Il problema della divisione della posta

Capitolo 2

Il problema della divisione

della posta

2.1 Le origini del problema della divisione della

posta. I. Testi manoscritti.

Il problema della divisione della posta, o problema dei punti, e tradizionalmenteassociato alla nascita del calcolo delle probabilita. Nel caso in cui siano coinvoltidue giocatori, esso puo essere formulato in questi termini:

Due giocatori A e B si accordano nel mettere in palio una certa posta da destinare a

chi per primo raggiunga N punti in un gioco. Il gioco viene pero interrotto quando A

ha ottenuto n punti e B m punti, con n ed m entrambi inferiori ad N . Si domanda

come occorra ripartire la posta in questo caso.

Per molto tempo si e ritenuto che la prima formulazione del problema fos-se quella proposta da Luca Pacioli (1447-1517) nella Summa de Arithmetica,

proportioni et proportionalita pubblicata nel 1494. In realta, il ritrovamento dialcuni manoscritti nel 1985 ha costretto a predatare l’origine di questo problema.

Nel primo manoscritto anonimo, dal titolo Regole del’Alzibra, risalente allafine del XIV secolo, l’autore tratta due problemi basati sul gioco degli scac-chi. Nel primo problema, si gioca al meglio delle tre vittorie e la partita vienesospesa sul 2 a 0 per un giocatore, che diremo A, sull’altro giocatore, B. Loschema di soluzione e molto articolato e parte dal presupposto che, quando ungiocatore vince una partita, egli conquisti parte del denaro dell’avversario. CosıA guadagna c ducati a B vincendo la prima partita per cui, al termine di questaegli possiedera 1 + c ducati, mentre B ne possiedera solo 1 − c. L’incognita c

rappresenta il valore della prima partita. Sul punteggio di 1 a 0 per A, l’autoredel manoscritto afferma che, per ragione, anche la seconda partita avra valorec′ = c. Il ragionamento, ricostruito in [13], sembra basarsi su due considerazionidi simmetria. La prima, ovvia, e che il guadagno di un giocatore coincide conquanto l’altro perde. L’altra e che il guadagno di A deve essere lo stesso del

31

32 CAPITOLO 2. IL PROBLEMA DELLA DIVISIONE DELLA POSTA

guadagno che otterrebbe B, vincendo. Ora, se A vincesse la seconda partita,il suo guadagno arriverebbe a c + c′ portandosi sul 2 a 0. Se B vincesse, ilpunteggio sarebbe di 1 a 1 ed il guadagno complessivo di B sarebbe c′− c, vistoche ha perduto la prima partita.1 Tuttavia, sul punteggio di 1 a 1 il guadagnodi B deve essere nullo e quindi c′ = c. Detto questo, dopo che A ha vinto laseconda partita e si e portato sul punteggio di 2 a 0, il suo capitale totale e1 + 2c, mentre quello di B e 1 − 2c. Per procedere, l’autore osserva che, se A

vincesse ancora, B perderebbe l’intera somma residua 1− 2c che rappresenta ilvalore di questo gioco. Se invece B vincesse, portando il punteggio sul 2 a 1 perA, quest’ultimo possiederebbe 4c, mentre B si troverebbe con 2−4c ducati che eanche il valore della partita successiva, in quanto, se B la perdesse, perderebbetutto. Vincendo B, A avrebbe 8c− 2 ducati, mentre B avrebbe 4− 8c ducati ele due cifre debbono essere uguali perche il punteggio e di 2 a 2. Pertanto

4− 8c = 8c− 2

da cui si ottiene c = 3

8. Tornando al punteggio al quale si e effettivamente

interrotta la partita, ad A spettano 1 + 2c = 7

4= 1 ducato e 3

4, mentre a B

spetta il restante quarto di ducato. L’anonimo autore di questo manoscritto haavuto il merito di determinare la suddivisione della posta con un metodo cheprocede “in avanti”, partendo cioe dal punteggio iniziale di 0-0. All’anonimoautore manco pero la capacita di generalizzare il procedimento al caso di altripunteggi o al caso di piu di due giocatori.

Ancor piu interessante e l’altro manoscritto, datato all’inizio del XV secolo,soprattutto perche l’autore mostra di essere in possesso di un metodo generale

che viene applicato al caso difficile in cui vi siano tre giocatori che si sfidanoal meglio di tre punti di un gioco non specificato che viene sospeso quandoil punteggio e di 2-1-0. Come fara Pascal, l’autore considera una soluzione“all’indietro”, partendo cioe dal punteggio punteggio piu semplice di 2-2-1 perdiscendere per gradi alla soluzione relativa al punteggio proposto. Se A e B

hanno 2 punti mentre il giocatore C ne ha solo 1, i punteggi possibili dopo unanuova partita sono 3-2-1, 2-3-1 e 2-2-2. Ora, il giocatore C non vincerebbe nullanei primi due casi mentre nell’ultimo caso gli spetterebbe 1

3della posta, visto che

tutti i giocatori sono allo stesso livello. In definitiva, pesando ugualmente i trescenari, bisogna attribuire a C 1

9della posta. Ad A e B, che sono in condizioni

simmetriche, spettano i 4

9della posta ciascuno. L’autore passa a considerare il

caso del punteggio 2-1-1. Se A vincesse, egli otterrebbe l’intera posta mentrenei due casi restanti, che porterebbero ad uno dei punteggi 2-2-1 o 2-1-2, A sitroverebbe nelle condizioni del caso precedente e dunque gli spetterebbero i 4

9

della posta. L’autore non trae le conclusioni ma esamina la situazione di B e C

che non otterrebbero nulla nel primo scenario, 4

9o 1

9della posta negli altri due

scenari, a seconda che abbiano vinto o meno la partita in oggetto. Facendo lamedia delle tre frazioni egli ottiene che a B o C spettano i 5

27della posta e, per

differenza, ad A ne spettano i 17

27.

1L’autore ha commesso un errore di algebra elementare per cui il risultato finale non ecorretto. La procedura e pero coerente.

2.1. LE ORIGINI: MANOSCRITTI 33

Se invece si partisse dal punteggio di 2-2-0, un’ulteriore partita porterebbead uno dei risultati: 3-2-0, 2-3-0, 2-2-1: ragionando come prima, ad A e B

spetterebbe la frazione 1

3

(

1 + 0 + 4

9

)

= 13

27della posta, mentre a C spetterebbe

il restante 1

27. Infine, nel caso proposto all’inizio di un punteggio di 2-1-0, gli

scenari possibili sono: 3-1-0, 2-2-0 e 2-1-1: ad A spetta allora la frazione

1

3

(

1 +13

27+

17

27

)

=19

27della posta,

a B la frazione1

3

(

0 +13

27+

5

27

)

=2

9della posta,

e a C la frazione

1

3

(

0 +1

27+

5

27

)

=2

27della posta.

L’autore procede con l’esame di altri casi particolari che mostrano come eglifosse in possesso di un metodo generale di soluzione. Per formalizzare megliola soluzione, indichiamo con e(a, b, c) la frazione di posta attesa da uno dei tregiocatori quando mancano ai giocatori A, B, C, rispettivamente, a, b, c puntiper vincere la partita, lo schema esaminato equivale a risolvere l’equazione

e(a, b, c) =1

3[e(a− 1, b, c) + e(a, b− 1, c) + e(a, b, c− 1)]

Sostanzialmente, il metodo coincide con quello di Pascal ed Huygens ma, inmatematica come nella scienza in generale, non sempre il progresso evolve inmodo uniforme nel tempo.

Ad esempio Filippo Calandri, un mestro d’abaco senese nato verso il 1467, fuautore di un trattato di Aritmetica, pubblicato nel 1491 e dedicato a Giulianode’ Medici, figlio di Lorenzo il Magnifico [13]. In un manoscritto, Calandripropose un problema in cui due giocatori si affrontano ad un gioco della palla

grossa, un progenitore del tennis, al meglio delle sei partite. Sul punteggio di4 a 3 per un giocatore, che diremo A, sull’avversario B, la palla per caso sibuca e rende impossibile continuare il gioco. Ogni giocatore aveva scommesso3 lire e si domanda come occorre suddividere il montepremi. Calandri esponedue possibili tracce di soluzione. La prima consiste nel considerare il punteggioal quale si e arrestato il gioco e di ripartire la posta sulla base del punteggioottenuto. La seconda soluzione, di cui Calandri fornisce i dettagli, e basata suquanto manca ai due giocatori per raggiungere l’obiettivo prefissato dei 6 punti:poiche ad A mancano due punti e a B tre, occorre che il rapporto delle sommeda riscuotere sia 3

2per cui, dal momento che una lira e formata da 20 soldi, ad A

spetteranno2 120× 3

5= 72 soldi mentre i restanti 48 spettano a B. Il commento

alla soluzione tradisce pero un certo disagio nel ritenerla assolutamente valida,segno delle difficolta percepite nel fornire risposte univoche a problemi che, perloro natura, trattano di eventi aleatori:

2Se ciascun giocatore scommette 3 lire, i soldi sono 20× 3× 2.


ma perche e gl’e giuoco di fortuna non si risponde assolutamente che

questo sia la verita apunto. ([2], p. 349)

In un successivo problema, Calandri considero tre persone, che chiameremoA, B e C, che si sfidano con la balestra per aggiudicarsi 3 denari che sarannoattribuiti a chi realizzera per primo tre centri. Quando A ha fatto due centri,B uno e C nessuno, la balestra si rompe ed e impossibile continuare il gioco.Come occorre ripartire il montepremi tra i giocatori? La soluzione di Calandrie in effetti una terza soluzione, differente da quelle introdotte prima. Calandriosserva che A ha conseguito 2

7e B 1

7del gioco. Il numero 7 e il numero massimo

di partite che si possono giocare e corrisponde alla situazione in cui tutti e trei giocatori riescono ad ottenere due centri e si decide la vittoria al settimoturno di lanci. Osservato questo, la proposta di Calandri e di attribuire i 2

7del

montepremi ad A, 1

7a B, ripartendo tra loro che, soli, hanno conseguito dei

centri, la frazione di montepremi che si ritiene gia aggiudicata; i 4

7restanti del

montepremi vengono ripartiti ugualmente tra i tre giocatori. In definitiva, adA spetteranno 2

7× 3 + 1

3×

4

7× 3 = 10

7di ducati, ovvero un ducato e 3

7; a B

spetteranno 1

7× 3 + 1

3×

4

7× 3 = 1 ducato ed a C i 4

7di un ducato.

