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Il metodo degli Stati Limite

Giorgio MontiOrdinario di Tecnica delle Costruzioni

Università di Roma La Sapienza

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite2/217

Contenuti

n Fondamenti teoricin Base probabilistica

n Progetto agli Stati Limite Ultimin Flessione semplice e compostan Taglio

n Gli Stati Limite di Esercizio


Obiettivo della progettazione

n Conseguire una protezione adeguata nei confronti di due condizioni limiten Uno stato di danno strutturale accentuato

che prelude al collasson si preferisce che la struttura subisca

deformazioni anelastiche

n Uno stato di danno agli elementi non strutturalin si richiede che la struttura rimanga elastica


Strumenti

n L’utilizzo di metodi di analisi lineare o non lineare, statica o dinamica, nella progettazione

n L’utilizzo della gerarchia delle resistenze nella concezione strutturale

n L’utilizzo del metodo degli Stati Limite nella verifica



n Il problema fondamentale dell’affidabilità strutturale. L’equazione di sicurezza.

n Aleatorietà delle grandezzen L’approccio semiprobabilisticon Valori caratteristici e valori di progetton I coefficienti parziali di sicurezza.



n Principali caratteristichen Si basa sul concetto di aleatorietà delle

grandezze (azioni, resistenze)n Si considerano vari aspetti del

comportamento (esercizio, collasso) nei confronti dei quali si differenzia il livello di rischio.


Il metodo SPSL

n Definizionin Stato limite

n La struttura o una sua parte non può più svolgere le funzioni per cui è stata progettata

n Stato limite ultimon Si verificano il collasso della struttura e la

possibilità di perdita di vite umane

n Stati limite di esercizio (analogo a TA)n Si verifica la perdita di funzionalità della

struttura in relazione alle esigenze di impiego


Il problema fondamentale

n Si studia la relazione fra due grandezzen S : Azione , Domanda

n R : Resistenza , Capacità

S

R



n Ad esempion S : momento flettente MS(Q)

n R : momento resistente MR

Q

R



n Ad esempion S : tensione σ dovuta a MS(Q)

n R : tensione limite σadm

Q

R



n Deve risultareR � S

n Si ha sicurezzasicurezza se, R – S � 0

n Si ha collassocollasso seR – S < 0

n Graficamente …


R = S


S

R

R – S > 0

R – S < 0

S = 5

R = 10

S = 10

R = 5

sicurezzasicurezza

collassocollasso


Aleatorietà

n In realtà R è aleatoriaaleatorian Caratterizzata (se normale) da

una densità di probabilitàfR(r)

funzione di due parametri:n media: µR

n dispersione: σRr

fR(r)

µR

σR


Aleatorietà

n In realtà S è aleatoriaaleatorian Caratterizzata (se normale) da

una densità di probabilitàfS(s)

funzione di due parametri:n media: µS

n dispersione: σSs

fS(s)

µS

σS


Aleatorietà

n Derivano dalle incertezze relative:n alle resistenze dei materiali impiegati rispetto

ai valori assunti dal progettistan all'intensità delle azioni dirette, indirette e di

natura chimico-fisica ed alla probabilità della loro coesistenza

n alla geometria della costruzionen alla divergenza tra gli effetti realmente indotti

dai carichi e quelli calcolati.


Probabilità di collasso

s

r

R = S

sicurezzasicurezza

collassocollasso

I diversi eventi hanno diversa probabilità di occorrenza:

fR(r) fS(s) dr ds

Qual è la probabilità che ci

sia collasso?

bassa

bassa

alta


Probabilità di collasso

n E’ data da:

sicurezzasicurezza

collasso collasso

( )( ) ( )∫

<−

=

=<−=

0

0Pr

SRSR

f

dsdrsfrf

SRp


Nel caso di v.a. normali …

n … la pf si calcola semplicemente come:

n Si noti che:n Se σR e σS diminuiscono, pf diminuisce

n Se (µR – µS) aumenta, pf diminuisce

( )

σ+σ

µ−µ−Φ=<−=

220Pr

SR

SRf SRp


Esempio

n Trave appoggiata con carico concentrato

§§ Carico:Carico:

