Il rumore nei dispositivi elettronici

D.Gamba et al.

July 12, 2004

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Il rumore, in senso lato, puo’ essere definito come ogni segnale non desiderato che oscura o inter-

ferisce col segnale desiderato . Il rumore, o in gergo noise, e’ un segnale totalmente casuale; lecomponenti della frequenza sono completamente casuali sia in ampiezza che in fase. Anche sesu un intervallo di tempo abbastanza ampio si puo’ misurare lo rms del segnale, la sua ampiezzaistantanea non puo’ essere predetta. Se si potesse predire, si capisce, non sarebbe piu’ un problema.Quello che si puo’ predire e’ il tipo di randomness del noise. La maggior parte dei tipi di rumoreha una distribuzione Gaussiana, come ad es., il rumore termico e lo shot noise, altri tipi di rumorehanno distribuzioni diverse, ma poiche’ la somma di molte variabili casuali indipendenti e’ unavariabile Gaussiana, si puo’ assumere che l’analisi in termini di pdf Gaussiana per il rumore sia bengiustificata:

f(x) =1

σ√

2πexp − [

(x − µ)2

2σ2] (1)

essendo x l’ampiezza del segnale di rumore, che puo’ essere sia di tensione che di corrente, e µil suo valor medio. Se σ e’ la deviazione standard della distribuzione Gaussiana, allora il valoreistantaneo si trova tra il valore medio del segnale e ±σ circa il 68% del tempo. Per definizione, σ2

(la varianza) e’ lo scarto quadratico medio attorno al valore medio. Questo significa che i segnalidi ampiezza con distribuzione Gaussiana hanno per deviazione quadratica media, attorno al valorecentrale < e2 > di tensione o < i2 > di corrente, la varianza σ2 e lo rms e’ la deviazione standard σ.

Teoricamente l’ampiezza del rumore puo’ tendere a valori infiniti; tuttavia la probabilita’diminuisce rapidamente. Il limite pratico e’ ±3σ, poiche’ l’ampiezza del noise e’ per il 99.7% dellevolte entro questi limiti. Poiche’ il valore di rms di una sorgente di rumore e’ uguale a σ, peressere sicuri che un segnale picco a picco,p-p, sia entro i limiti il 99.7% delle volte, si moltiplica ilvalore rms per 6(+3σ − (−3σ)) che e’ uguale a Ermsx6 = Epp

Ci si puo’ accontentare anche di meno, ad esempio del 95.4% e quindi si moltiplica per 4, oppure

2

se si vuole il 99.94% , cioe’ al massimo 6 volte su 10000, si moltiplica la σ per 6.8.La definizione di rms e’ basata sulla misura che i voltmetri digitali fanno della tensione AC, infunzione del tempo, v(t) secondo:

Vrms =

√

1

Tp

∫ T

0v2(t)dt (2)

dove Tp e’ il periodo. Applicando la definizione ad un’onda sinusoidale di Vm Volt p-p, si ottiene ilrisultato da ricordare : Vrms = 0.707Vm .

1 Cenni sul Common-Mode Noise

Prima di discutere dei vari tipi di rumore generato nei e dai dispositivi elettronici, si introducenelle sue componenti principali quello che si intende in generale per rumore: il segnale checompare sullo schermo dell’oscilloscopio a mascherare il segnale vero. A differenza del rumorecasuale dei dispositivi questo e’ un rumore che essendo generato o captato da altri generatori hauna struttura definita, per cui si riesce ad abbattere. Il mondo della tecnologia high tech e’ invasodal rumore. Conoscere le caratteristiche e capire il comportamento del rumore e’ importante perchi si accinge a progettare circuiti elettronici. Il rumore e’ generalmente causato da interferenzeelettromagnetiche (EMI), da interferenze di radiofrequenze (RFI) e da loop di massa ( o groundloop).

1.1 EMI

Le interferenze EMI si possono dividere in due categorie: quelle prodotte da dispositivi cheproducono intenzionalmente radiazione e.m., come i trasmettitori TV e radio, cellulari, radioamatori, sistemi radar e GPRS, insomma tutte le sorgenti che emettono deliberatamenteradiazione e.m. e quelle prodotte non intenzionalmente da sistemi quali i computer, la televisionedi casa, lo stereo, printer, copiatrici, luci al neon, strumenti di potenza ad es. trapano, e linee dipotenza. Questa seconda categoria e’ quella che genera piu’ problemi ai sistemi elettronici.

Si trascurano altre fonti di rumore, quale le sorgenti naturali di EMI come la luce, raggi cosmici,decadimenti radioattivi etc. che pure hanno la loro importanza vitale, ad es. nella strumentazionesatellitare, negli strumenti di controllo aereo etc.La maggior parte deila strumentazione elettronica ha un filtro EMI sul front enddell’alimentazione, in modo da bloccare la massima parte del rumore viaggiante sui cavi dialimentazione ( vedere le etichette omologate CE ). Sfortunatamente la EMI puo’ essere irradiataed accoppiarsi con l’involucro metallico o con le linee dati. Si ovvia a questo con connettoriaccoppiati e intrecciati e schermati con la schermatura messa a terra. Il rumore EMI puo’viaggiare anche sul sistema di connessione a TERRA, se questo non e’ ben progettato. Perovviare ai ground loop e’ necessario che tutto il sistema, piccolo o grande che sia, sia connesso aterra in un unico punto, altrimenti si generano loop di massa che alterano il comportamento ed isegnali del sistema.

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1.2 RFI

La RFI e’ la propagazione via radiazione e.m. e per conduzione su linee di segnali e sistemi dialimentazione AC. Nel primo caso, uno degli elementi che contribuisce di piu’ alla RFI e’ il cavodi tensione. Agisce come un’antenna, poiche’ la sua lunghezza a volte e’ proprio un quarto dilunghezza d’onda RFI della strumentazione digitale e dagli alimentatori switching. Nel secondocaso conduzione, ce ne sono due tipi: RFI common-mode ( asimmetrico ) e’ presente sulle linee esul neutro rispetto a terra ed il RFI differenziale (simmetrico) e’ presente come una tensione tra lelinee ed il neutro.

1.3 Ground loop

Uno dei problemi piu’ difficili da capire, diagnosticare e risolvere e’ il ground loop. Tutti i tipi diapparati sono suscettibili a questo problema. I ground loop causano errori sui dati, rotture dicomponenti, blocco dei computer e nei casi peggiori problemi di sicurezza. Il mettere a terra idispositivi e’ in prima istanza usato per problemi di sicurezza,es. evitare che ci siasurriscaldamento e prenda fuoco. A questo scopo si potrebbe pensare che la ridondanza dellamessa a terra sia una buona cosa perche’, se un punto di messa a terra e’ tolto per caso, ce nesono ancora altri. In realta’ questo e’ causa di problemi ancora maggiori, infatti i ground loopsono proprio dovuti al fatto che ci sono piu’ punti di messa a terra. La messa a terra e’ ancheusata per terminare la schermatura delle linee di trasmissione e prevenire che la radiazione siaemessa ed assorbita.Quando si formano ground loop, la corrente che fluisce nel ground e’ difficilmente definibile. Puo’essere causata da differenze di potenziale, da induzione da altri cavi o strumenti, errori dicablaggio, perdite di corrente per saldature sbagliate etc.. La corrente puo’ essere DC, 60Hz ofrequenze molto alte.I ground loop possono causare problemi ai sistemi elettronici in tre modi:

1. Correnti a basso voltaggio sul ground possono generare tensioni che producono errori neisegnali e quindi nei dati. Possono essere a bassa frequenza, 60Hz , o noise elettrico ad altafrequenza.

2. I transienti ad alta frequenza viaggiano sul ground dei dati piuttosto che il grounddell’alimentazione per andare a terra. Questi transienti possonon essere causatiinternamente da variazioni brusche della corrente, tipo la carica iniziale delle capacita’ diinput in un alimentatore switching, un motore induttivo, accensione di una luce. Questitransienti possono causare danni ai drivers, ai receivers, ai microprocessori e a quasi tutti isistemi se lo sbalzo e’ sufficentemente grande.

3. Il loop di ground e’ la causa principale del common-mode noise tra le fasi, neutro e ground,in un sistema di distribuzione di potenza. Questo noise e’ iniettato nel sistema dialimentazione e da questo passa ai componenti elettronici.

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1.4 Common Mode noise

Il termine common-mode noise e’ usato nell’ambito dei sistemi di alimentazione in ac ( ac power )e dei circuiti analogici.Il common-mode noise in termini di ac power e’ il segnale di rumore tra il conduttore diterra e il conduttore neutro. Non deve essere confuso con il normal mode noise. che e’ ilrumore tra le linee di conduzione e la linea neutra.Gli impulsi di c-m noise tendono ad avere una frequenza piu’ alta che il segnale del normal-noise.Questo perche’ la maggioranza dei segnali di c-m originano dalle capacita’ accoppiate al segnalenormal mode. Piu’ alta la frequenza tanto maggiore e’ l’accoppiamento con i conduttori, linee,neutro e terra. Le apparecchiature elettroniche sono da 10 a 100 volte piu’ sensibili al c-m noiseche al normal-mode noise. L’ammontare del noise presente sulle linee di potenza puo’ essere unasorpresa ogni volta. La sorgente di questo noise arriva dall’impianto elettrico, esterno ed internoall’edificio; principalmente e’ dovuto alla continua variazione del carico sulle linee dell’impianto.Qui di seguito e’ mostrato la forma caratteristica del noise sulle linee della tensione.

Alcuni dei segnali hanno la frequenza caratteristica della frequenza delle linee di 60 Hz. Questotipo di noise e’ il segnale del common-mode noise che si trova sulle linee di potenza. Se si lascial’oscilloscopio acceso a lungo si vedranno ogni tanto degli spike di segnale dovuti a motori accesi,trapani etc.. I tradizionali trasformatori ed anche i trasformatori di isolamento non bloccheranno isegnali del normal mode noise, ma se il secondario di questi trasformatori ha il neutro fissato aterra, al ground, questo puo’ servire a convertire il normal-mode noise in common-mode noise.Dal punto di vista della microelettronica questo e’ potenzialmente piu’ dannoso del normal-modenoise.Il common-mode noise e’ spesso riferito al Common-Mode Voltage (CMV) che e’ presente adentrambi gli ingressi di un circuito analogico rispetto al ground.

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La maggiore sorgente di common-mode noise e’ la differenza di potenziale tra due terre fisicamentelontane. Questo e’ il caso che capita spesso con reti di calcolatori quando ci sono ground loop. Itipici effetti sono intermittenti reboot, blocchi improvvisi, e un cattivo trasferimento dati. Quinditutti i componenti della rete, interfacce, porte seriali, parallele e modem sono i primi a risentirne.Una seconda importante sorgente di common-mode noise e’ quando una sorgente di potenza none’ messa a terra, ad esempio se un sistema di alimentazione almenta dei sistemi remoti e questisistemi non sono messi a terra. Anche le sorgenti RFI sono sorgenti di common-mode noise. I cavidi segnale agiscono come antenne se non sono schermati e la schermatura non e’ messa a terra.

1.5 Common-Mode rejection

Esistono delle tecniche di reiezione del common-mode noise per impedire che si trasformi innormal-mode noise. Una e’ la capacita’ degli amplificatori di escludere gli effetti delle tensioneapplicata ad entrambi i terminali simultaneamente. Il Common-Mode Rejection Rate , CMRR, e’il rapporto in dB dell’amplificazione del segnale differenziale all’amplificazione della tensione dicommon-mode. Il CMR e’ a volte definito come la frequenza effettiva associata con un massimo disbilanciamento in input: 120dB@500Hz1000Ω. Un rapporto di reiezione di 120dB significa cheuna tensione di common-mode di 1V passa attraverso il dispositivo come se ci fosse un segnaledifferenziale di input di 1µV . Questo significa che maggiore e’ il CMRR meglio e’.Per la misura del common-mode noise si puo’ usare un oscilloscopio nel dominio tempo/tensioneed un analizzatore di spettro per i dati nel dominio della frequenza.

2 Noise bandwidth

La definizione di larghezza di banda del noise, noise bandwidth, non e’ la stessa di quella delsegnale, larghezza di banda a -3 dB. La larghezza di banda di un amplificatore e’ classicamentedefinito come la larghezza della banda presa tra i punti a meta’ potenza; i punti sull’assedella frequenza dove la trasmissione del segnale e’ stato ridotto di 3dB rispetto al valore centrale.Questo significa una perdita di potenza del 50% e corrisponde ad un livello di tensione pari a0.707 della tensione corrispondente al centro delle frequenze. La noise bandwidth, ∆f , e’ lalarghezza corrispondente alla base di un rettangolo la cui area e’ uguale all’areasottesa dalla curva di guadagno in un determinato intervallo di frequenza. La noisebandwidth e’ quindi data dall’area sotto la curva di potenza, (integrale del guadagno dipotenza vs frequenza) divisa per l’ampiezza di picco della curva. L’equazione e’

∆f =1

G0

∫

∞

0G(f)df (3)

essendo G(f) il guadagno di potenza come funzione della frequenza e G0 il guadagno di potenzaal picco. Generalmente si conosce solo l’andamento della frequenza del guadagno di tensione delsistema e poiche’ il guadagno di potenza e’ proporzionale al quadrato del guadagno di tensionedella rete, la bandwidth equivalente puo’ anche essere scritta come

∆f =1

A2v0

∫

∞

0|Av(f)|2df (4)

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con Av0 l’ampiezza di picco del guadagno di tensione e |Av(f)|2 e’ il quadrato dell’ampiezza delguadagno in tensione vs la frequenza - il quadrato della grandezza del diagramma di Bode.

Nel plot di sinistra , notare la scala lineare in entrambi, si vede il plot del guadagno di unamplificatore dove il massimo e’ per una tensione dc, mentre in quello di destra il plot ha unmassimo, questo massimo del guadagno deve essere usato per normalizzare il calcolo dellabandwidth del noise. L’area tratteggiata del rettangolo e’ uguale all’area di integrazione della eq.precedente. Cosi’ la bandwidth del noise, ∆f , non e’ uguale alla potenza a meta’ altezzao alla bandwidth -3dB, f

′

2, sara’ sempre maggiore di f2

Come un esempio di calcolo di ∆f si consideri un filtro passa basso ad un polo la cui trasmissionedel segnale varia con la frequenza come Av(f) = 1/(1 + jf/f2) , con f2 la convenzionale frequenzadi cutoff -3dB e con la bassa frequenza e il guadagno di tensione a meta’ banda normalizzatoall’unita’. La grandezza del guadagno in tensione e’

|Av(f)| =1

√

(1 + (f/f2)2)(5)

e la noise bandwidth

∆f =

∫

∞

0

df

1 + (f/f2)2(6)

Con una sostituzione di variabile cosicche’ f − f2tanθ e df = f2sec2θdθ e con i nuovi limiti di

integrazione tra 0 e π/2 si ricava

∆f =

∫ π/2

0

f2sec2θdθ

1 + tan2θ= f2

∫ π/2

0dθ =

πf2

2= 1.571f2 (7)

Notare come la noise bandwidth sia 57% piu’ grande della convenzionale −3dB bandwidth per unfiltro passabasso ad un polo. Con circuiti a piu’ stadi in cascata, pero’, la noise bandwidth ∆fapprossima la bandwidth convenzionale di -3dB; con tre filtri passabasso in cascata la differenzae’ solo piu’ del 15%.Spesso il calcolo della ∆f con l’integrazione risulta non facile, ci sono delle soluzioni approssimateche forniscono un valore asintotico, ma l’approssimazione in certi casi e’ eccessiva e nonaccettabile. Un metodo pratico e’ di usare dei simulatori del circuito , esempio con SPICE o similioppure usare il metodo grafico con il calcolo dell’area geometricamente.

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Il termine densita’ spettrale e’ usato per descrivere il contenuto di rumore in una unita’bandwidth di 1 Hz. Ha unita’ di V 2Hz ed e’ indicata come S(f), per indicare che generalmentevaria con la frequenza. Nel caso di white noise, rumore bianco, la S(f) e’ costante vs la frequenza,e’ una smplice linea orizzontale.La misura il noise e’ il rms di una certa quantita’, tensione o corrente, di segnale di rumore. Cosi’si ottiene la densita’ spettrale dividendo il valore quadratico medio di una tensione di noise con labandwidth. Prendendo la radice quadrata di questa quantita’ si ottiene la tensione rms delrumore in 1 Hz di bandwidth. Notare che la radice quadrata della densita’ spettrale, E/

√∆f , e’

una quantita’ che si puo’ misurare, con unita’ V Hz1/2.La densita’ spettrale e’ quindi il valore del noise in una stretta banda di 1Hz e , come detto,generalmente varia con la frequenza. Per ottenere il rumore totale in tutta la banda, la funzionedella densita’ spettrale deve essere integrata sulla banda di frequenze che interessa.

3 Meccanismi base del rumore

Nei circuiti elettronici ci sono fondamentalmente, oltre al common-mode noise, ben 5 sorgenti dinoise:

. Shot Noise

. Thermal Noise

. Flicker Noise

. Burst Noise

. Avalanche Noise

Nei circuiti che impiegano Op-amp il burst noise e l’avalanche noise non sono un problema, o sipossono eliminare facilmente se presenti, per cui non se ne terra’ conto nell’analisi circuitale.Si parlera’ di seguito di white noise, rumore bianco, tutte le volte che la potenza del noise e’proporzionale alla larghezza di banda del noise, cioe’ la potenza di noise e’ costante in ogni Hertzdi larghezza di banda; la potenza nella banda da 1 a 2 Hz e’ uguale a quella in da 1000 a 1001, lapotenza e’ piatta. Il segnale di noise e’ composto da infinite frequenze.

3.1 Shot Noise

Lo shot noise e’ sempre associato con il passaggio della corrente in transistor, diodi o tubi avuoto; esso e’ prodotto ogni qualvolta delle cariche elettriche passano attraverso una barriera dipotenziale, come in una giunzione np o in un tubo a vuoto alla superfice tra catodo e vuoto. Ladomanda che ci si pone in questa situazione riguarda quante cariche attraversano la superficienell’unita’ di tempo. La quantita’ di cariche e’ un parmetro casuale, che dipende dalla correntemedia, ma con fluttuazioni sopra questa media che sono causa del rumore chiamato shot noise.Non c’e’ shot noise nei conduttori semplici. Attraversare una barriera di potenziale e’ un puro

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evento casuale, cosi’ la corrente istantanea i e’ composta da un grande numero, indipendenti, diimpulsi di corrente con un valore medio IDC . Lo shot noise e’ generalmente definito in termini dirms della corrente di noise, come Ish =

√

(2qIDC∆f) e passando al continuo come varianza< i2sh >, dove :

< i2sh >=< (i − iDC)2 >=

∫

2qiDCdf (8)

Essendo q la carica dell’elettrone (1.62 · 10−19C), IDC e’ la corrente diretta in Ampere e df e’ ildifferenziale della frequenza. Il fatto che la la corrente di shot noise dipenda dalla radice quadratadella bandwidth ∆f dimostra che lo shot noise e’ spettralmente piatto o ha una densita’ dipotenza uniforme, che significa che quando si plotta la densita’ di potenza vs frequenza questa haun valore costante, e’ un white noise, infatti la potenza di noise e’ definita comeP =< i >2 R = 2qIDCR∆f da cui si vede come la potenza per unita’ di bandwidth. Esso e’ ancheindipendente dalla temperatura. Il temine qiDC e’ una densita’ di potenza avente unita’ A2/Hz.

Nei transistori BJT la barriera piu’ importante e’ quella della giunzione emitter-base, mentre neiJFET e’ la gate-source. Nel caso del BJT la caratteristica I-V di emitter-base e’ descritta dallaequazione IE = IS(exp(qVBE/kT − 1), dove IE e’ la corrente di Emitter, IS e la corrente inversadi saturazione e VBE e’ la tensione base- emitter. La espressione si puo’ riscrivere comeIE = I1 + I2 , con I1 = −IS e I2 = exp(qVBE/kT ). Scritta in questo modo si puo’ associare lacorrente I1 generata termicamente dai portatori minoritari, mentre la I2 rappresenta la diffusionedei portatori maggioritari attraverso la barriera. Ciascuna di queste correnti ha shot noise e anchese scorrono in direzioni opposte i loro valori quadratici medi si sommano.In condizioni di bias inverso, la I2 ≃ 0 e la corrente di shot noise I1 domina, al contrario quando ilbias e’ diretto domina la corrente di shot noise I2. Per zero bias non c’e’ corrente esterna diretta ela I1 e la I2 sono uguali ed opposte. Il valore quadratico medio dello shot noise totale e’ quindi ildoppio della corrente di shot con bias inverso I2

sh = 4qIS∆f .A questo punto si puo’ disegnare il circuito equivalente di una sorgente di shot noise checonsiste in un generatore di corrente in parallelo, nel caso di una giunzione np con bias diretto,alla resistenza priva di noise di emitter di Shockley che vale re = kT/qIE .