Come si vede, tra le soluzioni esatte di fine XIV e inizio XV secolo e quelle diCalandri vi e una certa involuzione, a testimonianza che, anche in matematica,se le idee non circolano sufficientemente ed ottengono un certo consenso, laricerca riparte sostanzialmente daccapo. Anche con l’introduzione della stampa,attorno al 1450, la situazione non miglioro subito.

2.2 Le origini del problema della divisione della

posta. II. Testi a stampa.

Nella Summa, Pacioli fu molto meno attento degli scrittori anonimi che avevanotrattato il problema un secolo prima e, a ben vedere, anche di Calandri. NellaDistinctio Nona, (X Trattato, De extraordinariis) Pacioli propose tre soluzionisimili tra loro e tutte scorrette, che verranno molto criticate sia da Tartagliache da Cardano. Il primo problema considerato riguardava due squadre che siaffrontano in un gioco con la palla che consta di piu prove: alla squadra vincitricedi una prova vengono assegnati 10 punti, nessuno alla perdente. La partitarichiederebbe il raggiungimento di 60 punti ma essa viene interrotta quandouna squadra—diciamola squadra A—ha raggiunto 50 punti mentre l’altra—diciamola B—ne ha soltanto 20. La posta in palio e di 10 ducati e Pacioliadotto questo procedimento per deciderne la ripartizione:

• Come Calandri, Pacioli considero il numero massimo di partite che lesquadre potrebbero effettuare per aggiudicarsi la posta: questo numero e pariad 11 e corrisponde alla vittoria per 60 a 50 di una squadra;

• La partita in esame e stata interrotta sul punteggio di 50 a 20, per cuisono stati giocati solo 7 del numero massimo di partite e la posta di 10 ducatideve corrispondere alla frazione 7

11di partite gia disputate. Le squadre A e

B hanno vinto, rispettivamente, un numero di partite pari ai 5

11ed ai 2

11del

2.2. ORIGINI: TESTI A STAMPA 35

numero massimo di partite disputabili. La parte xA della posta da assegnarealla squadra A risolve la proporzione

10 : xA =7

11:5

11(2.1)

cioe xA = 7 ducati ed 1

7, mentre alla squadra B spetta una parte xB della posta

tale che

10 : xB =7

11:2

11(2.2)

ed e dunque pari a xB = 2 ducati e 6

7. Il numero massimo di partite che A e B

possono giocare per aggiudicarsi l’intera posta e un dato importante nella solu-zione ma nella proposta di Pacioli, se guardiamo alle proporzioni (2.1) e (2.2),esso non svolge alcuna funzione, visto che si semplifica nel corso della soluzione.Pacioli fotografa il punteggio al momento dell’interruzione del gioco e non tie-ne conto nella distribuzione della posta di eventuali possibili capovolgimenti difronte che possano realizzarsi in seguito. Proprio questo aspetto fu duramentecriticato dai matematici che nel XVI secolo si occuparono del problema. Primapero di presentare queste critiche e le altre soluzioni proposte, consideriamo unaltro caso considerato da Pacioli, in cui tre giocatori, che diremo A, B e C, siaffrontano in un gara di tiro con la balestra. Chi ottiene il punteggio migliorein un turno, acquisisce un punto. La posta in gioco, 10 ducati, sara accordataa chi per primo otterra 6 punti. La competizione viene interrotta quando A ha4 punti, B ha 3 punti e C ne ha 2. Pacioli anche qui osserva che il numeromassimo di partite possibili e 16—corrispondente ad un risultato finale in cuiun giocatore ha 6 punti e gli altri 5 ciascuno—per cui occorre anzitutto ridi-stribuire 4

16= 1

4della posta ad A, 3

16a B e 2

16= 1

8a C. In questo modo si

assegnano 5 ducati e 5

8; i rimanenti 4 ducati e 3

8si distribuiscono secondo le

proporzioni 4

9, 3

9e 2

9, ovvero secondo le frazioni di successo riferite al numero di

giochi effettuati, pari a 9. Pertanto A si aggiudica anche i 4

9di 4 ducati e 3

8, cioe

1 ducato e 17

18; B si aggiudica la frazione 3

9= 1

3di 4 ducati e 3

8, cioe 1 ducato

ed 11

24; infine C si aggiudica i 2

9di 4 ducati e 3

8, ovvero 35

36di ducato. Pacioli

in questo caso nota esplicitamente come la regola seguita non sia altro che unaregola di compagnia, un modo cioe di ripartire la frazione di utili, o di perdite,di una attivita commerciale tra i soci che contribuirono alla sua costituzioneversando quote di capitale [4]:

Se deve dividere commo compagnia. ([22], a carte 197)

Vi erano in realta diversi tipi di regole di compagnia, a seconda che tutti isoci fossero entrati nella societa allo stesso momento oppure che qualcuno sifosse inserito in un momento successivo: nel primo caso si applicava la regoladi compagnia semplice, nel secondo la regola di compagnia con tempo. Infine,vi erano regole con patti che servivano a regolare altri fattori che potevanointervenire [20]. Nella regola semplice, ad esempio, dette qi le quote versateinizialmente dagli n soci (i = 1, . . . , n), la ripartizione del quadagno totale g,


seguiva la proporzione

g1

q1=

g2

q2= · · · =

gn

qn

n∑

i=1

gi = g.

L’applicazione di questa regola al contesto della ripartizione della posta richiedeun cambio di prospettiva perche le quote qi non corrispondono a quelle versateall’inizio del gioco ma ai punteggi raggiunti dai contendenti al momento dellasospensione del gioco.

Come detto in precedenza, la soluzione di Pacioli fu criticata da Tartagliache ne mostro l’inconsistenza nel General trattato. Egli osservo che, in base allaregola di Pacioli, se si fosse sospeso il gioco quando un giocatore avesse vintouna partita e l’altro nessuna, la posta sarebbe stata assegnata totalmente alprimo:

La qual regola a me non pare, ne bella, ne buona, perche se per sorte una

delle parti havesse 10 e l’altra havesse nulla, procedendo per tal sua regola

seguiria, che quella parte, che havesse il detto 10 doveria tirar il tutto, e

l’altra non doveria tirar cosa alcuna, che saria in tutto fuora di ragione,

che per aver 10 dovesse tirar il tutto. ([33], Libro XVI, Sez. 206)

Anche se Tartaglia era piuttosto scettico sul valore matematico del problema,la cui soluzione

e piu presto giudiciale, che per ragione, tal che in qual si voglia modo la

sara risolta vi si trovara da litigare ([33], Libro XVI, Sez. 206)

ne propose tuttavia una, illustrata ancora sul primo esempio numerico di Pacioli:

nondimeno il men litigioso, a me par che sia questo: prima si debba vedere,

che parte ha ciascuno di tutto il gioco, che se per sorte uno avesse 10, e

l’altro 0 adunque colui, che ha 10 haveria il sesto di tutto il giuoco, e per

tanto dico, che in questo caso, doveria haver la sesta parte delli denari, che

metteno per uno, cioe si mettono 22 ducati per parte, lui doveria haver la

sesta parte di detti ducati che faria ducati 3 e doi 3 che gionti co li suoi

ducati 22 fariano ducati 25 e doi 3 e l’altra parte doveva tirar il resto, il

qual resto faria 18 e un 3. Et se una parte havesse 50 e l’altra 30 cava 30

di 50 restara il venti il qual 20 vien a essere il terzo di tutto il gioco, e

pero doveva tirar, oltra li suoi, la terza parte delli danari dell’altra parte,

la qual terza parte faria ducati 7 e un 3 che coi suoi faria ducati 29 e un

3 e l’altra parte doveria tirar il resto, che faria ducati 14 e doi 3 e cosı

procedendo no si trovara seguir cosa non conveniente, come fece in quella

di fra Luca. ([33], Libro XVI, Sez. 206)