§§ Capacità:Capacità:

( )kN 1 , kN 3 =σ=µ= QQNQ

( )kNm 5.1 , kNm 10 =σ=µ= RRNR

5.0 m

Q

R


Esempio

n Il momento agente è: S = Q L/4n E’ anch’esso una v.a. con

n Media: µS = µQ L/4 = 3.75

n Dispersione: σS = σQ L/4 = 1.25

n La probabilità di collasso è:

4

22221085.6

25.15.1

75.310 −⋅=

+

−−Φ=

σ+σ

µ−µ−Φ=

SR

SRfp


Esempio

n La probabilità di collasso pf trovata andrebbe confrontata con un valore ritenuto accettabile, pf,amm

n Questo metodo, detto di Livello 2, è adatto per strutture di una certa rilevanza

n Un metodo che tenga conto delle aleatorietà in modo più semplice …


Un approccio semiprobabilistico

s

rsicurezzasicurezza

collassocollasso

Si cerca una coppia di valori:Rd ed Sd

per cui se si ha:Rd > Sdallora:

pf < pf,amm

Sd

Rd

R = S

grande


Un approccio semiprobabilistico

s

r

R = S

sicurezzasicurezza

collassocollasso

Si cerca una coppia di valori:Rd ed Sd

per cui se si ha:Rd > Sdallora:

pf < pf,amm

Sd

Rd piccola


I valori di calcolo

n I valori di calcolo Rd ed Sd consentono di trasformare un problema aleatorio:

Pr[R � S] � pf,amm

in uno deterministico:

Rd � Sd

n Cioè: se Rd � Sd à pf� pf,amm


I valori di calcolo

n I valori di calcolo Rd ed Sd vengono espressi in funzione dei valori caratteristici Rk ed Sk

n I valori caratteristici Rk ed Sk sono i frattili di ordine 0,05 e 0,95 delle distribuzioni di R ed S

n I rapporti γR = Rk/Rd e γS = Sd/Sk sono detti coefficienti di sicurezza


Rd, Rk e γR

n Il valore caratteristico è: Rk = µR – 1.64 σR

n Pr[R<Rk] = 0,05n Il valore di calcolo è:

Rd = Rk / γR

n γR si ottiene da studi di calibrazione

r

fR(r)

µR

σR

Rk

Rd


Sd, Sk e γS

s

fS(s)

µS

σS

Sk

Sd

n Il valore caratteristico è: Sk = µS + 1.64 σS

n Pr[S<Sk] = 0,95n Il valore di calcolo è:

Sd = Sk · γS

n γS si ottiene da studi di calibrazione


L’equazione di sicurezza

n E’ dunque:

Rk / γR � Sk · γS

n Nella forma più generale si ha:

R(fk / γm) � S(Fk · γf)


Esempio

n Trave appoggiata con carico concentrato

§§ Carico:Carico:

§§ Capacità:Capacità:

( )kN 1 , kN 3 =σ=µ= QQNQ

( )kNm 5.1 , kNm 10 =σ=µ= RRNR

5.0 m

Q

R


Esempio

n I valori caratteristici di S ed R sono:

n Sk = µS + 1.64 σS = 3.75 + 1.64·1.25 = 5.8 kNm

n Rk = µR – 1.64 σR = 10 – 1.64·1.5 = 7.5 kNm

n Si ha dunque:

7.5 / γR � 5.8 · γSn Che sarebbe verificata per, ad es.: γR = 1.10 e γS = 1.17

n Questo assicurerebbe una pf = 6.85·10-4


Il quadro normativon D.M. LL.PP. del 09/01/1996

n Norme tecniche per il calcolo, l'esecuzione ed il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche

n Circolare M. LL.PP. del 15/10/96, n. 252n Istruzioni per l'applicazione del DM 09/01/1996

n D.M. LL.PP. del 16/01/1996n Norme tecniche relative ai Criteri generali per la verifica di

sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi

n Circolare M. LL.PP. del 04/07/96, n. 156n Istruzioni per l'applicazione del DM 16/01/1996


Il DM del 9 gennaio1996

n Parte Generalen Parte I - Cemento armato normale e

precompresson Sezione I - Prescrizioni generali e comunin Sezione II - Metodo agli stati limite:

progetto ed esecuzionen Sezione III - Eurocodice 2 (DAN)

(Documento di Applicazione Nazionale)UNI ENV 1992-1-1: criteri e prescrizioni.


