1

Ilpapàdellatartaruga*

LageometriadellaTartarugaNellanostracultura,lamaggioranzadellagentetrovainconcepibilechelamatematicascolasticapossaesserediversadaquellacheè:èlasolamatematicacheconoscono.Perspezzarequestocircolovizioso,introdurròil lettore a una nuova areamatematica, quella della geometria della Tartaruga, che i miei colleghi e ioabbiamocreatoperoffrireaibambiniunaprimabased'esperienzadimatematicaformale,chesiaaccessibileesignificativaperloro.Mapermegliocomprenderneicriteriprogettuali,convieneesaminarepiùdavicinolecondizionistorichechehannodettatolaformadellamatematicascolastica.Alcunediquestecondizionistoriche furono di natura pragmatica. Prima dell'apparizione dei computer, vi era la necessità, di ordinepratico-sociale, che un buon numero di persone fossero "programmate" per effettuare delle operazioni,come le lunghissime divisioni, in fretta e accuratamente.Ma poiché attualmente si possono comperarecalcolatriciabuonmercato,sidovrebberiesaminareseèindispensabileonodedicarecentinaiadioredella

* L’invenzione della Tartaruga, un micromondo fisico (il robot da pavimento) e virtuale (la versione digitale sulloschermo)perl’apprendimentodellamatematica,èdiventatometaforadiambientediprogrammazioneperbambini.IlsuccessodelmicromondodellaTartarugahafattodatrainoallinguaggioLogoeallapraticacostruzionistaascuola,mahaanchefinitoperoscurarlo—Logoèstatosoventeidentificatoconillinguaggiodellatartaruga.Anchel’auspiciochealtrimicromondiseguisserononsièrealizzata.LaTartarugaèilrisultatodaunlatodiun’evoluzionedelprogrammadiricercadiepistemologiagenetica(latartarugacomeulteriorestrutturamadre)edall’altrodell’innovazionetecnologicacherealizzaunmicromondoaccessibileaibambinieinteressanteanchepergli“esperti”.Questo testo cerca di contribuire a una rivalutazione degli aspetti innovativi di ricerca epistemologica di PapertriavvicinandoquellepartidiMindstormscheparlanodilinguaggiodellatartarugaediepistemologia.LeconsiderazionisucomputerestrutturemadrivengonodaunarticolosuccessivoaMindstorms.Levariesezionidiquestotestosono, lamiatraduzione in italiano, rispettivamentedi:LageometriadellaTartaruga(Mindstorms capitolo 2, p. 51-54 eMindstorms capitolo 3, p. 55-59); Epistemologia e apprendimento (Mindstormscapitolo7,p.156-164);Ilcomputerenuovestrutturemadri(TheConservationofPiaget,p.9-10).Papert,S.(1980).Mindstorms:Children,computers,andpowerfulideas.NewYork,NY:BasicBooks,Inc.

http://mindstorms.media.mit.eduPapert,S.(1988).TheConservationofPiaget:TheComputerasGristtotheConstructivistMill.InG.Forman&P.B.

Pufall(Eds.),Constructivisminthecomputerage(pp.3-14).Hillsdale,NewJersey:LawrenceErlbaumAssociates.http://dailypapert.com/the-conservation-of-piaget-the-computer-as-grist-to-the-constructivist-mill

2

vitadiognibambinoall'apprendimentoditali funzioniaritmetiche. Iononvoglioassolutamentenegare ilvaloreintellettualediunacertaconoscenza,anzi,diunaapprofonditaconoscenza,deinumeri.Lungidame!Maora ci è permessodi determinarequesta conoscenza sudelle basi più selettive, coerenti e razionali.Possiamoliberarcidallatiranniadelleconsiderazionisuperficialiepragmatichechedettaronoinpassatolescelterelativeaquellochesidovevaapprendereeaqualeetàbisognavaapprenderlo.

Peraltrol'utilitàfusolounadelleragionistorichechesostennerolamatematicascolastica.Altrefuronodinaturamatetica.Per"matetico"intendol'insiemedeiprincipichegovernanol'apprendimento.Alcunedelleragionistorichedellamatematicascolasticavannorapportateaciòchesipoteva impararee insegnare inepocapreinformatica.Amioavviso,unfattorefondamentalechedeterminòqualepartedellamatematicadovesseentrareneiprogrammiscolastici fuquellodelleattivitàaccessibilinell'assettodelleclassi, con latecnologiarudimentaleconnessaall'usodicartaematita.Concartaematitaibambini,peresempio,riesconoadisegnaregrafici.Quindisidecisedifardisegnareaibambinimoltigrafici.Lostessoordinediconsiderazionihainfluenzatoilrilievodatoacertitipidigeometria.La"geometriaanalitica",peresempio,èdiventatanellamatematica scolastica sinonimo di equazioni rappresentate sotto forma di curve. Il risultato è che ognipersonaconunminimod'istruzionericordavagamenteche𝑦 = 𝑥$èl'equazionediunaparabola.Sebbenegranpartedeigenitorinonabbiacheunapallidaideadelperchéchiunquedovrebbesaperlo,siindignaseilorofigli lo ignorano.Ritengonoche,senzadubbio,cisiaunaragioneprofondaeoggettivaconosciutadacolorochesiintendonodellamateria.L'ironiaèchesiaappuntolaloromatofobiaatratteneremoltepersonedal tentare di esaminare attentamente quelle ragioni, abbandonandole così alla mercé dei sedicentispecialistidellamatematica.Pochissimepersonesospetterebberochelaragionediciòcheèinclusoononelprogrammascolasticodimatematicapossaessereundettagliocosìcrudamentetecnicocomel’esigenzadifacilitareildisegnoamatitadelleparabole.Èquestochedovrebbecambiareprofondamente;inunmondoriccodicomputerlagammadicostruzionimatematichefacilidarealizzaresaràimmensamenteampliata.