Tartaglia non concepisce la posta come un tutto indistinto ma come un fondoin cui restano ben visibili i contributi di ciascun giocatore. Come nelle Regole

del’Alzibra, chi e in vantaggio al momento della sospensione mantiene la propriaquota ed esercita il diritto di erodere una porzione della quota dell’altro gioca-tore. Il criterio di ripartizione e ancora basato sulla proporzionalita ma ora a

2.2. ORIGINI: TESTI A STAMPA 37

contare e la differenza tra i punteggi s1 ed s2 < s1 al momento in cui il giocoviene interrotto perche il vincitore ha diritto, per Tartaglia, alla frazione s1−s2

s

dei ducati di chi e in svantaggio, essendo s il punteggio richiesto per vincere,in assenza di interruzioni. Dunque anche la proposta di Tartaglia cristallizzail risultato al momento dell’interruzione, disinteressandosi completamente degliscenari che si sarebbero potuti verificare in seguito. In effetti, la divisione dellaposta, a parita del valore di s—per esempio s = 6 nell’esempio considerato—ela stessa sia che s1 = 3 ed s2 = 0, sia che s1 = 5 ed s2 = 2, che lascia ancorainsoddisfatti. L’importante tuttavia per Tartaglia e fornire una regola che siapiu equa di quella di Pacioli; per il resto egli non sembra essere molto preso dalproblema, tanto che non tratta altri esempi di Pacioli:

Due altre quasi simili conseguentemente mette il detto fra Luca, le quali

per esser materie di poco sugo, e di letigo assai, mi e parso di non parlarne,

abenche molti hanno da caro simili facezie per aver occasione di poter

contrastare.

Ribadiamo che il contesto dei problemi di Calandri, Pacioli e Tartaglia non equello del gioco d’azzardo: ne il gioco della palla, ne quello del tiro con la balestrasono etichettabili come tali ma rientrano nei giochi di agilita, per usare il terminedelDe Ludo Aleae. Il solo elemento aleatorio e l’evento accidentale che impediscedi portare a termine una partita. Una soluzione simile alla terza proposta daCalandri si trova nel quinto libro della Pratica d’arithmetica e geometria delpadre Lorenzo Forestani da Pescia (1585-1660?), pubblicata la prima volta nel1602, che ripropone il problema dandogli una colorita ambientazione bucolica([7], p. 364):

Un Gentilhuomo gia vecchio, ritrouandosi a vna sua Villa, e dilettandosi

grandemente del giuoco di palla, chiamo due giouani Contadini, e disse,

eccoui 4 ducati, giuocateli qui in mia presenza alla palla, e chi di voi prima

vince 8 giuochi, voglio, che habbia vinto li 4 ducati, e cosı cominciarono

a giocare e quando un di loro hebbe vinto 5 giuochi,3 e l’altro 3. si perse

la palla, e non poterono finire, e il Gentilhuomo disse, eccovi i denari,

divideteli tra voi, si domanda quanti ne toccara per uno.

Forestani osserva come vi fossero diverse opinioni sulla risoluzione corretta delproblema che egli ritiene essere la seguente: si parte ancora dal numero mas-simo, pari a 15, di partite necessarie perche uno dei contendenti raggiunga 8punti. Al momento dell’interruzione si puo dire che il primo giocatore abbiaconseguito 5

15= 1

3della posta mentre il secondo giocatore ne ha conseguito i

3

15= 1

5. Pertanto, quando il gioco viene sospeso, per Forestani e stata assegnata

la frazione 1

3+ 1

5= 8

15della posta. Per decidere come ripartire i 7

15ancora non

assegnati, Forestani adotta la proposta salomonica gia adoperata da Calandri:siccome questi

3Nell’originale i giochi vinti dal primo giocatore sono 6 ma deve trattarsi di un refusotipografico.


non sono affaticati, ne giuocati, ne vinti da nessuno di loro, (...) percio

bisogna dividerli per meta.

Al primo giocatore spettano

4×

(

1

3+

7

30

)

= 417

30= 2 +

4

15ducati

mentre all’altro spettano i restanti 13

30della posta, pari a 1 ducato e 11

15di

ducato. Come Pacioli, anche Forestani parla di divisione per modum societatis.Il secondo problema proposto riguarda un gioco con tre giocatori.

Tre soldati essendo dentro ad una Fortezza per la quale andando a spasso,

trovarono uno scudo, e ciascun di loro lo voleva, pur alla fine s’accordarono

che si dovesse giocare alle pallottole, con patto, che chi di loro vincera

prima 14 giochi habbia vinto lo scudo, cioe lire 7. Accadde che quando

il primo hebbe vinto 10 giuochi, il secondo 8 ed il terzo 5 gli conuenne

andare in guardia; si domanda in che modo sara dovere che dividino il

detto scudo, e che parte ne tocchera a ciascuno.

Lo schema di soluzione e lo stesso di prima: si calcola il massimo numero digiochi disputabili: 40 = 14 + 13 + 13 e si attribuiscono in prima istanza leporzioni 1

4, 1

5ed 1

8della posta ai tre giocatori, nell’ordine. Resta cosı assegnata

la frazione 23

40dell’intera posta e ancora una volta, visto che la sorte puo cambiare

in modo imprevedibile, i restanti 17

40sono divisi equamente fra i tre giocatori.

Criticate le soluzioni proposte da altri, Forestani conclude la sezione dedicataai giochi con un’osservazione che ricorda lo scetticismo di Calandri e Tartagliacirca la possibilita di ottenere una soluzione ragionevole del problema

Ma perche le solutioni di simil proposte consistono nell’opinioni, e l’o-pinioni, e i pareri essendo varj, pero lasciaremo tal giudicio a piu savj, eintendenti, percio che a noi basta haver detto il parer nostro, e dimostratoquesta sua contraditione. La ragione che alcuni adducono in contrario equesta, cioe, dicono, che chi ha piu giuochi, e piu vicino al poter finire, econseguire il tutto, e percio gli si convien tirare di quei danari per rata de’giuochi vinti, e noi diciamo che la Fortuna si puo rivoltar presto, e favorirquell’altro a vincer il tutto; si come infinite volte s’e visto, e vedesi, tantonel giuoco di palla, come in ogn altro, ma molto piu nelle cose di guerra,lı come dottamente ne dimostra l’Ariosto4 in persona di Carlo con questidue versi.

Cosı Fortuna ad Agramante arrise,

Ch’un altra volta a Carlo assedio mise.

il qual’havendo assediato Agramente, si rivolto talmente la fortuna, che

Agramarite in un attimo ruppe l’esercito di Carlo, e nuovamente l’assedio

in Parigi.

4La citazione che segue si trova nel Canto XXVII dell’Orlando Furioso.

2.3. CARDANO E LA DIVISIONE DELLA POSTA 39

Forestani ha considerato esempi in cui la posta in gioco e o offerta da un me-cenate oppure e trovata per caso dal gruppo dei giocatori: anche quando riferiscel’esempio di giocatori che giocano al Tavoliere, precisa subito che i denari in pa-lio erano stati trovati a caso in una borsa, quasi a voler moralizzare—Forestaniera un sacerdote—gli esempi proposti, mostrando come la competizione fosseper aggiudicarsi qualcosa che avrebbe arricchito qualcuno senza defraudare al-tri, a differenza dei giochi d’azzardo che portavano spesso sul lastrico i giocatoripiu accaniti.

2.3 Cardano e la divisione della posta

Come gia fatto in precedenza, riserviamo uno spazio a se stante per Cardano chesi occupo del problema della divisione della posta nella Practica Arithmeticae

et misurandi singularis [3], pubblicata nel 1539 e dunque prima sia del General

Trattato di Tartaglia che della Pratica di Forestani. A dispetto del loro interes-se, le considerazioni di Cardano sono pero rimaste piuttosto nell’ombra, comevedremo in chiusura di questa sezione. L’ultimo dei 68 capitoli della Practica

Arithmeticae contiene un lungo elenco di errori commessi da Pacioli. Tra questispicca l’errore 5:

Nella determinazione dei giochi [Pacioli] commise un errore molto evi-

dente, che anche un bambino riconoscerebbe, mentre egli accusa gli altri

e loda la sua eccellente opinione in base alla quale a due giocatori che

giocano per arrivare a 6 punti, conferisce, dopo molte considerazioni su-

perflue, a chi ne ha 5 e a chi ne ha 2 le parti 5 e 2, dividendo la somma

totale in 7. Supponiamo pertanto che due giochino per arrivare a 19 punti

e che uno ne abbia 18 mentre l’altro solo nove; il primo ottiene i 2

3della

somma totale ed il secondo 1

3per cui se il deposito di ciascuno e 12 duca-

ti, la somma di entrambi e 24, 16 dei quali toccheranno al primo ed 8 al

secondo: pertanto chi e giunto a 18 punti avra guadagnato all’altro solo

4 ducati, che sono la terza parte del deposito, anche se non gli manca che

un punto a raggiungere il traguardo mentre all’altro ne mancano 10, cio

che e completamente assurdo, soprattutto perche ognuno deve prendere

quella parte che potrebbe scommettere in quella condizione. Trovandosi

sul punteggio di 18 a 9 e dovendo arrivare a 19, puo scommettere 10 con-

tro 1 o addirittura 20 contro 1; nella divisione pertanto egli deve avere 20

parti e l’altro una sola. In terzo luogo, se si gioca a 19 [punti] ed uno ne ha

2, l’altro zero, dal suo [di Pacioli] calcolo, chi ha due punti deve ottenere

tutto il deposito e l’altro nulla, la qual cosa non c’e da dubitare sia scon-

veniente, che cioe pur trovandosi ancora molto distante dalla fine, debba

ottenere tanto quanto otterrebbe se avesse 19 punti, pur sopravanzando

l’altro giocatore di cosı poco.5

5Et errauit ludorum determinatione errore, manifestissimo, et a puero etiam cognoscibilis,dum alios arguit et suam laudat exquisitam opinionem; unde ludentibus ad 6. et habenti 5.et alteri 2. dat post multas superfluas supputationes partes 5 et 2 ita quod totam summam


