareunpunteggioxbisogna tenerepresentedi questaeventualit. Distingueremo quindi le probabilit esatte, che sono quelle proprie del gioco, dalle probabilit approssimate che derivano dallapprossimazione allestrazione in blocco. La probabilit del 6La probabilit di realizzare il 6 corrisponde alla probabilit di uscita della combinazione {a, b, c, d, e, f} ed stata gi calcolata nella (B.4). In questo paragrafo, invece, seguiremo un procedimento diverso.Sia px la probabilit di realizzare un punteggio x con una singola sestina dovex {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5+1} e sia I(x) levento totalizzare un punteggio x con la sestina giocata Sin unestrazione in blocco.Scommettiamo una qualunque sestina S di numeri non ordinati fra 1 e 90 e cerchiamo la probabilit p6. Le sestine estraibili sono C90,6, e dunque 1 su C90,6 il valore della probabilit del6( P( I(6) ): in una tipica estrazione in blocco. Questa, come abbiamo visto, la probabilit approssimata di realizzare il 6 al gioco del Super Enalotto. Nel calcolare la probabilit esatta p6 si deve tenere in considerazione che C possa non essere completa e che sarebbe dunque impossibile realizzare il 6 (leventuale assenza del numero jolly del tutto ininfluente). Si pu allora scrivere che ) R I(6) P( R) I(6) P( ) ) R (R I(6) P( p6 + poich linsiemeR I(6) vuoto, allora si ha). R | P(I(6) P(R) R) I(6) P( La probabilit di realizzare il 6 dunque Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 24Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello9 -610 6 1.606129900 622.614.63P(R) 6901P(R) p

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(B.5)ossia 1 su 622.614.644,2. La (B.5) e la (B.4) coincidono esattamente.La probabilit del 5+1Per ricavare la probabilit esattap5+1bisogna procedere sulla falsa riga del paragrafo precedente, e considerare anche leventuale assenza del jolly.[ ] [ ] [ ] + + + +1)) I(5 (V ) R (R P 1)) I(5 (V P 1)) I(5 ) V (V P p1 5[ ] ) ) 1) I(5 V R ( ) 1) I(5 V R ( P + + per la legge delle probabilit totali) ) 1) I(5 V R ( P ) 1) I(5 V R ( P p1 5+ + + +che indichiamo con. p p p55 1 5++ ++ (B.6)La probabilit di realizzare il5+1equivale quindialla somma della probabilit di totalizzare5+1nel caso che la sestina sia completa e nel caso che essa sia incompleta; ovviamente in presenza del jolly (evento V).Per la legge delle probabilit composte p5+1, i due addendi della (B.6) possono scriversi come V) R | 1) I(5 P( R) | P(V P(R) p5 + +V) R | 1) I(5 P( ) R | P(V ) R P( p5 + +Il valore diV) R | 1) I(5 P( + , cos come quello diV) R | 1) I(5 P( + , non determinabile con la (A.1), e richiede di vedere il problema sotto unottica diversa. Non consideriamo pi le combinazioni di 6 Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 25Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lamparielloelementi mail nuovoriferimentooralasettina.Chiamiamosettinaunacombinazione di 6elementi affiancata da un settimo numero, il jolly, e non dunque una semplice combinazione di 7 numeri. Le settine possibili sono C90,684. Data la sestina giocata S, le settine favorevoli alla realizzazione del 5+1 sono C6,584.Segue quindi che 69056V) ))|R 1 5 P( I(

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+da cui

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+69056) R | P(V ) R P( p5(B.7).Per indovinare 5+1numeri con la sestina Squando la combinazione estrattane ha solo cinque significa avere solo una possibilit di pronosticarli esattamente: cio solo la sestina con i cinque elementi di C ed il numero jolly, quindi si ricava che

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+6901) R | P(V ) R P( p5(B.8)

