il sistema di numerazione decimale - unisannio.it · 2019-12-10 · • il sistema viene detto...

Elementi di Informatica a.a. 2019/20 - Prof. G.A. Di Lucca

Corso di Laurea in Ingegneria Energetica 1

Elementi di Informatica

Prof. G. A. Di Lucca - Univ. del Sannio 1

Sistemi di Numerazione e Rappresentazione interna di Numeri

La rappresentazione interna dei numeri richiede:

• una codifica, ovvero la definizione di un alfabeto in codice e di un codice

• la definizione di operazioni ed algoritmi che consentano di realizzare

sulle rappresentazioni dei numeri le operazioni del tipo di numero

codificato

L’alfabeto codice, ovvero le cifre, dipende dalla BASE di numerazione

Un sistema di numerazione è definito da:

• alfabeto codice: ovvero l’insieme dei simboli base, le CIFRE

• un codice: un insieme di regole che permettono di definire la

rappresentazione di un numero mediante una stringa di cifre

• un insieme di operazioni che realizzano sulla rappresentazione dei

numeri le operazioni previste per i numeri stessi



il sistema di numerazione decimale

• l’alfabeto codice è costituito da dieci cifre

• ciascuna cifra nella parola codice rappresenta un

numero dipendente dalla cifra stessa e dalla posizione

occupata dalla cifra nella parola codice in cui si trova

• una parola codice rappresenta un numero dato dalla

somma pesata dei numeri rappresentati dalle singole

cifre che lo compongono





• alle cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) vengono associati

nell’ordine i primi 10 numeri Naturali

• detto i il posto occupato dalla cifra ci in una stringa (il

primo posto a partire da destra è il posto 0), il valore

rappresentato da tale cifra è: ci *10i

esempio: la stringa 3542 rappresenta il numero:

3*103 + 5*102 + 4*101 + 2*100 = 3452

• il sistema viene detto POSIZIONALE e PESATO

• 10 è detta la BASE del sistema

il sistema di numerazione decimale



cambiando l’alfabeto codice e la base, si possono costruire sistemi posizionali e pesati diversi da quello decimale

In una base b, un numero X >0 è rappresentato mediante la stringa

di cifre: Cn-1 Cn-2 .........C1 C0 . C-1 C-2...... C-m

con

in

mi

i bCX

1

… ovviamente nelle operazioni aritmetiche bisogna tener presente la base b della numerazione ...

…in generale ...





Il sistema decimale

• Base: b = 10

• Cifre: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

• Pesi: i pesi sono potenze delle base 10

… 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0

… 10.000 1000 100 10 1



Il sistema ottale • Base: b = 8

• Cifre: (0,1,2,3,4,5,6,7)

• Pesi: i pesi sono potenze delle base 8

Alcune corrispondenze tra numeri in base 8 e 10

68 = 610 108 = 810 118 = 910 128 = 1010 138 =... .… = 1910

778 = 6310 1008 = 6410 7778= …. 10008 = ….

0.18 = 1/810 0.018 = 1/6410 0.0018 0.778

… 84 83 82 81 80

… 4.096 512 64 8 1





Il sistema esadecimale

• Base = 16

• Cifre: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

• Pesi: … potenze della base 16

1016 = 1610 16C16 = 36410

0.1 0.01

… 164 163 162 161 16 0

… 65.536 4.096

256 16 1



Il sistema binario

• Base = 2

• Cifre: (0,1)

• Pesi: ...potenze della base 2

102 = 210 1002 = 410 1110102 = 5810

0.12 = 1/210 0.012 = 1/410 0.112 = 3/410

220

… 211

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 2 0

1048576 … 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1





Tabella

riassuntiva

F 17 1111 15

E 16 1110 14

D 15 1101 13

C 14 1100 12

B 13 1011 11

A 12 1010 10

9 11 1001 9

8 10 1000 8

7 07 0111 7

6 06 0110 6

5 05 0101 5

4 04 0100 4

3 03 0011 3

2 02 0010 2

1 01 0001 1

0 00 0000 0

Esadecimale Ottale Binario Decimale



… una caratteristica dei sistemi a base 2k

se adottiamo per ciascuna cifra dell’alfabeto sorgente una

codifica in numerazione binaria

– ad esempio ottale: (0,1,2,3,4,5,6,7)

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

si ha che la codifica binaria indiretta coincide con quella diretta

– ad esempio: 778 = 111 1112 348= 011 1002

idem se codice esadecimale: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

– (0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001,

1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111)