Un altro fattore intervenuto nella creazione della matematica scolastica è la tecnica per valutarel'apprendimento.Unalinguavivasiapprendeparlando;nonc'èbisognodiuninsegnantepervalutareognifrase.Unalinguamortaesige,invece,dall'insegnanteuncostantefeedback.Nellamatematicascolasticaèl'attivitàconosciutacome"esercizi"cherealizzaquestofeedback.Taliassurdieserciziettiripetitivinonhannocheunmerito:sonofacilidavalutare.Edèquellochehaassicuratolorounasolidaposizionealcentrodellamatematicascolastica.Inbreve,iosostengochelacreazionedellamatematicainquantodisciplinascolasticasiastatainfluenzatafortementedaciòchesiritenevadipoterinsegnarequandolamatematicaerainsegnatacomeunadisciplinamorta,conilsoloausilioditecnologierudimentaliepassivecostituiteda:bacchetteesabbia; gesso e lavagna; carta e matita. Il risultato è stato un insieme di contenuti privi di coerenzaintellettuale,cheviolaipiùelementariprincipimateticisucomevengafacilitatol'apprendimentodicertematerieeresoquasiimpossibilequellodialtre.

Difronteaquestaereditàscolastica,laformazionematematicapuòsceglieretraduetipidiapprocci.Ilprimo,più tradizionale, consiste nell'accettare la matematica scolastica come un'entità data e nel battersi perinsegnarlacosìcom'è.Alcunieducatorisiservonodeicomputerconquestoscopo.Perciò,paradossalmente,l'usopiùdiffusodelcomputernelladidatticaèquellodisomministrareaforzaagliallieviicontenutiindigestiereditati dai tempi preinformatici. Il secondo tipo di approccio è rappresentato dalla geometria dellaTartaruga,nellaquale il computerhaunuso totalmentedifferente. Il computervi èadoperato comeunmezzo d'espressione matematica, che rende liberi di ideare degli argomenti di matematica destinati aibambini e che sono caratterizzati da coerenza intellettuale, da un significato riferito alla personalità diciascunodiessiedaunagrandefacilitàd'apprendimento.Invecediporciilproblemapedagogicodi"comeinsegnare la matematica scolastica esistente", noi ci chiediamo come "ricreare la matematica", o piùgeneralmentecomericrearelaconoscenza,perrenderemenolaboriosoilsuoinsegnamento.

Ogni"elaborazionedelcurricolo"potrebbeesseredescrittacome"creazionediconoscenza".L'introduzionedellaNuovaMatematicaneiprogrammideglianniSessanta,peresempio,èstatountentativopercambiare

3

il contenutodellamatematicascolastica.Manonpotevaandare lontano.Si ritornòancoraaquei famosiesercizi,benchéfosseroresiunpocodifferenti.Ilfattochegliesercizifosseroapplicatiainsiemiinvecechea numeri, che ci si esercitasse in basedue e non in basedieci, non cambiava gran che. La riformadellamatematica,inoltre,nonlanciavaunasfidaallafantasiainventivadeimatematiciecosìnonsiprocuròmaiquellascintillacreativachesegnailprodottodiunnuovopensiero.Ilnomestessodi"NuovaMatematica"erasbagliato.C'erapocodinuovonelsuocontenutomatematico:lacosiddettamatematicamodernanonerailrisultatodiunprocessod'invenzionediunamatematicadestinataaibambini,madiunabanalizzazionedellamatematicadeimatematici.Ibambininecessitanoemeritanoqualcosadimegliodiunaselezionedipezzidellavecchiamatematica.Altrimenti,succedecomeperivecchiabitichepassanodaifratellimaggioriaiminori:nonsiadattanomaibene.

LageometriadellaTartaruga,findall'inizio,haavutoloscopodiadattarsiaibambini.Ilsuoprimariocriterioprogettualeerachesipotesse"farlapropria".Naturalmentedovevaavereunseriocontenutomatematico,manoivedremocheleduecosenonsonoincompatibili.Alcontrario,finiremoperrendercicontochepartedellaconoscenzapiùpersonaleèanchelapiùprofondamentematematica.Inmolticasilamatematica—peresempiodellospazio,delmovimento,deimodelliripetitivid'azione—èquantodipiùnaturaleperibambini.ÈinquestamatematicachenoiradichiamolageometriadellaTartaruga.Manmanoche,imieicolleghieio,lavoravamosuquesteideeuncertonumerodiprincipihastrutturatomeglioilconcettodiunamatematicache possa essere fatta propria. Il primo è il principio di continuità: lamatematica deve presentare unacontinuitàconleconoscenzepersonalibenconsolidatedacuipuòricevereunsensodicaloreeforzacomepure competenza "cognitiva". Il secondo è il principio di potenza: deve permettere a chi apprende diconcepireprogettipersonalicarichidisignificato,chenonavrebbemaipotutopensareprima.Ilterzo,infine,èilprincipiodirisonanzaculturale:lamateriadeveaveresensoinuncontestosocialepiùampio.HogiàdettochelageometriadellaTartarugadeveavereunsignificatoperibambini.Manonpuòaverneunosenonèaccettataanchedagliadulti.Unaveramatematicaper ibambini,chesiadegnadiquestonome,nonpuòesserequalcosachecipermettiamodiinfliggereloro,comeunasgradevolemedicina,senzavederealcunaragioneperprenderlanoistessi.

LageometriadellaTartarugaèunostiledigeometriadiversodaglialtri,comelostileassiomaticod'Euclideelo stileanaliticodiCartesioeranoanch'essidifferenti l'unodall'altro. Lo stiled'Euclideè logico;quellodiCartesioèalgebrico.LostiledellageometriadellaTartarugaècomputazionale.