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+6901 ) R | P(V ) R P( 69056) R | P(V ) R P(p1 5(B.9)ossia 1 caso su 103.769.121,2 .Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 26Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloLa probabilit del 5La probabilit p5 dipende sia dalla completezza della sestina vincente sia dalla presenza del numero jolly. Si vengono a distinguere quattro eventi, tra loro incompatibili, in cui il 5 realizzabile:1-) 5 ( I V R -indovinare 5 numeri quando la sestina estratta completa ed presente il numero jolly2-) 5 ( I V R - indovinare 5 numeri quando la sestina estratta completa ed assente il numero jolly3-) 5 ( I V R - indovinare 5 numeri quando la sestina estratta incompleta ed presente il numero jolly4-) 5 ( I V R - indovinare 5 numeri quando la sestina estratta incompleta ed assente il numero jollyrispettivamente con le probabilit indicate da V R V R V RV Rp, p , p, p La probabilit di fare il 5 la somma delle suddette probabilit V R V R V RV R 5ppp p p + + + (B.10)Si noti che I(5)non lo stesso evento nei quattro casi sopra esposti poich, mentre la sestina giocata S sempre composta da 6 elementi,la sestina estrattaCpu non essere completa.Per la determinazione di I(5), ediI(x)ingenerale, useremoil rapportofrail numerodi sestineutiliaffinchsi realizzi tale punteggio e le sestine possibili (=C90,6). Quindi, fissata la sestina estratta C (che pu essere completa e non) conteremo il numero delle sestine fra cui scegliere per ottenere x punti.1- Per realizzare esattamente 5, quando la sestina estratta C completa ed presente il numero jolly deve avvenire che 5 dei 6 elementi della sestina utile S coincidano con quelli di C e contemporaneamente che il sesto elemento di S sia diverso dal numero jolly onde evitare che si realizzi il 5+1. Quindi per il conteggio dei casi favorevoli, il sesto elemento di S deve essere scelto fra 84-1 numeri anzich 84. Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 27Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello

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69018356R) | P(V P(R) ) V R | I(5) P( R) | P(V P(R) pV R (B.11).2- Quando il numero jolly assente, non possibile realizzare il 5+1 e in questo caso il sesto elemento di S pu essere uno degli 84 che non compongono la sestina estratta C.

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69018456R) | V P( P(R) ) V R | I(5) P( R) | V P( P(R) pV R(B.12)3- e 4- Se la sestina C incompleta, il sesto elemento di S pu essere: - in assenza del numero jolly: uno qualsiasi degli 85 restanti- in presenza del jolly: uno qualsiasi degli 84 restanti per evitare il 5+1.

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6901841) R | P(V ) R P( ) V R | I(5) P( ) R | P(V ) R P( pV R (B.13)

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6901851) R | V P( ) R P( ) V R | I(5) P( ) R | V P( ) R P( pV R(B.14)Risulta quindi cheScienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 28Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello

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690185) R | V P( ) R P(690184) R | P(V ) R P(69018456R) | V P( (R) P69018356R) | P(V P(R) p5La probabilit del 4 e del 3Diversamente dal5, la probabilit di realizzare il4oppure il3non dipende dalla presenza del numero jolly, ma solo dalla completezza della sestina estratta. Il numero jolly pu far parte della sestina giocata S in quanto non realizzerebbe un punteggio vincente: il 4+1 o 3+1 non sono premi previsti.7 Se C composta di sei numeri, il numero di sestine favorevoli per totalizzare il 4 sono le combinazioni dei 6 numeri di C presi 4 a 4 per i modi di combinare gli 84 elementi non appartenenti ad C presi 2 a 2. Nel caso Csia incompleta,i casi favorevoli per il4sono uguali alle sestine non ordinate che si possono ottenere unendo le combinazione dei cinque elementi di C presi 4 a 4 con le combinazioni degli 85 numeri restanti (compreso il jolly) presi 2 a 2.Segue quindi che) R | P(I(4) ) R P( R) | P(I(4) P(R) I(4)) R P( I(4)) P(R p4 + + da cui 69028545) R P(69028446P(R) p4

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e similmente per il 3

69038535) R P(69038436P(R) p3

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7 In alcuni Lotto games stranieri sono premiati punteggi simili. Es. il 2+1 in Israele, il 3+1 in Australia, il 4+1 e 3+1 a Singapore.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 29Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello La probabilit di realizzare x puntiRiassumiamo i risultati ottenuti finora, riportando le formule per la determinazione delle probabilit esatte di totalizzare un punteggio x con una sestina qualsiasi.

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6901P(R) p6

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+6901 ) R | P(V ) R P( 69056R) | P(V P(R)p1 5

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690185) R | V P( ) R P(690184) R | P(V ) R P(69018456R) | V P( (R) P69018356R) | P(V P(R) p5