Al di la di questa veemente pars destruens, nel capitolo 61 della Practica—De

Extraordinariis et ludis—Cardano si era dilungato su quali dovessero essere iprincipii cui mantenere fede nella divisione della posta in un gioco interrotto:

Quanto ai fondamenti dei giochi bisogna sapere che non occorre consi-

derare altro se non il fine verso cui si tende e cio dividendo il tutto in

progressione per le loro parti[.] esempio [:] due giocano a dieci [punti:]

uno ne ha 7 l’altro 9[.] Si domanda, qualora occorra dividere la posta

perche il gioco non puo terminare, quanto ciascuno debba avere dividen-

do l’intero deposito[.] Sottrai 7 da 10: resta 3. Sottrai 9 da 10: resta 1.

La progressione di 3 e 6, quella di 1 e 1. Dunque, diviso il deposito in 7

parti darai 6 parti a chi ha 9 punti ed 1 a chi ne ha 7. Supponiamo dunque

che ciascuno avesse scommesso 7 denari, cosicche il deposito complessivo

ammonti a 14 denari: 12 di questi toccheranno a chi ha 9 punti e due a

chi ha 7 punti, per cui chi ha 7 punti perde i 5

7del suo capitale. Un altro

esempio. Supponiamo di giocare al meglio dei 10 punti e che uno abbia 3

punti, l’altro 6. Sottraendo [da 10] si hanno i resti 7 e 4[:] la progressione

del 7 e 28, quella del 4 e 10. Pertanto daro 28 parti della somma totale

a chi ha 6 punti e 10 parti a chi ne ha 3 dividendo cosı il deposito in 38

parti, e chi ha 3 punti perdera i 9

19del proprio capitale.6 ([3], p. 112)

Cardano ha colto il punto cruciale del problema: solo i punti mancanti al con-seguimento del successo sono essenziali nella suddivisione della posta. Il testodiventa pero ellittico proprio quando passa agli esempi numerici ed il precettodi costruire la progressione di 3 o di 1, di 7 o di 4, lascia perplessi ad una primalettura. Ora, dicendo che la progressione di 3 e 6, di 1 e 1, di 7 e 28 e di 4 e 10,Cardano associa al numero di punti che mancano ad un giocatore per vincere

dividit in 7. ponamus igitur quod duos ludant at 19 et unus habeat 18 alius tantum 9 habetigitur primo 2

3totius summae et secundo 1

3, sit igitur depositum aurei 12 summae amborum

erit 24. quibus 16 primo et 8 secundo contingent: non igitur ille qui habet 18 ludos lucratusest nisi aureos 4, et ex adversario, qui sunt tertia pars depositi, et tam ad complendumnon deest nisi unus ludus, secundo autem desunt 10 hoc autem est absurdissimum praetereaillam partem quisque debet assumere, quam aequa ratione deponere posset ea conditione, sedhabens 18 cum habente 9 potest eundo 19 deponere 10 contra 1 imo 20 contra unum: igitur indivisione debet habere partes 20 et ille tantum unam, tertio si ludimus ad 19 et unus habeat2 alter nullum, per suam rationem qui habet 2 debet acquirere totum depositum, patet exsuo computo, hoc autem quale sit inconveniens non est dubitandum, cum ex tam modicasuperatione, cum tanta remotione a fine debeat acquirere tantum, quantum si lucratus fuisset19 ludos.

6Quantum ad rationem ludorum sciendum est quod in ludis non habet considerari nisiterminus ad quem et hoc in progressione dividendo totum per easdem partes[.] exemplum[:]duo ludunt ad decem unus habet 7 alius 9 quaeritur in casu divisionis non finiendo ludumquantum quisque debet habere subtrahe 7 a 10 remanet 3. Subtrahe 9 a 10 remanet 1.Progressio 3 est 6, progressio 1 est 1. dabis igitur dividendo totum depositum in 7 parte 6partes habenti 9 et 1 partem habenti 7. ponamus igitur quod posuissent aureos 7 singuli, tunctotum depositum esset 14. ex quibus 12 contingunt habenti 9 et 2 habenti 7 ludos, quare quihabet 7 perdit 5

7capitalis. Aliud exemplum ponamus quod ludus sit ad 10 et unus habeat

3 alius 6. subtrahe fiunt residua 7 et 4 progressio 7 est 28 progressio 4 est 10. igitur totiussummae dabo habenti 6 ludos 28 partes, et habenti 3 dabo partes 10 et ita dividam totumdepositum in 38 partes, et ille qui habet 3 perdit 9

19sui capitalis.

2.3. CARDANO E LA DIVISIONE DELLA POSTA 41

la somma di tutti gli interi da uno al numero di punti mancanti. Perche questascelta? Procediamo ancora nella lettura della Practica:

La motivazione che sta dietro questa [regola] e che se, effettuata la divi-

sione, si volesse ricominciare il gioco, le parti dovrebbero giocarsi quanto

ricevettero nel momento dell’interruzione e ponendoci nel primo esempio

chi dice di voler giocare ponga la condizione che tu non possa vincere

se non vinci 3 partite di seguito mentre a lui ne basta vincere una sola.

Supponiamo che chi vuol vincere tre partite scommetta 2 denari: dico che

l’altro deve scommettere 12 denari. Il motivo e che, se giocassero al me-

glio di un punto basterebbe scommettere 2 denari e se al meglio dei due

punti dovrebbe scommettere il triplo perche vincendo semplicemente una

partita vincerebbe 4 denari e questo va bilanciato dal pericolo di perdere

la seconda partita, vinta la prima, pertanto deve guadagnare il primo e

se si gioca al meglio dei tre punti [deve scommettere] il sestuplo, perche

raddoppia la difficolta. Pertanto dovra giocare 12 denari e ora se accetta

12 denari e l’altro 2, la divisione sara fatta in modo conveniente.7 ([3],p. 112)

La chiave di lettura sta nel riferimento alla ripresa del gioco dopo l’interruzione,senza che i punteggi siano azzerati. Come occorre regolare le scommesse perconvincere un giocatore a riprendere il gioco dal punto in cui e stato interrotto?Abbiamo visto la critica a Pacioli: se, occorrendo 19 punti per vincere, il giocoe interrotto sul punteggio di 18 a 9, il giocatore che volesse riprendere a giocaredalla posizione di vantaggio dovrebbe puntare 10 ad 1 o anche fino a 20 ad 1,tale e il vantaggio. Coumet [4] ha notato una incoerenza tra la prescrizionegenerale di Cardano del Cap. 61 e la discussione legata all’errore di Pacioli,probabilmente dovuta alla vis polemica nei suoi confronti. Nel passo appenariportato si assiste [4] ad una trasformazione della regola di divisione della po-sta (regle du partis) in una regola sulle scommesse (regle du paris) da stabilireavendo di mira sempre la condizione di equita del gioco. Cardano in effetti, pergiustificare la ripartizione di 6 ad 1 proposta nel primo esempio del Cap. 61,analizza un altro problema, quello di due giocatori che iniziano a giocare sottola condizione che il primo si aggiudichera la posta se vincera consecutivamentetre partite, l’altro se ne vincera una sola. Il principio assunto da Cardano none lontano da quello che animera Fermat e Pascal nel risolvere correttamente ilproblema. Egli ritiene che occorra compensare le minori possibilita di vittoriadi un giocatore costringendo l’altro a scommettere una somma superiore, che

7§ 14. Ratio autem demonstrativa super hoc est quod si facta divisione iterum ludusesset inchoandus, partes haberent deponere idem quod receperunt stante conditione, et sit inexemplo primo quod quis dicat volo ludere, hac conditione ut tu non possis vincere nisi vincas3 sine intermissione, et si ego vinco unum volo vincere, et deponat ille qui vult vincere 3 ludosaureos 2 quantum habet deponere alius dico quod deponet 12 ratio nam si ad unum ludumhaberent luderet sufficeret ponere 2 et si duos, habere ponere triplum, ratio quia vincendosimpliciter 1 ludos vinceret 4 sed hic stat cum periculo perdendi secundum victo primo, igiturlucrari debet primum, et si ad 3 sextuplam, quia duplicatur difficultas, igitur haberet ponere12 et iam accepit 12 et ille 2 igitur divisio fuit convenienter facta.


ristabilisca l’equita, bilanciando il rischio che il primo giocatore affronta di vedervanificati i successi parziali [4]. Cosı, se volessi rimpiazzare, nel primo esempionumerico, il giocatore cui mancano 3 punti per vincere, poiche al mio avversariomanca un punto solo, la difficolta crescente a vincere ininterrottamente tre par-tite richiede che, se io punto una moneta, anche il mio avversario ne punti una,che basterebbe se fossimo in condizioni di parita; piu 2 monete, che basterebbe,insieme al precedente, se a me mancassero 2 punti; piu 3 monete. Nel caso disospensione sul punteggio di 18 a 9, quando il punteggio richiesto per vinceree di 19 punti, la regola di Cardano imporrebbe che il giocatore in svantaggiopuntasse 1 moneta quando l’altro ne puntasse 55, la somma dei primi 10=19-9interi.