La tensione di noise si ricava a questo punto dal circuito comeEsh = (0.025/IE)

√

(2qIE∆f) = 1.42 · 10−11√

(∆f/IE)

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3.2 Thermal Noise

Il noise termico, ( thermal noise), e’ prodotto dall’agitazione termica dei portatori di carica (elettroni o lacune) in un conduttore. Questo noise e’ presente in tutti gli elementi resistivi passivi.Come lo shot noise, il thermal noise e’ spettralmente piatto e ha una densita’ di potenza piatta,ma il thermal noise e’ indipendente dal passaggio della corrente.In ogni conduttore o resistore a temperatura maggiore dello zero assoluto produce si haproduzione di thermal noise; sebbene la corrente media generata da questo rumore sia zero,istantaneamente c’e una corrente fluttuante che da’ luogo ad una tensione ai capi del conduttore.La available noise power, potenza di rumore disponibile in un conduttore, Nt, e’ proporzionalealla temperatura assoluta ed alla larghezza di banda ∆fdel dispositivo di misura: Nt = kT∆f .l’available noise power e’ la potenza che puo’ essere fornita ad una sorgente resistiva quando essae’ applicata a una resistenza di carico senza noise RL uguale alla resistenza della sorgente RS . Ilnoise termico in un conduttore puo’ ben essere modellato come una tensione o corrente. Quandoe’ modellato come una tensione esso e’ messo in serie con un resistore privo di noise; quando e’modellato come corrente, esso e’ messo in parallelo con un resistore privo di noise. Quindi,RL = RS e E0 = Et/2 rappresenta il vero rms della tensione di noise. La potenza fornita a RL e’Nt ed e’ data da

Nt =E2

0

RL=

E2t

4RL=

E2t

4RS= kT∆f (9)

Il circuito equivalente per determinare la tensione di noise e’ il seguente

Dalla relazione precedente si ricava Et la rms della tensione del rumore termico di una resistenzaR = RS che vale

Et =√

4kTR∆f

, essendo R la resistenza o la parte reale della impedenza del conduttore , in Ohm, e k la costantedi Boltzmann (1.3910−23J/K) o 1.3810−23W − s/K, T il valore assoluto della temperatura inKelvin (K). N.B. ricordare che :4kT = 1.61 · 10−20 a 290K. Dalla definizione di densita’spettrale si ha che S(f) = E2

t /∆f = 4kTR.Il valore medio dello scarto quadratico medio della sorgente di tensione di noise, e della sorgentedi corrente di noise, si calcola come :

e2t =

∫

4kTRdf

10

i2t =∫

(4kT/R)df

I termini 4kTR e 4kT/R sono quindi le densita’ di potenza, o spettrale, della tensione e correnteavente come unita’ V 2/Hz e A2/Hz. A temperatura ambiente (17oC oppure 290K), per unabandwidth di 1.0Hz si ha Nt = 4 · 10−21W , che equivale a -204dB per 1W . Nella RFI si prendecome standard 1mW e si indica con dBm lo standard del noise power.

dBm = 10log10(410−21

10−3 ) = −174dBm

Questo livello di noise power di −174dBm e’ spesso usato come riferimento ed e’ chiamato il”noise floor” o il livello minimo di noise per un circuito elettronico che opera a temperaturaambiente. Questo significa che il Thermal Noise e’ il limite inferiore della risoluzionedi qualsiasi sistema di misura.Per ottenere il noise totale su tutta la banda, si deve integrare la densita’ spettrale sulla banda difrequenza che interessa.

Si consideri un sistema come in figura, dove una resistenza e’ usata come sorgente di rumore chee’ amplificato da un amplificatore passabanda ideale senza noise. Il noise di output totale dellasorgente, misurato da un vero voltmetro che misura la rms, sara’ descritto dalla seguenteespressione:

E2no = 4kTR

∫

∞

0|Av(f)|2df (10)

11

che moltiplicata e divisa per A20 diventa

E2no = 4kTRA2

vo

∫

∞

0

1

A2vo

|Av(f)|2df (11)

da cui si ricavaE2

no = 4kTRA2vo∆f (12)

Qui la E2no rappresenta la tensione quadratica media di output del noise a banda larga, mentre

quella a banda stretta, cioe’ proprio la densita’ spettrale, sara’ E2no/∆f = S(f) = 4kTRA2

v. N.B.Ricordarsi che si tratta di amplificatore ideale e senza noise!

3.2.1 Circuito equivalente del noise termico

Per fare un’analisi del rumore in un sistema elettronico, ogni elemento che genera rumore termicodeve essere rappresentato da un circuito equivalente composto da un generatore di tensione inserie con una resistenza senza noise.Si supponga di avere una resistenza R tra due capi a e b. Per l’analisi del rumore la resistenza Rsi sostituisce con un generatore di tensione di noise in serie con una resistenza senza noise dellostesso valore Ohmico. Il generatore di noise fornira’ una tensione Ei con lo rms uguale a√

(4kTR∆f). Il noise sara’ misurato a diverse frequenze e sara’ definito dal valore di rms del suooutput.

Un circuito equivalente con un generatore di corrente costante di noise, secondo il teorema diNorton, sara’ costituito da un circuito con la sorgente in parallelo alla resistenza. Il generatore dicorrente di noise It avra’ un valore di rms pari a Et/R.

3.2.2 Confronto del rumore termico e shot noise

La seguente figura mostra per confronto gli andamenti del noise termico per una resistenza R e loshot noise di un diodo, da cui si deduce come la corrente di noise termico tende a decrescereall’aumentare all’aumentare della resistenza, mentre la corrente di shot noise tende a crescere.

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3.2.3 kT/C noise limit

L’espressione del rumore termico Et =√

(4kTR∆f) predice che un circuito aperto ( resistenzainfinita ) generi una tensione di rumore infinita. In pratica questo non capita perche’ c’e’ sempreuna capacita’ parassita in giro, che si comporta come se fosse in parallelo, ( shunt capacitance )che ne limita la tensione.Si consideri il circuito equivalente con la combinazione di una resistenza con noise R e di unacapacita’ di shunt. L’effetto della capacita’ e’ duplice per quanto riguarda la tensione di noise dioutput Eno, in quanto le basse frequenze sono esaltate mentre le alte frequenze sono tagliate.

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All’aumentare di R si ha si’ l’aumento del rumore ma si ha contemporaneamente un taglio sullealte frequenze e quindi una riduzione della larghezza di banda.

Dal plot seguente, output vs frequenza per una capacita’ costante e diversi valori di R, si vedecome la tensione di noise cresce come la radice quadrata di R mentre la larghezza di bandadecresce proporzionalmente alla resistenza; l’area totale sotto la curva, il noise quadratico medio,rimane costante. Il noise totale di output misurato da un vero rms-voltmetro con banda infinitarisulterebbe, applicando la (10) ed integrando, E2

no = kT/C

Dalla relazione E2no = kT/C si vede come la tensione di output del rms del noise e’ indipendente

dalla resistenza sorgente e dipende solo dalla temperatura e dalla capacita’ ! Ora la maggior partedell’energia e’ contenuta nella regione a basse frequenze perche’ quelle alte sono tagliate fuoridalla capacita’ C. Il limite di noise e’ indicato spesso come noise kT/C. Esso diventa importante

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in applicazioni dove si utilizzano circuiti di sample and hold, tipo convertitori A/D o circuiti concapacita’ di switching.Esempio Se si ha una stray shunting capacitance di C = 1pF , E2

no = 4 · 10−9V 2 =≃ 64µV che e’una quantita’ significativa. Questo vuol dire che per minimizzare il rumore bisogna ridurre labandwidth del sistema al valore strettamente necessario al fine di avere un buon rapporto segnalerumore.

3.3 Flicker Noise o 1/f Noise o Excess Noise o Noise a bassa frequenza

Il Flicker Noise e’ anche chiamato noise 1/f , esso ha diverse proprieta’ interessanti. Una di questee’ un grosso problema, infatti la densita’ spettrale di questo noise cresce senza limiti come lafrequenza decresce; e’ stato misurato un 1/f noise dell’ordine di 610−5Hz, che significa pochi ciclial giorno, Esso e’ presente in tutti i dispositivi attivi in cui scorre una corrennte ed ha diverseorigini, ad esempio nei dispositivi a semiconduttore esso puo’ essere prodotto dalle discontinuita’che la corrrente incontra per le imperfezioni del materiale. Il Flicker Noise e’ sempre associato aduna corrente dc, ed il valore dello scarto quadratico medio ha la forma:

< e2 >=

∫

(K2e /f)df, i2 =

∫

(K2i /f)df (13)

Dove Ke e Ki sono le costanti appropriate del dispositivo ( in Volt e Amp ).Il Flicker noise e’ piu’ importante nei resistori con composizione in carbone dove e’ spessochiamato piu’ propriamente excess noise poiche’ esso appare in aggiunta al thermal noise. Altritipi di resistori esibiscono anche il flicker noise a diversi gradi, molto basso in quelli a laminemetalliche . Poiche’ il flicker noise e’ proporzionale alla corrente dc nel dispositivo, se la correntee’ tenuta abbastanza bassa, il noise termico predominera’ ed il tipo di resistore usato nonmodifichera’ il noise nel circuito.I termini K2

e /f e K2i /f sono le densita’ di potenza di tensione e corrente avente unita’ di V 2/Hz

e A2/Hz.L’excess noise in un resistore si puo’ misurare in termini di un noise index espresso in dB. Il

noise index e’ il numero di microvolt di noise in un resistore per volt di caduta di tensione dc nel

resistore in ogni decade di frequenza. Cosi’ il noise in questo caso e’ espresso in termini di cadutadi tensione, piuttosto che di resistenza o corrente. Poiche’ il noise ha uno spettro di potenza deltipo 1/f questo significa che la tensione del noise cresce come la radice quadrata delladiminuzione della frequenza. Diminuendo la frequenza di un fattore 10 la tensione di noise crescedi un fattore circa 3.La potenza del noise tipicamente segue un caratteristico andamento 1/fα , con α che hausualmente il valore 1, ma che e’ stato osservato anche con valori tra 0.8 e 1.3 in diversidispositivi. Il noise 1/f e’ molto generalizzato e non si trova solo nei dispositivi elettronici, maanche in sistemi biologici; le fluttuazioni della frequenza della terra hanno un α di 2, mentre lefluttuazioni galattiche hanno una potenza con un α di 2.7.Poiche’ la la potenza di noise e’ inversamente proporzionale alla frequenza, e’ possibiledeterminare il contenuto del noise in una banda di frequenza integrando sulla banda di frequenzache interessa. Si ottiene che :

Nf = K

∫ fh

fl

df

f= Kln

fh

fl(14)

15

essendo Nf la potenza del noise in watt, K una costante dimensionale anche lei in watt e fl e fh

sono i limiti superiore ed inferiore della frequenza della banda considerata. La potenza di noisepresente in ogni decade di frequenza, tale che fh = 10fl, vale Nf = 2.3K1, che mostra come lapotenza di noise sia costante in ogni banda di decade di frequenza; essa e’ uguale nella banda da10 a 100 Hz come in quella di 0.01 e 01.1 HZ. Poiche’ il noise e’ scorrelato, gli rms di ogni decadedevono essere sommati, quindi la potenza totale cresce come la radice quadrata del numero didecadi della banda di frequenza.La densita’ spettrale della tensione di noise sara’ in questo caso Sf (f) = E2

f/f , in V 2/Hz. Se siha 1µV di noise 1/f in una decade di frequenza allora

(1µV )2 =

∫ 10fh

fl

Sf (f)df =

∫ 10fh

fl

E2fdf

f= 2.3E2

f (15)

Da cui si vede come la densita’ spettrale dl noise 1/f si riduca a Sf (f) = (1µV )2

2.3f . Da qui sorge ladomanda: poiche’ la potenza di noise cresce al diminuire della frequenza perche’ il noise dc non e’infinito? La domanda e’ corretta dal punto di vista teorico, ma dal punto di vista pratico ci sonodelle limitazioni sul noise 1/f , infatti ad esempio in un amplificatore dc c’e’ un limite inferiorealla risposta in frequenza fissata dal tempo per cui l’amplificatore e’ stato acceso.Quasto limiteinferiore attenua le componenti di frequenza con periodo maggiore a quel tempo.Un esempio puo’ aiutare a spiegare meglio. Si consideri un amplificatore dc con una frequenzadi taglio superiore di 1000Hz. E’ stato acceso per un giorno. Poiche’ 1 ciclo/giorno corrisponde acirca 10−5Hz, la sua larghezza di banda puo’ essere fissata in 8 decadi. Se rimane acceso per 100giorni, si aggiungono altre due decadi o equivalentemente

√

(10/8) =√

1.25 = 1.18 volte il noisedi 1 giorno. Il noise per Hertz approssima l’infinito, ma non il noise totale. Questo inoltre mostracome la accuratezza di misura del noise 1/f di un amplificatore dc non aumenta aumentando ladurata del tempo di misura, diversamente dalla misura del white noise per cui l’accuratezzaaumenta come la radice quadrata del tempo di misura.

3.4 Burst Noise

Il Burst Noise, chiamato anche popcorn noise, appare essere in relazione ad imperfezioni nelmateriale semiconduttore ed all’impiantazione di ioni pesanti. Il burst noise fa un suono come unticchettio ad una rate sotto i 100Hz quando si sente ad un altoparlante. Un burst noise moltobasso si ottiene con un processo di pulitura del materiale.

3.5 Avalanche Noise

L’avalanche noise e’ creato quando una giunzione np e’ portata in condizione di breakdown conpolarita’ inversa. Sotto l’influenza di un forte campo elettrico inverso nella regione di svuotamentodella regione, gli elettroni hanno abbastanza energia cinetica che quando collidono con gli atomidel reticolo cristallino si formano altre coppie elettrone-lacuna. Queste collisioni sono puramentecasuali e producono impulsi di corrente casuali simili allo shot nose, ma molto meno intensi.

16

4 Analisi del noise dei circuiti

4.1 Somma di tensioni di noise

Quando due sorgenti di tensioni di segnali sinusoidali, di uguale ampiezza e ugualefrequenza e fase, sono connesse in serie, la tensione risultante ha due volte l’ampiezza comune ele due combinate forniscono quattro volte la potenza di una singola. Se d’altra parte essedifferiscono in fase di 180o la tensione e la potenza netta della coppia e’ nulla.Nel caso di due sorgenti di tensione di segnali sinusoidali di frequenze differenti con ampiezze V1 eV2 connesse in serie , la tensione risultante ha un rms dell’ampiezza uguale a

√

(V 21 + V 2

2 ) e ilvalore quadratico medio dell’onda risultante V 2

r e’ la somma dei valori quadratici medi dellecomponenti, V 2

r = V 21 + V 2

2 .I generatori di noise equivalente rappresentano un numero molto grande di componenti difrequenze con una distribuzione casuale di ampiezze e di fasi. Quando si mettono in seriegeneratori indipendenti di noise, la potenza in uscita e’ la somma delle potenze in uscitaindividuali di ogni generatore e quindi esse si debbono combinare quadraticamente in modo che latensione quadratica media risultante sia la somma delle tensioni quadratiche medie di ognigeneratore. Questo stesso vale per i generatori di corrente connessi in parallelo.Nella figura sono indicate due sorgenti indipendenti e scorrelate, E1 ed E2, di rumore; la sommadelle tensioni sara’ la somma quadratica dei valori quadratici medi, E2 = E2

1 + E22 , lo rms sara’ la

radice quadrata di questo valore medio.

Una regola pratica ci dice che se gli rms delle sorgenti sono diversi per ordini di grandezza, ad es.se le tensioni rms di due sorgenti di noise sono tra di loro come 10:1 , il segnale piu’ piccoloaggiunge meno dell’1% alla tensione totale, un rapporto 3:1 aggiunge il 10%; queste regolepratiche debbono essere tenute in considerazione quando si calcola il noise totale.

Si supponga di avere due semplici circuiti composti da soli elementi resistivi, vedi figura seguente,(a) e (b), si vuole determinate la tensione di noise di output, Eno, dovuta al noise termico delleresistenze, di sorgente e non. Per semplicita’ si trascura il noise termico della resistenza di carico.Applicando l’analisi circuitale lineare si ha

Eno = RLEt/(RS + RL) (16)

= 0.5(4nV/√

Hz) = 2nV/√

Hz (17)

17

Questo metodo va bene nel caso (a), ma se si applicasse allo stesso modo al caso (b) si avrebbe unrisultato errato, perche’ il noise non si combina linearmente, cioe’ il principio di sovrapposizionenon vale nel caso di piu’ sorgenti di noise. La maniera giusta di procedere e’ quella di sommarequadraticamente :

E2no = R2

LE2t1/(Rs1 + RS2 + +RL)2 + R2

LE2t2/(RS1 + RS2 + RL)2

= (0.5)2(2.82nV/√

(Hz)) + (0.5)2(2.82nV/√

Hz))2

= (0.5)(2.82nV/√

Hz))2 = 4 · 10−18V 2/Hzper cui Eno = 2nV/

√

(Hz)

Per evitare i problemi il modo di procedere e’ quello di combinare ogni elemento in serie oparallelo in un singolo elemento equivalente e poi calcolare il contributo al noise dell’elementoequivalente, vedi figura (c).

4.2 Correlazione

Finora si e’ parlato di sorgenti scorrelate, in cui non c’e’ nessuna relazione tra i valori istantaneidelle tensioni. Se invece si hanno segnali, ad esempio di tipo sinusoidale, che hanno la stessaforma cioe’ la stessa frequenza e fase, anche se non hanno la stessa ampiezza, questi sono detti100% correlati. I valori istantanei o gli rms di funzioni d’onda completamente correlate sidebbono sommare aritmeticamente :(Et1 + Et2)

2 = E2t1 + E2

t2 + 2Et1Et2. Quando sonoparzialmente correlati, bisogna fare ricorso alla forma generica

E2 = E21 + E2

2 + 2CE1E2

18

Il termine C e’ il coefficente di correlazione che puo’ avere ogni valore tra -1 e +1, compreso lo 0.Naturale che C = 0 significa che le sorgenti sono scorrelate, caso precedente; quando C = 1 lesorgenti sono completamente correlate ed allora si possono sommare linearmente; nel caso diC = −1 le sorgenti sono correlate ma con fase opposta e quindi bisogna sottrarre i segnalicorrelati.Come criterio pratico, in generale, si assume che le sorgenti siano completamente scorrelate, inquanto l’errore che si introduce mettendo C = 0 invece che C = 1 e’ pari ad evere nel calcolo delrms il valore 2 volte gli rms separati al posto di 1.4 volte, cioe’ e’ pari al 30%. Ancora minore se lesorgenti sono solo parzialmente correlate o se una e’ molto piu’ grande dell’altra; con un segnaleche sia 10 volte maggiore dell’altro , trascurando questo secondo si fa un errore che la masimo e’pari al 8, 6% che e’ una buona precisione nelle misure di rumore.

4.3 Analisi dei circuiti di reti con noise

Si prenda ad esempio lo schema semplificato dei seguenti circuiti, vedi figura seguente ;l’analisicircuitale che se ne puo’ fare e’ un buon modo per illustrarne i principi generali. Ricordarsi cheogni rete a due terminali si puo’ sempre ricondurre ad un circuito con un generatore di tensioneed una impedenza.

Nel primo circuito (a) una sorgente di segnale sinusoidale e’ connessa a due resistenze senzanoise. Con la legge di Kirchhoff si puo’ scrivere V = IR1 + IR2. Quale sara’ il valore quadraticomedio ? Poiche’ la sorgente e’ unica, naturalmente i segnali nei due elementi resistivi sonocorrelati non si puo’ scrivere (V )2 = (IR1)

2 + (IR2)2 ma si deve aggiungere il termine di

correlazione (V )2 = (IR1)2 + (IR2)

2 + 2CIR1IR2 e, in quanto esiste una sola corrente, lacorrelazione e’ 100%, quindi C=1. La relazione valida e’

V 2 = I2(R1 + R2)2 (18)

Da qui la regola quando resistenze o impedenze sono connesse in serie, esse debbono essere prima

sommate tra di loro e poi, se si tratta di quantita’ quadratiche medie, la somma deve essere

elevata al quadrato.Questo naturalmente vale anche se la sorgente V e’ una sorgente di rumore, perche’ ancora sitratta di una unica corrente che percorre il circuito.Nel secondo circuito (b) si hanno due sorgenti di tensione di noise scorrelate ( o anche sorgentisinusoidali di diverse frequenze ) in serie con due resistenze senza noise. La corrente in questo

19

circuito deve essere espressa in termini di valore quadratico medio, in cui non c’e il termine dicorrelazione essendo in questo caso C=0

I2 =E2

1 + E22

(R1 + R2)2(19)

Un criterio generale, quando si hanno piu’ sorgenti di tensione, e’ quello di adottare il principio disovrapposizione che dice : in una rete lineare la risposta per due o piu’ sorgenti che operano

contemporaneamente e’ la somma delle risposte di ciascuna sorgente che opera singolarmente

mentre le altre sorgenti di tensione sono cortocircuitate o, se sorgenti di corrente, sono a circuito

aperto.

Nel caso (b) le correnti circolanti, considerate individualmente sono I1 = E1/(R1 + R2) eI2 = E2/(R1 + R2). Essendo sorgenti scorrelate si ha I2 = I2

1 + I22 ; inserendo i valori per I1 ed I2

si ottiene la (18).Nel terzo circuito (c) le sorgenti sono correlate e quindi bisogna aggiungere il termine dicorrelazione (si vede dal segno di polarita’ che indica come le due sorgenti agisconocoerentemente). Il termine quadratico medio quindi sara’ :

I2 =E2

1 + E22 + 2CE1E2

(R1 + R2)2(20)

con 0 < C ≤ +1; se la polarita’ fosse tale da indicare che le sorgenti agiscono in modo oppostoallora C prenderebbe i valori −1 ≤ C < 0. Ricordare che in caso di piena correlazione,C = 1 e quindi si puo’ scrivere (E = IR1 + IR2).

Si supponga che il circuito invece sia del tipo come illustrato, dove ci sono diverse correnti di noisescorrelate, e si voglia determinare la corrente I1 che passa attraverso R1.

Si usa il principio di sovrapposizione, si indica con I11 il contributo a I1 da parte di E1 e con I12

quello di E2. Dal circuito si ottiene :

E21 = I2

11[R1 + R2R3

(R2+R3

]2 e analogamente E22 = I2

2 [R2 + R1R3

(R1+R3

]2

Inoltre si ha I12 = I2R3/(R1 + R3) e per I11 si scrive

I211 =

E21(R2 + R3)

2

(R1R2 + R1R3 + R2R3)2(21)

20

e

I212 =

E22R

23

(R1R2 + R1R3 + R2R3)2(22)

da cui si ricava

I21 =

E21(R2 + R3)

2 + E22R

23

(R1R2 + R1R3 + R2R3)2(23)

Si puo’ generalizzare il procedimento in questo modo: nel determinare la corrente totale dinoise risultante da diverse sorgenti di noise scorrelate, il contributo di ciascuna sorgentedeve essere sommato in modo tale che la corrente totale deve crescere per ogni termineaggiunto. Questo significa che nel calcolo delle E1 ed E2 nel circuito precedente non sidebbono trovarsi termini con segno meno. Per giustificare l’assunzione ci sono diversiargomenti, non ultimo l’effetto termico delle correnti, che in ogni caso si somma. C’e’ laregola quindi che, quando di fa l’analisi del noise di reti con diverse sorgenti, si assegna unapolarita’ alle sorgenti tale che non diano contributi negativi.

