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PITAGORA

Sfogliando un vecchio libro di geometria per la scuola media di mio cugino Arturo tra le sue pagine scopro un' immagine raffigurante il busto del grande matematico Pitagora: (Roma, Museo Capitolino, Sala Dei Filosofi) l'immagine mi attira, quindi immagino e intraprendo con la fantasia un dialogo per conoscere aspetti della sua vita e dei suoi studi nel campo dell' aritmetica e della geometria.

Particolarmente sul teorema che porta il suo nome: il teorema di Pitagora.

Salve, mi fa piacere conoscerla signor Pitagora. P:-Tu chi sei? Cosa fai qui? Io:-Mi chiamo Ilaria, sono una studentessa iscritta in Scienze della

Formazione Primaria all’Università Cattolica e mi trovo a “passeggiare” tra le pagine di questo libro. Mi racconti qualcosa della tua vita?

Sono nato nell' isola di Samo intorno al 570 a.C.. Da giovane ho viaggiato in parecchi paesi bagnati dal Mediterraneo e in particolare in Egitto. Poi, dopo un lungo peregrinaggio, mi sono stabilito a Crotone città dell'Italia Meridionale, dove ho creato la “Scuola Italica”. Secondo alcuni, più che una scuola, si tratta di una comunità a carattere scientifico, religioso e politico.

Io:-Cosa mi racconta delle sue scoperte nel campo dell'aritmetica e della geometria?

P:-Al sottoscritto si devono parecchie scoperte nel campo della aritmetica e della geometria, tra esse la più importante è certamente il teorema che porta il mio nome, anche se alcuni studiosi lo attribuiscono alla mia scuola.

Io:-Continui. P:- Per la verità sapevano già che per ottenere un angolo retto era

sufficiente costruire un triangolo i cui lati avevano lunghezze proporzionate ai numeri 3, 4 e 5 (5²= 3²+4²). Anche gli Indiani conoscevano i triangoli rettangoli particolari, ad esempio quelli cui lati hanno lunghezze proporzionali ai numeri: 5,12 e 13 (13²= 5²+12²)

Io:-Allora cosa ha scoperto? P:- A me sembra che spetti comunque il merito di aver dimostrato

che la proprietà espressa dal teorema che porta il mio nome è caratteristica dei triangoli rettangoli.

Io:- Il Teorema se ricordo bene, così recita “in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”. Vero?

P:Ricordi bene! Seguimi, cercherò di essere chiaro. Disegna un triangolo rettangolo ABC con i cateti lunghi 3 cm e 4 cm. Ti sarà facile constatare che l’ipotenusa misura 5 cm.

Osserva: 5² = 3²+ 4²; infatti: 5² = 25 e 3²+ 4²= 9 + 16=25

Disegna un triangolo rettangolo MNP con i cateti lunghi 2,4 cm e 3,2cm; trova l' ipotenusa che misura 4 cm.

Anche in questo caso, come puoi osservare vale una relazione analoga alla precedente cioè: 4² = 2,4² + 3,2² infatti 4²= 16 e 2,4²+ 3,2²= 5,76+10,24=16

Tu perverrai ad un analogo risultato considerando un qualsiasi triangolo rettangolo. Precisamente se individui con (a) la miura della ipotenusa, con b e c le misure dei cateti di un triangolo rettangolo puoi scrivere: a²=b²+c².

E insieme possiamo concludere, come ricordavi precedentemente, che “in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull' ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”.

Io:- Recuperando in memoria, comincio a ricordare anche come si estrae la radice quadrata di un numero. P:- Ti voglio mettere alla prova.

Risolvi questi due problemi.

Problema. Calcola la misura dell' ipotenusa di untriangolo rettangolo i cui cateti

misurano 8,4 cm e 18,7 cm. IO:- Prima cosa, rappresento col disegno.

Dati ABC=triangolo rettangolo AC= 18,7 cm (cateto maggiore) AB= 8,4 CM (cateto minore) ; CB= incognita

Risolvo AB²= BC²+CA² CB =AB²+ CA²

CB =√8,4²+ 18,7²cm = √ 70,56+349,69cm = √420,25cm = 20,5cm

P:- Bene, bene! Adesso andiamo all'altro problema. Ricorda che il quadrato costruito su un cateto è equivalente alla differenza dei quadrati costruiti sull’ipotenusa e sull’altro cateto. Usando i simboli precedenti puoi scrivere:

b²=a²-c² e con lo stesso ragionamento puoi dedurre che b=√a²-c²

PROBLEMA In un triangolo rettangolo le misure dell' ipotenusa e di un cateto sono

rispettivamente 26,9 m e 6,9 m. Calcola la misura dell' altro cateto. DATI

ABC= triangolo rettangolo AB= 6,9 m ( catato minore) BC= 26,9 m ( ipotenusa) AC= incognita

Risolvo AC²=BC²-AB² AC=√BC² - AB² AC=√26,9² – 6,9²m= √723,61-47,61 m= √676= 26m. P:-Ilaria,sai sono contento di averti conosciuto e ti auguro un bel futuro matematico. Addio! Io: - Addio!