Euclideelaboròlasuageometriapartendodauninsiemediconcettifondamentali,unodeiqualièilpunto.Unpuntopuòdefinirsicomeun'entitàchehaunaposizione,manonhanessun'altraproprietà:nonhacolore,nédimensione,néforma.Chiunquenonsiamaistatoiniziatoallamatematicaformale(sipotrebbedirechenonsiastatoancoramatematizzato),spessotrovaquestanozionedifficiledacapire,pernondirebizzarra.Èdifficilecorrelarlaconqualsiasialtracosachesiconosca.AnchelageometriadellaTartarugahaun'entitàfondamentale similealpuntod'Euclide.Maquest'entità che io chiamo"Tartaruga",puòesseremessa inrelazione con altre cose già note, perché contrariamente al puntodi Euclide essa non è così totalmentesprovvistadiproprietàeinvecediesserestaticaèdinamica.Oltreallasuaposizione,laTartarugapossiedeun'altraimportanteproprietà:haunadirezione.Unpuntoeuclideoèsituatoinunluogo,haunaposizione,equestoètuttoquellochesenepuòdire.UnaTartarugaèinqualcheluogo,anch'essahaunaposizione,mainpiùguardainunacertadirezione,haunorientamento.Inquestosenso,laTartarugaèparagonabileaunessereumano(iosonoquieguardoversonord)oaunanimaleoaunabarca.DaquestesimilitudiniderivalaspecialecapacitàdellaTartarugadiservirealbambinocomeprimoesempiotipicodimatematicaformale.IbambinipossonoidentificarsiconlaTartarugaericorrerequindiallaconoscenzachehannodellorocorpoedelsuomovimentonell'affrontarelageometriaformale.

Percomprenderecomeciòavviene,dobbiamoconoscereancoraun'altracosasulleTartarughe:essesonocapacidiricevereordiniespressiinlinguaggiodellatartaruga.IlcomandoAVANTIfamuoverelaTartarugainlinearettanelladirezioneversolaqualeèorientata.Perindicarleladistanzadapercorrere,AVANTIdeve

4

essereseguitodaunnumero:AVANTI1provocheràunpiccolospostamento,AVANTI100unopiùampio.Negli ambienti LOGO,molti bambini sono stati iniziati alla geometria della Tartaruga insegnando loro amanovrareunatartarugameccanica,untipodirobotciberneticocheeseguequesticomandiquando lisicomponesuunatastiera.Questa"Tartarugadapavimento"harotelle,unaformaacupola,eunapennacheconsenteditracciareunalineaquandosimuove.Malesueproprietàessenziali—posizione,orientamentoecapacità di obbedire a ordini in linguaggio della tartaruga— sono proprio quelle che servono per faregeometria. Il bambino incontrerà in seguitoqueste stesse treproprietà in un'altrapersonificazionedellaTartaruga:una"Tartarugadaschermo".Questasipresentasotto formadiunoggetto triangolaresuunoschermotelevisivo.Anch'essahaunaposizioneeunorientamento;anch'essasispostasecondogliordinidatiinLINGUAGGIOTARTARUGA.Ciascunadelletartarughehaisuoipuntiforti:quelladapavimentopuòessereusatacomeruspaoltrechecomestrumentoperdisegnare,quelladaschermodisegnadellelineedaicoloriluminosipiùinfrettadiquantol'occhiopossaseguirle.Nessunadelledueèmiglioredell'altra,mailfattochesianodueportaaun'ideapotente:dueentitàfisichedifferentipossonoesserematematicamenteidentiche(o"isomorfe")I.

GliordiniAVANTIeINDIETROfannomuoverelaTartarugainlinearettanelladirezionedelsuoorientamento:lasuaposizionecambia,ilsuoorientamentorestalostesso.Duealtriordinicambianol'orientamentosenzatoccarelaposizione:sonoDESTRAeSINISTRAchehannol'effettodifargiraresulpostolaTartaruga.Comeper AVANTI, il comando di rotazione deve essere seguito da un numero— unmessaggio in entrata—indicantediquantolaTartarugadevegirare.Unadultoriconosceràfacilmentequestinumericomelamisuraingradidell'angolodirotazione.Perlamaggiorpartedeibambiniquestinumeridevonoessereesplorati,ilchediventaeccitanteedivertente.

Sipuòottenereunquadratoconiseguenticomandi:

AVANTI100DESTRA90AVANTI100DESTRA90AVANTI100DESTRA90AVANTI100DESTRA90

Poiché apprendere a controllare la Tartaruga è come apprendere a parlare una lingua, questo eserciziostimolal'abilitàeilpiaceredelbambinonelparlare.Epoichéèanchecometrovarsiaunpostodicomando,stimola lasuaabilitàe ilpiacereneldareordini.PerfartracciareunquadratoallaTartarugadapprimalopercorreluistesso,descrivendol'operazioneinlinguaggioTartaruga.Così,lavorareconlaTartarugasollecitaanchel'abilitàeilgustodelbambinoperilmovimento.Cisiavvaledelleconoscenzegiàsolidamenteacquisitedalbambino in fattodi "geometria corporea", comepuntodipartenzaper farloentrarenella geometriaformale.

Leprimeesperienzeproposteaibambiniinunambiented'apprendimentoTartaruganonhannol'obiettivodifaracquisireregoleformalimadisvilupparelacomprensionedelmodoincuiessisimuovononellospazio.Questa comprensione è descritta in LINGUAGGIO TARTARUGA e perciò si traduce in "programmi" o"procedure"o"equazionidifferenziali"destinatiallaTartaruga.Vediamopiùdavicinocomeunbambino,cheha già appreso a farmuovere la Tartaruga in linea retta, per disegnare dei quadrati, dei triangoli e deirettangoli,possaimparareaprogrammarlapertracciareuncerchio.