Il testo di Cardano fu preso a modello dal matematico cuneese GiovanniFrancesco Peverone (1509-1559) in un opuscolo [16] pubblicato nel 1558 e dedi-cato alla risoluzione di problemi di aritmetica e geometria. Gli esempi discussida Peverone nel libro terzo, in un breve paragrafo intitolato De giuochi, coinci-dono con quelli discussi da Cardano nella Practica arithmeticae, anche nei valorinumerici. Studiando questa parte della storia della probabilita, Maurice Ken-dall (1907-1983) attribuı a Peverone i risultati di Cardano [10], il cui contributofu invece valorizzato da Coumet che osservo anche come Peverone non avesseinserito la spiegazione della regola fornita da Cardano, possibile sintomo di unacomprensione parziale del metodo.

2.4 La corrispondenza tra Fermat e Pascal

Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662) furono due tra i piugrandi matematici francesi del XVII secolo. La loro corrispondenza dell’estate1654 e tradizionalmente presa come data di nascita del calcolo delle probabilitacome disciplina scientifica. La corrispondenza e rimasta inedita fino alla pub-blicazione della prima edizione delle Opere Matematiche di Fermat, nel 1679.Fortunatamente pero, il contenuto della corrispondenza fu noto subito allo scien-ziato olandese Christiaan Huygens (1629-1695) durante un viaggio di studio aParigi ed egli seppe trarre profitto delle indicazioni, ancorche incomplete, ri-cevute sul contenuto dello scambio epistolare. Esaminiamo i passaggi relativial problema della ripartizione della posta, partendo dalla lettera di Pascal del29 luglio 1654 dove egli espose il proprio modo di risolvere il problema chedifferisce da quello di Fermat, basato totalmente sulle combinazioni e dunqueda intendersi come l’elencazione di tutti i casi che possono presentarsi. Pascalconsidero il caso in cui due giocatori si affrontano al meglio di tre partite, scom-mettendo ciascuno 32 pistole8 ed introdusse una serie di esempi dalla strutturaricorsiva, costruita a partire dal caso piu semplice, quello in cui uno dei duegiocatori—G1—ha conquistato due punti e l’altro—G2—uno. Pascal esamino

8Il termine pistola, derivato da piastola, piccola piastra, veniva usato per indicare unamoneta d’oro coniata per la prima volta in Spagna verso la meta del XVI secolo. La parolafu poi impiegata in senso estensivo per indicare anche altre monete d’oro europee, di valoresimile a quella spagnola. Equivaleva a due escudi e per questo era detta anche doblone.

2.4. FERMAT E PASCAL 43

gli esiti possibili della partita successiva: se G1 vincesse, si aggiudicherebbe l’in-tera posta di 64 pistole; se vincesse G2 ci sarebbe parita e dunque dovrebberoriprendersi ciascuno 32 pistole. Qualunque cosa succeda, G1 si e garantito 32pistole ma, poiche Pascal ipotizza che i due giocatori abbiano le stesse possibi-lita di vincere, una volta in parita, ad A spettera anche la meta delle 32 pistoledi G2 e dunque potra chiedere 48 pistole.

Ecco all’incirca come faccio a trovare il valore di ciascuna delle parti quan-do, per esempio, due giocatori giocano, al meglio delle tre partite e cia-scuno ha scommesso 32 pistole: supponiamo che il primo abbia due puntie l’altro uno; ora giocano un’altra partita il cui esito sara che: se vinceil primo, otterra tutta la posta, cioe 64 pistole; se vince l’altro, avrannovinto ciascuno due partite e di conseguenza, se volessero separarsi, occorreche ciascuno si riprenda la somma scommessa: 32 pistole.

Considerate dunque, signore, che, se il primo vince, otterra 64, se perde

otterra 32. Dunque se non vogliono azzardare questa partita e separarsi

senza giocare, il primo deve dire; “sono sicuro di avere 32 pistole, perche

anche la sconfitta me le lascia; per le altre 32, potro averle o meno, le

possibilita sono uguali. Dividiamo dunque queste 32 pistole a meta e mi

darete oltre a queste, le 32 che mi sono assicurato.” Egli avra dunque 48

pistole e l’altro 16.9 ([5], p. 291)

Pascal procede ora ad esaminare il caso in cui la sospensione della partita av-venga quando G1 ha due punti e G2 zero, sempre a parita di montepremi totale:64 pistole. Il ragionamento e questo: se G1 vincesse ancora, si aggiudicherebbeil terzo punto decisivo e dunque 64 pistole; se G2 vincesse il punteggio sarebbedi due punti contro uno e dunque, per quanto appena visto, a G1 spetterebbero48 pistole. Per decidere quanto assegnare a G1, Pascal parte dalle 48 che glisono garantite e vi aggiunge la meta della differenza tra le due possibili vincitedi 64 e e 48 pistole, cioe 8 pistole, portando la posta di G1 a 56 pistole.10 Perconcludere, Pascal analizzo il caso in cui la sospensione avvenga quando G1 ha

9Voici a peu pres comme je fais pour savoir la valeur de chacune des parties, quand deuxjoueurs jouent, par exemple, en trois parties, et chacun a mis 32 pistoles au jeu: Posons quele premier en ait deux et l’autre une; ils jouent maintenant une partie, dont le sort est telque, si le premier la gagne, il gagne tout l’argent qui est au jeu, savoir 64 pistoles; si l’autre lagagne, ils sont deux parties a deux parties, et par consequent, s’ils veulent se separer, il fautqu’ils retirent chacun leur mise, savoir chacun 32 pistoles.

Considerez donc, Monsieur, que, si le premier gagne, il lui appartient 64; s’il perd, il luiappartient 32. Donc, s’ils veulent ne point hasarder cette partie et se separer sans la jouer, lepremier doit dire: “Je suis sur d’avoir 32 pistoles, car la perte meme me les donne; mais pourles 32 autres, peut-etre je les aurai, peut-etre vous les aurez, le hasard est egal. Partageonsdonc ces 32 pistoles par la moitie et me donnez, outre cela, mes 32 qui me sont sures.” Il auradonc 48 pistoles et l’autre 16.

10Ecco l’originale di Pascal:

Posons maintenant que le premier ait deux parties et l’autre point, et ils com-mencent a jouer une partie. Le sort de cette partie est tel que, si le premierla gagne, il tire tout l’argent, 64 pistoles; si l’autre la gagne, les voila revenusau cas precedent, auquel le premier aura deux parties et l’autre une. Or, nousavons deja montre qu’en ce cas il appartient, a celui qui a les deux parties, 48pistoles: donc, s’ils veulent ne point jouer cette partie, il doit dire ainsi: “Si je la


un punto soltanto e G2 nessun punto, ancora a parita di montepremi. Se G1

vincesse l’ipotetica partita successiva, si porterebbe a 2 punti contro 0 e dunquegli spetterebbero 56 pistole mentre, se G2 vincesse, si porterebbe in parita e adentrambi i giocatori spetterebbero 32 pistole. Dunque, in entrambi gli scenari32 pistole sono garantite a G1 mentre egli puo giungere o meno a 56: se l’esitodella partita e incerto, allora e lecito che G1 chieda altre 56−32

2= 12 pistole e

reclamarne per se 44 in tutto.11

Come sempre, trattandosi di un procedimento ricorsivo, occorre un metodoche consenta di arrivare alla conclusione senza dover ripetere tutti i passaggi ePascal espose la propria regola, senza fornirne in questa sede la dimostrazione maossservando che il metodo di elencazione di Fermat e troppo oneroso. Indicandocon P1(a, b) la frazione di posta che spetta a G1 quando gli mancano a puntiper conseguire la vittoria, mentre a G2 ne mancano b, la soluzione di Pascal siformalizza [5] con l’equazione alle differenze parziali

P1(a, b) =1

2[P1(a− 1, b) + P1(a, b− 1)] . (2.3)

Inoltre P1 assume alcuni valori particolari

P1(a, 0) = 0 (2.4)

e

P1(a, a) =1

2. (2.5)

Da (2.3) e (2.4) si puo ricavare, come utile esercizio,

P1(a, 1) =1

2a.

Fermat scrisse il successivo 9 agosto a Pierre de Carcavi che, dopo la mortedi padre Marin Mersenne, svolgeva il delicato compito di intermediario nellacorrispondenza tra i principali studiosi dell’epoca, manifestando tutta la propriastima per il genio di Pascal, in grado di portare a termine felicemente ogniimpresa scientifica cui intendesse applicarsi. Verso la fine del mese di agosto,

gagne, je gagnerai tout, qui est 64; si je la perds, il m’appartiendra legitimement48: donc donnez-moi les 48 qui me sont certaines, au cas meme que je perde, etpartageons les 16 autres par la moitie, puisqu’il y a autant de hasard que vousles gagniez comme moi.” Ainsi il aura 48 et 8, qui sont 56 pistoles.