21

5 Modello del rumore in un amplificatore

Ogni componente di un circuito elettronico e’ sorgente di noise e un circuito comel’amplificatore, che contiene molti componenti, sarebbe difficile da analizzare in termini dinoise con l’analisi circuitale. A questo scopo si ricorre ad un modello di noise perl’amplificatore per semplificare il calcolo, il modello En − In, che prevede solo dueparametri di noise, che non sono difficili da misurare.Viene introdotto il concetto di noise figure e si dimostra che il primo stadio di una catenadi amplificazione e’ quello che contribuisce maggiormente al noise e se l’amplificazione diquesto stadio e’ sufficentemente alta si puo’ trascurare il contributo dagli altri stadi.

5.1 Il modello d tensione e corrente di noise

Esistono modelli universali per descrivere il noise per ogni rete a due porte. La rete e’definita come un black box senza noise e le sorgenti interne di noise sono rappresentategeneralmente da due coppie di generatori di noise, tensione e corrente, ( in totale 4generatori ), sistemati all’input o all’output della rete od in entrambe le porte.Il modello per l’amplificatore adottato prevede invece solo tre generatori di noise: ungeneratore di tensione, uno di corrente ed un generatore, se cosi’ si puo’ chiamare,costituito dal termine col coefficente di correlazione. Usualmente sono sufficenti duegeneratori perche’ il coefficente e’ uguale a zero.

Il modello della figura seguente puo’ essere usato per qualsiasi amplificatore, come pure percircuiti passivi, singoli transistori, diodi tunnel, amplificatori integrati (IC) etc. In figura e’inserito anche un sensore che e’ splittato in tre parti: la sorgente di segnale Vin, intesasenza noise, una sorgente di noise, pure noiseless, e una resistenza di sorgente di noise Rs.

Il noise dell’amplificatore e’ rappresentato completamente da un generatore di tensione azero impedenza En in serie con una porta di input, un generatore di corrente a impedenza

22

infinita In in parallelo con l’input, e da un coefficente di correlazione complesso C nonindicato. Ciascuno di questi termini normalmente e’ indipendente dalla frequenza. Il noisetermico della sorgente di segnale Vin e’ rappresentato dal generatore di noise Et.Nel caso pratico interessa calcolare il rapporto segnale su rumore all’output delsistema. Ora poiche’ la rete di condizionamento del segnale prevede diversi stadi diamplificazione, shaping etc. risulta difficile valutare l’incidenza del rumore sul segnalesopratutto per le singole parti del circuito; e’ per questo che si adotta il criterio di riferiretutto il noise alla porta di input e si considera l’amplificatore libero da noise, in questomodo risulta facile apprezzare gli effetti di variazioni sia sul segnale che sul rumore.Sia il parametro En che In sono scelti in modo da rappresentare adeguatamenteun amplificatore.

5.2 Noise equivalente di input

Da quanto detto precedentemente per facilitare l’analisi di un circuito con amplificatore e’opportuno fare ulteriori semplificazioni: Ridurre tutte le sorgenti di noise in input sono aduna sola sorgente: il noise equivalente di input, Eni. Questo parametro tiene conto di tuttele sorgenti di noise della sorgente di segnale. In questo modo, poiche’ il segnale ed il noisesono riferiti allo stesso punto, e’ facile valutarne il rapporto S/N . Nel circuito i livelli ditensione del segnale e del noise, che appaiono ai capi di Zin, sono trasferiti all’output dauna funzione di trasferimento che e’ il guadagno in tensione Av; quello che si vuole e’calcolare questi livelli dopo il trasferimento. Per un segnale, la funzione di trasferimentodalla sorgente di segnale di input alla porta di output e’ chiamata guadagno di sistema Kt,quindi vale la definizione:

Kt =Vso

Vin

(24)

Da notare che Kt e’ altra cosa dal guadagno in tensione Av. Kt dipende siadall’impedenza di input dell’amplificatore che dalla resistenza della sorgente generatrice delsegnale e varia con la frequenza, Av invece dipende solo dall’impedenza di inputdell’amplificatore. Il segnale di tensione di output ha l’ rms che puo’ essere espresso come

Vso = |AvVinZin

RS+ZZ in| e sostituendo si ha per Kt, Kt = | AvZin

RS+Zin|.

Nello studiare la risposta in termini di noise si deve sommare ogni contributoquadraticamente. Il noise totale al terminale di output e’ E2

no = A2vE

2i . avendo indicato con

Ei il noise equivalente presente al terminale di input; questo deve tenere conto di tutti icontributi nel seguente modo:

E2i = (E2

t + E2n)| Zin

Zin + RS

|2 + I2n|Zin||RS|2 (25)

Notare il simbolo || utilizzato per indicare la combinazione in parallelo di Zin e RS. Ora sipuo’ calcolare Eno come:

E2no = A2

vE2i = (E2

t + E2n)|Av|2|

Zin

Zin + RS

|2 + I2n|Av|2|Zin||RS|2 (26)

23

Il noise equivalente di input Ein, che rappresenta tutto il noise, sorgente + noise internodell’amplificatore, e’ legato a Eno attraverso il guadagno di sistema, Kt, dalla relazioneE2

no = K2t /E

2ni, e quindi dividendo E2

no per il quadrato del guadagno del sistema Kt, siottiene

E2ni = E2

t + E2n + I2

nR2S

(27)

Questa espressione e’ importante per l’analisi di molti problemi di noise, perche’ puo’ essereapplicata a sistemi che contengono dispositivi attivi. Notare la semplicita’, essa dice che ilvalore quadratico medio del noise equivalente di input e’ la somma dei valori quadraticimedi dei tre generatori di noise. Questa unica sorgente di noise, localizzata nel punto dellaVin, sostituisce tutte le sorgenti di rumore. In altre parole la singola sorgente di rumore E2

ni

inserita in serie con la sorgente di segnale Vin produrra’ lo stesso output totale di noise,E2no.

Notare che E2ni e’ indipendente dal guadagno dell’amplificatore e dalla sua impedenza. E’

questa indipendenza dal guadagno ed impedenza che rende E2ni l’indice piu’ utile per

confrontare le caratteristiche di noise di amplificatori e dispositivi.Se i generatori di tensione e correnti di noise non sono indipendenti, ma in qualche modohanno una correlazione, bisogna tenerne conto ed inserire nella espressione il termine con ilfattore di correlazione; si ha in questo caso :

E2ni = E2

t + E2n + I2

nR2S + 2CEnInRS

Il termine di correlazione si puo’ vedere come un altro elemento generatore di tensione dinoise con rms pari a

√

(2CEnInRS) in serie con En oppure un generatore di corrente√

(2CEnIn/RS) in parallelo a In.

5.3 Misura di En e In

Uno dei motivi per cui il modello En − In e’ largamente accettato e’ la facilita’ della misuradei suoi parametri. Partendo dalla espressione:

E2ni = E2

t + E2n + I2

nR2S

(28)

Il noise termico della resistenza di sorgente Et puo’ essere facilmente calcolato

Et =√

(4kTRS∆f)

Inoltre si puo’ osservare che se RS viene messo a zero, due termini della espressionescompaiono ed il noise equivalente di input e’ semplicemente il generatore di noise En

24

dell’amplificatore. Una misura del noise totale di output, con RS = 0 , e’ quindiuguale a AvEn, e dividendo quindi il noise totale di output con Av si ha il valoredi En.Il terzo parametro della espressione In, corrente di noise interna dell’amplificatore, neltermine InRS, si puo’ misurare rendendo la resistenza della sorgente molto grande. Ilcontributo del noise termico e’ proporzionale alla radice quadrata della resistenza disorgente mentre il termine InRS e’ proporzionale alla prima potenza della resistenza, quindiper RS molto grande questo termine domina sul termine termico. Per determinare In allorasi misura il noise totale di output avendo come input una grande resistenza e si divide peril guadagno di sistema che si calcola con questa resistenza di sorgente in serie in input.Questo da’ il valore Eni, che e’ formato principalmente dal termine InRS, per cui dividendoper RS si ottiene la componente In. Il piccolo contributo dal noise termico, se si ritienenecessario, si puo’ togliere successivamente da Eni.I valori di En e In variano con la frequenza, il punto di lavoro e dal tipo di dispositivoamplificatore di input. Ci sono tabelle di misure a questo scopo che si possono consultare.Il noise equivalente di input, Eni, e’ valido per una determinata banda di frequenza; se e’necessario lavorare su una banda piu’ ampia, si suddivide la banda in parti discrete , perognuna si calcola la Eni o si misura e poi si calcola il valore quadratico medio della somma,in questo modo e’ come se si integrasse il noise equivalente di input funzione dellafrequenza sul range di frequenza che interessa. Ci sono altri modi, come la integrazionenumerica diretta o usando PSpice.

5.4 Esempi di noise di input

Nei due grafici della figura che segue sono mostrati due plot di tensioni equivalenti di noisedi input verso la resistenza di input. Come pure sono mostrati i valori di En e InRS perdue amplificatori e l’andamento del noise termico di sorgente Et.Nei plot e’ indicata tratteggiata la Eni come somma del termine En, del termine termico disorgente Es e del termine InRS con l’impedenza. Si vede chiaramente come a bassi valoridella resistenza di sorgente, solo la En e’ importante; al crescere della resistenza di input ilnoise termico della sorgente incomincia a diventare importante, a valori grandi di RS ilnoise equivalente di input eguaglia il termine InRS.Nel plot superiore si vede come il contributo maggiore derivi dal termine InRS, mentre nelplot inferiore il termine dominante per una gran parte del range sia il termine ES, il noisetermico. Abbassare i valori di En e In contribuisce ad aumentare il range dove il noisetermico e’ dominante. Questo e’ il caso ottimale in cui il noise principale e’ quello termico.Curve di questo tipo sono applicabili a tutti i tipi di dispositivi attivi. Differiscono i livelli.Con op-amp BJT o CMOS ci si aspetta che En sia al di sopra delle frequenze del ginocchiodel noise 1/f ; per i dispositivi FET o amplificatori con FET al primo stadio la corrente dinoise In puo’ essere tipicamente solo 1/100 dei valori dati nei plot.

25

26

5.5 Figura di noise (NF) e rapporto segnale su rumore (S/N)

Un parametro importante nella valutazione del noise di un dispositivo o circuito e’ ilcosidetto noise factor F. Secondo gli standard IEEE, il noise factor di un dispositivo adue porte e’ il rapporto tra la potenza di noise di output disponibile per unita’ di bandwidthe la porzione di quel noise causata dalla sorgente attuale collegata ai terminali di input deldispositivo, misurata alla temperatura standard di 17oC o di 290 K. In forma di equazionesi puo’ scrivere come

F = PotenzatotaledinoisedioutputdisponibilePorzionedipotenzadinoisecausatadallaEtdellaresistenzadisorgente

.

Una definizione piu’ usabile di noise factor F e’ la seguente

F = RapportosegnalenoisediinputRapportosegnalenoisedioutput

= Si/Ni

So/No

Il noise factor, essendo un rapporto di potenze, si puo’ esprimere in dB; si chiama noisefigure, NF, il logaritmo del noise factor:

NF = 10logF .

La NF e’ una misura della degradazione del rapporto S/N attribuita all’amplificatore. Perun amplificatore perfetto, uno che non aggiunge rumore al rumore termico della sorgente, ilnoise factor e’ F = 1 e la noise figure NF = 0dB.In termini di En e In la noise figure NF e’ definita come :

NF = 10logE2

ni

E2t

= 10logE2

t + E2n + I2

nR2S

E2t

(29)

da cui si vede che la NF puo’ essere espressa come il rapporto tra il noise equivalentequadratico medio di input e il noise quadratico medio termico della sorgente. Una stima diNF si puo’ ottenere dai plot precedenti rapportando i valori delle curve tratteggiate a quellidel noise termico. A bassi valori di resistenza il rapporto e’ molto grande e la NF e’ quindigrande, che significa una scarsa qualita’ di prestazione. Come la resistenza della sorgenteaumenta il noise termico aumenta ma non quello totale, per cui la NF cresce. QuandoEn = InRS allora Eni e’ piu’ vicino al noise termico, questo e’ il punto di minimo del NF. Avalori di resistenza piu’ alto il noise totale segue la InRS e il NF diventa di nuovo grande.Da ricordare che la definizione di NF usata qui e’ riferita alla temperatura standard di290K. Nel caso di sensori che sono tenuti a temperatura piu’ bassa il valore di NF puo’anche risultare negativo.Il termine fattore spot di noise, Fo, quando e’ usato per descrivere il noise di un sistema,sta ad indicare un fattore di noise F a banda stretta, spesso e’ definito per ∆f = 1Hz, echiaramente e’ funzione della frequenza per cui si indica semplicemente con F (f).Il noise factor F serve solo per valutare amplificatori o dispositivi amplificanti, non comeparametro per ottimizzarne il rumore, mentre sono utilizzati Eni e So/No.

27

5.6 Resistenza di sorgente ottimale

Nei plot, il punto di minimo approccio tra la curva del noise equivalente totale e quella delnoise termico e’ importante, perche’ indica il punto in cui l’amplificatore aggiunge un noiseminimo al noise termico della sorgente e la NF ha il suo minimo. Questa resistenza disorgente ottimale e’ chiamata Ropt o Ro e si ricava come

Ro = En/In per En = InRS.

Il noise factor F a questo punto e’ indicato come Fopt e risulta valereFopt = 1 + (EnIn/2kT∆f).

Nella figura seguente e’ mostrato come varia la NF in funzione della resistenza. Il valoreminimo della NF si ha per RS = Ro; Fopt cresce come il prodotto di En e In e cosi’ pure laNF, che e’ anche piu’ sensibile alla variazone. Dal plot si vede come la curva inferiore nonsai troppo sensibile alla variare del rapporto RS/Ro per un largo range, mentre la curvasuperiore mostra una variazione grande quando la resistenza di sorgente si discoscosta daRo e questo e’ indice di un non buon funzionamento.

Da un punto di vista pratico, se la NF e’ inferiore a 3dB, non vale la pena dicontinuare gli sforzi per ridurre il noise perche’ di questo la meta’ almenoarriva dalla sorgente.La resistenza di sorgente ottimale non serve per massimizzare il trasferimento di potenza,non c’e’ relazione tra Ro e la impedenza di input dell’amplificatore Zi. La Ro e’ determinata

28

del meccanismo di noise dell’amplificatore ed e’ legata piuttosto al massimo del rapportoS/N. Il trasferimento di potenza ottimale si ha massimizzando solo il segnale.La impedenza di input di un amplificatore e’ fortemente condizionata dalle condizioni delcircuito, quali il feedback, mentre il noise dell’amplificatore non e’ toccato dal feedbackeccetto che per il noise generato dalle resistenze di feedback.

5.7 Resistenza di noise e temperatura di noise

La resistenza di noise Rn e’ il valore della resistenza che genererebbe noise termico di valoreuguale al noise dell’amplificatore. Un’espressione per Rn si ricava eguagliando il noisetermico al noise dell’amplificatore, assunto senza noise termico evidentemente

4kTRn∆f = E2n + I2

nR2S da cui si ricava Rn = (E2

n + I2nR

2S)/4kT∆f

Questa resistenza di noise equivalente non e’ riferita alla resistenza di inputdell’amplificatore ne’ a quella della sorgente.La temperatura di noise Tn e’ il valore della temperatura della resistenza di sorgente chegenera noise termico uguale al noise dell’amplificatore. Per ricavarla si procede come per laRn :

4kTnRn∆f = E2n + I2

nR2S da cui si ricava Tn = (E2

n + I2nR

2S)/4kRs∆f

La Tn e’ data in Kelvin ; le Rn, Tn sono molto utili nell’analisi circuitale quandoEn ≫ InRS.

5.8 Il noise nelle reti in cascata

Si consideri ora il problema di localizzare le sorgenti di noise piu’ importanti in un sistema.Se si ricava una espressione usabile per il noise factor,F, per reti in cascata in termini dellecaratteristiche di ciascuna rete, si potra’ cosi’ definire un metodo per minimizzare a livellodi disegno il noise del sistema.Il sistema da analizzare sia del tipo, o riportabile a questo, mostrato nella figura seguente.Esso consiste di una sorgente di segnale con noise termico interno e due reti in cascata. Ilnoise factor e’ rappresentabile come quoziente tra il S/N di input a quello di output. Ilguadagno in potenza disponibile del sistema e’ rappresentato da Ga e la potenza di noisetermico disponibile e’ Ni = E2

t /4RS, essendo questa la potenza che puo’ essere fornita dallasorgente quando alimenta un carico pari alla sua resistenza interna; questo vuol dire cheNi = kT∆f .

29

Il noise factor F e’ quindi

F =No

GakT∆f(30)

con No la potenza di noise disponibile ai terminali di output sul carico. Questa equazionenon puo’ essere d’aiuto per ora perche’ non si conosce No ne’ Ga a questo punto.La potenza di noise disponibile all’input della rete n. 2, Ni2, sara’

Ni2 = No1 = F1G1kT∆f ,

che e’ un aggiustamento della precedente. Per il secondo stadio considerato separatamenteil noise factor F2 e’ dato dalla seguente espressione F2 = No2/G2kT∆f . Il noise che haorigine nel secondo stadio e’ No2 − G2kT∆f , per cui utilizzando l’espressione precedente ericavando No2, si ha

F2G2kT∆f − G2kT∆f = (F2 − 1)G2kT∆f (31)

Il termine G2kT∆f rappresenta la potenza del noise termico della ipotetica sorgente se siconsidera la rete 2 isolata.Il noise totale di output dalla rete, NoT , e’ quindi dato dalla somma di tutti i termini:

NoT = G2(F1G1kT∆f) + (F2 − 1)G2kT∆f = (F1G1G2 + F2G2 − G2)kT∆f (32)

Considerato che il noise factor della coppia di reti nel sistema con due stadi e’F12 = NoT /(G1G2kT∆f); sostituendo per NoT si ottiene:

F12 = F1 + (F2 − 1)/G1 (33)

Estendendo il caso a tre stadi, si ottiene la classica relazione sviluppata da Friis (vederebibliografia):

F123 = F1 + (F2 − 1)/G1 + (F3 − 1)/G1G2 (34)

Si puo’ concludere che il noise factor di una rete in cascata e’ principalmenteinfluenzato dal noise del primo stadio, supposto che il guadagno di questo stadio siasufficientemente grande.

30

Quando una rete e’ una combinazione di elementi di circuito passivi, ad esempio una retedi accoppiamento o equalizzante, il guadagno di potenza disponibile e’ minore dell’unita’ edil noise generale del sistema e’ fortemente influenzato dal contributo del noiserappresentato dal termine F2.

31

6 Il noise negli amplificatori con feedback

6.1 Introduzione

In questa sezione si analizza il noise nei sistemi con amplificatori, open loop e inconfigurazione feedback. Si introduce un noise addizionale prodotto dalla circuiteria difeedback che sara’ utilizzato nel calcolo di Eno e Eni. Si introducono le tecniche perdeterminare di Eno e Eni per una qualsiasi rete con o senza feedback.

6.2 Il noise e alcuni concetti base di feedback

Il feedback e’ un mezzo per alterare, migliorandole, le prestazioni dei circuiti elettronici, inparticolare di circuiti con amplificatori. I parametri critici del circuito sono migliorati di unfattore (1 + Aβ) quando si applica il feedback negativo, ma questo vale anche per il noise?Si mostra che il feedback non aumenta o diminuisce il noise equivalente di input, ma che glielementi resistivi del feedback aggiungono noise.

Un circuito con due amplificatori in una rete di feedback puo’ essere descritto da undiagramma a blocchi come il seguente, con una sorgente di segnale di input Vin e tantetensioni di noise E introdotte nei punti critici del sistema. Gli elementi A1, A2

rappresentano amplificatori con guadagno e β rappresenta la rete di feedback.

L’output Vo e’ una funzione di tutti i 5 input:

Vo = E4 + A2[E3 + A1(E2 + Vin + E1 − βVo)] (35)

Arrangiando l’espressione, la tensione in output diventa:

Vo =A1A2

1 + A1A2β(Vin + E1 + E2) +

A2E3

1 + A1A2β+

E4

1 + A1A2β(36)

32

Per confronto, si scrive la stessa espressione per lo stesso circuito ad anello aperto, quindisenza il feedback, ma con A1 e A′

2 come blocchi di guadagno.

L’output in questo caso e’ :

Vo = A1A′

2(Vin + E1 + E2) + A′

2E3 + E4 (37)

Imponendo la condizione che per un confronto sensato il guadagno sia il medesimo sia conche senza feedback, si ha per A′

2

A′

2 = A2/(1 + A1A2β)

Imponendo questa condizione e quindi quel valore per A′

2 si ottiene per l’output del circuitoaperto:

Vo =A1A2

1 + A1A2β(Vin + E1 + E2) +

A2E3

1 + A1A2β+ E4 (38)

Dal confronto si vede come il feedback non aiuta in nessun caso le sorgenti di noise in inputagli amplificatori indipendentemente se le sorgenti sono prima o dopo i nodi sommatori. Ilnoise inserito dopo l’output degli amplificatori e’ attenuato nel circuito del feedback. Seper caso viene aggiunta una sorgente di noise sull’output, ad esempio un carico con il suonoise, questa avra’ certamente degli effetti sul noise equivalente di input, Ei, a seconda se ilfeedback e’ presente o no. Per quei casi in cui il noise e’ introdotto all’inputdell’amplificatore o all’interno del loop del feedback, il feedback non influisce per niente. Inconclusione, il fattore (1 + Aβ) che il feedback applica ai segnali in input non ha effetto sulnoise.

