Il problema geometrico e la Geometria Analitica Dispense ad uso degli studenti dell ISU Istituti...

Il problema geometrico e la Geometria Analitica

Dispense ad uso degli studenti dell’ ISU Istituti Superiori Universitari

Corso di Matematica A.A.2008/2009

Docente Ing. Romina Martis

Indice1. Il piano cartesiano (concetti generali) Assi cartesiani ortogonali

Il piano cartesiano

Coordinate cartesiane di un punto

Condizioni di appartenenza di un punto

Distanza tra due punti

Punto medio

Osservazioni

1Corso di Matematica 11

Il piano cartesiano

Corso di Matematica 2

I luoghi geometrici nel piano cartesiano

Un luogo geometrico è una linea del

piano i cui punti godono di una

particolare proprietà e tale che tutti i

punti del piano che godono di quella

proprietà giacciono sulla suddetta linea.


Il piano cartesiano

• In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo con x e y, orientate nel senso che stabiliamo un verso di percorrenza.

• Solitamente, disegniamo la retta x orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta y verticalmente e orientata dal basso verso l'alto.


Assi cartesiani ortogonali

• Le due rette si chiamano assi coordinati e il loro punto d'intersezione O origine.

• Stabiliamo, infine, una unità di misura, u che ci consente di misurare le lunghezze sui due assi.

• In matematica, si prende la stessa unità di misura per l'asse x e per l'asse y.



• asse delle ascisse (o asse delle x)

• asse delle ordinate (o asse delle y)

Tali assi, inoltre, determinano quattro angoli retti(angoli di 90° gradi) detti quadranti.



• Per convenzione, diremo I Quadrante quello formato dai due semiassi positivi(-;0)(0;+).

• Il II, III e IV Quadrante seguiranno il primo in senso antiorario (cioè contrario a quello delle lancette dell’orologio).


Il piano cartesiano

• Nelle applicazioni fisiche, chimiche, economiche, non sempre si segue questa convenzione.

• Si dice che nel piano è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano, o che il piano è riferito a un sistema di assi cartesiani xOy, o che si è fissato un piano cartesiano.


Il piano cartesiano

Asse y o delle ordinate

u

II quadrante I quagrante

Asse x o delle ascisse

O=origine

III quadrante IV quadrante


Il piano cartesiano, segni

Asse y o delle ordinate

u

II quadrante -,+ I quagrante +,+

O=origine Asse x o delle ascisse

III quadrante -,- IV quadrante +,-


Punti nel piano cartesiano

•L'origine O, punto di intersezione degli assi, ha coordinate (0,0).

•I punti dell'asse x, come H, hanno ordinata nulla, quindi H(x,0).

•I punti dell'asse y, come K, hanno ascissa nulla, quindi K(0.y).


y(ordinate)

x(ascisse)

K

H

P(x,y)

O+1 +2-1-2

+1

-1

+2

-2

Punti nel piano cartesiano

• A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y).

• Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata.



Per convenzione diremo che: l’ascissa di un punto nel piano cartesiano è quella del punto in

cui l’asse delle ascisse è intersecato dalla retta passante per il punto dato e parallela all’asse delle ordinate.

y

x



Per convenzione diremo che: l’ordinata di un punto nel piano cartesiano è quella del punto in

cui l’asse delle ordinate è intersecato dalla retta passante per il punto dato e parallela all’asse delle ascisse.

y

x



• La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P.

• Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.


Condizione di appartenenza di un punto ad una curva

• Ricordando la definizione di luogo geometrico, risulta evidente che:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè un punto di coordinate date appartenga ad una curva è che le sue coordinate verifichino l’equazione della funzione di cui la curva è il diagramma, cioè, sostituendo alla x l’ascissa e alla y l’ordinata del punto, sia verificata l’equazione della funzione.


Condizione di appartenenza di un punto ad una curva

La suddetta condizione è

• sufficiente in quanto, se le coordinate del punto verificano l’equazione della funzione, il punto appartiene alla curva;

• necessaria in quanto tutti i punti della curva verificano, mediante le loro coordinate, l’equazione della funzione.


Distanza tra due punti

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo PHQ, rettangolo in H si ottiene che:

d(P,Q)=(x2-x1)2+(y2-y1)2


y(ordinate)

x(ascisse)o

y2

y1

x2x1

y2 -

y 1

x2 - x1

Q

P H

Distanza tra due punti: casi particolari

1. I due punti individuano un segmento parallelo all'asse x, come PH. La distanza si calcola più rapidamente con la formula |x2-x1|.

2. I due punti individuano un segmento parallelo all'asse y, come QH. La distanza si calcola più rapidamente con la formula |y2-y1|.


y(ordinate)

x(ascisse)o

y2

y1

x2x1

y2 -

y 1

x2 - x1

Q

P H

Coordinate del punto medio di un segmento


y(ordinate)

x(ascisse)o

y2

y1

x2x1

y2 - y1

x2 - x1

Q

P H

2

2M

M = ( XM ; YM )

Coordinate del punto medio di un segmento

• l’ascissa del punto medio di un segmento è uguale alla semisomma delle ascisse dei suoi estremi

XM=(x1+x2)/2

• l’ordinata del punto medio di un segmento è uguale alla semisomma delle ordinate dei suoi estremi

YM = (y1+y2)/2

M =[(x1+x2)/2 ; (y1+y2)/2]


OSSERVAZIONI

In questa prima lezione della Geometria Analitica, ho ritenuto di dover trattare, sin dalla prima slide, il concetto di funzione e i luoghi geometrici partendo, naturalmente, dalla retta.

Lo scopo della geometria analitica getta, se si può dire, un ponte tra l’algebra e la geometria piana facendo corrispondere all’ente algebrico l’ente geometrico e viceversa.


Il problema geometrico e la Geometria Analitica Dispense ad uso degli studenti dell ISU Istituti...

Documents

Transcript of Il problema geometrico e la Geometria Analitica Dispense ad uso degli studenti dell ISU Istituti...