Immaginiamo,dunque,questascenaacuihoassistitoalmenouncentinaiodivolte.Unbambinodomanda:"Comepossofarlefareuncerchio?".InunambienteLOGOl'insegnantenonforniscerisposteatalidomande,piuttostosuggeriscealbambinounmetodoperrisolverenonsoltantoquestoproblema,maaltridellostessotipo.Questometodoèsintetizzatonellafrase"giocaallaTartaruga;provaamettertialsuoposto".Ilbambinoèincoraggiatoaspostarsi,allostessomodoincuidevemuoversilaTartarugasulloschermo,perottenereiltracciatodesiderato.Perilbambinochevolevafareuncerchio,l'operazionesipuòdescriverecomesegue:

5

"Permuoversiincerchiosifaunpiccolopassoavanti,sigiraunpocoesicontinuacosì".Daquestadescrizioneaunprogrammaformale,c'èsolounpasso:

PERCERCHIORIPETI[AVANTI1DESTRA1]

Unaltrobambino,forsemenoespertoneirudimentidellaprogrammazione,onell'euristicadel"giocodellaTartaruga", potrebbe aver bisognod'aiuto.Ma l'aiutonon consisterà, ancorauna volta, nell'insegnare albambinocomeprogrammareuncerchio,bensìnelproporgliunmetodo,unaproceduraeuristica.Questometodo(cheincludeilconsigliosintetizzatodallafrase"giocaallaTartaruga")tendeastabilireunasolidaconnessionetral'attivitàpersonaleelacreazionediunsapereformale.

EpistemologiaeapprendimentoPresenteròunPiagetmoltodiversodaquellolamaggiorpartedellepersonesiaspettano.Nonsiparleràdistadi,nessunaenfasisuciòcheibambiniaunacertaetàpossonoononpossonoimparareafare.Piuttostoio sarò interessato a Piaget l'epistemologo, come le sue idee hanno contribuito alla teoria cognitivadell'apprendimentochehodescritto,unateoriachenondivorzialostudiodicomesiapprendelamatematicadallostudiodellamatematicastessa.

CredochequestiaspettiepistemologicidelpensierodiPiagetsianostatisottovalutatiperché,finora,noncihanno offerto alcuna possibilità di azione nel mondo dell’educazione tradizionale. Ma in un ambienteeducativoriccodicomputer,l'ambienteeducativodelprossimodecennio,questononsaràilcaso.IlPiagetdellateoriadeglistadièessenzialmenteconservatore,quasireazionario,nelsottolineareciòcheibambininon possono fare. Iomi sforzo di scoprire un Piaget più rivoluzionario, uno le cui idee epistemologichepotrebberoespandereilimiticonosciutidellamenteumana.Pertuttiquestianninonsièpotutofarlopermancanza dimezzi di attuazione,ma ora il computer comincia amettere a disposizione una tecnologiamatetica.

Piagetsièdescrittocomeunepistemologo.Checosavuoldireconquesto?Quandoparladelbambinoinviadisviluppo,stainrealtàparlandoaltrettantodellosviluppodellaconoscenza.Questaaffermazioneciportaauncontrastotra l'approccioepistemologicoequellopsicologicoallacomprensionedell'apprendimento.Nellaprospettivapsicologica,ilfocusèsulleleggichegovernanolostudentepiuttostochesuciòchevieneappreso.Icomportamentististudianoiprogrammidirinforzo,iteoricidellamotivazionelespinte,quellidellaGestaltstudianolabuonaforma.PerPiagetèunerroreseparareilprocessodiapprendimentodaciòchevieneappreso.Percapirecomeunbambinoimparailnumero,dobbiamostudiareilnumero.Edobbiamostudiarloinunmodoparticolare:dobbiamostudiarelastrutturadelnumero,unserioimpegnomatematico.Questo è il motivo per cui non è affatto raro trovare in uno stesso paragrafo di Piaget riferimento alcomportamentodeibambinipiccolieallepreoccupazionideimatematiciteorici.Perrenderepiùconcretal'ideadi studiare l'apprendimento concentrandosi sulla struttura di ciò che si apprende, guardiamoa unpezzomoltoconcretodiapprendimentopresodallavitaditutti igiorni.Questociaiuteràavederecomeappaiadiversodalpuntodivistapsicologicoedaquelloepistemologico.

Prenderemoinconsiderazioneimparareadandareinbicicletta.Inmancanzadiulterioriinformazioniandarein bicicletta sembrerebbe essere una cosa davvero notevole. Che cosa lo rende possibile? Si potrebbeproseguiresuquestaquestionestudiandoilpilotaperscoprirequaliattributispeciali(velocitàdireazione,complessitàdifunzionamentodelcervello, intensitàdimotivazione)contribuisconoallasuaperformance.Questaindagine,anchesepotrebbeessereinteressante,èirrilevanteperlaverasoluzionedelproblema.Lepersone possono andare in bicicletta perché questa, una volta in moto, è intrinsecamente stabile. Unabicicletta senza pilota spinta lungo una discesa ripida non cade, ma continuerà la sua corsa a tempoindeterminatogiùperlacollina.Lacostruzionegeometricadellaforcellaanterioreassicurachequandolabicicletta si inclina verso sinistra la ruota ruoterà verso sinistra e la bicicletta girerà creando una forzacentrifugachespingelabiciclettaadestra,contrastandolatendenzaacadere.Labiciclettasenzaunpilota

6

si equilibra perfettamente. Con un pilota novizio, però, cadrà. Questo perché il novizio ha le intuizionisbagliatecircailbilanciamentoebloccalaposizionedellabiciclettainmodocheilsuomeccanismocorrettivononpossa lavorare liberamente.Così imparareadandare inbiciclettanonsignifica imparareabilanciare,significaimparareanonsbilanciare,imparareanoninterferire.

Quellocheabbiamo fattoquièanalizzareunprocessodiapprendimentoattraverso l'acquisizionediunaconoscenzapiùapprofonditadiciòcheèstatoappreso.Iprincipipsicologicinonavevanonullaachefareconesso.Allostessomodoincuiabbiamocapitocomelagentevainbiciclettastudiandolabicicletta,Piagetcihainsegnatochedobbiamocapirecomeibambiniimparanoilnumeroattraversounacomprensionepiùprofondadiciòcheilnumeroè.

