Il sistema di riferimento cartesiano - pinoscuola.edu.it

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Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 336 1

Il sistema di riferimento cartesiano

Un sistema di riferimento cartesiano si compone di due

semirette orientate, tra loro perpendicolari, dette assi

cartesiani.

L’asse delle ascisse (o delle x), è quello orizzontale.

L’asse delle ordinate (o delle y), è quello verticale.

Il piano cartesiano si può dividere in quattro settori

denominati quadranti; essi sono numerati dal primo in

alto a destra e si procede in senso antiorario.

Il punto di intersezione degli assi è detto origine.

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2

La distanza tra due punti

AB xB xA 4 2 4 2 6 6

I caso I due punti hanno la stessa ordinata

Vogliamo calcolare la distanza tra i punti:

A 2; 2

B 4; 2 e

REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi uguale ordinata è data dal valore assoluto

della differenza delle rispettive ascisse. In simboli:

AB xB xA

Per determinare la distanza tra due punti nel piano cartesiano si possono presentare tre casi.

Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 337

2

3


AB yB yA 4 3 7 7

II caso I due punti hanno la stessa ascissa


A 2; 3

B 2; 4 e

REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi

uguale ascissa è data dal valore assoluto della differenza

delle rispettive ordinate. In simboli:

AB yB yA


2

4


III caso I due punti hanno ascisse e ordinate diverse


A 1; 2

B 4; 2 e

REGOLA. Per determinare la distanza tra due punti A e B si applica il teorema di Pitagora e si

calcola la misura dell’ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni del segmento

AB sugli assi cartesiani. In simboli.

AB xA xB 2 yA yB

2

Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, ottenuto

tracciando da A e da B rispettivamente le parallele agli assi x

e y, e calcoliamo la lunghezza della sua ipotenusa con il

teorema di Pitagora:

AB 32 42 916 25 5


2

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Le coordinate del punto medio di un segmento

REGOLA. Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono date dalle semisomme

delle ascisse e delle ordinate degli estremi del segmento. In simboli:

MxA xB

2;

yA yB

2

xM 2 4

2

2 4

22

2 1

Vogliamo calcolare le coordinate del punto medio M del

segmento di estremi

A 2; 3

B 4; 5 e

Applichiamo direttamente la formula:

yM 3 5

2

35

22

2 1


3

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Il concetto di funzione

DEFINIZIONE. Una relazione R da un insieme A verso un insieme B, che associa ad ogni elemento

di A uno ed uno solo elemento di B, prende il nome di funzione.

Il dominio di una funzione è l’insieme degli elementi che hanno un’immagine in B.

a A

Il codominio di una funzione è l’insieme degli elementi che hanno una controimmagine in A.

b B


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Le funzioni empiriche

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

Ge

nn

aio

Fe

bb

raio

Ma

rzo

Ap

rile

Ma

gg

io

Giu

gno

Lu

glio

Ag

osto

Se

tte

mb

re

Ott

ob

re

Nove

mbre

Dic

em

bre

mm

di pio

ggia

Mesi dell’anno

Consideriamo la quantità di pioggia caduta nei vari mesi dell’anno in una località e disegnamone il

grafico.

Una funzione di questo tipo viene detta empirica perché non è possibile stabilire un legame fra il

mese dell’anno e i millimetri di pioggia.


3

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Le funzioni matematiche

DEFINIZIONE. La funzione matematica è un tipo di

funzione in cui il variare della y rispetto alla x avviene

sulla base di un meccanismo fisso che può essere

espresso mediante una precisa formula matematica.

Per mezzo di questa formula i valori assunti dalla y (in

seguito al variare della x) possono essere determinati

con precisione e sicurezza.

e si legge << y uguale effe di x >>

y f x

e si legge << f è tale da portare x in y >>

f : x y

Indicando con x gli elementi dell’insieme A (dominio) e

con y gli elementi dell’insieme B (codominio) possiamo

dire che

In simboli possiamo scrivere che

oppure


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La funzione di proporzionalità diretta

DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando,

dimezzando … l’una, raddoppia, triplica, si dimezza … anche l’altra.

DEFINIZIONE. Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante.

In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con m la costante di

proporzionalità diretta abbiamo:

y

x m

y mxquindi con m ≠ 0

La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità diretta; in essa m rappresenta il

coefficiente di proporzionalità diretta.


4

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Rappresentazione cartesiana della funzione y = mx

DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità diretta è rappresentata nel

piano cartesiano da una retta passante per l’origine.

Consideriamo la funzione di proporzionalità diretta di equazione

y 3x

in cui il coefficiente di proporzionalità è 3.

Il grafico della funzione y = 3x è una retta passante per l’origine degli

assi, quindi generalizzando possiamo dire che:


4

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Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta

PROPRIETÀ. La funzione y = mx rappresenta sempre

una retta passante per l’origine, inoltre:

se m > 0 la retta appartiene al 1° e 3° quadrante;

se m < 0 la retta appartiene al 2° e 4° quadrante.