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690x - 685x5 ) R ( P 690x - 684x6) R ( P pxcon x {0, 1, 2, 3, 4}Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 30Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloAPPENDICE C: Adozione di una nuova distribuzioneAssumiamounanuova distribuzione dei 90numeri chetiene contodi quantoosservatonei paragrafi precedenti ed in particolare della maggiore frequenza della decina 81-90.Si scomponga lo spazio degli elementi in due sottoinsiemi: = {81, 82, 83, , 89, 90} e = {1, 2, , 79, 80}Si attribuiscanoai duesottoinsiemi lemassedi probabilitottenutedallalorofrequenzaosservatanel periodo considerato, vale a dire 0.128 a e 0.872 a . Ne deriva che la probabilit di prima estrazione al gioco del Lotto per un numero x e per qualsiasi ruota diventa ' x per 0.0109x per 0.0128x) P(Y1 , Z(C.1)Per le estrazionidordine superiore alla prima,si usi la distribuzione uniforme.Tale ipotesi suffragata dallassenza di una forte evidenza di non casualit per tali ordini e dal fatto che, dopo la prima estrazione, si opera un maggiore rimescolamento delle palline nellurna e la distribuzione si uniformizza.Si ha cos che, come nel caso uniforme, per qualsiasi x e per qualsiasi ruota, valgono i seguenti valori per le probabilit condizionate851x) P(Y e861x) P(Y ,871x) P(Y ,881x) P(Y ,891x) P(Y6 5 4 3 2 Per tali valori riprenderemo lanotazioner2,r3, r4, r5er6mentre perP(YZ,1= x)poich dipendedax, useremo r1(x) . Calcolo della probabilit di uscita di una sestina al Calcolo della probabilit di uscita di una sestina alSuper Enalotto Super EnalottoLa distribuzione asimmetrica adottata per i primi estratti dalle ruote del Lotto influisce sulla distribuzione di probabilit al gioco del Super Enalotto. Vogliamo quindi analizzare come la probabilit di uscita di una certasestina siacambiata conlanuovaripartizione. Tale analisi verreseguitasottolipotesi diuna combinazioneestrattasemprecompleta, ciosottolapprossimazionedellestrazionedel SuperEnalotto allestrazione in blocco.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 31Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloNellAppendice B per il caso uniforme calcolammo la probabilit che si presentasse una situazione come quella riportata sotto in figura III-1Figura III-1: contributo di ogni ruota allindividuazione della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}Combinazione estratta ordinataruota Ba Fi Mi Na Pa Rmestratto(*) a b c d e f(*)Non si specifica lordine dellestratto. Si evidenzia solo il contributo di ciascuna ruota alla combinazione estrattaSimilmente ad allora, si pu procedere al calcolo della probabilit duscita della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f} per poi giungere alla probabilit della stessa sestina ma non ordinata.Ricordando quanto raggiunto nellAppendice A e la formula (A.2), troviamo che (a) r a) P(Y a) P(X1 Ba,1 Ba 2 1 1 Fi,2 Fi,1 Fi,1 Ba Fir (a) r (b) r b) Y a, P(Y b) P(Y a) X | b P(X + + indicando con KFi la costante r2 si ha che Fi 1 1 Ba FiK (a) r (b) r a) X | b P(X + Per il numero della ruota di Milano si ottiene b) X a, X | c P(XFi Ba Mi + + + + r r (b) r r r (a) r r (b) r r (a) r (c) r3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1raccogliendo