11Questo e l’originale di Pascal:

Posons enfin que le premier n’ait que une partie et l’autre point. Vous voyez,Monsieur, que, s’ils commencent une partie nouvelle, le sort en est tel que, si lepremier la gagne, il aura deux parties a point, et partant, par le cas precedent,il lui appartient 56; s’il la perd, ils sont partie a partie: donc il lui appartient32 pistoles. Donc il doit dire: “Si vous voulez ne la pas jouer, donnez-moi 32pistoles qui me sont sures, et partageons le reste de 56 par la moitie. De 56 otez32, reste 24; partagez donc 24 par la moitie, prenez-en 12 et moi 12, qui, avec32, font 44”. ([5], p. 291)


il giorno 24, Pascal scrisse nuovamente a Fermat ribadendo come il metododelle combinazioni fosse non solo malagevole ma offrisse risposte ambigue nelcaso in cui fossero coinvolti tre giocatori. La lettera di Pascal e preziosa perchepermette di ricostruire gli argomenti utilizzati da Fermat. Si parte ancora daun caso particolare, quello in cui a G1 mancano due punti per vincere e a G2

ne mancano 3. Il numero massimo di partite per decidere della vittoria di unodei contendenti e 4. Pascal considera allora i 16 = 24 esiti possibili, ottenutienumerando tutte le ipotetiche successioni di quattro partite. Indicando con a

e b rispettivamente un successo di G1 o G2, i 16 schemi sono i seguenti

a a a a a a a a b b b b b b b b

a a a a b b b b a a a a b b b b

a a b b a a b b a a b b a a b b

a b a b a b a b a b a b a b a b

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2

dove i numeri 1 e 2 indicano che il successo finale spetta a G1 o a G2, rispet-tivamente. Poiche 11 schemi sono favorevoli a G1 e 5 a G2, la posta in paliova ripartita secondo questi numeri. Il metodo di Fermat e diverso da quello diPascal ma si puo verificare che entrambi danno le stesse risposte, almeno nelcaso in cui ci sono due giocatori. Pascal riferisce anche delle obiezioni sollevatecontro il metodo di Fermat da Gilles Personne de Roberval (1602-1675) che con-testava l’uso di partite fittizie per determinare la vera ripartizione della posta.Sostanzialmente, osservava Roberval, non e possibile fingere che tutte le partiteabbiano ugual durata perche, ad esempio, nei primi quattro schemi, paertendoda sinistra, ci si arresta dopo due sole partite. Pascal, osservando che l’obie-zione riguardava solo il metodo di Fermat, rispose mostrando come l’artificiodi introdurre delle partite fittizie non alterasse affatto l’esito della suddivisionedella posta ([5], pp. 302-303).

Ho comunicato il vostro metodo ai nostri Signori e su di esso il Sig. deRoberval ha mosso questa obiezione:

E sbagliato basare la suddivisione della posta sull’ipotesi che si giochi inquattro partite, visto che, quando mancano due partite ad un giocatore etre all’altro, non e affatto necessario giocarne quattro, potendo succedereche non se ne giochi che due o tre e forse quattro.

E cosı per questo non vede perche si pretenda di fare la suddivisionecorretta partendo dalla condizione fittizia che si giochino quattro partite,visto che la condizione naturale del gioco e che si smettera di giocare dopoche uno dei giocatori avra vinto e che [il metodo], se non e falso, almenonon e dimostrato, per cui egli sospetta che abbiamo commesso qualcheparalogismo.

Gli risposi che io non mi fondavo tanto su questo metodo di combina-zioni, che in verita e fuori luogo in questa occasione, quanto su un altromio metodo universale, che non ammette eccezioni, che porta con se ladimostrazione e che trova esattamente la stessa suddivisione del metododelle combinazioni; inoltre gli ho mostrato la correttezza della suddivisionetramite combinazioni in questo modo:


Non e forse vero che due giocatori, trovandosi nella situazione ipotizzatain cui manchino due punti ad uno e tre all’altro, convengano di comuneaccordo che giocheranno quattro partite complete (...) non e forse vero,dissi, che deliberando di giocare quattro partite, la suddivisione della po-sta deve essere quella che abbiamo detto, secondo il numero di schemifavorevoli a ciascuno?

Rimase d’accordo e questo e in effetti conclusivo; nego tuttavia che lastessa cosa sussisterebbe non costringendoli a giocare le quattro partite.Gli dissi allora:

Non e chiaro che gli stessi giocatori, non essendo costretti a giocare quat-

tro partite, ma volendo terminare il gioco dopo che uno ha raggiunto la

vittoria, potranno vincolarsi, senza danno o lucro, a giocare tutte le quat-

tro partite e che questa convenzione non cambia in alcun modo la loro

condizione?12

Sono stati espressi giudizi molto severi su Roberval per questo errore ma dobbia-mo essere consapevoli che anche lui, come Fermat e Pascal, si stava muovendoin terra incognita e che il metodo delle combinazioni, di cui Pascal sembra incerti punti fare una difesa d’ufficio, fornisce risposte corrette solo nel caso di duegiocatori mentre, passando a tre giocatori, offre il fianco a possibili ambiguita,che Pascal mette in evidenza su un caso particolare in cui tre giocatori—G1,G2, G3— smettono di giocare quando mancano loro, rispettivamente 1, 2 e 2punti. La partita sarebbe decisa in al piu tre giochi ma lo schema dei 27 = 33

12Je communiquai votre methode a nos Messieurs, sur quoi M. de Roberval me fit cetteobjection:

Que c’est a tort que l’on prend l’art de faire le parti sur la supposition qu’on joue en quatre

parties, vu que, quand il manque deux parties a l’un et trois a l’autre, il n’est pas de necessiteque l’on joue quatre parties, pouvant arriver qu’on n’en jouera que deux ou trois, ou a la veritepeut-etre quatre;

Et ainsi qu’il ne voyoit pas pourquoi on pretendoit de faire le parti juste sur une conditionfeinte qu’on jouera quatre parties, vu que la condition naturelle du jeu est qu’on ne joueraplus des que l’un des joueurs aura gagne, et qu’au moins, si cela n’etoit faux, cela n’etoit pasdemontre, de sorte qu’il avoit quelque soupcon que nous avions fait un paralogisme.

Je lui repondis que je ne me fondois pas tant sur cette methode des combinaisons, laquelle veritablement n’est pas en son lieu en cette occasion, comme sur mon autre methodeuniverselle, a qui rien n’echappe et qui porte sa demonstration avec soi, qui trouve le memeparti precisement que celle des combinaisons; et de plus je lui demontrai la verite du partientre deux joueurs par les combinaisons en cette sorte:

N’est-il pas vrai que, si deux joueurs, se trouvant en cet etat de l’hypothese qu’il manquedeux parties a l’un et trois a l’autre, conviennent maintenant de gre a gre qu’on joue quatreparties completes, c’est-a-dire qu’on jette les quatre des a deux faces tous a la fois, n’est il pasvrai, dis-je, que, s’ils ont delibere de jouer les quatre parties, le parti doit etre, tel que nousavons dit, suivant la multitude des assiettes favorables a chacun?

Il en demeura d’accord et cela en effet est demonstratif; mais il nioit que la meme chosesubsistat en ne s’astreignant pas a jouer les quatre parties. Je lui dis donc ainsi:

N’est-il pas clair que les memes joueurs, n’etant pas astreints a jouer [les] quatre parties,mais voulant quitter le jeu des que l’un auroit atteint son nombre, peuvent sans dommage niavantage s’astreindre a jouer les quatre parties entieres et que cette convention ne change enaucune maniere leur condition?


risultati possibili richiede qualche cautela.

a a a a a a a a a b b b b b b b b b c c c c c c c c c

a a a b b b c c c a a a b b b c c c a a a b b b c c c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3

Infatti, mentre alcuni schemi forniscono univocamente un vincitore, in altri ca-si i risultati delle tre partite fittizie mostrano che due giocatori raggiungonoil punteggio che li renderebbe vincitori. Si potrebbero prospettare due strate-gie: attribuire lo schema corrispondente meta a ciascuno dei vincitori ipotetici,oppure al giocatore che raggiunge per primo il successo. Nel primo caso, adesempio, G1, cui corrisponde il numero 1, si aggiudica senza dubbio 13 dei 27schemi nel prospetto precedente mentre in altri 6 schemi e vincitore con unodegli altri giocatori ed negli 8 schemi restanti e certamente perdente. Se ognischema assegnato solo a G1 vale 1, quelli in cui vince in coabitazione con G2 oG3 gli conta 1

2e quelli in cui e perdente non fruttano nulla, gli schemi attribuiti

a G1 sono

1 · 13 +1

2· 6 + 0 · 8 = 16

e la frazione di posta che gli spetta e 16

27. Ragionando similmente, ad ognuno

dei giocatori G2 e G3 vanno assegnati

1 · 4 +1

2· 3 + 0 · 20 =

11

2

schemi e quindi la frazione 11

54della posta. Pascal e pero insoddisfatto del

risultato ottenuto:

Ecco, mi sembra, il modo in cui si dovrebbe suddividere la posta tramite

le combinazioni secondo il vostro metodo, a meno che voi non abbiate

qualcos’altro su questo metodo che io ignoro. Se non mi sbaglio, questa

suddivisione e ingiusta. Il motivo e che si suppone il falso sostenendo

che si giocheranno sicuramente tre partite, mentre la condizione naturale

del gioco e che si prosegue a giocare finche uno dei giocatori non abbia

ottenuto il numero di punti che gli mancano, nel qual caso il gioco cessa.13

L’obiezione di Roberval, ininfluente nel caso di due giocatori, e piu calzantein questa situazione piu complessa e l’analisi di Pascal mostra che l’utilizzodel metodo delle combinazioni richieda ora uno studio dell’ordine con cui sisusseguono le vittorie per decidere come ripartire la posta. Il gioco fittizio(feinte) che impone di disputare sempre il numero massimo di partite, non siaccorda con quello vero (veritable) che nel caso di due giocatori. La risposta

13Voila, ce me semble, de quelle maniere il faudroit faire les partis par les combinaisonssuivant votre methode, si ce n’est que vous ayez quelque autre chose sur ce sujet que je nepuis savoir. Mais, si je ne me trompe, ce parti est mal juste. La raison en est qu’on supposeune chose fausse, qui est qu’on joue en trois parties infaillibleiment, au lieu que la eonditionnaturelle de ce jeu-le est qu’on ne joue que jusques a ce qu’un des joueurs ait atteint le nombrede parties qui lui manque, auquel cas le jeu cesse.


di Fermat fu scritta il successivo 29 agosto: egli riconobbe come corrette lelimitazioni messe in luce da Pascal ma difese il proprio metodo, purche sia beneinterpretato, cosa che Pascal non aveva fatto nella lettera precedente.

Oltre al problema della ripartizione della posta, nella corrispondenza traPascal e Fermat si parla di alcuni questiti che il cavaliere de Mere pose a Pascal.Scrivendo a Fermat nel luglio del 1654, Pascal si espresse in questi termini:

Non ho tempo di inviarvi la dimostrazione che supera una difficolta chesorprese molto il Sig. [de Mere], dotato di buona intelligenza ma che none un matematico (cio che, come sapete, e un grande difetto). (...) Se unovuole ottenere un sei con un dado avra un vantaggio lanciando quattrovolte, come 671 sta a 625.

Se uno vuole ottenere un doppio sei con due dadi, sara svantaggioso in 24lanci.

E tuttavia 24 sta a 36 (numero delle facce su due dadi) come 4 sta a sei

(numero delle facce su un dado). Ecco cio che costituisce per lui un grande

scandalo che gli fa esclamare che le proposizioni non sono costanti e che

l’aritmetica smentisce se stessa.14

Il rapporto 671:625 tra la probabilita di successo e quella di insuccesso siottiene osservando che, preso 1

6come probabilita di ottenere 6 con un dado, la

probabilita di non ottenere mai 6 in quattro lanci—evento complementare diquello vincente—e

(

1−1

6

)4

=

(

5

6

)4

=625

1296

per cui la probabilita di ottenere almeno un 6 in quattro lanci e 1 −625

1296=

671

1296> 1

2e si ha dunque vantaggio a scommettere di riuscire ad ottenere almeno

un 6 in 4 lanci. Per risolvere il secondo quesito, l’evento complementare deldoppio 6 lanciando una coppia di dadi ha probabilita 35

36e dunque il numero n

di lanci a partire dal quale e svantaggioso scommettere sul realizzarsi almenouna volta di un doppio 6 e il piu grande intero n tale che

(

35

36

)n

>1

2:

passando ai logaritmi, si ottiene n = 24.

14Je n’ai pas le temps de vous envoyer la demonstration d’une difficulte qui etonnoit fort M.[de Mere], car il a bon esprit, mais il n’est pas geometre (c’est, comme vous savez, un granddefaut) (...)

Si on entreprend de faire un six avec un de, il y a avantage de l’entreprendre en 4, comme671 a 625.

Si on entreprend de faire sonnes avec deux des, il y a desavantage de l’entreprendre en 24.Et neanmoins 24 est a 36 (qui est le nombre des faces de deux des) comme 4 a 6 (qui est le

nombre des faces d’un de). Voila quel etoit son grand scandale qui lui faisoit dire hautementque les propositions n’etoient pas constantes et que l’Arithmetique se dementoit.

2.5. IL TRAITE DI PASCAL 49

2.5 La divisione della posta nel Traite di Pascal

La corrispondenza tra Pascal e Fermat non mette in evidenza il metodo generaleutilizzato da Pascal per risolvere il problema della ripartizione della posta tradue giocatori che fu invece esposto nel Traite du Triangle arithmetique et de son

application, pubblicato postumo 1665.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 8 9

3 6 10 15 21 28 36

4 10 20 35 56 84

5 15 35 70 126

6 21 56 126

7 28 84

8 36

9

I numeri nel triangolo aritmetico sono assegnati a delle celle ed i triangoli checonsidera Pascal sono ottenuti tracciando delle diagonali a 45◦: le celle chesono attraversate da una stessa diagonale formano una base di un triangolo.Pascal pone l’unita in alto a sinistra come elemento generatore del triangolo ilcui elemento an,k all’incrocio tra la n-esima riga e la k-esima colonna e definitodalla relazione

an,k = an−1,k + an,k−1 (2.6)

con la convenzione che, quando uno solo dei due indici e nullo, anche il corrispon-dente elemento lo e. Le proprieta principali del triangolo aritmetico discendonodalla costruzione stessa e per i nostri scopi sono interessanti le Conseguenze VIIed XI. La Conseguenza VII afferma che

in ogni triangolo aritmetico, la somma delle celle di ogni base e doppia di

quelle della base precedente.15 ([15], p. 247)

Questa conseguenza e dedotta dalla proprieta di simmetria (Conseguenza V)

an,k = ak,n

15En tout triangle arithmetique, la somme des cellules de chaque base est double de cellesde la base precedente.


che si ottiene per induzione sulle basi del triangolo: infatti a1,2 = a2,1 percostruzione; invocando la (2.6) e supponendo verificata la simmetria per le basiprecedenti

an,k = an−1,k + an,k−1 = ak,n−1 + ak−1,n = ak,n

che e appunto la tesi. La Conseguenza VII si ottiene osservando che

an,1 = an−1,1 a1,n = a1,n−1

e che, muovendosi in diagonale e servendosi della (2.6), tutti gli elementi dellabase n−1 compaiono due volte nella somma degli elementi della base n. Poichela somma degli elementi sulla base 2 e 2, la somma degli elementi della basen+ 1 e 2n.

La Conseguenza X e espressa in questi termini:

In ogni triangolo aritmetico, la somma di un certo numero a piacere dicelle contigue di una base, a cominciare da un’estremita, e uguale al doppiodello stesso numero di celle della base precedente, tranne uno.16 ([15], pp.247-248)

Infatti, la somma di un certo numero h di elementi della base n si puo porrenella forma

h∑

k=1

an−k+1,k

ed e sufficiente riflettere sulla (2.6) per concludere che tutti i termini della baseprecedente compaiono due volte fuorche an−h+1,h, che compare una volta sola.Per simmetria, la proprieta vale anche partendo da a1,n e procedendo in bassolungo la base n-esima.

Pascal illustra altre proprieta del triangolo aritmetico tra cui spiccano quellecombinatorie che servono da premessa all’applicazione alla ripartizione dellaposta. Nella parte del Traite dedicata alla soluzione di questo problema, Pascalribadisce i principii guida seguiti, specificando anzitutto la natura del contrattoche i giocatori stipulano accettando di sfidarsi:

Per comprendere le regole della suddivisione occorre per prima cosa con-

siderare che il denaro che i giocatori hanno messo in palio non appartiene

piu a loro; a fronte di cio essi ricevono il diritto di attendersi quanto il caso

puo regalar loro, secondo le condizioni su cui sono convenuti all’inizio.17

([15], p. 257)

16En tout triangle arithmetique, la somme de tant de cellules continues qu’on voudra de sabase, a commencer par une extremite, est egale a autant de cellules de la base precedente,plus encore a autant, hormis une.

17Pour entendre les regles des partis, la premiere chose qu’il faut considerer, est que l’argentque les joueurs ont mis au jeu ne leur appartient plus, car ils en ont quitte la propriete; maisils ont recu en revanche le droit d’attendre ce que le hasard peut leur en donner, suivant lesconditions dont ils sont convenus d’abord.


La natura volontaria del contratto lascia spazio alla possibilita di derogaredalle condizioni previste inizialmente, interrompendo il gioco. Il problema dellaripartizione della posta viene formulato in questi termini:

Trattandosi di una legge volontaria, possono derogarvi di comune accordo;

e cosı, trovandosi ad un punto qualunque del gioco, possono interromperlo

e, contrariamente a quanto fatto all’inizio, rinunciare ad attendersi qual-

cosa dal caso e tornare ciascuno in possesso di qualcosa; in questo caso,

la regola che stabilisce quanto deve loro appartenere deve essere talmente

proporzionata a quanto avevano diritto di attendersi dalla fortuma, che

per ciascuno di loro e del tutto indifferente accettare quanto si propone

loro o continuare l’avventura del gioco: e questa giusta distribuzione e

detta la suddivisone.18

La ripartizione della posta poggia per Pascal su due principii:a) cio che spetta ad un giocatore, qualunque sarebbe l’esito delle partite non

disputate, deve essergli garantito;b) inoltre bisogna garantire ad ogni giocatore la meta della differenza ∆

tra quanto otterrebbe vincendo e quanto otterrebbe perdendo, cioe la “sommaesposta al rischio”. Il coefficiente 1

2e dovuto al fatto che le probabilita di suc-

cesso dei contendenti sono uguali. Se cosı non fosse, occorrerebbe moltiplicare∆ per le possibilita che il giocatore ha di vincere. Questa regola, che Pascalsottolinea applicarsi a giochi di puro azzardo (pure hazard), garantisce l’equitadella ripartizione.