– A916 = 1010 10012 FF16 = 1111 11112





i numeri periodici

• il concetto di numero periodico è del tutto dipendente dalla base

di numerazione

• un numero periodico in una determinata base può non esserlo in

un’altra

• esempio: 1/3 è periodico nella base decimale ma nella base 3 è

esattamente rappresentato da 0.1;

0.110 è periodico in binario



CONVERSIONE DA BASE DECIMALE A BASE b Dato N>0 intero, in base decimale, convertirlo in base b:

• dividiamo N per b, otteniamo un quoto Q0 ed un resto R0 : N=Q0b+R0

• dividiamo Q0 per b, otteniamo un quoto Q1 ed un resto R1 :Q0=Q1b+R1

• Continuiamo a dividere Qi per b finché Qi < b, o finchè dividendo Qi

per b il quoto è zero :

• Q1= Q2b+R2 • ………….

• Qn-1= Qnb+Rn dove Qn < b

• Qn= 0 + Qn

… quindi:

N = Qnbn+1 + Rnbn + Rn-1bn-1 + … + R1b +R0b

0

e quindi N nella base b la rappresentazione è:

QnRnRn-1 ........R1R0





Esempio:

conversione di 10268 decimale in base ottale

10268 : 8 1283 resto 4

1283 : 8 160 resto 3

160 : 8 20 resto 0

20 : 8 2 resto 4

2 : 8 0 resto 2

1026810 = 240348

cifra più significativa cifra meno significativa

Dividendo base Quoto Resto

10268 8 1283 4

1283 8 160 3

160 8 20 0

20 8 2 4

2 8 0 2



conversione in base binaria di 123 decimale

123 : 2 61 resto 1

61 : 2 30 resto 1

30 : 2 15 resto 0

15 : 2 7 resto 1

7 : 2 3 resto 1

3 : 2 1 resto 1

1 : 2 0 resto 1

12310 = 11110112

Esempio:

123 : 2

61 : 2

30 : 2

15 : 2

7 : 2

1 : 2

1

1

0

1

1

3 : 2

1

1 0





Aritmetica dei numeri naturali

• Algoritmi classici per la realizzazione delle operazioni

aritmetiche (noti dalle scuole elementari)

• le regole sono le stesse per tutti i sistemi di numerazione

posizionali (non solo quello decimale):

– per addizione e sottrazione numeri in colonna e riporto …,

– per moltiplicazione e divisione uso di tavole pitagoriche per

le singole cifre …

– un esempio … in decimale ... 1 1

4987 + 3232

8219

riporti



Aritmetica binaria

• Un numero viene rappresentato da una stringa di n bit

• L’intervallo rappresentato è: 0 y < 2n

ad esempio se n = 16 l'intervallo è [0, 65536)

Per le operazioni valgono le stesse regole della base decimale





Aritmetica binaria

• Addizione

• Stesse regole della aritmetica decimale

r a b s r'

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

r: riporto

a,b: addendi

s: somma

r’: nuovo riporto

1 1

0110 + 0111 =

1101

riporti

Somma Binaria

610 + 710 =

1310



Aritmetica binaria

• Sottrazione


0 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 - 0 0 1 1 1 1 =

0 1 1 0 1 0

prestito

Sottrazione

Binaria

Minuendo Sottraendo Differenza Prestito

0 0 0

1 0 1

1 1 0

0 1 1 1

4110 - 1510 =

2610





Aritmetica binaria

110 101 = 110 000 110 11110

Prodotto Binario

• Prodotto


a b prodotto

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

610

510 =

3010



• nei calcolatori la rappresentazione interna di un numero

è finalizzata a rendere efficienti gli algoritmi per le

operazioni

• in genere è usata codifica a lunghezza fissa

– l’insieme di numeri rappresentati è finito

• sono usati sistemi posizionali

RAPPRESENTAZIONE INTERNA DEI NUMERI

ad eccezione dei numeri interi positivi (caso banale), è

effettuata una trasformazione del numero da

rappresentare in un altro numero “rappresentabile” ...