Il quadro normativo

n Il progettista può adottare il metodo SL:n Nella versione "nazionale“

n à dovrà seguire la Sezione II della Parte I

n Nella versione Eurocodice 2 (DAN)n à dovrà seguire la Sezione III della Parte I.


Azioni di calcolo

n Le verifiche debbono essere condotte nei riguardi degli stati limite di esercizio (SLE) e degli stati limite ultimi (SLU)

n Le combinazioni delle azioni da considerare per tutti le verifiche agli SL (versione “nazionale” ed Eurocodici) sono specificate nel paragrafo 7.


Vita utile di progetto

100Ponti, edifici monumentali

50Edifici

15 – 30Strutture agricole et similia

10 – 25 Parti sostituibili (es. appoggi)

10Strutture temporanee

Anni (indicativo)Categorie


Gli Stati Limite

n Definizione di Stato Limiten La struttura o una sua parte non può più svolgere

le funzioni per cui è stata progettata

n Due categorie:n Stati Limite Ultimi (SLU)

n Corrispondenti al valore estremo della capacità portante o comunque al raggiungimento di condizioni estreme

n Stati Limite di Esercizio (SLE)n Legati alle esigenze di impiego normale e di durata.


Gli Stati Limite Ultimi

n Sono gli Stati Limite che riguardano:n La sicurezza delle personen La sicurezza della strutturan La sicurezza del contenuto (in alcuni casi)

n Gli SL da verificare riguardano:n Perdita di equilibrio della struttura o di parte di

essa, come corpo rigidon Rottura, deformazione eccessiva, trasformazione

in meccanismo, perdita di stabilitàn Rottura per fatica.


Gli Stati Limite di Esercizio

n Sono gli Stati Limite che riguardano:n Il funzionamento della strutturan Il comfort delle personen L’apparenza del costruito (deformazioni, fessure)

n Gli SL da verificare riguardano:n Deformazioni eccessiven Fessurazioni premature o eccessiven Degrado o corrosionen Vibrazioni eccessive.


Progetto agli SL

n Il progetto si basa sull’uso di modellin della strutturan dei carichi

n Nessuno SL è superato quando si usano in questi modelli i valori opportuni di:n Azionin Proprietà dei materiali e dei prodottin Dati geometrici


Soddisfacimento dei requisiti

n I requisiti vengono soddisfatti attraverso l’uso del metodo dei coefficienti parziali γ

n Il metodo preveden L’introduzione dei «valori caratteristici»n La trasformazione dei valori caratteristici in

«valori di calcolo» adeguati allo SL considerato, mediante l'applicazione di coefficienti parziali γm o γf


I coefficienti parziali

n Le resistenze di calcolo dei materiali si ottengono dividendo le resistenze caratteristiche per i coefficienti γm (>1)

n Le azioni di calcolo si ottengono moltiplicando le azioni caratteristiche per i coefficienti γf

n >1 o � 1 a seconda che il contributo dell'azione diminuisca o aumenti la sicurezza


Variabili di base

n Azionin Classificazionen Valori caratteristicin Altri valori rappresentativi delle azioni

variabili

n Proprietà dei materiali e dei prodottin Dati geometrici


Classificazione delle azioni

n In base alla variazione nel tempo, si definiscono azioni:n Permanenti (G)

n Pesi propri, macchinari fissi, azioni indirette causate da ritiro e cedimenti differenziali

n Variabili (Q)n Carichi ai piani degli edifici, vento, neve

n Eccezionali (Qex)n Uragani, urti di veicoli, esplosioni


Azioni (F) e Sollecitazioni (S)

n Azione Fn ogni causa (carichi permanenti, carichi variabili,

deformazioni impresse, agenti chimico-fisici...) capaci di indurre stati limite in una struttura

n Sollecitazione Sn ogni effetto interno (forza normale, momento

flettente, forza di taglio, ecc.) che, a causa delle azioni, si determina nella struttura

n più in generale si potranno indicare con «S» anche deformazioni, aperture di fessure, ecc.