Imatematici interessatiallanaturadelnumerohannoesaminato ilproblemadadiversipuntidivista.Unapproccio,associatoconiformalisti,cercadicapireilnumerodefinendoassiomiingradodicatturarlo.Unsecondoapproccio,associatoaBertrandRussell,cercadidefinireilnumeroriducendoloaqualcosadipiùfondamentale,peresempio,lalogicaelateoriadegliinsiemi.Sebbeneentrambiquestiapproccisianovalidie importanti capitoli della storia dellamatematica, non fanno luce sulla questione del perché il numeros'impari.Mac'èunascuoladimatematicachelofa,anchesequestononerailsuoobiettivo.QuestaèlostrutturalismodellascuoladiBourbaki.Bourbakièunopseudonimoadottatodaungruppodimatematicifrancesichehannodecisodiarticolareunateoriauniformeperlamatematica.Lamatematicadovevaessereuna,nonuninsiemedisottodisciplineognunaconilpropriolinguaggioelasualineadisviluppo.Ilgrupposimosseinquestadirezionericonoscendounaseriediblocchicostitutivichehachiamato"strutturemadri".Questestrutturehannoqualcosaincomuneconlanostraideadimicromondi.Immaginateunmicromondoincuilecosepossonoessereordinatemanonhannoaltreproprietà.Laconoscenzadicomeorganizzareilmondo,nel linguaggiodellascuolabourbakistaè lastrutturamadredell'ordine.Unsecondomicromondoconsenterapportidiprossimità,equestaèlastrutturamadredellatopologia.Unterzohaachefareconlacombinazionedientiperlaproduzionedinuoveentità,questaèlamicrostrutturaalgebrica.L'unificazionedellamatematica,propostadallascuolabourbakista,siottieneconsiderandostrutturepiùcomplesse,peresempiol'aritmetica,comecombinazionidistrutturepiùsemplici,dicuilepiùimportantisonoletrestrutturemadri.Questascuolanonavevaalcunaintenzionedifareunateoriadell'apprendimento.Essiconsideravanola loro analisi strutturale come uno strumento tecnico per i matematici da utilizzare nel loro lavoroquotidiano.Malateoriadellestrutturemadrièunateoriadell'apprendimento.Sitrattadiunateoriadicomeilnumerosiaapprendibile.Mostrandocomelastrutturadell'aritmeticapossaesserescompostainstrutturepiùsemplici,macomunquesignificativeecoerenti,imatematicistannomostrandounpercorsomateticoallaconoscenzanumerica.NonèsorprendentechePiaget,allaricercadiunateoriadinumerochespiegasseilsuosvilupponeibambini,abbiasviluppatounaserieparalleladicostruttisimili,epoi,unavolta"scoperta"lascuolabourbakistasiastatoingradodiutilizzarneicostruttiperelaborarelapropria.

Piagethaosservatoche ibambini sviluppanostrutture intellettuali coerenti chesembranocorrisponderemoltodavicinoallestrutturemadridiBourbaki.Adesempio,consideriamolastrutturamadredell'ordine,fin dall'infanzia, i bambini iniziano a sviluppare competenze nell'ordinare le cose. Le strutture madritopologica e algebrica hanno precursori simili nello sviluppo cognitivo. Che cosa le rende apprendibili?Innanzitutto, ognuna rappresenta un'attività coerente nella vita del bambino che potrebbe, in linea diprincipio,essereappresaecapitaindipendentementedallealtre.

Insecondoluogo,lastrutturadellaconoscenzadiciascunohaunasortadisemplicitàinternachePiagethaelaboratonellasuateoriadei"groupements",echesaràdiscussainterminileggermentediversiinseguito.Terzo, sebbene queste strutture madri siano indipendenti, il fatto che sono apprese in parallelo e checondividonoun formalismocomune sono indizi che sonodimutuo soccorso; l'apprendimentodiognunafacilital'apprendimentodellealtre.

7

Piagethautilizzatoquesteideeperrenderecontodellosviluppodiunavarietàdidominidiconoscenzainterminidiuncoerenteinsiemedistrutture,comeprocessiall'internodellamentedelbambino.Eglidescrivequestestruttureinternecomesempreininterazioneconilmondoesterno,malasuaenfasiteoricaèstatasugli eventi interni. La mia prospettiva è più interventista. I miei obiettivi sono educativi, non solo laconoscenza. Così, nel mio pensiero ho posto una maggiore enfasi su due dimensioni implicite ma nonelaboratenellavorodiPiaget:uninteressenellestruttureintellettualichepotrebberosvilupparsirispettoaquelleaquellecheeffettivamentealmomentosisviluppanonelbambino,elaprogettazionediambientidiapprendimentochesianorisonanticonesse.

La tartaruga può essere utilizzata per illustrare entrambi questi interessi: primo, l'identificazione di unpotenteinsiemediideematematichechenonpresumiamoessererappresentate,almenononinunaformasviluppata,neibambini; in secondo luogo, la creazionediunoggetto transizionale, la tartaruga, chepuòesisterenell'ambientedelbambinoemetterloincontattoconleidee.Comematematico,socheunadelleideepiùpotentinellastoriadellascienzaèstataquelladell'analisidifferenziale.DaNewtoninpoi,ilrapportotralocaleeglobalehaimpostatol'agendaperlamatematica.Eppurequestaideanonhaavutospazionelmondodeibambini,ingranparteperchétradizionalmentel'accessoaessadipendedaunainfrastrutturadiformazionematematicaformale.Perlamaggiorpartedellepersone,nonc'ènulladipiùnaturaledelfattocheleideepiùavanzatenelcampodellamatematicasianoinaccessibiliaibambini.Invece,dalpuntodivistachehoappresodaPiaget,ciaspetteremmoditrovaredelleconnessioni.Cosìabbiamodecisodicercarle.Matrovare connessioni non significa semplicemente inventare un nuovo tipo intelligente di pedagogiamotivante. Significa un programma di ricerca che ha incluso separare ciò che era potente nell'idea didifferenziale dagli accidenti di formalismi inaccessibili. L'obiettivo è quindi di collegare queste strutturescientificamentefondamentaliconquellepsicologicamentepotenti.EnaturalmentequestesonleideeallabasedelcerchioconlaTartaruga,deimicromondidellafisicaedellatartarugadotatadisensoridicontatto.