6.3 Modello del noise di amplificatore per input differenziali

Gli amplificatori per la maggior parte di casi sono in configurazione differenziale oinvertente o non invertente, con o senza feedback. Per ciascuna di queste configurazioni sipossono definire dei modelli di noise.

33

Il modello di noise per l’amplificatore differenziale ricalca lo schema generale di noise di unamplificatore, En − In applicato ai due input differenziali come in figura. I noise equivalentiEn e In sono ora agganciati al terminale di input invertente e non invertente. Queste 4sorgenti di input si possono ridurre ancora ad una sola sorgente di input Eni , come nelcaso generale.

Si consideri una tipica configurazione di amplificatore operazionale come nella figuraseguente e nel circuito ridotto, se l’op amp e’ ideale, la tensione di output e’ una funzionedelle due tensioni di input, Vp, Vn, riferite entrambe al ground .

34

La tensione di output e’ una funzione delle due tensioni di input:

Vo = (R4

R3 + R4)(

R1 + R2

R1)Vin2 − (

R2

R1)Vin1 (39)

Si ha un amplificatore differenziale perfetto quando i coefficienti di Vin1 e Vin2 sono uguali edi segno opposti. Si ottiene questa condizione prendendo R1R4 = R2R3 o alternativamenteR2/R1 = R4/R3. In queste condizioni l’espressione della tensione di output diventa

Vo = (R2/R1)(Vin2 − Vin1).

Cosi’ il guadagno in tensione del modo differenziale del circuito ideale,in figura (a), e’R2/R1. Per analizzare il comportamento del noise dell’amplificatore, si ridisegna il circuitoequivalente di Thevenin all’input non invrtente come in (b), dove Rp] = R3||R4 eV ′

in2 = (R4Vin2)/(R3 + R4)

Aggiungendo le sorgenti di noise di tensione e corrente del op amp e quelle equivalenti diThevenin per il noise delle sorgenti, si ha lo schema come nella seguente figura. Si puo’

35

cosi’ scrivere le equazioni per determinare l’effetto delle sorgenti di segnale e di noisesull’output dell’op amp. Questo modo e’ un po’ complicato per via che si deve lavorare inquadratura, trattandosi di rms.

center

La semplificazione, a livello di formulazione delle equazioni, si ottiene se si adotta il criteriodi sostituire tutte le sorgenti di noise con sorgenti di segnale indipendenti e scorrelate, chehanno polarita’ arbitrarie e di considerare l’op amp ideale, ma con un guadagno a loop

36

aperto finito A. Si possono cosi’ scrivere quattro equazioni del circuito:

Vo = A(Vp − Vn) (40)

Vp = V ′

in2 + RpI2 + Vtp + V2 (41)

Vn = Vin1 − R1Iin + Vt1 + V1 (42)

Vin1 − R1Iin + Vt1 = Vo + Vt2 + R2(Iin + I1) (43)

Avendo sostituito tutte le sorgenti di noise con sorgenti di segnale, dall’ultima relazione siricava Iin, poi combinando e semplificando queste equazioni si ottiene:

Vo(1

A+

R1

R1 + R2) = V ′

in2−Vin1+V2−V1 +Vtp−Vt1 +RpI2+(R1

R1 + R2)(Vin1+Vt1−Vt2−I1R2)

(44)Per il caso di un amplificatore operazionale ideale, si prende A− > ∞ e riaggiustando siottiene:

Vo = (1 +R2

R1)(V ′

in2 + V2 + Vtp − V1 + RpI2) − (R2

R1)(Vin1 + Vt1) − Vt2 − I1R2 (45)

I coefficienti di ciascun termine rappresentano il guadagno di sistema Kt, o guadagno ditrasferimento o guadagno di transresistenza, rispetto all’output dove e’ preso Vo.Nel procedimento seguito si erano sostituiti i termini rms in segnali di tensione in modo daevitare di lavorare in quadratura, ma ora si puo’ ristabilire la corretta nomenclatura equindi la espressione diventa ’

E2no = (1 +

R2

R1)2(E2

n2 + E2n1 + E2

tp + I2n1R

2p) − (

R2

R1

)2(E21) + E2

t2 + I2n1R

22 (46)

Questa equazione mostra come ciascuna sorgente di noise contribuisca al noise totale dioutput quadratico. Specificatamente entrambe le tensioni equivalenti di noise di input e ilnoise da Rp sono riportati sull’output dal guadagno di tensione non invertente quadratico(1 + R2/R1)

2. La corrente di noise di input positivo passa attraverso Rp stabilendo unatensione di noise che a sua volta e’ riflessa all’output dal medesimo guadagno quadratico(1 + R2/R1)

2. Il noise da R1 e’ riflesso all’output col guadagno invertente quadratico(R2/R1)

2. La corrente di noise di input negativa passa attraverso la resistenza di feedbackR2 portando il noise direttamente all’output, come pure il noise della R2.Per determinare il noise equivalente di input bisogna decidere quale terminale e’ quello diriferimento. Questo e’ importante perche’, da come si vede dalle equazioni precedenti, ilfattore guadagno di sistema Kt e’ diverso per il terminale invertente e per il terminale noninvertente, a meno di non essere nelle condizioni di un amplificatore differenziale ideale, percui il guadagno su entrambi i terminali e’ ±R2/R1.Per prima cosa si riporta E2

no sull’input invertente dividendo la eq. (44) per (R2/R1)2 e si

ottiene

E2ni1 = (1 +

R1

R2)2(E2

n2 + E2n1 + E2

tp) + R21I

2t2 + E2

t1 + I2n1R

21 + I2

n2R2p(1 +

R1

R2)2 (47)

dove R21I

2t2 = R2

1(E2t2/R

22).

37

Notare come le due tensioni di noise dell’amplificatore oltre a E2tp siano tutte aumentate

all’input del fattore (1 + R1

R2)2. Usualmente in una normale applicazione di un amplificatore

ad alto guadagno R1 ≪ R2, cosicche’ le prime tre sorgenti di tensione di noisecontribuiscono direttamnente ad Eni1 come del resto fa Et1. La corrente di noise dellaresistenza di feedback e’ moltiplicata da R2

1. In effetti il generatore di noise di corrente R2

e’ in parallelo con l’input. La corrente di noise In1 passa atttraverso R1 fornendo uncontributo diretto a E2

ni1. La corrente di noise di In2 passa attraverso Rp per produrre unatensione di noise e questi si riflette all’input invertente con lo stesso fattore (1 + R1

R2)2 dei

primi tre termini.Nel caso non-invertente bisogna dividere la (45) per il fattore (1 + R1

R2)2 e si ottiene

E2ni2 = (E2

n2 + E2n1 + E2

tp) + (R1

R1 + R2)2(E2

t2 + (R1

R1 + R2)2(E2

t1) + I2n1(R1||R2) + I2

n2R2p (48)

Di qui si vede come le due tensioni di noise dell’amplificatore e il noise della resistenza Rp

contribuiscono direttamente alla formazione del noise equivalente di input, La tensione dinoise della resistenza di feedback e’ ridotta dal fattore quadratico di guadagno delfeedback. Il noise in R1 e’ un po; diminuito, ma e’ praticamente non cambiatro quandoR1 ≪ R2. La corrente di noise invertente fluisce attraverso la combinazione parallela di R1

e R2 e contribuisce direttamnet a E2ni, come pure la corrente di noise nonivertente

attraverso Rp contribuisce direttamente alla tensione quadratica di noise di input, E2ni.

Si consideri ora il caso speciale in cui si riesce a mettere insieme un amplificatoredifferenziale ideale scegliendo opportunamente le resistenze come R1R4 = R2R3. Conqueste condizioni allora , Kt1 = −R2/R1, kt2 = R2/R1 e K2

t1 = K2t2 = K2

t ed in piu’E2

ni1 = E2ni2 = E2

ni = E2no/K

2t . Ne risulta che l’espressione del noise equivalente di input per

un amplificatore operazionale differenziale ha una unica formulazione, identica al casoinvertente (45):

E2ni = (1 +

R1

R2)2(E2

n2 + E2n1 + E2

tp) + (R1

R2)2E2

t2 + E2t1 + I2

n1R21 + I2

n2R2p(1 +

R1

R2)2 (49)

Come regola generale neegli op amp e’ usato un primo stadio differenziale bilanciato condei transistor simili e correnti di bias uguali, per cui ci si aspetta che in queste condizioniEn1 = En2. Dai fogli di descrizione si ricava En lo si divide per

√2 e si ricavano i valori da

inserire nel modello di circuito per studiare il noise secondo la schema precedente.

6.4 Feedback negativo invertente

La configurazione dell’amplificatore con feedback resistivo invertente e’ una delleconfigurazioni piu’ comuni.

Lo schema per questa configurazione lo si ottiene da quello generale precedente, mettendoa terra V ′

in2 e rimpazzando la resistenza R1 con la resistenza di segnale Rs. La tensione dioffset di input, dovuta alla corrente di bias, sara’ cancellata rendendo Rp una singolaresistenza uguale al parallelo tra Rs e R2.

38

Aggiustando la (46) come detto si ottiene:

E2ni1 = (1 +

Rs

R2)2(E2

n1 + E2n2 + E2

tp + I2n2R

2p) + (

R1

R2)2(E2

t2) + E2ts + I2

n1R2s (50)

Che si riscrive come

E2ni1 = E2

ts + R2s(I

2n1 + I2

t2 + (1 +Rs

R2)2(E2

n1 + E2n2 + E2

tp + I2n2R

2p) (51)

essendo It2 = Et2/R2. Il data sheet dell’amplificatore fornira’ normalmente i valori di En eIn, che sono legati allo schema del precedente amplificatore secondo

En =√

(E2n1 + E2

n2)

Cosi’ si vede come il valore, unico, di tensione di noise, En, specificato sui fogli didescrizione, e’ proprio la somma degli rms delle due tensioni di noise di input per ciascunterminale di input. Un riarrangiamento della (46) con una semplificazione porta a

E2ni = E2

ni1 = E2ts + I2

nR2s + R2

sI2n1 + I2

t2 + (1 +Rs

R2)2(E2

n + E2tp + I2

n2R2p) + I2

it2R2s (52)

Si definisce una nuova tensione di noise equivalente dell’amplificatore E2na come

E2na = (1 + Rs

R2)2(E2

n + E2tp + I2

n2R2p) + I2

it2R2s

Si puo’ riscrivere il noise equivalente di input come :

E2ni = E2

ts + E2na + I2

nR2s

39

In questo modo l’amplificatore invertente a loop chiuso puo’ essere equivalentementerappresentato da questo circuito semplificato open loop. Notare che tutto il noise dovuto airesistori di feedback R2 e di aggiustamento di offset Rp come il noise dell’amplificatore sonocontenuti nella sorgente equivalente di noise En.

Da un punto di vista pratico bisogna fare attenzione ai fogli accompagnatori; nel caso di unlow gain amplifier in cui sia necessario applicare un guadagno di loop chiuso di piu’ di 30,sono possibili altre semplificazioni perche’ in quelle condizioni si ha R2 ≫ Rs ≫ Rp equesto permette una ulteriore semplificazione

E2ni = E2

ts + E2n + (I2

n + I2t2)R

2s

Questo dimostra che la corrente di noise termico del resistore di feedback R2 e’effettivamente in parallelo con l’input. Per ridurre il suo contributo al noise, R2 deve esseregrande.

6.5 Feedback negativo noninvertente

La configurazione con feedback di op amp noninvertente si ottiene dallo schema generale diop amp differenziale mettendo a terra Vin1 ed applicando il segnale di input direttamentealla sorgente V ′

in2. La resistenza Rp diventa la resistenza di sorgente, Rs, per la sorgenteV ′

in2 indicata ora semplicemente come Vin.

40

Si vuole semplificare e ridurre il circuito di analisi di feedback noninvertente ad una reteequivalente open loop. Usando la (45) come punto di partenza il noise quadratico di outputdella figura si scrive come

E2no = (1 +

R2

R1)2(E2

n1 + E2n2 + E2

ts + I2n2R

2s) + (

R2

R1)2(E2

t1) + E2t2 − I2

n1R22 (53)

Usando la relazione En =√

(E2n1 + E2

n2), E2no si semplifica

E2no = (1 +

R2

R1)2(E2

n + E2ts + I2

n2R2s) + (

R2

R1)2(E2

t1) + E2t2 − I2

n1R22 (54)

Dividendo ora il noise di output E2no per il fattore di guadagno quadratico noninvertende

(1 + R2/R1) si ricava il noise equivalente di input:

E2ni = E2

ts + E2n + (

R1

R1 + R2

)2E2t2 + (

R1

R1 + R2

)2E2t1 + I2

n1(R1||R2)2 + I2

n2R2s (55)

E usando le normali condizioni con In = In1 = In2 si puo’ riscrivere la relazione precedentedel noise di input equivalente di un amplificatore noninvertente come una nuova definizionedi noise equivalente E2

nb

E2nb = E2

n + (R1

R1 + R2)2E2

t2 + (R1

R1 + R2)2E2

t1 + I2n1(R1||R2)

2 (56)

Le due precedenti equazioni producono alla fine lo schema seguente dove il noise totaleequivalente di input e’ descritto da E2

ni = E2ts + E2

nb + I2nR2

s. Notare che tutto il noise, ilnoise dovuto ad entrambi resistori di feedback ed il noise dell’amplificatore, e’ contenutonella sorgente di noise equivalente E2

nb.

41

Se inoltre il guadagno di circuito chiuso e’ maggiore di 30, allora anche Enb, il noise delresitore R2 di feedback diventa trascurabile. In questo caso Enb contiene la partedell’amplificatore En, il noise termico di R1 e la corrente di noise In che fluisce attraversoR1. Cosi’ bisogna ricordare che la resistenza R1 e’ essenzialmente in serie con la resistenzadi sorgente sia come sorgente di noise termico all’input che come elemento di passaggiodella corrente In.

6.6 Feedback positivo

Molti circuiti e sistemi hanno un feedback positivo, o introdotto deliberatamente comenegli oscillatori o amplificatori o introdotto involontariamente con oscillazioni instabili inamplificatori ad alto guadagno e in molti altri casi. Il feedback positivo non cambia iprincipi base del noise indipendentemente da come il noise e’ incorporato nel circuito dianalisi. I concetti e le tecniche per l’analisi del noise nei sistemi con feedback positivo sonole stesse di quelle mostrate nei casi precedenti per il feedback negativo. Richiede piu’attenzione.

42

7 Il noise nei transistori FET

I FET sono prodotti in due differenti distinti modi. I FET con il gate isolato (MOSFET)attua il controllo del flusso della corrente mediante un’azione di tipo capacitivo: le carichenel canale conduttivo in vicinanza del gate ( che agisce come elettrodo) sono attratte orespinte dal potenziale applicato al gate. Questo accumulo di carica puo’ scoraggiare ofavorire il flusso della corrente attraverso il canale.Nel FET a giunzione (JFET), la tensione applicata ad una giunzione pn reverse biased ,modula la conducibilita’ di un canale sotto la giunzione variando la grandezza della regionedi svuotamento. Un simile meccanismo avviene nei FET ad arseniuro di gallio (GaAsFET).Tutti e tre i tipi , MOSFET, GaAs FET e JFET possono essere fabbricati con il canale diconduzione di tipo n o p. Le curve caratteristiche dei FET sono simili alle corrispondenticurve dei transistori BJT, e la quantita’ importante in input e’ la tensione gate-sourceinvece della corrente di base.La impedenza di input nei MOSFET e’ legata alla corrente parassita di leakage ed allacapacita’ associata con il dielettrico Si-diossido. La resistenza di input e’ normalmentemolto grande , dell’ordine dei TΩ. La grandezza della capacita’ di input dipende dall’areaformata dalla larghezza del gate e dalla lunghezza del canale di diffusione sotto il gate.La impedenza di input del JFET e’ simile a quella di un diodo a giunzione pn reversebiased. La corrente di leakage e’ considerevolmente piu’ grande dando luogo cosi’ ad unaresistenza di input molto piu’ piccola, dell’ordine dei GΩ. La capacita’ di input dipende neiJFET sia dall’area sia dalla tensione.Qui si analizza le caratteristiche piu’ importanti del noise dei FET e del loro uso nelleapplicazioni come stadio di guadagno in amplificatori a basso noise.

7.1 Meccanismo del noise nei FET

Il circuito equivalente di noise per le operazioni common-source e’ il seguente e si adatta atutti i tipi di transistori ad effetto di campo.

43

Il generatore di corrente di noise Ing e’ il risultato di due processi fisici: lo shot noise dellacorrente di leakage che fluisce attraverso il gate e le fluttuazioni termiche nel circuito didrain, che sono accoppiate al circuito di gate.Il generatore di noise Ind e’ il risultato della eccitazione termica dei portatori nel canale deldispositivo e il noise excess o 1/f causato dall’intrappolamento e non-intrappolamento deiportatori. I generatori Ing e Ind sono correlati ad alte frequenze poiche’ entrambi risultanodal noise termico del canale.La generale rappresentazione En − In e’ applicabile a tutti i tipi FET.

Le curve mostrate nella figura che segue sono tipiche dei dispositivi FET. La fig. (a)mostra il caratteristico basso noise En ad alte frequenze ( regione 2) ed un aumento nelnoise a basse frequenze per via del noise excess o 1/f (regione 1). L’andamento a circuitoaperto della corrente di noise In e’ mostrato in fig. (b); la corrente di noise e’ bassa nellaregione 3 mentre aumenta linearmente con la frequenza (regione 4).

L’andamento osservato in regione 2 e’ dovuto al noise termico del canale in quanto dipendedalla resistenza del canale. Questa corrente di noise termico nel canale puo’ essere riportataall’input del gate come una tensione equivalente di noise di input prodotta da unaresistenza avente un valore pari a : Rn ≃ 2/(3gm), essendo gm la transconduttanza. Questovalore della resistenza di noise Rn e’ riferita alla En dalla equazione del noise termico:

En =√

4kTRn∆f (57)

44

Per minimizzare il noise della regione 2, e’ necessario far lavorare il FET dove gm e’ grande.I valori maggiori di gm possono essere trovati a valori alti della corrente statica di drain.Usualmente gm e’ piu’ alta nelle vicinanze di IDSS, il valore di ID dove la tensione digate-source VGS e’ zero. Usando un dispositivo a geometria grande, con un grande rapportoWidth/Lenght (W/L), si avra’ un piu’ basso En. Dalla misura di gm si ricava En.Generalmente risulta che i valori di En calcolati in questo modo sono piu’ piccoli di quellimisurati direttamente, questo perche’ il valore misurato si porta dentro altri effetti dovutiai collegamenti.In fig. (a) regione 1, a basse frequenze c’e’ un noise excess 1/f ; questo noise derivadall’intrappolamento dei portatori nei centri trappole nella regione del gate; si chiamanocentri di generazione-ricombinazione Shockley-Read-Hall (SRH). Per i MOSFET, questicentri si trovano all’interfaccia silicio/silicio-diossido e nello strato di diossido. I dispositivip-Channel in modo enhancement avranno un noise piu’ basso perche’ i portatori nonpasseranno attraverso questa regione; i JFET invece avranno dei centri trappola nellaregione di svuotamento. I centri trappola emettono alternativamente elettroni o lacune econtemporaneamente passano da uno stato carico ad uno neutro, fluttuando tra questi duestati. Questa carica fluttuante e’ simile ad una variazione nella tensione di gate o ad unvero segnale di input. Cosi’ la corrente del canale varia, fa sbalzi, e queste fluttuazioni sonola sorgente principale del noise 1/f nel FET.In fig.(b) e’ mostrata la curva della corrente equivalente di noise a circuito aperto. A bassefrequenze, regione 3, la corrente di noise si puo’ attribuire allo shot noise della corrente dcinversa di saturazione di gate per i JFET ed alla corrente parassita di leakage di shot noisenei MOSFET. Questo noise e’ ”bianco” ed usualmente non e’ accompagnato dal noise 1/f .Esso e calcolato come In =

√2qIGSS.

La In ad alte frequenze, nella regione 4, e’ causata da un interessante meccanismo. Questoe’ il noise termico di g11, la parte reale della emittanza dell’input. Nei FET, il noise delcanale e’ condotto all’input ad alte frequenze dalla capacita’ gate-drain. Questo apparecome una resistenza di shunt in parallelo con la capacita’ di input, Cgs, nel circuito elettricoequivalente. Si usa il modello a piccoli segnali per illustrare bene le componenti del noise In

ad alta frequenza e si introduce la resistenza di carico RL che rappresenta la combinazionein parallelo di rds e di RD e la capacita’ di carico CL che rappresenta la somma di Cd e CD.

La capacita’ Cgd e’ una capacita’ di feedback il cui effetto puo’ essere facilmente spiegato

45

ricorrendo al teorema di Miller.

Riferendoci alla figura , se l’amplificatore ha un guadagno in tensione Av, l’elemento difeedback Z puo’ essere suddiviso nelle due impedenze Z1 e Z2 cosi’ definite:

Z1 = Z1−Av

, Z2 = Z1−1/Av

Ricordando che RL = (rds||RD) e CL = (Cds + CD) dal confronto tra la figura precedente equesta seguente si puo’ scrivere la relazione

Av = −gmZL

essendo ZL = RL||(1/jωCL e Z = 1/jωCgd

Dalle definizioni precedenti di Z1 e Z2, esplicitandole con le espressioni per ZL e Av, siricava la espressione completa di Z1 e della sua inversa Y1 = 1/Z1 che e’ l’emittanza.