i termini in comune. ] r r D [r (b) r ] r r D [r (a) r (c) r3 2 1,1 2 1 3 2 1,1 2 1 1 + + + + Ponendo] r r D [r3 2 1,1 2 + uguale alla costante KMi e raggruppando si ha che (b)] r (a) [r K (c) r b) X a, X | c P(X1 1 Mi 1 Fi Ba Mi+ + .Similmente si ottiene che (c)] r (b) r (a) [r K (d) r c) X b, X a, X | d P(X1 1 1 Na 1 Mi Fi Ba Na+ + + (d)] r (c) r (b) r (a) [r K (e) r d) X c, X b, X a, X | e P(X1 1 1 1 Pa 1 Na Mi Fi Ba Pa+ + + + Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 32Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello(e)] r (d) r (c) r (b) r (a) [r K (f) r e) X d, X c, X b, X a, X | f P(X1 1 1 1 1 Rm 1 Pa Na Mi Fi Ba Rm+ + + + + dove 4 3 2 2,2 3 2 2,1 2 Nar r r D r r D r K + + 5 4 3 2 3,3 4 3 2 3,2 3 2 3,1 2 Par r r r D r r r D r r D r K + + + 6 5 4 3 2 4 , 4 5 4 3 2 4,3 4 3 2 4,2 3 2 4,1 2 Rmr r r r r D r r r r D r r r D r r D r K + + + + (C.2).Sotto la nuova ripartizione, la probabilit di una sestina ordinata non dipende dallordine dei suoi elementi solo se la sestina composta da elementi che hanno tutti la stessa probabilit di prima estrazione.Per ottenerelaprobabilitcheescaunacombinazione qualunque{a,b,c,d,e,f}si devonopertanto calcolare le probabilit di ciascuna delle 6! possibili sestine ordinate e sommarle. Alluopo, si creato un programma che genera le 6! sestine, calcola la probabilit di uscita di ognuna di esse e infine ne esegue la somma. Si adotti la simbologia (n) per indicare la probabilit che venga estratta una sestina composta da n elementi di . Per esempio (4) la probabilit di uscita di una qualunque combinazione formata da 4 elementi di e 2 di . Nella tabella C-1 sono riportati i valori che pu assumere (n).Tabella C-1: probabilit (n) duscita di una sestina composta di n elementi provenienti da (n) probabilit casi favorevoli su totali63,75401 10-91: 266.381.737,253,19907 10-91: 312.591.074,642,72538 10-91: 366.921.063,832,32117 10-91: 430.817.267,621,97634 10-91: 505.985.875,711,68225 10-91: 594.441.290,901,43151 10-91: 698.562.514,2Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 33Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloValutazione probabilistica per la nuova distribuzioneValutazione probabilistica per la nuova distribuzioneSecondo la nuova distribuzione, logico preferire i numeri appartenenti a sia se si giochi al Lotto sia al Super Enalotto. Pensiamoalloradi scommetteresullacombinazioneS{81,82,83,84,85,86}e analizziamolesuaprobabilit di successo. Siapxlaprobabilit di realizzarexpunti conSsottola distribuzione (C.1). Probabilit del 6La probabilit di realizzare 6 punti, cio che la sestina estratta C coincida con S labbiamo gi calcolata ed dato dal valore di (6): ) 6 ( '6r p (C.3).Probabilit del 5Si scomponga ulteriormente linsiemein 1= {81,82,83,84,85,86}che contiene tutti e solo gli elementi di S e 2 = {87, 88, 89, 90}. La probabilit di realizzare 5 punti, data la combinazione giocata S, si ottiene sommando le probabilit di tutte le possibili sestine favorevoli allevento. Con lelaboratore si calcola la probabilit di una sestina tipo {81, 82, 83, 84, 85, }. Dove . Tale probabilit ha valore (5). Siccome indifferente prendere uno degli 80 elementi di , le sestine favorevoli sono ) 6 (1456) 5 (18056'5r r p