4

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PROPRIETÀ. Nella funzione y = mx:

se m = 1 la retta è la bisettrice del 1° e 3° quadrante;

se m = −1 la retta è la bisettrice del 2° e 4°

quadrante.


4

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PROPRIETÀ. Maggiore è il valore del coefficiente angolare m (in valore assoluto) tanto più

l’inclinazione della retta si avvicina all’asse y.


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La retta nel piano cartesiano

È importante notare che l’equazione generica di una retta

y = mx + q non è più una funzione di proporzionalità

diretta.

Rappresentiamo nel piano la funzione

y 2x 3

PROPRIETÀ. Ogni funzione del tipo y = mx + q (con m e

q costanti) rappresenta l’equazione di una retta; m è il

coefficiente angolare e q rappresenta l’ordinata

all’origine.

Più in generale:


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Le equazioni di rette particolari

PROPRIETÀ. y = k (con k costante) è l’equazione di una retta

parallela all’asse delle x.

Rette parallele all’asse x

Se k > 0 le rette parallele all’asse x appartengono al semipiano

positivo delle ordinate;

se k < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle

ordinate;

se k = 0 la retta coincide con l’asse x e la sua equazione diventa

y = 0; diremo allora che y = 0 è l’equazione dell’asse x.


5

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Se h > 0 le rette parallele all’asse y appartengono al semipiano

positivo delle ascisse;

se h < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle

ascisse;

se h = 0 la retta coincide con l’asse y e la sua equazione diventa

x = 0; diremo allora che x = 0 è l’equazione dell’asse y.

PROPRIETÀ. x = h (con h costante) è l’equazione di una

retta parallela all’asse delle y.

Rette parallele all’asse y


5

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PROPRIETÀ. Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente

angolare. In simboli, date:

Rette tra loro parallele

r || s

m m

r : y mx q

s : y m x q

se e solo se


5

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PROPRIETÀ. Due rette sono perpendicolari se il

coefficiente angolare della prima è l’antireciproco dell’altro.

In simboli, date

Rette tra loro perpendicolari

rs

m 1

m

r : y mx q

s : y m x q

se e solo se ovvero

m m 1


5

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L’intersezione di una retta con gli assi cartesiani

REGOLA. Le coordinate dei due punti di intersezione di

una retta di equazione y = mx + q con gli assi x e y si

ottengono ponendo in essa y = 0 e x = 0 e calcolando i

valori corrispondenti dell’ascissa e dell’ordinata dei due

punti.

Troviamo, ad esempio, i punti d’intersezione con gli assi

della retta

y 5

2x 5

se x 0 y 5 A 0 ; 5

se y 0 x 2 B 2 ; 0


5

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Equazioni di rette

FORMULA. La relazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per un

punto P(x0; y0) e di coefficiente angolare m è

y y0 m x x0

FORMULA. La relazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per i punti

A(x1; y1) e B(x2; y2) è

y y1

y2 y1

x x1

x2 x1


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La funzione di proporzionalità inversa

DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando,

dimezzando … l’una, si dimezza, diventa un terzo, raddoppia … l’altra.

DEFINIZIONE. Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante.

In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con k la costante di

proporzionalità inversa, abbiamo:

x y k

y k

x

con x 0

La formula precedente rappresenta dunque la funzione di proporzionalità inversa; in essa k è il

coefficiente di proporzionalità inversa.


6

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La rappresentazione cartesiana della funzione xy=k

DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità inversa è

rappresentata nel piano cartesiano da un’iperbole

equilatera.

Consideriamo la funzione di proporzionalità inversa di

equazione

y 16

x

Il grafico è un ramo di curva che prende il nome di

iperbole equilatera. In generale:


7

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La proporzionalità quadratica e la parabola

DEFINIZIONE. Due grandezze x e y sono in

proporzionalità quadratica quando la relazione che le

lega si può esprimere con una formula del tipo:

y ax2

PROPRIETÀ. I punti di una parabola hanno la stessa distanza da un punto fisso (F) chiamato

fuoco, e da una retta fissa (d), chiamata direttrice.

La funzione di proporzionalità quadratica è rappresentata

nel piano cartesiano da una curva, chiamata parabola, i

cui punti godono della seguente proprietà:

La formula precedente rappresenta la funzione di

proporzionalità quadratica; in essa a prende il nome di

coefficiente di proporzionalità quadratica.


7

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La proporzionalità quadratica e la parabola

DEFINIZIONE. Una funzione del tipo y = ax2 (con a ≠ 0) è l’equazione di una parabola avente

come asse di simmetria l’asse y e come vertice l’origine degli assi.

In particolare

• se a > 0 la parabola ha la concavità verso l’alto;

• se a < 0 la parabola ha la concavità verso il basso.


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