Z1 =1 + jωRLCL

−ω2RLCLCgd + jωCgd(1 + gmRL)(58)

46

e

Y1 =−ω2RLCLCgd + ω2Cgd(1 + gmRL)RLCL + jωCgd[1 + gmRL + ω2R2

LC2L

]1 + ω2R2

LC2L

(59)La parte reale di Y1 risulta

ReY1 =ω2gmR2

LCgdCL

1 + ω2R2LC2

L

(60)

C’e’ quindi una ”reale” resistenza equivalente riflessa presente tra il gate ed il source che havalore

Req =1

ReY1

=1 + ω2R2

LC2L

ω2gmR2LCgdCL

(61)

Poiche’ nella maggior parte della regione delle frequenze di interesse si ha ω2R2LC2

L ≪ 1 la(3) si riduce a

Req =1

ω2gmR2LCgdCL

(62)

Prendendo la parte immaginaria di Y1 si ricava la capacita’ equivalente di shunt

Ceq =Cgd(1 + gmRL) + R2

LC2LCgdω

2

1 + ω2R2LC2

L

(63)

Ora, poiche’ di nuovo nella zona delle frequenze di interesse si ha che ω2R2LC2

L ≪ 1 larelazione precedente si riduce a

Ceq = Cgd(1 + gmRL) + R2LC2

LCgdω2 (64)

La resistenza reale ”riflessa” Req diminuisce quadraticamente al crescere della frequenza.Questa resistenza, Req, a tutti gli effetti si comporta come una resistenza reale e

47

contribuira’ pienamente alla corrente di noise termico (4kt/Req)1/2 in parallelo con l’input.

La corrente di noise dell’amplificatore In aumenta proporzionalmente alla frequenza comemostrato dall’andamento del noise nella regione 4.I noise En e In alle alte frequenze, nella regioni 2 e 4, sono correlati poiche’ entrambioriginano dal noise termico della resistenza del canale. Questo risulta in un ulterioretermine di correlazione che a tutti gli effetti e’ un noise aggiuntivo, come si e’ visto inprecedenza.

7.2 Il noise nei MOSFET

Tralasciando i principi fisici del funzionamento dei MOSFET descritti altrove, vienesviluppato qui un modello per includere anche il noise nel modello tradizionale dc e ac delMOSFET.

Per cominciare si consideri il modello di circuito di test per ricavare la tipica caratteristicadi output di un n-channel MOSFET. Quando il MOSFET opera in regime di saturazione,la corrente di drain e’ in relazione con la tensione dc di gate e drain secondo l’espressione

ID = Kp(W

L)(VGS − VT )2(1 + λVDS) (65)

dove λ e’ il parametro di modulazione della lunghezza del canale, VT e’ la tensione disoglia, e W e L sono le dimensioni di larghezza e lunghezza del gate.

48

Il parametro di transconduttanza, Kp e’ definito come Kp = µoCox/2, essendo µ lamobilita’ della regione n-channel in unita’ di cm2/V sec e Cox e’ la capacita’ per unita’ diarea del ossido del gate in unita’ di farads per micrometri2. Le unita’ di Kp sono quindiAmperes/V 2. Un’idea dei tipici valori si puo’ avere dai seguenti usuali valori dei parametridi lavoro di un modello di MOSFET .

49

Il modello del circuito equivalente per piccoli segnali per un MOSFET e’ quello mostrato inprecedenza. La transconduttanza e la conduttanza di output nel modello si trovanodifferenziando la equazione che da’ ID e calcolandola per il valore del punto di lavoro.

gm =δID

δVGS

|@Q−point (66)

gds =δID

δVDS

=1

rds

|@Q−point (67)

Le due capacita’ del modello sono calcolate secondo le seguenti formule

Cox e’ la capacita’ dell’ossido del gate per unita’ di area in unita’ di farad per micrometro2.Un altro modo per esprimere la Cox e’ il seguente

Cox =ǫ0ǫSiO2

tox(68)

attraverso la permittivita’ ǫ0 e ǫSiO2dello spazio libero e del dielettrico di diossido di Silicio

rispettivamente, e Tox e’ lo spessore dell’ossido, LD e’ la distanza della diffusione lateraledella nuvola di portatori sotto il gate.Ci sono tre principali sorgenti di noise in un MOSFET identificate come Ing,Ind e If comesi vede dalla figura all’inizio del capitolo. La sorgente Ing ( e’ una sorgente In importante abasse frequenze come si vede dalla figura, regione 3) e’ uno shot noise dovuto alla correntedi leakage attraverso il gate di SiO2 e la source ed e’ quindi calcolata come

I2ng = 2qIdc (69)

La corrente di noise In ad alte frequenze, regione 4, e’ dovuta all’effetto Miller diaccoppiamento del noise della resistenza del canale a quello del gate attraverso Cgd. Il noisetermico nel canale drain-source si concretizza in I2

nd ed e’ calcolato come I2nd = 8kTgm/3.

L’ammontare di questo noise e’ lo stesso di quello prodotto da una semplice resistenzaohmica localizzata nel canale drain-source ed avente un valore dato da

RDRAIN =2gm

3(70)

La terza sorgente di noise e’ la corrente di flicker o noise 1/f ancora nel canale drain-sourceed ed e’ data da

I2f =

KfIAF

DQ

fCoxL2eff

(71)

50

Dove Kf e’ il coefficente del noise 1/f , IDQ e’ la corrente di drain costante, Af e’ unacostante, f e’ la frequenza di operazione in hertz, W e’ la larghezza del canale e Leff e’l’effettiva lunghezza del canale.Nei MOSFET il noise 1/f e’ causato dai centri trappola nell’ossido del gate o ai confini tral’interfaccia sislicio e silicio-diossido. Questa puo’ intrappolare e rilasciare elettroni dalcanale e introdurre cosi’ il noise 1/f . Il noise quadratico medio cresce con la temperatura ela densita’ degli stati di superfice. Esso decresce come l’area WxL e la capacita’ dell’ossidodel gate per unita’ di area Cox. I centri trappola nell’ossido causano invece il cosidettonoise popcorn o burst noise a causa della loro lunga costante di tempo di intrappolamento.La corrente totale di noise dovuta all’uscita del canale drain-source e’

I2no = I2

nd + I2f (72)

Per riflettere questa corrente di noise al gate come una tensione equivalente di noise diinput, si utilizza il coefficente di riflessione Ktr definito come

Ktr =id(segnale)

vgs(segnale)

= −gm (73)

Si puo’ scrivere quindi la Eni e con le espressioni per Ind e If si ricava En

E2ni =

I2nd

g2m

+I2f

g2m

=8kT

3gm

+KF

2KpfCoxWLeff

= E2n (74)

Notare che il primo termine dell’equazione (72) e’ equivalente ad un singolo resistore divalore Rn = 2/3gm connesso tra il gate e il source che produce una tensione di noise biancoequivalente En.L’equazione precedente mostra che le prestazioni a basso rumore di un MOSFETrichiedono un grande valore di transconduttanza, gm, che a sua volta significa che iltransistore deve avere un grande rapporto W/L ed essere impiegato con un alto livello dicorrente quiescente. Costruendo il transistore fisicamente con una grande area si riduce ilcontributo del noise 1/f . In questo modo si riduce anche la frequenza di ginocchio delnoise, ( noise corner frequency), fc, la frequenza dove sono uguali i contributi del noisequadratico medio dei due termini della equazione (72).

7.3 Il noise nei JFET

All’inizio di questo capitolo e’ stato mostrato il circuito equivalente di noise per operazionicommon-source di un JFET; le curve in funzione della frequenza (a) e (b) sono tipiche diun JFET pure. La fig. (a) mostra la caratteristica tipica di una bassa tensione di noise En

ad alte frequenze (regione 2) con un noise 1/f crescente a basse frequenze (regione 1). Infig. (b) e’ mostrato l’andamento della corrente di noise a circuito aperto In. La corrente dinoise In e’ minima alle basse frequenze della regione 3 ed aumenta con la frequenza. Lacorrente di noise ad alte frequenze, regione 4, e’ causata dall’effetto MIller che accoppia ilnoise della resistenza di canale a quello del gate attraverso Cgd.Per il JFET il generatore di corrente di noise a circuito aperto In e’ il prodotto di dueprocessi fisici : il shot noise Ing della corrente inversa di leakage del gate e le fluttuazioni

51

del noise termico della conduttanza del circuito di drain che son capacitivamenteaccoppiate nel circuito di gate. La corrente di noise In a basse frequenze, regione 3 di fig. 2(b), e’ causata dallo shot noise della corrente inversa di saturazione del gate IGSS

Ing =√

2qIGSS (75)

Questa corrente di noise e’ white e non ha generalmente noise 1/f .Ad alte frequenze, regione 4 di fig. (b), la corrente di noise Ine’ prodotta dal noise termicodella conduttanza di input come si ricava dalla (4). In effetti il noise termico dellaresistenza di canale e’ capacitivamente riportato al gate all’input. Notare che i generatoridi noise En e In sono correlate ad alte frequenze perche entrambi originano dalla stessasorgente di noise, il noise termico della resistenza del canale.La tensione di noise En a medie frequenze, regione 2 di fig. (a), e’ causata dal noise termicodella resistenza di canale come e’ stato dimostrato da van der Ziel. Il noise della resistenzadi canale e’ riflesso all’input del gate come una tensione equivalente di input del gate En

dall’espressione solitaEn =

√4kTRn (76)

con la resitenza di noise Rn ricavata sperimentalmente come Rn ≃ 2/3gm.Come con il MOSFET per minimizzare il noise En a meta’ banda bisogna far lavorare ilJFET dove la sua gm e’ grande. Poiche’ gm cresce con la corrente di drain statica, gm e’piu’ grande nelle vicinanze di IDSS. Questo e’ il valore di ID dove la tensione di biasgate-to-source VGS e’ zero. Un grande gm puo’ essere ottenuto per un FET disegnato conun grande rapporto di W/L del gate, ma questo comporta un dispositivo a grande area.Alle frequenze piu’ basse di En in fig. (a), regione 1, c’e’ il noise excess 1/f . Questo noisederiva dall’intrappolamento dei portatori nei cosi’ detti centri digenerazione-ricombinazione SRH nella regione di svuotamento della giunzione. Questicentri sono le sorgenti principali della corrente inversa di leakage nei diodi di silicio. Unasezione diagrammatica di un JFET e’ mostrata nella figura seguente:

I centri di generazione, rappresentati dai cerchietti, alternativamente emettono una lacunaed un elettrone e contemporaneamente fluttuano tra uno stato di carica ed uno senza

52

carica. La carica fluttuante appare come una variazione nella tensione di gate o come unvero segnale di input, facendo oscillare la corrente di canale. Queste fluttuazioni sono lasorgente principale del noise 1/f nei JFET. I centri di generazione sono dovuti ai difetti delcristallo o impurita’. Poiche’ questi centri sono una delle sorgenti di corrente inversa,risulta che dispositivi con corrente di leakage IGSS eccezionalmente bassa ha basso noise1/f . . Una alta corrente di leakage non sempre significa un dispositivo con alto noisepoiche’ le correnti possono avere origine sulla superfice. le fluttuazioni di cariche allasuperfice non modulano la larghezza del canale ne’ necessariamente danno luogo al tipo dinoise discusso fin qui.Quando ci sono particolari distribuzioni dei centri di generazione-ricombinazione concaratteristiche costanti di tempo la tensione di noise En presenta dei bump caratteristici.Non c’e’ una teoria per ridurre il noise 1/f ma si conoscono diversi metodi che aumentanoil noise, come ad esempio il drogaggio con l’oro. Questo tipo di noise dipende molto daprocesso a processo e da fornitore a fornitore. Per selezionare un JFET per applicazioni1/f bisogna caratterizzare un grande campione di dispositivi.

7.4 Misura del noise nei FET

Per misurare il noise dei FET, che copre un grande range di impedenza e frequenza, sonousati ben quattro metodi di misura diversi. La tensione di noise En a basse frequenze puo’essere misurato con tecniche tradizionali che saranno spiegate in un capitolo successivo.Per determinare la corrente di noise a bassa frequenza In si usano normalmente duemetodi. La In puo’ essere misurata direttamente usando una grande resistenza di sorgente,oppure si puo’ misurare la corrente di leakage del gate e calcolare la corrente di noise. Ilnoise In ad alta frequenza non deve essere misurata direttamente, invece si puo’ misurare laresistenza di input di shunt e calcolare cosi’ il noise termico In. La misura di In a mediefrequenze risulta difficoltoso.I parametri della tensione di noise dell’amplificatore En e della corrente di noise In sonocalcolati usando la espressione generale di noise equivalente di input per due valori diresistennza di input. Da ricordare l’ espressione

Eni = E2ts + E2

n + I2R2S + 2CEnInRS.

Una misura del noise fornisce il valore del noise equivalente totale di input, Eni; perricavare i singoli termini , En, In e Ets si adotta il criterio di rendere un termine dominantein modo che l’effetto degli altri sia trascurabile e in caso sottraibile. In generale ilcoefficente di correlazione C e’ zero e puo’ essere trascurato eccetto che per i FET operanticome sorgenti con grandi resistenze ad alte frequenze. Ad alte frequenze la En e la In sonogenerati entrambi dal noise termico del canale cosi’ essi sono correlati. Come si determinaC sara’ spiegato nel capitolo dedicato alla misura del noise in generale piu’ avanti.Per misurare la tensione di noise En si misura il noise equivalente di input con un piccolovalore della resistenza di input. Quando la resistenza di input e’ zero, il noise termico dellasorgente e’ zero e cosi’ pure il termine InRS, per cui il noise equivalente totale di input e’ latensione di noise En dell’amplificatore.

53

Per misurare invece la corrente di noise In si deve rimisurare la Eni con una resistenza disorgente molto grande. Si misura il noise di output ed il guadagno di tensione ditrasferimento e si calcola il noise equivalente di input Eni. Assumendo che il termine InRs

sia dominante, la In e’ il noise equivalente di input Eni diviso per la resistenza Rs dellasorgente di input. Infatti se Rs e’ abbastanza grande, il termine InRs domina il termine En

e cosi’ pure il termine di noise termico poiche’ questo cresce solo come la radice quadratadella resistenza mentre la InRs cresce linearmente con la resistenza. Quando il termine InRs

non puo’ essere reso dominate si puo’ sottrarre il termine di noise termico Ets =√

4kTRs∆dal noise equivalente di input. Poiche’ questa e’ una sottrazione di rms un noise termicoche sia un terzo del noise di corrente aggiunge solo un 10% al noise equivalente di input.Il valore minimo della resistenza di sorgente per misurare In e’ ricavata essere

Rs ≥18kT

qIB

=0.45

IB

(77)

per un amplificatore JFET con una corrente di bias di 2 · 10−10A , Rs = 2.25GΩ.Guadagno dell’amplificatore e necessita’ del bias tuttavia a volte rendono difficile o quasiimpossibile ottenere questi valori dato che ogni amplificatore con un input non bilanciatoha una tensione di offset di 0.45 V, si vede che in ogni caso si ha IBRS = 0.45V . Per unamplificatore con un input bilanciato, si puo’ applicare una resistenza di sorgente dellostesso valore ad entrambi i terminali di ingresso per ridurre l’offset di circa 50mV. E a voltebisogna introdurre un feedback addizionale per ridurre il guadagno globale per evitare unoffest eccessivo all’output dell’amplificatore, Ad esempio per un amplificatore con un inputnon bilanciato e’ usualmente necessario non superare un guadagno di 10x per rimanerenella regione di linearita’. Per misure accurate di In le resistenze di input del bias debbonoessere molto piu’ grandi della resistenza di sorgente,Rs, altrimenti si misurera’ soltanto lacorrente di noise delle resistenze di shunt del bias. La cosa migliore e’ di usare la resistenzamisurante della sorgente per convogliare la corrente di bias.Un altro metodo per ottenere una alta impedenza di sorgente per la misura di In e’ quellodi usare una sorgente reattiva. Una capacita’ di mica a basse perdite puo’ essere usata perRs. Ora il termine InXc e’ grande e poiche’ la capacita’ reattiva non ha noise termico, ilnoise equivalente di input e’

E2ni = I2

nX2c + E2

n (78)

Naturalmente il metodo e’ valido solo a frequenze sotto i 100-200 Hz, poiche’ Xc diminuiscerapidamente al crescere della frequenza.Una difficolta’ con le sorgenti capacitive e’ il biasing. Per provvedere un cammino per lacorrente di bias di input o la corrente di offset e’ necessario parallelizzare i terminali diinput dell’amplificatore con una grande resistenza. Questa resistenza di bias, RB, generauna corrente di noise termico, Ith =

√4kT∆f/RB che puo facilmente dominare la corrente

di shot noise di input dell’amplificatore. Un amplificatore con input un FET ha spesso unacorrente di noise di meno di 10fA/

√Hz. Questa e’ equivalente al noise termico di una

resistenza di 160MΩ. Cosi’ la resistenza di bias per tutte le misure di In dei FET deveessere dell’ordine di GΩ,Per verificare le misure a bassa frequenza della In si mette un elettrometro in serie con ilterminale di gate per misurare la corrente di leakage di gate (IGSS). La misura di IGSS e’poi usata per calcolare la corrente di shot noise secondo la formula I2

n = 2qIGSS∆f .

54

I due metodi per determinare la In a basse frequenze si sono dimostrati in accordo in tuttele misure fatte sul campione. Questo e’ in accordo col modello che dice che la In dei FET e’causata dallo shot noise del gate e non c’e componente 1/f di noise in In.Misure di In ad alte frequenze sono molto difficili a causa della capacita’ di shunt dellasorgente, delle capacita’ parassite introdotte dalla disposizione dei componenti e dallacapacita’ di input dell’amplificatore. La risposta in frequenza con una grande resistenza disorgente e’ cosi’ ridotta che non c’e’ margine. Per la stessa ragione per cui In e’ difficile damisurare, si puo’ supporre che non ci sia contributo di noise in applicazioni tipiche.Un modo piu’ accurato di misurare il la In ad alte frequenze e’ basato sul modello dellasorgente di noise. Come visto in precedenza, l’input di un FET ad alte frequenze e’shunt-ed da una resistenza ”reale” Rp(f) causata dall’effettto Miller. Questa resistenza e’reale e dissipativa ed e’ causa di noise termico ”reale”. Ad alte frequenze si puo’ usare unponte per misurare questa resistenza di shunt Rn(f), e cosi’ la In e’ determinata come

I2n =

4kT∆f

Rn(f)(79)

I valori presentati nella tabella seguente sono il riassunto di misure di noise fatte su deiFET e sono indicativi per tutta la categoria, anche se sono i migliori valori ottenuti nellecondizioni migliori, quindi sono i valori limiti superiori. I valori confermano quantopredetto dalla eq. (64), che mette in evidenza come quando il JFET lavora con la correntedi drain uguale a IDSS si ha un livello di noise nettamente superiore.

I risultati di test di noise su un particolare tipo di n-channel JFET 2N3821 sono mostratinella figura seguente. Entrambi i parametri En e In sono plottati rispetto alla frequenza. Sivede chiaramente la dipendenza dal punto di lavoro per En mentre si vede per la In che abasse frequenze non ha molta importanza.

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8 Modellazione del noise nei sistemi

Il metodo usuale per misurare fenomeni fisici, anche debolissimi, e’ di usare un sensore otrasduttore che converta il segnale fisico in un segnale elettrico. L’importante e’ che ilsensore sia tale da non modificare il segnale e che a sua volta non induca del segnale (rumore ) non desiderato. Inoltre spesso il segnale risulta talmente debole da doverrichiedere di essere amplificato e quindi anche questo dispositivo deve essere scelto in mododa non sommergere il segnale con il suo noise. Tutti i sensori hanno generatori interni dirumore e sono caratterizzati dal loro proprio rapporto segnale/rumore, S/N . Nel seguito sivuole introdurre i metodi di analisi dei sistemi sensori-amplificatori.

8.1 Modellazione del noise

Per sviluppare un modello di noise di un sensore si parte dal suo diagramma circuitale, poisi disegna il circuito equivalente ac che includa tutte le impedenze e i generatori. Aciascuna resistenza e generatore di corrente si aggiungono i generatori di noise propri; inquesto modo si arriva ad un circuito equivalente di noise. Le resistenze hanno noise termicoe possibilmente excess noise, i generatori di corrente possono avere shot noise, 1/f o excessnoise. Dal circuito equivalente si ricava l’espressione per il guadagno di sistema e per ilnoise equivalente di input, che sara’ confrontabile con il segnale.E’ vantaggioso, tuttavia, studiare tutto il sistema elettronico sensore-amplificatore, checomprende ovviamente un circuito di accoppiamento al generatore di segnale. Una voltaindividuati questi tre componenti sara’ facile ottenere un noise equivalente del sistema.Si possono individuare tre passi per ricavare il noise equivalente di input per il sistema:

1. Determinare il noise totale di output.

2. Calcolare il guadagno di sistema.

3. Calcolare il noise equivalente di input dividendo il noise eq. di output per il guadagnodi sistema.

Poiche’ ogni dispositivo e’ caratterizzato per quanto riguarda il rumore dalle suecomponenti resistive e generatrici di corrente, si puo’ ricavare un modello di noise ed unaespressione per il noise equivalente di input. Nel seguito si accennera’ soltanto ad alcunitipi di sensori, invitando lo studente curioso ad approfondire l’argomento in seguito. Qui siintroduce un metodo per l’analisi di un sistema generale sensore-amplificatore e perdeterminarne il rapporto S/N .

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8.2 Un modello generale di noise

Un sistema sensore-amplificatore puo’ essere diagrammato mettendo in evidenza larappresentazione En − In delle sue tre parti principali: segnale+sensore, rete diaccoppiamento e rete di amplificazione, come nella fig. (a). Il sensore e’ descritto dallatensione del segnale,Vs, dalla sua impedenza interna, Zs, e dal generatore di noise En cherappresenta tutte le sorgenti di noise del sensore. Per rendere generale il sistema, la rete diaccoppiamento e’ rappresentata dalla impedenza ZC e da una sorgente di noise EC incombinazione shunt col sensore. L’obiettivo e’ di combinare assieme il tutto e rifletteretutte le sorgenti di noise all’input, come mostrato in fig. (b) e (c).Una forma generale per la tensione equivalente di noise di input e’ :

E2ni = A2E2

s + B2E2n + C2I2

nZ2s + D2E2

C (80)

Alternativamente si puo’ definire la corrente di noise equivalente di input, conI2ns = E2

s/R2s , come:

I2ni = J2I2

ns +K2E2

n

Z2s

+ L2I2n +

M2E2C

Z2C

(81)

Per calcolare questi noise equivalenti bisogna determinare i coefficenti A2,B2, ...