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(C.4).Il secondo addendo tiene conto che ci sono anche altre sestine favorevoli alla realizzazione di 5 punti dato S. Queste sono quelle dove al posto di ci potrebbe essere un elemento di 2, che per ha probabilit (6).Probabilit del 4) 6 (2446) 5 (1418046) 4 (28046'4r r r p

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(C.5)Probabilit del 3) 6 (3436) 5 (2418036) 4 (1428036) 3 (38036'3r r r r p

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(C.6)Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 34Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloProbabilit del 5+1Similmente al casodelladistribuzione uniforme, per il calcolodellaprobabilitdi realizzare5+1ci riferiamo alle settine-ordinate8, ossia una disposizione di 7 elementi ordinati. Con un nuovo programma,simile al precedente ma adattato alle settine-ordinate, si calcola la probabilit che venga estratta la combinazione non ordinata{81,82,83,84,85,86,2}e {81,82,83,84,85, 86, }, dove 2 2e . Tali probabilit vengono indicate con (7) e (6). Contiamo i casi favorevoli.2 pu assumere 4 valori diversi dando origine a 4 possibili combinazioni non ordinate utili per fare 5+1 di probabilit(7).Bisogna per evitare di realizzare il6e quindi sottrarre da (7)la probabilit di tutte le settine-ordinate che hanno come primi 6 elementi proprio la sestina S. Queste sono in numero di 6!. Poich i primi sei elementi che permutano hanno tutti la stessa probabilit di prima estrazione, allora sufficiente valutare, attraversoil programma, laprobabilitdi unaqualsiasi di questesettine-ordinateconsettimo elemento 2. Denotiamo questa probabilit con ) ( p2 7 ord. d origine a 80 distinte combinazionidi probabilit(6)e nuovamente si devono escludere lesettine-ordinate di probabilit) ( p7 ordfavorevoli al 6 e non al 5+1.[ ] [ ] . ) ( p ! 6 ) 6 ( j80 ) ( p ! 6 ) 7 ( j4 ' p7 ord 2 7 ord 1 5 + +(C.7)(7)e (6)sono ottenute come somma delle probabilit di7!settine-ordinateprovenientirispettivamente dagli insiemi {81, 82, 83, 84, 85, 86, 2 } e {81, 82, 83, 84, 85, 86, }.8Differentemente, nel capitolo II avevamo chiamato settina la particolare unione di una combinazione di 6 elementi con un settimo numero diverso dai primi sei. Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 35Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello APPENDICE D: il SUPER ENALOTTO e gli INTERNATIONAL LOTTO GAMESNellarticolo di Bellhouse (1991) si attribuisce a tutti iLotto gamesmoderni un'origine comune nel lotto genovese il quale risale al 1610 (Daston, 1988). Fuori dallItalia il gioco si diffuso solo dal XIX secolo e oggi quasi ogni stato possiede a livello nazionale almeno un Lotto game. Il primo Lotto game, strutturato nei modi che conosciamo, si ebbe in Germania nel 1955 (Moore,1997).In questo capitolo saranno passati a rassegna diversiLotto gamesnazionali,raffrontandoli continuamente con il Super Enalotto italiano. In particolare tratteremo i Lotto games in Europa, soffermandoci sulla Gran Bretagna, poi inUsaeinfinesuWeb. Perglialtri paesi citeremosoloquelli conaspetti interessanti e caratteristichesingolari. Lenotizie, idati, ledescrizioni riportateinquestocapitoloderivano, oltreche dagli articoli editi surivistescientificheecitati nellabibliografia, anchedamolti siti Web(anchessi riportati nella bibliografia) e da brochure raccolti in vari paesi del mondo. Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 36Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloThe UK National Lottery The UK National LotteryIn Gran Bretagna i giochi dazzardo hanno una tradizione secolare e il Regno Unito pu considerarsi la culla di tutte le scommesse. Il giro daffari stimato visualizzato nella tabella D-1 suddiviso per tipologia discommessainsiemealritornomedioperloscommettitore. Idati provengonodallarticolodi Moore (1997). Fra le varie forme di gioco dazzardo nel Regno Unito, The National Lottery9, ovvero il Lotto game britannico, rimane in posizioni marginali per giro daffari prodotto. Notevolmente maggiori sono i volumi di denaroprodotti dallAmericanrouletteedalBlackjacknei casin, dalleslot-machinessparseunpo dovunque e dalle scommesse sui cavalli.Peravereunterminediparagone, inseriamoancheunastima(tabellaD-2)dellafflussodi scommesse avuto in Italia nel 1998 per i principali giochi (Panorama 5 novembre 1998).Tabella D-1 Giro daffari e ritorno medio di alcune forme di scommesse popolari in UK. Valori del 1995. giocoritorno medio previsto (%)giro daffari (in milioni di euro) stimato noteAmerican rouletteBlackjack e giochi da casin97.3 - 99.4 30.170Il ritornomedio dipende dal gioco. Usando delle strategie particolari per alcuni