Il primo principio per stabilire il modo con cui effettuare la divisione dellaposta e questo. Se uno dei giocatori si trova in una condizione tale che,qualunque cosa succeda, una certa somma gli deve appartenere sia chevinca sia che perda, senza che l’azzardo gliela possa togliere, questa nondeve essere suddivisa ma deve prenderla tutta come certa perche, dovendoessere la suddivisione proporzionata al rischio e dal momento che non vie rischio di perderla, la deve prendere indivisa.

Il secondo principio e questo. Se i giocatori si trovano in una condizione

tale che, se uno vince gli apparterra una certa somma e se perde questa

apparterra all’altro, se vogliono lasciarsi senza giocare e prendere cio che

appartiene loro legittimamente, debbono suddividere la somma esposta al

rischio a meta e ciascuno ne prendera una.19

18Mais comme cest une loi volontaire, ils peuvent la rompre de gre a gre; et ainsi en quelqueterme que le jeu se trouve, ils peuvent le quitter; et au contraire de ce qu’ils ont fait en yentrant, renoncer a l’attente du hasard, et rentrer chacun en la propriete de quelque chose;et en ce cas, le reglement de ce qui doit leur appartenir doit etre tellement proportionne ace qu’ils avoient droit d’esperer de la fortune, que chacun d’eux trouve entierement egal deprendre ce qu’on lui assigne, ou de continuer l’aventure du jeu: et cette juste distributions’appelle le parti.

19Le premier principe qui fait connoıtre de quelle sorte on doit faire les partis, est celui-ci.Si un des joueurs se trouve en telle condition, que, quoi qu’il arrive, une certaine somme doitlui appartenir en cas de perte et de gain, sans que le hasard puisse la lui oter; il ne doiten faire aucun parti, mais la prendre entiere comme assuree, parce que le parti devant etreproportionne au hasard, puisqu’il n’y a nul hasard de perdre, il doit tout retirer sans parti.


Dal punto di vista operativo, la regola da seguire e esposta in questo corollarioal secondo pricipio appena enunciato e che in effetti ne e una riformulazione:

Se due giocatori giocano ad un gioco di puro azzardo con la condizione che,

se il primo vince otterra una certa somma, mentre perdendo ne otterra

una minore, e se essi vogliono smettere di giocare e prendere cio che spetta

loro, la divisione da fare e che il primo prenda cio che gli spetta in caso di

sconfitta oltre alla meta dell’eccesso tra quanto otterra in caso di vittoria

ed in caso di sconfitta20

Pascal illustra le regole da seguire, a seconda del numero di punti mancanti aciascun giocatore per conseguire la vittoria. Il procedimento e in effetti unaesposizione piu dettagliata dei metodi illustrati a Fermat nella corrispondenzae non ci soffermiamo sui vari casi considerati per passare invece alla parte piuoriginale, in cui il triangolo aritmetico dispiega tutta la sua utilita. Siano P1(a, b)e P2(a, b) le poste che spettano ai giocatori G1 e G2 in funzione del numerodi punti a e b che mancano loro per conseguire la vittoria. Nell’appendiceal Traite Pascal considero la base (cioe la diagonale) del triangolo aritmeticocorrispondente ad a + b. A partire dall’elemento posto sulla prima colonna eprocedendo lungo la base, si sommino i primi a numeri: sia S1 la loro somma.Si considerino i b numeri restanti e sia S2 la loro somma:

queste somme stanno tra loro in ragione inversa dei vantaggi dei giocato-

ri.21 ([15], p. 262)

Formalmente

P1(a, b) =S2

S1 + S2

P2(a, b) =S1

S1 + S2

e quindiP1(a, b)

P2(a, b)=

S2

S1

.

La dimostrazione e condotta per induzione sulle basi del triangolo. La seconda22

base contiene il numero 1 ripetuto due volte per cui la regola di Pascal forniscei risultati corretti quando ad entrambi i giocatori manchi un punto. Pascalsuppone ora che una base del triangolo contenga tutte le ripartizioni della postatra due giocatori cui manchino complessivamente n punti per ottenere la vittoria

Le second est celui-ci. Si deux joueurs se trouvent en telle condition, que si l’un gagne, illui appartiendra une certaine somme, et s’il perd, elle appartiendra a l’autre; si le jeu est depur hasard , et qu’il y ait autant de hasards pour l’un que pour l’autre, et par consequentnon plus de raison de gagner pour l’un que pour l’autre, s’ils veulent se separer sans jouer, etprendre ce qui leur appartient legitimement, le parti est qu’ils separent la somme qui est auhasard par la moitie, et que chacun prenne la sienne.

20Si deux joueurs jouent a un jeu de pur hasard, a condition que si le premier gagne, il luireviendra une certaine somme, et s’il perd, il lui en reviendra une moindre; s’ils veulent seseparer sans jouer, et prendre chacun ce qui leur appartient, le parti est, que le premier prennece qui lui revient en cas de perte, et de plus la moitie de l’exces, dont ce qui lui reviendraiten cas de gain, surpasse ce qui lui revient en cas de perte.

21ces sommes sont l’une a l’autre comme les avantages des joueurs reciproquement.22La prima base e costituta dal solo numero 1 e rappresenta certamente la divisione della

posta quando ad un giocatore manchi un punto e all’altro nessuno: tutta la posta spetta achi ha vinto!


e si propone di dimostrare che la stessa proprieta vale quando i punti mancantisono n + 1. Per questo egli si chiede quanto otterrebbe G1 se, nel momentoin cui a + b = n + 1, si giocasse un’altra partita. Diciamo per semplicita dn,hl’elemento h della n-esima diagonale, contato a partire dal lato verticale deltriangolo artimetico. Sia che G1 vinca o perda la nuova partita, dopo averladisputata, ai due contendenti mancheranno n punti in tutto. Per l’ipotesi diinduzione quindi, se G1 vincesse, G2 avrebbe diritto alla frazione

P2(a− 1, b) =dn,1 + dn,2 + · · ·+ dn,a−1

Σn

, (2.7)

dove Σn e la somma di tutti gli elementi della diagonale n-esima. Se invecevincesse G2, gli spetterebbe la frazione

P2(a, b − 1) =dn,1 + dn,2 + · · ·+ dn,a−1 + dn,a

Σn

(2.8)

della posta. In base alle regole per stabilire la ripartizione, a G2 spettera lafrazione della posta pari a

dn,1 + dn,2 + · · ·+ dn,a−1

Σn

+1

2

dn,a

Σn

=2(dn,1 + dn,2 + · · ·+ dn,a−1) + dn,a

2Σn

.

Ora, per la Conseguenza VII vista prima si ha Σn+1 = 2Σn mentre, per laConseguenza XI,

2(dn,1 + dn,2 + · · ·+ dn,a−1) + dn,a = dn+1,1 + dn+1,2 + · · ·+ dn+1,a.

La somma che spetta a G2 e allora

dn+1,1 + dn+1,2 + · · ·+ dn+1,a

Σn+1

,

che dimostra l’asserto di Pascal. La disposizione adottata da Pascal per iltriangolo aritmetico e particolarmente felice perche la diagonale m + 1-esimacontiene i coefficienti binomiali

(

m

h

)

h = 0, ...,m.

La soluzione del problema della ripartizione della posta e allora chiara dal puntodi vista combinatorio perche se a G1 mancano a punti e a G2 b punti per vincere,la base (a+ b)-esima contiene i coefficienti del tipo

(

a+ b − 1h

)

h = 0, 1, ..., a+ b− 1

pertanto, attribuire la frazione

1

2a+b−1

a−1∑

h=0

(

a+ b− 1h

)

(2.9)


a G2 e

1

2a+b−1

a+b−1∑

k=a

(

a+ b− 1h

)

(2.10)

a G1 significa isolare, tra i 2a+b−1 risultati possibili delle partite, quelli chepermettono a G2 o a G1, rispettivamente, di prevalere. Rilassando l’ipotesi chei giocatori abbiano uguale possibilita di vittoria, ma che G1 abbia p possibilitadi prevalere e G2 ne abbia q, la formula precedente puo essere modificata conl’intervento delle probabilita di successo ad ogni turno

p1 :=p

p+ qe p2 :=

q

p+ q:

la frazione di posta da attribuire a G2 e, posto N := a+ b− 1,

a−1∑

h=0

(

N

h

)

ph1qN−h1

mentre quella da attribuire a G1 e

N∑

k=a

(

N

h

)

ph1qN−h1 :

questa generalizzazione fu pubblicata nell’Essay di Remond de Montmort ([19],pp. 244-248).

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55

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