60

Le espressioni, (78) e (79), del noise equivalente di input, Eni e Ini, si possono usareindistintamente l’uno o l’altro.La scelta dipende dal tipo di sensore che viene usato. Se lasorgente di segnale e’ un generatore di corrente, e’ piu’ adatta la espressione della correntedi noise equivalente di input, (79). Se il segnale e’ un generatore di tensione allora la formadella tensione di noise equivalente e’ in generale la piu’ adatta.Per quanto riguarda i coefficenti A, B, .. questi dipendono da diversi fattori. Generalmenteil termine A e’ unitario poiche’ esso e’ in serie con la sorgente di segnale, il termine B tieneconto della impedenza di shunt nella rete di accoppiamento, il termine C e’ determinatodalla impedenza in serie tra sensore e rete di accoppiamento.Il metodo di calcolo di En e In e’ il medesimo per ogni sensore: partendo da un diagrammaequivalente di noise, si calcola il noise equivalente totale di output Eno mediante la legge diKirchhoff, o simulazione e dividendo questo per il guadagno di sistema, Kt, si calcola laEni. Da ricordare che il Kt puo’ essere un guadagno riferito alla tensione o corrente,secondo come lo si usa, e che ne’ Eni ne’ Ini dipendono dalla impedenza di input oguadagno dell’amplificatore, mentre ne dipende Eno.

8.3 Effetto della resistenza parallela di carico

Lo schema piu’ semplice di sensore e’ rappresentato da una resistenza in serie con ungeneratore di tensione come si vede nella figura seguente.Nello schema e’ anche mostrata una rete di shunt consistente di una resistenza Rp e di ungeneratore di noise Ep. Questa rete aggiuntiva praticamente spesso si identifica con la retedi alimentazione di tensione del sensore. Per esempio un sensore potrebbe essere un sensoredi spostamento fatto da un potenziometro di precisione, il cui indice e’ misura lospostamento. Questo sensore naturalmente ha bisogno di avere una tensione di bias , permisurare la variazione di posizione, e quindi il segnale Vs, di qui il rumore aggiuntivo; senzail bias anche Vs sarebbe zero.

Il segnale Vs ed il noise Es del sensore sono in serie con la resistenza della sorgente. Ilrapporto di potenza signal-to-noise di input e’ semplicemente il rapporto di V 2

s con E2s .

Quando una resistenza di carico come la Rp o di altri elementi della rete vegono aggiunti sidegrada il rapporto signal-to-noise di output.

61

Per calcolare l’effetto della resistenza di shunt sul noise equivalente di input o sul rapportoR/N si procede in due passi.Per prima cosa si calcola direttamente il noise di output e il segnale di output, poi si ricavail noise equivalente di input dividendo il noise eq. di output per il guadagno di sistema.Nel caso di Rp ≫ Rs si ha :

S

N=

V 2so

E2no

=V 2

s

E2s

(82)

Esempio: Determinare il rapporto di output S/N quando Rp = Rs.Quando Rp non e’ infinita essa deve essere inclusa nel calcolo; poiche’ Rp = Rs, alloraanche Es = Ep per cui

E2no = (

Ep

2)2 + (

Es

2)2 =

E2s

2(83)

Il segnale di output e’ Vso = Vs/2e quindi il rapporto S/N di output e’

S

N=

V 2so

E2no

=V 2

s /2

E2s/2

= 0.5V 2

s

E2s

(84)

Dalla relazione precedente si puo’ concludere che una resistenza in shunt diminuisce ilsegnale piu’ del noise ed il risultato e’ che il rapporto S/N ne risulta diminuito.Dall’esempio si vede che per una resistenza Rp che e’ uguale a quella della sorgente Rs ilrapporto S/N e’ ridotto del 50% (3dB) rispetto al valore senza resistenza di carico.Lo schema seguente presenta un modello di circuito per un’analisi piu’ completa. Ancora e’presente una resistenza in shunt che genera rumore, che e’ rappresentato come ungeneratore di rumore di corrente, Inp =

√

(4kT/Rp); sono aggiunti anche i generatoridell’amplificatore En e In. Per calcolare l’effetto delle sorgenti di noise si deve calcolarequindi il noise equivalente di input.

Si procede nel seguente modo:1. Si calcola il noise equivalente di output Eno dal circuito equivalente:

E2no = E2

s (Rp

Rp + Rs

)2 + E2n + (I2

n + I2np)(

RpRs

Rp + Rs

)2 (85)

62

2. Si calcola il guadagno di sistema Kt, la funzione di trasferimento da sensore all’output,

Kt =Rp

Rs + Rp(86)

3. Si divide la Eno per il guadagno di sistema e si ottienel aEni:

E2ni =

E2no

K2t

= E2s + (

Rs + Rp

Rp)2E2

n + (I2n + I2

np)R2s (87)

Rispetto alla espressione generale per la Eni introdotta precedentemente ci sono duedifferenze, nel coefficente del termine En e nel termine aggiuntivo alla In, che richiedonouna spiegazione. Il termine En, come previsto dalla (78) ha un coefficente che dipendedalla resistenza di shunt, se la resistenza Rp fosse molto grande, Rp ≫ Rs ,il coefficentetenderebbe all’unita’ e quindi sarebbe ristabilita la espressione generale; per il termineaggiuntivo alla In, cioe’ il termine in piu’ Inp questo e’ un termine determinato dal noisetermico della resistenza du shunt Rp. Da ricordare che l’impedenza di inputdell’amplificatore non contribuisce al noise.In pratica la resistenza di shunt deve essere la piu’ grande possibile per ridurre il suocontributo di noise. Il noise termico di questo componente puo’ essere ridottoriducendone la temperatura. A volte, per certe applicazioni, si puo’ sostituire la Rp conuna induttanza, che non ha noise termico.

8.4 Effetto della capacita’ di shunt

Sebbene una capacita’ e’ praticamente noise free, cioe’ non genera rumore, essa puo’accrescere il noise equivalente di input. Una capacita’ in shunt non tocca il rapporto S/Ndel sensore poiche’ essa diminuisce ugualmente il noise ed il segnale del sensore, invece hainfluenza sul noise dell’amplificatore che segue.Si consideri il circuito equivalente di noise che include la capacita’ in shunt mode. Siprocede nel modo adottato precedentemente: si calcola Eno, si calcola il guadagno disistema, Kt e poi si determina Eni

63

1. Dal circuito equivalente si ricava che Eno vale:

E2no = E2

s (1

1 + ω2R2sC

2p

) + E2n + I2

n(R2

s

1 + ω2R2sC

2p

) (88)

2. Il guadagno di sistema Kt dal sensore all’output vale:

K2t =

1

1 + ω2R2sC

2p

(89)

3. Dividendo E2no per K2

t si ottiene E2ni:

E2ni = E2

s + (1 + ω2R2sC

2p )E2

n + I2nR

2s (90)

La capacita’ in shunt non aggiunge noise di per se’ ma la En e’ aumentata di unfattore dipendente da Cp, quindi solo la tensione effettiva di noise dell’amplificatore e’aumentata per il fatto che c’e’ la capacita’ in shunt; la capacita’ pero’ non e’ una sorgentedi rumore.N.B. Da ricordare che la capacita’ Cp non e’ la capacita’ di input dell’amplificatore inquanto questa e’ tenuta in conto nella definizione dei valori di En,In e Kt.

8.5 Rumore di un circuito risonante

Un altro modello di sistema interessante di sensore-amplificatore e’ quello in cui il sensoree’ di tipo induttore risonante.Il circuito equivalente di noise di un sensore risonante e’ il seguente in cui e’ inseritol’elemento risonante. La espressione per il noise equivalente di input si ricava seguendo paripari le procedura descritta precedentemente.

64

L’espressione vale:

E2ni = E2

s + |1 +Rs(1 − ω2CsLp)

jωLp

|2E2n + R2

sI2n (91)

Entrambi i termini En e In sono influenzati dall’impedenza del sensore. Il coefficente di In

e’ uguale a Rs per tutte le frequenze, ma il coefficente di En e’ aumentato di un termineche e’ la reattanza LC, eccetto alla risonanza quando (1 − ω2CsLp) = 0 e cosi’ il coefficentedi En e’ di nuovo uno. In questo caso i contributi complessi a Zp si cancellano l’un l’altroper cui rimane solo Rs. Alla risonanza la (12) diventa soltanto:

E2ni = E2

s + E2n + R2

sI2n (92)

Gli elementi reattivi non entrano nella espressione del noise quando si lavoraalla risonanza.

8.6 SOMMARIO

a. In un sistema elettronico gli elementi che contribuiscono maggiormente al noise sono: ilsensore,l’amplificatore e la rete di accoppiamento.b. Ciascun contributore puo’ essere sistituito dal suo circuito equivalente di noise perl’analisi del noise.c. Per determinare il noise equivalente di input di un sistema bisogna dividere il noiseequivalente di output per il guadagno di sistema.d. Il noise totale in un qualsiasi nodo del sistema si puo’ calcolare come somma dei valoriquadratici mei dei contributi di tutte le sorgenti a quel nodo, ciascuna sorgente essendoindipendente dalle altre.e. Eni, nella sua formulazione piu’ semplice risulta dipendente da tre sorgenti di noise: ilnoise termico della resistenza del sensore Ets e dai parametri dell’amplificatore, En e In.f. In generale, la rete di accoppiamento tra il sensore e l’amplificatore, aumenta il noise En

e In; le componenti in shunt aumentano il contributo a En mentre quelle in serieaumentano il contributo a In.g. Sebbene una capacita’ in shunt sia senza noise, essa aumentera’ il contributo di noise En

ad alte frequenze.h. Quando un sensore ha una impedenza reattiva, si puo’ utilizzare la condizione dirisonanza per ridurre il noise.

65

9 Cenno sul noise dei sensori

Precedentemente si e’ discusso di sensori nell’ambito della modellazione di sistemi; quiintroducono le linee guida per valutare le sorgenti di noise dei sensori rispetto al segnaleche si vuole valutare. I termini di sensore, trasduttore o rivelatore sono spesso usati inmodo intercambiabile anche se i termini stessi indicano una differente funzione. Sensore orivelatore indica un dispositivo capace di sentire un segnale, un trasduttore indica undispositivo che trasduce un segnale ( es. meccanico ) in un altro segnale ( es. elettrico). Isensori, usando questo termine, nella eccezione piu’ generale si possono dividere in sei classi:

1. Sensori voltaici

2. Sensori resistivi con bias

3. Rivelatori optoelettronici

4. Sensori RLC

5. Trasduttori piezoelettrici

6. Trasformatori

Saranno discussi solo i modelli di noise dei primi 4 di questi tipi di sensori: che comunqueserviranno da guida per gli altri tipi per cui si rimanda alla letteratura.

9.1 Sensori voltaici

I sensori resistivi comprendono molti tipi di sensori basati sulla resistenza del mezzo pergenerare un segnale. Tra questi sensori si trovano le termocoppie, termopile, le cellepiroelettriche infrarosse, generatori ed altri ancora.Il sensore e’ simbolizzato dalla sorgente di segnale Vs e dalla resistenza interna in serie Rs.La tensione Vs e’ l’output rilevato della variazione di un parametro fisico o elettrico, comepressione o radiazione. Il sensore sara’ accoppiato al circuito amplificante mediante unacapacita’ CC se si e’ interessati esclusivamente alla variazione in funzione del tempodell’output del sensore. Ci sara’ anche una resistenza RL per accordare le impedenze trauscita e sorgente.

66

Partendo da questo schema il modello di noise che si puo’ implementare e’ quello generaledella figura di seguito.La capacita’ in shunt Cp rappresenta o una capacita’ intrinseca del sensore o la capacita’parassita dispersa nei collegamenti. L’amplificatore e’ al solito rappresentato della En edalla In.

Per avere un basso noise, la RL contribuira’ poco se RL sara’ grande, e’ in parallelo, mentrela Cp deve essere molto piccola se si vuole che il noise En non cresca molto alle altefrequenze. Invece la capacita’ di disaccoppiamento CC deve essere o molto grande orimossa per ridurre il suo effetto sulla In dell’amplificatore a basse frequenze.La impedenza di input dell’amplificatore Zi puo’ essere diminuita con un feedback negativoin modo da aumentare la frequenza di corner fc causata da Cp. Naturalmente se si tiene Rs

basso si riduce allo stesso modo il limite superiore del rumore termico del sistema.L’amplificatore deve essere scelto in modo che la resistenza di noise ottimale di output Ro

sia uguale alla resistenza di sorgente Rs e che il prodotto EnIn sia il piu’ piccolo possibile.

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9.2 Sensori resistivi con bias

Uno dei tipi piu’ comuni di sensori e’ quello in cui c’e’ una resistenza che varia, in seguito avariazioni di resistenza o di conduttivita’ in risposta al segnale avvertito. Poiche’ il sensorenon genera un segnale direttamente, esso deve essere alimentato con una tensione o unasorgente di corrente ed accoppiato ad una resistenza di carico. Questo significa che siaggiungono due sorgenti di noise da tener presente nella modellazione del sistema: il noiseconseguente al biasing del segnale ed il noise della resistenza di carico. Inoltre se il sensoree’ parte di un bridge, ad esempio, anche gli altri elementi del bridge contribuiscono alrumore.Esempi di sensori resistivi che necessitano di bias, sono gli elastometri, le celle infrarossefotoconduttive, i bolometri, i termometri a resistenza ed i sensori piezoelettrici.

I sensori resistivi con bias hanno uno schema circuitale del tipo di quello presentato infigura. La tensione di bias e’ applicata da VBB; il segnale del sensore si manifesta come unacaduta di tensione lungo RB, la componente variabile della resistenza del sensore Rs e’rappresentata da una resistenza incrementale ∆Rs che e’ piccola rispetto alla Rs. Lacapacita’ di accoppiamento CC eliminera’ la componente di modo comune della tensione dcdi bias dall’input dell’amplificatore.

Lo schema circuitale equivalente di noise, mostrato nella figura seguente, deve comprenderetutte le sorgenti di tensione e corrente di noise.Il generatore di tensione Vs rappresenta il segnale avvertito. Puo’ essere sia un generatoredi tensione in serie con la resistenza del sensore che un generatore di corrente, Is = Vs/Rs,in parallelo con la sorgente.

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Poiche’ ∆Rs ≪ Rs, altrimenti non si utilizzerebbe un amplificatore a basso noise, nonviene incluso nello schema. Il segnale Vs e’ causato dalla variazione di resitivita’ oconducibilita’ della resistenza del sensore Rs e vale:

Vs = IB∆Rs ≃VBB∆Rs

Rs + RB(93)

Quando il bias e’ un generatore di corrente costante, IBB, il segnale di tensione e’ dato daVs = IBB∆Rs e in questo caso la resistenza RB e’ molto grande ed il noise termico nontrascurabile. Il generatore di corrente di noise Inb si scrive come Inb(f) che rappresenta ilnoise della sorgente di corrente che e’ probabilmente dipendente dalla frequenza.Il generatore di corrente di noise Ins, nello schema precedente, rappresenta tre generatori dinoise nel sensore. I tre noise sono il termico, quello 1/f e lo shot noise. Il noise termico e’generato da una fluttuazione nella velocita’ dei portatori, quello 1/f e’ dovuto al fatto chela corrente fluisce in un mezzo non perfetto e quindi si ha 1/f noise. Il terzo tipo di noise e’un noise generato dalla fluttuazione del meccanismo di generazione e ricombinazione neisemiconduttori. La fluttuazione nella generazione e ricombinazione causa una variazionenel numero di portatori disponibili che causa una modulazione della conducibilita’ delsemiconduttore. Questo noise e’ ’bianco’, ha uno spettro piatto, in un ragionevole range difrequenze e usualmente domina il noise termico.Il resistore di bias RB influenza sia il segnale del sensore che il suo noise. Il generatore dinoise Inb tiene conto della corrente di noise termico e l’excess noise della resistnza di caricoRB. Poiche’ il noise termico di Inb e’ relazionato inversamente alla radice quadrata dellaresistenza, e’ auspicabile che RB sia grande; in certi casi e’ possibile sostituire la RB conuna induttanza, che e’ noise free, per il bias e carico contemporaneamente. Questocomporta che si aggiunge pero’ un nuovo termine importante a basse frequenze.Quando si usa una resistenza per il bias, al posto di un generatore di corrente, il segnaledipende da RB nel modo che si vede nella figura precedente. Una resistenza grandediminuisce la corrente di bias e riduce il segnale di output anche se un grande resistoreriduce anche il noise. Quindi la resistenza RB deve essere scelta con un compromesso traguadagno e noise che dipende dalle caratteristiche del sensore.Il condensatore CC puo’ essere usato per rimuovere la tensione di common modedall’amplificatore. CC deve essere grande cosicche’ InXc non contribuira’ con del noise alle

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frequenze basse. XC e’ la reattanza di CC ; RL deve essere molto piu’ grande di Rs cosicche’IL non contribuira’ al rumore. Per un sistema a basso rumore bisognera’ che Rs sia lasorgente dominante di noise, Si deve quindi selezionare un amplificatore con opportune En

e In in modo che Ro equagli Rsed il minimo prodotto EnIn.

9.3 Rivelatori optoelettronici

I sensori optoelettronici sono usati per rivelare varie forme di radiazione visibile e non edhanno un largo uso nella rivelazione infrarossa, misure di calore , di luce e di colori,rivelatori a fibre ottiche, sensori per CD, laser ecc.Ci sono due tipi di sensori optoelettronici a stato solido: i fotoconduttivi ed i fotovoltaici.Nei fotoconduttivi una radiazione colpendo una cella genera una corrente che si somma allacorrente di leakage o corrente buia. Il bias e’ applicato alla cella per raccogliere la corrente.Nei rivelatori fotovoltaici la radiazione sulla cella produce direttamente una tensione, laradiazione assorbita produce una variazione della conducibilita’ del materialesemiconduttore.Le celle fotoconduttive sono fabbricate con materiale semiconduttore la cui conducibilita’aumenta con l’assorbimento di energia radiante; il modello per questo tipo di sensore e’simile a quello del sensore di tipo resistivo con bias.Una forma comune di sensorefotoconduttivo e’ il diodo reverse-biased o unbiased.

Un circuito semplice con un fotodiodo e’ il seguente in cui la VBB e’ la tensione di bias. Ilbias inverso raccogliera’ tutte la corrente generata dalla energia radiante assorbita e inquesto modo si generera’ un segnale di tensione ai capi dell resitenza di carico o bias, RB.

Molto spesso il sensore e’ usato con un amplificatore con feedback negativo in questo modosi ottiene un sensore di tipo fotoconduttivo.

Come si vede dallo schema la RB produce un ground virtuale all’anodo del diodo che in

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questo modo riduce l’impedenza di input aumentandone la risposta in frequenza. Latensione di output e’ Vo = −IDRB, essendo ID la corrente inversa del diodo, detta anchecorrente buia. Avere RB = R2 riduce l’effetto della tensione di offset di output causata

dalla corrente di bias di input, ma al contempo introduce del rumore.

Lo schema circuitale di noise di un sensore fotodiodo e amplificatore con feedback negativoe’ mostrato di seguito. Segue tutti gli schemi di circuiti di noise. La resistenza di carico RB

ha lo stesso effetto sul noise equivalente di input e guadagno per entrambi i circuiti. Isimboli sono autoesplicativi, la sorgente di corrente del segnale, Is, e’ localizzata all’input, esi indica con: rd la resistenza noiseless dinamica reverse-bias del fotodiodo, con RB laresistenza di feedback, con Rcell la resistenza in serie dellla cella (< 50Ω), con R2 laresistenza di bias per l’input nonivertente, con Ecell il noise termico di Rcell, con En Iatensione di noise dell’ Amp, con Cd la capacita’ della cella, con Cw la capacita’ parassitadelle connessioni, con Id la fotocorrente dc del sensore piu’ la corrente buia, con InB il noisetermico di RB, con Ip = (I2

sh + I2G−R + I2

1/f )2, con In1 la corrente di noise dell’Amp. per

l’input invertente, con In2 la corrente di noise all’input non invertente e con I2 la correntedi noise termico di R2 .La corrente Is e’ proporzionale alla intensita’ della luce incidente, la Ip, corrente parassitae’ composta di tre correnti di noise: la shot noise che dipende dalla corrente di leakage delfotocatodo e dalla ID, il burst o R-G noise e l’excess noise,

Ip =√

(I2sh + I2

R−G + I2f )

La sorgente di segnale e’ soggetta ad essere shunted (deviata) per gran parte dalleimpedenze del circuito. La resistenza in serie Reff e’ generalmente minore di 50Ω, cosicche’Ecell risulta trascurabile. La resistenza di carico o resistenza di bias, RB e’ a tutti gli effettiun generatore di corrente di noise termico cosicche’ deve essere grande per minimizzare ilcontributo al noise.La capacitanza Cd e la capacitanza Cw sono elementi che limitano la frequenza, agisconocome filtri passabasso, quindi debbono essere tenute piu’ basse possibili. Sebbene la

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capacitanza di input Ci e la resistenza di input Ri dell’Amp. non compaianonell’espressione del noise essi intervengono nel guadagno dell’Amp. cosi’ ci danno un mezzoper ottimizzare separatamente il guadagno ed il noise.Un diodo unbiased o un diodo fotovoltaico usano un modello simile. In questo caso laresistenza di Bias RB puo’ essere tolta. Se vi e’ corrente non desiderata causata dalla luceambientale si dovra’ tenerne conto come una componente di noise di tipo shot. Laresistenza di shunt del diodo si potra’ determinare dalle eq. del diodo. Con i sensori tipofotodiodi si adattano bene gli amplificatori il cui primo stadio e’ un FET, a causa della suaalta impedenza e bassa capacita’, infatti se il FET e’ connesso in configurazionecommon-drain , l’effetto Miller non si manifesta riducendo cosi’ la capacita’ di ingresso.