giochi (es. contare le carte) si pu ottenere un ritorno del 101%Slot-machines 70 - 75 13.780 Il ritorno medio stabilito dalloperatoreBingo95 1.240Corse di cavalli (allippodromo)70 - 80 1.480Corse di cavalli (fuori dallippodromo)67 77 10.050Schedine Totocalcio 30 1.390Alcuni premi,sebbeneraramente, arrivanofinoa 3 milioni di euriNational Lottery 50 7.350Altre lotterie fino a 50 60 Premio massimo di 153.000 euriInmolti giochi dazzardoduranteunastessagiornatalevincitevengonospessoreinvestite subito. Per questo, soprattutto per i primi 5 giochi, lammontare effettivamente speso considerevolmente pi basso.FONTE: articolo di Moore (1997) pag.172Tabella VI-2: giro daffari, stimato per il 1998, per alcuni giochia premi in ItaliagiocoGiro daffari(in milioni di euri)Lotto 5.320Super Enalotto 1.650Scommesse ippiche 1.2409 Il termine lottery, che letteralmente ha il significato di lotteria, in inglese identifica sia un lotto game sia un concorso come la Lotteria di capodanno.Luso di uno stesso termine ricorda quanto i due giochi non siano cos diversi tra loro. In uno si acquista il biglietto con la serie di numeri gi stampata, nellaltro lo scommettitore a sceglierne una. Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 37Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloLotteria, gratta e vinci930Tris 900Totocalcio 820Totogol 770Totip 103Totoscommesse 25FONTE: articolo su Panorama 5/11/98 Storia della lottery britannicaLorigine storica della lottery originale e rappresentativa di tanti aspetti singolari del paese doltremanica. Abbiamo ritenuto utile riportarla qui di seguito.La prima lotteria risale al 1569(Moore,1997) e il suoscopo dichiarato era quellodi finanziare la riparazione di Cinque Ports. Furono venduti 400.000 biglietti con premi in natura e in denaro.In seguito furono promosse nuove lotterie e per obiettivi diversi del tipo: finanziare le piantagioni in Virginia (1612) e la fornitura dacqua corrente per Londra (1627 e 1631), riparare le barche dei pescatori danneggiate dagli spagnoli (1640). Lo stesso celebre ponte di Westminster stato costruito grazie ai proventi della lotteria del 1739.Daallorafinoadoggi, lelotterieinGranBretagnahannoraccoltofondi perrealizzaredegli obiettivi rispettabili (Moore,1997) tanto da ricevere lapprovazione della Chiesa stessa (Chiesa Anglicana).La modernaNational Lotterysi sviluppa con le stesse caratteristiche.Il suo scopo principale quello di supportoperlegoodcauses(nobili fini). Lasceltadel gestorefufattaseguendotalefilosofia, efu attribuita allasta achi garantiva lammontare maggiore per legoodcauses. Vincitore dellasta fula Camelot Group plc che assicur 6.844 miliardi per le good causes nel giro di 7 anni. Legoodcausesda sovvenzionare sono stabilite per legge innumero di cinque e sono: Belle Arti, Beneficenza, Patrimonio storico, Sport e progetti per il Millenium. Il Parlamentobritannicohavolutopuntualizzare chei proventi raccolti dallaNational Lotterysonoin aggiunta a quelli stabiliti per legge e non sono un sostituto ad essi. Montepremi (Stake)La partecipazioneallaNational Lotteryavviene con lacquisto di una schedina(ticket)delcosto diuna sterlina. Lammontare di una sterlina deriva dalla seguente ripartizione:45p al montepremi28p alle good causesScienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 38Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello12p allerario5p al gestore 5p al rivenditore5p riservati per futuri Super Draws10 e contributi alle scratchcards (gratta e vinci).Il ritorno medio per singolo concorso , generalmente del 45% ; nel complesso di circa il 50% poich le quoteaccantonatedi5pper ogni colonna giocatasonoriversateoccasionalmentenelSuperDraw. La vincita riscossa gi tassata. 10Di tanto in tanto la Camelot stabilisce delle date in cui incrementare il montepremi del 6 tramite le quote accantonate durante varie estrazioni.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 39Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello Descrizione del gioco La moderna National Lotterynasce il 19 novembre 1994 ed inizialmente le estrazioni avvenivano solo di sabato. Dal 5 febbraio 1997 c anche unestrazione infrasettimanale.Diversamente dal Super Enalotto, la National Lottery ha una propria ruota contenente 49 palline numerate allesterno. Da essa sono estratti, bisettimanalmente, 6 numeri pi il bonus number (jolly). Questi 7 numeri formano la combinazione vincente. Lo scommettitore pronostica sei numeri ed ha diritto ad un premio se indovina6,5+1,5,4oppure3 numeri. Stesse regole del Super Enalotto, ma con 49 numeri.Per partecipare al gioco,lo scommettitore deve annerire 6 numeri dei 49 riportati su apposite schede. La giocata