• insieme X dei numeri da rappresentare

– X è un intervallo di numeri interi o reali

• insiemeY dei numeri rappresentati

– Y è un intervallo finito

• trasformazione di un numero xX in un numero yY

– regola di trasformazione: y = R(x)

• rappresentazione in cifre (sistema posizionale) di y

• codifica in bit delle cifre

Trasformazione e codifica



Overflow e underflow

• overflow: tentativo di rappresentare un numero esterno

all’intervallo

– se X è un intervallo di numeri interi allora Y deve avere

almeno la stessa cardinalità

• underflow: un numero reale x 0 viene rappresentato da y = 0

– X è un intervallo di numeri reali, rappresentati da Y

(intervallo finito) con un’approssimazione





Overflow e underflow

• Esempio di overflow:

Numero di bit per la rappresentazione: N = 4

1 1 1

1110 + 0111 =

10101

riporti

Somma Binaria

Il risultato è: 0101

che è ERRATO perché si ha overflow e si perde la cifra più

significativa (quella in rosso)



Parametri di un sistema di rappresentazione

• intervallo numerico e tipo del numero x da rappresentare

• regola di trasformazione y = R(x)

• condizione di overflow

• approssimazione e condizione di underflow

(solo per i reali)

NB: se la base della numerazione della trasformazione non è binaria, la codifica del numero in binario è indiretta ...

• base di numerazione

• codifica delle cifre in binario

(se la base della numerazione è

diversa da 2)





• Y ed X coincidono,

• Numeri rappresentabili: 0 y < M

• M = bn

• b è la base di numerazione

– in pratica 2, 8, 16 … ma anche 10

• rappresentazione ad n cifre :

– Cn-1 Cn-2 ....C0 , dove 0 Ci < b

• condizione di overflow: x M

I numeri naturali



Rappresentazione con Aritmetica decimale

• Un numero x viene rappresentato da d cifre decimali

• L’intervallo rappresentato è: 0 y < 10d

• per ogni cifra decimale si adotta una rappresentazione con k

bit per cifra: il numero è rappresentato da k d bit

– ad esempio, per d = 4, l’intervallo è [0, 9999);

– adottando un sistema 8-4-2-1 (k = 4) un numero è rappresentato

da 16 bit

– il numero 8012 è rappresentato dalla stringa 1000 0000 0001 0010 (codifica indiretta di un numero in binario: l’alfabeto codice intermedio è

costituito dalle codifica delle singole cifre decimali)





• poiché si adotta la codifica a lunghezza fissa ad n cifre (k bit),

– rappresentazioni estese a sinistra

– esempi: n=5, b=10 25410 ==> 0025410

n=5, b=2 410 ==> 001002

Proprietà importanti

il tentativo di rappresentare 32 … :

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0

… overflow



Interi relativi: rappresentazione in segno e modulo ...

• Intervallo: x (-M , M)

• rappresentazione (tradizionale) in segno e modulo: s, y

– s = sign(x) ------ y = |x|

• condizione di overflow: |x| M

• n cifre per rappresentare il suo modulo e una cifra che

precede le altre per rappresentare il segno

- in aritmetica binaria s = sign(x) è rappresentata da un bit:

s = 1 se x < 0; s = 0 se x 0

s y

15 14 0

x (-215, 215) intervallo aperto





... vantaggi e svantaggi

• vantaggio: coincide con la nostra usuale rappresentazione

• svantaggio: richiede il trattamento separato di segno e

modulo: algoritmi aritmetici più pesanti ...

... nei calcolatori, per ovviare agli svantaggi dell’aritmetica

della rappresentazione in segno e modulo, si adottano altre

rappresentazioni ...

es. complemento a uno



Rappresentazione di reali: virgola fissa

• virgola fissa (fixed point): rappresentazione di numeri con n

cifre, nella quale la posizione della virgola (o punto decimale)

che separa la parte intera da quella frazionaria è predeterminata:

Es.: n cifre intere + m decimali

Cn-1 Cn-2 .........C1 C0 . C-1 C-2...... C-m

• nella rappresentazione dei numeri frazionari (|x| < 1) la virgola è

in prima posizione: .078900

- se la virgola occupa una posizione fissa, non necessita di essere

rappresentata esplicitamente ...





Rappresentazione di reali: virgola mobile

• virgola mobile (floating point): un numero reale x è

rappresentato mediante la coppia (M, E), dove:

- x = M ·bE

- M è un numero frazionario o intero detto mantissa

- E è un numero intero detto esponente o caratteristica

- b è la base della numerazione (binaria nei calcolatori)

- è l’approssimazione della rappresentazione

…. più ‘coppie’ Mantissa, Esponente

Es.: dato il reale 13,78 (virgola fissa)

• 1,378 ·101

• 137,8 · 10-1

• 0,1378 · 102 (normalizzata) è quella comunemente usata



Rappresentazione di reali: virgola mobile

il sistema di numerazione decimale - unisannio.it · 2019-12-10 · • il sistema viene detto...

Documents

Transcript of il sistema di numerazione decimale - unisannio.it · 2019-12-10 · • il sistema viene detto...