Tipi di azioni

n Per determinare S, si considerano le F :n Dirette (forze)

n Carichi permanenti (peso proprio e carichi fissi)n Carichi variabili (carichi di servizio, neve, vento,

sisma, spinta delle terre, forze dinamiche, ecc.)

n Indirette (deformazioni impresse)n variazioni termiche, ritiro, pre-tensione,

spostamenti di vincoli, difetti di montaggio, ecc.

n Chimico-fisichen Agenti aggressivi, umidità, gelo, materiali nocivi


Carichi variabili per edifici

� 6,00Archivi, biblioteche, magazzini, depositi, laboratori, officine e simili

2,50Rimesse e parcheggi (fino 30 kN/vettura)

0,50Coperture non accessibili

1,00Sottotetti accessibili

4,00Balconi, ballatoi e scale comuni

5,00Sale da ballo, palestre, tribune libere, aree di vendita con esposizione diffusa

4,00Ambienti suscettibili di grande affollamento

3,00Ambienti suscettibili di affollamento

2,00Ambienti non suscettibili di affollamento

kN/m2TIPO DI LOCALE


Altri valori rappresentativi delle azioni variabili

n Valore di combinazione: Ψ0 Qk

n Per la verifica SLU o SLE irreversibili

n Valore frequente: Ψ1 Qk

n Per la verifica di SLE reversibili

n Valore quasi permanente: Ψ2 Qk

n Per la verifica di SLE reversibili


I coefficienti Ψ

00,20,7Vento, neve

0,60,70,7autorimesse

0,30,60,7uffici, negozi, scuole, ecc.

0,20,50,7abitazioni

Carichi variabili nei fabbricati per:

ΨΨ 2ΨΨ 1ΨΨ 0Azione


Valore di calcolo delle azioni

n Il valore di calcolo è dato da:Fd = γf Frep

n Con: Frep = Ψ Fk

n Dove:n Fk = valore caratteristico dell’azionen Frep = valore rappresentativo dell’azionen γf = fattore parziale per l’azione che considera la

possibilità di deviazioni sfavorevoli dell’azione dai valori rappresentativi

n Ψ = 1,00 oppure Ψ0, Ψ1 o Ψ2


Combinazioni (SLU)

n Per gli SLU si adottano le combinazioni:

])([2

01 ∑=

=

Ψ+γ+γ+γ=ni

iikikqkpkgd QQPGF

essendo:Gk il valore caratteristico delle azioni permanentiPk il valore caratteristico della forza di precompressioneQ1k il valore caratteristico dell'azione di base di ogni combinazioneQik i valori caratteristici delle azioni variabili tra loro indipendentiγg = 1,4 (1,0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)γp = 0,9 (1,2 se il suo contributo diminuisce la sicurezza)γq = 1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)Ψ0i = coefficiente di combinazione allo SLU.


Combinazioni (SLE)

n Per gli SLE si adottano le combinazioni:n Rare

n Frequenti

n Quasi permanenti

∑=

=

Ψ+++=ni

iikikkkd QQPGF

201 )(

Ψ1 = definisce i frattili 95% delle distribuzioni dei valori istantaneiΨ2 = definisce i frattili 50% delle distribuzioni dei valori istantanei

∑=

=

Ψ+Ψ++=ni

iikikkkd QQPGF

22111 )(

∑=

=

Ψ++=ni

iikikkd QPGF

12 )(


Azioni eccezionali

n Si combinano solo con i carichi di carattere permanente

exexdkkd QQGF γ++=

in cui:Qdk la frazione dei carichi variabili caratteristici con durata di

applicazione >30 giorni all'annoQex il valore nominale dell'azione eccezionale considerataγex = 1,0 ÷ 1,5 in relazione all’importanza dei danni cui

potrebbe dar luogo il superamento dello SL considerato

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