Inchesensol'ambientenaturaleèfontedimicromondi,anzidiunaretedimicromondi?Restringiamol'interoambientenaturaleaquellecoseinessochepossonoservirecomefonteperunmicromondospecifico,unmicromondodi accoppiamenti,di corrispondenzeunoauno.Moltodi ciò che ibambini vedonoarrivaacoppie:madriepadri,coltellieforchette,uovaeportauova.Anchealorosichiedediesserecostruttoriattividicoppie.Sonoinvitatiaordinareicalzini,apparecchiarelatavolaconunpostoperognipersonaedistribuirecaramelle.Quandoibambinifocalizzanol'attenzionesullecoppiesitrovanoinunmicromondoautocostruito,unmicromondo di coppie, nello stesso senso in cui abbiamomesso i nostri studenti neimicromondi digeometriaefisicadellaTartaruga.Inentrambiicasiilmicromondoèspogliatodicomplessità,èsemplice,afferrabile.Inentrambiicasialbambinoèpermessodigiocareliberamenteconisuoielementi.Anchesecisonovincolisuimateriali,noncisonovincolidiesplorazionedellecombinazioni.Inentrambiicasilapotenzadell'ambienteènell'esserericcodiscoperte.Lavorareconicomputerpuòrenderepiùevidentecheibambinicostruisconoiproprimicromondipersonali.

HodettochePiagetèunepistemologo,manonhoelaboratodichetipo.L'epistemologiaèlateoriadellaconoscenza.Iltermineepistemologiapotrebbe,secondolasuaetimologia,essereutilizzatopercopriretutteleconoscenzesullaconoscenza,matradizionalmenteèstatoutilizzatoinmodopiuttostospeciale,cioèperdescriverelostudiodellecondizionidivaliditàdellaconoscenza.L'epistemologiadiPiagetnonriguardalavalidità della conoscenza, ma la sua origine e crescita. Egli si occupa della genesi ed evoluzione delleconoscenze, e segna questo fatto descrivendo il suo campo di studio come "epistemologia genetica".L'epistemologia tradizionale è stata spesso considerata come una branca della filosofia. L'epistemologiageneticalavoraperaffermarsicomescienza.Isuoistudiosiraccolgonodatiesviluppanoteoriesucomesièsviluppata la conoscenza; a volte concentrandosi sull'evoluzione delle conoscenze nella storia, a voltesull'evoluzionedelleconoscenzenell'individuo.Manonvedonoiduedominicomedistinti.Sicercadicapirelerelazionitradiloro.Questerelazionipossonoassumereformediverse.

8

Nelcasopiùsemplicelosviluppoindividualeèparalleloallosviluppostorico,ricordandoildettodeibiologiche l'ontogenesi ricapitola la filogenesi. Per esempio, i bambini rappresentano uniformemente ilmondofisicoinmodoaristotelico;pensanocheleforzeagisconosullaposizionepiuttostochesullavelocità.Inaltricasi,ilrapportoèpiùcomplesso,finoalpuntodiunainversione.Struttureintellettualicheappaionoprestonello sviluppo di un bambino a volte sono caratteristiche non degli inizi della scienza,ma di quella piùmoderna.Così,peresempio,lastrutturamadretopologicaapparemoltoprestonellosviluppodelbambino,ma la topologia come settore della matematica si è sviluppata solo in tempi moderni. Solo quando lamatematicadiventasufficientementeavanzataèingradodiscoprireleproprieorigini.

Nellaprimapartedelventesimosecolo, la logicaformaleèstatavistacomesinonimodifondazionedellamatematica.MasoloquandoèarrivatalateoriastrutturalistadiBourbakisivedeunosviluppointernoallamatematica che ha aperto il campo fino a ricordare le sue radici genetiche. Attraverso l'operadell'epistemologiagenetica,questoricordaremetteinrelazione, ilpiùvicinopossibile, lamatematicaallosviluppodellaricercasucomeibambinicostruisconolalororealtà.

L'epistemologiageneticaproponeunaseriediomologietralestrutturedellaconoscenzaelestrutturedellamente che vengono in essere per cogliere questa conoscenza. Le strutturemadri di Bourbaki non sonosemplicementeglielementichesottendonoilconcettodinumero;alcontrarioomologiesiritrovanonellamente mentre questa costruisce per sé il numero. Quindi, l'importanza di studiare la struttura dellaconoscenzanonèsolopercapiremegliolaconoscenzastessa,mapercapirelapersona.

Laricercasullastrutturadiquestoprocessodialetticositraducenellaconvinzionechenélapersonanélaconoscenza, inclusa lamatematica,puòesserepienamentecompresa l’unaseparatamentedall'altra.UnaconvinzionecheèstataeloquentementeespressadaWarrenMcCulloch,che, insiemeaNorbertWiener,dovrebbe avere credito come fondatore della cibernetica. Da giovane, quando gli è stato chiesto qualedomandaavrebbeguidatolasuavitascientifica,McCullochrispose:"Cosarendel'uomocapacedicapireilnumeroecosarendeilnumeroqualcosacheunuomopuòcapire?"

PerMcCulloch comeperPiaget, lo studiodellepersonee lo studiodi ciò che imparanoepensano sonoinseparabili.

IlcomputerenuovestrutturemadriAlSimposiodellaSocietàPiagetdel1985sonostatotoccatoecolpitodalfattodiessereintrodotto,noncomeilpapàdelLOGO,macomeilpapàdellatartarugaperché latartarugaèdigran lungapiù importantedelLOGO.Colsennodipoi,latartarugasussumeunastrutturamadrecheèstataaltrettantoimportanteperlosviluppostoricodellamatematica,quantolestrutturemadriindividuatedaPiaget.QuestastrutturamadredellatartarugaèlageometriadifferenzialecheècentraleperlacostruzionedellafisicamatematicadaitempidiNewtonfinoaoggi.

Questastrutturasivedenelmodopiùchiaroquandosiriflettesulmotodiunaparticella.Questomovimentopuò essere rappresentato da un vettore differenziale che ha posizione, grandezza e direzione. Così latartaruga può essere pensata come una struttura madre per il moto di una particella. La tartaruga èlogicamente più semplice: il suo stato ha posizione e direzione,ma non hamagnitudine. Quindi questa"strutturatartaruga"hauntrattofamiliareamoltedellecosechePiagethaaffrontato,anchesenonrientrainmodopulitoinunaqualsiasidellesuestrutture.