minima permessa di una combinazione. Non esistono giocate integrali oppure basi e varianti. La schedina britannica permette un tipo di giocata che il Super Enalotto non prevede. Si pu, infatti, pagare al momento della scommessa il diritto alla partecipazione a pi estrazioni con la stessa combinazione: alle due successive estrazioni, alle quattro successive, ecc., alle estrazioni del solo mercoled o del solo sabato successivi. Questotipodi giocata molto comoda per chi partecipa ingruppo. Insieme i giocatori investono una somma per molti mesi senza dover ri-scommettere ad ogni concorso.Lestrazione avviene alle 20:08 in punto e le giocate sono ammesse fino a 38 minuti prima dellestrazione. In Italia, fino a pochi mesi fa, le giocate si chiudevano circa tre ore prima; oggi si pu scommettere fino ad unora e mezzo prima. LestrazioneLestrazione dei numeri della National Lottery trasmesso in diretta TV dalla BBC1 ed inserita in un vero eproprioshowtelevisivodedicatoallaLotterydella durata di 20minuti. Alloshowprendonoparte personaggi famosi (altro che lasettica estrazione del Lotto italiano su Rai Due!) con lintento di pubblicizzare le good causes e mostrare come i fondi sono stati utilizzati.La ruota stessa selezionata a sorte fra quattro possibili (alle ruote stato attribuito anche un nome Arthur, Lancelot,Merlin e Guinevere),poi si seleziona,fra 10 possibili,anche il set di palline da inserire nella ruota.Laruotadi vetrotrasparenteemescolai numeri inmodocompletamente automatico. Premendoun pulsante, si estraeunapallinachevieneriversatainuncilindrotrasparentedovepossibilevedereil numero segnato sulla pallina. Le palline, durante questa fase, non sono mai toccate. Unestrazione simile stata pi volte proposta dalla Lottomatica S.p.A. per il Lotto italiano, ma senza successo (per comunicazione personale del Dott. Russo funzionario della suddetta societ). QuoteLa suddivisione del montepremi fra i vincitori avviene nel seguente modo:1. il 45% dellintero incasso, arrotondato per difetto ai 10p, forma il montepremi2. a tutti coloro che realizzano tre punti assegnato un premio fisso di 103. il restante montepremi suddiviso nelle quattro categorie secondo le seguenti percentuali: 52% al sei, 16% al cinque pi uno, 10% al cinque e 22% al quattro.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 40Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello4. il montepremi di ciascuna categoria (escluso il tre) diviso fra i vincitori della categoria corrispondente in modo paritarioNotare che:-la quota dogni vincita arrotondata per difetto allunita, cio alla sterlina (pragmatismo anglosassone) -seil montepremi, esclusi il jackpot, nonsufficienteagarantire10per ogni scommettitorecheha realizzato il tre, allora il montepremi viene diviso paritariamente fra tutti i vincitori (dal 3 al 6) in modo uguale. Non possibile che il banco sbanchi!-la percentuale dellintero montepremi assorbito dai vincitori del 3 nel corso del 1996 variava fra 22.8% e 51.7% con una media del 38.4%. Attualmente il valore dei singoli montepremi varia sostanzialmente fra lestrazione del mercoled e quella del sabato come mostrato in tabella D-3.Tabella D-3: montepremi medio per ciascuna categoria secondo il giorno destrazionemercoled sabato64.3 m 9.9 m5+11.3 m 2.9 m50.8 m 1.8 m41.7 m 3.9 mE interessante notare che la divisione del montepremi non regolamentata per legge, come in Italia, bens sottoposta ad un regolamento stipulato dal gestore stesso.Fissata la quota in tasse e quella per le good causes, il gestore inglese ha unampia libert. JackpotLaccumulodei montepremi, dettorollingover,possibilesolamenteper laprimacategoria. Il Super Enalotto forse lunico ad avere due sistemi daccumulo separati per due differenti categorie. Se il ritardo si protraeperpidi treconcorsi allorail jackpot accumulatodivisofrai realizzatori del5+1ese mancanoanchequesti ultimi frai realizzatori del5semplice. Considerandolafflussoal gioco( 60 milionidicombinazionigiocate) e lepossibili sestine(= 13.983.816),un ritardodi 3 estrazioni assai improbabile.Se non ci sono vincitori del5+1, evento finora mai accaduto,allora il montepremi di categoria andr a sommarsi al montepremi del 6 per lo stesso concorso. Se non ci sono vincitori del 5, il montepremi del 5 riversato in quello del 4. Se non ci sono vincitori del 4, il montepremi diviso fra i realizzatori del 3 (oltre le 10).Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 41Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello Distribuzione di probabilitLevento combinazione completa e presenza del jolly sono eventi certi e le probabilit di realizzare un punteggio x sono date dalla seguente formula dove a 49.