9.4 Sensori RLC

Tra i sensori RLC vanno annoverati le testine magnetiche, avvolgimenti, i pickup induttivi,i microfoni dinamici ed altri. I sensori RLC possono essere rivelatori risonanti, ma lacaratteristica principale risiede nella sorgente di segnale induttiva.

Un circuito generico ha uno schema seguente, in cui sono evidenziati la sorgente di noise Es

a rappresentare il noise termico che puo’ essere presente nella parte reale dell’impedenzadel sensore Rs.

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Il sensore e’ assunto avere anche una induttanza in shunt, Lp, parassita, ed una capacita Cp

che rappresenta sia la capacita’ dell’elemento induttore che la capacita’ dei collegamenti ola capacita’ esterna eventualmente aggiunta per il sensore. Lo schema di circuito perl’analisi del noise ingloba tutte le sorgenti. Nel capitolo precedente, nella discussione suisistemi con capacita’ in shunt, si era analizzato l’effetto di una combinazione RLC e si eravisto che il contributo al noise En era minimo alla risonanza, mentre il termine In e’dipendente solo dall’impedenza della resistenza e induttanza.Il segnale nel sensore RLC e’ usualmente una tensione proporzionale alla rate di variazionedel flusso indotto. L’avvolgimento Ls e la resitenza Rs possono anche essere espressi comeuna resistenza ed induttanza in parallelo, in questo caso si avrebbe un generatore dicorrente di noise.Un sensore induttivo puo’ essere ottimizzato per ottenere il massimo rapporto S/N . Ilsegnale in tensione e’ proporzionale al numero di spire. La resistenza dell’avvolgimento e’proporzionale anche al numero di spire per piccoli diametri, quindi il noise e’ proporzionalealla radice quadrata delle spire e il segnale aumenta piu’ velocemente del noise conl’aumentare delle spire. Quando l’avvolgimento pero’ diventa grande abbastanza indiametro, allora la resistenza aumenta piu’ velocememte che il quadrato delle spire ed ilrapporto S/N incomincia a diminuire.

9.5 Trasduttori piezoelettrici

Un trasduttore piezoelettrico genera un segnale elettrico quando e’ sottoposto a stressmeccanico. Un circuito esemplificatore di sistema con trasduttore piezoelettrico e’ ilseguente:

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Lo schema circuitale per l’analisi del noise segue lo schema generale, in cui il sensore e’modellato, oltre che con le usuali Es e Rs anche con due termini che tengono conto delfattore meccanico, la induttanza meccanica LM e la capacita’ meccanica CM .Da ricordare che il sistema e’ elettrico-meccanico e quando il sensore e’ in condizioni dirisonanza questa condizione diminuisce il contributo al noise equivalente di input ed inquesto modo aumenta il rapporto S/N .

9.6 Modello di trasformatore

Ci sono tre ragioni principali per accoppiare un trasformatore in input ad una sorgente disegnale con un amplificatore. La prima e’ di trasformare l’impedenza di input dellasorgente per adattarla alla resistenza di noise di output Ro in modo da minimizzare il noisedel sistema. La seconda e’ fornire un isolamento tra sorgente e amplificatore, e la terza e’di adattare le impedenze in modo da massimizzare il trasferimento di potenza del segnale.Lo schema di circuito per l’analisi del rumore di un sistema con trasformatore segue quellosolito; il trasformatore e’ modellizzato, per analisi in bassa frequenza, come una resistenzadi primario Rp ed induttanza Lp e da una resistenza in serie di secondario Rsec. Si rimandaal testo per una discussione dettagliata.

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10 Analisi del noise nei convertitori A/D e D/A

Il processamento dei segnali, signal processing, richiede dei convertitori A/D e D/A semprepiu’ precisi, il che significa con una risoluzione sempre maggiore. Man mano che larisoluzione si avvicina al limite del noise del convertitore, la utilita’ del bit menosignificativo diventa questionabile poiche’ la probabilita’ di errore del bit aumenta. Laeffettiva risoluzione del bit meno significativo e’ determinata sia da noise di interferenza tragli elementi del sistema che dal noise intrinseco del convertitore.Il noise dovuto a interferenza tra elementi del sistema si puo’ eliminare con opportuniaccorgimenti, come una corretta messa a terra, uno schermo e.m., un corretto layout. Adun certo punto pero’ il noise dominante sara’ quello del convertitore stesso. La riduzione diquesto noise richiederebbe che il convertitore operasse a basse temperature, che non sempree’ possibile, oppure disegnare il convertitore ottimizzando gli elementi in modo da farlolaviorare a valori di tensione ottimizzati per il noise minimo. Mancano pero’ modelligenerali per convertitori completi. Qui si vuole introdurre un metodo di analisi del rumoreper identificare le sorgenti di rumore dominati nei convertitori A/D e D/C. Si adottera’ iltipo di convertitore D/A a scala di tensione R-2R e il flash A/D come elementi di analisi.

10.1 Convertitori D/A a rete di resistenze

Nelle figure seguenti sono schematizzati due tipi di convertitori A/D che usanorispettivamente, una rete R-2R e una rete pesata binaria. L’analisi puo’ partireinizialmente dalla sola rete di resistori e trascurare la sorgente di noise dell’amplificatore edella resistenza di feedback nel tipo a pesi binari.Il metodo consiste nel mettere a terra i terminali di input dei bit ed aggiungere unasorgente di tensione di rumore termico in serie con la resistenza. Sappiamo che la densita’spettrale della tensione di noise vale per ciascuna resistenza

√

(4kTR), e il noise quadraticoequivalente di output, E2

nA, si ricava sommando tutti i contributi al noise delle singoleresistenze valutati secondo l’appropriato divisore di tensione corrispondente a ciascunaresistenza.

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La densita’ spettrale E2nA della rete R − 2R, vedi figura , e’ indipendente dal numero di bit,

N , ed ha un valore di 4kTR, mentre per la rete binaria pesata esso vale:

E2nA =

4kTR

(1 + [2N−1−12N−1 ]

(94)

Come N cresce, E2nA tende rapidamente al valore di 2kTR. Per N = 6 questa

approssimazione risulta in un errore di E2nA pari a 1.4%.

10.2 Analisi del noise dei circuiti D/A

I circuiti D/A impiegano differenti modi di connessione con l’amplificatore, ma il modelloche si puo’ adottare e’ abbastanza generale da adattarsi alle diverse topologie. Il modelloprevede che il noise dell’amplificatore sia costituito da una sorgente di tensione di noise En

in serie con l’input non invertente ed una sorgente di corrente In localizzata tra i dueterminali di input dell’amplificatore, come si usa normalmente per modellare il noise di unamplificatore. Entrambi En e In possono essere modellati con uno spettro di noise piatto, onoise 1/f o una combinazione dei due con una parte dello spettro piatto per frequenzesopra il noise corner,fnc, e uno spettro caratteristico 1/f per frequenze inferiori allafrequenza di noise corner, fnc.

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Il contributo ad E2no da ciascuna sorgente di noise si ottiene sommando le tensioni

quadratiche medie di noise moltiplicate per il fattore di guadagno di tensione al quadrato.Il contributo di In a E2

no e’ calcolato quadrando In moltiplicata per il quadrato dellaresistenza equivalente di sorgente vista da In e poi moltiplicata per il quadrato delguadagno di tensione non invertente del circuito.Per es., se si considera la rete R-2R con Amp. non invertente, ( figura precedente, c), larete di resistenze ha una resistenza equivalente Req uguale a R, se vista all’indietro nellarete. La rete introduce anche un Bit Factor(BF) che e’ il guadagno in tensione della rete setutti gli inputs sono connessi allo stesso momento.Il Bit Factor e’ dato daBF = (2N − 1)/NN ed e’ circa uguale a uno. Ignorando la resistenza di input e output delmodello di OpAmp utilizzato, gli altri elementi del circuito contribuiscono nel seguentemodo ad Eno, in unita’ di V 2/Hz:

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Rete R-2R:

4kTReq(BF )2[RA

RA + Req]2[

RF + RI

RI]2 (95)

En:

E2n[

RF + RI

RI

]2 (96)

RA:

4kTRA (97)

RI :

4kTRI [RF

RI]2 (98)

RF :

4kTRF (99)

In:

I2n[

RAReq

RA + Req+ RF RIRF + RI ]

2[RF + RI

RI]2 (100)

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Nelle tabelle successive sono elencati i fattori di moltiplicazione per ciascun contributo disorgenti di rumore a E2

no e a E2ni nelle quattro topologie illustrate come pure i bit factor e

le Req. Eni e’ una sorgente di noise equivalente localizzata all’input alla rete di resistori e ilvalore di E2

ni e’ uguale a E2no diviso dal quadrato di guadagno di tensione.

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L’analisi e’ semplificata considerando che per un input digitale uguale per tutte e quattrole topologie anche gli output analogici debbono essere uguali tra di loro. Quindi si fannoqueste assunzioni:BF = 1, RF = RI = RA = R per la rete R-2R, RF = Req = R/2 per la rete pesataCon queste assunzioni la funzione di trasferimento da Eni a Eno, diventa uguale uno pertutte e quattro le topologie, cosi’ E2

ni = E2no. Tenuto conto che per una rete R − 2R la

resistenza equivalente, guardando indietro, e’ tale per cui Req = R, nel caso di rete nonpesata, mentre e’ Req = R/2 nel caso di rete pesata, da un’analisi circuitale della rete siricavano le seguenti espressioni per Eno, ricordando che E2

t vale 4kTR in V2/Hz

1. R-2R con un voltage follower

E2no = E2

n + E2t + I2

nR2 (101)

1. R-2R con un amplificatore invertente

E2no = 4E2

n + 2E2t + I2

nR2 (102)

1. R-2R con un amplificatore non invertente

E2no = 4E2

n + 4E2t + 4I2

nR2 (103)

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1. R-2R con pesi binari e amplificatore invertente

E2no = 4E2

n + 3/2E2t + 1/4I2

nR2 (104)

Per ottenere queste espressioni si sono fatte inoltre le seguenti assunzioni e cioe’ che la reteR-2R fosse la stessa che la rete di feedback avesse resistenze di ugual valore. Con questeassunzioni si verifica che il guadagno di sistema e’ unitario per tutte e quattro leconfigurazioni, per cui E2

no = E2ni. E2

t = 4kTR in Volt per Hertz.Le equazioni mostrano che la rete R − 2R con un voltage follower e’ quella col noiseminore, mentre quella con noise maggiore e’ quella con configurazione dell’amplificatorenon invertente. La topologia voltage follower produce meno noise non solo perche’ insostanza ha meno componenti resistivi attorno all’amplificatore, ma anche perche’ il suoguadagno non invertente in output e’ unitario. Cosi’ non ci sono termini moltiplicativi perEn e In che contribuiscono a E2

no come negli altri casi. Le equazioni mostrano anche che seil noise dell’amplificatore e’ dovuto principalmente alla componente di corrente In allora latopologia con la rete pesata binaria potrebbe avere noise inferiore dovuto al fatto che iltermine di corrente e’ diviso per 4.

10.3 Il noise in un convertitore flash A/D

Nel convertitore flash A/D della figura seguente ogni nodo del circuito e’ etichettato, cosi’m indica l’m-esimo nodo della rete.

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In un convertitore flash A/D, una tensione di riferimento Vref e’ divisa in tante tensioniugualmente spaziate di un ∆V , ognuna delle quali e’ input ad un comparatore. La tensioneanalogica di input e’ confrontata contemporaneamente con le n tensioni di soglia. Il noisedella tensione di riferimento e le sorgenti di noise del comparatore mostrano noise ditensione e di corrente con un spettro tipico di noise ”bianco” per frequenze al di sopra delnoise corner Fnc ed uno spettro compatibile con un noise 1/f per frequenze al di sotto difnc. Le resistenze nel divisore generano noise termico come pure noise in excess con unospettro 1/f . Ci sara’ un errore di un bit se la somma del noise istantaneo e la tensionedanalogica di input eccedono l’intervallo di quantizzazione in cui l’input analogico e’confrontato.E’ possibile includere un contributo al noise totale da parte dell’encoder digitale, EDNL,aggiungendo un’altra sorgente di noise il cui valore corrisponde al noise dell’encoder

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all’output del comparatore che interessa moltiplicato del guadagno inverso delcomparatore. Poiche ’ questo guadagno e’ abbastanza piccolo, la EDNL e’ inifluente neldeterminare se un comparatore sbaglia in una decisione, per cui si trascura del tutto ilcontributo del noise dell’encoder. Questo potrebbe diventare importante all’output delconvertitore se eccedesse il noise margin della circuiteria del decoder.Il noise generato da un comparatore che opera nella sua regione di transizione e’ modellatonello stesso modo di un amplificatore, con En e In. Il noise all’input di ogni comparatoreprende contributi dalla sorgente di noise sua medesima, En, da tutte le sorgenti In deglialtri comparatori, da ciascuna resistenza nel divisore e dalla tensione di riferimento. lesorgenti En degli altri comparatori non contribuiscono al noise equivalente in input alcomparatore in questione a causa della alta impedenza dei comparatori associati a quellesorgenti di noise, in pratica questi contributi En dagli altri comparatori contribuiscono perla parte partita dalla alta impedenza di ingresso degli Amp. per cui e’ trascurabile.Da quanto detto, intendendo con m il nodo m-esimo all’input del m-esimo comparatore , siricava l’espressione di E2

nim, la tensione di noise quadratica all’ingresso dell’m-esimocomparatore, che risulta complessa per tutti i termini di somma su tutti i contributi.

E2nim = [E2

nm +E2

nm(fncE)

f] + E2

tm +2N

−1∑

j=1

E2exm + (

m

2N)2[E2 +

E2ref (fncref)

f] + E2

exm (105)

per m = 1, 2, 3, .., 2N − 1.E2

tm e E2exm sono il contributo al noise totale al m-esimo nodo causato dal noise termico e

dalla corrente di noise del resistore rispettivamente. Le equazioni che descrrivono questitermini sono le seguenti:

E2tm = mE2

t (2N − m

2N)2 + (2N − m)E2

t (m

2N)2 (106)

E2exm = mE2

ex(2N − m

2N)2 + (2N − m)E2

ex(m

2N)2 (107)

dove E2t e’ il noise termico di un singolo resistore e E2

ex e’ il noise in excess di un singoloresistore nella rete di partizione. La E2

m(Inj) e’ il noise quadratico al nodo m-esimo causatodalla j-esima sorgente di corrente di In il cui contributo puo’ essere espresso come:

E2m(Inj) = [E2

j (Inj)](m

j)2sem ≤ j (108)

oppure

E2m(Inj) = [E2

j (Inj)](2N − m

2N − j)2sem ≥ j (109)

La E2j (Inj) e’ il noise al nodo j-esimo causato dalla j-esima sorgente di corrente In ed e’

uguale a :

E2j (Inj) = [

j(2N − j)R

2N]2[I2

nj +I2nj(fncI)

f] (110)

E’ importante rilevare che ugualmente la espresione per E2nim ricalca in sostanza la

espressione generica di noise equivalente in input per una catena resistiva accoppiata ad un

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amplificatore. Determinare quale comparatore ha il maggiore contributo di noise al suoinput e’ abbastanza complicato ( per fortuna c’e’ SPICE ad aiutare ), quello che si puo’dire e’ che la tensione di riferimento Vref contribuisce per la maggior parte del noise diinput al comparatore piu’ significativo, al top, cioe’ al 2N − 1-esimo. Tutte le altre sorgentidi noise contribuiscono maggiormente al comparatore di mezzo, mediano, il 2N−1-esimo.

10.4 Convertire il noise analogico in errori di bit

L’analisi degli effetti del noise sulla accuratezza della conversione A/D e’ di tipoprobabilistica, ( Gordon , 1974), basata su un modello di convertitore di un singolocomparatore ed una sorgente di noise equivalente all’input del comparatore. L’azione delcomparatore in presenza del noise determina alla fine se vi sara’ un errore o non nellacodifica del bit. Il modello di Gordon prevede di modellare tutte le sorgenti di noise delconvertitore con una sorgente di noise equivalente all’input del comparatore. Prima pero’ e’necessario determinare un valore realistico per la sorgente di noise equivalente, σ, dallatopologia del circuito o del dispositivo da usare nell’analisi. L’analisi parte dall’idea diridurre concettualmente un convertitore ad un singolo comparatore e poi calcolare laprobabilita’ che il comparatore prendera’ una decisione sbagliata in presenza di noise, datauna certa grandezza dell’intervallo quantico di campionamento (un LSB di un convertitore) e del livello del noise con rms σ.Tutte le sorgenti di rumore all’interno del convertitoresono modellate quindi come una unica sorgente di noise equivalente all’input delcomparatore che si somma al segnale di input. Il noise e’ assunto avere una distribuzione(pdf) gaussiana. L’input di riferimento al comparatore e’ considerato noise free e costante.Se il segnale di tensione di input e’ costretto sempre ad essere centrato all’internodell’intervallo di quantizzazione, allora la probabilita’ di un errore da parte del comparatoree’ determinata soltanto dal rapporto dell’intervallo di quantizzazione al livello del noise.Tre possibili casi sono illustrati nella figura seguente, nel primo al segnale sono sommati±3σ di noise e si vede chiaramente che il segnale di input rimane all’interno dell’intervallodi quantizzazione, nel secondo il segnale di input esce dai bordi di un intervallo diquantizzazione, mentre nel terzo caso il segnale si sovrappone a piu’ di due intervalli diquantizzazione. E’ facile a questo punto valutare la probabilita’ di errore da parte delcomparatore: nel primo caso non ci sara’ errore poiche’ il segnale rimane all’internocompletamente, nel secondo e terzo caso ci sara’ una certa probabilita’ che l’intervalloquantico di campionamento sia superato quando il noise e’ aggiunto al segnale. Laprobabilita’ che cio’ accada e’ pari all’area tratteggiata totale sottesa alla gaussiana che siestende oltre l’intervallo centrale di quantizzazione. Se il rapporto di σ alla larghezzadell’intervallo di quantizzazione e’ grande , vedi fig. (c), potrebbe capitare che piu’ di uncomparatore, nella stringa dei comparatori, sia portato a sbagliare; questa probabilita’ e’ lasomma delle aree piu’ scure, mentre la somma delle aree piu’ chiare fornisce la probabilita’che un solo comparatore commetta uno sbaglio.

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Nei flash A/D questa analisi probabilistica si adatta a tutti i comparatori e al lorointervallo di quantizzazione. Il noise puo’ produrre uno tra due tipi di errori. Il primocapita quando il segnale piu’ noise eccede il limite superiore dell’intervallo diquantizzazione dell’m-esimo comparatore, allora l’m-esimo comparatore decidecorrettamente mentre quelli di ordine superiore saranno portatati a sbagliare producendoun logico 1. Se il segnale di input sommato al noise eccede il limite inferiore del l’m-esimocomparatore, questo generera’ sbagliando un logico zero e dipendendo dal livello di noiseuno o piu’ comparatori, m-1, m-2, saranno portati a sbagliare.Il caso quando il segnale di input non e’ piu’ costretto ad essere centrato nell’intervalloaggiunge generalita’ all’analisi. Il segnale puo’ essere spostato dal centro di una quantita’E, dove E e’ definito essere corrispondente a meno di 1/2 LSB in grandezza. Le figureseguenti presentano il caso di E rispettivamente uguale a +1/4 LSB e -1/4 LSB.

La figura mostra come uno spostamento del segnale di input dal centro dell’intervallo diquantizzazione ridurra’ la probabilita’ di uno dei tipi di errore mentre aumentera’ laprobabilita’dell’altro tipo di errore. Di nuovo la probabilita’ che un errore o l’altro capitisara’ data dalla somma delle aree tratteggiate. Per ogni spostamento ci sara’ una

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probabilita’ diversa. Questa si puo’ calcolare con l’integrale

PE =

∫ +(LSB/2)

−(LSB/2)

P (X|E)P (E)dE (111)

essendo PE la probabilita’ di un bit error, P (E)dE la probabilita’ che l’input analogico siaspostato dal centro dell’intervallo di quantizzazione di una quantita’ compresa tra E eE + dE, e P (X|E) e’ la probabilita’ che il noise gaussiano P (X) eccedera’ l’intervallo diquantizzazione quando e’ sovrapposto centrato sull’input analogico in E.Poiche’ il noise piu’ grande e’ tipicamente associato al comparatore top, 2N − 1-esimo, laprobabilita’ maggiore di un errore di bit capita quando la tensione di input analogica, V , e’nel range tra [Vref(2

N − 2)/2N ] e [Vref(2N − 1)/2N ] dove Vref e’ la tensione di riferimento.

Questi sono i limiti di quantizzazione del comparatore al top, del bit piu’ significativo.

La tabella mostra i valori calcolati con Spice dei contributi al noise totale di input al nodotop di un convertitore A/D a 8 bit. Dai calcoli, ( vedi testo ) risulta, come ci si aspetta, cheil noise totale equivalente aumenta all’aumentare del n, di Bit, N, ma la crescita percentualeal crescere di N bit diminuisce. Si vede anche che il contributo maggiore deriva da Vref .

La successiva tabella mostra la massima probabilita’ di errore di un comparatore al top ( laprobabilita’ di errore e’ minore negli intervalli di quantizzazione centrali perche’ il noise e’minore).

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Sono mostrati ii valori di probabilita’ per convertitori di 3,5 e 8 bits per una tensione atutta scala di 5 V e 10 V. con dei parametri di noise ricavati con SPICE ( vedi testo, Sec11-5). Per un convertitore a 8-bit e 5-Volt full scale la probabilita’ di errore di uncomparatore e’ 100% se l’input analogico puo’ spostarsi a caso all’interno dell’intervallo diquantizzazione ( cioe ±0.5LSB del valore centrale dell’intervallo di quantizzazione). Sel’input analogico e’ costretto a non spostarsi piu’ di ±0.3LSB dal centro dell’intervallotuttavia la probabilita’ di un errore si riduce a 1 − 2%. Dalla tabella si vede che aldiminuire di N, la probabilita’ di un errore del comparatore diminuisce considerevolmente,cosa bbastanza ovvia.