Perchélatartarugaèunastrutturamadrecosìimportante?Primaditutto,utilizzandoterminologiamoltocaraaPiaget,misonoentusiasmatoehocominciatoapensarechefosseunastrutturamadrequandohainiziatoaemergeredall'incrociodiduelinee.Piùepiùvolte,Piagetcihadettodicercarel'intersezionetralosviluppo storico della scienza—ciò che è stato epistemologicamente importante per lo sviluppo di ogniscienzadellaconoscenza—elapsicogenesidelbambino.

9

Latartarugacatturaquellaintersezioneperchéèunconcettomatematicochepuòessereantropomorfizzato.IlpuntodiEuclidehaunaposizione,manonhaaltreproprietà.Quandoquestadefinizioneè insegnataascuola, di solito evoca una risata o un sorriso di imbarazzo, perché non la si comprende. Che cosa puòsignificare?Unpuntohaunaposizione,manonhaunagrandezzaouncolore?Questoèl'unicoesempiocheavetemaiavutodiunoggettoformaleconproprietàmoltoridotte,equindinonsignificamolto.Quandoqualcosahadueproprietà,hapiùsenso.Unatartaruganehasolodue:laposizioneeladirezione—nellasuadefinizionematematica,questoèciòcheunatartarugaè.Èsimilenonacosebiologiche,maalconcettoeuclideodipunto.

Tuttavia la tartaruga è diversa dal punto, in particolare in duemodi che appartengono alle due linee disviluppo intersecanti di cui ho accennato in precedenza. Dal punto di vista della scienza, il punto non èdavveroilmodopiùnaturaledifaregeometria.DaGalileoinpoi,esoprattuttonellemanidiNewtoneintutto losvilupposuccessivodellafisicamatematica,siamoarrivatiacapirechel'elementonaturaleper lageometriaèilvettoredifferenziale,unaentitàtangenteallacurva,chehasiaposizionechedirezione.Cosìlatartaruga davvero cattura un elemento epistemologicamente chiave nell'evoluzione della scienzamatematica.inparticolaredellafisicamatematicamanondimenoperl’economiamatematica.

Vistadall'altradirezionedisviluppo,dandoalpuntodiEuclideancheunadirezione,latartarugaguadagnainantropomorfizzabilità.Noncisipuòdavveroidentificareconunpunto,perchéèmoltodifficileimmaginarediavereunaposizioneenient'altro.Maavendounaposizioneeguardandodaqualcheparte,unadirezioneversocuicamminare,latartarugadiventaqualcosaconcuièmoltopiùfacileidentificarsi.Cosìlatartarugahaunadimensionepsicologicaeunamatematica. Il fattochequesteduedimensionisi intersechinonellatartarugamifapensarechesiaunabuonacosa.Sitoccaqualcosadiimportanteepotente.

Si può parlare di antropomorfizzabilità in altri modi piagetiani. Questa affinità tra te e questa entitàmatematicapermettediassimilarelasituazionematematicaperglischemidiconoscenzapersonale.Senzaun tale collegamentoalla conoscenzapersonale, questamatematica sarebbealtrimenti astratta.Ma conquestopontetralamatematicaeiproprischemidiazionedelcorpo,esperienzesenso-motorie,el'immaginedisé,lamatematicadiventatangibile,realeeconcretacomeletortedifango.Credochel'introduzionediquestatartarugadàunnuovoaspettoenuovapercezionediuntemafondamentalediPiaget.

Perchélapresenzadelcomputerècosì importanteperquestastrutturamadre?Ebbene,latartarugapuòessereintrodottasenzacomputer,madubitochelasipossaintrodurresenzacomputeraibambini.Leduecose insieme, la tartaruga e il computer, diventano qualcosa di molto accessibile ai bambini. Possonoprenderlaefarneciòchevogliono.Nonc'èbisognodidire lorodiantropomorfizzarla.Nonc’ènemmenobisogno di chiamarla tartaruga, che suggerisce una sorta di antropomorfizzabilità. I bambiniantropomorfizzanoquestacosadeltuttospontaneamente.

Quindisiamodifronteaunnuovotipodistrutturaediprocessodiassimilazione-accomodamento.Forseseavessimo il gustodiPiagetperdarealle strutture i loro "nomimatematici veri," ci piacerebbe chiamarlavettoredifferenziale.Andrebbefiancoa fiancocon lestrutturediordine, topologiaealgebra.Piagetnonaveva riconosciuto questa nuova struttura perché era in una diversa tradizionematematica.Quindi nonpotevavederelastrutturavettoredifferenzialecomesufficientementedistinta,oinunaformacheèapparsanelleattivitàe iprocessidipensierodeibambini.Lanaturaattivadelcomputercipermettedi introdurreoggetticomelatartarugachesonopiùdinamicieantropomorfizzabilidiquellicheesistevanoprima

10

IPoichéquestolibroèscrittoperlettorichepotrebberoaverepocheconoscenzematematiche,riferimentispecificiaquesteconoscenzesonoridottialminimo,perquantopossibile.Leconsiderazionicheseguonoservono a contestualizzare la discussione per lettori competenti inmatematica. L’isomorfismodi sistemi“Tartaruga”differenti è unodeimolti esempi di ideematematiche “avanzate” chenella geometria dellaTartaruga si incontrano in forme concrete e utili. Tra queste, i concetti di calcolo infinitesimale sonoparticolarmenteimportanti.