649x - 643x6p x

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con x {0, 1, 2, 3, 4, 6}

64956p1 5

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+ 649x - 642x6p5

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I valori delle probabilit e i premi medi per la Gran Bretagna sono presentati nella tabella D-4.Tabella D-4: probabilit di realizzare un punteggio vincente alla National Lottery e valori medi, in euro, dei premi. In piccolo i valori del Super Enalotto.Categoria Probabilit PossibilitPremio medioJackpot* 7.15112 10-81 su 13.983.816 3 ml1,60613 10-9622.614.644 17 ml5+bonus 4.29067 10-71 su 2.330.636 155.0009,63678 10-9103.769.121 2 ml5-match 1.84499 10-51 su 55.491 2.3007,99853 10-71.250.230 42.0004-match 0.00096862 1 su 1.032 1008,39845 10-511.907 3703-match 0.017650404 1 su 57 150,00306077 327 10totale 0.018637974 1 su 54*jackpot il corrispettivo inglese del premio del 6. Per la National Lottery sono stati svolti anche degli studi sullimpatto del gioco fra le diverse classi sociali e King (1997) ne fornisce unampia descrizione.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 42Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello Resto dEuropa Resto dEuropaTra gli altri paesi europei vale la pena citare lo Swiss Lotto svizzero, il Viking Lotto e il Lotto finlandese.LoSwiss Lotto(6su45)haunadivisionedel montepremi totalediversarispettoai giochi visti finora. Vengono pagati per primi i realizzatoridel5+1che si spartiscono il 10% del montepremi totale.Poi i realizzatori del 3 e del 4 pagati rispettivamente con 6 e 50 franchi svizzeri. Infine le categorie del 5 e del 6 si spartiscono separatamente lesatta met di quel che rimasto.AlloSwiss Lotto abbinato il gioco delJoker. Un numero di sei cifre, dettojoker, estratto contemporaneamente alle 6 palline del Lotto. Su ogni schedina dello Swiss Lotto stampato un numero di sei cifre. Se questo corrisponde al joker o corrispondono le prime 2, 3, 4 o 5 cifre allora si ha diritto ad un premio. In pratica, lo Swiss Lottoha unito insieme Lotto gamee Numbers game .Nel Viking Lotto finlandese sono selezionate 6 palline su 48 ma ci sono ben due numeri jolly. Nel Lotto, sempre finlandese, invece i jolly sono addirittura 3 e 7 sono i numeri estratti su un totale di 39. Vince chi realizza punti 7, 6+1, 6, 5 e 4.Infine va segnalato che, anche durante la guerra in Yugoslavia, il Lotto game serbo (5 su 36) ha proseguito le sue estrazioni. Queste avvenivano solo di gioved e i realizzatori di 5 punti oltre alla quota spettante in denaro vincono anche unauto Yugo Tempo 1.1.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 43Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo LamparielloUSA USASe la Gran Bretagna la patria storica del gioco dazzardo, gli USA sono il paese in cui oggi si gioca dipi. Le scelte sono innumerevoli e si trovano molti tipi anche di Lotto games. Ogni stato possiede le proprie lotterie e Lotto games; abbiamo scelto di presentare oltre al celebre Powerball, anche i giochi dello stato del Massachusettsdove, anni fa, HermannChernoff(1981)condusseunostudioapprofonditosulNumbers Game.Stato del MassachusettsNello stato del Massachusetts vengono attualmente giocati 4 Lotto games oltre al gi citato Numbers Game.1) Mass Milion 6/49IlMass Milion il piricco dei quattro. Al realizzatore del6garantito unpremiominimo di $1.000.000. I realizzatori del 5+1, del 5 e del 4 vincono una quota fissa di rispettivamente $50.000, $3000 e $100,mentre ai realizzatoridel3viene offerta la partecipazione gratuita alla successiva estrazione.Il sistema daccumulo applicabile al solo 6. Il ritorno medio per lo scommettitore in media11 del 55%.2) Mega Bucks 6/42Non c il jolly, quindi sono premiati solo i 6, 5, 4 e 3. Al 6 garantito un premio di almeno $400.000 al 5 e al 4 lammontare fisso di $1.500 e $750. Ai 3 una giocata gratuita. Vincita media intorno al 50%.3) Mass Cash 5/35Vengono premiati solo i5,4 e 3 con rispettivamente $100.000,$250 e $10.Iljollynon estratto.La vincita media circa del 56%.4) Big Game 5/50+1/36Il jolly del Big Game, detto big money number, non estratto dalla stessa ruota da cui provengono gli altri numeri selezionati nella combinazione vincente. Si estraggono 5 numeri fra 50 e ilbig money numberfra 36. Lo scommettitore deve pronosticare 5 numeri pi ilbigmoney numbera parte. Le categorie vincenti, con i corrispettivi premi sono riportati in tabella D-5.Tabella D-5: probabilit di ottenere un punteggio vincente al Big Game dello stato del Massachusetts.punteggio premio probabilit5&1 Jackpot* 1.31 10-85&0$150.0004.6 10-74&1$5.0002.9 10-611 si detto in media poich varia a seconda del numero dei realizzatori dei premi con quota fissa.Scienze Statistiche (Roma La Sapienza) Relatore: G. DallAglio 44Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999 Riccardo Lampariello4&0$1501.03 10-43&1$1001.30 10-43&0$5 0.00452&1$5 0.00191&1$2 0.00980&1$1 0.0160*il jackpot consiste in una quota minima fissa pi eventuali accumuli precedentiSi noti chesi premiachi realizza0&1enonchi realizza2&0, lacui probabilit di realizzazione 0.0651. Per il calcolo delle probabilitpx&bdi realizzare un certo punteggio xalBig Gamesi usano le seguenti formule' 0 b se p p1 b se p ppb xb xx&b(D.1)dove.3635p e361p ,550x - 545x5pb b x

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SchedulePer lo scommettitore dello stato del Massachusetts,il calendario dei giochi molto fitto e la tabella D-6 ricorda i vari appuntamenti settimanali.Tabella D-6: calendario delle estrazioni nello stato del MassachusettsNumbers GameMega BucksMass MilionMass CashThe BIG GameSunday6:55 p.m