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11 Misura del noise

Il noise e’ misurato alla stessa maniera delle altre quantita’ elettriche, la differenzaprincipale sta nel livello della tensione. Si sono individuati diversi specifici parametri comela tensione di input equivalente di noise, En, la corrente euqivalente di input, In, e il noisefactor,NF, quali quantita’ suscettibili di essere misurate ed adatte ad essere usate comeindici di confronto tra sistemi elettronici.Poiche’ la tensione di noise e’ spesso nella regione dei nanovolt , non e’ possibile misurare ilnoise direttamente alla sua sorgente, anche perche’ non sempre la generazione di noise e’localizzata fisicamente all’input, ma piuttosto distribuito in tutto il sistema. Il noise totalee’ la somma dei contributi di tutti i generatori. Il noise e’ misurato alla porta di outputdove il livello e’ piu’ alto e poi trasferito all’input per riferirlo alla sorgente di segnale.

11.1 Metodi della misura del noise

Due tecniche generali di misura del noise sono il metodo dell’onda sinusidale e il metodo delgeneratore di noise.Col metodo dell’onda sinusoidale si misura il noise rms all’output dell’amplificatore, simisura il guadagno di tensione con un segnale di onda sinusoidale e in fine divide il noise dioutput per il guadagno per ottenere il noise equivalente di input. In questo modo sia ilnoise che il guadagno possono essere misurate con un alto grado.Col metodo del generatore di noise si usa un generatore calibrato di noise a banda largapiazzato all’input dell’amplificatore. Col generatore di noise messo a zero noise, si misurala potenza di noise totale all’output dell’amplificatore; poi la tensione calibrata di noise e’aumentata fino a che la potenza di noise e’ doppia di quella misurata. La tensione di noisedel generatore, a questo punto, e’ uguale al noise equivalente di input dell’amplificatore.I due metodi hanno aree di impiego ben precise come specifiche limitazioni. La scelta tra idue metodi dipende dal range di frequenze e dalla strumentazione disponibile. Il metododell’onda sinusoidale usa normale strumentazione di laboratorio ma richiede piu’ misure ede’ applicabile a basse frequenze, invece il metodo del generatore calibrato e’ piu’ semplice esi applica a misure ad alta frequenza.

11.2 Metodo dell’onda sinusoidale

Usando la tecnica di analisi in cui si definiva il noise equivalente di input con Thevenin, ilgeneratore di noise equivalente di input Eni e’ posizionato in serie con la impedenza delsensore ed uguale alla somma del noise del sensore e dell’amplificatore.

Questo modo di fare l’analisi del noise fa si’ che sia il noise dell’amplificatore che quello diinput sia in serie col segnale. Poiche’ sia il segnale che il generatore di noise sonoposizionali allo stesso punto e si applica quindi la stessa funzione di trasferimento, il noiseequivalente di input e’ inversamente proporzionale al rapporto S/N

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La misura del noise equivalente di input e’ fondamentale per la determinazione del NF eper la caratterizzazione dei parametri della tensione e corrente di noise dell’amplificatore.Entrambi i metodi, onda sinusoidale e generatore di noise, possono essere usati per lamisura di Eni.

Il metodo dell’onda sinusoidale richiede che vengano fatte misure sia del noise di outputEno che della guadagno di tensione o guadagno di sistema Kt. La procedura per misurarequindi il noise equivalente di input per un amplificatore di tensione e’:

1. Misura del guadagno di tensione trasferita Kt = Vso

Vs.

2. Misura del noise totale di output Eno.

3. Calcolo di Eni = Eno

Kt.

Il primo passo e’ la misura di Kt. La misura di Kt si fa inserendo un generatore di tensioneVs in serie con la impedenza di sorgente Zs e misurando il segnale Vo. Il guadagno ditrasferimento di tensione Kt e’ dato dal rapporto tra Vso e Vs, Kt = Vso/Vs. Poiche’ questoguadagno deve essere misurato ad un livello del segnale piu’ alto del livello di noise bisognaassicurarsi che l’amplificatore non sia in saturazione, prima raddoppiando e poidimezzando il segnale di input il segnale di output dovrebbe prima raddoppiare e poidimezzarsi seguendo fedelmente l’input.. E’ importante notare che questo guadagno disitema Kt dipende dalla impedenza della sorgente e dalla impedenza di input dell’Ampmentre non lo e’ il tipico guadagno in tensione Av. Usando il guadagno di sistema Kt ilnoise di input e’ indipendente dalla impedenza di input.Il guadagno di sistema, o guadagno di tensione di trasferimento, deve essere misuratousando un generatore che abbia una impedenza uguale all’impedenza della sorgente disegnale, non si deve usare il guadagno in tensione. Se si deve misurare il noise eqivalente diinput a varie frequenze o impedenze di sorgente sia la Kt che la Eno debbono essererimisurate ogni volta con ciascuna impedenza di sorgente per ogni frequenza.

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Successivamente si passa a Eni. Per calcolare la Eni bisogna misurare la Eno. Si toglie ilgeneratore di segnale e si rimpiazza con un elemento cortocircuitante. La impedenza disorgente non va rimossa. Il noise di output Eno si misura ora con un voltmetro che mifornisce il valore rms. A questo punto dividendo Eno con Kt si ricava la Eni.Il generatore di segnale deve essere tolto dal circuito di test del noise prima di misurare ilnoise. Questo e’ necessario sia che il generatore di segnale sia di tipo ac che di tipo dc, conbatteria. In entrambi i casi la sua capacitanza verso terra puo’ risultare in un noise diaggancio, inoltre si puo’ formare un loop di corrente se e’ messo a terra.Se il noise di output e’ misurato come media piuttosto che come rms bisogna moltiplicarequesto valore per 1.13 per ottenere l’rms. Per ottenere la densita’ spettrale si divide il noisequadratico medio di input per la bandwitdh ,∆f .

11.3 Misure di En e In

I parametri della tensione e cortrente di noise En e In sono calcolati dal noise equivalentedi input per due valori di resistenza sorgente. Come si e’ definito precedentemente il noiseequivalente di input vale

E2ni = E2

t + E2n + I2

nR2s + 2CEnInRs (112)

Le misure forniscono il valore del noise equivalente di input totale Eni. Per determinareciascuna delle tre quantita’ , En, In, Rs, si rende di volta in volta ciascuna delle trequantita’ dominante oppure si sottrae l’effetto di due quantita’ e si ottiene il parametrodella terza. In generale il coefficiente di correlazione C e’ zero e puo’ essere trascurato. Ladiscussione di come si misura C segue piu’ avanti.Per misurare la tensione di noise En si misura il noise equivalente di input con una piccolaresistenza di input. Quando la resistenza di sorgente e’ zero il noise termico della sorgenteEt e’ zero ed il termine InRs e’ anche zero, per cui il noise totale equivalente di input e’ latensione di noise En . Quanto piccola deve essere la resistenza? Il noise termico Et di Rs

deve essere molto minore di En, quindi una resitenza di 5Ω e’ adeguata, di piu’ si avrebbegia’ un contributo di noise non trascurabile.Per misurare la corrente di noise In si rimisura En con una resistenza molto grande. Simisura il noise di output ed di nuovo il guadagno del sistema per calcolare il noiseeqivalente di input Eni. Assumendo che il termine InRs sia dominante, In e’ semplicementeil noise equivalente di input Eni diviso per la resistenza di sorgenteRs. Se Rs e’ abbastanzagrande, il termine InRs domina sul termine En, e cosi’ pure domina il noise termico poiche’la tensione di noise termica Et aumenta come la radice quadrata della resistenza, menttre iltermine InRs cresce linearmente con la resistenza. Quando il termine InRs non puo’ esserereso dominante, si puo’ sottrarre il termine del noise termico Et = (4kTR∆f)1/2 dal noiseequivalente di input. Poiche’ questa e’ una sottrazione di termini quadratici e poiche’ ilnoise termico generalmente e’ parecchio minore del noise di corrente il termine aggiungepoco al noise equivalente di input.Il resistore di sorgente per misurare In puo’ essere calcolato in un modo generale per ogniamplificatore poiche’ la sorgente di noise della corrente e’ fisicamente localizzato all’inputdell’amplificatore. La corrente di noise di input In e’ causata dal noise shot della corrente

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dc IB del gate o dalla corrente di bias della base.

In =√

(2qIB∆f) (113)

Al fine di rendere il termine di noise di corrente dominante sul termine di noise termico delresistore in misura, si deve avere:

InRs = Rs

√2qIB∆f ≥ 3

√4kTRs∆f (114)

che risolvendo per la resistenza di sorgente Rs si ha:

Rs ≥18kT

qIB

=0.45

IB

(115)

Questo definisce il minimo valore per una resistenza di sorgente in serie per misure di In.Esempio, Quali sono i valori minimi delle resistenze di sorgente per misure diIn per un Amp. BJT con 1µA di bias di corrente ? e quale per un Amp JFETche ha 0.2nA di corrente di gate e un amplificatore MOSFET che ha unacorrente di gate di 1pA ? Soluzione: Per l’Amp BJT Rs = 450kΩ ; per il JFETRs = 2.25GΩ mentre per il MOSFET la minima resistenza deve essere di 4.51011Ω.Mettere d’accordo guadagno dell’amplificatore e bias a volte puo’ essere difficoltoso oimpossibile. Ad esempio i tre amplificatori dell’esempio precedente hanno un offest di inputdi 0.45 V con input non bilanciato. Ora dalle eq. precedenti si ricava che IBRs = 0.45V . Sipo’ ridurre l’offest ,bilanciando gli input, ad un 10% del suo valore e a volte e’ necessarioridurre il guadagno dell’amp. per limitare un eccessivo offset all’output. Con un Amp. coninput non bilanciati e’ usualmente necessario usare un guadagno di meno di 10x perlavorare in zona lineare.Quindi per una misura accurata di In i resistori di bias di input dell’amplificatore debbonoessere molto piu’ grandi della resistenza di sorgente Rs altriment si misura soltanto lacorrente di noise dei resistori shunting di bias. E’ meglio usare il resistore di sorgente che simisura come elemento conduttore della corrente di bias.Il resistore di sorgente deve essere schermato per prevenire che segnali spuri siano captati.Il resistore usato Rs non deve essere necessariamente a basso rumore finche’ non c’e’ cadutadi tensione ai suoi capi, se invece il resistore e’ anche usato per il bias conviene usare unresistore a basso rumore.Un altro metodo per ottenere una alta impedenza di sorgente per misure di In e’ quello diusare come sorgente un elemento reattivo. Una capacita’ di mica di 47 pF puo’ essere usataper Rs. Ora il termine InXs e’ grande e poiche’ l’impedenza reattiva non ha noisethermico il noise equivalente di input vale:

E2ni = I2

nX2c + E2

n (116)

dove Xc e’ la reattanza dell’impedenza di sorgente alla frequenza con cui si effettuano lemisure. Dall’equazione si ricava In che e’ l’unica incognita. Questo metodo e’ assai utile perfrequenze al di sotto dei 100Hz. Una difficolta’ con una sorgente capacitiva e’ il biasing,Per fornire una via per la corrente di bias di input o per la corrente di offset e’ necessarioprovvedere una grande resistenza in parallelo sui terminali di input dell’amp. Ma questaresistenza di bias RB e’ fonte a sua volta di corrente di noise termico It = (4kT∆f/RB)1/2

che puo’ facilmente dominare la corrente di noise di shot di input dell’amp. Ad esempio un

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amp di input di tipo FET ha una corrente di di noise di meno di 10fA/Hz1/2, che e’equivalente al noise termico di un resistore di 160MΩ. Cosi’ la resistenza di bias pertutte le misure di corrente In dei i FET deve essere dell’ordine dei GΩ.Il coefficente C puo’ essere misurato dopo che tutte le altre tre quantita’, En, IneEt sonostate determinate. Selezionare la resistenza ottimale di sorgente Rs = Ro tale cheInRo = En. Per questa resistenza il termine di correlazione 2CEnInRo ha il massimoeffetto. Per determinare C si misura una terza volta il noise equivalente di input con laresistenza ottimale di input Ro e si determina il coefficente di correlazione C sottraendo ilcontributo di En,In e Et. Non e’ una misura facile di Eni poiche’ il termine di correlazionepuo’ aumentare per un40% il valore di Eni quando Rs = RoeC = 1.

11.4 Misura della figura di noise

Una figura di noise (NF) di un amp. deve essere eseguita con una specifica resistenza disorgente. Il NF puo’ essere determinato direttamente appena si ha una misura di Eni perquel valore di resistenza di sorgente, infatti il NF e’ nient’altro che il rapporto del noisetotale di input, Amp piu’ sensore, al noise del sensore da solo.

NF = 10logE2

ni

E2t

(117)

Un’altra definizione di NF e’ la degradazione nel rapporto di potenza signal-to-noisequando il segnale passa attraverso una rete. In forma di equazione si definise cosi’

NF = 10logSi/Ni

So/No

= 10logSi

Ni

− 10logSo

Ni

(118)

con Si e Ni si indica la potenza del segnale e del noise all’input e con So e No quelle dioutput. In termini di tensioni si riduce a

NF = 20logVs

Et− 20log

Vso

Eno(119)

Questa definizione puo’ essere usata per misurare il NF di un transistor. Si deve rendere illivello del segnale di input 100 volte il noise termico. Allora dalla ultima relazione si ha

NF = 40dB − 20logVso + 20logEno (120)

Usando un voltmetro em calibrato in decibel si aggiusta il guadagno dell’amp con unattenuatore affinche’ il voltmetro in output legge 0dB su un range conveniente, mentre siha in input un segnale 100x. Poi si toglie il segnale di input e si aumenta la sensibilta’ delvoltmetro di 40 dB, questo significa ridurre il range del voltmetro di 100x. In questo modosi ha una misura di Vso pari a 100, che significa 20logVso = 40dB che inseriti nell’ultimaespressione mi porta alla relazione

NF = 20logEno (121)

La lettura del voltmetro, in dB, dopo che si e’ rimosso il generatore di segnale e’ uguale adNF in decibel.

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Se l’Amp considerato e’ di quelli a basso rumore allora il rapporto signal-to-noise di input eoutput vale 40 dB. Rimuovendo il segnale in input l’output sul voltmetro decresce di 40dBfino a 0dB nella nuova scala. Nei casi pratici l’amp. non e’ noiseless e l’output non decrescedi 40 dB ma meno, circa 35 dB. Cosi’ il NF e’ 40 -35 dB = 5 dB; la lettura del voltmetro (con scala in decibel) permette di ricavare il NF per la spcifica resistenza di sorgente e noisebandwidth del sistema sotto test.

11.4.1 Strumentazione per misure di noise

Il metodo del generatore con onda sinusoidale per la misura di noise richiede di misurare ilnoise totale e il guadagno di tensione di trasferimento o guadagno di sistema. Lastrumentazione richiesta, come si vede nello schema mostrato nella figura seguente , non e’particolarmente sofisticata a parte l’analizzatore di spettro. Si rimanda al testo ladescrizione dettagliata delle procedure.

11.5 Metodo del generatore di noise

Il noise dell’amplificatore puo’ essere misurato per confronto con una sorgente calibrata dinoise Ens ed un voltmetro rms all’uscita come mostrato in figura.

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Il livello di noise incognito dell’amplificatore e’ confrontato con l’ampiezza nota delgeneratore di noise. L’accuratezza dipende principalmente dalla calibrazione del generatoredi noise. Esso deve avere una densita’ spettrale di noise uniforme su tutto il range difrequenze di interesse, white noise. Ci possono essere difficolta’ a basse frequenze dovedomina il noise 1/f , mentre ad alte frequenze questo metodo e’ il piu’ adatto perche’ anchee’ il piu’ facile. La sorgente calibrata di noise e’ in serie con la resistenza del sensore Rs, ilnoise equivalente di input e’ sommato a Eni; il noise dell’amplificatore e del generatore sonomisurati come Eno.Lo scopo di misurare il noise e’ di determinare la Eni o Ini. La procedura prevede dimisurareEno due volte, come Eno1 quando il generatore di noise Eng e’ connesso e comeEno2 quando Eng e’ disconnesso. Si ha cosi’ le seguenti equazioni

E2no1 = K2

t (E2ng − E2

ni) e E2no2 = K2

t E2ni

dove la Kt e’ il guadagno di tensione di trasferimento. Per una buona accuratezza e’necessario che Eno1 sia molto piu’ grande di Eno2. Tenuto comnto che Eng si conosce bene,

si calcola la Kt =(E2

no1+E2

no2

)E2

ng. Il valore di Eni si ricava quindi come

E2ni = E2

no2/K2t =

E2

no2E2

ng

E2

no1−E2no2

che vale per ogni generatore di noise conosciuto.La tecnica piu’ adottata e’ quella di aumentare Eng fino a raddoppiare la potenza di noisedii output, cioe’ fino a che il noise di output non sia doppio di quello senza generatore dinoise, cosi’ si ha

E2no1 = E2

no2 (122)

Sostituendo nella relazione generale precedente si trova

E2ni =

E2no2E

2ng

2E2no2 − E2

no2

= E2ng (123)

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Quindi la tensione di noise del generatore di noise necessaria a raddoppiare la potenza dinoise di output e’ uguale al noise equivalente di input dell’amplificatore.In sostanza il modo di procedere sara’:

1. Misurare il noise totale di output.

2. Inserire un segnale di noise calibrato all’input per aumenter il noise di output di 3 dB.

3. Il segnale di noise calibrato e’ ora uguale al noise equivalente di inputdell’amplificatore.

Un voltmetro dB non calibrato puo’ anche essere usato per queste misure. Si misura ilnoise dell’amplificatore, poi si attenua il guadagno dell’amplificatore di un fattore 3dB efinalmente si inserisce il generatore di noise e lo si aumenta finche’ la potenza di noise dioutput segnata dal voltmetro non ritorna al suo valore originale, Il noise aggiunto in questafase e’ uguale all’amplificatore di noise equivalente di input.

11.5.1 Strumentazione per misura di noise

Ci sono diversi tipi di generatori di segnale dispersivo, sebbene la maggior parte sianogeneratori di noise alcuni producono un’onda sinusoidale a frequenza non casuale.Entrambi i tipi possono servire come generatori di noise a larga banda. Il punto importantee’ che per misure di noise il generatore deve avere una densita’ spettrale di noise piatta.Segnali casuali di noise sono prodotti da diodi a vuoto con limite i temperatura, diodiZener e amplificatori. Per approfondire le caratteristiche di questi generatori vedere il testodi riferimento.

11.6 Confronto tra i metodi

Confrontando i due metodi: generatore di onda sinusoidale e generatore di noise, ilvantaggio principale del metodo generatore di noise e’ la facilita’ della misura. Il vantaggioprincipale del metodo dell’onda sinusoidale e’ la sua applicabilita’ alle basse frequenze e ladisponibilita’ dell’attrezzatura.Il metodo del generatore di noise e’ diretto, basta connetter il generatore all’inputdell’amplificatore ed aggiustare il generatore fino a raddoppiare la potenza di noise dioutput dell’amplificatore. In un sistema a larga banda questo e’ fatto facilmente. Un altrovantaggio e’ la disponibilita’ di diodi calibrati per noise a basso costo. Tuttavia questidiodi per noise mostrano un noise 1/f sotto alcune centinaia di Hz. Poiche’ il generatore dinoise e’ una sorgente a grande banda non si richiede un sistema con una larghezza di banda∆f , per cui puo’ essere necessario una qualche limitazione sulla larghezza di banda permisurare lo spot noise, limitazione che si puo’ ottenere con un filtro a banda stretta o unanalizzatore di spettro o filtro a un terzo di ottava.

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Nella misura col metodo del generatore di noise bisogna schermare il generatore altrimentisi ha del noise agganciato da sorgenti esterne, cosa che invece e’ meno necessaria nel casodella onda sinusoidale perche’ basta schermare la resistenza agganciata al terminale diinput. Un altro svantaggio del metodo del generatore di noise e’ il tempo molto lungo dimisura per basse frequenze. Le misure, per strumentazione o ispositivi di controllo lamisura di noise si estende fino a pochi hertz o meno. Misure di spot noise richiedono unabandwidth di meno di 1 ottava, una bandwidth di noise di 5 Hz richiede un tempo mediocostante di 10 secondi per una accuratezza al 10%. In piu’ il metodo del generatore di noiserichiede due o piu’ misure di noise di output, l’Amp da solo e Amp con generatore.REGOLA GENERALE: Usare il metodo dell’onda sinusoidale per frequenze basse emedie e il metodo del generatore di noise per frequenze alte e RF.

11.7 Effetto del tempo di misura sull’accuratezza

Sebbene e’ impossibile determinare il valore di noise istantaneo e possibile determinarestatisticamente la media a lungo periodo del noise rettificato con una certa accuratezza.Se il voltmetro ac ha una costante di tempo di risposta breve la sua lancetta tendera’ aseguire le variazioni istantanee del noise invece che il valor medio.Una relazione tra la noise bandwidth, la costante di tempo del voltmetro τ e l’errorerelativo del voltmetro ǫ e’

ǫ =1√

2τ∆f(124)

dove ǫ e’ il rapporto del valore rms delle fluttuazioni del voltmetro col valore medio lettodal voltmetro. Per avere una misura con lo stesso grado di accuratezza una misura dinarrowband richiede un tempo medio piu’ lungo che per quella wideband. Per unabandwidth di 1000 Hz o piu’ la costante di tempo del voltmetro e’ adeguatoa, d’altra parteper una misura di una bandwidth di 5 Hz si richiede una costante di tempo di 40 sec. peruna accuratezza del 5% che si allunga a una costante di tempo di 1000 sec. per unaaccuratezza del 1%.Come regola generale conviene usare la piu’ grande larghezza di banda possibile per il piu’breve tempo di lettura e maggiore accuratezza.

12 REFERENZE

Questi appunti sono tratti per la maggior parte dal seguente testo che costitusce il testo diriferimento per il corso e dove si trova la completa bibliografia sull’argomento.- Low-noise Electronic System Design, C.D. Motchenbacher,J.A.Connelly, 1993 WileyInterscience

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