Esempio1:IntegrazioneLageometriadellaTartarugaaprelastradaalconcettodiintegraledilineaattraversolefrequentioccasioni in cui laTartarugadeve integrarequalchequantitàmentre simuove.Di solito laprimacircostanza incui ibambinisi imbattonocomparecon lanecessitàdi teneretracciadiquantosiaruotataodiquantosisiamossalaTartaruga.Un'eccellenteprogettoèquellodisimulareitropismicheinduconoglianimaliacercarecondizioniqualicalore,luce,concentrazionedicibo,rappresentatecome un campo nella forma di una funzione numerica della posizione. È naturale pensare diconfrontareduealgoritmiintegrandolaquantitàdelcampolungoilpercorsodellaTartaruga.Unaversionesemplicesipuòottenereinserendonelprogrammal’istruzione:

CHIAMA(:TOTALE+CAMPO)“TOTALE

Questa istruzioneusa il valorecorrentedellavariabilechiamata“TOTALE” lo sommaaquellodel“CAMPOechiamailrisultato“TOTALE.Questaversione,però,haun“bug”chesimanifestaquandoi segmenti percorsi dalla Tartaruga sono troppo lunghi oppure di lunghezza variabile. Quando siincontrano questi problemi, l’attività di “debugging” permette allo studente di percorrere unasignificativaprogressioneversounconcettopiùsofisticatodiintegrale.Laprecoceintroduzionediunaversionesemplificatadell'integrazionelungounpercorsoillustra ilrovesciamento di quello che sembrerebbe l'ordine pedagogico “naturale”. Nel curriculumtradizionale,l'integraledilineaèunargomentoavanzatoalqualeglistudentiarrivanodopoesserestati indotti per vari anni a interpretare l'integrale come l'area sottouna curva, un concetto chesembrapiùconcretonelmondomatematicodellatecnologiadicartaematita.Ilrisultato,però,èquello di sviluppare una visione fuorviante dell'integrale che causa inmolti studenti un senso dismarrimentoquandoincontranointegraliperiqualil'interpretazionecomeareasottounacurvaèdecisamenteinappropriata.

Esempio2:EquazioneDifferenzialeAlcuni bambini, oltre all'uso della tartaruga come strumento di disegno, imparano a usare i suoisensori tattili così le insegnano a cercare o evitare oggetti. Investigare come la tartaruga possacircumnavigareunoggettoèunprogettomoltoistruttivo.Ungruppodistudentipotrebbecostruirequesto programma calandosi nei panni della tartaruga. Cioè provando a usare il tatto percircumnavigareunoggetto,perpoitradurrelestrategiemesseinattoincomandiperlatartaruga.Quellochesegue,èunprogrammacheusailsensoreditattoperseguireilcontornodiunoggetto:

PERSEGUI.CONTORNORIPETIAVANTI1CONTROLLA.TATTO.SINISTRO Controllasetoccaqualcosasullatosinistro.SEVERODESTRA1 Sepensadiesseretroppovicina,siallontana.SEFALSOSINISTRA1 Sestaperdendoilcontattosigiraversol’oggetto.FINE

In questo programma la Tartaruga usa un metodo che colpisce i bambini come estremamentepotente.Untipicoprimoapproccioallacostruzionediunprogrammachefacciacircumnavigareunoggettoallatartarugaèdimisurarloeinserirneledimensioninelprogramma.Quindisel’oggettoè

11

unquadratodilato150passidiTartaruga,ilprogrammaconterràl’istruzioneAVANTI150.Anchesefunzionasse(ingenerenonva)questoapprocciomancadigeneralità.QuestocodicefacircumnavigarelaTartarugaintornoaunoggettodiqualsivogliaforma,unavoltacheessasitroviconilsuolatosinistroacontattodell'oggetto(echel'oggettoeleirregolaritàdelsuocontorno siano grandi rispetto alla Tartaruga). Il programma precedente, invece, lavora facendopiccoli passi che dipendono solo da condizioni nelle immediate vicinanze della Tartaruga. Invecedell'operazione“globale”AVANTI150usasolooperazioni“locali”comeAVANTI1.Cosìfacendolatartaruga intercetta un concetto fondamentale della nozionedi equazionedifferenziale.Ho vistobambinidellascuolaprimariacapireperfettamenteperchéleequazionidifferenzialisonolaformanaturaledelleleggidelmoto.Quivediamounaltroesempioeclatantediinversionepedagogica:lapotenzadelleequazionidifferenzialiècompresaprimadelformalismodell'analisimatematica.Moltodiquello cheènoto sulla versionedellaTartarugadi ideematematicheè raccoltonel librodiH.Abelson e A. diSessa Turtle Geometry: Computation as a Medium for Exploring Mathematics(Cambridge:MITPress,1981).

Esempio3:InvariantiTopologicheSupponiamo che la Tartaruga giri intorno aunoggetto sommando via via gli angoli di rotazione,contandopositivamentelerotazioniadestraenegativamentequelleasinistra.Ilrisultatofinalesaràsempreparia360°indipendentementedallaformadell'oggetto.VedremochequestoTeoremadelGiroTotaledellaTartarugaètantoutilequantobello.

N.d.T.IprogrammichePapertpresentainMindstormsfannoriferimentoaversionidiLogosviluppateneglianni 70 nel laboratorio di IntelligenzaArtificiale delMIT.Quando il Logo è stato implementatonei primipersonalcomputerallafinedeglianni70èstatonecessariofaredeicompromessi.Ancheleversionidelrobottartaruga commercializzate eranomeno potenti di quelle sperimentate da Papert. Questo rende difficileripeteregli esperimenti descritti inMindstorms.Una letturadel librodi Papertprivatadellapossibilitàdimisurarsi con gli strumenti proposti rischia di lasciare al lettore un’idea vaga e poco concreta delle ideedell’autore.IllinguaggioLogohacontinuatoaevolvere;unasuaversionemodernaèScratch,realizzatadalgruppo di ricerca fondato da Papert alMedia Lab e ora diretto daMitch Resnick. Con Scratch possiamosimulare,sulloschermodiuncomputer,unrobotdotatodisensoridicontattoe ricostruire ilprogrammaSEGUI.CONTORNO.SeaveteuncomputercollegatoaInternetpotreteeseguire,ispezionareemodificarelaversioneScratchcliccandosuquestolink:http://scratch.mit.edu/projects/28302588/